河北省衡水中学高三上学期期中考试 数学(理)

数学（理）试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.共150分，时间120分钟.Ⅰ卷一、选择题：本题共12个小题，每小题均只有一个正确选项.1. 集合{}2210M x x x =--<，{}20N x x a =+>，U =R ，若UM N =∅，则a 的取值范围是（ ） A. 1a > B. 1a ≥ C. 1a < D. 1a ≤【答案】B 【解析】 【分析】求出集合M ，N 的等价条件，结合条件UM N =∅，建立不等式关系进行求解即可．【详解】由题得1{|1},C {|}222U a a M x x N x x N x x ⎧⎫=-<<=>-∴=≤-⎨⎬⎩⎭，， 因为UM N =∅，所以1,122a a -≤-∴≥. 故选：B.【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．2. 若直线y kx =与双曲线22194x y-=相交，则k 的取值范围是( )A. 20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 2,03⎛⎫-⎪⎝⎭C. 22,33⎛⎫-⎪⎝⎭ D. 22,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】联立直线和双曲线方程得到2236049x k =>-，即得k 的取值范围.【详解】联立直线和双曲线的方程得222224936,49)36,x k x k x -=∴-=（ 当2490-=k ，即23k =±时，直线和双曲线的渐近线重合， 所以直线与双曲线没有公共点.当2490k -≠，即23k ≠±时，2236049x k =>-， 解之得2233k -<<. 故选：C.【点睛】本题主要考查直线和双曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 3. 在ABC 中，3AB =，2AC =，12BD BC =，则AD BD ⋅=（ ） A. 52-B.52C. 54-D.54【答案】C 【解析】 【分析】用,AB AC 表示出,AD BD ，利用数量积定义，即可容易求得结果. 【详解】如图所示，∵1()2BD AC AB =-， ∴1()2AD AC AB =+，∴AD BD ⋅=()2211()()2344AC AB AC AB -⋅+=-=﹣54. 故选：C .【点睛】本题考查利用数量积定义求数量积，属简单题.4. 已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =-，正项等比数列{}n b 中，23b a = ，()23142,n n n b b b n n N +-+=≥∈，则2log n b =( )A. 1n -B. 21n -C. 2n -D. n【答案】D 【解析】 【分析】数列{a n }的前n 项和S n =n 2﹣n ，a 1=S 1=0，n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1，可得a n ．设正项等比数列{b n }的公比为q ＞0，b 2=a 3=4．b n +3b n ﹣1=4b n 2（n ≥2，n ∈N +），化为q 2=4，解得q ，可得b n ． 【详解】数列{a n }的前n 项和S n =n 2﹣n ，∴a 1=S 1=0，n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2n ﹣2，n=1时也成立． ∴a n =2n ﹣2．设正项等比数列{b n }的公比为q ＞0，b 2=a 3=4． b n +3b n ﹣1=4b n 2（n ≥2，n ∈N +）， ∴2211n n b qb q +-⋅=4121()n b q -，化q 2=4，解得q=2．∴b 1×2=4，解得b 1=2． ∴b n =2n ． 则log 2b n =n ． 故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查数列通项的求法，考查等比数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 若在已知数列中存在：()()n n n S f a S f n ==或的关系，可以利用项和公式11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求数列的通项.5. 已知直线10ax y +-=与圆()()22:11C x y a -++=相交于A ，B ，且ABC 为等腰直角三角形，则实数a 的值为( ) A.17或1- B. 1- C. 1 D. 1或1-【答案】D 【解析】 【分析】由三角形ABC 为等腰直角三角形，得到圆心C 到直线的距离d=rsin45°，利用点到直线的距离公式列出方程，求出方程的解即可得到a 的值．【详解】∵由题意得到△ABC 为等腰直角三角形，∴圆心C （1，﹣a ）到直线ax +y ﹣1=0的距离d=rsin45°整理得：1+a 2=2，即a 2=1， 解得：a=﹣1或1， 故答案为D【点睛】此题考查了直角与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，等 腰直角三角形的性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．6. 在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若2222014a b c +=，则()2tan tan tan tan tan A BC A B ⋅+的值为( )A. 2013B. 1C. 0D. 2014【答案】A 【解析】 【分析】由a 2+b 2=2014c 2，利用余弦定理可得a 2+b 2﹣c 2=2013c 2=2abcosC ．利用三角函数基本关系式和两角和的正弦公式、正弦定理可得()2tanA tanB tanC tanA tanB ⋅+=2sinA sinBcosA cosBsinC sinA sinB cosC cosA cosB ⋅⎛⎫+ ⎪⎝⎭=()2sinAsinBcosC sinCsin A B +=22abcosC c 即可得出． 【详解】∵a 2+b 2=2014c 2， ∴a 2+b 2﹣c 2=2013c 2=2abcosC ．∴()2tanA tanB tanC tanA tanB ⋅+=2sinA sinBcosA cosBsinC sinA sinB cosC cosA cosB ⋅⎛⎫+ ⎪⎝⎭=()2sinAsinBcosC sinCsin A B +=22abcosC c =2013． 故答案为：A【点睛】本题考查了三角函数基本关系式和两角和的正弦公式、正弦定理、余弦定理等基础知识与基 本技能方法，属于难题．7. 已知点()(),0M a b ab ≠是圆222:C x y r +=内一点，直线l 是以M 为中点的弦所在的直线，直线m 的方程为2bx ay r -=，那么( ) A. l m ⊥且m 与圆C 相切 B. l m 且m 与圆C 相切 C. l m ⊥且m 与圆C 相离 D. l m 且m 与圆C 相离【答案】C 【解析】 【分析】求圆心到直线的距离，然后与a 2+b 2＜r 2比较，可以判断直线与圆的位置关系，易得两直线的关系．【详解】以点M 为中点的弦所在的直线的斜率是﹣a b ，直线m 的斜率为ba，∴直线l ⊥m ， ∵点M （a ，b ）是圆x 2+y 2=r 2内一点，∴a 2+b 2＜r 2， ∴圆心到bx ﹣ay=r 22＞r ，故相离．故答案为：C【点睛】本题主要考查直线的位置关系，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.8. 若圆22210x y ax y +-++=和圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点(),C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程是( ) A. 24480y x y -++= B. 22220y x y +-+= C. 24480y x y +-+= D. 2210y x y --+=【答案】C 【解析】 【分析】求出两个圆的圆心坐标，两个半径，利用两个圆关于直线的对称知识，求出a 的值，然后求 出过点C （﹣a ，a ）的圆P 与y 轴相切，就是圆心到C 的距离等于圆心到y 轴的距离，即可 求出圆心P 的轨迹方程．【详解】圆x 2+y 2﹣ax +2y +1=0的圆心（12a -，），因为圆x 2+y 2﹣ax +2y +1=0与圆x 2+y 2=1关于直线 y=x ﹣1对称，设圆心（12a -，）和（0,0）的中点为（142a -，）， 所以（142a-，）满足直线y=x ﹣1方程，解得a=2， 过点C （﹣2，2）的圆P 与y 轴相切，圆心P 的坐标为（x ，y ）x = 解得：y 2+4x ﹣4y +8=0，所以圆心P 的轨迹方程是y 2+4x ﹣4y +8=0， 故答案为：C【点睛】（1）本题主要考查圆关于直线的对称问题，考查动点的轨迹方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求轨迹方程的四种主要方法 ： ①待定系数法：通过对已知条件的分析，发现动点满足某个曲线（圆、圆锥曲线）的定义，然后设出曲线的方程，求出其中的待定系数，从而得到动点的轨迹方程.②代入法：如果点M 的运动是由于点P 的运动引起的，可以先用点M 的坐标表示点P 的坐标，然后代入点P 满足的方程，即得动点M 的轨迹方程.③直接法：直接把已知的方程和条件化简即得动点的轨迹方程.④参数法：动点(,)M x y 的运动主要是由于某个参数ϕ的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即()()x f y g ϕϕ=⎧⎨=⎩，再消参.9. 平行四边形ABCD 中，2AB =，AD 1,?1AB AD =⋅=-，点M 在边CD 上，则MA MB ⋅的最大值为( )1 1C. 0D. 2【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的数量积的运算，求出A=120°，再建立坐标系，得到MA •MB =x （x ﹣2）+34=x 2﹣ 2x +34=（x ﹣1）2﹣14，设f （x ）=（x ﹣1）2﹣14，利用函数的单调性求出函数的最值，问题得 以解决．【详解】∵平行四边形ABCD 中，AB=2，AD=1，AB •AD =﹣1，点M 在边CD 上，∴|AB |•|AD |•cos ∠A=﹣1， ∴cosA=﹣12，∴A=120°， 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的垂线为y 轴，建立如图所示的坐标系，∴A （0，0），B （2，0），D （﹣12，2），设M （x ，则﹣12≤x ≤32，∴MA =（﹣x MB =（2﹣x ）， ∴MA •MB =x （x ﹣2）+34=x 2﹣2x +34=（x ﹣1）2﹣14， 设f （x ）=（x ﹣1）2﹣14，则f （x ）在[﹣12，1）上单调递减，在[1，32]上单调递增，∴f （x ）min =f （1）=﹣14，f （x ）max =f （﹣12）=2， 则MA •MB 的最大值是2， 故答案为：D【点睛】本题考查了向量的数量积定义和向量数量积的坐标表示和函数的最值问题，关键是建立坐标系，属于中档题．10. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆的离心率e 的取值范围是（ ） A. 2,12⎤⎥⎣⎦B. 2312⎤⎥⎣⎦ C. 23,22⎣⎦ D. 3633⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为：1F ,根据AF BF ⊥，得到四边形为1AF BF 为矩形，再由ABF α∠=，结合椭圆的定义得到22sin 2cos a c c αα=+，然后由1sin cos c e a αα==+求解. 【详解】设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为：1F ,因为AF BF ⊥，所以四边形为1AF BF 为矩形， 所以12AB FF c == 因为ABF α∠=，所以2sin ,2cos ,AF c BF c αα==由椭圆的定义得：22sin 2cos a c c αα=+，所以11sin cos 4c e a πααα===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 因为,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以5,4122πππα⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 44πα⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，142πα⎡⎛⎫+∈⎢⎪⎝⎭⎣，所以12e ⎤∈⎥⎣⎦， 故选：B【点睛】方法点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点F 1，F 2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF 1|·|PF 2|；通过整体代入可求其面积等． 11. 己知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足PA m PB =，当m 取最大值时，点P 恰好在以A 、B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为A.1211【答案】B 【解析】 【分析】根据题目可知，过P 作准线的垂线，垂足为N ，则由抛物线的定义，结合PA m PB =，可得1PN PAm=，设PA 的倾斜角为α，当m 取得最大值时，sin α最小，此时直线PA 与抛物线相切，即可求出的P 的坐标，再利用双曲线的定义，即可求得双曲线得离心率．【详解】由题意知，由对称性不妨设P 点在y 轴的右侧，过P 作准线的垂线，垂足为N ，则根据则抛物线的定义，可得PN PB =，PA m PB =1PN PAm∴= 设PA 的倾斜角为α，当m 取得最大值时，sin α最小，此时直线PA 与抛物线相切，设直线PA 的方程为1y kx =-，与24x y =联立，得2440x kx -+=，令216160k ∆=-=，解得1k =± 可得(2,1)P ， 又此时点P 恰好在以A 、B 为焦点的双曲线上∴双曲线的实轴21)a PA PB =-=1,1a c ∴==1e ∴=故答案选B ．【点睛】本题主要考查了双曲线与抛物线的性质的应用，在解决圆锥曲线相关问题时常用到方程思想以及数形结合思想．12. 已知在R 上的函数()f x 满足如下条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②对于任意R x ∈，()()220f x f x +--=；③当[]0,2x ∈时，()f x x =；④函数()()()12n n f x f x -=⋅，*n N ∈，若过点()1,0-的直线l 与函数()()4f x 的图象在[]0,2x ∈上恰有8个交点，在直线l 斜率k 的取值范围是（ ）A. 80,11⎛⎫⎪⎝⎭B. 110,8⎛⎫⎪⎝⎭C. 80,19⎛⎫⎪⎝⎭D. 190,8⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】先由条件①②，得到函数()f x 是周期为4的周期函数；根据③求出函数()f x 在一个周期[]22-,上的表达式为(),02,20x x f x x x ≤≤⎧=⎨--≤<⎩，根据④得到()()4f x 的周期为12，其图象可由()f x 的图象压缩为原来的18得到，作出()()4f x 的图象，结合图象，即可求出结果.【详解】因为函数()f x 是偶函数，由()()220f x f x +--=得()()()222f x f x f x +=-=-， 即()()4f x f x +=，所以函数()f x 是周期为4的周期函数； 若[]2,0x ∈-，则[]0,2x ∈；因为当[]0,2x ∈时，()f x x =， 所以[]0,2x -∈时，()f x x -=-，因为函数()f x 是偶函数，所以()()f x x f x -=-=， 即()f x x =-，[]2,0x ∈-，则函数()f x 在一个周期[]22-,上的表达式为(),02,20x x f x x x ≤≤⎧=⎨--≤<⎩，因为()()()12n n f x f x -=⋅，*n N ∈，所以函数()()()48f x f x =，*n N ∈，故()()4f x 的周期为12，其图象可由()f x 的图象压缩为原来的18得到，作出()()4f x 的图象如图：易知过()1,0M -的直线l 斜率存在，设过点()1,0-的直线l 的方程为()1y k x =+， 则要使直线l 与()()4f x 的图象在[]0,2x ∈上恰有8个交点，则0MA k k <<，因为7,24A ⎛⎫⎪⎝⎭，所以20871114MA k -==+，故8011k <<. 故选：A.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于，根据条件，由函数基本性质，得到()()4f x 的图象，再由函数交点个数，利用数形结合的方法，即可求解.Ⅱ卷二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13. 在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，1b =，ABC 的面积为32，则sin sin b cB C++的值为_______________.【答案】2 【解析】 【分析】 根据1262sin A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭解出A=3π，利用三角形的面积公式算出c=2．根据余弦定理a 2=b 2+c 2﹣ 2bccosA 的式子算出c=3，最后利用正弦定理加以计算，即可得到答案． 【详解】∵1262sin A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，A ∈（0，π） ∴2A +6π=56π，可得A =3π ∵b=1，△ABC 的面积为3， ∴S =12bcsinA=3，即1312c sinA ⨯⨯⨯=，解之得c =2 由余弦定理，得a 2=b 2+c 2﹣2bc cosA=1+4﹣2×123cos π⨯=3∴a =3（舍负）根据正弦定理，得b c sinB sinC ++=asinA =33sinπ=2故答案为2【点睛】本题着重考查了特殊角的三角函数值、三角形的面积公式、正余弦定理解三角形等知识，属 于中档题．