2013贵阳二模贵州省贵阳市2013届高三适应性监测考试二理科数学试题答案
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贵州省贵阳市2013年高三适应性监测考试（二）贵阳市2013年高三适应性监测考试（二）理科数学参考答案与评分建议2013年5月一、选择题二、填空题（13）15 （14）21 （15）0 （16 三、解答题（17）解：（I ）设公差为d ，则有1221672170a d a a a +=⎧⎨=⎩，即12111310()(5)a d a d a a d +=⎧⎨+=+⎩ …………………………………2分 解得113a d =⎧⎨=⎩ 或110a d =⎧⎨=⎩（舍去）， ………………………………………4分 所以32n a n =-．……………………………………………………………6分（II ）23[1(32)]22n n n nS n -=+-= ………………………………8分所以23484831123n n n b n n n -+==+-=≥ ………………10分当且仅当483n n=，即4n =时取等号， 故数列{}n b 的最小项是第4项，该项的值为23 ………………………12分（18）方法一：（Ⅰ）证明：取AD 的中点M ，连结MH ，MG ． ∵,G H 分别是,AE BC 的中点， ∴//,//MH AB GF AB ，∴M ∈平面FGH ，………………………3分 又//MG DE ，且DE ⊄平面FGH ，M G ⊂平面FGH ， ∴//DE 平面FGH ．………………………6分方法二：（Ⅰ）证明：∵,F H 分别是,BE BC 的中点 ∴在平面BCE 中，FH ∥CE 又∵FH ⊄平面,CDE CE ⊂平面CDE ∴FH ∥平面CDE又∵,G F 分别是,AE BE 中点，且ABCD 为矩形 ∴FG ∥AB ∥CD又∵,GF FH F CD CE E ==∴平面FGH ∥平面CDE ，DE ⊂平面CDE ∴DE ∥平面FGH ………………………6分（Ⅱ）解：如图，在平面ABE 内，过A 作AB 的垂线，记为AK ，则AK ⊥平面ABCD . 以A 为原点，AK 、AB 、AD 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立建立空间直角坐标系A xyz -. ………………………………………………7分(0,0,0),(0,4,0),(0,0,2),2,0),1,0),A B D E G F ∴--(0,2,0),GF =(0,4,2),BD =-,5,0)BG =-． ………………………8分因为(0,2,0)GP GF λλ==，则5,0)BP BG GP λ=+=-.设平面PBD 的法向量为1(,,)x y z =n ，则1100BP BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n∴(25)0,420.y y z λ+-=-+=⎪⎩取y =，得z =52x λ=-，∴1(52λ=-n ．………………………………………………………10分又平面ABP 的法向量为2(0,0,1)=n ，……………………………………………11分∴121212cos ,⋅===⋅n n n n n n ， 解得1λ=或4. ………………………12分（19）解:（Ⅰ）从123、、、三个数字中有重复取2个数字，其基本事件有(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)共9个， ………………………3分设“甲在第二环节中奖”为事件A ，则事件A 包含的基本事件有(3,1),(3,3)，共2个，∴2()9P A =. ………………………………………………6分 （Ⅱ）设乙参加此次抽奖活动获得奖金为X 元，则X 的可能取值为010*******，，. ………………………………………7分999(0)1000P X ==，177(1000)100099000P X ==⋅=，122(10000)100099000P X ==⋅=． ∴X 的分布列为………………………11分∴9997201000100003100090009000EX =⨯+⨯+⨯=． ………………………12分（20）解：(Ⅰ)因为 c e a ==，223a b ∴=，∴椭圆C 的方程为222213x y b b +=.又∵椭圆C 过点(1,1)M ，代入方程解得2244, 3a b ==， ∴椭圆C 的方程为223144x y +=. ………………………6分(Ⅱ)①当圆O 的切线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+， 则圆心O 到直线l 的距离1d ==，22 1k m ∴+=. …………………7分将直线l 的方程和椭圆C 的方程联立，得到关于x 的方程为222(13)6340k x kmx m +++-=.