北师版八年级下第六章

北师大版物理八年级下册第六章知识点+测试题第六章：常见的光学仪器一.基本知识点归纳：1.凸透镜:有两个虚焦点。

1)外观：表面是球面的一部分，中间厚，边缘薄，由透明材料制成。

2）光学特点：对光线具有会聚作用①正确看待凸透镜对光线的会聚作用：光线经透镜折射后，折射光线相对于入射光线原来的传播方向，更靠近主轴。

②凸透镜越厚，它表面的弯曲程度越大，折光能力越强，其焦距越短。

3）成像规律及应用：①U>2f:f＜V＜2f，成倒立缩小的实像应用：照相机②U=2f:V=2f，成倒立等大的实像应用：——③2f>U>f:V＞2f，成倒立放大的实像应用：幻灯机，投影仪④U＜ｆ：成正立放大的虚像应用：放大镜规律简化总结：①一倍焦距分虚实，两倍焦距分大小。

②成实像时：物远像近，物近像远，像近像小，像远像大。

③成虚像时：物远像远，物近像近，像近像小，像远像大。

④成实像时，像与物比较：上下，左右均相反；而成虚像时，像与物上下，左右均相同。

这点与平面镜有所区别！2．光学仪器的操作1）照相机的操作：①若要扩大照相范围，就要让像变小，具体操作方法是：增大照相机与被拍照物体的距离以增大物距，同时缩短暗箱长度以减小相距．②照相机镜头上沾有少量灰尘对成像效果影响不大,灰尘由于距离镜头太近，故它不会通过凸透镜成实像呈现在底片上。

但它会遮挡住部分射到镜头上的光，使像的亮度受到一定的影响。

2）幻灯机的操作：①由于物体通过幻灯机的镜头成的是倒立的像，故幻灯片要倒插。

②若觉得屏幕上的图像太小，则应该减小幻灯片到镜头的距离，同时增大镜头到屏幕的距离。

3）放大镜的操作：①要利用放大镜看到物体正立放大的虚像，必须保证物体到放大镜的距离小于一倍焦距。

若物体到放大镜的距离大于一倍焦距，则我们看到的就是倒立的实像了。

②如果要想将物体的像放大得更多一些，则应该稍稍增大物体到放大镜的距离，但要保证这个距离不能超过一倍焦距。

3.眼睛1)原理:U>2f,成倒立缩小的实像(与照相机相同)眼睛的晶状体相当于照相机的镜头，瞳孔相当于照相机的光圈，眼睑相当于照相机的快门，视网膜相当于照相机的底片。

