2020-2021学年河北省石家庄市正定中学高三(上)期中考试数学(文科)试题Word版含解析

2020-2021石家庄市高三数学上期中模拟试卷(含答案)一、选择题1．朱载堉(1536～1611)，是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”．即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为1f ，第七个音的频率为2f ，则21f f ＝ A．BCD2．数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++,()()1N*nn n b a n =-∈,则数列{}n b 的前50项和为（ ） A ．49B ．50C ．99D ．1003．已知关于x 的不等式()224300x ax a a -+<<的解集为()12,x x ，则1212a x x x x ++的最大值是（ ） ABCD．3-4．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）． A ．1B ．6C ．7D ．6或75．若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则a 的取值范围是（ ） A ．23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．23,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()1,+∞D ．23,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦6．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin cos 0b A B -=,且2b ac =，则a cb+的值为( ) A ．2BC．2D ．47．,x y 满足约束条件362000x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为 ( ) A ．256B ．25C ．253D ．58．如图，有四座城市A 、B 、C 、D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，D 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距60km ；C 在B 的北偏东30°方向，且与B 相距6013km ，一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有（ ）A ．120kmB ．606kmC ．605kmD ．3km9．数列{}n a 中，()1121nn n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前8项和等于（ ） A ．32B ．36C ．38D ．4010．设{}n a 是首项为1a ，公差为-2的等差数列，n S 为其前n 项和，若1S ，2S ，4S 成等比数列，则1a = ( ) A ．8B ．-8C ．1D ．-111．已知{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．()1614n--B ．()1612n--C ．()32123n -- D ．()32143n -- 12．若0,0x y >>，且211x y+=，227x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(8,1)-B ．(,8)(1,)-∞-⋃+∞C ．(,1)(8,)-∞-⋃+∞D ．(1,8)-二、填空题13．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a =，且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为______.14．在ABC V 中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c ，且满足222sin sin sin sin sin A B C A B +=+，若ABC V 3，则ab =__15．已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 .16．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝32，S 3＝92，则a 1的值为________． 17．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若1c =，ABC ∆的面积为2214a b +-，则ABC ∆面积的最大值为_____. 18．某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A 类产品50件,B 类产品140件,所需租赁费最少为__________元．19．点D 在ABC V 的边AC 上，且3CD AD =，2BD =，3sin2ABC ∠=，则3AB BC +的最大值为______.20．若已知数列的前四项是2112+、2124+、2136+、2148+，则数列前n 项和为______.三、解答题21．如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距()533+海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？22．已知向量113,sin 22x x a ⎛⎫ ⎝=⎪ ⎪⎭v 与()1,b y =v 共线，设函数()y f x =. （1）求函数()f x 的最小正周期及最大值.（2）已知锐角ABC ∆的三个内角分别为,,A B C ，若有33f A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，边217,sin 7BC B ==，求ABC ∆的面积. 23．设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：对任意的n ∈N *，都有a n +1+S n +1＝1，又a 112=． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）令b n ＝log 2a n ，求12231111n n b b b b b b L ++++（n ∈N *） 24．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ()3cos 23cos a C b c A =(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)若2a =，求ABC V 面积的最大值．25．已知在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos 0a B b A -=． （1）求角A 的大小：（2）若a =2b =．求ABC V 的面积．26．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是公比大于零的等比数列，且112a b ==,338a b ==.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; （2）记n n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n S .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】：先设第一个音的频率为a ，设相邻两个音之间的频率之比为q ，得出通项公式， 根据最后一个音是最初那个音的频率的2倍，得出公比，最后计算第三个音的频率与第七个音的频率的比值。

石家庄市2020届高三复习教学质量检测（一）高三数学（文科）（时间120分钟，满分150分） 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、复数21i=-（ ） A ．1i + B ．1i - C ．i D ．12i - 2、抛物线212y x =的焦点为（ ）A ．()6,0B ．()0,6C ．()3,0D ．()0,33、已知集合2{|230},{1,0,1,2,3}A x x x B =--≤=-，则A B =I （ ） A ．{}1,0,1- B ．{}0,1,2,3 C ．{}1,0,1,2,3- D ．{}0,1,2 4、命题“00,20x x R ∃∈≤”的否定为（ ）A ．00,20x x R ∀∈≤ B ．00,20x x R ∀∈≥ C ．00,20x x R ∀∈< D ．00,20x x R ∀∈>5、若圆C 的半径为1，点C 与点()2,0关于点()1,0对称，则圆C 的标准方程为（ ）A ．221x y += B ．22(3)1x y -+=C ．22(1)1x y -+=D ．22(3)1x y +-=6、已知向量(2,6),10a b a b =--=⋅=r r r r，则向量a r 与b r 的夹角为（ ）A ．150oB ．30-oC ．120oD ．60-o7、设()f x 是定义在R 上的周期为3的函数，当[]2,1x ∈-时，()2422001x x f x x x ⎧--≤≤=⎨<<⎩，则5()2f =（ ） A ．1- B ．1 C ．12D ．08、实数,x y 满足条件402200,0x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，则z x y =-的最小值为（ ）A ．1B ．1- C．12D ．2 9、已知函数()3sin34(,)f x a x bx a R b R =++∈∈，()f x '为()f x 的导函数， 则()()2014(2014)2015(2015)f f f f ''+-+--=（ ） A ．8 B ．2020 C ．2020 D ．010、阅读如下的程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）A ．7B ．9C ．10D ．1111、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的虚轴端点到直线2y a x =的距离为1，则该双曲线的离心率为（ ）A ．3B 32 D ．212、设函数()2(,xf x e x a a R e =+-∈为自然对数的底数)，若存在[]0,1b ∈，使得(())f f b b =，则a 的取值范围是（ ）A ．[]1,eB ．[]1,1e +C ．[],1e e +D ．[]0,1第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

河北省石家庄市高三上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分） (2019高一上·松原月考) 已知全集，若，，则实数的 ________， ________.2. （1分） (2020高一下·永济期中) 函数的定义域是________.3. （1分） (2019高一下·浦东期中) 已知角的终边经过点P(-3,4)，则 ________.4. （1分） (2016高二下·漯河期末) 在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若a2+b2=2c2 ，则C的最大角为________．5. （1分）设、是两个不共线的向量，已知 =2 +k ， = +3 ， =2 ﹣，若A、B、D三点共线，求k的值为________．6. （1分）数列{an}的通项公式为an=4n﹣1，令，则数列{bn}的前n项和为________．7. （1分） (2018高二下·四川期中) 函数在处的切线方程为________.8. （1分） (2016高二上·南城期中) ①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②在△ABC中，“∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列”的充要条件．③ 是的充要条件；④“am2＜bm2”是“a＜b”的充分必要条件．以上说法中，判断错误的有________．9. （1分） (2018高二下·邱县期末) 在中，角所对的边分别为，则 ________.10. （1分）已知函数f（x）=若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则a的取值范围是________ ．11. （1分） (2016高三上·桓台期中) 已知 1 ， 2是平面单位向量，且1• 2= ，若平面向量满足• 1= • =1，则| |=________．12. （1分）已知：f（x）=x2+2f′（1）x，若f（x）＞0，则x的取值范围________．13. （1分） (2019高三上·珠海月考) 已知数列的首项，其前n项和为．若，则 ________．14. （1分） (2015高三上·上海期中) 已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC 上，BC=3BE，DC=λDF，若• =1，则λ的值为________．二、解答题 (共6题；共13分)15. （2分）(2012·四川理) 函数f（x）=6cos2 sinωx﹣3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．（1）求ω的值及函数f（x）的值域；（2）若f（x0）= ，且x0∈（﹣），求f（x0+1）的值．16. （2分）已知 p：方程x2+mx+1=0有两个不等的实根；q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若“p”为假命题，“q”为真命题，求实数m的取值范围．17. （2分） (2020高一下·南昌期中) 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300千米的海面P处，并以20千米/时的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60千米，并以10千米/时的速度不断增大，问几个小时后该城市开始受到台风的侵袭？受到台风的侵袭的时间有多少小时？18. （2分） (2019高三上·哈尔滨月考) 已知函数 .（1）求的单调区间；（2）设，若对任意，均存在使得，求的取值范围.19. （3分） (2016高二上·方城开学考) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），a3=5，S10=100．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=2 +2n求数列{bn}的前n项和Tn ．20. （2分） (2017高二下·如皋期末) 已知函数f（x）=lnx+ax2﹣ax，其中a∈R．（1）当a=0时，求函数f（x）在x=1处的切线方程；（2）若函数f（x）在定义域上有且仅有一个极值点，求实数a的取值范围；（3）若对任意x∈[1，+∞），f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、填空题 (共14题；共14分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：二、解答题 (共6题；共13分)答案：15-1、答案：15-2、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、答案：20-3、考点：解析：。

