2016届高考数学一轮复习 题组层级快练50(含解析)

题组层级快练(三十九)1．数列1，(1＋2)，(1＋2＋22)，…，(1＋2＋22＋…＋2n －1)，…的前n 项之和为( )A ．2n－1 B ．n ·2n－n C ．2n ＋1－n D ．2n ＋1－n －2答案 D解析 记a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n－1，∴S n ＝n－2－1－n ＝2n ＋1－2－n .2．数列{a n }，{b n }满足a n b n ＝1，a n ＝n 2＋3n ＋2，则{b n }的前10项之和为( ) A.13 B.512 C.12 D.712答案 B 解析 b n ＝1a n ＝1n ＋n ＋＝1n ＋1－1n ＋2， S 10＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝12－13＋13－14＋14－15＋…＋111－112＝12－112＝512. 3．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n－12n ，其前n 项和S n ＝32164，则项数n 等于( )A ．13B ．10C ．9D ．6答案 D解析 ∵a n ＝2n－12n ＝1－12n ，∴S n ＝n －(12＋122＋…＋12n )＝n －1＋12n .而32164＝5＋164，∴n －1＋12n ＝5＋164.∴n ＝6. 4．数列{(－1)n (2n －1)}的前2 016项和S 2 016等于( ) A ．－2 016 B ．2 016 C ．－2 015 D ．2 015答案 B解析 S 2 016＝－1＋3－5＋7＋…－(2×2 015－1)＋(2×2 016－1)＝＝2 016.故选B.5．在数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n－1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A ．(3n －1)2B.12(9n－1) C ．9n－1 D.14(3n－1) 答案 B解析 因为a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，所以a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1(n ≥2)．则n ≥2时，a n ＝2·3n －1.当n ＝1时，a 1＝3－1＝2，适合上式，所以a n ＝2·3n －1(n ∈N *)．则数列{a 2n }是首项为4，公比为9的等比数列，故选B. 6．已知等差数列{a n }的公差为d ，且a n ≠0，d ≠0，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1可化简为( )A.nda 1a 1＋ndB.na 1a 1＋ndC.da 1a 1＋ndD.n ＋1a 1[a 1＋n ＋d ]答案 B 解析 ∵1a n a n ＋1＝1d (1a n －1a n ＋1)，∴原式＝1d (1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a n －1a n ＋1)＝1d (1a 1－1a n ＋1)＝na 1·a n ＋1，选B.7．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，当n 为正奇数时，－n 2，当n 为正偶数时，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( )A ．0B ．100C ．－100D ．10 200答案 B解析 由题意，得a 1＋a 2＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100)＝100.故选B.8．化简S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋2n －1的结果是( )A ．2n ＋1＋2－n －2 B ．2n ＋1－n ＋2 C ．2n －n －2 D ．2n ＋1－n －2答案 D解析 S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋2n －1，①2S n ＝n ×2＋(n －1)×22＋…＋3×2n －2＋2×2n －1＋2n，②②－①，得S n ＝－n ＋2＋22＋…＋2n －2＋2n －1＋2n＝－n ＋－2n1－2＝2n ＋1－n －2.故选D.9．设函数f (x )＝x m＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1f n}(n ∈N *)的前n 项和是( )A.n n ＋1B.n ＋2n ＋1 C.nn －1D.n ＋1n答案 A解析 ∵f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1，∴m ＝2，a ＝1.∴f (x )＝x 2＋x ＝x (x ＋1)． 数列{1f n}(n ∈N *)的前n 项和为S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n n ＋＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1＝n n ＋1.故选A. 10．设直线nx ＋(n ＋1)y ＝2(n ∈N *)与两坐标轴围成的三角形面积为S n ，则S 1＋S 2＋…＋S 2 013的值为( )A.2 0102 011 B.2 0112 012 C.2 0122 013D.2 0132 014答案 D解析 直线与x 轴交于(2n，0)，与y 轴交于(0，2n ＋1)， ∴S n ＝12·2n ·2n ＋1＝1nn ＋＝1n －1n ＋1. ∴原式＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(12 013－12 014)＝1－12 014＝2 0132 014.11．(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝____________. 答案 5 050解析 原式＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝＋2＝5 050.12．S n ＝122－1＋142－1＋…＋1n2－1＝________. 答案n 2n ＋1解析 通项a n ＝1n2－1＝1n －n ＋＝12(12n －1－12n ＋1)，∴S n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)＝n2n ＋1. 13．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2n ，n 2－6n ＋18 n解析 由S n ＝n 2－6n ，得{a n }是等差数列，且首项为－5，公差为2. ∴a n ＝－5＋(n －1)×2＝2n －7. ∴n ≤3时，a n <0；n >3时，a n >0.∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2n ，n 2－6n ＋18 n14．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n(n ∈N *)，则S 100＝________. 答案 2 600解析 由已知，得a 1＝1，a 2＝2，a 3－a 1＝0，a 4－a 2＝2，…，a 99－a 97＝0，a 100－a 98＝2. 累加得a 100＋a 99＝98＋3，同理得a 98＋a 97＝96＋3，…，a 2＋a 1＝0＋3， 则a 100＋a 99＋a 98＋…＋a 2＋a 1 ＝＋2＋50×3＝2 600.15．数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ＝1,2,3，…)，则log 4S 10＝________. 答案 9解析 ∵a n ＋1＝3S n ，∴a n ＝3S n －1(n ≥2)． 两式相减，得a n ＋1－a n ＝3(S n －S n －1)＝3a n . ∴a n ＋1＝4a n ，即a n ＋1a n＝4. ∴{a n }从第2项起是公比为4的等比数列． 当n ＝1时，a 2＝3S 1＝3， ∴n ≥2时，a n ＝3·4n －2.S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10＝1＋3＋3×4＋3×42＋…＋3×48＝1＋3(1＋4＋…＋48)＝1＋3×1－491－4＝1＋49－1＝49. ∴log 4S 10＝log 449＝9.16．已知数列{a n }为等比数列．T n ＝na 1＋(n －1)a 2＋…＋a n ，且T 1＝1，T 2＝4. (1)求{a n }的通项公式；(2)求{T n }的通项公式． 答案 (1)a n ＝2n －1(2)T n ＝2n ＋1－n －2解析 (1)T 1＝a 1＝1，T 2＝2a 1＋a 2＝2＋a 2＝4，∴a 2＝2.∴等比数列{a n }的公比q ＝a 2a 1＝2. ∴a n ＝2n －1.(2)方法一：T n ＝n ＋(n －1)·2＋(n －2)·22＋…＋1·2n －1，①2T n ＝n ·2＋(n －1)22＋(n －2)23＋…＋1·2n，② ②－①，得T n ＝－n ＋2＋22＋…＋2n －1＋2n＝－n ＋－2n1－2＝－n ＋2n ＋1－2＝2n ＋1－n －2.方法二：设S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ， ∴S n ＝1＋2＋…＋2n －1＝2n－1.∴T n ＝na 1＋(n －1)a 2＋…＋2a n －1＋a n ＝a 1＋(a 1＋a 2)＋…＋(a 1＋a 2＋…＋a n )＝S 1＋S 2＋…＋S n ＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1) ＝(2＋22＋ (2))－n ＝－2n1－2－n＝2n ＋1－n －2.17．(2014·大纲全国理)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .答案 (1)a n ＝13－3n (2)T n ＝n－3n思路 (1)先求公差d ，再求通项公式；(2)利用裂项相消法求和． 解析 (1)由a 1＝10，a 2为整数，知等差数列{a n }的公差d 为整数． 又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，于是10＋3d ≥0,10＋4d ≤0. 解得－103≤d ≤－52.因此d ＝－3.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n . (2)b n ＝1－3n－3n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n .于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －110＝n－3n.1．(2015·安徽安庆二模)在正项数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝16，对任意n ∈N *，函数f (x )＝a 2n ＋1x －a n a n＋2·(cos x ＋sin x )满足f ′(0)＝0. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{na n }的前n 项和S n .解析 (1)求导得f ′(x )＝a 2n ＋1－a n a n ＋2(－sin x ＋cos x )，由f ′(0)＝0，可得a 2n ＋1＝a n a n ＋2.又a n >0，故数列{a n }为等比数列，且公比q >0.由a 1＝1，a 5＝16，得q 4＝16，q ＝2.所以通项公式a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)S n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ·2n －1，①2S n ＝2＋2×22＋3×23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n.②①－②，得－S n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n＝1－2n1－2－n ·2n ＝2n －1－n ·2n.∴S n ＝(n －1)·2n＋1.2．设数列{a n }是公差大于0的等差数列，a 3，a 5分别是方程x 2－14x ＋45＝0的两个实根． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n ＋12n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解析 (1)因为方程x 2－14x ＋45＝0的两个根分别为5,9，所以由题意可知a 3＝5，a 5＝9，所以d ＝2，所以a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n －1.(2)由(1)可知，b n ＝a n ＋12n ＋1＝n ·12n ，∴T n ＝1×12＋2×122＋3×123＋…＋(n －1)×12n －1＋n ·12n . ①∴12T n ＝1×122＋2×123＋…＋(n －1)×12n ＋n ·12n ＋1. ② ①－②，得12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －1＋12n －n ·12n ＋1＝1－n ＋22n ＋1，所以T n ＝2－n ＋22n .3．(2015·沧州七校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n ＝2a n －2n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }满足b n ＝log 2(a n ＋2)，T n 为数列{b na n ＋2}的前n 项和，求证：T n ≥12. 