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四川大学线性代数课件第二章第二节 行列式的性质

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线性代数ppt

线性代数ppt
A 其中A是A的伴随阵.
推论 设A、B 都是n阶方阵，若AB E(或
BA E) , 则B A1.
3. 可逆矩阵的性质
1 若A可逆,则A1也可逆,且 A1 1 A.
2 若A可逆,数 0,则A可逆,且 A1 1 A1.
3 若A, B为同阶可逆矩阵,则AB也可逆,且 1
1 1
4 若A可逆,则AT也可逆 ,且 A A .
线性代数总复习
第一章 行列式
第一节 n阶行列式的定义
二阶行列式的计算方法
a11 a21
a12 a22
a11a22
a12a21.
三阶行列式的计算方法——沙路法
一些常用的行列式结果：
a11 a12 a1n
1.
0 a22 a2n
a11a22
ann
0 0 ann
1
2.
2
12 n
1
n
3.
（其中 为数）;
3 AB C AB AC, B C A BA CA;
方阵的幂运算： （1） Ak Al Akl （2） ( Ak )l Akl
注意：ABk AkBk .
转置运算：
1 AT T A;
2 A BT AT BT ; 3 AT AT ; 4 ABT BT AT .
M
M
M
an1
an2
ann
则D等于下列两个行列式之和：
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
MMM
bi 2 bin ci1
M
M
M
ci 2 cin
M
M
an1 an2 ann
an1 an2 ann
性质1.6 把行列式的某一行（列）的各元素乘以 同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列 式不变． (倍加运算)

行列式及其性质PPT课件

行列式及其性质PPT课件

上三角形行列式
逐次按第一列展开
a11 a12 a13 a14 a22 a23 a24 a33 a34 a44
a11a22a33a44
上三角形行列式的值为 主对角线上的元素之乘积
第14页/共32页
例 计算行列式的值
1 2 30 0 0 10 3 0 01 0 1 0 2
按第一列展开
0 10
2 30
1 0 30 2 0 10 3 0 01 0 1 0 2
0 10
200
1 (1)11 0 0 1 3 (1)13 3 0 1
1 0 2
0 1 2
1 3 2 5
第10页/共32页
下三角形行列式
逐次按第一行展开
a11 0 0 0 a21 a22 0 0 a31 a32 a33 0 a41 a42 a43 a44
a11(a22a33 a23a32 ) a12 (a21a33 a23a31) a13(a21a32 a22a31)
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
a11A11 a12 A12 a13 A13
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
1 4 3
按第二行展开 1 (1)21 18 4 4 3
1(18)(3) (4)4 70
第27页/共32页
解答 1、（2）
原式
r2 2r3 1 0 2 0 1 0 13 0
0 2 5 3
3110
102
按第四列展开
3 (1)34 1 0 13 311
2、将代数式还原成 行列式，得

线性代数-行列式PPT课件

线性代数-行列式PPT课件

矩阵的秩和行列式
矩阵的秩和行列式之间也存在关系。矩阵的 秩等于其行向量或列向量生成的子空间的维 数，而行向量或列向量生成的子空间的维数 又等于该矩阵的阶数与非零特征值的个数之 和减去一，而一个矩阵的非零特征值的个数 又等于该矩阵的行列式的值。
05
特殊行列式介绍
二阶行列式
定义
二阶行列式表示为2x2的矩 阵，其计算公式为a11*a22a12*a21。
对于任何n阶方阵A，其行列式|A|和转置行列式|A^T|相等，即|A^T| = |A|。
行列式的乘法规则
总结词
行列式的乘法规则
详细描述
行列式的乘法规则是两个矩阵的行列式相乘等于它们对应元素相乘后的行列式。即，如果矩阵A和B分别是m×n 和n×p矩阵，那么它们的行列式相乘|AB| = |A||B|。
向量和向量的外积
行列式可以用来描述向量的外积，即两个向量的叉积。叉积 的结果是一个向量，其方向垂直于作为叉积运算输入的两个 向量，大小等于这两个向量的模的乘积与它们之间夹角的正 弦的乘积。
在线性方程组中的应用
解线性方程组
行列式可以用来判断线性方程组是否有 解，以及解的个数。如果一个线性方程 组的系数矩阵的行列式不为零，则该线 性方程组有唯一解；如果系数矩阵的行 列式为零，则该线性方程组可能无解、 有唯一解或有无穷多解。
线性代数-行列式ppt课件
• 引言 • 行列式的计算方法 • 行列式的性质 • 行列式的应用 • 特殊行列式介绍 • 行列式的计算技巧
01
引言
主题简介
01
行列式是线性代数中的基本概念 之一，用于描述矩阵的某些性质 和运算规则。
02
行列式在数学、物理、工程等领 域有广泛的应用，是解决实际问 题的重要工具。

