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高等数学线性代数教材目录第一章行列式1.1 行列式的引入1.2 二阶和三阶行列式的计算1.3 行列式的性质和性质的应用1.4 行列式的性质证明第二章矩阵和向量2.1 矩阵的概念和基本运算2.2 矩阵的转置和逆2.3 向量的线性相关性和线性无关性2.4 向量组的秩和极大线性无关组第三章矩阵的运算3.1 矩阵的加法和减法3.2 矩阵的数乘3.3 矩阵的乘法3.4 矩阵的特殊类型第四章线性方程组4.1 线性方程组的概念和解的分类4.2 齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解 4.3 线性方程组的向量表示第五章向量空间5.1 向量空间的定义和例子5.2 向量子空间和子空间的概念5.3 向量空间的线性组合和生成子空间5.4 基和维数第六章矩阵的特征值和特征向量6.1 特征值和对角化6.2 特征多项式和特征方程6.3 相似矩阵和相似对角矩阵6.4 实对称矩阵的对角化第七章线性变换7.1 线性变换的概念和性质7.2 线性变换的矩阵表示7.3 线性变换的特征值和特征向量7.4 线性变换的相似、迹和行列式第八章内积空间8.1 内积的定义和性质8.2 欧几里得空间和具有内积的实向量空间8.3 向量的正交性和正交子空间8.4 施密特正交化方法第九章广义特征值问题9.1 广义特征值问题的引入9.2 广义特征值的计算9.3 广义特征值与相似变换9.4 对称矩阵的广义特征值问题与对角化第十章特殊矩阵的标准形式10.1 对称矩阵的对角化10.2 正定矩阵和正定二次型10.3 实对称矩阵的正交对角化10.4 复数矩阵的标准型这是《高等数学线性代数》教材的目录, 包含了十个章节，每个章节中有相应的小节来详细介绍相关内容。
这本教材综合了高等数学和线性代数的知识，旨在帮助读者掌握线性代数的基本概念、理论和方法，以及应用于实际问题的能力。
希望读者通过学习这本教材，能够系统地理解和应用线性代数的知识，为今后的学习和研究打下坚实的基础。
线性代数第三章总结概述线性代数是数学的一个重要分支，探究了向量空间和线性变换的性质与运算规律。
本文主要总结线性代数第三章的内容，包括矩阵的基本知识、矩阵运算以及逆矩阵的求解方法等。
矩阵的基本知识矩阵是线性代数中最重要的概念之一，它是由数字构成的一个矩形数组。
矩阵可以表示为一个m行n列的二维矩形，用符号A表示。
在矩阵中，每个数字称为一个元素，用aij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
矩阵的大小由行数m和列数n决定，记作m×n。
矩阵可以进行加法和数乘运算。
对于两个矩阵A和B，只有当它们的行数和列数相同时，才能进行加法运算 A + B。
数乘运算是指将一个矩阵的每个元素乘以一个实数。
矩阵运算矩阵运算是线性代数中的重要内容，常见的矩阵运算包括矩阵的乘法、转置和求逆等。
矩阵乘法矩阵乘法是指对于两个矩阵A和B，当A的列数等于B的行数时，可以进行矩阵乘法运算。
乘法运算的结果是一个新的矩阵C，它的行数等于A的行数，列数等于B的列数。
矩阵乘法的计算规则是将A的第i行与B的第j列对应元素相乘，然后将乘积相加。
矩阵乘法可以用以下公式表示：Cij = ∑(AikBkj)其中∑ 表示对k的求和。
矩阵转置矩阵的转置是指将矩阵的行变为列，列变为行。
对于一个m×n的矩阵A，其转置矩阵记作AT，转置矩阵的行数等于A的列数，列数等于A的行数。
转置矩阵的运算规则是将A的第i行变为AT的第i列，将A的第j列变为AT的第j行。
逆矩阵的求解逆矩阵是指对于一个n×n的矩阵A，存在一个矩阵B，满足A乘以B等于单位矩阵I，同时B乘以A也等于单位矩阵I。
这个矩阵B被称为A的逆矩阵，记作A-1。