第六章平行四边形1 平行四边形的性质1. A 已知，□ABCD中，HF∥AB，EG∥BC，请说出图中共有多少个平行四边形？2. A 已知，□ABCD，请你用全等的方法证明平行四边形对边相等．3. A 已知，□ABCD中，∠B=70°，请你求出另外三个内角的大小．4. A 如图所示，在△ABC 内部有□AFDE ，D 、E 分别在边BC 、AC 上．AB =AC =5，那么□AFDE 的周长是______________．5. B 如图，在平行四边形ABCD 中，BE 平分∠ABC ，∠C =110°，则∠AEB =_____．若AB =2，点E 是AD 边的中点，平行四边形ABCD 的周长是_____________．6. B 如图，四边形ABCD 是平行四边形，BE 平分∠ABC ，CF 平分∠BCD ，BE 、CF 交于点G ．若使AD =4EF ，那么AB ：BC =_________．7. A 请你用全等的方法证明：平行四边形对角线互相平分．8. B 在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若AC =6，BD =8，则边AB 的取值范围是_______．BBD9. A 你能把现实生活中的活动用数学知识来解答？10. A 如图，方格纸中每个最小的正方形的边长为1，那么长方形ABCD与平行四边形ABEF的面积哪个大一些？11. A 如图，MN//AB，P，Q为直线MN上的任意两点，△PAB和△QAB的面积有什么关系？12. B 设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b的距离为8cm，b与c的距离为3cm，求a与c的距离．1. B 如图所示，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且AB ≠AD ，则下列式子不正确的是( )A ．BO =ODB ．AB =CDC ．AC ⊥BD D ．∠BAD =∠BCD2. B 如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AD 上的一点，CE =CD ，若∠B =72°，则∠AEC 的度数是( )A ．144°B ．108°C ．102°D ．78°3. C 如图所示，平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 、BC 于点M 、N ，若△CON 的面积为2，△DOM 的面积为4，则△AOB 的面积为 ．4. C 如图，EF 是过平行四边形ABCD 的对角线交点O 的线段，分别交AB ，CD 于点E 、F ，如果平行四边形ABCD 的周长为16cm ，且OF =1.5cm ，那么四边形BCFE 的周长为 cm ．5. C 如图，ABCD 是平行四边形，P 是CD 上一点，且AP 和BP 分别平分∠DAB 和∠CBA ．(1)求∠APB 的度数；(2)如果AD =5cm ，AP =8cm ，求△APB 的周长．BBBBA6. C 如图所示，一个平行四边形被分成面积为S 1、S 2、S 3、S 4的四个小平行四边形，当CD 沿AB 自左向右在平行四边形内平行滑动时，S 1•S 4与S 2•S 3的大小关系为( )A ．S 1•S 4＞S 2•S 3B ．S 1•S 4＜S 2•S 3C ．S 1•S 4=S 2•S 3D ．不能确定1. C 在面积为60的平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥直线BC 于点E ，作AF ⊥直线CD 于点F ，若AB =10，BC =12，则CE + CF 的值为（ ）A.22+B.22-C.22+22-D.22+22. C 如图，平行四边形ABCD 中，AB ：BC =3:2，∠DAB =60°， 点E 在AB 上，且AE ：EB =1:2，F 是BC 的中点，过D 分别 作DP ⊥AF 于P ， DQ ⊥CE 于Q ，则DP ： DQ 等于（ ）A ．3:4 BCD．3. C 在平行四边形ABCD 中，∠BCD =30°，BC =4，CD=M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A'MN ，连接A'C ，则A'C 长度的最小值是____.2 平行四边形的判定1. A 如图，在四边形ABCD中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是()A．AB ∥DC，AB = DCB．AB ∥DC，AD ∥BCC．AB = DC，AD = BCD．AB∥DC，AD = BC2. A 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B =∠D．求证：四边形ABCD为平行四边形．3. B 已知BD垂直平分AC，∠BCD = ∠ADF，AF⊥AC，证明：四边形ABDF是平行四边形．4. A 如图，在四边形ABCD中，∠B =∠D，∠1=∠2，求证：四边形ABCD是平行四边形．5. A 已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，BO = DO．求证：四边形ABCD是平行四边形．6. A 四边形ABCD中，分别给出以下条件：①AB∥CD；②AB = CD；③AD∥BC；④AD = BC；⑤∠A =∠C．则下列条件组合中，不能判定四边形ABCD为平行四边形的是()A．①②B．①③C．①④D．①⑤7. B 如图，已知E，F是四边形ABCD对角线AC上的两点，AE = CF，BE = FD，BE∥FD．求证：四边形ABCD是平行四边形．1. B 如图，在四边形ABCD 中，∠DAC =∠ACB ，要使四边形ABCD 成为平行四边形，则应增加的条件不能是( )A ．AD =BCB ．OA =OCC ．AB =CD D ．∠ABC +∠BCD =180°2. B 在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，要使四边形ABCD 是平行四边形应符合下列条件中的( )A ．