14. 已知平面上有四点,,,O A B C ，向量OA ，OB ，OC 满足：0OA OB OC ++=，1OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅=-，则ABC 的周长是_______________.【答案】 【解析】 【分析】先判断三角形为正三角形，再根据正弦定理，问题得以解决． 【详解】平面上有四点O ，A ，B ，C ，满足OA +OB +OC =0， ∴O 是△ABC 的重心， ∵OA •OB =OB •OC ，∴OB •（OA ﹣OC ）=OB •CA =0， 即：OB ⊥CA ，同理可得：OC ⊥BA ，OA ⊥BC ， 即O 是垂心， 故△ABC 是正三角形，∵OA •OB =OB •OC =OC •OA =﹣1， 令外接圆半径R ，则：R 2cos （∠AOB ）=R 2cos （23π）=﹣1 即：R即：a sinA =3a sinπ， 即：a， 故周长：3a=， 故答案为：【点睛】本题考查了平面向量的有关知识以及正弦定理解三角形等有关知识，属于中档题． 15. 已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为___.【答案】3【解析】 【分析】设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，|F 1F 2|=2c ，椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2, 由余弦定理可得 4c 2=（r 1）2+（r 2）2﹣2r 1r 2cos3π，①在椭圆中，①化简为即4c 2=4a 2﹣3r 1r 2…②，在双曲线中， 化简为即4c 2=4a 12+r 1r 2…③，2212134e e +=所以，再利用柯西不等式求椭圆和双曲线的离 心率的倒数之和的最大值.【详解】设椭圆的长半轴为a ，双曲线的实半轴为a 1，（a ＞a 1），半焦距为c ， 由椭圆和双曲线的定义可知， 设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，|F 1F 2|=2c ， 椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2, ∵∠F 1PF 2=3π，则∴由余弦定理可得4c 2=（r 1）2+（r 2）2﹣2r 1r 2cos 3π，① 在椭圆中，①化简为即4c 2=4a 2﹣3r 1r 2…②， 在双曲线中，①化简为即4c 2=4a 12+r 1r 2…③，2212134e e +=所以， 由柯西不等式得（1+13）（221213e e +）≥（121e ）21211e e +≤所以【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关 键．属于难题．16. 已知数列{}n a 的前n 项和122n n n S a +=-，若不等式223(5)n n n a λ--<-，对n N +∀∈恒成立，则整数λ的最大值为______． 【答案】4 【解析】【详解】当1n =时，21122S a =-，得14a =，当2n ≥时，122nn n S a -=-， 又122n n n S a +=-，两式相减得1222nn n n a a a -=--，得122nn n a a -=+，所以11122n n n n a a ---=． 又1122a =，所以数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，1为公差的等差数列， 12nn a n =+，即(1)2n n a n =+⋅． 因为0n a >，所以不等式223(5)n n n a λ--<-，等价于2352nn λ-->． 记122311,,224n nn b b b -==-=， 2n ≥时，112121223462n n nnn b n n b n ++--==--． 所以3n ≥时，11,n nb b +< 综上，max 33()8n b b ==，所以33375,5888λλ-><-=，所以整数λ的最大值为4． 考点：1．数列的通项公式；2．解不等式．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知向量33cos ,sin 22A A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且满足3m n +=. (1)求角A 的大小；(2)若3b c a +=，试判断ABC 的形状. 【答案】(1)(2)直角三角形【解析】 【分析】(1)直接化简3m n +=得1cos 2A =，60A =︒.（2）联立222122b c a bc --=①，b c +=②，化简得2b c =或2c b =，当b=2c 时，可以推理得到ABC 为直角三角形，同理，若2c b =，则ABC 也为直角三角形.【详解】(1)∵()()2223m n m n ++⋅=，代入33cos,sin 22A A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，有 33112cos cos sin sin 32222A A A A ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，∴331coscos sin sin 22222A A A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即31cos 222A A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴1cos 2A =，60A =︒. (2)∵1cos 2A =，∴222122b c a bc +-=①又∵b c +=②联立①②有，222bc b c =+-，即222520b bc c --=，解得2b c =或2c b =，又∵b c +=，若2b c =，则a =，∴)2222224a c c c b +=+==，ABC 为直角三角形，同理，若2c b =，则ABC 也为直角三角形.【点睛】（1）本题主要考查三角恒等变换，考查余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解题的关键是推理得到2b c =或2c b =.18. 已知圆C 经过原点()0,0O 且与直线28y x =-相切于点()4,0P （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）在圆C 上是否存在两点,M N 关于直线1y kx =-对称，且以线段MN 为直径的圆经过原点？若存在,写出直线MN 的方程；若不存在，请说明理由 【答案】（Ⅰ）()()22215x y -+-=. （Ⅱ）见解析. 【解析】 分析】（Ⅰ）由已知得圆心经过点P （4，0）、且与y=2x ﹣8垂直的直线122y x =-+上，它又在线段OP 的中垂线x=2上，求得圆心C （2，1）C 的方程．（Ⅱ）假设存在两点M ，N 关于直线y=kx ﹣1对称，则y=kx ﹣1通过圆心C （2，1），求得k=1，设直线MN 为y=﹣x+b ，代入圆的方程，利用韦达定理及 OM •ON =0，求得b 的值，可得结论． 【详解】（Ⅰ）法一：由已知，得圆心在经过点()4,0P 且与28y x =-垂直的直线122y x =-+上，它又在线段OP 的中垂线2x =上，所以求得圆心()2,1C所以圆C 的方程为()()22215x y -+-=. (细则：法一中圆心3分，半径1分，方程2分) 法二：设圆C 的方程为()()22200x x y y r -+-=，可得()222000022200,1,424x y r y x x y r r ⎧⎪+=⎪⎪⎪=-⎨-⎪⎪⎛⎫⎪-+== ⎪⎪⎝⎭⎩解得002,1,x y r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩,所以圆C 的方程为()()22215x y -+-= (细则：方程组中一个方程1分)（Ⅱ）假设存在两点,M N 关于直线1y kx =-对称，则1y kx =-通过圆心()2,1C ，求得1k =， 所以设直线MN 为y x b =-+代入圆的方程得()2222220x b x b b -++-=，设()11,M x x b -+，()22,N x x b -+，则()221212230OM ON x x b x x b b b ⋅=-++=-=解得0b =或3b =这时0∆>，符合题意，所以存在直线MN 为y x =-或3y x =-+符合条件 (细则：未判断0∆>的扣1分).【点睛】本题主要考查了圆锥曲线的综合应用问题，其中解答中涉及到圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，向量的坐标运算等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中把直线的方程和椭圆方程联立，转化为方程的根与系数的关系、韦达定理的应用是解答问题的关键19. 各项均为正数的数列{}n a 中，11a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，对任意*n N ∈，有()222n n n S pa pa p p R =+-∈.(1)求常数p 的值；(2)求数列{}n a 的通项公式；(3)记423nn n S b n =⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）1p =（2）12n n a +=（3） ()1122n n T n +=-⋅+【解析】 【分析】(1)令()222n n n S pa pa p p R =+-∈中n=1即得p 的值.(2)利用项和公式求数列{}n a 的通项公式.(3)先求出4223nn n n S b n n =⋅=⋅+，再利用错位相减法求数列{}n b 的前n 项和n T . 【详解】解：(1)由11a =及()2*22n n n S pa pa p n N =+-∈，得：22p p p =+-，∴1p =.(2)由2221n n n S a a =+-①，得2111221n n n S a a +++=+-②由②－①，得()()2211122n n n n n a a a a a +++=-+-，即：()()()11120n n n n n n a a a a a a ++++--+=， ∴()()112210n n n n a a a a +++--=，由于数列{}n a 各项均为正数，∴1221n n a a +-=，即112n n a a +-=， ∴数列{}n a 是首项为1，公差为12的等差数列， ∴数列{}n a 的通项公式是()111122n n a n +=+-⨯=.(3)由12n n a +=，得：()34n n n S +=，∴4223n n n n S b n n =⋅=⋅+， ∴231222322nn T n =⨯+⨯+⨯+⋯+⋅()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯+⋯+-⨯+⨯，()()2311121222222212212n n n n n n T n n n +++--=+++⋯+-⋅=-⨯=--⋅--()1122n n T n +=-⋅+.【点睛】（1）本题主要考查项和公式求数列的通项，考查等差数列的通项和求和公式，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 数列{}·n n b c ，其中{}n b 是等差数列，{}n c 是等比数列，则采用错位相减法.20. 已知椭圆()2222 :?10x y C a b a b +=>>的离心率2e =，原点到过点(),0A a ，()0,B b -的直线的距离是5. （1）求椭圆C 的方程； （2）如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点E ，F ，且E ，F 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值.【答案】（1）221164x y +=；（2）4k =±【解析】 【分析】 （1）由离心率e =2a b =，再求出直线1:B x a A y b -=，从而得5d ==，解方程组可求出,a b 的值，进而可得椭圆C 的方程；（2）设()22,E x y ，()33,F x y ，EF 的中点是(),M M M x y ，再将直线()10y kx k =+≠与椭圆方程联立成方程组，消元后利用根与系数的关系可得2234214M x x k x k +-==+，21114M My kx k =+=+，再由E ，F 都在以B 为圆心的圆上，可得20M M x ky k ++=，从而可求出k 的值【详解】解：（1）因2c a =，222a c b -=，所以2a b =. 因为原点到直线1:B x a A y b -=的距离d ==，解得4a =，2b =.故所求椭圆C 的方程为221164x y +=.（2）由题意2211164y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()22148120k x kx ++-=.可知0∆>.设()22,E x y ，()33,F x y ，EF 的中点是(),M M M x y ，则2234214M x x k x k +-==+，21114M My kx k =+=+， 因为E ，F 都在以B 为圆心的圆上，且()0,2B -，所以21M My k x +⋅=-， 所以20M M x ky k ++=.即224201414k kk k k -++=++.又因为0k ≠，所以218k =.所以4k =±. 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是将EF 的中点(),M M M x y 坐标用含k 的式子表示，再由E ，F 都在以B 为圆心的圆上，得20M M x ky k ++=，将点M的坐标代入可求出k 的值，考查计算能力，属于中档题21. 已知定点()0,1F ，定直线:1l y =-，动圆M 过点F ，且与直线l 相切. （1）求动圆M 的圆心轨迹C 的方程；（2）过点F 的直线与曲线C 相交于,A B 两点，分别过点,A B 作曲线C 的切线12,l l ，两条切线相交于点P ，求PAB ∆外接圆面积的最小值.【答案】（Ⅰ）24x y =；（Ⅱ）当0k =时线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π. 【解析】试题分析：（Ⅰ）设(),M x y=1y +化简即可得结论；（Ⅱ）由题意PAB △的外接圆直径是线段AB ，设AB l ：1y kx =+，与 24x y =联立得2440x kx --=，从而得()241AB k =+，0k =时线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π.试题解析：（Ⅰ）设点M 到直线l 的距离为d ，依题意MF d =. 设(),M xy = 1y +.化简得24x y =.所以点M 的轨迹C 的方程为24x y =. （Ⅱ）设AB l ：1y kx =+，代入24x y =中，得2440x kx --=. 设()11,A x y ，()22,B x y ， 则124x x k +=，124x x ⋅=-.所以AB = ()21241x x k ⋅-=+.因为C ：24x y =，即24x y =，所以2x y '=.所以直线1l 的斜率为112x k =，直线2l 的斜率为222xk =. 因为121214x x k k ==-， 所以PA PB ⊥，即PAB 为直角三角形.所以PAB 的外接圆的圆心为线段AB 的中点，线段AB 是直径. 因为()241AB k =+，所以当0k =时线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π.【方法点晴】本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离公式及三角形面积公式，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标(),x y ，根据题意列出关于,x y 的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把,x y 分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将()()00x g x y h x =⎧⎪⎨=⎪⎩代入()00,0=f x y .本题（Ⅰ）就是利用方法①求圆心轨迹方程的.22. 设函数()21ln 2f x x ax bx =--． （1）当12a b ==时，求函数()f x 的最大值； （2）令()()212a F x f x ax bx x=+++，（03x <≤）其图象上任意一点()00,P x y 处切线的斜率12k 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当0a =，1b =-，方程()22mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值．【答案】（1）34-；（2）12a ≥；（3）12m =.【解析】【分析】（1）对函数求导，根据导数大于0或小于0，确定函数的单调区间，进而求出函数的最大值.（2）求出()(]ln ,0,3a F x x x x=+∈，根据()012'=≤k F x ，列不等式，分离参数可得200max 12a x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭，进而求出结果.（3）22ln 20x m x mx --=有唯一正实数解,构造函数()22ln 2g x x m x mx =--，对函数求导，确定函数的单调区间，进而求出函数的最小值为0，进而求出m 值.【详解】（1）依题意，知()f x 的定义城为()0,∞+， 当12a b ==时，()211ln 42f x x x x =--， ()()()21111222x x f x x x x-+-'=--=，令()0f x '=，解得1x =. 当01x <<时，()0f x '>，此时()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，此时()f x 单调递减，所以()f x 的极大值为()314f =-，此即为最大值. （2）()(]ln ,0,3a F x x x x=+∈，则有()002012x a k F x x -'==≤，在(]00,3x ≤上恒成立， 所以200max12a x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭，(]00,3x ∈. 当01x =时，22000111(1)+222-+=--x x x 取得最大值12，所以12a ≥. （3）因为方程()22mf x x =有唯一实数解，所以22ln 20x m x mx --=有唯一正实数解，设()22ln 2g x x m x mx =--，则()2222x mx m g x x --'=，令()0g x '=，20x mx m --=， 因为0m >，0x >，所以10x =<（舍去），20x =>， 当()20,x x ∈时，()0g x '<，()g x 在()20,x 上单调递减；当()2,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在()2,x +∞上单调递增；故2x x =时，()20g x '=，()g x 取最小值()2g x因为()0g x =有唯一正实数解，所以()20g x =，则()()220,0,g x g x ⎧=⎪⎨='⎪⎩即22222222ln 20,0,x m x mx x mx m ⎧--=⎨--=⎩ 所以222ln +0-=m x mx m ，因为0m >，所以()222ln 10x x +-=*.设函数()2ln 1h x x x =+-，因为当0x >时，()h x 是增函数，所以()0h x =至多有一解，因为()10h =，所以方程（*）的解为21x =，即12m +=，解得12m =. 【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于难题.。