逆矩阵的求解需要满足以下条件： - 矩阵A的行数等于列数，即A是一个方阵。
- 矩阵A的行列式不等于0，即|A| ≠ 0。
如果一个矩阵满足上述条件，则可以使用伴随矩阵法求解逆矩阵。
具体的求解步骤如下： 1. 计算A的伴随矩阵C，其中Cij = (-1)i+j × Mij，Mij是A的代数余子式。
及特征向量不仅对矩阵理论的发展起很大作用，值及特征向量不仅对矩阵理论的发展起很大作用，而且在其它数学分支（如微分方程和几何学等）、物理学、力学、动力学等学科中具有广泛的应用.、力学、动力学等学科中具有广泛的应用.特征值的理论内容非常丰富，在此仅介绍基，在此仅介绍基础知识.本章主要介绍方阵的特征值、特征向量的基本概念与计算；方阵的对角化条件；实对；方阵的对角化条件；实对称阵的对角化；对称正（负）定阵的性质及判别..第二节方阵可对角化的条件第三节实对称阵的对角化第四节对称正定阵第六节二次曲面的分类第七节空间曲线及其方程第一节方阵的特征值及特征向量在实际计算中，我们发现：，我们发现：λ⎡⎤1n λ⎡⎤112,P AP λ−⎢⎥=⎢⎥12n n n A P P λ−⎢⎥=⎢⎥λ⎢⎥⎣⎦3λ⎢⎥⎣⎦λ=其中列.即i 注意到此时是可逆阵P 的第i p 是()0i E A x λ−=的非零解.因此，我们先研究矩阵的特征值及特征.因此，我们先研究矩阵的特征值及特征向量的性质.特征方程*⎡*a ⎤⎡⎤122−−⎡⎤331−−−特征值及特征向量的性质例4设三阶方阵相似，求2.A E −与作业P159-1（1）2（1）6，11思考题P159第二节方阵可对角化的条件定义1若方阵1与对角阵相似，即可用相似变换把化为对角阵，则称不可A AA 可对角化，否则称A 对角化.，不是每个方阵都可对角化，例如11⎡⎤01A =⎢⎥⎣⎦，因此我们要讨论方阵可对角化的条件.可对角化的条件可对角化的条件可对角化的条件⎡⎤122−−令231,0,x x ==则11,x =令0111(1,1,0),Tp =T=230,1,x x ==则11,x =2(1,0,1),p 022⎡⎤110−⎡⎤220⎢⎥=−⎢⎥−3E A λ−011⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦令21,x =000⎢⎥⎣⎦则131,1,x x ==−3(1,1,1),Tp =−令123[,,],P p p p =则1diag(1,1,1).P BP −=−−0k⎡10010k B P P −−⎤⎢⎥=−⎢⎥⎥是偶数；是奇数.,E B ⎧=⎨k ⎢⎣⎦,⎩k若方阵可对角化，则在与说明A A 相似的方阵中，最简单的方阵是以A 的特征值为对角元的对相似的对角阵叫做角阵，这个与A 的相似标准型.A ，相似标准型不唯一.思考题P164作业P164-1，2（1），3，6P164P 165-4，5，7，8，9，但实对称阵不仅可以对角化，而且可以通过正交相似变换对角.为了证明这个结论，我们先来讨论实对阵阵化.为了证明这个结论，我们先来讨论实对阵阵的特征值及特征向量的性质.矩阵的共轭运算定理2实对称阵的不同特征值对应的特征向量正交.μ是λ证明设A 是实对称阵，A 对应的特征向量分别为,,p q 的不同特征值，.ApAq q λ==则下证0.Tp q =注意到,p p q μA Tp A =T Tp Aq p qλ=()0,Tp q λ−=T p q μ=μ因为，λ≠所以，0,T =q p ，,μ,p q 即与正交.2⎡30⎤⎡120−−⎤100⎡⎤Gram-Schimidt正交化Gram-Schimidt正交化1⎡⎤01T定理5对于n 1−="A 阶实对称阵存在n 阶正交阵Q12diag(,,,).n Q AQ λλλ实对称阵的每个特征值所对应的线性无关使得可对角化的条件定理5对于n 1−="A 阶实对称阵存在n 阶正交阵Q12diag(,,,).n Q AQ λλλ实对称阵的每个特征值所对应的线性无关特征向量的个数恰好等于其重数.