理论力学第二章(汇交力系)

力多边形 各分力矢与合力矢构成的多边形。
2) 合力
力矢量合成的力多边形法则： 1) 各分力首尾相接，次序可变；
R 为封闭边。
z F3 FR F2 F1 x
5
2、空间汇交力系合成的几何法
r r r r r r FR = F1 + F2 + F3 + F4 = Σ Fi ,
合成为一个合力，合力的大小与方向等于 各分力的矢量和，合力的作用线过汇交点.
FR = F1 + F2 + L + Fn = ∑ Fi
向两个坐标轴投影，
FR = FRx + FRy = (∑ Fix ) + (∑ Fiy )
2 2 2
2
FR
合力方向 FRx ∑ Fix FRy cos θ = = , sin θ = = FR FR FR 合力投影定理：
∑F
FR
iy
10 合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。
FDA
P
FDB=FDC=289N。
18
例 ：起重机起吊重量P = 1 kN， ABC 在 yz 平面内，求：立柱 x’ AB、绳BC，BD，BE 的拉力。 解：B点有四个未知力汇 交，故先从C点求解，
[C] 平面汇交力系 z 750
B 450 E FBE FBD 450 450 D x A y 450 F BA 450 FCB FBC 300 FCA
汇交力系的平衡条件为：力系中各力在x、y、z三个坐标 轴的每一轴上投影之代数和均为零。 14 汇交力系平衡的几何条件为：力多边形自行封闭。
汇交力系平衡条件的应用
例：园柱物置于光滑的燕尾槽内，已知：P 为 500 N,求： 接触处A、B的约束力。
y P 300 A 600 B 450 FA P 450 FB
v v v Fix i + ∑ Fiy j + ∑ Fiz k
若该空间汇交力系的平衡，则合力为零：
v FR =
∑
等价于：
平面汇交力系: ∑Fix=0
∑Fix=0 ∑Fiy=0 ——汇交力系的平衡方程 三个平衡方程 ∑Fiz=0,
∑Fiy=0
二个平衡方程
∑
v v v Fix i + ∑ Fiy j + ∑ Fiz k = 0
a）由力的可传性原理，将各力沿作用线移到汇交点 A。 b）由力的三角形法则，求合力。
（1）
F2 c F 3 b d R1 F1 R2 F
a
R1 = F 1 + F 2 R 2 = R1 + F 3 = F1 + F 2 + F 3 R = R2 + F 4
R
4
e
= F1 + F 2 + F 3 + F 4
i
v 2 2 2 合力大小 : FR = FR x + FR y + FR z ∴
FRz = F1z + F2 z + L + Fnz = ∑ Fiz
= ( ∑ Fix ) 2 + (∑ Fiy ) 2 + ( ∑ Fiz ) 2 FR y FR x FR Z 方向 : cos α = , cos β = , cos γ = FR FR FR
空间汇交力系的合成：
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和。 v v v v v v F R = F1 + F 2 + F 3 + L + F n = ∑ F 解析法合成:
FRy = F1 y + F2 y + L + Fny = ∑ Fiy
FRx = F1x + F2 x + L + Fnx = ∑ Fix
FD
FD+FACsin α =0；
（3）
17
F FL tan α = = 2 2h
例：重物P = 1 kN，A 是球铰支座，A、B、C 点固定在同一墙 上，求：杆AD、绳 DB、DC 的约束内力。 解：取汇交点D 点分析——空间汇交力系 CE BE ∑ Fix = 0; FDB − FDC =0 DB DC
角坐标轴的正交分量，则：
v v v 若以 Fx , Fy , Fz 表示力沿直
v v Fz = Fz k
Fx
Fz
Fy
F = Fx i + Fy j + Fz k
v v v i , j , k 为三个坐标轴方向的单位矢量
F = Fx + Fy + Fz
2 2
2
Fy Fx Fz cos α = , cos β = , cos γ = F F F
9
三、汇交力系合成的解析法 FR = F1 + F2 + L + Fn = ∑ Fi 力的解析式（平面汇交力系为例）： Fi = Fix i + Fiy j
把
FRy = F1 y + F2 y + L + Fny = ∑ Fiy
合力大小
FRx = F1x + F2 x + L + Fnx = ∑ Fix
FBD = FBE = FBC
sin75 0 = 1.366 P 2 0 2cos 45
19
FBA= –1.564P。
柱AB受压。
20
第二章 汇交力系
一、力系的分类
按作用线是否共面分 空间力系 按作用线是否交于一点分 汇交力系 平行力系(平面力偶系是其中的特殊情况 ) 一般力系(任意力系) B
C
α
α
平面力系
汇交力系：所有力的作用线交于一点
30 o
D
45 o
60 o
G E
45 o
A
1
二、汇交力系（共点力系）的合成 研究方法：几何法，解析法。
R =
（2）
合力等于各分力的矢量和，即
∑
Fi
4
结论：平面汇交力系可以合成为一个合力，合力的大小与方向 等于各分力的矢量和，合力的作用线过汇交点.