线性代数PPT行列式

线性代数PPT行列式
行列式的计算公式是n阶行列式的展开式， 即用代数余子式表示n阶行列式的公式。
性质
行列式的计算公式具有高度的对称性，可以方便地 计算出n阶行列式的值。
计算方法
根据行列式的展开式，将n阶行列式展开成n 个代数余子式的乘积之和。
特殊行列式的计算
01
对角线型行列式
如果一个n阶行列式的主对角线上的元素都是1，其他元素都是0，则该
该行列式称为下三角型行列式。下三角型行列式的值等于副对角线上元
素的乘积的相反数。
03
行列式在几何中的应用
行列式与向量叉积的关系
01
行列式可以表示为三个向量的叉积的线性组合，即行列式值 等于三个向量叉积的代数和。
02
当行列式值为零时，三个向量共面，即它们之间存在线性关 系。
03
行列式可以用来判断向量的叉积是否为零，从而判断三个向 量是否共面。
消元法
将方程组中的系数行列式化为0， 然后利用代数余子式求出方程组 的解。
递推法
利用递推关系式求解方程组，通 过将系数行列式展开，得到一系 列递推关系式，从而求解方程组。
克拉默法则
克拉默法则是一种利用行列 式解线性方程组的方法，其 基本思想是将方程组的解表
示为系数行列式的比值。
1
克拉默法则的前提是系数行列 式不为0，否则方程组无解。
程组无解或有无穷多解。
行列式可以用来判断方程组的解 的情况，也可以用来求解方程组 的解。
03
行列式的性质和计算方法在方程 组的求解过程中具有重要的作用
。
04
05
行列式的应用实例
利用行列式求平面上的点
确定点的位置
通过给定的行列式，我们可以确定平面上的一个点。例如，给 定一个行列式$D$和两个向量$vec{a}$和$vec{b}$，我们可以 使用行列式来找到满足$vec{a} cdot vec{x} = D$和$vec{b} cdot vec{x} = 0$的点$vec{x}$。

线性代数行列式课件

线性代数行列式课件

行列式与空间向量的关系
总结词
行列式可以用来表示空间向量的方向和大小。
详细描述
在三维空间中，行列式可以用来表示向量的 方向和大小。通过行列式，我们可以计算出 向量的模长以及向量的方向余弦值，从而确 定向量的方向和大小。此外，行列式还可以 用来表示向量的外积和混合积，进一步揭示 了行列式与空间向量的关系。
END
THANKS
感谢观看
KEEP VIEW
PART 05
行列式的应用实例
在线性方程组中的应用
总结词
行列式在解决线性方程组问题中起到关键作 用，通过克拉默法则，我们可以利用行列式 值来求解线性方程组的解。
详细描述
在解决线性方程组问题时，克拉默法则是一 个重要的工具。该法则指出，如果一个线性 方程组中的系数行列式不为零，则该方程组 有唯一解。通过计算系数行列式和将系数行 列式设置为零，我们可以找到使方程组无解
ONE
KEEP VIEW
线性代数行列式课件
目 录
• 行列式的定义与性质 • 行列式的展开定理 • 行列式的计算技巧 • 行列式在几何中的应用 • 行列式的应用实例
PART 01
行列式的定义与性质
行列式的定 义
总结词
行列式是n阶方阵所有可能的二阶子 方阵的行列式之积。
详细描述
行列式是由n阶方阵的元素构成的，按 照一定的排列顺序形成的n阶方阵，其 值是一个标量，表示n阶方阵的线性变 换对单位体积的改变量。
行列式的性 质
总结词
行列式的性质包括转置、交换、代数余子式等。
详细描述
行列式的一个重要的性质是转置，即把行列式的行变为列，得到的新的行列式的值与原行列式的值互为转置。交 换行列式的两行，行列式的值变号。代数余子式是去掉一个子行列式后剩下的元素构成的行列式，其值等于原行 列式值的负一倍。