解析 (1)当n ∈N *时，S n ＝2a n －2n ， 则当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2(n －1)，两式相减，得a n ＝2a n －2a n －1－2，即a n ＝2a n －1＋2. ∴a n ＋2＝2(a n －1＋2)，∴a n ＋2a n －1＋2＝2.当n ＝1时，S 1＝2a 1－2，则a 1＝2.∴{a n ＋2}是以a 1＋2＝4为首项，2为公比的等比数列． ∴a n ＋2＝4·2n －1，∴a n ＝2n ＋1－2.(2)证明：b n ＝log 2(a n ＋2)＝log 22n ＋1＝n ＋1，∴b na n ＋2＝n ＋12n ＋1，则T n ＝222＋323＋…＋n ＋12n ＋1， 12T n ＝223＋324＋…＋n 2n ＋1＋n ＋12n ＋2， 两式相减，得12T n ＝222＋123＋124＋…＋12n ＋1－n ＋12n ＋2＝14＋14－12n1－12－n ＋12n ＋2＝14＋12－12n ＋1－n ＋12n ＋2＝34－n ＋32n ＋2. ∴T n ＝32－n ＋32n ＋1.当n ≥2时，T n －T n －1＝－n ＋32n ＋1＋n ＋22n＝n ＋12n ＋1>0，∴{T n }为递增数列，∴T n ≥T 1＝12.4．(2014·湖南十二校一联)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，a n ＋2＋2a n ＝3a n ＋1，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列{a n }的前n 项和S n ，求使得S n >21－2n 成立的最小整数n . 解析 (1)由a n ＋2＋2a n －3a n ＋1＝0，得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )．∴数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝3为首项，公比为2的等比数列． ∴a n ＋1－a n ＝3·2n －1.∴当n ≥2时，a n －a n －1＝3·2n －2，a n －1－a n －2＝3·2n －3，…，a 3－a 2＝3×2，a 2－a 1＝3.累加，得a n －a 1＝3·2n －2＋…＋3×2＋3＝3(2n －1－1)．∴a n ＝3·2n －1－2.又当n ＝1时，也满足上式，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝3·2n －1－2，n ∈N *.(2)由(1)利用分组求和法，得S n ＝3(2n －1＋2n －2＋…＋2＋1)－2n ＝3(2n －1)－2n .由S n ＝3(2n－1)－2n >21－2n ，得3·2n>24，即2n>8. ∴n >3，∴使得S n >21－2n 成立的最小整数n ＝4.。

题组层级快练(六十)1．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，半径为2的圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2－2x －1＝0 B ．x 2＋y 2－2x －3＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －1＝0 D ．x 2＋y 2＋2x －3＝0答案 B解析 ∵抛物线y 2＝4x 的焦点是(1,0)，∴圆的标准方程是(x －1)2＋y 2＝4，展开得x 2＋y 2－2x －3＝0.2．若圆(x ＋3)2＋(y －1)2＝1关于直线l ：mx ＋4y －1＝0对称，则直线l 的斜率为( ) A ．4 B ．－4 C.14 D ．－14答案 D解析 依题意，得直线mx ＋4y －1＝0经过点(－3,1)， 所以－3m ＋4－1＝0.所以m ＝1.故直线l 的斜率为－14.3．过点P (0,1)与圆x 2＋y 2－2x －3＝0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是( ) A ．x ＝0 B ．y ＝1 C ．x ＋y －1＝0 D ．x －y ＋1＝0答案 C解析 依题意得所求直线是经过点P (0,1)及圆心(1,0)的直线，因此所求直线方程是x ＋y ＝1，即x ＋y －1＝0，选C.4．过点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4 D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4答案 C解析 设圆心C 的坐标为(a ，b )，半径为r . ∵圆心C 在直线x ＋y －2＝0上，∴b ＝2－a . ∵|CA |2＝|CB |2，∴(a －1)2＋(2－a ＋1)2＝(a ＋1)2＋(2－a －1)2. ∴a ＝1，b ＝1.∴r ＝2. ∴方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.5．(2015·四川成都外国语学校)已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1 D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1答案 B解析 C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(－1,1)，它关于直线x －y －1＝0对称的点为(2，－2)，对称后半径不变，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.6．(2015·山东青岛一模)若过点P (1，3)作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 和B ，则弦长|AB |＝( )A. 3 B ．2 C. 2 D ．4答案 A解析 如图所示，∵PA ，PB 分别为圆O ：x 2＋y 2＝1的切线，∴OA ⊥AP .∵P (1，3)，O (0,0)， ∴|OP |＝1＋3＝2. 又∵|OA |＝1，∴在Rt △APO 中，cos ∠AOP ＝12.∴∠AOP ＝60°，∴|AB |＝2|AO |sin ∠AOP ＝ 3.7．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 2答案 B解析 圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心(1,3)，半径r ＝10，由题意知AC ⊥BD ，且|AC |＝210，|BD |＝210－5＝25，所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC |·|BD |＝12×210×25＝10 2. 8．已知点P 在圆x 2＋y 2＝5上，点Q (0，－1)，则线段PQ 的中点的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2－x ＝0 B ．x 2＋y 2＋y －1＝0 C ．