………………………8分设直线l 与椭圆C 相交于1122(,), (,)A x y B x y 两点，则12221226133413km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， …………………………9分 2212121212 (1)()OA OB x x y y k x x km x x m ∴=+=++++22222346(1)()1313m km k km m k k-=+⋅+⋅-+++ 222444013m k k --==+，…………………………………………………11分②当圆的切线l 的斜率不存在时，验证得0OA OB =.综合上述可得，OA OB为定值0. …………………………………………… 12分（21）解：（Ⅰ）1()ln ()f x b x bx c x'=++⋅………………………………1分 1()0f e '=，∴ 1ln ()0bb c e e e++⋅=，即0b b e c -++⋅=，∴0c = ……2分 ∴ ()ln f x b x b '=+ ，又(1)1f '=，∴ ln11b b +=，∴ 1b =综上可知1,0b c == ……………………………………4分 ()ln f x x x =，定义域为x ＞0，()ln 1f x x '=+由()f x '＜0 得 0＜x ＜1e，∴()f x 的单调减区间为1(0,)e ……………6分 （Ⅱ）欲证 325()3()2()5p qf f p f q ++≤成立 需证 32325ln 3ln 2ln 55p q p qp p q q ++⋅⋅+≤成立 即证 3253ln 2ln 532p q qp q p p q++≤ ………………………7分 令qt p= ，∵p ＞0，q ＞0 ，∴ t ＞0，即证3225ln ln 5332t t t t +⋅+≤……8分 令3225()ln ln 5332t t t h t t +=-⋅+ 则3222()ln ln(5)ln(32)533t th t t t t +=-++ ∴52225222()ln(5)ln(32)3253353332t t h t t t t t t '=⋅--⋅+++⋅++232ln 35t t+= …………9分① 当32t +＞5t ，即0＜t ＜1时，32ln 5tt+＞0，即()h t '＞0()h t 在（0，1）上递增，∴()h t ＜(1)h ＝0， …………………10分② 当32t +＜5t ，即t ＞1时，32ln5t t+＜0，即()h t '＜0 ()h t 在（1，＋∞）上递减，∴()h t ＜(1)h ＝0， ……………11分③ 当32t +＝5t ，即t ＝1时，()h t ＝(1)h ＝0综合①②③知()0h t ≤即3225ln ln 5332t t t t+⋅+≤ 即325()3()2()5p q f f p f q ++≤ ……………………12分（22）证明：（Ⅰ）如图，连接,,,OC OA OB CA CB OC AB ==∴⊥QOC Q 是圆的半径， AB ∴是圆的切线． ………………………3分 （Ⅱ）ED 是直径，90,90ECD E EDC ∴∠=︒∴∠+∠=︒又90,,,BCD OCD OCD ODC BCD E CBD EBC ∠+∠=︒∠=∠∴∠=∠∠=∠又， BCD ∆∴∽BEC ∆，BE BD BC BCBD BE BC ⋅=⇒=∴2， ………………………5分 21tan ==∠EC CD CED ， BCD BEC ∆∆:，12BD CD BC EC == ……………………………………………7分 设,2,BD x BC x ==则22(2)(6)2BC BD BE x x x BD =⋅∴=+∴=Q …………9分 532=+=+==∴OD BD OB OA ．……………………………………………10分(23)解：（Ⅰ）圆O ：cos sin ρθθ=+，即2cos sin ρρθρθ=+圆O 的直角坐标方程为：22x y x y +=+，即220x y x y +--= ………3分直线:sin()4l πρθ-=，即sin cos 1ρθρθ-= 则直线l 的直角坐标方程为：1y x -=，即10x y -+= …………5分（Ⅱ）由22010x y x y x y ⎧+--=⎨-+=⎩得01x y =⎧⎨=⎩ …………8分 故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为(1,)2π …………10分（24）解：（Ⅰ）3,2,()|2||5|27,25,3, 5.x f x x x x x x -⎧⎪=---=-<<⎨⎪⎩≤≥当25,327 3.x x <<-<-<时所以3() 3.f x -≤≤ ………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当22,()815x f x x x -+≤时≥的解集为空集；当225,()815{|55}x f x x x x x <<-+<时≥的解集为； 当25,()815{|56}x f x x x x x -+≥时≥的解集为≤≤.综上，不等式2()815{|56}.f x x x x x -+≥的解集为≤ …………10分。
