江苏省宿迁市高中数学 第28课时 二元一次不等式组与简单的线性规划问题(1)导学案(无答案)苏教版必修5

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高二数学 考点28 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题一、选择题1.（2012·安徽高考文科·Ｔ8）若x ，y 满足约束条件则y x z -=的最小值是（ ）（A ）-3 （B ）0 （C ）32 （D ）3【解题指南】先作出可行域，根据x y -的几何意义求出最小值.【解析】选A .约束条件对应ABC ∆及其内部区域（含边界），其中3(0,3),(0,),(1,1)2A B C ，则z[3,0]t x y =-∈-，其中(0,3)A 为最小值点. 2.（2012·广东高考文科·Ｔ5）已知变量x ，y 满足约束条件11.10 x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩ 则z=x+2y 的最小值为（ ） （A ）3 （B ）1 （C ）-5 （D ）-6【解题指南】解本小题的关键是正确作出可行域，按照“直线定界，特殊点定域”的原则进行，在找最优解时，要判断准z 的值与直线z=x+2y 在y 轴的截距是正相关，还是负相关.本题是正相关.【解析】选C. 作出如图所示的可行域,当直线z=x+2y经过点B(-1,-2)时,z取得最小值,最小值为-5.3.（2012·广东高考理科·Ｔ5）已知变量x，y满足约束条件211yx yx y≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则z=3x+y的最大值为（）（A）12 （B）11 （C）3 （D）1-【解题指南】解本小题的关键是正确作出可行域，按照“直线定界，特殊点定域”的原则进行，在找最优解时，要判断准z的值与直线z=3x+y在y轴的截距是正相关，还是负相关.【解析】选B.作出如图所示的可行域，当直线z=3x+y经过点B（3，2）时，z 取得最大值，最大值为11.4.（2012·福建高考文科·Ｔ10）若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则实数m 的最大值为（ ）(A)1- (B)1 (C)32 (D)2【解题指南】本题考查线性规划问题，检验学生的数形结合能力和转化能力.【解析】选B.如图，当2y x =经过且只经过30x y +-=和x m =的交点时，m 取到最大值，此时，即(,2)m m 在直线30x y +-=上，则1m =．5.（2012·辽宁高考文科·Ｔ9）与（2012·辽宁高考理科·Ｔ8）相同设变量x ，y 满足10,020,015,x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩…剟剟则2x+3y 的最大值为（ ）(A) 20 (B) 35 (C) 45 (D) 55【解题指南】作出线性约束条件表示的可行域，找到最优解.【解析】选D. 如图，线性约束条件表示的可行域（图中阴影部分），最优解为点（5,15），则max 2531555z =⨯+⨯=.6.（2012·福建高考理科·Ｔ9）若函数2x y =图象上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则实数m 的最大值为（ ） (A)12 (B)1 (C)32 (D)2【解题指南】结合不等式先画可行域，描出动直线x m =，其他直线和函数都是确定的，当x=m 向右移动到y=2x 的最终可接触点时，即为所求.【解析】选B ．如图，当2x y =经过且只经过30x y +-=和x m =的交点时，即三条线有唯一公共点，m 取到最大值，此时，即(,2)m m 在直线30x y +-=上，由选项知，1m =是解． 7. （2012·新课标全国高考文科·Ｔ5）已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z=－x+y 的取值范围是（ ）（A ）(1－3，2) （B ）(0，2) （C ）(3－1，2) （D ）(0，1+3)【解题指南】先求得点C 的坐标，然后画出可行域，通过平移目标函数，求得z 的取值范围.【解析】选A.由顶点C 在第一象限且与A ，B 构成正三角形可求得点C坐标为()12，将目标函数化为斜截式为y x z =+，结合图形可知当y x z =+过点C 时z取到最小值，此时min 1z =y x z =+过点B 时z 取到最大值，此时max 2z =，综合可知z的取值范围为()12.8.（2012·天津高考文科·Ｔ2）设变量x ，y 满足约束条件2+20,240,10,x y x y x -≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩则目标函数32z x y =-的最小值为（ ）(A)-5 (B)-4 (C)-2 (D)3【解题指南】作出可行域可知，所求目标函数的图象经过直线2+2=0x y -与直线-2+4=0x y 的交点A （0,2）时取得最小值-4.【解析】选B.作出可行域，设直线2+2=0x y -与直线-2+4=0x y 的交点为C ，解得C （0,2），故目标函数的图象经过点C 时取得最小值-4.9.（2012·山东高考文科·Ｔ6）与（2012·山东高考理科·Ｔ5）相同设变量,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数3z x y =-的取值范围是（A ）3[,6]2- （B ）3[,1]2-- （C ）[1,6]- （D ）3[6,]2-【解题指南】本题可先根据题意画出可行域，将目标函数化为斜截式，平移目标函数得取值范围.