2013～2014学年度上学期期中考试 高三年级数学（理科）试卷本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1．平面向量a 与b 的夹角为60°，(2,0),1,==a b 则2+=a b （ ） （A（B）（C ）4 （D ）122．若集合{}{}2540;1,A x x x B x x a =-+=-＜＜则“(2,3)a ∈”是“B A ⊆”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件3．已知平面向量,m n u r r 的夹角为,6π2,3==，在ABC ∆中，22AB m n =+uu u r u r r ，26AC m n =-uuu r u r r，D 为BC 中点，则AD =( )A.2B.4C.6D.84．某几何体的三视图如右图（其中侧视图中的圆弧是半圆）， 则该几何体的表面积为（ ） （A ）9214+π （B ）8214+π （C ）9224+π （D ）8224+π5．已知等差数列{}n a 中，37101140,4a a a a a +-=-=，记12n n S a a a =+++L ，S 13=( ) A ．78B ．68C ．56D ．526．已知双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，以12||F F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为（ ）A ．221169x y -= B ．22134x y -= C ．221916x y -= D ．22143x y -=侧视正视图俯视图7．在△ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且满足sin cos a B b A =,则2sin cos B C -的最大值是( )A ．1 B. 3 C. 7 D. 278．若函数1()e (0,)ax f x a b b=-＞＞0的图象在0x =处的切线与圆221x y +=相切，则a b +的最大值是（ ） （A ）4 （B ）22（C ）2 （D ）29. 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中，12,F F 分别是其左右焦点，若椭圆上存在一点P 使得122PF PF =，则该椭圆离心率的取值范围是( )A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦10．已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，三棱锥O ﹣ABC 的高为2且∠ABC=60°，AB=2，BC=4，则球O 的表面积为（ ）A ．24π B. 32π C. 48π D. 192π11．已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足(1)()f x f x +=-，当11x -≤＜ 时，3()f x x =，若函数()()log a g x f x x =-至少6个零点，则a 取值范围是（ ）（A ）10,5,5+∞U （]（） （B ）10,[5,5+∞U （）） （C ）11,]5,775U （（） （D ）11,[5,775U （））12．对于定义域为D 的函数()y f x =和常数c ，若对任意正实数ξ，,x D ∃∈使得0|()|f x c ξ<-<恒成立，则称函数()y f x =为“敛c 函数”．现给出如下函数： ①()()f x x x Z =∈； ②()()112xf x x Z ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭；③ ()2log f x x =； ④()1x f x x -=.其中为“敛1函数”的有A ．①②B ．③④C ． ②③④D ．①②③Ⅱ卷 非选择题 （共90分）二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置）13. 过点(1,1)-的直线与圆2224110x y x y +---=截得的弦长为43，则该直线的方程为 。

数学(理)试卷本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

共150分，时间120分钟。

I 卷一、选择题：本题共12个小题，每小题均只有一个正确选项，每小题5分，共60分。

1、集合M ＝{x|2x 2－x －1<0}，N ＝{x|2x ＋a>0}，U ＝R ，若M ∩U ðN ＝φ，则a 的取值范围是A.a>1B.a ≥1C.a<1D.a ≤12、若直线y ＝kx 与双曲线2294x y -＝1相交，则k 的取值范围是A.(0，23) B.(－23，0) C.(－23，23) D.(－∞，－23)∪(23，＋∞)3、在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，1BD BC 2= ，则AD BD ⋅ ＝A.－52 B.52 C.－54 D.544、已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－n ，正项等比数列{b n }中，b 2＝a 3，b n ＋3b n －1＝4b n 2(n ≥2，n ∈N ＋)，则log 2b n ＝A.n －1B.2n －1C.n －2D.n 5、已知直线ax ＋y －1＝0与圆C ：(x －1)2＋(y ＋a)2＝1相交于A ，B ，且△ABC 为等腰直角三角形，则实数a 的值为A.17或－1 B.－1 C.1 D.1或－16、在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若a 2＋b 2＝2014c 2，则()2tanA tanB tanC tanA tanB ⋅+的值为A.2013B.1C.0D.20147、已知点M(a ，b)(ab ≠0)是圆C ：x 2＋y 2＝r 2内一点，直线l 是以M 为中点的弦所在的直线，直线m 的方程为bx －ay ＝r 2，那么A.l ⊥m 且m 与圆C 相切B.l //m 且/W 与圆C 相切C.l ⊥m 且m 与圆C 相离D.l //m 且w 与圆C 相离8、若圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0和圆x 2＋y 2＝1关于直线y ＝x －1对称，过点C(－a ，a)的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程是A.y 2－4x ＋4y ＋8＝0B.y 2＋2x －2y ＋2＝0C.y 2＋4x －4y ＋8＝0D.y 2－2x －y ＋1＝09、平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，AB AD ⋅ ＝－1，点M 在边CD 上，则MA MB ⋅ 的最大值为A.－1B.－1C.0D.210、已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF ＝α，且α∈[6π，4π]，则该椭圆的离心率e 的取值范围是，1] －1] ，] 11、已知点A 是抛物线x 2＝4y 的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足|PA|＝m|PB|，当m 取最大值时，点P 恰好在以A ，B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为＋1 D.－112、已知在R 上的函数f(x)满足如下条件：①函数f(x)的图象关于y 轴对称；②对于任意x ∈R ，f(2＋x)－f(2－x)＝0；③当x ∈[0，2]时，f(x)＝x ；④函数f (n)(x)＝f(2n －1·x)，n ∈N *，若过点(－1，0)的直线l 与函数f (4)(x)的图象在x ∈[0，2]上恰有8个交点，在直线l 斜率k 的取值范围是A.(0，811)B.(0，118)C.(0，819)D.(0，198)II 卷二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。

2019-2020学年度高三年级上学期期中考试数学试卷(理科)一、选择题1.已知曲线()cos 3f x x x x =+在点()()0,0f 处的切线与直线410ax y ++=垂直，则实数a 的值为（ ） A. -4 B. -1C. 1D. 4【答案】C 【解析】 【分析】先求出()f x 在点()()0,0f 处的切线斜率，然后利用两直线垂直的条件可求出a 的值. 【详解】由题意，()cos sin 3f x x x x '=-+，()0cos034f '=+=，则曲线()f x 在点()()0,0f 处的切线斜率为4，由于切线与直线410ax y ++=垂直，则414a -⨯=-，解得1a =.故选C.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了两直线垂直的性质，考查了计算能力，属于基础题.2.已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2578220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列且77b a =，则212b b 等于（ ）A.49B.32C.94D.23【答案】C 【解析】由题意可得：()()2225787777722222320a a a a d a a d a a -+=--++=-=，7730,2a a ≠∴=Q ，则：222127794b b b a ===. 本题选择C 选项.3.对于函数()f x ，若存在区间[,]A m n =使得{|(),}y y f x x A A =∈=则称函数()f x 为“同域函数”，区间A 为函数()f x 的一个“同城区间”.给出下列四个函数：①()cos2f x x π=；②2()1f x x =-；③2()|1|f x x =-；④2()log (1)f x x =-.存在“同域区间”的“同域函数”的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②C. ②③D. ①②④【答案】A 【解析】 ①()cos2f x x π= ，x∈[0，1]时，f （x ）∈[0，1]，所以①存在同域区间；②()21f x x =-，x∈[-1，0]时，f （x ）∈[-1，0]，所以②存在同域区间；③()21f x x =-，x∈[0，1]时，f （x ）∈[0，1]，所以③存在同域区间；④()()2log 1f x x =-，判断该函数是否有同域区间，即判断该函数和函数y=x 是否有两个交点；而根据这两个函数图象可以看出不存在交点，所以该函数不存在同域区间．故答案为①②③．点睛：本题主要考查了对同域函数及同域区间的理解，涉及到二次函数、余弦函数的值域的求解，函数图像的相交等，属于难题.本题在判断邻域时，需要知道通过判断函数f （x ）和函数y=x 图象交点的情况来判断函数是否存在同域区间的方法．4.设θ为两个非零向量,a b r r的夹角，已知对任意实数t ，b ta +r r 的最小值为1，下列说法正确的是（ ）A. 若θ确定，则a r唯一确定 B. 若θ确定，则b r唯一确定 C. 若a r确定，则θ唯一确定D. 若b r确定，则θ唯一确定【答案】B 【解析】 【分析】对式子b ta +r r 平方转化成关于t 的二次函数，再利用最小值为1，得到()221cos 1b θ-=r ，进而判断θ与b r之间的关系．【详解】222222222cos b ta b ta b t a a t a b t b θ+=+⋅+=+⋅⋅+r r r r r r r r r r .因为min1b ta+=r r ，所以()2222222244cos 1cos 14a b a b b aθθ⋅-⋅=-=r r r r r r .所以22sin 1b θ=r ，所以sin 1b θ=r ，即1sin b θ=r .所以θ确定，b r 唯一确定.故选B.【点睛】本题考查向量模的最值、数量积运算、向量夹角等知识，考查与二次函数进行交会，求解时不能被复杂的表达式搞晕，而是要抓住问题的本质，始终把22||,||a b r r 看成实数．5.已知点(),P x y 是直线224y x =-上一动点，PM 与PN 是圆()22:11C x y +-=的两条切线，,M N 为切点，则四边形PMCN 的最小面积为( ) A.43B.23C.53D.56【答案】A 【解析】 【分析】利用当CP 与直线224y x =-垂直时，PC 取最小值，并利用点到直线的距离公式计算出PC 的最小值，然后利用勾股定理计算出PM 、PN 的最小值，最后利用三角形的面积公式可求出四边形PMCN 面积的最小值． 【详解】如下图所示：由切线的性质可知，CM PM ⊥，CN PN ⊥，且PCM PCN ∆≅∆，2221PM PN PC CMPC ==-=-当PC 取最小值时，PM 、PN 也取得最小值，显然当CP 与直线24y x =-垂直时，PC 取最小值，且该最小值为点()0,1C 到直线224y x=-的距离，即()()min221453221PC--==+-，此时，22min min min541133PM PN PC⎛⎫==-=-=⎪⎝⎭，∴四边形PMCN面积的最小值为min11442212233PM CM⨯⋅=⨯⨯⨯=，故选A.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查切线长的计算以及四边形的面积，本题在求解切线长的最小值时，要抓住以下两点：（1）计算切线长应利用勾股定理，即以点到圆心的距离为斜边，切线长与半径为两直角边；（2）切线长取最小值时，点到圆心的距离也取到最小值．6.已知函数()sin()(0,0,0)2f x A wx Aπϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，则3()4fπ=（）A.22- B.12- C. 1- D. 22【答案】C【解析】【分析】根据图像最低点求得A，根据函数图像上两个特殊点求得,ωϕ的值，由此求得函数()f x解析式，进而求得3π4f⎛⎫⎪⎝⎭的值.【详解】根据图像可知，函数图像最低点为7π,212⎛⎫-⎪⎝⎭，故2A=，所以()2sin()f x xωϕ=+，将点(7π3,,212⎛⎫- ⎪⎝⎭代入()f x 解析式得2sin 37π2sin 212ϕωϕ⎧=⎪⎨⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得2π3ωϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩，故()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以3π3ππ2sin 21443f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选C.【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象求三角函数解析式，并求三角函数值，属于中档题.7.已知函数1()4sin cos 2f x x x =-，若()()f x a f x a -=-+恒成立，则实数a 的最小正值为（ ） A. 2π B. πC.2π D.4π 【答案】D 【解析】 【分析】先化简f (x ),分析出f (x )本身的最小正周期T ，再根据()()f x a f x a -=-+分析出用a 表示f (x )的最小正周期，最后根据两者相等，求得a 的最小正值． 【详解】由1()4sin cos 2f x x x =-，则1()2sin 22f x x =-，所以f (x )的最小正周期T=π 因为()()f x a f x a -=-+，则',()(2)x x a f x f x a =+=-+‘，令则，，这f (x )的最小正周期T=4a ,所以4a =π，所以实数a 的最小正值是4π，故答案选D 【点睛】本题主要考察带绝对值三角函数的的周期，同时要会通过函数满足的关系式，分析函数周期8.