AB ∥CD ，BC =ADB ．AB =CD ，OA =OCC ．AB ∥CD ，OA =OCD ．AB =CD ，AC =BD3. C 如图，四边形ABCD 中，AD =BC ，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足为E 、F ，AE =CF ，求证：四边形ABCD 是平行四边形．4. C 如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，直线EF 经过点O ，分别与AB ，CD 的延长线交于点E ，F ．求证：四边形AECF 是平行四边形．B5. C 如图所示，△ABC 是边长为4cm 的等边三角形，P 是△ABC 内的任意一点，过点P 作EF ∥AB 分别交AC 、BC 于点E 、F ，作GH ∥BC 分别交AB 、AC 于点G 、H ，作MN ∥AC 分别交AB 、BC 于点M 、N ．试求EF +GH +MN 的值．1. C 如图，分别以Rt △ABC 的斜边AB ，直角边AC 为边向外作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，F 为AB 的中点，DE ，AB 交于点G ，若∠BAC =30°，有下列结论： ①EF ⊥AC ；②四边形ADFE 为平行四边形；③AD =4AG ； ④△DBF ≌△EFA其中正确的结论是________（填序号）2. B 已知三条线段的长分别为10cm ，14cm 和8cm ，如果以其中的两条为对角线，另一条为边，那么可以画出所有不同形状的平行四边形的个数为（ ）A . 1B . 2C . 3 D.43. C 判断下述四个命题是否正确？正确的请证明，错误的请举出反例．(1)一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形；(2)一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；(3)一组对角相等且这一组对角的顶点所连接的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；(4)一组对角相等且这一组对角的顶点所连接的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形．B平行四边形习题课1. A 已知，□ABCD ，AB =3，BC =5，对角线AC 、BD 交于点O ，则OD 的取值范围是_________．2. B 如图，在平行四边形ABCD 中，AB ≠AD ，对角线AC 与BD 相交于点O ，OE ⊥BD 交AD 于E ，若△ABE 的周长为12cm ，则平行四边形ABCD 的周长是___________．3. B (1)如图，对角线AC 把平行四边形ABCD 分为两部分，这两部分的面积相等吗？为什么？(2)在AC 上找一点I ，过I 作FH ∥AD ，EG ∥AB ，则图中面积相等平行四边形有_____对．AB1. B 如图，在□ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，AD 上，且BE =FD ，求证：四边形AECF 是平行四边形．2. B 如图所示，已知D 是等腰三角形ABC 底边BC 上的一点，点E ，F 分别在AC ，AB 上，且DE ∥AB ，DF ∥AC ．(1)通过观察分析线段DE 、DF ，AB 三者之间有什么关系．试说明你的结论成立的理由．(2)如果AB =6，试求四边形AEDF 的周长．3. C 如图，已知D 是△ABC 的边AB 上一点，CE ∥AB ，DE 交AC 于点O ，且OA =OC ，猜想线段CD 与线段AE 的大小关系和位置关系，并加以证明．EBE B4. C 已知，如图，在□ABCD 中，延长DA 到点E ，延长BC 到点F ，使得AE =CF ，连接EF ，分别交AB ，CD 于点M ，N ，连接DM ，BN ．(1)求证：△AEM ≌△CFN ；(2)求证：四边形BMDN 是平行四边形．5. C 已知：如图，D 、E 、F 分别是△ABC 各边上的点，且DE ∥AC ，DF ∥AB ．延长FD 至点G ，使DG =FD ，连接AG ．求证：ED 和AG 互相平分．BB6. C 如图，凸八边形A l A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8中，∠A l =∠A 5，∠A 2=∠A 6，∠A 3=∠A 7，∠A 4=∠A 8，试证明：该凸八边形内任意一点到8条边的距离之和是一个定值．3 三角形的中位线1. A 如图，△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点．若DE =2，则BC =( )A ．2B ．3C ．4D ．52. A 如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN 于点N ，延长BN 交AC 于点D ，已知AB =10，BC =15，MN =3．(1)求证：BN =DN ；(2)求△ABC 的周长．5A 2343. B 如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，连接OA，点G、F分别为OC、OB的中点，BC=4，AO=3，则四边形DEFG的周长为()A．6 B．7 C．8 D．121. B 已知在三角形中，连接任意两边中点的线段叫做三角形的中位线，中位线的长度是第三边长度的一半，请结合中位线知识完成下列问题.(1)如图，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AD⊥BD、AE⊥CE，垂足分别为D、E，连接DE，求证：DE= 1()2AB BC AC++；(2)如图，BD、CE分别是△ABC的内角平分线，其他条件不变，(3)如图，BD是△ABC的内角平分线，CE是△ABC的外角平分线，其他条件不变，它与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并对其中的一种情况进行证明.2. B 如图，△ABC中，BD平分∠ABC，且D为AC的中点，DE∥BC交AB于点E，若BC=4，则EB长为．