x 2＋y 2－y －2＝0 D ．x 2＋y 2－x ＋y ＝0答案 B解析 设P (x 0，y 0)，PQ 中点的坐标为(x ，y )，则x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1，代入圆的方程即得所求的方程是4x 2＋(2y ＋1)2＝5，化简，得x 2＋y 2＋y －1＝0.9．已知两点A (0，－3)，B (4,0)，若点P 是圆x 2＋y 2－2y ＝0上的动点，则△ABP 面积的最小值为( ) A ．6 B.112 C ．8 D.212答案 B解析 如图，过圆心C 向直线AB 作垂线交圆于点P ，连接BP ，AP ，这时△ABP 的面积最小．直线AB 的方程为x 4＋y－3＝1，即3x －4y －12＝0，圆心C 到直线AB 的距离为d ＝|3×0－4×1－12|32＋－2＝165， ∴△ABP 的面积的最小值为12×5×(165－1)＝112.10．在平面直角坐标系中，若动点M (x ，y )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，y －1≥0，动点Q 在曲线(x －1)2＋y 2＝12上，则|MQ |的最小值为( )A. 2B.322C ．1－22D.5－12答案 C解析 作出平面区域，由图形可知|MQ |的最小值为1－22.11．以直线3x －4y ＋12＝0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为________． 答案 (x ＋2)2＋(y －32)2＝254解析 对于直线3x －4y ＋12＝0，当x ＝0时，y ＝3；当y ＝0时，x ＝－4.即以两点(0,3)，(－4,0)为端点的线段为直径，则r ＝32＋422＝52，圆心为(－42，32)，即(－2，32)．∴圆的方程为(x ＋2)2＋(y －32)2＝254.12．从原点O 向圆C ：x 2＋y 2－6x ＋274＝0作两条切线，切点分别为P ，Q ，则圆C 上两切点P ，Q 间的劣弧长为________．答案 π解析 如图，圆C ：(x －3)2＋y 2＝94，所以圆心C (3,0)，半径r ＝32.在Rt △POC 中，∠POC ＝π6.则劣弧PQ 所对圆心角为2π3.弧长为23π×32＝π.13．设圆C 同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y ＝x 上；③截y 轴所得的弦长为4，则圆C 的方程是________．答案 (x ＋2)2＋(y ＋2)2＝8或(x －2)2＋(y －2)2＝8 解析 由题意可设圆心A (a ，a )，如图，则22＋22＝2a 2，解得a ＝±2，r 2＝2a 2＝8.所以圆C 的方程是(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝8或(x －2)2＋(y －2)2＝8.14．一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，求此圆的方程．答案 x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0解析 方法一：∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上，且与y 轴相切， ∴设所求圆的圆心为C (3a ，a )，半径为r ＝3|a |.又圆在直线y ＝x 上截得的弦长为27， 圆心C (3a ，a )到直线y ＝x 的距离为d ＝|3a －a |12＋12.∴有d 2＋(7)2＝r 2.即2a 2＋7＝9a 2，∴a ＝±1. 故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9. 方法二：设所求的圆的方程是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则圆心(a ，b )到直线x －y ＝0的距离为|a －b |2.∴r 2＝(|a －b |2)2＋(7)2.即2r 2＝(a －b )2＋14.①由于所求的圆与y 轴相切，∴r 2＝a 2.② 又因为所求圆心在直线x －3y ＝0上， ∴a －3b ＝0.③ 联立①②③，解得a ＝3，b ＝1，r 2＝9或a ＝－3，b ＝－1，r 2＝9.故所求的圆的方程是(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9. 方法三：设所求的圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，圆心为(－D 2，－E 2)，半径为12D 2＋E 2－4F .令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0.由圆与y 轴相切，得Δ＝0，即E 2＝4F .④又圆心(－D 2，－E2)到直线x －y ＝0的距离为|－D 2＋E2|2，由已知，得⎝⎛⎭⎪⎪⎫|－D 2＋E 2|22＋(7)2＝r 2，即(D －E )2＋56＝2(D 2＋E 2－4F )．⑤ 又圆心(－D 2，－E2)在直线x －3y ＝0上，∴D －3E ＝0.⑥ 联立④⑤⑥，解得D ＝－6，E ＝－2，F ＝1或D ＝6，E ＝2，F ＝1.故所求圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.15．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程． 答案 (1)x ＋y －3＝0(2)(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40 解析 (1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)， ∴直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0. (2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又直径|CD |＝410， ∴|PA |＝210. ∴(a ＋1)2＋b 2＝40.由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)．∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40. 16．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－2y ＝0. (1)求2x ＋y 的取值范围；(2)若x ＋y ＋c ≥0恒成立，求实数c 的取值范围． 答案 (1)1－5≤2x ＋y ≤1＋ 5 (2)c ≥2－1解析 (1)方法一：圆x 2＋(y －1)2＝1的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ，∴2x ＋y ＝2cos θ＋sin θ＋1. ∵－5≤2cos θ＋sin θ≤5， ∴1－5≤2x ＋y ≤5＋1.方法二：2x ＋y 可看作直线y ＝－2x ＋b 在y 轴的截距，当直线与圆相切时b 取最值，此时|2×0＋1－b |5＝1.