高三质检三数学（理科）试题参考答案一、选择题答案二、填空题答案：13.25-14. [)∞+-，115.3203410x y x y --=-+=或 16.三、解答题答案17.【命题意图】本题主要考查正余弦定理解三角形、三角恒等变换，意在考查学生的基本的运算能力、综合分析问题解决问题的能力以及 转化与化归的数学思想．17.【解析】（1）C A B C A sin sin sin sin sin 222-=+,ac b c a -=+∴222 ……………………2分2221cos 222a c b ac B ac ac +-∴==-=- ………………………………………………………………4分(0,)B π∈,23B π∴= ………………………………………………………………………………5分（2）在ABD ∆中,由正弦定理：sin sin AD BDB BAD=∠1sin 1sin 4BD B BAD AD ∴∠== …………………………………………………………………7分217cos cos212sin 12168BAC BAD BAD ∴∠=∠=-∠=-⋅= …………………………………………9分22715sin 1cos 1()88BAC BAC ∴∠=-∠=-= (10)分18.【命题意图】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，意在考查学生的审题能力以及数据处理能力. 18．【解析】（1）依题，⎪⎩⎪⎨⎧=----=43)1)(311)(1(124131n m mn ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==4121n m .………………………………………6分 （2）设该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数为随机变量X ，则X 的值可以为0，1，2，3，4，5，6. ………………………………………………………………7分而41433221)0(=⨯⨯==X P ；41433221)1(=⨯⨯==X P ；81433121)2(=⨯⨯==X P ； 245433121413221)3(=⨯⨯+⨯⨯==X P ；121413221)4(=⨯⨯==X P ； 241413121)5(=⨯⨯==X P ；241413121)6(=⨯⨯==X P . …………………………………………10分 （每答对两个，加1分）∴X 的分布列为：X0 1 2 3 4 5 6P4141 81 245 121 241 241于是，2416241512142453812411410)(⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E 1223=. …………………………12分………………………………………………………………………………………………………11分19.【命题意图】本题考查立体几何中的向量方法，意在考查数形结合思想，空间想象能力，以及运算求 解能力.19.【解析】(1)由已知得BD AC ⊥，CD AD =,又由CF AE =得CDCFAD AE =，故AC ∥EF ，因此HD EF ⊥，从而EF ⊥H D '.由65==AC AB ，得==BO DO 422=-AO AB .…………2分由AC ∥EF 得41==AD AE DO OH .所以1=OH ,3'==DH H D .…………………………………3分于是2'2222'1013O D OH H D ==+=+,故OH H D ⊥'.又EF H D ⊥',而H EF OH = , 所以D H '⊥平面ABCD . ……………………………………………………………………………4分(2)如图，以H 为坐标原点，HF 的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系H xyz -，则By()0,0,0H ，()0,1,3--A ，()0,6,0-B ，()3,1,0C -，()0,0,3D '，(3,4,0)AB =-，()6,0,0AC =，()3,1,3AD '=.………………………………………………………………………………………6分设()111,,m x y z =是平面ABD '的法向量，则0m AB m AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，即11111340330x y x y z -=⎧⎨++=⎩，可取()4,3,5m =- (8)分设()222,,n x y z =是平面'ACD 的法向量，则0n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，即222260330x x y z =⎧⎨++=⎩，可取()0,3,1n =-………………………………………10分于是2557105014cos -=⨯-=⋅>=<n m n m n m,， (11)分设二面角的大小为θ，sin θ=.因此二面角B D A C '--.……………12分20.【命题意图】本题考查等差数列、等比数列的通项公式及其前项和，，以及数列单调性的判定等基础知识，意在考查学生的分析问题解决问题的能力、以及运算求解能力．20.【解析】（1）当1n =时，111(1)S t S a =-+，得1a t =．……………………………………………1分当2n ≥时，由(1)n n n S t S a =-+，即(1)n n t S ta t -=-+，①∴11(1)n n t S ta t ---=-+，②①-②，得1(1)n n n t a ta ta --=-+，即1n n a ta -=，数列{}n a 的各项均不为零∴1nn a t a -=（2n ≥）， ∴{}n a 是等比数列，且公比是t ，∴n n a t =． ………………………………………………3分0t ≠，1t ≠∴2(1)()1n n n n t t b t t t -=+⋅-，即212121n n n n t t t b t +++-=-，……………………………4分若数列{}n b 为等比数列，则有2213b b b =⋅，而212b t =，32(21)b t t =+，423(21)b t t t =++，故23242(21)(2)(21)t t t t t t ⎡⎤+=⋅++⎣⎦，解得12t =， (5)分 再将12t =代入n b ，得1()2n b =，由112n n b b +=，知{}n b 为等比数列，∴12t =．……………………6分（2）由12t =，知1()2n n a =，∴14()12n n c =+，……………………………………………………7分∴11(1)224112n n T -=⨯-442n n n +=+-，………………………………………………………………9分由不等式12274nkn n T ≥-+-恒成立，得2732nn k -≥恒成立， 设272n n n d -=，由1n nd d +-11252729222n n n n n n ++---+=-=，………………………………………10分∴当4n ≤时，1n n d d +>，当4n ≥时，1n n d d +<，而4116d =，5332d =，∴45d d <， ∴3332k ≥，∴132k ≥．………………………………………………………………………………12分21.【命题意图】本题考查椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系,椭圆的简单几何性质等基础知识， 意在考查数形结合思想，转化与化归思想，综合分析问题、解决问题的能力，以及运算求解能力.21.【解析】（1）：设(,0)F c ，由FAeOA OF 311=+，即113()c c a a a c +=-，可得2223a c c -=，又 2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为22143x y +=.………………4分(2)设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)2(-=x k y .设),(B B y x B ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)2(13422x k y y x ，消去y ，整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k . 解得2=x ，或346822+-=k k x ，………………………………………………………………………6分由题意得346822+-=k k x B ，从而34122+-=k k y B .由（1）知)0,1(F ，设),0(H y H ， 有),1(H y FH -=，)3412,3449(222++-=k k k k BF .……………………………………………………8分由HF BF ⊥，得0=⋅HF BF ，所以-034123449222=+++-k ky k k H ，解得kk y H 12492-=.……………9分因此直线MH 的方程为kk x k y 124912-+-=.设),(M M y x M ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=)2(124912x k y k k x k y 消去y ，解得)1(1292022++=k k x M .……………………………………10分在MAO ∆中，||||MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即2222)2(M M M M y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，即1)1(1292022≥++k k ，解得46-≤k 或46≥k .……………………………………………………11分所以直线的斜率的取值范围为),46[]46,(+∞--∞ .…………………………………………12分22.【命题意图】本题主要考查导数与函数的最值，利用导数证明不等式、不等式恒成立等基础知识，意在考查学生转化与化归能力、综合分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力．22.【解析】（1）证明：2()cos 12x f x x =+-)0(≥x ，则x x x f sin )('-=，……………………1分设()sin x x x ϕ=-，则'()1cos x x ϕ=-， ………………………………………………………2分当0≥x 时，'()1cos 0x x ϕ=-≥，即x x x f sin )('-=为增函数，所以0)0(')('=≥f x f ，∴)(x f 在()+∞,0时为增函数，所以0)0()(=≥f x f ．…………………………………………4分（2）解法一：由（1）知0≥x 时，x x ≤sin ，12cos 2+-≥x x ，所以2cos sin 122+-≥++x x x x ， 设2()12xx G x e x =---，则'()1x G x e x =--， (5)分设()1x g x e x =--，则'()1x g x e =-，……………………………………………………………6分当0≥x 时'()10xg x e =-≥，所以()1xg x e x =--为增函数，所以()(0)0g x g ≥=，所以()G x 为增函数，所以()(0)0G x G ≥=，…………………………7分所以2cos sin +-≥x x e x 对任意的0≥x 恒成立.…………………………………………………8分又0≥x ，1≥a 时，x ax e e ≥，所以1≥a 时2cos sin +-≥x x e ax 对任意的0≥x 恒成立.……10分当1<a 时，设2cos sin )(-+-=x x e x h ax ，则x x ae x h ax sin cos )('--=，…………………11分01)0('<-=a h ，所以存在实数00>x ，使得任意),0(0x x ∈，均有0)('<x h ，所以)(x h 在),0(0x为减函数，所以在),0(0x x ∈时0)0()(=<h x h ，所以1<a 时不符合题意.综上，实数a 的取值范围为),1[+∞.……………………………………………………………………12分（2）解法二：因为sin cos axe x x ≥-+2等价于ln(sin cos )ax x x ≥-+2 (6)分设()ln(sin cos )g x ax x x =--+2，则sin cos ()sin cos x xg x a x x +'=--+2 (7)分可求sin cos [,]sin cos x xx x +∈--+112， ………………………………………………………………9分所以当a ≥1时，()g x '≥0恒成立，()g x 在[,)+∞0是增函数，所以()()g x g ≥=00，即ln(sin cos )ax x x ≥-+2，即sin cos ax e x x ≥-+2所以a ≥1时，sin cos ax e x x ≥-+2对任意x ≥0恒成立．………………………………………10分当a <1时，一定存在x >00，满足在(,)x 00时，()g x '<0， 所以()g x 在(,)x 00是减函数，此时一定有()()g x g <=00， 即ln(sin cos )ax x x <-+2，即sin cos axe x x <-+2，不符合题意，故a <1不能满足题意， 综上所述，a ≥1时，sin cos axe x x ≥-+2对任意x ≥0恒成立． (12)分选择题解析： 1.【解析】i iiz 2113+=-+=，i z 21-=∴.z 在复平面内的对应点位于第四象限.故选D. 2.【解析】2{|20}{|21}P y y y y y y =-->=><-或，若P Q R =，(2,3]P Q =，由P Q R =，(2,3]P Q =，所以13{|}Q x x =-≤≤，∴13-，是方程20x ax b ++=的两根，由根与系数关系得1335a b a b -=-+=-∴+=-，．3.【解析】命题的否定，是条件不变，结论否定，同时存量词与全称量词要互换，因此命题“*n N ∀∈，x R ∃∈，使得2n x <”的否定是“*n N ∃∈，x R ∀∈，使得2n x ≥”．故选C ． 4.【解析】由已知可得2206=+a a ，又{}n a 是等差数列，所以206251a a a a +=+，∴数列的前25项和25225)(25125=⨯+=a a S ，所以数列的前25项和为25.故选C.5.【解析】(,)4P t π在sin(2)3y x π=-图象上，21342sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=∴ππt ，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛21,4πP ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴21,4's P π，又'P 位于函数sin 2y x =的图象上，⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-∴s 42sin π212cos 22sin ==⎪⎭⎫⎝⎛-=s s π，322ππ+=∴k s 或32ππ-k ()Z k ∈，0>s ，6min π=∴s .故选A.6.【解析】()()221221sin 3sin 2121x x xf x x x +-=++=-+++，()()2223sin 3sin 2112xx xf x x x --=-+-=--++，且()()4f x f x +-=，所以()f x 是以点()0,2为对称中心，所以其最大值与最小值的和4m n +=.故选D.7.【解析】由()(2)f x f x =-知函数()f x 的图象关于直线1x =对称，当)1,(-∞∈x 时，0)()1(<'-x f x ，则'()0f x >，所以在1x <时，()f x 递增，(3)(23)(1)f f f =-=-，又11012-<<<，所以 1(1)(0)()2f f f -<<，即c a b <<．故选B ．8.【解析】以C 为坐标原点，CA 边所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则()0,1A ，()10，B ，设()y x P ,，则⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥≥0100y x y x 且⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21,1AN ，⎪⎭⎫ ⎝⎛--=21,21y x MP ,4121++-=⋅y x MP AN ，令4121++-=y x t ，结合线性规划知识，则2122-+=t x y ，当直线4121++-=y x t 经过点()0,1A 时，MP AN ⋅有最小值，将()0,1A 代入得43-=t ，当直线4121++-=y x t 经过点()10，B 时，MP AN ⋅有最大值，将()10，B 代入得43=t ，故答案为A ． 9.【解析】由已知得211cos 21()cos 2log 222x f x x x +=+--2cos2log x x =-，令()0f x =，即2cos2log x x =，在同一坐标系中画出函数cos 2y x =和2log y x =的图象，如图所示，两函数图象有两个不同的交点，故函数()f x 的零点个数为2，故选B ．x–1–2–3–41234–1–2–3–41234OO ABS'CO 1（第10题图）10.【解析】由三视图可知，该几何体为如图所示的四棱锥ABCD S -，设x BO =1，则()2212x x =+-，解得45=x ，∴该多面体的外接球半径=+==2121B O OO OB R 164116251=+，所以其表面积为44142ππ==R S ，故选C. 11.【解析】因为3BD DC =BD BC 34=⇒，所以E E E n n n 34+=+=E E n n 3431+-=，设n n mE C E A =，E m E m E n n n 3431+-=∴，又因为11(32)4n n n n n E A a E B a E D +=-+， ()⎪⎩⎪⎨⎧⇒=+--=∴+ma m a n n 342331411231+=+n n a a ， ∴以113(1)n n a a ++=+，又112a +=，所以数列{}1n a +表示首项为2，公比为3的等比数列，所以1123n n a -+=⋅，∴1615=a ,故选D ．12.【解析】对于①，若令(1,1)P ，则其“伴随点”为11(,)22P '-，而11(,)22P '-的“伴随点”为(1,1)--，而不是P ，故①错误；对于②，设曲线(,)0f x y =关于x 轴对称，则(,)0f x y -=与方程(,)0f x y =表示同一曲线，其“伴随曲线”分别为2222(,)0y xf x y x y -=++与2222(,)0y x f x y x y --=++也表示同一曲线，又曲线2222(,)0y xf x y x y -=++与曲线2222(,)0y xf x y x y --=++的图象关于y 轴对称，所以②正确；③设单位圆上任一点的坐标为(cos ,sin )P x x ，其“伴随点”为(sin ,cos )P x x '-仍在单位圆上，故③正确；对于④,直线b kx y +=上任一点),(y x P 的“伴随点”为'2222(,)y x P x y x y-++，∴'P 的轨迹是圆，故④错误，所以正确的为序号为②③．故选B. 填空题解析：13.【解析】5191()(),()()2222f f f f -=-=，∴59()()22f f -=111123()()222255f f a a ⇒-=⇒-+=-⇒=∴32(5)(3)(1)(1)155f a f f f ===-=-+=- 14.【解析】设阴影部分的面积为S ,则dx x x S )(012-=⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3233132x x 313132|10=-=，又正方形面积为1，31=∴a ，∴()⎪⎩⎪⎨⎧<≥=)31(31()31(log 3x x x x f x ）)(x f ∴的值域为[)∞+-，115.【解析】 x x x f 2cos 22sin 23)(+-=',123)4(=-='πf ,则1=a ，点P 的坐标为)1,1(，若P 为切点，23x y ='，曲线3y x =在点P 处切线的斜率为3，切线方程为)1(31-=-x y ，即023=--y x ；若P 不为切点，曲线3y x =的切线的切点为),(n m ，曲线3y x =的切线的斜率 23m k =，则2311m m n =--，又3m n =，则21-=m ，81-=n ，得出切线方程)21(4381+=+x y ， 即0143=+-y x .∴过曲线3y x =上一点(),P a b 的切线方程为3203410x y x y --=-+=或.16.【解析】设()()()1111,,,,,y C x y A x y B x --，显然12,x x x x ≠≠．∵点,A C 在双曲线上，∴221122222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得22212221y y b x x a -=-， ∴22211212BC 222111=AC y y y y y y b k k k k x x x x x x a -+-===-+- . 由()1212121222ln ln ln y k k k k k k k k =++=+， 设12t k k =， 则2ln y t t =+，∴求导得221y t t '=-+，由220t y t-'==得2t =． ∴2ln y t t =+在()2,0单调递减，在()+∞,2单调递增，∴2t =时即122k k =时2ln y t t=+取最小值，∴222b a =，∴e ==。

2021届河北省正定中学高三上学期第四次月考数学（文）试题解析2021届河北省正定中学高三上学期第四次月考数学（文）试题解析绝密★ 使用前数学(文科）班注意事项：1.本试卷分为两部分：第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）。

测试时间为120分钟，共150分。

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

3.回答第一卷时，选择每个小问题的答案，并用铅笔涂黑答题卡上相应问题的答案标签。

在回答第二卷时，将答案写在答题纸上，这在本试卷上无效。

4.考试结束后，将试卷和答题纸一起退回。

姓名第一卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如果集合a={xox-1>0}，集合B={xOxO≤ 2} ，然后∩ B=A.（-1,2）B.[2,2]C.（1,2]D.[2，+OO）2.复数的共扼复数是c、 1+id.l-ia.-l-ib.-1+i。

3.在△abc中，角a、b、c所对边长分别为a、b、c，a=l,b=30，则“b=的a、充分和不必要条件B.必要和不充分条件C.必要和充分条件D.既不充分也不必要条件。

“是”B=604.直线ax+6y+c=0(a、b∈r)与圆x2+y2=1交于不同的两点a、b，若?=-,其中0为坐标原点，则oabo=a.3b。

22摄氏度。

1.22d。

2.95.假设a=a.B,b=2，2,c=0.7,则b、 a6。

已知函数f（x）=sin（2x+图像A.向左平移B.向右平移C.向左平移D.向右平移个单位个单位个单位个单位)为了得到（x，y）=（x，y）=2x的函数7.如图，给出的是计算++...+框内应填入的条件是a、我≤1007?b、 i>1008？c、我≤1008?d、 i>1007？的值的一个程序框图，则判断8.在等比序列{an}中，a1+A2+a3+A4+A5=27，+++=3，然后a3=a.±9b 9c。