（2）
R = ∑Fi
F2 c F F2 c F d 3 3 b b F4 F d R1 d 1 R e a F1 F1 c R2 F F4 a 4 a F3 e R e b F2 R
FRy = ∑ Fiy
FRy
= F2 sin 60o + F3 sin 50o − F4 sin 40o = 72.95 N
FRx
θ
x
∴
2 2 FR = FRx + FRy = 123.48 kN F −1 Ry θ = sin = 36.210 FR
12
例:巳知:F1=3kN,F2=2kN,求合力值
γ
O
Fx=Fcosα, Fy=Fcosβ, 一次投影 Fz=Fcosγ。
β θ
二次投影法
Fxy
Fx = Fxy cos ϕ = F cos θ cos ϕ Fy = Fxy sin ϕ = F cos θ sin ϕ Fz = F sin θ
若已知力在三个坐标轴上的投影，则 力的大小：
F = Fx + Fy + Fz
v FR =
∑F
ix
i + ∑ Fiy j + ∑ Fiz k
11
例：已知 F1 = 100 N , F2 = 100 N , F3 = 150 N , F4 = 200 N ，方向 如图所示，求合力。
FR
y
解：1）确定坐标
F3
700 90
0
F2
600
x
2）求合力的投影
O
F4
FR
F1
y
FRx = ∑ Fix = F1 + F2 cos 60 o − F3 cos 50 o − F4 cos 40 o = 100 + 100 ⋅ 0.5 − 150 ⋅ 0.64 − 200 ⋅ 0.77 = −99.63 N
C
450 P P
∑Fix’=0, FCBsin300一Psin450=0, FCB=1.414 P，
[B] 空间汇交力系 ∑Fix=0, FBDcos2450一FBEsin2450=0,
FBD=FBE
∑Fiy=0, –2FBDcos450sin450+FBCsin750=0, ∑Fiz=0, –2FBDsin450– FBA+FBCcos750=0,
解:
对：[点A]
– FABcosα – FACcos α – F=0 （1） FABsinα–FACsin α =0 （2） cosα）
16
∑Fix=0; ∑Fiy=0;
从（2）可得：FAB=FAC，代（1）得：FAC= −F/（2
例：图示压榨机，在A点作用水平力F、C物块与墙、物体D光滑 接触，在F力作用下，C物块压紧物体D，求：物体D所受压力。
h B L A L D C F FAB α α FAC [A] F x FC y y [C] F’AC x FD
∑Fix=0; ∑Fiy=0;
– FABcosα – FACcos α – F=0 （1） FABsinα–FACsin α =0
FAC= −F/（2 cosα）
（2）
对：[物块C] ∑Fiy=0;
2 2
2
Fy Fx Fz , cos β = , cos γ = 力的方向： cos α = F F F 力的表示形式： F = Fx i + Fy j + Fz k
v v v i , j , k 为三个坐标轴方向的单位矢量
8
二、力沿坐标轴分解：
v v v v F = Fx + F y + Fz r v v v Fx = Fx i , F y = F y j ,