∴b ＝1±5，∴1－5≤2x ＋y ≤1＋ 5.(2)∵x ＋y ＝cos θ＋1＋sin θ＝2sin(θ＋π4)＋1，∴x ＋y ＋c 的最小值为1－2＋c . ∴x ＋y ＋c ≥0恒成立等价于1－2＋c ≥0. ∴c 的取值范围为c ≥2－1.1．将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0答案 C解析 因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C.2．设A (0,0)，B (1,1)，C (4,2)，若线段AD 是△ABC 外接圆的直径，则点D 的坐标是( ) A ．(－8,6) B ．(8，－6) C ．(4，－6) D ．(4，－3)答案 B解析 线段AB 的垂直平分线x ＋y －1＝0与线段AC 的垂直平分线2x ＋y －5＝0的交点即圆心(4，－3)，直径为10，易得点D 的坐标为(8，－6)．3．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴相切，则该圆的标准方程是( ) A ．(x －3)2＋(y －73)2＝1B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．(x －32)2＋(y －1)2＝1答案 B解析 设圆心为(a,1)，由已知得d ＝|4a －3|5＝1，∴a ＝2(舍－12)．4．圆心在抛物线x 2＝2y (x >0)上，并且与抛物线的准线及y 轴均相切的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2－x －2y －14＝0B ．x 2＋y 2＋x －2y ＋1＝0 C ．x 2＋y 2－x －2y ＋1＝0 D ．x 2＋y 2－2x －y ＋14＝0答案 D解析 ∵圆心在抛物线上，∴设圆心(a ，a 22)．∴圆的方程为(x －a )2＋(y －a 22)2＝r 2.∴x 2＋y 2－2ax －a 2y ＋a 2＋a 44－r 2＝0.对比A ，B ，C ，D 项，仅D 项x ，y 前系数符合条件．5．若方程16－x 2－x －m ＝0有实数解，则实数m 的取值范围为( ) A ．－42≤m ≤4 2 B ．－4≤m ≤4 2 C ．－4≤m ≤4 D ．4≤m ≤4 2答案 B解析 由题意知方程16－x 2＝x ＋m 有实数解，分别作出y ＝16－x 2与y ＝x ＋m 的图像，若两图像有交点，需－4≤m ≤4 2.6．若直线l ：4x －3y －12＝0与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，O 为坐标原点，则△AOB 内切圆的方程为________．答案 (x －1)2＋(y ＋1)2＝1解析 由题意知，A (3,0)，B (0，－4)，则|AB |＝5.∴△AOB 的内切圆半径r ＝3＋4－52＝1，内切圆的圆心坐标为(1，－1)．∴内切圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1.7．已知圆C 的方程为x 2＋y 2－mx －2my ＝0(m ≠0)，以下关于这个圆的叙述中，所有正确命题的序号是________．①圆C 必定经过坐标原点；②圆C 的圆心不可能在第二象限或第四象限； ③y 轴被圆C 所截得的弦长为2m ；④直线y ＝x 与y 轴的夹角的平分线必过圆心． 答案 ①②8．(2015·吉林长春一调)若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点(a ，b )向圆所作的切线长的最小值为________．答案 4解析 圆C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝2，圆心坐标为C (－1,2)代入直线2ax ＋by ＋6＝0，得－2a ＋2b ＋6＝0即点(a ，b )在直线x －y －3＝0上．过C (－1,2)作l 的垂线，垂足设为D ，过D 作圆C 的切线，切点设为E ，则切线长|DE |最短，于是有|CE |＝2，|CD |＝|6|2＝32，∴切线长|DE |＝|CD |2－r 2＝4.9．在直角坐标系xOy 中，以M (－1,0)为圆心的圆与直线x －3y －3＝0相切． (1)求圆M 的方程；(2)如果圆M 上存在两点关于直线mx ＋y ＋1＝0对称，求实数m 的值．(3)已知A (－2,0)，B (2,0)，圆内的动点P 满足|PA |·|PB |＝|PO |2，求PA →·PB →的取值范围． 答案 (1)(x ＋1)2＋y 2＝4 (2)m ＝1 (3)[－2,6)解析 (1)依题意，圆M 的半径r 等于圆心M (－1,0)到直线x －3y －3＝0的距离，即r ＝|－1－3|1＋3＝2.∴圆M 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)∵圆M 上存在两点关于直线mx ＋y ＋1＝0对称， ∴直线mx ＋y ＋1＝0必过圆心M (－1,0)． ∴－m ＋1＝0，∴m ＝1.(3)设P (x ，y )，由|PA ||PB |＝|PO |2，得x ＋2＋y 2·x －2＋y 2＝x 2＋y 2，即x 2－y 2＝2.∴PA →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y ) ＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)． ∵点P 在圆M 内，∴(x ＋1)2＋y 2<4，∴0≤y 2<4，∴－1≤y 2－1<3. ∴PA →·PB →的取值范围为[－2,6)．。

上海市2016届高三数学理一轮复习专题突破训练数列一、填空、选择题1、（2015年上海高考）记方程①：x 2+a 1x+1=0，方程②：x 2+a 2x+2=0，方程③：x 2+a 3x+4=0，其中a 1，a 2，a 3是正实数．当a 1，a 2，a 3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ） A ．方程①有实根，且②有实根 B ． 方程①有实根，且②无实根 C ．方程①无实根，且②有实根 D ． 方程①无实根，且②无实根2、（2014年上海高考）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134lim n n a a a a →∞=+++，则q = .3、（2013年上海高考）设非零常数d 是等差数列12319,,,,x x x x 的公差，随机变量ξ等可能地取值12319,,,,x x x x ，则方差_______D ξ=4、（静安、青浦、宝山区2015届高三二模）设等差数列{}n a 的前n 项和为n A ，等比数列{}n b 的前n 项和为n B ，若33a b =，44a b =，且53427A A B B -=-，则5353a ab b +=+5、（闵行区2015届高三二模）已知数列{}n a满足11()n a n *+=∈N ，则使不等式20152015a >成立的所有正整数1a 的集合为6、（浦东新区2015届高三二模）已知数列{}n a 的前n 项和n n S n +=2，则该数列的通项公式=n an 2 .7、（徐汇、松江、金山区2015届高三二模）已知函数2()sin f x x x =⋅，各项均不相等的数列{}n x 满足2i x π≤(1,2,3,,)i n =．