2020—2021学年度第一学期高三年级期中考试数学试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题（每小题5分，共40分．下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1. 已知集合{}2|450A x x x =--<，{}|10B x x =->，则AB =（ ）A. (),1-∞B. (1,1)-C. ()1,5D. ()0,5【答案】C 【解析】 【分析】解不等式可得{}|15A x x =-<<，{}|1B x x =>，再由集合的交集运算即可得解. 【详解】因为{}{}2|450|15A x x x x x =--<=-<<，{}{}|10|1B x x x x =->=>，所以AB ={}()5|11,5x x <<=.故选：C.【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解，考查了集合的交集运算，属于基础题. 2. 若函数sin y x =的图象与直线y x =-一个交点的坐标为()00,x y ，则220031cos 2x x π⎛⎫-++= ⎪⎝⎭( ) A. 1- B. 1C. ±1D. 无法确定【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得00sin x x =-，代入220031cos 2x x π⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，利用诱导公式化简求值． 【详解】解：由题意，00sin x x =-，2222000031cos 1sin sin 12x x x x π⎛⎫∴-++=-+= ⎪⎝⎭．故选：B ．【点睛】本题考查诱导公式的应用，是基础题．3. 沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为12cm ，体积为372cm π的细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆的高度为（ ）A. 3cmB. 6cmC. 8cmD. 9cm【答案】B 【解析】 【分析】已知圆锥体积和底面圆锥直径，代入公式可求其高.【详解】解：细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径为6，设高为h ， 则211π672π33V Sh h ==⨯⨯=，6h =， 故选：B ．【点睛】考查圆锥体积公式的应用，基础题.4. 已知向量()5,a m =，()2,2b =-，若()a b b -⊥，则实数m =（ ） A. -1 B. 1C. 2D. -2【答案】B 【解析】 【分析】根据已知向量坐标，将a b -应用坐标表示，由()a b b -⊥知()0a b b -⋅=，结合数量积的坐标公式求参数值【详解】∵向量()5,=a m ，()2,2b =- ∴()3,2a b m -=+ 又()a b b -⊥∴()0a b b -⋅=，即()6220m -+=，解得1m = 故选：B【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示求参数，根据向量垂直，由数量积的坐标公式列方程求参数5. 设有直线m 、n 和平面α、β.下列四个命题中，正确的是( ) A. 若m ∥α,n ∥α,则m ∥nB. 若m ⊂α,n ⊂α,m ∥β,n ∥β,则α∥βC. 若α⊥β，m ⊂α,则m ⊥βD. 若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α,则m ∥α【答案】D 【解析】【详解】当两条直线同时与一个平面平行时，两条直线之间的关系不能确定，故A 不正确， B 选项再加上两条直线相交的条件，可以判断面与面平行，故B 不正确， C 选项再加上m 垂直于两个平面的交线，得到线面垂直，故C 不正确， D 选项中由α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，可得m ∥α，故是正确命题， 故选D6. 函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于,M N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是A. 函数()f x 的最小正周期是2πB. 函数()f x 的图象关于点,034⎛⎫π ⎪⎝⎭成中心对称 C. 函数()f x 在2(,)36ππ--单调递增 D. 函数()f x 的图象向右平移512π后关于原点成中心对称【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的图象，求得函数()sin 23f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据正弦型函数的性质，即可求解，得到答案．【详解】根据给定函数的图象，可得点C 的横坐标为3π，所以1()2362T πππ=--=，解得T π=，所以()f x 的最小正周期T π=， 不妨令0A >，0ϕπ<<，由周期T π=，所以2ω=， 又06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以3πϕ=，所以()sin 23f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令2,3x k k Z ππ+=∈，解得,26k x k Z ππ=-∈，当3k =时，43x π=，即函数()f x 的一个对称中心为4,03π⎛⎫⎪⎝⎭，即函数()f x 的图象关于点4,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称．故选B ． 【点睛】本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得三角函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题．7. 将正整数12分解成两个正整数的乘积有112⨯，26⨯，34⨯三种，其中34⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称34⨯为12的最佳分解.当p q ⨯(p q ≤且p ､N*q ∈)是正整数n 的最佳分解时，我们定义函数()f n q p =-，例如()12431f =-=，则数列(){}3nf 的前2020项和为（ ） A. 101031- B. 10103 C. 101131- D. 10113【答案】A 【解析】 【分析】按照n 为偶数、n 为奇数分类，再结合等比数列的前n 项和公式即可得解.【详解】当n 为偶数时，()30nf =；当n 为奇数时，()11122233323n n n n f +--=-=⨯；所以数列(){}3nf 的前2020项和()021*******23333S=+++⋅⋅⋅+()01010101031323113-=⨯=--.故选：A.【点睛】本题考查了数学文化及等比数列前n 项和公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.8. 若函数()()e ,01,1,0x x f x af x x ⎧<≤⎪=⎨+≤⎪⎩是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. ()0,1【答案】B 【解析】 【分析】先求出0x ≤时()f x 解析式为()n x nf x a e +=，式其在(),0-∞单调递增，所以0n a >，再结合0x ≤时()f x 最大值()00e e n n f a =≤，即可求出a 的取值范围.【详解】由题知，当(]()*,1x n n n ∈--+∈N 时，(]0,1x n +∈()*n ∈N ，所以()()()()212n n x n f x af x a f x a f x n a e +=+=+==+=，要使()f x 单调递增，只需0n a >且()00e e n n f a =≤，则0a >且1e nna ≤， 即0a >且1e a ≤，故10ea <≤． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了求函数解析式，利用函数在定义域内单调递增求参数的取值范围，属于中档题.二、多项选择题（每小题5分，共20分．下列每小题所给选项至少有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）9. 已知等比数列{}n a 中，满足11a =，2q ，n S 是{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的是（ ）A. 数列{}2n a 是等比数列B. 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列 C. 数列{}2log n a 是等差数列 D. 数列{}n a 中，10S ，20S ，30S 仍成等比数列 【答案】AC 【解析】 【分析】 由已知得12n na 可得以2122n n a -=，可判断A ；又1111122n n n a --⎛⎫== ⎪⎝⎭，可判断B ；由122log log 21n n a n -==-，可判断C ；求得10S ，20S ，30S ，可判断D.【详解】等比数列{}n a 中，满足11a =，2q ，所以12n n a ，所以2122n n a -=，所以数列{}2n a 是等比数列，故A 正确；又1111122n n n a --⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列，故B 不正确；因为122log log 21n n a n -==-，所以{}2log n a 是等差数列，故C 正确；数列{}n a 中，101010111222S -==--，202021S =-，303021S =-，10S ，20S ，30S 不成等比数列，故D 不正确；故选：AC .【点睛】本题综合考查等差、等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式，以及数列的单调性的判定，属于中档题.10. x ∀∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数.十八世纪，[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”．则下列命题中正确的是（ ） A. []1,0x ∀∈-，[]1x =- B. x ∃∈R ，[]1x x ≥+C. ,x y ∀∈R ，[][][]x y x y +≤+D. 函数[]()y x x x =-∈R 的值域为[)0,1【答案】CD 【解析】 【分析】结合[]x 的定义，对选项逐个分析，可选出答案.【详解】对于A ，[]01,0∈-，而[]001=≠-，故A 错误； 对于B ，因为[]1x x -<，所以[]1x x <+恒成立，故B 错误；对于C ，,x y ∀∈R ，[]01x x ≤-<，[]01y y ≤-<，所以[][]02x x y y ≤-+-<， 当[][]12x x y y ≤-+-<时，[][][]1x y x y ++=+，此时[][][]x y x y +<+； 当[][]01x x y y ≤-+-<时，[][][]x y x y +=+，此时[][][]x y x y +=+， 所以,x y ∀∈R ，[][][]x y x y +≤+，故C 正确；对于D ，根据定义可知，[]01x x ≤-<，所以函数[]()y x x x =-∈R 的值域为[)0,1，故D 正确. 故选：CD.【点睛】本题考查函数新定义，考查学生的推理能力，属于中档题.11. 如图，在边长为4的正三角形ABC 中，E 为边AB 的中点，过E 作ED AC ⊥于D .把ADE 沿DE 翻折至1A DE △的位置，连结1A C .翻折过程中，其中正确的结论是（ ）A. 1DE A C ⊥；B. 存在某个位置，使1A E BE ⊥；C. 若12CF FA =，则BF 的长是定值；D. 若12CF FA =，则四面体C EFB -43【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质判断A ，B ；取AC 中点M ，可证明FM BM ⊥，从而可计算出BF ，判断C ；折叠过程中，BCE 不动，当F 到平面ABC 的距离最大时，四面体C EFB -的体积最大，从而计算出最大体积后判断D ． 【详解】由DE DC ⊥，1DE A D ⊥，1DCA D D =得DE ⊥平面1A DC ，又1AC ⊂平面1A DC ，所以1DE A C ⊥，A 正确；若存在某个位置，使1A E BE ⊥，如图，连接11,A A A B ，因为BE AE =，所以1A E AB ⊥，连接CE ，正ABC 中，CE AB ⊥，1CE A E E ⋂=，所以AB ⊥平面1A CE ，而1AC ⊂平面1A CE ，所以1AB A C ⊥，由选项A 的判断有1DE A C ⊥，且DEAB E =，DE ⊂平面ABC ，AB 平面ABC ，所以1A C ⊥平面ABC ，又DC ⊂平面ABC ，所以1A C DC ⊥，则1A D CD >，这是不可能的，事实上11111cos602443A D AD AE AE AB AC CD==︒====，B错；设M是AC中点，连接,FM BM，则BM AC⊥，所以//BM DE，从而1BM A D⊥，D 是AM中点，所以2CM AM MD==，若12CF FA=，即12CF FA=，所以1//FM A D，所以BM FM⊥，且由1//FM A D得1CFM CA D△△，所以123FM CMA D CD==，ABC边长为4，则11A D=，22133FM=⨯=，23BM=，()22222472333BF BM FM⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭为定值，C正确；折叠过程中，1A D不变，BCE不动，当F到平面ABC的距离最大时，四面体C EFB-的体积最大，由选项C的判断知当1A D⊥平面ABC时，F到平面ABC的距离最大且为12233A D=，又21342324BCES=⨯⨯=△12432333C EFB F BCEV V--==⨯=，D正确．故选：ACD．【点睛】本题考查折叠过程中的线面间的位置关系，考查线面垂直的判定与性质，考查棱锥的体积计算，本题考查学生的分析问题解决问题的能力，考查空间想象能力，属于中档题． 12. 已知定义在(1,)+∞上的函数ln 32()1x x x f x x +-=-，定义函数(),()(),()f x f x m g x m f x m≥⎧=⎨<⎩（其中m 为实数），若对于任意的(1,)x ∈+∞，都有()()g x f x =，则整数m 可以为（ ） A. 4 B. 5C. 6D. 7【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，得到()m f x ≤在(1,)x ∈+∞恒成立，只需min ()m f x ≤，对()f x 求导，根据导数的方法研究其单调性，求出最值，即可得出结果.【详解】由题若对于任意的(1,)x ∈+∞，都有()()g x f x =，则有()m f x ≤在(1,)x ∈+∞恒成立，只需min ()m f x ≤， 因为ln 32()1x x x f x x +-=-，所以()()()()22ln 131ln 32ln 2()(1)1x x x x x x x f x x x ++--+--+-'==--， 令()ln 2h x x x =-+-，则1()10h x x'=-+>，∴()h x 在(1,)+∞上单调递增， 又由(3)ln 310h =-+<，(4)ln 420h =-+>，∴0(3,4)x ∃∈满足()00h x =，即有00ln 2x x =-， 此时()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 所以()000min 00ln 32()1x x x f x f x x +-==-()000002322(5,6)1x x x x x -+-==+∈-∴5m ≤. 故选：AB .【点睛】本题主要考查导数的方法研究方程有实根的问题，将问题转化为不等式恒成立求解，是解集该题的关键，属于常考题型.第Ⅱ卷（共90分）三、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分；第16题第一个空2分，第二个空3分）13. 已知函数()31,0log ,0x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩，则()()8f f -=____________．【答案】2 【解析】 【分析】由函数()y f x =的解析式由内到外逐层可计算得出()()8ff -的值.【详解】()31,0log ,0x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩，()8819f ∴-=+=，因此，()()()23389log9log 32ff f -====.故答案为：2.【点睛】本题考查分段函数值的计算，考查计算能力，属于基础题. 14. 若直线l ：2(0,0)x ya b a b+=>> 经过点(2,4)，则+a b 的最小值是_______．【答案】3+ 【解析】 由题意得()121221333a b a b a b a b a b b a ⎛⎫+=⇒+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭当且仅当2a bb a=即b =时等号成立，即所求的最小值为3+． 15. 已知在锐角ABC ∆中，3A π=，2CA CB -=，则CA CB ⋅的取值范围是____________.【答案】()0,12【解析】 分析】以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，得到点C 的坐标，找出ABC ∆为锐角三角形的点C 的坐标，即可得出CA CB ⋅的取值范围.【详解】以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，3A π=，2CA CB BA -==，所以，()1,3B ，设(),0C x ，因为ABC ∆是锐角三角形，所以23B C π+=，62C ππ∴<<， 即C 在如图的线段DE 上（不与D 、E 重合），所以14x <<，(),0CA x =-，()1,3CB x =-，所以，()22110,1224CA CB x x x ⎛⎫⋅=-=--∈ ⎪⎝⎭.因此，CA CB ⋅的取值范围是()0,12. 故答案为：()0,12.【点睛】本题考查平面向量数量积取值范围的计算，解答的关键就是将平面向量数量积转化为坐标来计算，转化为以某变量为自变量的函数的值域来求解，考查化归与转化思想以及运算求解能力，属于中等题.16. 我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童.如图的刍童ABCD EFGH -有外接球，且26,22,15,5AB AD EH EF ====，平面EFGH 与平面ABCD 的距离为1则，该刍童外接球的体积为______.【答案】36π 【解析】 【分析】首先设O 为刍童外接球的球心，1O ，2O 分别为矩形EFGH ，ABCD 的中心，由球的几何性质可知：O ，1O ，2O 三点共线，连接1OO ，1O G ，OG ，2O B ，OB ，再分别计算得到()215OG m =++，28OB m =+，根据R OG OB ==，即可得到答案.【详解】设O 为刍童外接球的球心，1O ，2O 分别为矩形EFGH ，ABCD 的中心， 由球的几何性质可知：O ，1O ，2O 三点共线，连接1OO ，1O G ，OG ，2O B ，OB ，如图所示：由题知：2OO ⊥平面ABCD ，1OO ⊥平面EFGH ，所以121O O =. 因为22111155522O G EF FG =+=+=， 设2OO m =，在1RT OGO △中，()2221115OG OO O G m =+=++，因为222118242222O B AD AB =+=+=， 在2RT OBO △中，222228OB OO O B m =+=+，设外接球的半径为R ，则R OG OB ==， 所以()22158m m ++=+，解得1m =.所以()21153R =++=，36433V R ππ==.故答案为：36π【点睛】关键点点睛：本题主要考查几何体的外接球，解题的关键是找到外接球的球心，本题中首先设出外接球的球心，根据半径相等得到等量关系，从而求出球体半径和体积，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.四、解答题：（本大题共6小题，共70分；第17题10分，第18-22题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17. 已知等差数列{}n a 的公差为()d d ≠0，前n 项和为n S ，且满足_____.（从①10105(1);S a =+②126,,a a a 成等比数列；③535S =，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题） （1）求n a ； （2）若12n n b =，求数列{}n n a b +的前n 项和n T . 【答案】（1）选择①②、①③、②③条件组合,32n a n =-； （2）232122n n n n T -+=-【解析】 【分析】（1）先将①②③条件简化，再根据选择①②、①③、②③条件组合运算即可；（2）3221n n nn a b -=++，利用分组求和法计算即可. 【详解】（1）①由()101051S a =+，得()11109105912a d a d ⨯+=++，即11a =； ②由1a ，2a ，6a 成等比数列，得2216a a a =，222111125a a d d a a d ++=+，即13d a =﹔③由535S =，得()15355352a a a +==，即3127a a d =+=； 选择①②、①③、②③条件组合，均得13a =、3d =，即32n a n =-﹔（2）由（I ）得3221n n n n a b -=++， 则231111[147(32)]()2222n n T n =++++-+++++11(1)(132)221212n n n -+-=+-232122n n n -+=-，即232122n n n n T -+=-【点晴】本题考查等差数列、等比数列的综合计算问题，涉及到基本量的计算，分组求和法求数列的和，考查学生的数学运算能力，属于容易题.18. 在ABC 中，角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，2sin cos sin 2sin b C A a A c B +=；（1）证明：ABC 为等腰三角形；（2）若D 为BC 边上的点，2BD DC =，且2ADB ACD ∠=∠，3a =，求b 的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）3b =．【解析】 【分析】(1)根据已有等式2sin cos sin 2sin b C A a A c B +=，利用正弦定理作角化边，可得22cos 2bc A a cb +=，最后再由余弦定理把所有角都化为边的等式得2222222b c a bc a bc bc+-⋅+=；最后，根据等式可化简出b c =，故可证ABC 为等腰三角形.(2)由 2BD =，1DC =，2,ADB ACD ACD DAC ∠=∠=∠+∠可得ACD DAC ∠=∠， 然后，就可以根据角的相等关系，根据余弦定理或相似关系列出等式进行求解即可. 【详解】（1）2sin cos sin 2sin b C A a A c B +=，由正弦定理得：22cos 2bc A a cb +=，由余弦定理得：2222222b c a bc a bc bc+-⋅+=；化简得：222b c bc +=, 所以()20b c -=即b c =， 故ABC 为等腰三角形． （2）如图，由已知得2BD =，1DC =，2,ADB ACD ACD DAC ∠=∠=∠+∠ACD DAC ∴∠=∠， 1AD CD ∴==，又cos cos ADB ADC ∠=-∠，22222222AD BD AB AD CD AC AD BD AD CD +-+-∴=-⋅⋅， 即2222221211221211c b +-+-=-⨯⨯⨯⨯， 得2229b c +=，由（1）可知b c =，得3b =．解法二：取BC 的中点E ，连接AE ．由（1）知,AB AC AE BC =∴⊥， 由已知得31,1,22EC DC ED ===，2,ADB ACD ACD DAC ∠=∠=∠+∠ACD DAC ∴∠=∠，2221312AE AD DE ⎛⎫∴=-=-=⎪⎝⎭， 222233322b AC AE EC ⎛⎫⎛⎫∴==+=+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解法三：由已知可得113CD a ==，由（1）知，,AB AC B C =∴∠=∠， 又2DAC ADB C C C C ∠=∠-∠=∠-∠=∠，CAB CDA ∴∽，即CB CA CA CD =，即31bb =， 3b ∴=【点睛】本题考查解三角形的问题，（1）题的关键就是利用正弦定理和余弦定理作角化边的转化，(2)题的难点在于根据已有关系化简出相应的等式关系求解，难度属于一般题.19. 如图，三棱锥A BCD -中，侧面ABD △是边长为2的正三角形，22AC CD ==，平面ABD ⊥平面BCD ，把平面ACD 沿CD 旋转至平面PCD 的位置，记点A 旋转后对应的点为P （不在平面BCD 内），M 、N 分别是BD 、CD 的中点.（1）求证：CD MN ⊥；（2）求三棱锥C APD -的体积的最大值. 【答案】（1）证明见解析；（2）58. 【解析】 【分析】（1）连接AM 、MC ，利用面面垂直的性质定理得出AM ⊥平面BCD ，可得出AM MC ⊥，利用勾股定理计算出1MC =，推导出BCD △是以BCD ∠为直角的直角三角形，再由中位线的性质得出//MN BC ，由此可得出MN CD ⊥；（2）由ACD △的面积为定值，可知当平面PCD ⊥平面ACD 时，三棱锥P ACD -的体积最大，连接PN 、AN ，推导出PN 平面ACD ，计算出AN 、PN 以及ACD △的面积，然后利用锥体的体积公式可求得结果. 【详解】（1）如图，连接AM 、MC ，因为AB AD =，M 是BD 的中点，所以AM BD ⊥，又平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，AM ⊂平面ABD ， 所以AM ⊥平面BCD ，MC ⊂平面BCD ，所以AM MC ⊥．因为ABD △为边长为2的正三角形，所以3AM = 又2AC =，所以由勾股定理可得221MC AC AM -=，又1MC MD MB ===，MCB MBC ∴∠=∠，MCD MDC ∠=∠，180MBC MDC BCD ∠+∠+∠=，则2180BCD ∠=，90BCD ∴∠=，所以BCD △为直角三角形，且BC CD ⊥，又M 、N 分别是BD 、CD 的中点，所以//MN BC ，所以MN CD ⊥； （2）如图，连接AN 、PN ，因为三棱锥C APD -与三棱锥P ACD -为同一个三棱锥，且ACD △的面积为定值， 所以当三棱锥P ACD -的体积最大时，则平面PCD ⊥平面ACD ，AC AD =，则PC PD =，N 为CD 的中点，则PN CD ⊥，平面PCD ⊥平面ACD ，平面PCD平面ACD CD =，PN ⊂平面PCD ，PN ∴⊥平面ACD ，此时点P 到平面ACD 的距离为22152PN AN AC CN ==-=， 在ACD △中，因为2AC AD ==，1CD =，所以111515122ACD S CD AN =⋅=⨯=△ 所以P ACD V -的最大值为1115155338ACD S PN ⋅==△， 所以三棱锥C APD -的体积的最大值为58． 【点睛】本题考查利用线面垂直证明线线垂直，同时也考查了利用等体积法计算三棱锥体积的最值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20. 为了研究某种癌细胞的繁殖规律和一种新型抗癌药物的作用，将癌细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，癌细胞的繁殖规律与天数的关系如下表.已知这种癌细胞在小白鼠体内的个数超过810时小白鼠将会死亡，注射这种抗癌药物可杀死其体内癌细胞的98%. 天数t 1 2 3 4 5 6 7 … 癌细胞个数N1248163264…（1）要使小白鼠在实验中不死亡，第一次最迟应在第几天注射该种药物？(精确到1天) （2）若在第10天，第20天，第30天，……给小白鼠注射这种药物，问第38天小白鼠是否仍然存活？请说明理由.【答案】（1）第一次最迟应在第27天注射该种药物；（2）仍然存活. 【解析】 【分析】（1）根据表格可得癌细胞个数，成等比数列增长，首项为1，公比为2，其通项为12t t a -=，要使小白鼠在实验中不死亡，可建立不等式18210t -≤，解不等式即可求得结论；（2）设第n 次注射药物后小白鼠体内的这种癌细胞个数为n a ，可得1012(198%)n n n a -=-，从而可知第3次注射药物后小白鼠体内的这种癌细胞个数，由此可得结论．【详解】（1）根据表格可得癌细胞个数，成等比数列增长，首项为1，公比为2，其通项为12t t a -=，要使小白鼠在实验中不死亡，可建立不等式18210t -≤.∴82log 10127.58t ≤+≈， 即第一次最迟应在第27天注射该种药物.（2）设第n 次注射药物后小白鼠体内的这种癌细胞个数为n a ，则()912198%a =-，且()1012198%n n a a +=-.∴()1012198%nn n a -=- ∴()3103132198%a ⨯-=-，即第3次注射后小白鼠体内的这种癌细胞个数为3232100.∴到第38天小白鼠体内这种癌细胞个数为32878322 1.11010100⨯≈⨯< ∴第38天小白鼠仍然存活.【点睛】本题考查数列模型的运用，考查解不等式，解题的关键是确定数列模型．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题做出解答，其中关键是建立数学模型. 21. 在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，2224AB CD BC AD ====，60DAB ∠=︒，AE BE =，PAD ∆为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD .（1）求二面角P EC D --的余弦值；（2）线段PC 上是否存在一点M ，使异面直线DM 和PE 所成角的余弦值为68？若存在，指出点M 的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）22（2）存在点M 为线段PC 的三等分点满足题意，详见解析 【解析】 【分析】（1）利用向量法求二面角P EC D --的余弦值；（2）设(01)PM PC λλ=，利用向量法得到26cos ,610104DM PE λλ<>==⋅-+. 【详解】设O 是AD 中点，PAD ∆为正三角形， 则PO AD ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，PO ⊥面ABCD ，又∵2AD AE ==，60DAB ∠=︒，所以ADE 为正三角形，OE AD ⊥，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，则(()3,3,0P E ()()3,0,1,0,0C D --， 于是(2,3,3),(0,3,3)PC PE =--=，3)DP =，(1)设平面PEC法向量为1(,,)n x y z =，由120,0PC n PE n ⋅=⋅=得一个法向量为1(0,1,1)n =， 平面EDC 的一个法向量为2(0,0,1)n =， 设二面角P EC D --的平面角为θ，则12|cos |cos ,n n θ=<>==由图知为θ锐角，所以，二面角P EC D --的余弦值为2.(2) 设(01)PM PC λλ=，则(2,)PM λ=-，(12,3,33),(0,3,DM DP PM PE λλλ=+=--=，所以cos ,8||6DM PE DM PE DM PE ⋅<>===‖解得13λ=或23，所以存在点M 为线段PC 的三等分点. 【点睛】本题主要考查空间二面角的求法，考查异面直线所成的角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 22. 已知函数()2214ln 3x a f x x x +=++-，()4ln g x x =． （1）求证：()211f x a x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭； （2）用{}max ,p q 表示p ，q 中的最大值，记()()(){}max ,h x f x g x =，讨论函数()h x 零点的个数．【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析. 【解析】 【分析】(1）作差构造函数，用导数方法证明最小值大于等于0; (2）利用分类讨论思想和导数方法以及零点存性定理可得．【详解】（1）设()2221114ln 314ln 1x x a a x x x x x ϕ+⎛⎫⎛⎫=++----=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 其定义域为()0,∞+，()()2241114x x x x x ϕ-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭'． 当01x <<时，()0x ϕ'<； 当1x >时，()0x ϕ'>．故()x ϕ在()0,1上是减函数，在()1,+∞上是增函数，所以1x =是()x ϕ的极小值点，也是()x ϕ的最小值点，即()()()min 10x x ϕϕϕ≥==，故()211f x a x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭成立． （2）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()()3232211422x x x x x f x x +-=--='， 当01x <<时，()0f x '<； 当1x >时，()0f x '>；所以()f x 在()0,1上是减函数，在()1,+∞上是增函数，所以1x =是()f x 的极小值点，也是()f x 的最小值点，即()()min 1f x f a ==． （ⅰ）若0a =，()()()()22131213x x x x x x x f g -++=-=--． 当01x <<时，()()f x g x >； 当1x =时，()()f x g x =； 当1x >时，()()f x g x <，所以()()(),01,,1,f x x h x g x x ⎧<<⎪=⎨≥⎪⎩此时，()h x 只有一个零点1x =； （ⅱ）若0a >，()()()()2131x x f x g x a x -+-=-+，当01x <≤时，()()f x g x >，则()()0h x f x a =≥>； 当1x >时，()0f x a >>，()0g x >，则()0h x >． 此时()h x 没有零点；（ⅲ）若0a <，当01x <<时，根据（1）知，()211f x a x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭．而011a <<-+，所以()21101f a a a >-+-+= ⎪-+⎝⎭，又()()min 10f x f a ==<，所以()f x 在()0,1上只有一个零点0x ， 从而一定存在()0,1c x ∈，使得()()f c g c =，即22130c a c ++-=， 即2213c a c +-=． 当x c >时，()()222212121320x x c x c c x a x x c g x f cx c x x +++-+⎛⎫=--+=-+=+> ⎪⎝⎭-， 所以()()g x f x >，从而()()(),0,,f x x c h x g x x c ⎧<≤⎪=⎨>⎪⎩从而()h x 在()0,c 上有一个零点0x ，在(),c +∞上有一个零点1．此时，当0a <时，()h x 有两个零点． 综上，当0a =时，()h x 有一个零点； 当0a >时，()h x 没有零点； 当0a <时，()h x 有两个零点．【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的最值，零点，证明不等式，考查了分类讨论思想，属难题．23. 已知三棱锥A BCD -中，ABC 与BCD △均为等腰直角三角形，且90BAC ∠=，6BC CD ==，E 为AD 上一点，且CE ⊥平面ABD .（1）求证：AB CD ⊥；（2）过E 作一平面分别交AC ， BC ， BD 于F ，G ，H ，若四边形EFGH 为平行四边形，求多面体ABEFGH 的表面积.【答案】（1）证明见解析.（2）75352+【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理，证得AB ⊥平面ACD ，再利用性质定理，即可证得AB CD ⊥，（2）由线面垂直的判定定理和性质定理，得到CD AC ⊥，在Rt ACD △中，求得AD =，进而得到AE =13AE AD =，再利用线面平行的性质定理得到//EF CD ，进而得到四边形EFGH 为矩形，同理求得FG =，结合面积公式，即可求解. 【详解】（1）由90BAC ∠=，所以AB AC ⊥， 由CE ⊥平面ABD ，AB 平面ABD ，可得CE AB ⊥，又由ACCE C =，且AC ⊂平面ACD ，CE ⊂平面ACD ，所以AB ⊥平面ACD ，又因为CD ⊂平面ACD ,所以AB CD ⊥.（2）在等腰直角BCD ∆中，6BC CD ==，所以BC CD ⊥， 又因为AB CD ⊥，可得CD ⊥平面ABC ，所以CD AC ⊥.等腰Rt ABC 中，由6BC =，可得AC =又Rt ACD △中，6CD =，CE AD ⊥，所以AD ==而2AC AE AD =⋅，可得AE =13AE AD =， 因为四边形EFGH 为平行四边形，所以//EF GH ，可得//EF 平面BCD ， 又EF ⊂平面ACD ，且平面ACD 平面BCD CD =，所以//EF CD ，由13AE AD =，可得123EF CD ==，且有13AF AC =，由CD ⊥平面ABC ，可得CD FG ⊥，进而得到EF FG ⊥，所以四边形EFGH 为矩形，同理可得//FG AB ，且23FG AB ==可得11222AEF E S F AF =⨯⨯=⨯=△1122222BGH GF B S G =⨯=⨯⨯=△，2EFGHEF F SG ⨯=⨯==5ABGF S =AEHB S =△所以所求表面积为7S =+【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，以及几何体的表面积的计算，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质，严密的逻辑推理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.。