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11a =，12n n a S +=，则数列1{}na 的前20项和为（ ） A.1931223-⨯ B.1971443-⨯ C.1831223-⨯ D.1871443-⨯【答案】D 【解析】12n n a S +=，∴12n n a S -= 相减得()132n n a a n +=≥ 由11a =得出2212,3a a a =≠()21,123,2n n n a n -=⎧⎪=⎨≥⎪⎩ ，1n a =21,111,223n n n -=⎧⎪⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩011812201111111......1......2333a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++=++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 191911113131111222313⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭⎢⎥=+=+⋅-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦= 1871443-⨯ 故选D点睛：已知数列的n a 与n S 的等量关系，往往是再写一项，作差处理得出递推关系，一定要注意n 的范围，有的时候要检验n=1的时候，本题就是检验n=1,不符合，通项是分段的.9.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别是1F 、2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为（ ） A.31+ B.31C.22D.51- 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义可知12||||2PF PF a +=，又1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，可知2||PF c =且12PF PF ⊥，即可列出方程求椭圆的离心率.【详解】由1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，可知2||PF c =，且 12PF PF ⊥，又12||||2PF PF a +=，可知1||2PF a c =-，在12Rt PF F ∆中，222(2)4a c c c -+=，即2222a ac c -= 所以2220,(0,1)e e e +-=∈，解得212312e -==， 故选：B【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，圆的切线的性质，属于中档题. 10.已知函数()sin 3f x a x x =的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( )A. 3π-B. 0C.3π D.23π 【答案】D 【解析】 【分析】运用辅助角公式，化简函数()f x 的解析式，由对称轴的方程，求得a 的值，得出函数()f x 的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数2()sin 33sin()(f x a x x a x θθ==++为辅助角)， 由于函数的对称轴的方程为56x π=，且53()622a f π=+， 即23322a a +=+1a =，所以()2sin()3f x x π=-， 又由12()()4f x f x ⋅=-，所以函数必须取得最大值和最小值，所以可设11152,6x k k Z ππ=+∈，2222,6x k k Z ππ=-∈， 所以1212222,3x x k k k Z πππ+=++∈， 当120k k ==时，12x x +的最小值23π，故选D.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.11.若函数321()(3)3x f x e x kx kx =--+只有一个极值点，则k 的取值范围为()A. (,)e -∞B. (0,]eC. (,2)-∞D. (0,2]【答案】B 【解析】 【分析】利用函数求导函数 f ′（x ）＝e x （x ﹣2）﹣kx 2+2kx ＝（x ﹣2）（e x ﹣kx ），只有一个极值点时f ′（x ）＝0只有一个实数解，有e x ﹣kx ≥0，设新函数设u （x ）＝e x ，v （x ）＝kx ，等价转化数形结合法即可得出结论，【详解】解：函数f （x ）＝e x （x ﹣3）﹣13kx 3+kx 2只有一个极值点， f ′（x ）＝e x （x ﹣2）﹣kx 2+2kx ＝（x ﹣2）（e x ﹣kx ）， 若函数f （x ）＝e x （x ﹣3）﹣13kx 3+kx 2只有一个极值点，f ′（x ）＝0只有一个实数解， 则：e x ﹣kx ≥0， 从而得到：e x ≥kx ， 当k ＝0 时，成立．当k ≠0时，设u （x ）＝e x ，v （x ）＝kx如图：当两函数相切时，k ＝e ，此时得到k 的最大值，但k ＜0时不成立． 故k 的取值范围为：（0，e ] 综上：k 的取值范围为：[0，e ]故选B ．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值点、考查了不等式问题的等价转化方法，数形结合法，考查了推理能力，属于中档题．12.双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交曲线左支于A ，B 两点，△F 2AB 是以A 为直角顶点的直角三角形，且∠AF 2B ＝30°．若该双曲线的离心率为e ，则e 2＝（ ） A. 1143+B. 1353+C. 163-D.19103-【答案】D 【解析】 【分析】设22BF m =，根据2F AB ∆是以A 为直角顶点的直角三角形，且230AF B ∠=o，以及双曲线的性质可得212(33),2(23)AF a AF a ==，再根据勾股定理求得,a c 的关系式，即可求解.【详解】由题意，设22BF m =，如图所示，因为2F AB ∆是以A 为直角顶点的直角三角形，且230AF B ∠=o， 由212AF AF a -=，所以132AF m a =-， 由212BF BF a -=，所以122BF m a =-，所以11AF BF AB +=3222m a m a m -+-=， 所以2(31)m a =，所以232(31)2(33)AF a a ==，12(33)22(23)AF a a a =-=， 在直角12F AF ∆中，222124AF AF c +=，即222224(33)4(23)4a a c +=，整理得22(19103)a c -=，所以22219103c e a==-故选D.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，以及双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)．.二、填空题13.已知向量,,1,2a b a b ==v v v v，且210a b +=r r a b ⋅=r r ___________．【答案】12【解析】 【分析】把210a b +=r r1,2a b ==r r 代入，化简即可得结果. 【详解】因为1,2a b ==r r，所以222448410a b a a b b a b +=+⋅+=+⋅=vv v vv v v v12a b ∴⋅=v v ，故答案为12.【点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=r r r r ，二是1212a b x x y y ⋅=+r r，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， cos a b a bθ=r r g r r g （此时a b r r g 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a r 在b r上的投影是a b b⋅r r r ；（3）,a b r r 向量垂直则0a b ⋅=r r ;(4)求向量ma nb +r r 的模（平方后需求a b ⋅r r ）.14.已知抛物线E ：212y x ＝的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线m 与E 交于A ，B 两点，过A 作AM l ⊥，垂足为M ，AM 的中点为N ，若AM FN ⊥，则AB ＝___________. 【答案】16 【解析】 【分析】由题意画出图形，得到直线AB 的斜率，进一步求得直线AB 的方程，与抛物线方程联立求解即可得答案．【详解】AF AM =Q ，N 为AM 的中点，且FN AM ⊥，30AFN ∴∠=︒，则直线AB 的倾斜角为60︒，斜率为3．由抛物线212y x =，得(3,0)F ，则直线AB 的方程为3(3)y x =-．联立23(3)12y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得21090x x -+=．则10A B x x +=， ||16A B AB x x p ∴=++=．故答案为：16．【点睛】本题考查抛物线的简单性质、直线与抛物线位置关系及抛物线过焦点弦公式的应用，属于中档题．15.已知函数21()()2x f x x x e -=-，若当1x >时，()10f x mx m -++≤有解，则m 的取值范围为________ 【答案】(1,)-+∞ 【解析】【分析】先求导数，判断函数21()()2x f x x x e -=-的单调性，可得1x >时大致图象，利用数形结合求解.【详解】()10f x mx m -++Q „()(1)1f x m x ∴--„(1)1y m x =--Q 过定点(1,1)-Q 当1x >时，()10f x mx m -++≤有解∴当1x >时,存在()y f x =在(1)1y m x =--的下方，()21()2x f x x e -'=-Q令()0f x '=，解得2x =， 当12x <<时，()0f x '<，当2x >时，()0f x '>，()f x ∴在(1,2)上递减，在(2,)+∞上递增， Q 当2x >时，()0f x >，又(1)1,(2)1,(2)0f f f =-<-=，作函数()y f x =，(1)1y m x =--的大致图象：由图象可知：1m >-时满足条件， 故答案为：(1,)-+∞【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、最值、图象，直线过定点，数形结合，属于难题.16.数列{}n a 为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出11a =，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是21a =，32a =，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是41a =，51a =，62a =，73a =，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，…，如此继续，则2019a =______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据数列构造方法可知：21n a n -=，即()21121n nk k a a k -+=≤<-；根据变化规律可得20192a a =，从而得到结果.【详解】由数列{}n a 的构造方法可知11a =，32a =，73a =，154a =，可得：21n a n -= 即：()21121n nk k a a k -+=≤<-201999648523010340921a a a a a a a a ∴========本题正确结果：1【点睛】本题考查根据数列的构造规律求解数列中的项，关键是能够根据构造特点得到数列各项之间的关系，考查学生的归纳总结能力.三、解答题17.如图为一块边长为2km 的等边三角形地块ABC ，为响应国家号召，现对这块地进行绿化改造，计划从BC 的中点D 出发引出两条成60o 角的线段DE 和DF ，与AB 和AC 围成四边形区域AEDF ，在该区域内种上草坪，其余区域修建成停车场，设BDE α∠=．（1）当60α=o 时，求绿化面积；（2）试求地块的绿化面积()S α的取值范围．【答案】（123；（2）333,82⎛ ⎝⎦. 【解析】 【分析】（1）根据角度可确定四边形AEDF 为平行四边形，则BDE ∆和CDF ∆均为边长为1km 的等边三角形；利用ABC BDE CDF S S S ∆∆∆--即可求得结果；（2）利用正弦定理，用α表示出BE 和CF ，利用两角和差公式、二倍角公式和辅助角公式可将BE CF +化简为()312sin 2301α+-+o，利用3090α<<o o 可求得BE CF +的范围；从而将所求面积表示为())33S BE CF α=+，进而得到所求范围. 【详解】（1）当60α=o 时，//DE AC ，//DF AB∴四边形AEDF 为平行四边形，则BDE ∆和CDF ∆均为边长为1km 的等边三角形又)2122sin 6032ABC S km ∆=⨯⨯⨯=o ，)21311sin 602BDE CDF S S km ∆∆==⨯⨯⨯=o ∴)23332km =（2）由题意知：3090α<<o o在BDE ∆中，120BED α∠=-o，由正弦定理得：()sin sin 120BE αα=-o在CDF ∆中，120CDF α∠=︒-，CFD α∠= 由正弦定理得：()sin 120sin CF αα-=o()()()()22sin 120sin sin 120sin sin sin 120sin 120sin BE CF αααααααα-+-∴+=+=--o o o o2222231533sin sin sin cos cos 24243131sin cos sin sin cos sin ααααααααααααα⎫++⎪+⎝⎭==⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭()23341112sin 2301313sin 2cos 21sin cos sin αααααα==+=+-+-++o3090α<<ooQ 30230150α∴<-<o o o ()1sin 23012α∴<-≤o ()352122sin 2301α∴≤+<-+o，即52,2BE CF ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭()())133sin 6032ABC BDE CDF S S S S BE CF BE CF α∆∆∆∴=--=+=+o 52,2BE CF ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭Q )33333BE CF +∈⎝⎦即绿化面积()S α的取值范围为：3382⎛⎝⎦ 【点睛】本题考查解三角形知识的实际应用问题，涉及到正弦定理和三角形面积公式的应用、三角恒等变换中的两角和差公式、二倍角公式和辅助角公式的应用；求解范围类问题的关键是能够构造出关于某一变量的函数，从而利用函数求值域的方法求得结果.18.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，且11a =，11b =，224a b +=.（1）若337a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若313T =，求5S .【答案】（1）12n n b -=；（2）5或75.【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 公比为()0q q ≠，由已知条件求出q ，再写出通项公式；（2）由1313T =，求出q 的值，再求出d 的值，求出5S .【详解】设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 公比为()0q q ≠有()14d q ++=，即3d q +=.（1）∵()2127d q ++=，结合3d q +=得2q =，∴12n n b -=.（2）∵23113T q q =++=，解得4q =-或3，当4q =-时，7d =，此时55457752S ⨯=+⨯=； 当3q =时，0d =，此时5155S a ==.【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a d n a S 一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系.19.已知圆22:(2)(1)1D x y -+-=，点A 在抛物线2:4C y x =上，O 为坐标原点，直线OA 与圆D 有公共点.（1）求点A 横坐标的取值范围；（2）如图，当直线OA 过圆心D 时，过点A 作抛物线的切线交y 轴于点B ，过点B 引直线l 交抛物线C 于,P Q 两点，过点P 作x 轴的垂线分别与直线,OA OQ 交于,M N ，求证：M 为PN 中点.【答案】（1）)9,4A x ⎡∈+∞⎢⎣（2）见证明【解析】 【分析】（1）设:OA l y kx =，联立抛物线，再利用圆D 与直线相交建立不等式，从而确定点A 横坐标的取值范围；（2）可先找到函数关系式，利用导数确定切线的斜率，设221212:4,,,,44y y l y mx P y Q y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用韦达定理即可证明M 为PN 中点.【详解】解：（1）由题意直线OA 斜率存在且不为零，设:OA l y kx =2244A y kx x y xk =⎧⇒=⎨=⎩ ()2,1D 到:0OA l kx y -=22141031k k k -≤⇒≤≤+， 所以)9,4A x ⎡∈+∞⎢⎣（2）当直线OA 过圆心()2,1D 时，()214,16,16,82A k x A k=== ()2402y x y y x y x'=>⇒=⇒=，所以1614AB x k y -='=， ()18164AB l y x -=-：即144y x =+， 所以()04B ，，设221212:4,,,,44y y l y mx P y Q y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由214:,:2OA OQ l y x l y x y ==得22112,8M N y y y y y ==22441604y mx my y y x=+⎧⇒-+=⎨=⎩，所以1212416,y y y y m m +== ()222211121112124+=2164P N M y y y y y y m y y y y y y y m+=+===，即M 为PN 中点．【点睛】本题主要考查了直线与圆，抛物线的位置关系，切线问题等，综合性强，直线与圆的相关计算常考点到直线的距离公式，必须熟记.20.