令[]*1212()()()()()()n n F n x x x f x f x f x n N =+++⋅++∈．给出下列三个命题：(1)存在不少于3项的数列{}n x ，使得()0F n =；(2)若数列{}n x 的通项公式为()*12nn x n N ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，则(2)0F k >对*k N ∈恒成立；(3)若数列{}n x 是等差数列，则()0F n ≥对*n N ∈恒成立．其中真命题的序号是（ ）（A ）(1)(2) （B ）(1)(3) （C ） (2)(3) （D ）(1)(2)(3)8、（长宁、嘉定区2015届高三二模）设等差数列{}n a 满足115=a ，312-=a ，{}n a 的前n 项和n S 的最大值为M ，则lg M =__________9、（虹口区2015届高三上期末）设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若12,,n n n S S S ++成等差数列，则q =10、（金山区2015届高三上期末）等差数列{a n }中，a 2=8，S 10=185，则数列{a n }的通项公式a n = ▲ (n ∈N*)．11、（静安区2015届高三上期末）已知数列{}n a 的通项公式1222+-+=n nn a （其中*N n ∈），则该数列的前n 项和=n S12、（青浦区2015届高三上期末）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若742S =，则4a = 13、（徐汇区2015届高三上期末）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，*110()2n n S a n N +-=∈，则{}n a 的通项公式为14、（黄浦区2015届高三4月模拟考试（二模））在等差数列{}n a 中，若8103,1a a =-=，9m a =，则正整数m =15、（）把正整数排列成如图()a 的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数、第奇数行中的所有偶数，可得到如图()b 的三角形数阵，现将图()b 中的正整数按从小到大的顺序构成一个数列{}n a ，若2015k a =，则__________.k = 1 1 2 3 4 2 45 6 7 8 9 5 7 910 11 12 13 14 15 16 10 12 14 1617 18 19 20 21 22 23 24 25 17 19 21 23 2526 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 26 28 30 32 34 36()a ()b二、解答题1、（2015年上海高考）已知数列{a n }与{b n }满足a n+1﹣a n =2（b n+1﹣b n ），n ∈N *．（1）若b n =3n+5，且a 1=1，求数列{a n }的通项公式； （2）设{a n }的第n 0项是最大项，即a≥a n （n ∈N *），求证：数列{b n }的第n 0项是最大项；（3）设a 1=λ＜0，b n =λn（n ∈N *），求λ的取值范围，使得{a n }有最大值M 与最小值m ，且∈（﹣2，2）．2、（2014年上海高考）已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤，*n ∈N ，11a =.(1) 若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围； (2) 设{}n a 是公比为q 的等比数列，12n n S a a a =+++. 若1133n n n S S S +≤≤，*n ∈N ，求q 的取值范围； (3) 若12,,,k a a a 成等差数列，且121000k a a a +++=，求正整数k 的最大值，以及k 取最大值时相应数列12,,,k a a a 的公差.3、（2013年上海高考）给定常数0c >，定义函数()2|4|||f x x c x c =++-+，数列123,,,a aa 满足*1(),n n a f a n N +=∈.（1）若12a c =--，求2a 及3a ；（2）求证：对任意*1,n n n N a a c +∈-≥，；（3）是否存在1a ，使得12,,,n a a a 成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ，若不存在，说明理由.4、（静安、青浦、宝山区2015届高三二模）设{}n a 是公比为(1)q q ≠的等比数列，若{}n a 中任意两项之积仍是该数列中的项，那么称{}n a 是封闭数列.（1）若123a q ==，，判断{}n a 是否为封闭数列，并说明理由；（2）证明{}n a 为封闭数列的充要条件是：存在整数1m ≥-，使1m a q =；（3）记n ∏是数列{}n a 的前n 项之积，2log nn b =∏，若首项为正整数，公比2q =，试问：是否存在这样的封闭数列{}n a ，使1211111lim 9n n b b b →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪⎝⎭，若存在，求{}n a 的通项公式；若不存在，说明理由．5、（闵行区2015届高三二模）各项均为正数的数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有2(1)n n n S b b =+．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）如果等比数列{}n a 共有(2,)m m m *≥∈N 项，其首项与公比均为2，在数列{}n a 的每相邻两项i a 与1i a +之间插入i 个*(1)()i i b i -∈N 后，得到一个新的数列{}n c ．求数列{}n c 中所有项的和；（3）如果存在n *∈N ，使不等式 1111(1)n n n n b n b b b λ+++≤+≤+成立，求实数λ的范围．6、（浦东新区2015届高三二模）记无穷数列{}n a 的前n 项12,,,n a a a 的最大项为n A ，第n 项之后的各项12,,n n a a ++的最小项为n B ，令n n n b A B =-．