2020-2021石家庄市高三数学上期中试题(含答案)一、选择题1．朱载堉(1536～1611)，是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”．即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为1f ，第七个音的频率为2f ，则21f f ＝ A．BCD2．已知等差数列{}n a 中，10103a =，20172017S =，则2018S =（ ） A ．2018B ．2018-C ．4036-D ．40363．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,若(){}nf a 仍是比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞⋃+∞上的如下函数： ①()3f x x =；②()xf x e =；③()f x =④()ln f x x =则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（ ） A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④4．已知数列{}n a 满足11a =，12nn n a a +=+，则10a =（ ）A ．1024B ．2048C ．1023D ．20475．已知等比数列{}n a 中，11a =，356a a +=，则57a a +=（ ） A ．12B ．10C．D．6．关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（ ）A ．[)(]3,24,5--⋃B ．()()3,24,5--⋃C ．(]4,5D ．（4,5）7．在等差数列{}n a 中，351024a a a ++=，则此数列的前13项的和等于（ ） A ．16B ．26C ．8D ．138．已知AB AC ⊥u u u v u u u v ，1AB t=u u uv ，AC t =u u u v ，若P 点是ABC V 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则·PB PC u u u v u u u v 的最大值等于（ ）.A ．13B ．15C ．19D ．219．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30°，第一排和最后一排的距离为102米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）A ．3323B ．5323C ．323D ．832310．若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则 A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a <<D ．b a c <<11．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC V 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 12．若a ，b ，c ，d∈R，则下列说法正确的是（ ）A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bdB ．若a ＞b ，c ＞d ，则a+c ＞b+dC ．若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则c da b> D ．若a ＞b ，c ＞d ，则a ﹣c ＞b ﹣d二、填空题13．设数列{}()1,n a n n N*≥∈满足122,6aa ==，且()()2112n n n n a a a a +++---=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122019201920192019[]a a a +++=L ____________． 14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =，且对于任意1n >，*n N ∈，满足11n n S S +-+=2(1)n S +，则10S 的值为__________15．等差数列{}n a 中，1351,14,a a a =+=其前n 项和100n S =，则n=＿＿ 16．已知数列{}n a 满足11a =，111n na a +=-+，*n N ∈，则2019a =__________．17．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥21,01,()22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩ 若任意的[],1x m m ∈+，不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是 ____________18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且1n n S a λ=-（λ为常数）．若数列{}n b 满足2n n a b n =-920n +-，且1n n b b +<，则满足条件的n 的取值集合为________．19．若两个正实数,x y 满足141x y +=，且不等式234yx m m +<-有解，则实数m 的取值范围是____________ .20．已知实数x ，y 满足约束条件20x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩，若2z x y =+的最小值为3，则实数b =____ 三、解答题21．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin 3a B b A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（1）求A ；（2）若,b c 成等差数列，ABC ∆的面积为a ． 22．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =.（Ⅰ）求b 和sin A 的值； （Ⅱ）求πsin(2)4A +的值. 23．设数列{}n a 满足12a = ，12nn n a a +-= ；数列{}n b 的前n 项和为n S ，且2132n S n n =-（）（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若n n n c a b = ，求数列{}n c 的前n 项和n T ．24．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且211a =，7161S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 25．D 为ABC V 的边BC 的中点．222AB AC AD ===．（1）求BC 的长；（2）若ACB ∠的平分线交AB 于E ，求ACE S V ．26．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为21200800002y x x =-+，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】：先设第一个音的频率为a ，设相邻两个音之间的频率之比为q ，得出通项公式， 根据最后一个音是最初那个音的频率的2倍，得出公比，最后计算第三个音的频率与第七个音的频率的比值。