课件：2.2 行列式的性质

课件：2.2 行列式的性质

1 111 1 1 0 5 (1) A11 A12 A13 A14 1 3 1 3 2 4 1 3
4 .
1 5 2 1 0 1 0 5 (2) A11 A31 A41 1 3 1 3 1 4 1 3
125 .
(3) M21 M22 M23 M24 A21 A22 A23 A24 3 5 2 1 1 1 1 1 1 3 1 3 2 4 1 3
123 456
000
性质5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以
同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行
列式不变．
例如
a11 a1i a1 j a1n
a21 a2i k a2 j a2 j
an1 ani anj anj a11 (a1i ka1j ) a1j a1n
ci
10 .
性质6 行列式第 i 行的元素与第 j(j i) 行的对应元 素的代数余子式乘积之和等于零，即
a A i1 j1 a A i 2 j2 a A in jn 0, i j .
(2.10)
行列式第 i 列的元素与第 j(j i) 列的对应元素的代 数余子式乘积之和等于零，即
证 用数学归纳法
1 D2 x1
1
x2
x2 x1
( xi x j ),
2i j1
当 n 2 时（1）式成立．
假设（1）对于 n 1 阶范德蒙德行列式成立，
Dn
1
1
1
1
0
x2 x1
0 x2 ( x2 x1 )
x3 x1
xn x1
x3 ( x3 x1 ) xn ( xn x1 )
a2 1 an 1 0 0 1
n
1 ai a1 a2 an

二章行列式ppt课件


m 1 次相邻对换 a1al bb b1bm aa c1cn
a1alab1bmbc1cn ,
2m 1次相邻对换 a1 albb1 bmac1 cn ,
所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性.
推论1 推论2
偶数次对换不改变排列的奇偶性；奇数次 对换改变排列的奇偶性。
任意一个n 级排列都可以经过一系列对换 变成自然排列，并且所作对换的次数与该 排列有相同的奇偶性.
a31 b3 a33
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33
a11 a12 b1 D3 a21 a22 b2 .
a31 a32 b3
说明： (1)项数：2阶行列式含2项， 3阶行列式含6项, 这恰好就是2!,3!. (2)每项构成: 2阶和3阶行列式的每项分别是位于 不同行不同列的2个和3个元素的乘积. (3)各项符号: 2阶行列式含2项,其中1正1负, 3阶 行列式6项,3正3负.
n( n1)
1 2 a1na2,n1
上面的行列式中，未写出的元素都是0。
an1,2an1
证: 行列式的值为
1 a a 1 j1 2 j2 anjn
j1 jn
若乘积非零，j1j2…jn只能是排列n(n－1)…2 1，
它的逆序数为 (n 1) (n 2) 2 1 n 1 n
2
当a 时b ， 经对换后 a的逆序数增加1 , b的逆序数不变; 当a 时b ， 经对换后 a的逆序数不变， 的b 逆序数减少1.
因此，一次相邻对换，排列改变奇偶性.
设排列为 a1 alab1 bmbc1 cn 现来对换 a与 b.
a1al a b1bm bb c1cn
m 次相邻对换

四川大学线性代数课件第二章第二节 行列式的性质


例
1 2 2 2 3 1
第一列第一行
c
1 3 2 1 c1 c2 1 + 3 3 1 2
2
c
1
r
1
1 r r 2 1 3 1 2 3 1
2 2 1
3 1 1
第三行r3
由－变＋ 由＋变－
证明： a
11
a 12 as2 at2 an2

a1n a sn a tn a nn D1
=
rik
a11
a12 a 22 an 2

a1n a2 n a nn
k a 21
a n1
推论1 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以 提到行列式符号的外面.
第i行(或列)提出公因子k, 记作rik(或cik)
例 2 5 3 4 10 1
÷ ÷ 2 2 ÷ ÷ 5 6 r 2 5
( 1)
j1 j 2 j n
( j1 j 2 j n )
a j 1a j 2 a j
1 2
nn
D
说明：行列式中行与列地位相同，对行成立的性质 对列也成立，反之亦然。
性质2 互换行列式的两行(列), 行列式变号
以ri表示行列式的第i行, 以ci表示行列式的第i列, 交换i,j两行记作rirj, 交换i,j两列记作ci cj. 第二列
a s1
设
D
a t1 a n1
交换s、t 两行，得
a 11 a t1 a s1 a n1 a 12 at2 a s2 an2 a1n a tn a sn a nn
s行 t行

