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第八章 包含虚拟变量的回归模型一、虚拟变量的基本含义通常在回归分析中，因变量不仅受一些定量变量的影响，而且还受一些定性变量的影响，比如性别、种族、婚姻状况等等。
为了在模型中反映这些因素的影响，需要把定性因素进行“量化”。
通常是引进人工变量完成。
通过定性因素的属性类别，构造取值为0或者1的变量，如、 1代表男性， 0代表女性； 1代表某人是大学毕业， 0代表某人不是大学毕业，这类取值为0，1的变量称为虚拟变量(dummy variable )。
虚拟变量与定量变量一样可用于回归分析。
事实上，一个回归模型的解释变量可以仅仅是虚拟变量。
解释变量仅是虚拟变量的模型称为方差分析模型( analysis-of-variance models ) (ANOVA)。
例1：1i i Y D i βα=++ε，其中Y 表示职工工资,。
10i D ⎧=⎨⎩，本科学历，非本科学历这个模型与我们前面讨论过的双变量模型类似，但这里的解释变量是虚拟变量。
1(0)i E Y D β==，1(1)i E Y D βα==+显然，1β表示非大学毕业生的平均初职年薪，1βα+表示具有大学学历职工的平均工资，α代表二者之差。
回归模型中可以有同时有虚拟变量以及定量变量。
例2：考虑是否上过大学和工龄作为职工工资的模型：12i i i Y X D i ββαε=+++Y ，表示职工工资，X表示工龄，D同上。
含虚拟变量的模型只要扰动项符合古典假定，仍用OLS方法估计模型。
注意：虚拟变量系数显著性检验的意义：：0H 0α=；：1H 0α≠。
同学们思考：这个检验在上面两个例子中分别具有何实际意义？二、虚拟变量的引入模型的方式 1、加法方式上面考察的例子都是加法方式。
注意虚拟变量模型的几何意义：以上述例2考察。
例3：如果上述职工工资方程（例2）中，学历考虑三个层次：高中以下、高中、大学及以上。
该如何建模？引进两个虚拟变量：，1 1 0 D ⎧=⎨⎩高中其他2 1 0 D ⎧=⎨⎩大学及以上其他121222Y X D D ββαα=++++ε请同学们分析模型的含义。
§5.5 含有虚拟变量的回归模型 1．带虚变量的回归预测前述变量均是用某种意义明确的尺度加以定量的变数。
暂时性影响：经济行为受特定因素的影响，因而促使一期或数期变数与其他各期有明显的差异。
虚拟变量：用来表现暂时性影响的变量，或者说，表明某种“品质”或属性是否存在的的变量。
2．基本概念（1）水平：当自变量以虚拟变量的形式出现时，虚拟变量的出现形式称为“水平”。
（2）反应：用()k j i,δ表示第i 个样本第j 个自变量取第k 个水平的反应：()k j i ,δ=⎩⎨⎧否则个水平时个自变量取第个样本第当第01k j i（3）反应表：将各样本的资料排列得到的表格称为反应表。
（4）反应矩阵：把反应表中的反应()k j i,δ写成矩阵形式，称为反应矩阵。
记为X=（()k j i,δ）。
3．基本方法（1）建模原则：如果一个属性变数有m 个类型，只引入m —1个虚拟变量。
否则，会陷入所谓的虚拟变数陷阱之中，出现完全多重共线性的情况。
在解释采用虚拟变量的模型结果时，要弄清楚水平值是如何确定的。
指定取值为0的类型或组通常用来指明基础类型、控制类型、对比类型或被省略的类型。
附属于虚拟变量D 的系数α1称为不同的截距系数，它说明D 取值为1的那种类型的截距项与基础类型的截距系数的数值差异有多大。
（2）建立数学模型：将虚拟变量视为普通变量，建立回归模型。
（3）对参数作出估计。
（4）进行预测。
（5）一般情况：指模型自变量中同时含有虚拟变量和普通变量。
4．应用实例研究1958年第四季度到1971年第二季度期间英国的失业率和职务空缺率之间的关系。
原始作出散点图解释：1966年第四季度起，失业—职位空缺的关系发生变化，表示两者之间关系的曲线在该季度开始上移。
这种上移的含义是指对于一定的职位空缺率来说，1966年第四季度比以前有更多的失业者。
其原因是1966年10月（即第四季度），当时的英国政府通过以统一收费率和（以前的）有关救济金收入的混合制度，取代短期失业救济的统一收费率制度，从而放宽了国民保险条例，这明显地增加了失业救济金的水平。
第九章含虚拟变量的回归模型目前为止，在已学习的线性回归模型中，解释变量X都是定量变量。
但有时候，解释变量是定性变量。