2016-2017学年河北省石家庄市正定中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知i是虚数单位，若=2﹣i，则z的模为（）A．B．2 C．i D．12．（5分）如图，设全集为U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x≥1}B．{x|1≤x＜2}C．{x|0＜x≤1}D．{x|x≤1}3．（5分）命题“∀x＞0，x2+x＞0“的否定是（）A．∃x＞0，使得x2+x＞0 B．∃x＞0，x2+x≤0C．∀x＞0，都有x2+x≤0 D．∀x≤0，都有x2+x＞04．（5分）已知平面向量=（0，﹣1），=（1，1），|λ+|=，则λ的值为（）A．3 B．2 C．3或﹣1 D．2或﹣15．（5分）中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需要按墙上的空调造型摆出相同姿势才能穿墙而过，否则会被墙推入水池，类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空间，则该几何体为（）A．B． C．D．6．（5分）已知f（x）=sin2x+cos2x（x∈R），函数y=f（x+φ）的图象关于直线x=0对称，则φ的值可以是（）A．B．C．D．7．（5分）已知a，b＞0，且a≠1，b≠1，若log a b＞1，则（）A．（a﹣1）（b﹣1）＜0 B．（a﹣1）（b﹣a）＞0 C．（b﹣1）（b﹣a）＜0 D．（a ﹣1）（a﹣b）＞08．（5分）某零件的正视图与侧视图均是如图所示的图形（实线组成半径为2cm 的半圆，虚线是底边上高为1cm的等腰三角形的两腰），俯视图是一个半径为2cm 的圆（包括圆心），则该零件的体积是（）A．B．C．4πcm3D．9．（5分）已知函数f（x）=，当x1≠x2时，＜0，则a的取值范围是（）A．（0，]B．[，]C．（0，]D．[，]10．（5分）已知a，b，c均为正数，且（a+c）（b+c）=2，则a+2b+3c的最小值为（）A．B．2 C．4 D．811．（5分）定义数列{a n}的“项的倒数的n倍和数”为T n=，已知T n=（n∈N*），则数列{a n}是（）A．单调递减的B．单调递增的C．先增后减的D．先减后增的12．（5分）已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，f′（x）+＞0，若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设实数x，y满足，则z=3x﹣4y的最大值为．14．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．15．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且在区间[﹣1，1）上，f（x）=，其中m∈R，若，则f（5m）=．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2cos2=sinA，sin（B﹣C）=4cosBsinC，则=．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知等比数列{a n}的各项均为正数，a1=1，公比为q；等差数列{b n}中，b1=3，且{b n}的前n项和为S n，a3+S3=27，q=．（Ⅰ）求{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n}满足c n=，求{c n}的前n项和T n．18．（12分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+2sin2（）﹣1（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为．（1）当时，求f（x）的单调递减区间；（2）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，当时，求函数g （x）的值域．19．（12分）如图几何体中，长方形ACDF所在平面与梯形BCDE所在平面垂直，且BC=2DE，DE∥BC，BD⊥AD，M为AB的中点．．（Ⅰ）证明：EM∥平面ACDF；（Ⅱ）证明：BD⊥平面ACDF．20．（12分）设数列{a n}是公差大于0的等差数列，S n为数列{a n}的前n项和，已知S3=9，且2a1，a3﹣1，a4+1构成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足=2n﹣1（n∈N*），设T n是数列{b n}的前n项和，证明：T n＜6．21．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F 分别是BC，CC1的中点，（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC的体积．22．（12分）已知函数f（x）=xe x﹣alnx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：b≤e时，f（x）≥b（x2﹣2x+2）．2016-2017学年河北省石家庄市正定中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知i是虚数单位，若=2﹣i，则z的模为（）A．B．2 C．i D．1【解答】解：由=2﹣i，得，∴z的模为1．故选：D．2．（5分）如图，设全集为U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x≥1}B．{x|1≤x＜2}C．{x|0＜x≤1}D．{x|x≤1}【解答】解：A={x|x（x﹣2）＜0}={x|0＜x＜2}，B={x|y=ln（1﹣x）}={x|1﹣x ＞0}={x|x＜1}，则∁R B={x|x≥1}．由韦恩图中阴影部分表示的集合为A∩（∁R B），∴A∩（∁R B）={x|1≤x＜2}，故选：B．3．（5分）命题“∀x＞0，x2+x＞0“的否定是（）A．∃x＞0，使得x2+x＞0 B．∃x＞0，x2+x≤0C．∀x＞0，都有x2+x≤0 D．∀x≤0，都有x2+x＞0【解答】解：命题“∀x＞0，x2+x＞O“的否定是：∃x＞0，x2+x≤0．故选：B．4．（5分）已知平面向量=（0，﹣1），=（1，1），|λ+|=，则λ的值为（）A．3 B．2 C．3或﹣1 D．2或﹣1【解答】解：根据题意，向量=（0，﹣1），=（1，1），则=（1，1﹣λ），又由|λ+|=，即，有1+（1﹣λ）2=5，解得λ=3或﹣1，故选：C．5．（5分）中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需要按墙上的空调造型摆出相同姿势才能穿墙而过，否则会被墙推入水池，类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空间，则该几何体为（）A．B． C．D．【解答】解：由题意可知A中几何体具备题设要求：三视图分别为正方形，三角形，圆，故选：A．6．（5分）已知f（x）=sin2x+cos2x（x∈R），函数y=f（x+φ）的图象关于直线x=0对称，则φ的值可以是（）A．B．C．D．【解答】解：因为，函数的图象关于直线x=0对称，函数为偶函数，∴，故选：D．7．（5分）已知a，b＞0，且a≠1，b≠1，若log a b＞1，则（）A．（a﹣1）（b﹣1）＜0 B．（a﹣1）（b﹣a）＞0 C．（b﹣1）（b﹣a）＜0 D．（a ﹣1）（a﹣b）＞0【解答】解：由log a b＞1⇒log a b﹣1＞0即：log a b﹣log a a＞0∴log a＞log a1当a＞1时，函数是增函数．则有：，即b＞a＞1．当1＞a＞0时，函数是减函数．则有：，即1＞a＞b＞0．考查各项答案，B正确，故选：B．8．（5分）某零件的正视图与侧视图均是如图所示的图形（实线组成半径为2cm 的半圆，虚线是底边上高为1cm的等腰三角形的两腰），俯视图是一个半径为2cm 的圆（包括圆心），则该零件的体积是（）A．B．C．4πcm3D．【解答】解：由三视图可知该零件为半球挖去一个同底的圆锥，所以该零件的体积为：（cm3）．故选：C．9．（5分）已知函数f（x）=，当x1≠x2时，＜0，则a的取值范围是（）A．（0，]B．[，]C．（0，]D．[，]【解答】解：∵当x1≠x2时，＜0，∴f（x）是R上的单调减函数，∵f（x）=，∴，∴0＜a≤，故选：A．10．（5分）已知a，b，c均为正数，且（a+c）（b+c）=2，则a+2b+3c的最小值为（）A．B．2 C．4 D．8【解答】解：∵a，b，c＞0，（a+c）（b+c）=2；∴=，当且仅当a+c=2（b+c）时取“=”；∴a+2b+3c的最小值为4．故选：C．11．（5分）定义数列{a n}的“项的倒数的n倍和数”为T n=，已知T n=（n∈N*），则数列{a n}是（）A．单调递减的B．单调递增的C．先增后减的D．先减后增的【解答】解：当n=1时，，解得a1=2．当n≥2时，，所以，综上有，所以a1＞a2＞a3＞…，即数列{a n}是单调递减的．（或用）．故选：A．12．（5分）已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，f′（x）+＞0，若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b【解答】解：设h（x）=xf（x），∴h′（x）=f（x）+x•f′（x），∵y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，∴h（x）是定义在实数集R上的偶函数，当x＞0时，h'（x）=f（x）+x•f′（x）＞0，∴此时函数h（x）单调递增．∵a=f（）=h（），b=﹣2f（﹣2）=2f（2）=h（2），c=（ln）f（ln）=h（ln）=h（﹣ln2）=h（ln2），又2＞ln2＞，∴b＞c＞a．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设实数x，y满足，则z=3x﹣4y的最大值为3．【解答】解：作出可行域，如图△ABC内部（含边界），作出直线l：3x﹣4y=0，平移直线l，当它过点C（1，0）时，z=3x﹣4y取得最大值3．故答案为：314．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，∴a n=a1q n﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解．故答案为15．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且在区间[﹣1，1）上，f（x）=，其中m∈R，若，则f（5m）=．【解答】解：因为f（x+2）=f（x）⇒T=2．所以，f（5m）=f（﹣3）=f（﹣1）=﹣1+=﹣．故答案为：．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2cos2=sinA，sin（B﹣C）=4cosBsinC，则=1+．【解答】解：在△ABC中，∵2cos2=sinA，∴1+cosA=sinA，∴1+2cosA+cos2A=sin2A=cos2A．∴cos2A+cosA+=0，解得cosA=﹣或cosA=﹣1（舍）．∴=﹣，∴a2=b2+c2+bc．∵sin（B﹣C）=4cosBsinC，∴sinBcosC=5cosBsinC．即bcosC=5ccosB．∴b×=5c×，即2a2+3c2﹣3b2=0．把a2=b2+c2+bc代入上式得2（b2+c2+bc）+3c2﹣3b2=0，即5c2﹣b2+2bc=0．∴﹣（）2+2+5=0，解得=1+或=1﹣（舍）．故答案为：1+．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知等比数列{a n}的各项均为正数，a1=1，公比为q；等差数列{b n}中，b1=3，且{b n}的前n项和为S n，a3+S3=27，q=．（Ⅰ）求{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n}满足c n=，求{c n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{b n}的公差为d，∵，∴，解得；…（4分）∴{a n}的通项公式为a n=3n﹣1，{b n}的通项公式为b n=3n…（6分）（Ⅱ）由题意得：S n=，…（8分）∴数列{c n}的通项公式为c n==••=3（﹣），…（10分）∴{c n}的前n项和为T n=3[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=…（12分）18．（12分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+2sin2（）﹣1（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为．（1）当时，求f（x）的单调递减区间；（2）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，当时，求函数g（x）的值域．【解答】解：（1）由题意可得：函数f（x）=f（x）=sin（ωx+φ）+2sin2（）﹣1=sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ﹣）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，∴φ﹣=kπ，k∈Z，∴φ=．∵相邻两对称轴间的距离为==，∴ω=2，f（x）=2sin2x．令2kπ+≤2x≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，故函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．结合，可得f（x）的单调递减区间为[﹣，﹣]．（2）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位长度，可得y=2sin（2x﹣）的图象；再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数y=g（x）=2sin（4x﹣）的图象，当时，4x﹣∈[﹣]，此时，sin（4x﹣）∈[﹣1，]，求函数g（x）∈[﹣2，]．19．（12分）如图几何体中，长方形ACDF所在平面与梯形BCDE所在平面垂直，且BC=2DE，DE∥BC，BD⊥AD，M为AB的中点．．（Ⅰ）证明：EM∥平面ACDF；（Ⅱ）证明：BD⊥平面ACDF．【解答】证明：（Ⅰ）取BC中点N，连结EN、MN，∵长方形ACDF所在平面与梯形BCDE所在平面垂直，且BC=2DE，DE∥BC，BD ⊥AD，M为AB的中点，∴EN∥CD，MN∥AC，∵EN∩MN=N，CD∩AC=C，EN，MN⊂平面EMN，CD，AC⊂平面ACDF，∴平面EMN∥平面ACDF，∵EM⊂平面EMN，∴EM∥平面ACDF．（2）∵长方形ACDF中，AC⊥CD，长方形ACDF所在平面与梯形BCDE所在平面垂直，∴AC⊥平面BCDE，∵BD⊂平面BCDE，∴AC⊥BD，∵BD⊥AD，AC∩AD=A，∴BD⊥平面ACDF．20．（12分）设数列{a n}是公差大于0的等差数列，S n为数列{a n}的前n项和，已知S3=9，且2a1，a3﹣1，a4+1构成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足=2n﹣1（n∈N*），设T n是数列{b n}的前n项和，证明：T n＜6．【解答】解：（1）∵公差不为零的等差数列{a n}的前3项和S3=9，得到a2=3，且2a1，a3﹣1，a4+1构成等比数列，∴得到未知数a2与d的方程组：，由d≠0，解得a1=1，d=2，∴a n=2n﹣1．证明：（2）∵数列{b n}满足=2n﹣1（n∈N*），∴，∴b n=（2n﹣1）•21﹣n=（4n﹣2）•设T n是数列{b n}的前n项和，则T n=2•+6+10•+14•+…+（4n﹣2）•，①=2+6…+（4n﹣2），②①﹣②，得：T n=1+1+﹣=1+﹣（4n﹣2）•=3﹣，∴T n=6﹣＜6．∴T n＜6．21．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F 分别是BC，CC1的中点，（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵几何体是直棱柱，∴BB1⊥底面ABC，AE⊂底面ABC，∴AE⊥BB1，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E分别是BC的中点，∴AE⊥BC，BC∩BB1=B，∴AE⊥平面B1BCC1，∵AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）解：取AB的中点G，连结A1G，CG，由（Ⅰ）可知CG⊥平面A1ABB1，直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，就是∠CA1G，则A1G=CG=，∴AA1==，CF=．三棱锥F﹣AEC的体积：×==．22．（12分）已知函数f（x）=xe x﹣alnx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：b≤e时，f（x）≥b（x2﹣2x+2）．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=xe x﹣alnx的导数为f′（x）=（x+1）e x﹣，x＞0，依题意得f′（1）=0，即2e﹣a=0，解得a=2e．所以f′（x）=（x+1）e x﹣，显然f′（x）在（0，+∞）单调递增且f′（1）=0，故当x∈（0，1）时，f′（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0．所以f（x）的递减区间为（0，1），递增区间为（1，+∞）．（Ⅱ）证明：①当b≤0时，由（Ⅰ）知，当x=1时，f（x）取得最小值为e．又b（x2﹣2x+2）的最大值为b，故f（x）≥b（x2﹣2x+2）；②当0＜b≤e时，设g（x）=xe x﹣2elnx﹣b（x2﹣2x+2），所以g′（x）=（x+1）e x﹣﹣2b（x﹣1），令h（x）=（x+1）e x﹣﹣2b（x﹣1），x＞0，则h′（x）=（x+2）e x+﹣2b，当x∈（0，1）时，﹣2b≥0，（x+2）e x＞0，所以h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，（x+2）e x﹣2b＞0，＞0，所以h′（x）＞0．所以当x∈（0，+∞）时，h′（x）＞0．，故h（x）在（0，+∞）上单调递增，又h（1）=0，所以当x∈（0，1）时，g′（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0．所以g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以当x=1时，g（x）取得最小值g（1）=e﹣b≥0，所以g（x）≥0，即f（x）≥b（x2﹣2x+2）．综上，当b≤e时，f（x）≥b（x2﹣2x+2）．。