已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合*{|,}n S x x b n ==∈N .（1）若10a =，23d π=，求集合S ； （2）若12a π=，求d 使得集合S 恰有两个元素；（3）若集合S 恰有三个元素，n T n b b +=，T 是不超过5的正整数，求T 的所有可能值，并写出与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式及集合S . 【答案】（1）33,22⎧⎫⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎩⎭；（2）23π或π；（3）3T =或4，3T =时，23n a n π=，33S ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭；4T =时，2n a n π=，{}0,1,1S =-【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式写出n a ，进而求出n b ，再根据周期性求解；（2）由集合S 的元素个数，分析数列{}n b 的周期，进而可求得答案；（3）分别令1T =，2，3，4，5进行验证，判断T 的可能取值，并写出与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式及集合S 【详解】（1）Q 等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．∴当120,3a d π==， 所以集合3{S =03}． （2）Q 12a π=，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列{}n a 的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个元素，此时d π=，②1a 终边落在OA 上，要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称，如图OB ，OC ，此时23d π=， 综上，23d π=或者d π=．（3）①当3T =时，3n n b b +=，集合1{S b =，2b ，3}b ，符合题意．与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式为23n a n π=，此时33,,022S ⎧⎫⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭. ②当4T=时，4n n b b +=，sin(4)sin n n a d a +=，42n n a d a k π+=+，或者42n n a d k a π+=-，等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，故42n n a d a k π+=+，2k d π=，又1k ∴=，2 当1k =时满足条件，此时{0S =，1，1}-． 与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式为2n a n π=，此时{}0,1,1S =-【点睛】本题考查等差数列的通项公式、集合元素的性质以及三角函数的周期性，是一道综合题．21.已知函数()(1)ln f x x x =-,3()ln eg x x x =--. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）令()()()(0)h x mf x g x m =+>两个零点1212,()x x x x <，证明：121ex e x +>+. 【答案】（Ⅰ）()f x 在(0,1)上单调递减，在[1,)+∞上单调递增.（Ⅱ）见证明 【解析】 【分析】（Ⅰ）求得函数的导数1()ln 1f x x x=+-'，且()01f '=，进而利用导数的符号，即可求得函数单调区间；（Ⅱ）由3()(1)ln ln h x m x x x x e=-+--有两个零点，利用导数求得函数()h x 的单调性与最值，结合图象，即可得出证明．【详解】（Ⅰ）由题意，函数()(1)ln f x x x =-，则1()ln 1f x x x=+-'，且()01f '=， 当01x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当1x ≥时，()0f x '≥，函数()f x 单调递增；所以函数()f x 在(0,1)上单调递减，在[1,)+∞上单调递增. （Ⅱ）由3()(1)ln ln h x m x x x x e=-+--有两个零点可知 由11()(1ln )1h x m x x x-'=++-且0m >可知， 当01x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减； 当1x ≥时，()0h x '≥，函数()h x 单调增；即()h x 的最小值为3(1)10h e=-<， 因此当1x e=时，1113(1)2()(1)(1)(1)0m e e h m e e e e e -+-=--+---=>， 可知()h x 在1(,1)e上存在一个零点；当x e =时，3()(1)10h e m e e e=-+-->， 可知()h x 在(1,)e 上也存在一个零点，因此211x x e e -<-，即121x e x e+>+. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22.已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b +=>>的离心率为22，且过定点2M . （1)求椭圆C 的方程；（2)已知直线1:()3l y kx k R =-∈与椭圆C 交于,A B 两点，试问在y 轴上是否存在定点P ，使得以弦AB 为直径的圆恒过点P ？若存在，求出点P 的坐标和PAB ∆的面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 2224155y x += (2)见解析 【解析】【分析】（1）本问考查了椭圆的离心率公式，以及椭圆的方程、性质，通过条件构建关于基本量,,a b c 的方程组，求解即可．（2）本题考查了直线与椭圆的位置关系，利用条件以弦AB 为直径的圆恒过点P ，将几何关系代数化，利用韦达定理建立方程，判断方程是否有解．【详解】解：（1)由已知22222222522511142c e a a b c a b a b⎧==⎪⎧=⎪⎪⎪⎪+=⇒⎨⎨⎪⎪=⎪⎪+=⎩⎪⎩，椭圆C 的方程为2224155y x +=.（2)由221324155y kx y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得229(24)12430k x kx +--=.① 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12,x x 方程①的两根， 1212221243,9(24)9(24)k x x x x k k ∴+==-++ 设(0,)P p ，则1122(,),(,)PA x y p PB x y p =-=-u u u r u u u r ，22121212121212112()()()()333p PA PB x x y y p y y p x x kx kx pk x x p ⋅=+-++=+---+++u u u r u u u r 2222(1845)3624399(24)p k p p k -++-=+ 假设在y 轴上存在定点P ，使得以弦AB 为直径的圆恒过点P ，则PA PB ⊥u u u r u u u r ，即0PA PB ⋅=u u u r u u u r ，即222(1845)3624390p k p p -++-=对任意k ∈R 恒成立，22184503624390p p p ⎧-=∴⎨+-=⎩此方程组无解，∴不存在定点满足条件． 【点睛】本题的关键是将条件“以弦AB 为直径的圆恒过点P ”，几何关系代数化，和联立方程组得到的韦达定理联系起来，建立关于参数p 的方程．。

2018-2019学年河北省衡水中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合，集合，则A. B. C. D. 1，【答案】D【解析】解：集合1，2，3，，集合，则1，．故选：D．化简集合A，根据交集的定义写出．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2. 已知i为虚数单位，实数x，y满足，则A. 1B.C.D.【答案】D【解析】解：，，．则．故选：D．利用复数代数形式的乘法运算化简，求出x，y的值，再由复数求模公式计算得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．3. 如图，已知，，，，则A.B.C.D.【答案】B【解析】解：，，故选：B．根据向量的三角形法和加减的几何意义即可求出．本题考查了向量的三角形法和向量的数乘运算，属于基础题4. 设，，，，则A. B. C. D.【答案】D 【解析】解：，，，．在R上为增函数，，故选：D．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5. 已知命题p：若且，则；命题q：，使，则下列命题中为真命题的是A. B. ￢ C. ￢ D. ￢￢【答案】A【解析】解：若且，则且，得，即，从而，命题p为真．直线与函数的图象在内有唯一交点，则方程有正数解，即方程有正数解，命题q为真，为真命题．故选：A．利用基本不等式的性质判断p为真命题，由直线与函数的图象在内有唯一交点，可得命题q为真命题，再由复合命题的真假判断得答案．本题考查复合命题的真假判断，考查基本不等式的应用，考查函数零点的判定方法，是中档题．6. 设是公差不为0的等差数列，满足，则的前10项和A. B. C. 0 D. 5【答案】C【解析】解：，化简可得：，即，．，，，，故选：C．，化简可得：，可得，再利用等差数列通项公式求和公式及其性质即可得出．本题考查了等差数列通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7. 某四面体三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是A. 2B. 4C.D.【答案】C【解析】解：由三视图可得原几何体如图，底面ABC，平面底面ABC，而，平面PAC，．该几何体的高，底面ABC为边长为2的等腰直角三角形，为直角．所以该几何体中，直角三角形是底面ABC和侧面PBC．，，，该四面体的四个面中，直角三角形的面积和．故选：C．根据三视图还原得到原几何体，分析原几何体可知四个面中直角三角形的个数，求出直角三角形的面积求和即可．本题考查了由三视图还原原图形，考查了学生的空间想象能力和思维能力．8. 过双曲线C：的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点为坐标原点，则双曲线C的方程为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点为坐标原点，半径，则圆的标准方程为，，，即，则，即，即，即，则，，则双曲线C的方程为，故选：D．根据圆的性质，求出圆心坐标，即求出A的坐标，代入圆的方程进行求解即可．本题主要考查双曲线方程的求解，根据圆的性质先求出半径是解决本题的关键．9. 已知过点作曲线C：的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：设切点为，的导数为，可得切线的斜率为，则切线方程为，切线过点代入得，可得，即方程有两个解，则有可得或．即a的取值范围是．故选：A．设切点为，求得的导数，可得切线的斜率，求出切线方程，代入A的坐标，整理为m的二次方程，由判别式大于0，解不等式即可得到所求范围．本题考查导数的运用：求切线方程，考查转化思想和方程思想，以及运算能力，属于中档题．10. 已知，其中，，，，将的图象向左平移个单位得，则的单调递减区间是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，其中，，，，，，．又，的图象的对称轴为，，，，将的图象向左平移个单位得的图象，令，求得，则的单调递减区间是，故选：A．利用正弦函数的周期性以及图象的对称性求得的解析式，利用函数的图象变换规律求得的解析式，利用余弦函数的单调性求得则的单调递减区间．本题主要考查正弦函数的周期性以及图象的对称性，函数的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于基础题．11. 焦点为F的抛物线C：的准线与x轴交于点A，点M在抛物线C上，则当取得最大值时，直线MA的方程为A. 或B.C. 或D.【答案】A【解析】解：过M做MP与准线垂足，垂足为P，则丨丨丨丨，则当取得最大值，则必须取得最大值，此时AM与抛物线相切，设切线方程为，则，，，，则，则直线方程或，故选：A．由题意可知则当取得最大值，则必须取得最大值，此时AM与抛物线相切，设直线l的方程，代入抛物线方程，由，考虑求得MA的方程．本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查数形结合思想，属于中档题．12. 已知半径为3cm的球内有一个内接四棱锥，四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，当四棱锥的体积最大时，它的底面边长等于A. 2cmB. 4cmC.D. 24cm【答案】B【解析】解：如图，设四棱锥的底面边长为2a，高为，则底面正方形外接圆的半径为，侧棱长，由射影定理可得：，则四棱锥的体积，则，可得当时，V有最大值，此时，，则底面边长等于4cm．故选：B．由题意画出图形，设四棱锥的底面边长为2a，高为，可得，写出棱锥体积，把a用h表示，再由导数求解得答案．本题考查球内接多面体体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，训练了导数在求最值问题中的应用，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 用a，b，c表示空间中三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：若，，则；若，，则；若，，则；若，，则．其中真命题的序号是______请将所有正确命题的序号都填上【答案】【解析】解：若，，则，，a与c异面都有可能；若，，由公理4得；若，，则，，a与b异面都有可能；若，，则，由课本例题可知．故答案为：．可利用长方体来观察；由空间平行线的传递性可得；垂直同一平面的两直线互相平行．本题考查空间线线和线面的位置关系，考查空间想象力，注意课本例题，有的可当结论用，属于基础题和易错题．14. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值，这就是著名的“徽率”如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为______参考数据：，【答案】24【解析】解：模拟执行程序，可得，，不满足条件，，，不满足条件，，，满足条件，退出循环，输出n的值为24．故答案为：24．列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题．15. 已知实数x，y满足，若的最大值为5，则正数m的值为______．【答案】2【解析】解：由题意作出实数x，y满足的平面区域，将化为，z相当于直线的纵截距，故结合图象可得，，解得，，；故；故答案为：2．由题意作出其平面区域，将化为，z相当于直线的纵截距，从而解方程可求出m，即可．本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．16. 费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点当三角形三个内角均小于时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为根据以上性质，函数的最小值为______．【答案】【解析】解：由两点间的距离公式得为点到点，，的距离之和，即求点到点，，的距离之和的最小值，取最小值时的这个点即为这三个点构成的三角形的费马点，如右图，在等腰三角形AMB中，，可得，，容易求得最小值为．故答案为：．由两点距离公式可得表示点到点，，的距离之和，由新定义可得的最小值点即为费马点，由解三角形可得所求最小值．本题考查两点的距离公式的运用，考查新定义的理解和运用，以及运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共70分）17. 已知数列为等差数列，首项，公差若，，，，，成等比数列，且，，．求数列的通项公式；设，求和．【答案】解：数列为等差数列，首项，公差．，，，，，成等比数列，且，，．，，，解得或舍，分，分分，分【解析】由已知得，从而，，由此能求出．由，，能求出．本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．18. 如图，在中，BC边上的中线AD长为3，且，．求的值；求及外接圆的面积．【答案】解：在中，，，，由正弦定理，得；，，，，，分为BC中点，，在中，由余弦定理得：，．设外接圆的半径为R，，，外接圆的面积【解析】由正弦定理即可解得的值；先求得，，利用两角和的余弦函数公式可求，由题意可求，利用余弦定理即可求得AC的值，再根据正弦定理求出外接圆的半径，面积即可求出．此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，已知，，于E．求证：；若平面平面ABCD，且，求二面角的余弦值．【答案】证明：连接PE，，，AE是公共边，≌ ，，，，又平面PCE，平面PCE，，平面PCE，又平面PCE，；解：由平面PEC，平面平面ABCD，，EA，EC两两垂直，以E为原点，EA，EC，EP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．，，，，，，则0，，0，，，，，．设平面PCD的法向量为，则，即，令，则，又平面PAD的一个法向量为，设二面角所成的平面角为，则，由图可知二面角是锐角，故二面角的余弦值为．【解析】连接PE，证明 ≌ ，可得，由，得，由线面垂直的判定可得平面PCE，从而得到；由平面PEC，平面平面ABCD，可得EP，EA，EC两两垂直，以E为原点，EA，EC，EP 分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面PCD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．