【解析】选A. 画出约束条件222441x yx yx y+≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩表示的可行域如图所示,由目标函数3z x y=-得直线zxy-=3，当直线平移至点B(2,0)时, 目标函数3z x y=-取得最大值为6, 当直线平移至点)3,21(A时, 目标函数3z x y=-取得最小值为23-.所以目标函数3z x y=-的取值范围是3[,6]2-.10.（2012·江西高考理科·Ｔ8）某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入-总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（）(A)50，0 (B)30,20 (C)20,30 (D)0,50【解题指南】由题意列出约束条件，写出关于总利润的目标函数，画出可行域，结合图形，将目标函数平移求得总利润最大时，黄瓜和韭菜的亩数.【解析】选B .设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x 亩，y 亩，总利润为z 万元，则z 关于,x y 的关系式为40.55 1.260.30.9z x x y y =⨯-+⨯-0.9x y =+，且,x y 满足约束条件为画可行域如图，设110:9l y x =-，将1l 上下平移可知，当直线0.9z x y =+过点()30,20A 时，z 取最大值， 因此，当总利润z 最大时，30x =，20y =.二、填空题11. （2012·新课标全国高考理科·T14）设x,y 满足约束条件1300x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩则z=x-2y的取值范围为 .【解题指南】由约束条件画出可行域，然后将目标函数化为斜截式后平移求得z 的取值范围.【解析】作出不等式组的可行域，如图阴影部分，作直线20x y -=，并向左上，右下平移，过点A 时，2z x y =-取得最大值，过点B 时，2z x y =-取最小值.由1030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得()1,2B ，由030y x y =⎧⎨+-=⎩，得()3,0A .max 3203z ∴=-⨯=,min 1223z =-⨯=-.[]3,3z ∴∈-【答案】[]3,3-12. （2012·安徽高考理科·Ｔ11）若,x y 满足约束条件：02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩；则x y -的取值范围是 . 【解题指南】先作出可行域，根据x y -的几何意义求出最大值和最小值即得到取值范围.【解析】约束条件对应ABC ∆边界及内部区域：3(0,3),(0,),(1,1)2A B C 则[3,0]t x y =-∈-，其中A(0,3), C(1,1)为最值点.【答案】[3,0]-13.（2012·湖北高考文科·Ｔ14）若变量x ，y 满足约束条件则目标函数z=2x+3y 的最小值是________. 【解题指南】本题考查线性规划,解答本题的关键是正确地画出可行域,找到最小值点,再代入求解即可.【解析】先作出可行域,如图:当线性目标函数经过点A(1,0)时,目标函数z=2x+3y 有最小值2.【答案】214.（2012·江苏高考·Ｔ14）已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则ba 的取值范围是 . 【解题指南】考查不等式的性质、导数的应用以及转化和化归的思想.关键是对不等式的变形和构造函数()ln =-h x x x ，利用导数求最值.【解析】534-≤≤-c a b c a 变形为5341⋅-≤≤⋅-c b c a a a ，设1,()ln ()2==-≥a x h x x x x c ，利用导数可以证明()h x 在[1(,1)2上单调递减，在[(1,)+∞上单调递增，所以()(1)1≥=h x h ，故ln 1≥∴≥b b e a a ，ln 1≥∴≥b b e a a ②，由①②可得7≤≤b e a .【答案】[,7]e15.（2012·浙江高考文科·Ｔ14）设z=x+2y ，其中实数x ，y 满足则z 的取值范围是_________.【解题指南】利用线性规划的方法求出其最大值和最小值.【解析】由1020x y x y -+=⎧⎨+-=⎩解得13(,)22.作直线:20l x y +=，平移l 至原点时取得最小值０； 平移l 至点13(,)22时取得最大值72．【答案】70,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.（2012·陕西高考理科·Ｔ14）设函数ln ,0()21,0x x f x x x >⎧=⎨--≤⎩，D 是由x 轴和曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则2z x y =-在D 上的最大值为 .【解题指南】先确定封闭区域D 的大致范围和关键点，其中求出切线方程是关键，然后确定z 的含义，最后再把点的坐标代入求最大值.【解析】当0x >时，()ln f x x =，所以1()f x x '=，所以曲线在点（1,0）处的切线的斜率1k =，该曲线在点(1,0)处的切线方程是1y x =-，所以区域D 是一个三角形，当直线2x y z -=过点（0，1-）时,z 的值最大为2.【答案】2关闭Word文档返回原板块。