河北省正定中学2020-2021学年高三下学期第四次阶段质量检测数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合U N =，{}32,A x x n n N ==+∈，{}16,B x x x N =<≤∈，则()UA B ⋂=（ ）A ．{}2,3,4,6B ．{}3,4,6C ．{}2,5D ．{}4,62．在复平面内，若复数3422z i i=++所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第四象限D ．虚轴3．在锐角ABC 中，A 、B 为其内角，则“sin sin A B >”是“tan tan A B >”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．既非充分也非必要条件D ．充分必要条件4．把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的16是较小的两份之和，则最小一份的量为（ ） A ．5B ．53C ．207D ．105．随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面四种说法正确的是（ ）①1月至8月空气合格天数超过24天的月份有3个 ②第二季度与第一季度相比，空气合格天数的比重下降了 ③8月是空气质量最好的一个月④6月的空气质量最差 A ．②③B ．①②③C ．①③④D ．②③④6．圆224610x y x y ++-+=关于直线()800,0ax by a b -+=>>对称，则32a b+的最小值是（ ） A．B ．3C ．154D7．若函数()1,141,12x a x f x a x x ⎧->⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞B ．()1,8C ．()4,8D ．[)4,88．我国古代数学名著《九章算术》中提及鳖臑，鳖臑是一个四面体，每个面都是三角形，已知一个鳖臑的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该鳖臑的最长的棱长为（ ）ABC ．5D ．69．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为F ，M 是双曲线右支上的一点，点M 关于原点的对称点为N ，若F 在以MN 为直径的圆上，且ππ,124FMN ⎡⎫∠∈⎪⎢⎣⎭，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A．(B．(1⎤⎦C．1⎤⎦ D．)+∞10．若2sin 3sin 3παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭tan2α=（ ） A．-B．CD．3-11．已知函数()f x x =，()ln g x a x =，其中0a >，若[]12,3x ∀∈，[]22,3x ∃∈，使得()()()()1212f x f x g x g x =成立，则a =（ ）A B C D 12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E ，F ，G 分别为棱AB ，1AA ，11C D 的中点，下列结论中，其中正确的个数是（ ）①过E ，F ，G 三点作正方体的截面，所得截面为正六边形； ②11//B D 平面EFG ； ③1BD ⊥平面1ACB ；④异面直线EF 与1BD ； ⑤四面体11ACB D 的体积等于43A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．已知向量a ，b 的夹角为120°，1a =，3b =，则7a b -=__________. 14．已知函数()2x f x e x =-（e 为自然对数的底数），那么曲线()f x 在点（0，1）处的切线方程为___________。

参考答案一、选择题二、填空题13．3 14． 15． 16．三、解答题17．解：设数列的公差为，3322222731833.6a S q d q S q d d q a +=⎧⎧+==⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨==+=⎪⎩⎩⎪⎩ 3分 ， ， 5分由题意得： ， 6分()9921113()22311n n c S n n n n ⎛⎫==⋅=- ⎪ ⎪++⎝⎭ 8分 1111133[(1)()()]22311n n T n n n =-+-++-=++ 10分 18．解：（1）由题意可得：)6sin(2)cos()sin(3)(πϕωϕωϕω-+=+-+=x x x x f ,…………2分 因为相邻两对称轴间的距离为，所以，，因为函数为奇函数，所以6,6ππϕππϕ+==-k k ，因为，所以，函数为．………4分要使时单调递减，需满足42,22ππππ-≤≤--≤≤-x x ， 所以函数的减区间为．…………6分（2）由题意可得：，…………8分∵，∴，∴]3,2[)(,23)34sin(1-∈≤-≤-x g x π， 即函数的值域为． 12分19．解：（1）方法一：如图，取的中点，连接、．在中，为的中点，为的中点，∴，又因为，且，∴四边形为平行四边形，………… 2分∴，又∵，．∴平面平面，…………4分又∵面，∴面．…………6分方法二：如图，取的中点，连接，．在中，为的中点，为的中点，∴，且，又∵，,∴，故四边形为平行四边形，∴，…………4分又∵平面，平面，∴面．…………6分（2）∵平面平面，平面平面，又，∴平面 ，…………9分∴， …………10分又，，∴平面．…………12分20．解：（1）设数列的公差为，则．∵，∴，即，……2分又，，成等比数列，∴2(2)2(3)(42)d d d +=-+，解得，，∴12(1)21n a n n =+-=-. …………5分（2）由，得11211(21)()22n n n n b n ---==-⋅，…………6分 则0111111()3()(21)()222n n T n -=⋅+⋅++-⋅ 所以121111111()3()(23)()(21)()22222n nn T n n -=⋅+⋅++-⋅+-⋅ (8)分 两式相减得：1211111112()2()2()(21)()22222n nn T n -=+⋅+⋅++⋅--⋅1211()21121213122212n n n n n n -----=+-=--- ，故，因为，所以． …………12分21．解：（1）因为三棱柱是直三棱柱，所以，又是正三角形的边的中点，所以，因此平面，……3分而平面，所以平面平面．…………5分（2）设的中点为，连接，因为是正三角形，所以，又三棱柱是直三棱柱，所以，因此平面，于是是直线与平面所成的角，由题设知，……7分所以，在中，1AA ===故三棱锥的体积1133AEC V S FC =⨯==．…………12分 22．解：（1）因为，， ················································································· 2分依题意得，即，解得． ········································································ 3分所以，显然在单调递增且，故当时，；当时，．所以的递减区间为，递增区间为． ························································ 5分（2）①当时，由（1）知，当时，取得最小值．又的最大值为，故． ··········································································· 6分②当时，设()2()e 2eln 22x g x x x b x x =---+，所以()()2e ()1e 21x g x x b x x '=+---， ···················································· 7分 令()()2e ()1e 21x h x x b x x =+---，，则()22e ()2e 2x h x x b x'=++-， 当时，,，所以，当时，，，所以，所以当时，，故在上单调递增， (9)又，所以当时，； 当时，．所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得最小值，所以，即．综上，当时，． ················································································· 12分选择题解析：1．D 【解析】复数12(12)(2)52(2)(2)5i i i i z i i i i +++====--+，所以的模为1．故选D ． 2． A 【解析】由，得，即，{|10}{|1}B x x x x =->=<，，所以(){|12}R A C B x x =≤<．故选A ．3．B 【解析】命题“，”的否定是“”，故选B ．4． C 【解析】，，解得=3或-1，故选C ．5． A 【解析】由题意可知A 中几何体具备题设要求：三视图分别为正方形，三角形，圆，故选A ．6．D 【解析】因为()s i 3c o s 22s i n 23f x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,函数()2sin 223y f x x πϕϕ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭的图象关于直线对称,函数为偶函数, , 故选D ． 7．B 【解析】由题意得，因为，则或，当时，，所以；当时，，所以，故选B ．8．C 【解析】由三视图可知该零件为半球挖去一个同底的圆锥，所以该零件的体积为32141=2-21=4233V πππ⨯⨯⨯⨯．故选C. 9．A 【解析】因为当时,()()()12120,f x f x f x x x -<∴-是上的单调减函数， 0121101,031123a a a a ⎧⎪<-<⎪∴<<∴<≤⎨⎪⎪-≥⎩，故选A ． 10．C 【解析】()2324a b c a c b c ++=+++≥=．故选C ．11．A 【解析】当时，，当时，()221121222n n n n n n n T T a ----==-=，所以,综上有()2112121n n a n N n n +==+∈--，所以,即数列是单调递减的．(或用()()1202121n n a a n n +--=<+-)．故选A ． 12．C 【解析】构造函数，∴()()()h x f x x f x ''=+⋅，∵是定义在实数集上的奇函数，∴是定义在实数集上的偶函数，当x ＞0时，()()()h x f x x f x ''=+⋅>，∴此时函数单调递增．∵，2(2)2(2)(2)b f f h =--==，111(ln )(ln )(ln )(ln 2)(ln 2)222c f h h h ===-=，又，故选C ．填空题解析：13．3【解析】作出可行域，如图内部（含边界），作出直线，平移直线，当它过点时，取得最大值3．14．【解析】由题意，即21111114()3()a a q a a a q a q +=+++，∵，∴．15．【解析】因为()()2 2.f x f x T +=⇒=所以5911()()2222f f f f ⎛⎫⎛⎫-=⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1213||2525m m ⇒-=--⇒=-，因此()325(3)(1)1.55f m f f =-=-=-+=- 16．【解析】因为，所以，化简得．所以．又因为s i n ()4c o s s i B C B C -=，所以s i n c o s c o s s i n 6c o s B C B C B C +=，所以，即，整理得．又2222212()2a b c b c b c b c =+-⋅-=++，所以，两边除以得，解得．。