线性代数 第二章 第二节 行列式的主要性质


D = ∑ ( 1) a p11a p2 2 a pn n .
τ
12:29
故
D = D′. 证毕
行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 说明 行列式中行与列具有同等的地位 因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 性质2 互换行列式的两行( ),行列式变号 行列式变号, 性质2 互换行列式的两行(列),行列式变号,即
12:29
13
3 课本例题p14 课本例题 例题1 例题 计算行列式 = 5 2
1 1 0
1 4 1 2
1 2 3 4 1 1 3
2 6 1 7 2 1 r2 r3
解:
1 c1 c2 1 0 5 1 3 r3 + 4r2 0 2 3 5 2 1 1 1 1 3 1 3 2 1 1 r4 + 5r1 0 3 2 1
推论1 把行列式的某一行( 推论1 把行列式的某一行(列)的所有元素同乘 以数k 等于用数k乘以这个行列式. 以数k,等于用数k乘以这个行列式.
12:29 8
性质 4 如果行 列式某 行 ( 列 ) 的所有 元素都 是两数 之 则该行列式为两行列式之和, 和,则该行列式为两行列式之和,即
a11 ai1 + bi1 a n1 a12 ai 2 + bi 2 an2 a1n ain + bin = a nn
p1 p2 p n
D=
(1)τ a p11a p2 2 a pn n ∑
p1 p2 p n
又因为行列式D可表示为 又因为行列式 可表示为
b11 b12 b1n 1n b21 b22 b2 n D′ = , bn1 bn 2 bnn
表述之二: 表述之二 行列式与它的转置行列式相等; 行列式与它的转置行列式相等 表述之三: 表述之三 3 行列互换,其值不变 行列互换 其值不变

线性代数行列式的性质与计算课件


=1(-1)1+1 1 3 +0(-1)1+2 1 3 +(-2) (-1)1+3 1 1
31
-2 1
-2 3
=1(-8)+0+(-2)5 =-18.
例1．分别按第一行与第二列展开行列式
1 0 -2 D= 1 1 3
-2 3 1
解：按第一行展开
Da11A11 +a12A12 +a1nA1n =1(-8)+0+(-2)5 =-18.
an1 an2 … ann
推论1 如果行列式的某一行(列)的元素为零，则D＝0. 推论2 如果D中有两行(列)成比例，则D=0.
行列式的性质
性质4 若行列式中的某一行(列)的元素都是两数之和，
则此行列式可以写成两个行列式之和.即
a11 a12 … a1n
a11 a12 … a1n a11 a12 … a1n
row (行)
要点：利用性质将其化为上三角行列式，再进co行lum计n（算列。）
为表述方便，引入下列记号(行用r，列用c)：
1)交换行列式的第 i 行与第 j 行，用 ri rj表示 ； 2)以数k乘以行列式的第i行，用kri表示； 3)以数k乘以行列式的第i行加到第j行，用rj+kri表示.
为了不引起混淆, 每步最好只进行一个 操作. 例如:
D
1 2 4 2
02 3 3
2 1 3 1
0 1 1 11
1 0 1 5
1 0 1 5
1 0 1 5
r3 2r2
0 r4 r2 0
1 0
3 3
8
0 r3 r4
19
0
1 0
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2 2 1
3 1 1
第三行r3
由－变＋ 由＋变－
证明： a
11
a 12 as2 at2 an2

a1n a sn a tn a nn D1
a s1
设
D
a t1 a n1
交换s、t 两行，得
a 11 a t1 a s1 a n1 a 12 at2 a s2 an2 a1n a tn a sn a nn
a3 0 b 0
a3 a3 a3 b a3


an 0 0 b
an an an an b
r2 r1 r3 r1 rn r1
b 0 0
c1 c 2 c n
(a1 a 2 a n ) b 0 0 0



( 1)
( j1 j 2 j n )
b1 j b 2 j b nj
1 2
n
j1 j 2 j n
( 1)
j1 j 2 j n
( j1 j 2 j n )
a j 1a j 2 a j
1 2
nn
D
说明：行列式中行与列地位相同，对行成立的性质 对列也成立，反之亦然。
b a b b b
b b a b
b
b b b a
ab
0
ab
a ( n 1 ) b ( a b )
n1
.
0
例3： 1
1 D 1 1
1 2 0 0
1 0 3 0

1
1 0 0 n
a 11
目标：把第一列化为 成三角形行列式
a2 b 0 0
a3 0 b 0

an 0 0 b
[( a 1 a 2 a n ) b ]( b )
n1
例5
计算
a x1 Dn a a a a x2 a a a a xn .
解
依第 n 列把 D n 拆成两个行列式之和
r3 3 r1
r4 4 r1
0 0 0 0
r 2 r4
0 0 0 0