3. B 已知：如图，在△ABC中，AB、BC、CA的中点分别是E、F、G，AD是高.求证：∠EDG=∠EFG .4. B 已知：如图，在△ABC中，AB ＞AC，AD平分∠BAC，BE垂直AD延长线于E，M是BC中点．求证：EM=12AB AC()．5. B 已知：如图所示，在△ABC中，D、G分别为AB、AC上的点，且BD=CG，M、N分别是BG、CD的中点，过MN的直线交AB于点P，交AC于点Q，求证：AP=AQ．1. B 已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．2. C 已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是DC、AB边的中点，FE的延长线分别与AD、BC的延长线交于H、G点．求证：∠AHF＝∠BGF．3. B 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD = 2AD，E、F、G分别是OC、OD，AB的中点．下列结论：①EG=EF；②△EFG≌△GBE；③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF．其中正确的是.4. C 如图，C、D是线段AB上两点，且AC = BD =16AB=1，点P是线段CD上一个动点，在AB同侧分别作等边△P AE和等边△PBF，M为线段EF的中点．在点P从点C移动到点D时，点M运动的路径长度为．4 多边形的内角和与外角和1. B 如图，△ABC中，∠C=60°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=()A．360° B．240° C．180° D．140°2. B 从多边形一条边上的一点(不是顶点)出发，连接各个顶点得到2014个三角形，则这个多边形的边数为()A．2013 B．2014C．2015 D．20163. B 已知正n边形的一个内角为135°，则边数n的值是()A．6 B．7 C．8 D．104. B 小明和小亮分别利用图①、②的不同方法求出了五边形的内角和都是540°.请你考虑在图③中再用另外一种方法求五边形的内角和.并写出求解过程.5. B 正多边形的一个外角等于30°.则这个多边形的内角和为()A．1440° B．1620°C．1800° D．1980°6. B 如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角.若∠A=120°，则∠1+∠2+∠3+∠4=________.7. B 我们都知道，三角形的三条内角平分线交于一点，其实，三角形的外角也是有平分线的，请你探究一下下列三种情况中，不同的角平分线相交形成的角∠M和三角形内角∠A之间的数量关系．(1)△ABC两内角∠ABC和∠ACB的角平分线交于点M．(2)△ABC内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线交于点M．(3)△ABC的外角∠DBC和∠ECB的角平分线交于M．1. B 已知，一个凸多边形的每一个内角都是140°，那么这个多边形的边数是多少？内角和是多少？外角和是多少？每一个顶点出发有多少条对角线？共有多少条对角线？2. B 现有边长相同的正三角形、正方形和正六边形纸片若干张，下列拼法中不能镶嵌成一个平面图案的是( )A ．正方形和正六边形B ．正三角形和正方形C ．正三角形和正六边形D ．正三角形、正方形和正六边形3. C 下图是为某机器人编制的一段程序，如果机器人在平地上按图所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为 m.4. C (1)一个多边形对角线的条数等于边数的5倍，则这个多边形的内角和是 .(2)一个多边形的每一个内角都等于150°，那么这个多边形的对角线数目是 .(3)过m 边形的一个顶点有4条对角线，n 边形没有对角线，p 边形有p 条对角线，则边数为(m +n －p )的正多边形每一个内角的度数是 .5. C 如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠D =90°，AE 、CF 分别平分∠BAD 和∠BCD ，那么AE 和CF 的位置关系是什么？并说明.FA6. C 在凸十边形的所有内角中，锐角的个数最多是.1. B 过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形共有k条对角线，则(m-k)n=___________．2. C 已知：如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D +∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=_______．3. C 如图，六边形ABCDEF中，∠A=∠B= ∠C=∠D=∠E=∠F，且AB+BC=11，F A-CD =3，求BC+DE的值．4. C 如图，在六边形ABCDEF中，AB=BC= CD=DE=EF=F A，且∠A+∠C+∠E= ∠B+∠D+∠F.求证：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F.角度计算习题课1. B (1)如图，线段AB 、CD 交于点O ，则∠A +∠C 和∠B +∠D 的关系如何？请证明.(2)如图，∠BOC 、∠A 、∠B 、∠C 有什么数量关系？请证明.(3)如图，在∠AOB 中有一点P ，从点P 向OA 、OB 引线段，交点分别为M 、N ，则∠AMP 、∠BNP 、∠O 、∠P 之间有什么数量关系？请证明.D(4)如图，延长△ABC 的边AB 、AC 分别至M 、N ，则∠MBC 、∠NCB 和∠A 之间有什么数量关系？