9.1 虚拟变量的性质通常在回归分析中，应变量不仅受一些定量变量的影响，还受一些定性变量的影响(性别、种族、肤色、XX、民族、罢工、政团关系、婚姻状况)。
如：美国黑人的收入比相应的白人的收入低。
女学生的S.A.T.的数学平均分数比相应的男生低。
定性变量通常表明了具备或不具备某种性质，比如，男性或女性，黑人或白人，佛教徒或非佛教徒，本国公民或非本国公民。
把定性因素“定量化”的一个方法是建立人工变量，并赋值0和1，0表示变量不具备某种属性，1表示变量具备某种属性，该变量称为虚拟变量(dummy variable)，用符号D表示。
虚拟变量一样可用于回归分析，一个回归模型的解释变量可以仅仅是虚拟变量，称为方差分析模型( ANOVA )。
Yi=B1+B2Di+ui ( 9 - 1 )其中Y= 初职年薪Di =1，大学毕业=0，非大学毕业假定随机扰动项满足古典线性回归模型的基本假定，根据模型( 9 - 1 )得到：非大学毕业生的初职年薪的期望为：E(Yi｜Di=0) =B1+B2( 0 ) =B1( 9 - 2 )大学毕业生的初职年薪的期望为：E(Yi｜Di=1) =B1+B2( 1 ) =B1+B2 ( 9 - 3 )可以看出：截距B1表示非大学毕业生的平均初职年薪，“斜率”系数B2表明大学毕业生的平均初职年薪与非大学生的差距是多少；(B1+B2)表示大学毕业生的平均初职年薪。
零假设：大学教育没有任何益处(即B2=0)，可根据t检验值判定b2是否是统计显著的。
例9.1 大学毕业生和非大学毕业生的初职年薪模型( 9-1 ) OLS回归结果如下：Yi= 18.00 + 3.28Di( 9 - 4 )se = (0.31) (0.44)t= (57.74 ) (7.444)p值= ( 0.000 ) (0.000)r2=0.8737估计的非大学毕业生的平均初职年薪为18000美元(=b1)，大学毕业生的平均初职年薪为21280美元(b1+b2)。
虚拟变量回归结果解读虚拟变量回归是一种经济统计学中常用的回归分析方法。
它用于处理定性变量，将其转换成虚拟变量，进而分析它们对因变量的影响。
本文将对虚拟变量回归的结果进行解读，帮助读者更好地理解和应用这一方法。
1. 背景介绍虚拟变量回归是一种基于二进制编码的方法，将定性变量转化为数值变量，以便进行回归分析。
它常用于控制混杂因素、检验效应等统计分析中。
在解读虚拟变量回归结果之前，我们首先需要了解回归模型的设定和数据样本。
2. 回归模型设定虚拟变量回归分析的基本模型可以表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε其中，Y为因变量，X1、X2、...、Xn为虚拟变量，β0、β1、β2、...、βn为回归系数，ε为误差项。
3. 解读回归系数在虚拟变量回归中，回归系数的解读依赖于虚拟变量的编码方式。
这里以一个二分类虚拟变量为例进行解释。
3.1 虚拟变量为二分类假设我们的虚拟变量为性别，编码方式为男性为1，女性为0。
回归结果显示该虚拟变量的回归系数为β1 = 0.2。
这一结果的解读如下：- 对于男性（虚拟变量为1），与女性相比，因变量的平均值（或均值的对数值）比女性多0.2个单位。
这说明男性相对于女性，对因变量有着0.2个单位的正向影响。
- 对于女性（虚拟变量为0），回归系数不产生作用。
因此，回归结果可以说是基于男性进行解读。
3.2 虚拟变量为多分类如果虚拟变量有多个分类，例如教育程度分为初中、高中和大学三类。
回归结果显示分别为β1 = 0.3，β2 = 0.5。
解读如下：- 对于初中教育程度（虚拟变量为1，其它分类为0），与高中相比，因变量的平均值比高中多0.3个单位。
- 对于高中教育程度（虚拟变量为1，其它分类为0），与大学相比，因变量的平均值比大学多0.5个单位。
- 对于大学教育程度（虚拟变量为1，其它分类为0），回归系数不产生作用。
4. 虚拟变量回归的显著性检验回归结果中还会提供每个虚拟变量的显著性检验结果，常见的检验方法包括t检验和F检验。
Econometrics第五章虚拟变量回归模型（教材第六章）第五章虚拟变量回归模型第一节虚拟变量的性质和引入的意义第二节虚拟变量的引入第三节交互作用效应第四节含虚拟变量的回归模型学习要点虚拟变量的性质，虚拟变量的设定5.1 虚拟变量的性质和引入的意义虚拟变量的性质f定性变量性别（男，女）婚姻状况（已婚，未婚）受教育程度（高等教育，其他）收入水平（高收入，中低收入）肤色（白人，有色人种）政治状况（和平时期，战争时期）f引入虚拟变量（Dummy Variables）1、分离异常因素的影响，例如分析我国GDP的时间序列，必须考虑“文革”因素对国民经济的破坏性影响，剔除不可比的“文革”因素。