本题考查空间中线面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的大小，是中档题．20. 已知椭圆C：的左、右焦点分别是E、F，离心率，过点F的直线交椭圆C于A、B两点，的周长为16．求椭圆C的方程；已知O为原点，圆D：与椭圆C交于M、N两点，点P为椭圆C上一动点，若直线PM、PN与x轴分别交于G、H两点，求证：为定值．【答案】解：由题意和椭圆的定义得，则，由，解得，则，所以椭圆C的方程为；证明：由条件可知，M，N两点关于x轴对称，设，，则，由题可知，，，所以，．又直线PM的方程为，令得点G的横坐标，同理可得H点的横坐标，所以，即为定值．【解析】利用椭圆的定义可求出a的值，再利用离心率求出c，从而得出b的值，从而求出椭圆方程；先设M、P两点的坐标，再表示处N点的坐标，根据椭圆方程用M、P的纵坐标表示处它们的横坐标，之后利用直线PM和PN的方程求出G和H的横坐标，最后即可求得为定值．本题考查了椭圆的定义和性质，证明题关键在于正确设出点的坐标，利用椭圆方程和直线方程正确表示出点的坐标，属于中档题．21. 已知函数．Ⅰ若函数有零点，求实数a的取值范围；Ⅱ证明：当时，．【答案】解：Ⅰ法1：函数的定义域为．由，得分因为，则时，；时，0'/>．所以函数在上单调递减，在上单调递增分当时，分当，即时，又，则函数有零点分所以实数a的取值范围为分法2：函数的定义域为．由，得分令，则．当时，0'/>；当时，．所以函数在上单调递增，在上单调递减分故时，函数取得最大值分因而函数有零点，则分所以实数a的取值范围为分Ⅱ要证明当时，，即证明当，时，，即分令，则．当时，；当时，0'/>．所以函数在上单调递减，在上单调递增．当时，分于是，当时，分令，则．当时，0'/>；当时，．所以函数在上单调递增，在上单调递减．当时，分于是，当时，分显然，不等式、中的等号不能同时成立分故当时，分【解析】Ⅰ法一：求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可；法二：求出，令，根据函数的单调性求出a的范围即可；Ⅱ问题转化为，令，令，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、考查不等式的证明，是一道综合题．22. 在平面直角坐标系中，曲线：，曲线的参数方程为为参数以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．Ⅰ求曲线，的极坐标方程；Ⅱ在极坐标系中，射线与曲线，分别交于A，B两点异于极点，定点，求的面积．【答案】解：Ⅰ曲线：，曲线的极坐标方程为：，---------分曲线的参数方程为为参数．曲线的普通方程为：，---------分，曲线的极坐标方程为---------------分Ⅱ由Ⅰ得：点A的极坐标为，---------分点B的极坐标为，----------分，------------------分点到射线的距离为，--------------------------分的面积为：---------分【解析】Ⅰ由曲线的普通方程能求出曲线的极坐标方程；由曲线的参数方程能求出曲线的普通方程，由此能求出曲线的极坐标方程．Ⅱ点A的极坐标为，点B的极坐标为，从而，点到射线的距离为，由此能求出的面积．本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形面积的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23. 已知函数，．当时，若的最小值为3，求实数a的值；当时，若不等式的解集包含，求实数a的取值范围．【答案】解：当时，，因为的最小值为3，所以，解得或4．当时，即，当时，，即，因为不等式的解集包含，所以且，即，故实数a的取值范围是．【解析】当时，化简的表达式，利用绝对值的几何意义，求解最小值然后求解a即可．当时，即，通过x的范围，转化去掉绝对值符号，推出a 的范围．本题考查函数的最值的求法，绝对值的几何意义，考查转化思想以及计算能力．。

第1页（共1页）2020-2021学年河北省衡水中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本题共12个小题，每小题均只有一个正确选项，每小题5分，共60分。

1．（5分）集合M ＝{x |2x 2﹣x ﹣1＜0}，N ＝{x |2x +a ＞0}，U ＝R ，若M ∩∁U N ＝∅，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞1B ．a ≥1C ．a ＜1D ．a ≤12．（5分）若直线y ＝kx 与双曲线x 29−y 24=1相交，则k 的取值范围是（ ）A ．(0，23)B ．(−23，0)C ．(−23，23)D ．(−∞，−23)∪(23，+∞)3．（5分）在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BD →=12BC →，则AD →•BD →的值为（ ） A ．−52B ．52C ．−54D ．544．（5分）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2﹣n ，正项等比数列{b n }中，b 2＝a 3，b n +3b n ﹣1＝4b n 2（n ≥2）n ∈N +，则log 2b n ＝（ ） A ．n ﹣1B ．2n ﹣1C ．n ﹣2D ．n5．（5分）已知直线ax +y ﹣1＝0与圆C ：（x ﹣1）2+（y +a ）2＝1相交于A ，B 两点，且△ABC 为等腰直角三角形，则实数a 的值为（ ）A ．17或−1 B ．﹣1 C ．1或﹣1 D ．16．（5分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若a 2+b 2＝2014c 2，则2tanA⋅tanBtanC(tanA+tanB)的值为（ ） A ．0B ．1C ．2013D ．2014第1页（共1页）7．（5分）已知点M （a ，b ）（ab ≠0）是圆C ：x 2+y 2＝r 2内一点，直线l 是以M 为中点的弦所在的直线，直线m 的方程为bx ﹣ay ＝r 2，那么（ ） A ．l ⊥m 且m 与圆C 相切 B ．l ∥m 且m 与圆C 相切C ．l ⊥m 且m 与圆C 相离D ．l ∥m 且m 与圆C 相离8．（5分）若圆x 2+y 2﹣ax +2y +1＝0与圆x 2+y 2＝1关于直线y ＝x ﹣1对称，过点C （﹣a ，a ）的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为（ ） A ．y 2﹣4x +4y +8＝0 B ．y 2﹣2x ﹣2y +2＝0 C ．y 2+4x ﹣4y +8＝0D ．y 2﹣2x ﹣y ﹣1＝09．（5分）平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，AB →•AD →=−1，点M 在边CD 上，则MA →•MB →的最大值为（ ） A ．2B ．2√2−1C ．5D ．√3−110．（5分）已知椭圆x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF ＝α，且α∈[π6，π4]，则该椭圆离心率e 的取值范围为（ ）A ．[√22，√32] B ．[√22，1） C ．[√22，√3−1] D ．[√33，√63] 11．（5分）已知点A 是抛物线x 2＝4y 的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足|P A |＝m |PB |，当m 取最大值时，点P 恰好在以A ，B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）A ．√5−12B ．√2+12C ．√2+1D ．√5−112．（5分）已知定义在R 上的函数f （x ）满足如下条件：①函数f （x ）的图象关于y 轴对称；②对任意x ∈R ，f （2+x ）﹣f （2﹣x ）＝0；③当x ∈[0，2]时．f （x ）＝x ；④函数f（n ）（x ）＝f （2n ﹣1•x ），n ∈N *，若过点（﹣1，0）的直线l 与函数f （4）（x ）的图象在[0，第1页（共1页）2]上恰有8个交点．则直线l 斜率k 的取值范围是（ ）A ．（0，811） B ．（0，118） C ．（0，819） D ．（0，198）二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。

上学期期中考试高三数学（理）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|540}A x N x x =∈+->，集合[0,2]B =，则A B =（ ） A ． {1,2} B ．[0,2] C ． φ D ．{0,1,2}2.已知i 为虚数单位，实数,x y 满足(2)x i i y i +=-，则||x yi -=（ ） A ．1 B ．2 C ． 3 D ．53.如图，已知AB a =，AC b =，4BC BD =，3CA CE =，则DE =（ ）A ．3143b a -B ．53124b a -C ．3143a b -D ． 53124a b -4.设0.1log 0.2a =， 1.1log 0.2b =，0.21.2c =，0.21.1d =，则（ ）A ．a b d c >>>B ．c a d b >>> C. d c a b >>> D ．c d a b >>> 5.已知命题:p 若2a >且2b >，则a b ab +<；命题:0q x ∃>，使(1)21x x -=，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ⌝∧ C. ()p q ∧⌝ D ．()()p q ⌝∧⌝6.设{}n a 是公差不为0的等差数列，满足22224567a a a a +=+，则{}n a 的前10项和10S =（ ） A ．-10 B ．-5 C. 0 D ．57.某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（ ）A ． 2B ．4 C. 25+．425+8.过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A ，若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过,A O 两点（O 为坐标原点），则双曲线C 的方程为（ ）A ．22179x y -= B ．221412x y -= C. 22188x y -= D ．221124x y -= 9.已知过点(,0)A a 作曲线:x C y x e =的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,4)(0,)-∞-+∞ B ．(0,)+∞ C. (,1)(1,)-∞-+∞ D ．(,1)-∞-10.已知()sin()f x x ωθ=+（其中0ω>，(0,)2πθ∈），12'()'()0f x f x ==，21||x x -的最小值为2π，()()3f x f x π=-，将()f x 的图像向左平移6π个单位得()g x ，则()g x 的单调递减区间是（ ）A ．[,]()2k k k Z πππ+∈B ．2[,]()63k k k Z ππππ++∈C. 5[,]()36k k k Z ππππ++∈ D ．7[,]()1212k k k Z ππππ++∈ 11.焦点为F 的抛物线2:8C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当||||MA MF 取得最大值时，直线MA 的方程为（ ）A ．2y x =+或2y x =--B ．2y x =+ C. 22y x =+或22y x =-+ D ．22y x =-+12.已知半径为3cm 的球内有一个内接四棱锥S ABCD -，四棱锥S ABCD -的侧棱长都相等，底面是正方形，当四棱锥S ABCD -的体积最大时，它的底面边长等于（ ）A ． 2cmB ．4cm C. D ．24cm 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.用,,a b c 表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题： ①若a b ⊥，b c ⊥，则//a c ； ②若//a b ，//a c ，则//b c ； ③若//a γ，//b γ，则//a b ； ④若a γ⊥，b γ⊥，则//a b .其中真命题的序号是 ．（请将所有正确命题的序号都填上）14.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为 ． （参考数据：0sin150.2588≈，0sin 7.50.1305≈）15.已知实数,x y 满足2020()0x y x y y y m -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，若3z x y =+的最大值为5，则正数m 的值为 ．16.费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于0120时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为0120，根据以上性质，函数222222()(1)(1)(2)f x x y x y x y =-++++++-的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列{}n a 为等差数列，首项11a =，公差0d ≠，若123,,,,,n b b b b a a a a 成等比数列，且11b =，22b =，35b =.（1）求数列{}n b 的通项公式n b ；（2）设3log (21)n n c b =-，求和：12233445212221n n n n n T c c c c c c c c c c c c -+=-+-++-.18. 如图，在ABC ∆中，BC 边上的中线AD 长为3，且2BD =，36sin 8B =.（1）求sin BAD ∠的值；（2）求cos ADC ∠及ABC ∆外接圆的面积.19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，已知2PA AC ==，060PAD DAC ∠=∠=，CE AD ⊥于E .（1）求证：AD PC ⊥；（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，且3AD =，求二面角C PD A --的余弦值.20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别是,E F ，离心率7e =F 的直线交椭圆C 于,A B 两点，ABE ∆的周长为16. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知O 为原点，圆222:(3)(0)D x y r r -+=>与椭圆C 交于,M N 两点，点P 为椭圆C 上一动点，若直线,PM PN 与x 轴分别交于,G H 两点，求证：||||OG OH 为定值.21. 已知函数()ln (0)af x x a x=+>.（1）若函数()f x 有零点，求实数a 的取值范围； （2）证明：当2a e≥时，()x f x e ->. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线221:2C x y -=，曲线2C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）在极坐标系中，射线6πθ=与曲线1C ，2C 分别交于,A B 两点（异于极点O ），定点(3,0)M ，求MAB ∆的面积. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|2|f x x a =-，()|1|g x bx =+. （1）当1b =时，若1()()2f xg x +的最小值为3，求实数a 的值； （2）当1b =-时，若不等式()()1f x g x +<的解集包含1[,1]2，求实数a 的取值范围.。