使得.推论7两个同阶的实对称阵相似的充分必要条件7是它们有相同的特征值.1112diag().AQ λλλ−="1diag().BQλλλ−="⇒显然.反之，g(,,,)n Q Q 2212g(,,,)n Q Q 1112111diag(,,,)n A Q Q λλλ−="1221Q Q BQ Q−−=定理8对于n A 阶实对称阵存在可逆矩阵pP 及数使得EO O ⎡⎤⎢⎥=−和,q P AP O E O O O O ⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 的特征值,1,2,,,j j n λ="满足0;0;0.λλλλλλ><="""111,,;,,;,,p p p q p q n ++++使得Q λλλ−="令相合标准形推论10对于任意一个n =p 元单位实向量必存在1.Qe p Q 使得0Tp x =的解空间为.S 在Sdim 1,S n =−正交矩阵中存在标准正交基底2,,,n p p "显然，2,,,n p p "="推论11若p 都正交，且2[,,,]n Q p p p 是正交矩阵,1.Qe p =使得阶实可逆阵，则存在正交阵Q 和对推论11 若n 是R 使得A QR =角元都大于零的上三角阵Q（称为的QR 分解）."证明a,a,,a则思考题P174作业P174-1，3（1)(4)，11P174P 174-4，5，6,7，8，9第四节对称正定阵A n 是阶实对称阵，若A 的特征值全是正数,A 是正定阵；若A 的特征值全是负数，A 是负定阵.则称则称A 是正定阵A ⇔−是负定阵.−⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦的特征值为3,1,因此，A 是正定阵；21B −⎡⎤=；12⎢⎥−⎣⎦是负定阵.。
线性代数：线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。
向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。
线性代数的理论已被泛化为算子理论。
由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。
线性代数第三版：《线性代数第三版》是中国人民大学出版社2004年12月出版的图书，作者是赵树源。
内容提要：一本新颖的《线性代数》,用全新的方法讲解线性代数的基本定理,揭开数学中的黑洞,让你感受富有哲理的论述,轻松学会线性代数方法。
本书以基本定理为纲,建立了一个新的线性相关的理论体系,增加了一些新定理,改进了一些定理的证明;用发现法引入了行列式的概念,给出了克拉默法则的一个标准的表述及其一个新的证明,指出了克拉默法则是一个根本法则及其在理论上的重大意义,论述富有哲理,例如讲了数的哲学及对称美。
图书目录：第一章行列式1.1 二阶、三阶行列式1.2 n阶行列式1.3 行列式的性质1.4 行列式按行（列）展开1.5 克莱姆法则习题一第二章矩阵2.1 矩阵的概念2.2 矩阵的运算2.3 几种特殊的矩阵2.4 分块矩阵2.5 逆矩阵2.6 矩阵的初等变换2.7 矩阵的秩习题二第三章线性方程组3.1 线性方程组的消元解法3.2 n维向量空间3.3 向量间的线性关系3.4 线性方程组解的结构3.5 投入产出数学模型习题三第四章矩阵的特征值4.1 矩阵的特征值与特征向量4.2 相似矩阵4.3 实对称矩阵的特征值和特征向量4.4 矩阵级数的收敛性习题四第五章二次型5.1 二次型与对称矩阵5.2 二次型与对称矩阵的标准形5.3 二次型与对称矩阵的有定性5.4 正定和负定性的一个应用习题五习题答案。