2、检验不同属性类型对因变量的作用，例如工资模型中的文化程度、季节对销售额的影响。
3、提高模型的精度，相当与将不同属性的样本合并，扩大了样本量，从而提高了估计精度）。
5.1 虚拟变量的性质和引入的意义5.2 虚拟变量的引入虚变量引入的方式主要有两种f加法方式虚拟变量与其它解释变量在模型中是相加关系，称为虚拟变量的加法引入方式。
加法引入方式引起截距变动5.2 虚拟变量的引入f 虚拟变量的作用在于把定性变量“定量化”：通过赋值0和1，0表示变量不具备某种性质，1表示具备。
f 例，0代表男性，1代表女性；0代表未婚，1代表已婚；等等。
f 这类取值为0和1的变量称为虚拟变量（dummy variables ），通常用符号D 表示。
f 事实上，模型可以只包括虚拟变量（ANOVA 模型）：其中，0,1,i i D D ==男性；女性。
12i i iY B B D u =++5.2 虚拟变量的引入虚拟变量的性质f 假定随机扰动项满足男性的期望：5.2 虚拟变量的引入虚拟变量的性质f 食品支出对性别虚拟变量（男=0，女=1）回归的结果：f 结果怎么解释？f 由于男性赋值为0，女性赋值为1，因此，截距项表示取值为0的一类（这里是男性）的均值。
§5.5 含有虚拟变量的回归模型 1．带虚变量的回归预测
前述变量均是用某种意义明确的尺度加以定量的变数。
暂时性影响：经济行为受特定因素的影响，因而促使一期或数期变数与其他各期有明显的差异。
虚拟变量：用来表现暂时性影响的变量，或者说，表明某种“品质”或属性是否存在的的变量。
2．基本概念
（1）水平：当自变量以虚拟变量的形式出现时，虚拟变量的出现形式称为“水平”。
（2）反应：用
()k j i
,δ表示第i 个样本第j 个自变量取第k 个水平的反应：
()k j i ,δ=⎩
⎨
⎧否则个水平时个自变量取第
个样本第当第01k j i
（3）反应表：将各样本的资料排列得到的表格称为反应表。
（4）反应矩阵：把反应表中的反应()k j i
,δ写成矩阵形式，称为反应矩阵。
记为
X=
（
()k j i
,δ）。
3．基本方法
（1）建模原则：
如果一个属性变数有m 个类型，只引入m —1个虚拟变量。
否则，会陷入所谓的虚拟变数陷阱之中，出现完全多重共线性的情况。
在解释采用虚拟变量的模型结果时，要弄清楚水平值是如何确定的。
指定取值为0的类型或组通常用来指明基础类型、控制类型、对比类型或被省略的类型。
附属于虚拟变量D 的系数
α1
称为不同的截距系数，它说明D 取值为1的那种类型的截距项
与基础类型的截距系数的数值差异有多大。
（2）建立数学模型：将虚拟变量视为普通变量，建立回归模型。
（3）对参数作出估计。
（4）进行预测。
（5）一般情况：指模型自变量中同时含有虚拟变量和普通变量。
4．应用实例
研究1958年第四季度到1971年第二季度期间英国的失业率和职务空缺率之间的关系。
原始
作出散点图
解释：1966年第四季度起，失业—职位空缺的关系发生变化，表示两者之间关系的曲线在该季度开始上移。
这种上移的含义是指对于一定的职位空缺率来说，1966年第四季度比以前有更多的失业者。
其原因是1966年10月（即第四季度），当时的英国政府通过以统一收费率和（以前的）有关救济金收入的混合制度，取代短期失业救济的统一收费率制度，从而放宽了国民保险条例，这明显地增加了失业救济金的水平。
如果增加了失业救济金，则失业者可能会以较长的时间去寻找工作，因此对于任何一个给定的职位空缺率来说，就会反映出较高的失业量。
建立模型：
()u V DT V DT UN t
t
t
t
t
t
++++=ββαα2
1
1
UN=失业率，%； V=职位空缺率，%；
DT=1，在1966年四季度开始的时期； DT=0，在1966年四季度以前的时期； T =时间，以季度计。
模型解释：
注意：如果存在着严重的异方差性，则虚拟变量是不适用的。
（指两个分段函数）
()()
()
()
⎪⎩⎪⎨
⎧++++++=农村居民的消费函数城镇居民的消费函数u u X X Y 21
012110βαββαα。