举一反三
x-y+5≥0 1. 若不等式组 y≥a， 值 0≤x≤2. 范围
表示的平面区域是一个三角形,则a的取 .
第六页，编辑于星期五：四点 三十五分。
解析: 如图,当直线y=a位于直线y=5和y=7之间(不含y=7)时满足条件.
答案： [5,7)
题型二 求平面区域的面积 【例2】如果由约束条件
y≥0， y≤x， 所确定的平面区域的面积为S=f(t), y≤2-x 试求f(t)(0<t<1)的表达式. t≤x≤t+1
故z的最小值是|MN|2=92.
(3)z=2·
y ( 1 )
表2 示可行域内任一点〔x,y〕与定点Q(-1,
)连线 的1 斜
x (1)
2
率的两倍，因为kQA= ,kQB=7 ,
3
4
8
所以z的取值范围为[ ,3 ]. 7
42
学后反思 线性规划求最值问题,要充分理解目标函数的几何意
义.诸如直线的截距,两点间的距离〔或平方〕,点到直线的距离,过直线两点的
第五页，编辑于星期五：四点 三十五分。
学后反思 〔1〕画不等式Ax+By+C＞0的平面区域时，其边界直线应 为虚线;画不等式Ax+By+C≥0的平面区域时，其边界直线应为实线. 〔2〕画二元一次不等式表示的平面区域，常用的方法是：直线定“界 〞，原点定“域〞，即先画出对应的直线，再将原点坐标代入直线方 程中，看其值比0大还是比0小；不等式组表示的平面区域是各个不等 式所表示的平面点集的交集，是它们平面区域的公共局部.
解 作出可行域如图,并求出顶点的坐标A(1,3)、B(3,1)、 C〔7，9〕.
第十一页，编辑于星期五：四点 三十五分。

高中数学
第三章 不等式
二元一次不等式（组） 与简单的线性规划问题
学习目标
LEARNING OBJECTIVES
1 ．二元一次不等式的概念
我们把含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式．
2 ．二元一次不等式组的概念
我们把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组．
思考：点(2,1)是否是不等式 3x－2y＋1>0 的解？
思路探究：(1 )怎样画出不等式组表示的平面区域？(2 )该平面区域是什么图形？如何求其面积？(3 )整 点是什么样的点？怎样求其坐标？
合作探究
学
而
思
[解] (1)不等式 4x＋3y≤12 表示直线 4x＋3y＝12 上及其左下方的点的集合；x>0 表示直线 x＝0 右方的所有点的集合；y>0 表示直线 y＝0 上方的所有点的集合，故不等式
如何求其面积？
1
△A B C ，该三角形的面积为
S
△A
B
C
＝ 2
×6
×3
＝9
.
若该图形不是规则的图形．我们可以采取“割补”
的方法，将平面区域分为几个规则图形求解．
合作探究
学
Hale Waihona Puke 而思x ＋y > 2 ， 3 ．点(0 ,0 )，(1 ,0 )，(2 ,1 )，(3 ,4 )在不等式组x －y > 0 ，
[提示] 是．把(2,1)代入，不等式成立．
学习目标
LEARNING OBJECTIVES
3 ．二元一次不等式(组)的解集概念
满足二元一次不等式(组)的 x 和 y 的取值构成一个有序数对(x，y)，称
为二元一次不等式(组)的一个解 ，所有这样的有序数对(x ，y )构成的集合称 为二元一次不等式(组)的 解集 .

x＋2y 8
x 2 y 8
4 4y x
16 12
x y
4 3

x 0
x
0
y 0
y 0
将上述不等式组表示成平面上的区域，图中的阴影部 分中的整点（坐标为整数）就代表所有可能的日生产安排。
若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获 利3万元，采用那种生产安排利润最大？
0.06 0.06
174xx174
y y
6 6
x 0
x 0
y 0
y 0
目标函数为：z＝28x＋21y
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域
把目标函数z＝28x＋21y 变形为 y 4 x z
它表示斜率为 4
3 28
3
随z变化的一组平行直
线系
6/7 y
z 28 是直线在y轴上 5/7 M
为它是关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值
问题，统称为线性规划问题。y
满足线性约可束行的域解 4 3
最优解
（x，y）叫做可行解。
由所有可可行行解解组成
的集合叫做可行域。
o
4
8x
使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫
做这个问题的最优解。
三、例题
设工厂获得的利润为z，则z＝2x＋3y
把z＝2x＋3y变形为
y
y 2 x z
4
3
3
3
它表示斜率为
2 3
的
M
直线系，z与这条直线
的截距有关。
o
4
8x
如图可见，当直线经过可行域上的点M时，截距
最大，即z最大。