1
1 2 0 0 0
2 1 1 1 2
3 5 1 0 2
1 3 2 2 2
r3 r2
0 0 0 0

1
r4 r 3
1 2 0 0 0
2 1 1 0 2
3 5 1 1 2
1 3 2 2 0 2
s行 t行
由行列式定义可知，D中任一项可以写成
( 1)
因为
( j1 j s j t j n )
a 1 j a sj a tj a nj
1 s t
n
（1）
a 1 j a sj a tj a nj a 1 j a tj a sj a nj （2）
1，3两列元 素成比例， 比例系数是3
=0
性质5 若行列式的某一列(行)的元素都是两 数之和, 如第i列的元素都是两数之和:
a11 D a21 an1
a1i a2 i ani
a1i a1i a2 i a2 i ani ani


r2 5
1
5 210 5 1 4
÷ 2 ÷ 1 5
3
2 2 1
3 1 4
推论2： 行列式中有 一行（列）全为0，则行列式的值为0
推论3： det(kA)=kndetA
性质4 行列式中如果有两行(列)元素成 比例, 则此行列式为零.
例
1 2 4 3 2 1 1 2 3 6 12 9 2 0 3 1
证明：
det A
a 11 a 21 a n1
a 12 a 22 an2

a1n a 2n a nn
b11 设 det A
T
b12 b 22 bn 2

b1 n b2n b nn

b 21 b n1
则 b ij a ji 由行列式定义
D
T
( i , j 1,2 , , n )
1
4

r5 4 r4
0 0 0 0
a b
b a b b
b b b a
b b a b

b b b a
例2 计算n 阶行列式
D b b
解 将第 2 , 3 , , n 都加到第一列得
a a
n 1 b n 1 b
性质1 行列式与它的转置行列式相等
a11 det A a 21 a n1 21 a 22 a2n

a1n a2n a nn a n1 an 2 a nn
T
的转置行列式记作

a12 a1n
则 det A det A
-1+0 1+2 0+1 1+2
2 4 1 3 3 5 2 1 1 1 0 5 0 2 1 2 2 4 1 3
3 5
1 1 0 5
1 1 0 1
=
2 1
性质6 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一 数然后加到另一列(行)对应的元素上去, 行列式 的值不变(记作ci+kcj或ri+krj)
0 0

0 0 0
n
1 i
1 2 0 0
1 0 3 0

1 0 0 n ! (1 n
c1
1 2
c2
1 3
c3
1 n
i2
cn

n
1 i
)
i2
例4：
D
a1 b a1 a1 a1
a1 b b b b a2
a2 a2 b a2 a2
a11 a21 an1
a1n a2 n ann
a1i a2 i ani a1n a2 n ann
,
则D等于下列两个行列式之和:
a11 D a21 an1 a1n a2 n ann
例
3 5 2 1 1 1 0 5 1 3 1 3 2 4 1 3
a x1 a D
n
a a x2 a a a a x2 a a

a a a x n1 a a a a x n1 a
a a a a 0 0 . 0 xn

a a a x1 a

a s 2 ka at2 an2


t2
tn
a 11 a s1 a t1 a n1
a 12 as2 at2 an2
a1n a sn a tn a nn
a 11 ka t 1 a t1 a n1
性质2 互换行列式的两行(列), 行列式变号
以ri表示行列式的第i行, 以ci表示行列式的第i列, 交换i,j两行记作rirj, 交换i,j两列记作ci cj. 第二列
例
1 2 2 2 3 1
第一列第一行
c
1 3 2 1 c1 c2 1 + 3 3 1 2
2
c
1
r
1
1 r r 2 1 3 1 2 3 1
a 12 ka at2 an2

D 0 D
计算行列式的技巧和方法:
1. 首先尽量寻找行与列的公因子, 将其提到 行列式外面. 2. 如果发现行列式有两行或者两列成比例, 则行列式的值为0. 3. 然后利用性质6总能将行列式变换成上三 角或者下三角行列式, 再计算其对角线上 的乘积.

0 0 0 0
1
r5 2 r 3
1 2 0 0 0
1 2 0 0 0
2 1 1 0 0
2 1 1 0 0
3 5 1 1 4
3 5 1 1 0
1 3 2 0 6
1 3 2 2 1 6 12 . 0 6
0 0 0 0
证明： 把相同的两行互换，有D＝－D，所以 D＝0
性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都 乘以同一数k, 等于用数k乘此行列式.
第i行(或列)乘以k, 记作rik (或cik).
a11 a12 a1n a 21k a 22k k a 2 n a n1 an 2 a nn
应用举例
例1
D 1 3 2 3 4 1 3 0 5 4 2 7 4 7 10 3 9 2 14 10 1 5 1 6 2
1 3
1 3 0 5 4
2 7 4 7 10
3 9 2 14 10
1 5 1 6 2
3

解
D
2 3 4
1 0 r2 3 r1 2 3 4
a 12 as2 at2 an2

a1n a sn a tn a nn
作 rs kr t
a 11
a 12
t1

t2
a1n a sn ka a tn a nn
a1n ka a tn a nn
tn
得
D1
a s 1 ka a t1 a n1

b a b b
b b a b