河北省衡水市衡水中学2021届高三数学上学期期中试题 理（含解析）一、选择题1.已知曲线()cos 3f x x x x =+在点()()0,0f 处的切线与直线410ax y ++=垂直，则实数a 的值为（ ） A. -4 B. -1C. 1D. 4【答案】C 【解析】 【分析】先求出()f x 在点()()0,0f 处的切线斜率，然后利用两直线垂直的条件可求出a 的值. 【详解】由题意，()cos sin 3f x x x x '=-+，()0cos034f '=+=，则曲线()f x 在点()()0,0f 处的切线斜率为4，由于切线与直线410ax y ++=垂直，则414a -⨯=-，解得1a =.故选C.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了两直线垂直的性质，考查了计算能力，属于基础题.2.已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2578220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列且77b a =，则212b b 等于（ ）A.49B.32C.94D.23【答案】C 【解析】由题意可得：()()2225787777722222320a a a a d a a d a a -+=--++=-=，7730,2a a ≠∴=，则：222127794b b b a ===. 本题选择C 选项.3.对于函数()f x ，若存在区间[,]A m n =使得{|(),}y y f x x A A =∈=则称函数()f x 为“同域函数”，区间A 为函数()f x 的一个“同城区间”.给出下列四个函数：①()cos2f x x π=；②2()1f x x =-；③2()|1|f x x =-；④2()log (1)f x x =-.存在“同域区间”的“同域函数”的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②C. ②③D. ①②④【答案】A 【解析】 ①()cos2f x x π= ，x∈[0，1]时，f （x ）∈[0，1]，所以①存在同域区间；②()21f x x =-，x∈[-1，0]时，f （x ）∈[-1，0]，所以②存在同域区间；③()21f x x =-，x∈[0，1]时，f （x ）∈[0，1]，所以③存在同域区间；④()()2log 1f x x =-，判断该函数是否有同域区间，即判断该函数和函数y=x 是否有两个交点；而根据这两个函数图象可以看出不存在交点，所以该函数不存在同域区间．故答案为①②③．点睛：本题主要考查了对同域函数及同域区间的理解，涉及到二次函数、余弦函数的值域的求解，函数图像的相交等，属于难题.本题在判断邻域时，需要知道通过判断函数f （x ）和函数y=x 图象交点的情况来判断函数是否存在同域区间的方法．4.设θ为两个非零向量,a b 的夹角，已知对任意实数t ，b ta +的最小值为1，下列说法正确的是（ ）A. 若θ确定，则a 唯一确定B. 若θ确定，则b 唯一确定C. 若a 确定，则θ唯一确定D. 若b 确定，则θ唯一确定【答案】B 【解析】 【分析】对式子b ta +平方转化成关于t 的二次函数，再利用最小值为1，得到()221cos 1b θ-=，进而判断θ与b 之间的关系．【详解】222222222cos b ta b ta b t a a t a b t b θ+=+⋅+=+⋅⋅+.因为min1b ta+=，所以()2222222244cos 1cos 14a b a b baθθ⋅-⋅=-=.所以22sin 1b θ=，所以sin 1b θ=，即1sin b θ=.所以θ确定，b 唯一确定. 故选B.【点睛】本题考查向量模的最值、数量积运算、向量夹角等知识，考查与二次函数进行交会，求解时不能被复杂的表达式搞晕，而是要抓住问题的本质，始终把22||,||a b 看成实数． 5.已知点(),P x y 是直线224y x =-上一动点，PM 与PN 是圆()22:11C x y +-=的两条切线，,M N 为切点，则四边形PMCN 的最小面积为( ) A.43B.23C.53D.56【答案】A 【解析】 【分析】利用当CP 与直线224y x =-垂直时，PC 取最小值，并利用点到直线的距离公式计算出PC 的最小值，然后利用勾股定理计算出PM 、PN 的最小值，最后利用三角形的面积公式可求出四边形PMCN 面积的最小值． 【详解】如下图所示：由切线的性质可知，CM PM ⊥，CN PN ⊥，且PCM PCN ∆≅∆，2221PM PN PC CMPC ==-=-当PC 取最小值时，PM 、PN 也取得最小值，显然当CP 与直线24y x =-垂直时，PC 取最小值，且该最小值为点()0,1C 到直线224y x=-的距离，即()()min221453221PC--==+-，此时，22min min min541133PM PN PC⎛⎫==-=-=⎪⎝⎭，∴四边形PMCN面积的最小值为min11442212233PM CM⨯⋅=⨯⨯⨯=，故选A.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查切线长的计算以及四边形的面积，本题在求解切线长的最小值时，要抓住以下两点：（1）计算切线长应利用勾股定理，即以点到圆心的距离为斜边，切线长与半径为两直角边；（2）切线长取最小值时，点到圆心的距离也取到最小值．6.已知函数()sin()(0,0,0)2f x A wx Aπϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，则3()4fπ=（）A.22- B.12- C. 1- D. 22【答案】C【解析】【分析】根据图像最低点求得A，根据函数图像上两个特殊点求得,ωϕ的值，由此求得函数()f x解析式，进而求得3π4f⎛⎫⎪⎝⎭的值.【详解】根据图像可知，函数图像最低点为7π,212⎛⎫-⎪⎝⎭，故2A=，所以()2sin()f x xωϕ=+，将点(7π,,212⎛⎫- ⎪⎝⎭代入()f x解析式得2sin 7π2sin 212ϕωϕ⎧=⎪⎨⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得2π3ωϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩，故()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以3π3ππ2sin 21443f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选C.【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象求三角函数解析式，并求三角函数值，属于中档题.7.已知函数1()4sin cos 2f x x x =-，若()()f x a f x a -=-+恒成立，则实数a 的最小正值为（ ） A. 2π B. πC.2π D.4π 【答案】D 【解析】 【分析】先化简f (x ),分析出f (x )本身的最小正周期T ，再根据()()f x a f x a -=-+分析出用a 表示f (x )的最小正周期，最后根据两者相等，求得a 的最小正值． 【详解】由1()4sin cos 2f x x x =-，则1()2sin 22f x x =-，所以f (x )的最小正周期T=π 因为()()f x a f x a -=-+，则',()(2)x x a f x f x a =+=-+‘，令则，，这f (x )的最小正周期T=4a ,所以4a =π，所以实数a 的最小正值是4π，故答案选D 【点睛】本题主要考察带绝对值三角函数的的周期，同时要会通过函数满足的关系式，分析函数周期8.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11a =，12n n a S +=，则数列1{}na 的前20项和为（ ） A.1931223-⨯ B.1971443-⨯ C.1831223-⨯ D.1871443-⨯ 【答案】D【解析】12n n a S +=，∴12n n a S -= 相减得()132n n a a n +=≥ 由11a =得出2212,3a a a =≠()21,123,2n n n a n -=⎧⎪=⎨≥⎪⎩ ，1n a =21,111,223n n n -=⎧⎪⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩011812201111111......1......2333a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++=++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦191911113131111222313⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭⎢⎥=+=+⋅-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦ = 1871443-⨯ 故选D点睛：已知数列的n a 与n S 的等量关系，往往是再写一项，作差处理得出递推关系，一定要注意n 的范围，有的时候要检验n=1的时候，本题就是检验n=1,不符合，通项是分段的.9.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别是1F 、2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为（ ）1C.2D.【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义可知12||||2PF PF a +=，又1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，可知2||PF c =且12PF PF ⊥，即可列出方程求椭圆的离心率.【详解】由1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，可知2||PF c =，且 12PF PF ⊥， 又12||||2PF PF a +=，可知1||2PF a c =-，在12Rt PF F ∆中，222(2)4a c c c -+=， 即2222a ac c -= 所以2220,(0,1)e e e +-=∈，解得212e -==， 故选：B【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，圆的切线的性质，属于中档题.10.已知函数()sin f x a x x =的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( )A. 3π-B. 0C.3π D.23π 【答案】D 【解析】 【分析】运用辅助角公式，化简函数()f x 的解析式，由对称轴的方程，求得a 的值，得出函数()f x 的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数()sin )(f x a x x x θθ==+为辅助角)， 由于函数的对称轴的方程为56x π=，且53()622a f π=+，即322a +=1a =，所以()2sin()3f x x π=-， 又由12()()4f x f x ⋅=-，所以函数必须取得最大值和最小值，所以可设11152,6x k k Z ππ=+∈，2222,6x k k Z ππ=-∈， 所以1212222,3x x k k k Z πππ+=++∈， 当120k k ==时，12x x +的最小值23π，故选D.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.11.若函数321()(3)3x f x e x kx kx =--+只有一个极值点，则k 的取值范围为()A. (,)e -∞B. (0,]eC. (,2)-∞D. (0,2]【答案】B 【解析】 【分析】利用函数求导函数 f ′（x ）＝e x （x ﹣2）﹣kx 2+2kx ＝（x ﹣2）（e x﹣kx ），只有一个极值点时f ′（x ）＝0只有一个实数解，有e x﹣kx ≥0，设新函数设u （x ）＝e x，v （x ）＝kx ，等价转化数形结合法即可得出结论， 【详解】解：函数f （x ）＝e x （x ﹣3）﹣13kx 3+kx 2只有一个极值点， f ′（x ）＝e x （x ﹣2）﹣kx 2+2kx ＝（x ﹣2）（e x ﹣kx ），若函数f （x ）＝e x（x ﹣3）﹣13kx 3+kx 2只有一个极值点，f ′（x ）＝0只有一个实数解， 则：e x﹣kx ≥0， 从而得到：e x ≥kx ， 当k ＝0 时，成立．当k ≠0时，设u （x ）＝e x ，v （x ）＝kx如图：当两函数相切时，k ＝e ，此时得到k 的最大值，但k ＜0时不成立． 故k 的取值范围为：（0，e ] 综上：k 的取值范围为：[0，e ] 故选B ．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值点、考查了不等式问题的等价转化方法，数形结合法，考查了推理能力，属于中档题．12.双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交曲线左支于A ，B 两点，△F 2AB 是以A 为直角顶点的直角三角形，且∠AF 2B ＝30°．若该双曲线的离心率为e ，则e 2＝（ ）A. 11+B. 13+C. 16-D.19-【答案】D 【解析】 【分析】设22BF m =，根据2F AB ∆是以A 为直角顶点的直角三角形，且230AF B ∠=，以及双曲线的性质可得212(32(2AF a AF a ==，再根据勾股定理求得,ac 的关系式，即可求解.【详解】由题意，设22BF m =，如图所示，因为2F AB∆是以A 为直角顶点的直角三角形，且230AF B ∠=， 由212AF AF a -=，所以12AFa =-， 由212BF BF a -=，所以122BF m a =-，所以11AF BF AB +=222a m a m -+-=， 所以21)m a =，所以221)2(3AF a a ==，12(322(2AF a a a =-=， 在直角12F AF ∆中，222124AF AF c +=，即222224(34(24a a c +=，整理得22(19a c -=，所以22219c e a==-故选D.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，以及双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)．. 二、填空题13.已知向量,,1,2a b a b ==，且210a b +=，则a b ⋅=___________． 【答案】12【解析】 【分析】把210a b +=平方，将1,2a b ==代入，化简即可得结果. 【详解】因为1,2a b ==， 所以222448410a b a a b b a b +=+⋅+=+⋅=，12a b ∴⋅=，故答案为12. 【点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， cos a b a bθ=（此时a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是a b b⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;(4)求向量ma nb + 的模（平方后需求a b ⋅）. 14.已知抛物线E ：212y x ＝的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线m 与E 交于A ，B 两点，过A作AM l ⊥，垂足为M ，AM 的中点为N ，若AM FN ⊥，则AB ＝___________. 【答案】16 【解析】 【分析】由题意画出图形，得到直线AB 的斜率，进一步求得直线AB 的方程，与抛物线方程联立求解即可得答案． 【详解】AF AM =，N 为AM 的中点，且FN AM ⊥，30AFN ∴∠=︒，则直线AB 的倾斜角为60︒，斜率为3．由抛物线212y x =，得(3,0)F ，则直线AB 的方程为3(3)y x =-．联立23(3)12y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得21090x x -+=． 则10A B x x +=， ||16A B AB x x p ∴=++=．故答案为：16．【点睛】本题考查抛物线的简单性质、直线与抛物线位置关系及抛物线过焦点弦公式的应用，属于中档题．15.已知函数21()()2x f x x x e -=-，若当1x >时，()10f x mx m -++≤有解，则m 的取值范围为________ 【答案】(1,)-+∞ 【解析】 【分析】先求导数，判断函数21()()2x f x x x e-=-的单调性，可得1x >时大致图象，利用数形结合求解. 【详解】()10f x mx m -++()(1)1f x m x ∴--(1)1y m x =--过定点(1,1)-当1x >时，()10f x mx m -++≤有解∴当1x >时,存在()y f x =在(1)1y m x =--的下方，()21()2x f x x e -'=-令()0f x '=，解得2x =， 当12x <<时，()0f x '<，当2x >时，()0f x '>，()f x ∴在(1,2)上递减，在(2,)+∞上递增，当2x >时，()0f x >，又(1)1,(2)1,(2)0f f f =-<-=，作函数()y f x =，(1)1y m x =--的大致图象：由图象可知：1m >-时满足条件， 故答案为：(1,)-+∞【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、最值、图象，直线过定点，数形结合，属于难题.16.数列{}n a 为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出11a =，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是21a =，32a =，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是41a =，51a =，62a =，73a =，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，…，如此继续，则2019a =______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据数列构造方法可知：21n a n -=，即()21121n nk k a a k -+=≤<-；根据变化规律可得20192a a =，从而得到结果.【详解】由数列{}n a 的构造方法可知11a =，32a =，73a =，154a =，可得：21n a n -= 即：()21121n nk k a a k -+=≤<-201999648523010340921a a a a a a a a ∴========本题正确结果：1【点睛】本题考查根据数列的构造规律求解数列中的项，关键是能够根据构造特点得到数列各项之间的关系，考查学生的归纳总结能力. 三、解答题17.如图为一块边长为2km 的等边三角形地块ABC ，为响应国家号召，现对这块地进行绿化改造，计划从BC 的中点D 出发引出两条成60角的线段DE 和DF ，与AB 和AC 围成四边形区域AEDF ，在该区域内种上草坪，其余区域修建成停车场，设BDE α∠=．（1）当60α=时，求绿化面积；（2）试求地块的绿化面积()S α的取值范围．【答案】（1）232km ；（2）333,82⎛ ⎝⎦. 【解析】【分析】（1）根据角度可确定四边形AEDF 为平行四边形，则BDE ∆和CDF ∆均为边长为1km 的等边三角形；利用ABC BDE CDF S S S ∆∆∆--即可求得结果；（2）利用正弦定理，用α表示出BE 和CF ，利用两角和差公式、二倍角公式和辅助角公式可将BE CF +化简为()312sin 2301α+-+，利用3090α<<可求得BE CF +的范围；从而将所求面积表示为()()4S BE CF α=+，进而得到所求范围. 