请证明.2. B (1)如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F = ．(2)如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = ．3. C 如图，已知△ABC 中，BD 、CE 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，BD 、CE 交于点O ，∠A =70°．(1)若∠ACB =40°，求∠BOC 的度数；(2)当∠ACB 的大小改变时，∠BOC 的大小是否发生变化？为什么？请写出证明过程．B4. C 如图，∠ABD 、∠ACD 的角平分线交于点P ，若∠A =50°，∠D =10°，请计算∠P 的度数．5. C 如图，将六边形ABCDEF 沿直线GH 折叠，使A 、B 落在六边形CDEFGH 内部，若∠C +∠D +∠E +∠F =510°，则∠1+∠2等于多少度？6. C 如图，将△ABC 沿DE 、FG 、HI 折叠，使三个顶点A 、B 、C 分别落在三角形内部点A′、B ′、C ′处，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的和是多少？DB G H1. C 在四边形ABCD中，∠ABC的平分线与外角∠DCE的平分线所在的直线相交于点F，若∠A=α，∠D=β．(1)如图1，α+β＞180°，试用α，β表示∠F；(2)如图2，α+β＜180°，请在图2中画出∠F，并试用α，β表示∠F；(3)一定存在∠F吗？如有，写出∠F的值，如不一定，直接写出α，β满足什么条件时，不存在∠F．2. B 如图，在四边形ABCD中，BP，CP分别是∠ABC，∠BCD的角平分线，求∠P与∠A，∠D之间的数量关系．3. C 如图，∠A +∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G = ( )A.100ºB.120ºC.150ºD.180º4. C 有一副由正三角形与正方形(它们的边长相等)组成的拼板玩具，用它们可以拼成若干种凸多边形(任意一个内角都小于180º的多边形).这类多边形中的五边形、六边形和七边形如图所示：这类多边形中边数最多的是几边形？试画出一个这样的多边形.期中期末串讲—平行四边形1. A 已知平行四边形ABCD中，∠A+∠C=200°，则∠B的度数是（）A. 100°B. 160°C. 80°D. 60°2. A 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（）A. AB∥DC，AD∥BCB. AB=DC，AD=BCC. AO=CO，BO=DOD. AB∥DC，AD=BC3. A 如图，在平行四边形ABCD中，已知AD=8cm，AB=6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于________.4. B 在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若AE=4，AF=6，平行四边形ABCD的周长为40，则S平行四边形ABCD =（）A. 24B. 36C. 40D. 485. B 如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的中线，BD与CE相交于点O，点F、G分别是BO、CO的中点，连接AO. 若AO=6cm，BC=8cm，则四边形DEFG的周长是（）A. 14cmB. 18cmC. 24cmD. 28cm6. A 一个多边形的内角和等于它外角和的3倍，它是几边形？7. B 如果只用一种正多边形作平面镶嵌，而且在每一个正多边形的每一个顶点周围都有6个正多边形，则该正多边形的边数为（）A．3 B．4 C．5 D．61. B 如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠DEF=∠BFE．求证：四边形EBFD是平行四边形．2. B 如图，在△ABC中，AH⊥BC于H，D，E，F分别是BC，CA，AB的中点．求证：∠DEF=∠HFE．第六章 平行四边形1 平行四边形的性质1.9．2.证明：如图，连接AC ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠BAC =∠DCA ，∠ACB =∠CAD ，在△ABC 和△CDA 中，∴△ABC ≌△CDA (ASA)，∴AB =CD ，AD=BC ，即平行四边形对边相等．3.∠A =110°，∠C =110°，∠D =70°．4.10．5.35°，12．6.5:8．7.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠BAO=∠DCO ，∠ABO =∠CDO ，在△ABO 和△CDO 中，∴△ABO ≌△CDO (ASA)，∴AO =CO ，BO=DO ，即平行四边形对角线互相平分．8.1＜AB ＜7．9.,BAC DCAAC CA ACB CAD ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，,=BAO DCO AB CD ABO CDO ∠∠=∠⎧=⎪⎩∠⎪⎨，，10. S ABCD =S ABEF ．11.相等．12.11cm 或5cm ．1. C ．2. B ．3.6．4.11．5.(1)90°；(2)24cm ．6. C ．1. D.2. D.3.5.2 平行四边形的判定1. D2.如图，连接AC ，∵AB ∥CD ，∴∠BAC =∠DCA ，∴在△ABC 和△CDA 中， ∴△ABC ≌△CDA (AAS)， ∴AB=CD ,又∵AB ∥CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形．,,,B D BAC DCA AC CA ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩3.