（1）若数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，写出12b b 、，并求数列{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n b 的通项公式为12n b n =-，判断{}1n n a a +-是否等差数列，若是，求出公差；若不是，请说明理由；（3）若{}n b 为公差大于零的等差数列，求证：{}1n n a a +-是等差数列.7、（普陀区2015届高三二模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且0n a >，()*1N 4nn n a S n ⎛⎫⋅=∈ ⎪⎝⎭（1）若()21log n n n b S a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ； （2）若02n πθ<<，2tan n n n a θ⋅=，求证：数列{}n θ为等比数列，并求出其通项公式；（3）记12311112222n n c a a a a =-+-+-++-，若对任意的*N n ∈，n c m ≥恒成立，求实数m 的取值范围.8、（长宁、嘉定区2015届高三二模）已知数列}{n a 中，31=a ，52=a ，}{n a 的前n 项和为n S ，且满足11222---+=+n n n n S S S （3≥n ）．（1）试求数列{}n a 的通项公式；（2）令112+-⋅=n n n n a a b ，n T 是数列}{n b 的前n 项和，证明：61<n T ；（3）证明：对任意给定的⎪⎭⎫ ⎝⎛∈61,0m ，均存在*∈N 0n ，使得当0n n ≥时，（2）中的mT n >恒成立．9、（宝山区2015高三上期末）设数列{}n a 的首项1a 为常数，且132(*)n n n a a n N +=-∈．（1）证明：35n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）若132a =，{}n a 中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项，若不存在说明理由．（3）若{}n a 是递增数列，求1a 的取值范围．10、（崇明县2015高三上期末）已知等差数列{}n a 满足3577,26a a a =+=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若222na n m +=，数列{}nb 满足关系式11,1,,2,n n n b b m n -=⎧=⎨+≥⎩，求数列{}n b 的通项公式；（3）设（2）中的数列{}n b 的前n 项和n S ，对任意的正整数n ，()()()11222n n n S n n p +-⋅++++<恒成立，求实数p 的取值范围.11、（奉贤区2015高三上期末）为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年时间更换一万辆燃油型公交车。

题组层级快练(四十七)1．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a ”“索”的“因”应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0答案 C 解析b 2－ac <3a ⇔b 2－ac <3a 2⇔(a ＋c )2－ac <3a 2⇔a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0⇔－2a 2＋ac ＋c 2<0⇔2a 2－ac －c 2>0⇔(a －c )(2a ＋c )>0⇔(a －c )(a －b )>0.2．(2015·浙江名校联考)设a ＝lg2＋lg5，b ＝e x(x <0)，则a 与b 的大小关系为( ) A ．a >b B ．a <b C ．a ＝b D ．a ≤b答案 A解析 ∵a ＝lg2＋lg5＝lg10＝1，而b ＝e x <e 0＝1，故a >b . 3．要证明a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.a ＋b22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0答案 D解析 a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0. 4．若实数a ，b 满足a ＋b <0，则( ) A ．a ，b 都小于0 B ．a ，b 都大于0C ．a ，b 中至少有一个大于0D ．a ，b 中至少有一个小于0 答案 D解析 假设a ，b 都不小于0，即a ≥0，b ≥0，则a ＋b ≥0，这与a ＋b <0相矛盾，因此假设错误，即a ，b 中至少有一个小于0.5．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是( ) A ．P >Q B ．P ＝QC ．P <QD ．由a 的取值确定答案 C解析 要比较P ，Q 的大小关系，只要比较P 2，Q 2的大小关系，只要比较 2a ＋7＋2aa ＋与2a ＋7＋2a ＋a ＋的大小，只要比较aa ＋与a ＋a ＋的大小，即比较a 2＋7a 与a 2＋7a ＋12的大小， 只要比较0与12的大小，∵0<12，∴P <Q .6．已知函数f (x )满足：f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，f (1)＝2，则f 2＋ff＋f 2＋ff＋f 2＋f f＋f 2＋ff＝( )A ．4B ．8C ．12D ．16答案 D解析 根据f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，得f (2n )＝f 2(n )． 又f (1)＝2，则f n ＋f n＝2. 由f 2＋f f＋f 2＋ff＋f 2＋ff＋f 2＋ff＝2ff＋2ff＋2ff ＋2f f＝16.7．已知a >0，b >0，如果不等式2a ＋1b ≥m2a ＋b 恒成立，那么m 的最大值等于( )A ．10B ．9C ．8D ．7答案 B解析 ∵a >0，b >0，∴2a ＋b >0.∴不等式可化为m ≤(2a ＋1b )(2a ＋b )＝5＋2(b a ＋a b )．∵5＋2(b a ＋ab)≥5＋4＝9，即其最小值为9，∴m ≤9，即m 的最大值等于9.8．已知命题：“在等差数列{a n }中，若4a 2＋a 10＋a ( )＝24，则S 11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为________．答案 18 解析 S 11＝a 1＋a 112＝11a 6，由S 11为定值，可知a 6＝a 1＋5d 为定值．设4a 2＋a 10＋a n ＝24，整理得a 1＋n ＋126d ＝4，可知n ＝18.9．(2015·江苏盐城一模)已知x 1，x 2，x 3为正实数，若x 1＋x 2＋x 3＝1，求证：x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1.答案 略解析 ∵x 22x 1＋x 1＋x 23x 2＋x 2＋x 21x 3＋x 3≥2x 22＋2x 23＋2x 21＝2(x 1＋x 2＋x 3)＝2，∴x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1.10．(1)设x 是正实数，求证：(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3.