2020—2021学年度 第一学期 期中考试高三数学(文科)试卷考试说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟。

（1） 答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2） 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,在草稿纸、试题上答题无效。

第Ⅰ卷(共60分)一、选择题(60分,每题5分)1.设集合2{|2,},{|10},xA y y x RB x x ==∈=-<则A B ⋃=( ) A.(1,1)-B.(0,1)C.(1,)-+∞D.(0,)+∞2.设i 是虚数单位,条件:p 复数()1,a bi a b R -+∈是纯虚数,条件:1q a =,则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.设m ,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是( ) A.若////m n αα，,则//m nB.若//m n αβαβ⊂⊂，，,则//m nC.若m n n m αβα=⊂⊥，，,则n β⊥D.若//m m n n αβ⊥⊂，，,则αβ⊥4.在等比数列{}n a 中,11a =,322a a -=,则5a =( ) A.16B.1-C.16-或1-D.16或15.在ABC ∆中,3cos 5C =-,1BC =,5AC =,则AB =( ) A.30B.42C.29D.256.已知a ,b 均为单位向量,它们的夹角为060,那么3a b += ( ) A.B.10C.D.47.函数()2ln 1x f x x ⎛⎫=⎪-⎝⎭的图像大致是( ) A. B. C. D.8.曲线()()()'11=--x f x f e e x 在点()()0,0f 处的切线的斜率为( )A.2e -B.12e - C.1 D.42e - 9.已知0a >,0b >,并且1a ,12,1b成等差数列,则9a b +的最小值为( )A.16B.9C.5D.410.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且在[)0,∞+上单调递增,则三个数()3log 13a f =-,121log 8b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()0.62c f =的大小关系为( ) A.a b c >> B.a c b >> C.b a c >> D.c a b >> 11.若将函数y ＝sin (2x 4π+)的图象向右平移6π个单位长度,平移后所得图象为曲线y ＝f (x ),下列四个结论： ①f (x )＝sin (2x 12π-) ②f (x )＝sin (2x 712π+) ③曲线y ＝f (x )的对称中心的坐标为(224k ππ+,0),(k ∈Z ) ④曲线y ＝f (x )的对称中心的坐标为(7224k π+π,0)(k ∈Z ) 其中所有正确的结论为( ) A.①④B.②③C.②④D.①③12.若函数()()()1sin 0f x a x x a =-->恰有两个零点1x ,2x ,且12x x <,则11tan x x -=( ) A.2-B.2C.1-D.1第II 卷(共90分)二、填空题(20分,每题5分)13.在某班举行的成人典礼上,甲、乙、丙三名同学中的一人获得了礼物. 甲说：“礼物不在我这”； 乙说：“礼物在我这”； 丙说：“礼物不在乙处”.如果三人中只有一人说的是真的,请问__________(填“甲”、“乙”或“丙”)获得了礼物.14.设,x y 满足约束条件22022x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩,则2z x y =-的最小值是____________.15.的正方形,若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为__________. 16.已知菱形ABCD 的边长为2,120BAD ∠=︒,点E 、F 分别在边BC ,CD 上,BE BC λ=,DF DC μ=,若522λμ+=,则AE AF ⋅的最小值__________. 三、解答题(70分,第17题10分,其余每道大题12分)17.在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为342x ty t=⎧⎨=-⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程是22123cos ρθ=+. (Ⅰ)求直线l 和曲线C 的直角坐标方程； (Ⅱ)求曲线C 上的点到直线l 距离的最小值.18.设{}n a 是等差数列,且123ln 2,5ln 2a a a =+=.(Ⅰ)求{}n a 的通项公式； (Ⅱ)求12n a a a e e e +++.19.已知函数()|31||33|f x x x =-++. (1)求不等式()10f x ≥的解集； (2)正数,a b 满足2a b +=,.20.已知函数()222cos 1f x x x =--,x ∈R (1)求函数()f x 的最小正周期；(2)设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且c =()0f C =,且()sin sin 2sin 2C B A A +-=,求ABC ∆的面积.21.H 市某企业坚持以市场需求为导向,合理配置生产资源,不断改革、探索销售模式.下表是该企业每月生产的一种核心产品的产量x (吨)与相应的生产总成本y (万元)的五组对照数据.(1)根据上达数据,若用最小二乘法进行线性模拟,试求y 关于x 的线性回归直线方程ˆˆˆybx a =+； 参考公式：1221ˆni ii nii x y nxybxnx ==-=-∑∑,ˆˆay bx =-. (2) 记第(1)问中所求y 与x 的线性回归直线方程ˆˆˆybx a =+为模型①,同时该企业科研人员利用计算机根据数据又建立了y 与x 的回归模型②：2112ˆyx =+.其中模型②的残差图(残差=实际值-预报值)如图所示：请完成模型①的残差表与残差图,并根据残差图,判断哪一个模型更适宜作为y 关于x 的回归方程？并说明理由；(3) 根据模型①中y 与x 的线性回归方程,预测产量为6吨时生产总成本为多少万元？22.已知函数()(2)ln xf x x e a x ax =-+-(a R ∈)(1)若1x =为()f x 的极大值点,求a 的取值范围；(2)当0a ≥时,判断()y f x =与x 轴交点个数,并给出证明.产量x (件)1 2 3 4 5 生产总成本y (万元) 37 8 10 12。