∵BD 垂直平分AC ，∴BD ⊥AC ，且BA=BC ，DA=DC ，又∵AF ⊥AC ，∵BD ∥AF ，又∵BA=BC ，DA=DC ，∴∠BAE =∠BCE ，∠DAE =∠DCE ，∴∠BAE+∠DAE =∠BCE +∠DCE ，即∠BAD =∠BCD ，又∵∠BCD = ∠ADF ，∴∠BAD = ∠ADF ，∴AB ∥DF ，又∵BD ∥AF ，∴四边形ABDF 是平行四边形．4.在△ABC 和△CDA 中，∵∴△ABC ≌△CDA (AAS)，∴∠ACB = ∠CAD ，∴∠ACB +∠2= ∠CAD+∠1，即∠BCD = ∠BAD ，又∵∠B =∠D ，∴四边形ABCD 为平行四边形(两组对角分别相等的四边形是平行四边形)．5.∵AB ∥CD ，∴∠OBA = ∠ODC ，∠OAB = ∠OCD ，在△OAB 和△OCD 中，∵∴△OAB ≌△OCD (AAS)，∴OA = OC ，又∵BO =DO ，∴四边形ABCD 为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)．6. C ．7.如图，连接DE ，BF ，BD ，AC 与BD 交于点O ，∵BE = FD ，BE ∥FD ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∴OB=OD ，OE=OF ，又∵AE = CF ，,,1,2B D AC CA ∠=∠⎧∠=∠=⎪⎨⎪⎩,,OBA ODC OAB OCD BO DO ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴AE+OE = CF+OF，即OA=OC，又∵BO=OD，∴四边形ABCD为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)．1. C．2. C．3.方法一：证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED=∠CFB=90°，在Rt△ADE和Rt△CBF中，AD=CB，AE=CF，∴Rt△ADE≌Rt△CBF(HL)，∴∠ADE=∠CBF，∴AD∥BC，又∵AD=CB，∴四边形ABCD是平行四边形．方法二：证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED=∠CFB=90°，在Rt△ADE和Rt△CBF中，AD=CB，AE=CF，∴Rt△ADE≌Rt△CBF(HL)，∴DE=BF，∴DE－EF=BF－EF，∴DF=BE，在△DFC和△BEA中，DF=BE，∠DFC=∠BEA，CF=AE，∴△DFC≌△BEA，∴CD=AB，又∵AD=CB，∴四边形ABCD是平行四边形．4.方法一：证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，OD=OB，AB∥CD，∴∠OFD=∠OEB，在△OFD和△OEB中，∠OFD=∠OEB，∠DOF=∠BOE，OD=OB，∴△OFD≌△OEB，∴OF=OE，∴四边形AECF是平行四边形．方法二：证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，OD=OB，AB∥CD，∴∠OFD=∠OEB，在△OFD和△OEB中，∠OFD=∠OEB，∠DOF=∠BOE，OD=OB，∴△OFD≌△OEB，∴DF=BE，∴CD+DF=AB+BE，即CF=AE，又∵AB∥CD，∴四边形AECF是平行四边形．5.8cm．1.①②③④.2. B.3.(1) (2) (4)错误，(3)正确，理由见详解.详解：(1)如图1，△ABC为等腰三角形，AB=AC，点D为BC边上除中点外任意一点，将三角形ADC翻转得到△D′A′C′，则∠C=∠C′，AC= A′C′，所以在四边形ABDC′中，AB= DC′，∠B=∠C′，但是四边形ABDC′不是平行四边形，所以(1)错误；(2)如图2，四边形ABCD为平行四边形，OA=OC，AD=BC，在OD边上找一点OD′，使得AD=AD′，所以在四边形ABCD′中，OA=OC，AD′=BC，但是四边形ABCD′不是平行四边形，所以(2)不正确；(3)如图3，在四边形ABCD中，∠BAD =∠BCD，OB=OD.假设：四边形ABCD不是平行四边形，∴在线段AC的延长线上必存在一点C′，使得∠BAD=∠BC′D，∵∠BAD =∠BCD，∴∠BC′D=∠BCD，∵∠BC′D=180°-（ C′BD+∠C′DB），∠BCD=180°-（ CBD+∠CDB），C′BD+∠C′DB＞ CBD+∠CDB，∴∠BC′D≠∠BCD，与∠BC′D=∠BCD相矛盾，∴假设不成立，∴四边形ABCD是平行四边形；(4)如图4，在四边形ABCD 中，∠ABC =∠ADC ，OB =OD ，但四边形ABCD 不是平行四边形，所以(4)不正确.平行四边形习题课1.1＜OD ＜4．2.24cm ．3.(1)相等．证明：如图，过B 、D 分别作AC 的垂线，垂足为E 、F ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB=CD ，∴∠BAE=∠DCF ，在△ABE 和△CDF 中，∴△ABE ≌△CDF (AAS)，∴BE =DF ，S △ABC =， S △DAC =， ∴S △ABC = S △CDA ．BAE DCF BEA DFC AB CD ∠=∠∠=∠⎧⎪⎪⎩=⎨，，，12AC BE g 12AC DF g(2)3．1.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，又∵BE=FD，∴AF=CE，又∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形．2.(1)DE+DF=AB，证明：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AEDF是平行四边形，DE=AF，∵△ABC是等腰三角形，BC是底边，∴∠B=∠C，又∵DF∥AC，∴∠BDF=∠C，∴∠B=∠BDF，∴BF=DF，∴DE+DF=AF+BF=AB.