(2)若x ∈R ，不等式(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x 的值．答案 (1)略 (2)成立，证明略解析 (1)证明：x 是正实数，由均值不等式，得x ＋1≥2x ，x 2＋1≥2x ，x 3＋1≥2x 3.故(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥2x ·2x ·2x 3＝8x 3(当且仅当x ＝1时等号成立)． (2)解：若x ∈R ，不等式(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3仍然成立． 由(1)知，当x >0时，不等式成立； 当x ≤0时，8x 3≤0，而(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)＝(x ＋1)2(x 2＋1)(x 2－x ＋1)＝(x ＋1)2(x 2＋1)[(x －12)2＋34]≥0，此时不等式仍然成立． 11．已知函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)， (1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明f (x )＝0没有负实数根． 答案 (1)略 (2)略解析 (1)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，ax 2－x 1>1，且ax 1>0，所以ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0.又因为x 1＋1>0，x 2＋1>0， 所以x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1 ＝x 2－x 1＋－x 1－x 2＋x 2＋x 1＋＝x 2－x 1x 2＋x 1＋>0.于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0. 故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数． (2)设存在x 0<0(x 0≠－1)，满足f (x 0)＝0， 则ax 0＝－x 0－2x 0＋1. 又0<ax 0<1，所以0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2，与x 0<0(x 0≠－1)假设矛盾． 故f (x )＝0没有负实数根．12．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a m ，a m ＋2，a m ＋1(m ∈N *)成等差数列，试判断S m ，S m ＋2，S m ＋1是否成等差数列，并证明你的结论．答案 q ＝1时，不成等差数列；q ＝－12时，成等差数列 证明略解析 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q (a 1≠0，q ≠0)， 若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列，则2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1. ∴2a 1qm ＋1＝a 1qm －1＋a 1q m.∵a 1≠0，q ≠0，∴2q 2－q －1＝0. 解得q ＝1或q ＝－12.当q ＝1时，∵S m ＝ma 1，S m ＋1＝(m ＋1)a 1，S m ＋2＝(m ＋2)a 1，∴2S m ＋2≠S m ＋S m ＋1.∴当q ＝1时，S m ，S m ＋2，S m ＋1不成等差数列． 当q ＝－12时，S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．下面给出证明：证法一：∵(S m ＋S m ＋1)－2S m ＋2 ＝(S m ＋S m ＋a m ＋1)－2(S m ＋a m ＋1＋a m ＋2) ＝－a m ＋1－2a m ＋2＝－a m ＋1－2a m ＋1q ＝－a m ＋1－2a m ＋1(－12)＝0，∴2S m ＋2＝S m ＋S m ＋1.∴当q ＝－12时，S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．证法二：∵2S m ＋2＝2a 1[1－－12m ＋2]1＋12＝43a 1[1－(－12)m ＋2]， 又S m ＋S m ＋1＝a 1[1－－12m]1＋12＋a 1[1－－12m ＋1]1＋12＝23a 1[2－(－12)m －(－12)m ＋1] ＝23a 1[2－4(－12)m ＋2＋2(－12)m ＋2] ＝43a 1[1－(－12)m ＋2]， ∴2S m ＋2＝S m ＋S m ＋1.∴当q ＝－12时，S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．13．设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )． (1)求g (x )的单调区间和最小值； (2)讨论g (x )与g (1x)的大小关系；(3)求实数a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立．答案 (1)单调递减区间(0,1)，单调递增区间(1，＋∞) (2)当0<x <1时，g (x )>g (1x )；当x >1时，g (x )<g (1x)(3)0<a <e解析 (1)由题设知f (x )＝ln x ，g (x )＝ln x ＋1x，∴g ′(x )＝x －1x 2.令g ′(x )＝0，得x ＝1. 当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，故(0,1)是g (x )的单调减区间； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，故(1，＋∞)是g (x )的单调增区间．因此x ＝1是g (x )的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以g (x )的最小值为g (1)＝1. (2)g (1x)＝－ln x ＋x ，设h (x )＝g (x )－g (1x )＝2ln x －x ＋1x，则h ′(x )＝－x －2x 2.当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g (1x)；当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h ′(x )<0，h ′(1)＝0， 因此h (x )在(0，＋∞)上单调递减． 当0<x <1时，h (x )>h (1)＝0， 即g (x )>g (1x)；当x >1时，h (x )<h (1)＝0， 即g (x )<g (1x)．(3)由(1)知g (x )的最小值为1，所以g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立⇔g (a )－1<1a，即ln a<1，从而得0<a<e.。