2020-2021石家庄市高中必修三数学上期中模拟试卷附答案一、选择题1．执行右面的程序框图，若输入的,,a b k分别为1,2,3，则输出的M=( )A．203B．72C．165D．1582．在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的概率为 ( ) A．11347250C CCB．20347250C CCC．1233250C CC+D．1120347347250C C C CC+3．在本次数学考试中，第二大题为多项选择题.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，小明因某原因网课没有学习，导致题目均不会做，那么小明做一道多选题得5分的概率为（）A．115B．112C．111D．144．如图1为某省2019年1~4月快递义务量统计图，图2是该省2019年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是( )A．2019年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B．2019年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C．从两图来看2019年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D．从1~4月来看，该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月增长5．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A．100，20B．200，20C．100，10D．200，106．执行如图的程序框图，则输出x的值是 ( )A．2018B．2019C．12D．27．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）A．110B．35C．310D．258．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为48，则输入k的值可以为A ．6B ．10C ．8D ．49．某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀，并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单.若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率是( ) A ．15B ．24125C ．48125D ．9612510．某厂家为了解销售轿车台数与广告宣传费之间的关系，得到如表统计数据表：根据数据表可得回归直线方程y bx a =+$$$，其中ˆ 2.4b=，$a y bx =-$，据此模型预测广告费用为9万元时，销售轿车台数为（ ） 广告费用x （万元） 2 3 4 5 6 销售轿车y （台数）3461012A ．17B ．18C ．19D ．2011．若同时掷两枚骰子，则向上的点数和是6的概率为（ ） A ．16B ．112C ．536D ．51812．抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A 或事件B 至少有一个发生的概率为（ ） A ．23B ．13C ．1 2D ．56二、填空题13．从标有1，2，3，4，5的五张卡中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为________；14．如图，四边形ABCD为矩形，3AB=，1BC=，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧»DE，在DAB∠内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________.15．在127x yx yx-≤⎧⎪+≤⎨⎪>⎩的可行域内任取一点(),x y，则满足230x y-≥的概率是__________．16．为了在运行下面的程序之后得到输出y＝25，键盘输入x应该是____________. INPUT xIF x<0 THENy=(x+1)*(x+1)ELSEy=(x-1)*(x-1)END IFPRINT yEND17．从2个黄球，3个红球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是______．18．为了调查某班学生做数学题的基本能力，随机抽查部分学生某次做一份满分为100分的数学试题，他们所得分数的分组区间为[)45,55，[)55,65，[)65,75，[)75,85，[)85,95，由此得到频率分布直方图如下图，则这些学生的平均分为__________. 19．执行如图所示的程序框图，如果输出1320s=，则正整数M为__________．20．执行如图所示的流程图，则输出的x值为______．三、解答题21．自从高中生通过高校自主招生可获得加分进入高校的政策出台后，自主招生越来越受到高中生家长的重视.某机构为了调查A城市和B城市的高中家长对于自主招生的关注程度，在这两个城市中抽取了100名高中生家长进行了调查，得到下表：关注不关注合计A城高中家长2050B城高中家长20合计100（1）完成上面的列联表；（2）根据上面列联表的数据，是否有95%的把握认为家长对自主招生关注与否与所处城市有关；（3）为了进一步研究家长对自主招生的直法，该机构从关注的学生家长里面，按照分层抽样方法抽取了5人，并再从这5人里面抽取2人进行采访，求所抽取的2人恰好,A B两城市各一人的概率.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）.()20P K k ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0k2.0722.7063.8415.0246.63522．(1)从区间[1，10]内任意选取一个实数x ，求26160x x --≤的概率； (2)从区间[1，12]内任意选取一个整数x ，求()ln 22x -<的概率.23．如图是某地区2012年至2018年生活垃圾无害化处理量（单位：万吨）的折线图.注：年份代码17~分别表示对应年份20122018~.（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数r （0.75r >线性相关较强）加以说明；（2）建立y 与t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2019年该区生活垃圾无害化处理量. （参考数据）719.32ii y==∑，()()71 2.89i i i t ty y =--≈∑()7210.55i i y y =-≈∑，()7212 2.646i i t t=-≈⨯∑，()72128i i t t=-≈∑，2.890.992 2.6460.55≈⨯⨯，2.890.10328≈.（参考公式）相关系数()()()()12211niii nni i i i t t y y r t t y y ===--=--∑∑∑，在回归方程$$y bta =+$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121niii nii tty y b tt==--=-∑∑$，a y bt =-$$.24．为了调查甲、乙两个网站受欢迎的程度，随机选取了14天，统计上午8：00～10：00各自的点击量，得到如图所示的茎叶图，根据茎叶图回答下列问题．(1)甲、乙两个网站点击量的极差分别是多少？(2)甲网站点击量在[10，40]间的频率是多少？(3)甲、乙两网站哪个更受欢迎？并说明理由．25．某学校随机抽取部分学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据制成频率分布直方图（如图），若上学路上所需时间的范围为[]0,100，样本数据分组为[)0,20，[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100.（1）求直方图中a的值；（2）如果上学路上所需时间不少于40分钟的学生可申请在学校住宿，若招收学生1200人，请估计所招学生中有多少人可以申请住宿；（3）求该校学生上学路上所需的平均时间.26．某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时的部分按1小时计算).现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过4小时．(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为13，停车付费多于14元的概率为512，求甲停车付费恰为6元的概率；()2若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：根据题意由13≤成立，则循环，即1331,2,,2222M a b n =+====;又由23≤成立，则循环，即28382,,,33323M a b n =+====;又由33≤成立，则循环，即3315815,,,428838M a b n =+====;又由43≤不成立，则出循环，输出158M =． 考点：算法的循环结构2．D解析：D 【解析】 【分析】由题意，恰好两件都是次品，共有23C 种不同的取法，恰好两件中一件是次品、一件是正品，共有11347C C 种不同的取法，即可求解． 【详解】由题意，从含有3件次品的50件产品中，任取2件，共有250C 种不同的取法， 恰好两件都是次品，共有20347C C 种不同的取法，恰好两件中一件是次品、一件是正品，共有11347C C 种不同的取法，所以至少取到1件次品的概率为1120347347250C C C C C +，故选D ． 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中正确理解题意，合理分类讨论，利用组合数的公式是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题．3．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意结合组合的知识可知，总的答案的个数为11个，而正确的答案只有1个，根据古典概型的计算公式，即可求得结果. 【详解】总的可选答案有：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ， ABC ，ABD ，ACD ，BCD ，ABCD ，共11个， 而正确的答案只有1个， 即得5分的概率为111p =. 故选：C. 【点睛】本题考查了古典概型的基本知识，关键是弄清一共有多少个备选答案，属于中档题.4．D解析：D 【解析】 【分析】由题意结合所给的统计图确定选项中的说法是否正确即可. 【详解】对于选项A ： 2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低， 差值为439724111986-=，接近2000万件，所以A 是正确的；对于选项B ： 2018年1～4月的业务量同比增长率分别为55%,53%,62%,58%，均超过50%，在3月最高，所以B 是正确的；对于选项C ：2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C 是正确的；对于选项D ，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D 错误. 本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查统计图及其应用，新知识的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由题意知，样本容量为()3500450020002%200++⨯=，其中高中生人数为20002%40⨯=，高中生的近视人数为4050%20⨯=，故选B. 【考点定位】本题考查分层抽样与统计图，属于中等题.6．D解析：D 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x ，y 的值，当2019y = 时，不满足条件退出循环，输出x 的值即可得解． 【详解】解：模拟执行程序框图，可得2,0x y ==.满足条件2019y <，执行循环体，1,1x y =-=；满足条件2019y <，执行循环体，1,22x y == ； 满足条件2019y <，执行循环体，2,3x y ==；满足条件2019y <，执行循环体，1,4x y =-= ； …观察规律可知，x 的取值周期为3，由于20196733⨯＝，可得： 满足条件2019y <，执行循环体，当2,2019x y == ,不满足条件2019y <，退出循环，输出x 的值为2． 故选D ． 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的x ，y 的值，根据循环的周期，得到跳出循环时x 的值是解题的关键．7．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张， 基本事件总数n=5×5=25， 抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4）， 共有m=10个基本事件，∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p=102.255= 故答案为D ．8．C解析：C 【解析】 【分析】执行如图所示的程序框图，逐次循环，计算其运算的结果，根据选项即可得到答案. 【详解】由题意可知，执行如图所示的程序框图，可知： 第一循环：134,2146n S =+==⨯+=； 第二循环：437,26719n S =+==⨯+=； 第三循环：7310,2191048n S =+==⨯+=， 要使的输出的结果为48，根据选项可知8k =，故选C. 【点睛】本题主要考查了循环结构的计算与输出问题，其中解答中正确理解循环结构的程序框图的计算功能，逐次准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.9．C解析：C 【解析】五所学生自由录取五名学生,共有55种不同的录取情况其中满足条件：仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的情况的录取情况有：213554C C A 种，则：则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率：2135545485125C C A p == 本题选择C 选项.10．C解析：C 【解析】 由题意4,7, 2.4,7 2.44 2.6,9,ˆˆˆˆˆˆ 2.49 2.619x y ba y bx x y bx a ===∴=-=-⨯=-∴==+=⨯-=,故选C.11．C解析：C 【解析】由图表可知,点数和共有36种可能性,其中是6的共有5种,所以点数和是6的概率为536,故选C.点睛:本题考查古典概型的概率,属于中档题目.具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝．12．A解析：A【解析】【分析】由古典概型概率公式分别计算出事件A和事件B发生的概率，又通过列举可得事件A和事件B为互斥事件，进而得出事件A或事件B至少有一个发生的概率即为事件A和事件B的概率之和．【详解】事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，∴P(A)2163==，P(B)2163==，又小于5的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6，所以事件A和事件B为互斥事件，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为P（A∪B）＝P(A)+P(B)112 333 =+=，故选：A．【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，以及互斥事件概率加法公式的应用，属于中档题．二、填空题13．【解析】【分析】设事件A表示第一张抽到奇数事件B表示第二张抽取偶数则P（A）P（AB）利用条件概率计算公式能求出在第一次抽到奇数的情况下第二次抽到偶数的概率【详解】解：从标有12345的五张卡片中依解析：1 2【解析】【分析】设事件A表示“第一张抽到奇数”，事件B表示“第二张抽取偶数”，则P（A）35 =，P（AB）3235410=⨯=，利用条件概率计算公式能求出在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率．【详解】解：从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，设事件A表示“第一张抽到奇数”，事件B表示“第二张抽取偶数”，则P（A）35=，P（AB）3235410=⨯=，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为：P（A|B）()()3P AB1103P A25===．【点睛】本题考查概率的求法，考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力．14．【解析】【分析】连接可求得满足条件的事件是直线AP与线段BC有公共点根据几何概型的概率公式可得【详解】连接如图所示所以满足条件的事件是直线AP在∠CAB内且AP与BC相交即直线AP与线段BC有公共点解析：1 3【解析】【分析】连接AC，可求得CAB∠，满足条件的事件是直线AP与线段BC有公共点，根据几何概型的概率公式可得CAB PDAB∠=∠.【详解】连接AC，如图所示，3tanCBCABAB∠==，所以π6CAB∠=，满足条件的事件是直线AP在∠CAB内且AP与BC相交，即直线AP与线段BC有公共点，所以所求事件的概率π16π32CABPDAB∠===∠.故答案为：1 3 .【点睛】本题考查几何概型的概率计算，考查学生的计算能力与推理能力，属于基础题. 15．【解析】分析：首先绘制可行域结合点的坐标求得可行域的面积然后结合题意利用几何概型计算公式即可求得最终结果详解：绘制不等式组所表示的平面区域如图所示由解得即A(32）且故作出直线2x-3y=0则2x-解析：2 9【解析】分析：首先绘制可行域，结合点的坐标求得可行域的面积，然后结合题意利用几何概型计算公式即可求得最终结果.详解：绘制不等式组所表示的平面区域如图所示，由127x yx y-=⎧⎨+=⎩解得32xy=⎧⎨=⎩，即A(3,2）.且()70,,0,12B C⎛⎫-⎪⎝⎭，故172713224ABCS⎛⎫=⨯+⨯=⎪⎝⎭V.作出直线2x-3y=0.则2x-3y≥0所以表示区域为△OAC，即不等式2x-3y≥0所表示的区领为△OAC，面积为131322AOCS=⨯⨯=V，所以满足230x y-≥的概率是为3222794AOCABCSpSVV===.点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，据此求解几何概型即可.16．-6或6【解析】当x ＜0时25=（x+1）2解得：x=﹣6或x=4（舍去）当x≥0时25=（x ﹣1）2解得：x=6或x=﹣4（舍去）即输入的x 值为±6故答案为：﹣6或6点睛：根据流程图（或伪代码）写解析：-6或6 【解析】当x ＜0时，25=（x+1）2，解得：x=﹣6，或x=4（舍去） 当x ≥0时，25=（x ﹣1）2，解得：x=6，或x=﹣4（舍去） 即输入的x 值为±6 故答案为：﹣6或6．点睛：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．17．【解析】两球颜色不同的概率是解析：35【解析】两球颜色不同的概率是252363105C ⨯== 18．64【解析】结合频率分布直方图可得平均分为：即这些学生的平均分为64分点睛：利用频率分布直方图求众数中位数和平均数时应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形解析：64 【解析】结合频率分布直方图可得，平均分为：()()()()()500.02010600.04010700.02510800.01010900.0051064⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，即这些学生的平均分为64分.点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.19．13【解析】循环依次为结束循环所以即正整数为13解析：13 【解析】循环依次为10,11;110,12;1320,13;s i s i s i ====== 结束循环，所以1312M ≥> ，即正整数M 为1320．4【解析】循环依次为循环结束输出解析：4 【解析】循环依次为0120,21,1;1,22,2;2,24,3;x x k x x k x x k ============424,216,4;16,log 164,55;x x k x x k ========≥循环结束,输出4x =三、解答题21．（1）详见解析；（2）有95%的把握认为家长对自主招生的关注与否与所处城市有关；（3）0.6. 【解析】 【分析】（1）根据相关数据完成.（2）根据2K 的观测值的计算公式求解，再对应2K 下结论.，（3）关注的人共有50人，根据分层抽样的方法，A 城市2人，B 城市3人，算出从5人抽取两的方法数，,A B 两城市各取一人的方法数，再代入古典概型的概率公式求解. 【详解】 （1）（2）由题意，得K 的观测值为()()()()()()22100203030304 3.84150505050n ad bc k a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===>++++⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为家长对自主招生的关注与否与所处城市有关. （3）关注的人共有50人，按照分层抽样的方法，A 城市2人，B 城市3人.从5人抽取两人有2510C =种不同的方法，,A B 两城市各取一人有1123236C C =⨯=种不同的方法，故所抽取的2人恰好,A B 两城市各一人的概率为11322560.610C C C ==. 【点睛】本题主要考查独立性检验的应用和古典概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22．(1)79；（2）712. 【解析】 【分析】（1）求解不等式26160x x --≤可得x 的范围，由测度比为长度比求得26160x x --≤的概率；（2）求解对数不等式可得满足()ln 22x -<的x 的范围，得到整数个数，再由古典概型概率公式求得答案． 【详解】解：（1）26160x x --≤Q ，∴28x -剟，又[]1,10x ∈Q []1,8x ∴∈故由几何概型可知，所求概率为8110971-=-． （2）()ln 22x -<Q ，222x e ∴<<+，则在区间[]1,12内满足()ln 22x -<的整数为3,4,5,6,7,8,9共有7个， 故由古典概型可知，所求概率为712． 【点睛】本题考查古典概型与几何概型概率的求法，正确理解题意是关键，是基础题． 23．（1）见解析；（2）1.744 【解析】 【分析】(1)根据题中所给的公式得到r=0.99>0.75,进而得到结论；（2）根据公式计算得到回归方程，再将2019年所对应的t=8代入方程可得到估计值.. 【详解】 (1)由题意得,()()()()71772211i ii i i tty y r tty y ===--=--∑∑∑∴0.75>所以与的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.（2）由已知得()()()71721 2.890.10328ˆi i i i i t t y y b t t ==--==≈-∑∑， 1.3310.10340.ˆ92ˆay bt =-=-⨯≈， 所以，y 关于t 的回归方程为：0.92010ˆ.3yt =+ 将2019年对应的8t =代入回归方程得：0.920.1038ˆ 1.744y=+⨯=.所以预测2019年该地区生活垃圾无害化处理量将约1.744万吨.【点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线方程的计算，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值. 24．(1)65，66； (2)0.286； (3) 甲网站更受欢迎【解析】【分析】（1）根据茎叶图，得到甲乙两网站的最大点击量和最小点击量，即可求解极差；（2）由茎叶图可知，在[10,40]中，有20,24,25,38，共4个数据，即可求解相应的概率；（3）由茎叶图，可知甲网站的点击量集中在茎叶图的下方，而乙网站的点击量集中在茎叶图的上方，即可作出判定．【详解】（1）由茎叶图可知，甲网站最大点击量为73，最小的点击量为8，所以甲网站的点击量的极差为73–8=65，乙网站最大点击量为71，最小的点击量为5，所以乙网站的点击量的极差为71–5=66．（2）由茎叶图可知，在[10,40]中，有20,24,25,38，共4个数据，所以甲网站在[10,40]内的概率为40.28614P=≈．（3）由茎叶图，可知甲网站的点击量集中在茎叶图的下方，而乙网站的点击量集中在茎叶图的上方，从数据的分布情况来看，可判定甲网站更受欢迎．【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及茎叶图的应用，其中解答正确根据茎叶图读取相应的数据，及注意茎叶图的数据分布特点是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．25．（1）0.0135a=（2）276人（3）32.8【解析】【分析】（1）由直方图中频率和（小矩形面积和）为1可求得a；（2）求出上学路上所需时间不少于40分钟的学生的频率，然后乘以1200可得；（3）用各小矩形中点估算为这一组的均值，然后乘以频率，并相加可得．【详解】解：（1）由200.025200.0055200.0032201a⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，解得0.0135a=.（2）Q上学路上所需时间不少于40分钟的学生可申请在学校住宿，招收学生1200人，∴估计所招学生中有可以申请住宿人数为：()0.00550.0032201200276+⨯⨯⨯=.（3）该校学生上学路上所需的平均时间为：100.013520300.02520500.005520700.00320900.0032032.8⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=【点睛】本题考查频率分布直方图，考查数学期望，解题关键是掌握频率分布直方图的性质：直方图中所有频率之和为1，即各小矩形面积和为1.26．（1）14；（2）14．【解析】试题分析：（1）根据互斥事件和对立事件的概率公式可解答；（2）列举出甲、乙二人的停车费用构成的基本事件情况共有16种，甲、乙二人停车付费之和为36元的情况共有4种情况，根据古典概型概率公式可得甲、乙二人停车付费之和为36元的概率.试题解析：（1）解：设“甲临时停车付费恰为6元”为事件A，则．所以甲临时停车付费恰为6元的概率是．（2）解：设甲停车付费a元，乙停车付费b元，其中,6,14,22,30a b=．则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为：(6,6),(6,14),(6,22),(6,30),(14,6),(14,14),(14,22),(14,30),(22,6),(22,14),(22,22), (22,30),(30,6),(30,14),(30,22),(30,30)，共16种情形．其中，(6,30),(14,22),(22,14),(30,6)这4种情形符合题意．故“甲、乙二人停车付费之和为36元”的概率为41164P==．考点：1、互斥事件和对立事件的概率公式；2、古典概型概率公式.。