(2)12．3.相等且平行，证明：∵CE∥AB，∴∠ODA=∠OEC，∠OAD=∠OCE，∵OA=OC，∴△ODA≌△OEC，∴OD=OE，又∵OA=OC，∴四边形ADCE是平行四边形，线段CD与线段AE的大小关系和位置关系是相等且平行．4.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠E=∠F，∠EAM=∠ABC，∠ABC=∠FCN，∴∠EAM=∠FCN，在△EAM和△FCN中，∠E=∠F，AE=CF，∠EAM=∠FCN，∴△EAM≌△FCN；(2)证明：由(1)得，△EAM≌△FCN，∴AM=CN，∴AB－AM=CD－CN，∴BM=DN，又∵BM∥DN，∴四边形BMDN是平行四边形．5.证明：连接AD、EG，∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AE=DF，∵DG=FD，∴AE=DG，又∵DF∥AB，∴四边形AEGD为平行四边形，∴ED和AG互相平分．6.证明：延长A8A1，A3A2相交于点M，延长A2A3，A5A4相交于点Q，延长A4A5，A7A6相交于点N，延长A6A7，A1A8相交于点P，如图，由∠A2A1A8=∠A4A5A6，∠A1A2A3=∠A5A6A7，得∠MA1A2=∠NA5A6，∠MA2A1=∠NA6A5，所以有∠A1MA2=∠A5NA6，同理可证∠A7P A8=∠A3QA4，∴四边形MQNP为平行四边形，即A1A8∥A4A5，A2A3∥A6A7，同理可证A1A2∥A5A6，A3A4∥A7A8，∴八边形内任意一点到A2A3和A6A7的距离和为平行线A2A3和A6A7间的距离，是一个定值．可以推得凸八边形内任意一点到8条边的距离之和是一个定值．3 三角形的中位线1. C．2.(1)∵AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，∴∠1= ∠2，∠ANB = ∠AND=90°，在△ABN和△ADN中，∵∴△ABN ≌△ADN (ASA)，∴BN = DN ．(2)∵△ABN ≌△ADN (ASA)，∴AD=AB =10，又∵BN = DN ，M 是△ABC 边BC 的中点，∴MN =CD ，∴CD =2MN =6，∴△ABC 的周长为AB+BC+CD+DA =10+15+6+10= 41．3. B ．1.(1)证明：如图，延长AD 、CB 并交于点M ，延长AE 、BC 并交于点N ， ∵BD 、CE 分别是△ABC 的外角平分线，即BD 平分∠ABM ，CE 平分∠ACN ，∴∠ABD =∠DBM ，∠ACE =∠ECN ，∵AD ⊥BD ，AE ⊥CE ，∴∠ADB=∠BDM =90°，∠AEC =∠CEN =90°，在△ABD 和△MBD 中 ，∠ABD =∠DBM ，BD =BD ，∠ADB=∠BDM ，∴△ABD ≌△MBD (ASA)，∴AB =BM ，AD =MD ，在△ACE 和△NCE 中 ，∠ACE =∠ECN ，CE =CE ，∠AEC=∠CEN ，∴△ACE ≌△NCE (ASA)，∴AC =CN ，AE =NE ，∴AB +BC +AC =MB +BC +CN =MN ，∵AD =MD ，AE =NE (已证)，∴ DE 为△AMN 的中位线，∴DE =MN =(AB +BC +AC );（2）DE =(AB+AC －BC )，12,,AN AN ANB AND ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，12212121证明：如图，延长AD 并交BC 于点M ，延长AE 并交BC 于点N ， ∵BD 、CE 分别是△ABC 的内角平分线，即BD 平分∠ABM ，CE 平分∠ACN ，∴∠ABD =∠DBM ，∠ACE =∠ECN ，∵AD ⊥BD ，AE ⊥CE ，∴∠ADB=∠BDM =90°，∠AEC =∠CEN =90°，在△ABD 和△MBD 中 ，∠ABD =∠DBM ，BD =BD ，∠ADB=∠BDM ，∴△ABD ≌△MBD (ASA)，∴AB =BM ，AD =MD ，在△ACE 和△NCE 中 ，∠ACE =∠ECN ，CE =CE ，∠AEC=∠CEN ，∴△ACE ≌△NCE (ASA)，∴AC =CN ，AE =NE ，∴MN=BM+CN －BC=AB+AC －BC ，∵AD =MD ，AE =NE (已证)，∴ DE 为△AMN 的中位线，∴DE =MN =(AB+AC －BC );（3）DE =(BC+AC －AB )，证明：如图，延长AD 、BC 并交于点M ，延长AE 、BC 并交于点N ，∵BD 是△ABC 的内角平分线，CE 是△ABC 的外角平分线， 即BD 平分∠ABM ，CE 平分∠ACN ，∴∠ABD =∠DBM ，∠ACE =∠ECN ，∵AD ⊥BD ，AE ⊥CE ，，∴∠ADB=∠BDM =90°，∠AEC =∠CEN =90°在△ABD 和△MBD 中 ，∠ABD =∠DBM ，BD =BD ，∠ADB=∠BDM ，∴△ABD ≌△MBD (ASA)，∴AB =BM ，AD =MD ，在△ACE 和△NCE 中 ，∠ACE =∠ECN ，CE =CE ，∠AEC=∠CEN ，∴△ACE ≌△NCE (ASA)，∴AC =CN ，AE =NE ，∴MN=BC+CN －BM=BC+AC －AB ，∵AD =MD ，AE =NE (已证)，121212∴ DE 为△AMN 的中位线，∴DE =MN =(BC+AC －AB ).2.2．3.证明：∵E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CA 的中点，∴∵AD ⊥BC ，∴∠ADB =∠ADC =90°，∴∴EF =DG ，FG =DE ，在△EDF 和△GFD 中，EF =GD ，DE = FG ，FD =DF ，∴△ED F ≌△GFD ，∴∠EFD =∠GDF ，∠EDF =∠GFD ，∴∠EDG =∠GDF －∠EDF ，∠EFG=∠EFD －∠GFD ，∴∠EDG =∠EFG ．4.证明：延长BE 交AC 的延长线于F ，∵AD 平分∠BAC ，BE 垂直AD 延长线于E ，∴在△AEB 和△AEF 中，∠BAE =∠F AE ，∠AEB =∠AEF ，AE =AE ， ∴△AEB ≌△AEF ，∴AB =AF ，BE =EF ，∵M 是BC 中点，∴ME 是△BCF 的中位线，∴5.证明：取BC 的中点R ，连结RM 、RN ，∵M 、N 分别是BG 、CD 的中点，121211,22EF AC FG AB ==，1122DE AB DG AC ==，，111()().222ME CF AF AC AB AC ==-=-∴，∵BD =CG ，∴MR =NR ，∴∠RMN =∠RNM ，又∵MR 是△BCG 的中位线，NR 是△BCD 的中位线， ∴MR ∥CG ，NR ∥BD ，∴∠RMN =∠PQA ，∠RNM =∠QP A ，∴∠PQA =∠QP A ，∴AP =AQ .1.证明：如图，连接BD ，∵点E ，H 分别为AB 、DA 的中点，∴EH 是△ABD 的中位线，1122MR GC NR BD ==，∵E 、F 分别是DC 、AB 边的中点，∴EM = AD ，FM = BC ．∵AD = BC ，∴EM = FM ，∴三角形MEF 为等腰三角形，即∠MEF = ∠MFE ．∵EM ∥AH ，∴∠MEF = ∠AHF ，∵FM ∥BG ，∴∠MFE = ∠BGF ，∴∠AHF = ∠BGF ．3.①②④4.24 多边形的内角和与外角和1. B ．2. C ．3. C ．4.180°×4-180°=540°.5. C ．6.300°.7.(1)∠M =90°+∠A /2；(2)∠M =∠A /2；(3)∠M =90°－∠A /2.12121.9，1260°，360°，6，27．2. A．3.12．4.(1)1980°；(2)54；(3)108°．5.AE//CF．理由如下：∵AE、CF分别平分∠BAD和∠BCD，∴∠DAB=2∠EAB，∠DCB=2∠FCB，∵∠B=∠D=90°，∴∠DAB+∠DCB=180°，∴∠EAB+∠FCB=90°，在Rt△CBF中，∠CFB+∠FCB =90°，∴∠EAB =∠CFB，∴AE//CF．6.3．1.125.2.900°.3.14.4.见详解.详解：如图所示，作线段GF，使GF=AF，∠1=∠B，连接AG，GE，AE，AC，CE，∵∠A+∠C+∠E+∠B+∠D+∠F=（6 2）×180°=720°，∠A+∠C+∠E=∠B+∠D+∠F，∴∠B+∠D+∠F=360°，∵∠1+∠2+∠AFE=360°，∴∠2=∠D，∵CD=DE =F A=GF，∴△AFG≌△CDE，∴AG=CE，∵AB=BC= EF=F A=GF，∠1=∠B，∴△EFG≌△CBA，∴∠6=∠3，AC=GE，∵AE=AE，∴△GAE≌△CEA，∴∠AEG=∠4，∴∠F AB=∠3+∠4+∠5=∠6+∠AEG +∠5，∵∠2=∠D=∠6+∠AEG +∠5，∴∠F AB=∠D.同理，∠B=∠FED，∠BCD=∠AFE.角度计算习题课1.(1)∠A+∠C=∠B+∠D．理由如下：方法一：∵∠A+∠C=∠COB，∠B+∠D=∠COB，∴∠A+∠C=∠B+∠D，方法二：∵∠A+∠C+∠AOC=∠B+∠D+∠BOD=180°，且∠AOC=∠BOD，∴∠A+∠C=∠B+∠D．(2)∠BOC=∠A+∠B+∠C．理由如下：方法一：如图，连接B、C两点，则∠A+∠ABO+∠OBC+∠OCB+∠ACO=180°，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，∴∠BOC=∠A+∠ABO+∠ACO．方法二：如图，延长BO交AC于点D，则∠BDC=∠A+∠B，∠BOC=∠BDC+∠C，∴∠BOC=∠A+∠B+∠C．方法三：如图，连接A、O两点并延长至D点，则∠BOD=∠BAD+∠B，∠COD=∠CAD+∠C，又∵∠BOC=∠BOD+∠COD，∠BAC=∠BAD+∠CAD，∴∠BOC=∠BAC+∠B+∠C．(3)∠AMP+∠BNP=∠O+∠P．理由如下：如图，连接O、P两点，则∠AMP=∠AOP+∠OPM，∠BNP=∠BOP+∠OPN，又∵∠AOB=∠AOP +∠BOP ，∠MPN=∠OPM +∠OPN ，∴∠AMP +∠BNP =∠AOB +∠MPN ．(4)∠MBC +∠NCB =∠A +180°．理由如下：根据三角形外角的性质，可知∠MBC=∠A +∠ACB ，∠NCB=∠A +∠ABC ，∴∠MBC +∠NCB=∠A +∠ACB +∠A +∠ABC ，又∵∠ACB +∠A +∠ABC =180°，∴∠MBC +∠NCB =∠A +180°．2.(1)360°；(2)180°．3.(1)125°；(2)不变．理由如下：∵BD 、CE 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，∴∠ABO=∠OBC ，∠ACO =∠OCB ，∵∠A =70°，∴∠ABO+∠OBC +∠ACO +∠OCB =110°，∴∠ABO+∠ACO =∠OBC +∠OCB =55°，又∵∠BOC=180°－(∠OBC +∠OCB )=125°，∴无论∠ACB 的大小如何改变，∠BOC 的大小始终不变，为∠BOC=125°．4.20°．5.60°6.360°．1.(1)；(2)如图2，；(3)∠F 不一定存在，当时，∠F 不存在．2.．3. D.4.12边形.902F αβ+∠=-︒902F αβ+∠=︒-180αβ+=︒2A DP ∠+∠∠=.期中期末串讲—平行四边形1. C.2. D.3.2cm.4. D.5. A.6.八边形.7. A．1.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠EAD=∠FCB，∵∠DEF=∠BFE，∴∠AED=∠CFB，∴△EAD≌△FCB，∴DE=BF，又∵∠DEF=∠BFE，∴DE∥BF，∴四边形EBFD是平行四边形．2.证明：∵D，E，F分别是BC，CA，AB的中点，∴EF∥BC，DE∥AB，∴∠DEF=∠EDH，∠HFE=∠FHD，∴∠EDH=∠B，又∵AH⊥BC于H，∴HF=BF，∴∠B=∠FHD，∴∠DEF=∠HFE.。