【详解】（1）当60α=时，//DE AC ，//DF AB∴四边形AEDF 为平行四边形，则BDE ∆和CDF ∆均为边长为1km 的等边三角形又)2122sin 6032ABC S km ∆=⨯⨯⨯=，)21311sin 6024BDE CDFS S km ∆∆==⨯⨯⨯= ∴)22km =（2）由题意知：3090α<<在BDE ∆中，120BED α∠=-，由正弦定理得：()sin sin 120BE αα=-在CDF ∆中，120CDF α∠=︒-，CFD α∠= 由正弦定理得：()sin 120sin CF αα-=()()()()22sin 120sin sin 120sin sinsin 120sin 120sin BE CF αααααααα-+-∴+=+=--2222153sin sin sin cos cos 222ααααααα⎫++⎪+==⎝⎭()331112sin 2301α==+=+-+3090α<< 30230150α∴<-< ()1sin 23012α∴<-≤()352122sin 2301α∴≤+<-+，即52,2BE CF ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭()())1sin 6032ABC BDE CDF S S S S BE CF BE CF α∆∆∆∴=--=+=+52,2BE CF ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭ ),482BE CF ⎛+∈ ⎝⎦即绿化面积()S α的取值范围为：82⎛ ⎝⎦【点睛】本题考查解三角形知识的实际应用问题，涉及到正弦定理和三角形面积公式的应用、三角恒等变换中的两角和差公式、二倍角公式和辅助角公式的应用；求解范围类问题的关键是能够构造出关于某一变量的函数，从而利用函数求值域的方法求得结果.18.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，且11a =，11b =，224a b +=.（1）若337a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若313T =，求5S .【答案】（1）12n n b -=；（2）5或75.【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 公比为()0q q ≠，由已知条件求出q ，再写出通项公式；（2）由1313T =，求出q 的值，再求出d 的值，求出5S .【详解】设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 公比为()0q q ≠有()14d q ++=，即3d q +=.（1）∵()2127d q ++=，结合3d q +=得2q =，∴12n n b -=.（2）∵23113T q q =++=，解得4q =-或3，当4q =-时，7d =，此时55457752S ⨯=+⨯=； 当3q =时，0d =，此时5155S a ==.【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a d n a S 一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系.19.已知圆22:(2)(1)1D x y -+-=，点A 在抛物线2:4C y x =上，O 为坐标原点，直线OA 与圆D 有公共点.（1）求点A 横坐标的取值范围；（2）如图，当直线OA 过圆心D 时，过点A 作抛物线的切线交y 轴于点B ，过点B 引直线l 交抛物线C 于,P Q 两点，过点P 作x 轴的垂线分别与直线,OA OQ 交于,M N ，求证：M 为PN 中点.【答案】（1）)9,4A x ⎡∈+∞⎢⎣（2）见证明 【解析】 【分析】（1）设:OA l y kx =，联立抛物线，再利用圆D 与直线相交建立不等式，从而确定点A 横坐标的取值范围；（2）可先找到函数关系式，利用导数确定切线的斜率，设221212:4,,,,44y y l y mx P y Q y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用韦达定理即可证明M 为PN 中点.【详解】解：（1）由题意直线OA 斜率存在且不为零，设:OA l y kx =2244A y kx x y x k =⎧⇒=⎨=⎩()2,1D 到:0OA l kx y -=4103k ≤⇒≤≤， 所以)9,4A x ⎡∈+∞⎢⎣（2）当直线OA 过圆心()2,1D 时，()214,16,16,82A k x A k=== ()240y x y y y '=>⇒=⇒=，所以1614AB x k y -='=， ()18164AB l y x -=-：即144y x =+， 所以()04B ，，设221212:4,,,,44y y l y mx P y Q y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由214:,:2OA OQ l y x l y x y ==得22112,8M N y y y y y ==22441604y mx my y y x =+⎧⇒-+=⎨=⎩，所以1212416,y y y y m m +== ()222211121112124+=2164P N M y y y y y y m y y y y y y y m+=+===，即M 为PN 中点．【点睛】本题主要考查了直线与圆，抛物线的位置关系，切线问题等，综合性强，直线与圆的相关计算常考点到直线的距离公式，必须熟记.20.已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合*{|,}n S x x b n ==∈N .（1）若10a =，23d π=，求集合S ； （2）若12a π=，求d 使得集合S 恰有两个元素；（3）若集合S 恰有三个元素，n T n b b +=，T 是不超过5的正整数，求T 的所有可能值，并写出与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式及集合S .【答案】（1）,22⎧⎫⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎩⎭；（2）23π或π；（3）3T =或4，3T =时，23n a n π=，S ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭；4T =时，2n a n π=，{}0,1,1S =-【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式写出n a ，进而求出n b ，再根据周期性求解；（2）由集合S 的元素个数，分析数列{}n b 的周期，进而可求得答案；（3）分别令1T =，2，3，4，5进行验证，判断T 的可能取值，并写出与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式及集合S 【详解】（1）等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．∴当120,3a d π==，所以集合{S =0． （2）12a π=，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列{}n a 的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个元素，此时d π=， ②1a 终边落在OA 上，要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称，如图OB ，OC ，此时23d π=，综上，23d π=或者d π=．（3）①当3T =时，3n n b b +=，集合1{S b =，2b ，3}b ，符合题意．与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式为23n a n π=，此时33,,0S ⎧⎫⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭. ②当4T=时，4n n b b +=，sin(4)sin n n a d a +=，42n n a d a k π+=+，或者42n n a d k a π+=-，等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，故42n n a d a k π+=+，2k d π=，又1k ∴=，2 当1k =时满足条件，此时{0S =，1，1}-． 与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式为2n a n π=，此时{}0,1,1S =-【点睛】本题考查等差数列的通项公式、集合元素的性质以及三角函数的周期性，是一道综合题．21.已知函数()(1)ln f x x x =-,3()ln eg x x x =--. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）令()()()(0)h x mf x g x m =+>两个零点1212,()x x x x <，证明：121ex e x +>+. 【答案】（Ⅰ）()f x 在(0,1)上单调递减，在[1,)+∞上单调递增.（Ⅱ）见证明 【解析】 【分析】（Ⅰ）求得函数的导数1()ln 1f x x x=+-'，且()01f '=，进而利用导数的符号，即可求得函数单调区间；（Ⅱ）由3()(1)ln ln h x m x x x x e=-+--有两个零点，利用导数求得函数()h x 的单调性与最值，结合图象，即可得出证明．【详解】（Ⅰ）由题意，函数()(1)ln f x x x =-，则1()ln 1f x x x=+-'，且()01f '=， 当01x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当1x ≥时，()0f x '≥，函数()f x 单调递增；所以函数()f x 在(0,1)上单调递减，在[1,)+∞上单调递增. （Ⅱ）由3()(1)ln ln h x m x x x x e=-+--有两个零点可知 由11()(1ln )1h x m x x x-'=++-且0m >可知， 当01x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减； 当1x ≥时，()0h x '≥，函数()h x 单调增；即()h x 的最小值为3(1)10h e=-<， 因此当1x e=时，1113(1)2()(1)(1)(1)0m e e h m e e e e e -+-=--+---=>， 可知()h x 在1(,1)e上存在一个零点；当x e =时，3()(1)10h e m e e e=-+-->， 可知()h x 在(1,)e 上也存在一个零点， 因此211x x e e -<-，即121x e x e+>+. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22.已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b +=>>的离心率为2，且过定点M . （1)求椭圆C 的方程；（2)已知直线1:()3l y kx k R =-∈与椭圆C 交于,A B 两点，试问在y 轴上是否存在定点P ，使得以弦AB 为直径的圆恒过点P ？若存在，求出点P 的坐标和PAB ∆的面积的最大值；若不存在，请说明理由．【答案】(1) 2224155y x += (2)见解析 【解析】【分析】（1）本问考查了椭圆的离心率公式，以及椭圆的方程、性质，通过条件构建关于基本量,,a b c 的方程组，求解即可．（2）本题考查了直线与椭圆的位置关系，利用条件以弦AB 为直径的圆恒过点P ，将几何关系代数化，利用韦达定理建立方程，判断方程是否有解．【详解】解：（1)由已知2222222522511142c e a a b c a b a b ⎧==⎪⎧=⎪⎪⎪⎪+=⇒⎨⎨⎪⎪=⎪⎪+=⎩⎪⎩，椭圆C 的方程为2224155y x +=. （2)由221324155y kx y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得229(24)12430k x kx +--=.① 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12,x x 方程①的两根，1212221243,9(24)9(24)k x x x x k k ∴+==-++ 设(0,)P p ，则1122(,),(,)PA x y p PB x y p =-=-，22121212*********()()()()333p PA PB x x y y p y y p x x kx kx pk x x p ⋅=+-++=+---+++2222(1845)3624399(24)p k p p k -++-=+ 假设在y 轴上存在定点P ，使得以弦AB 为直径的圆恒过点P ， 则PA PB ⊥，即0PA PB ⋅=，即222(1845)3624390p k p p -++-=对任意k ∈R 恒成立，22184503624390p p p ⎧-=∴⎨+-=⎩此方程组无解，∴不存在定点满足条件． 【点睛】本题的关键是将条件“以弦AB 为直径的圆恒过点P ”，几何关系代数化，和联立方程组得到的韦达定理联系起来，建立关于参数p 的方程．。

2021届河北省衡水中学高三上学期期中数学（理）试题一、单选题1．集合{}2210M x x x =--<，{}20N x x a =+>，U =R ，若UM N =∅，则a 的取值范围是（ ） A ．1a > B ．1a ≥ C ．1a < D ．1a ≤【答案】B【分析】求出集合M ，N 的等价条件，结合条件UM N =∅，建立不等式关系进行求解即可．【详解】由题得1{|1},C {|}222U a a M x x N x x N x x ⎧⎫=-<<=>-∴=≤-⎨⎬⎩⎭，， 因为U M N =∅，所以1,122a a -≤-∴≥. 故选：B.【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．2．若直线y kx =与双曲线22194x y-=相交，则k 的取值范围是( )A ．20,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．22,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．22,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【分析】联立直线和双曲线的方程得到2236049x k =>-，即得k 的取值范围.【详解】联立直线和双曲线的方程得222224936,49)36,x k x k x -=∴-=（ 当2490-=k ，即23k =±时，直线和双曲线的渐近线重合， 所以直线与双曲线没有公共点. 当2490k -≠，即23k ≠±时，2236049x k =>-， 解之得2233k -<<. 故选：C.【点睛】本题主要考查直线和双曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.3．在ABC 中，3AB =，2AC =，12BD BC =，则AD BD ⋅=（ ） A ．52-B ．52C ．54-D ．54【答案】C【分析】用,AB AC 表示出,AD BD ，利用数量积定义，即可容易求得结果. 【详解】如图所示，∵1()2BD AC AB =-， ∴1()2AD AC AB =+，∴AD BD ⋅=()2211()()2344AC AB AC AB -⋅+=-=﹣54. 故选：C .【点睛】本题考查利用数量积定义求数量积，属简单题.4．已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =-，正项等比数列{}n b 中，23b a = ，()23142,n n n b b b n n N +-+=≥∈，则2log n b =( )A ．1n -B ．21n -C ．2n -D ．n【答案】D【分析】数列{a n }的前n 项和S n =n 2﹣n ，a 1=S 1=0，n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1，可得a n ．设正项等比数列{b n }的公比为q ＞0，b 2=a 3=4．b n +3b n ﹣1=4b n 2（n ≥2，n ∈N +），化为q 2=4，解得q ，可得b n ．【详解】数列{a n }的前n 项和S n =n 2﹣n ，∴a 1=S 1=0，n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2n ﹣2，n=1时也成立． ∴a n =2n ﹣2．设正项等比数列{b n }的公比为q ＞0，b 2=a 3=4． b n +3b n ﹣1=4b n 2（n ≥2，n ∈N +），∴2211n n b qb q +-⋅=4121()n b q -，化为q 2=4，解得q=2．∴b 1×2=4，解得b 1=2． ∴b n =2n ． 则log 2b n =n ． 故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查数列通项的求法，考查等比数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 若在已知数列中存在：()()n n n S f a S f n ==或的关系，可以利用项和公式11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求数列的通项.5．已知直线10ax y +-=与圆()()22:11C x y a -++=相交于A ，B ，且ABC 为等腰直角三角形，则实数a 的值为( ) A ．17或1- B ．1- C ．1 D ．1或1-【答案】D【分析】由三角形ABC 为等腰直角三角形，得到圆心C 到直线的距离d=rsin45°，利用点到直线的距离公式列出方程，求出方程的解即可得到a 的值． 【详解】∵由题意得到△ABC 为等腰直角三角形，∴圆心C （1，﹣a ）到直线ax +y ﹣1=0的距离d=rsin45°2， 整理得：1+a 2=2，即a 2=1， 解得：a=﹣1或1， 故答案为D【点睛】此题考查了直角与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，等腰直角三角形的性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．6．在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若2222014a b c +=，则()2tan tan tan tan tan A BC A B ⋅+的值为( )A ．2013B ．1C ．0D ．2014【答案】A【分析】由a 2+b 2=2014c 2，利用余弦定理可得a 2+b 2﹣c 2=2013c 2=2abcosC ．利用三角函数基本关系式和两角和的正弦公式、正弦定理可得()2tanA tanB tanC tanA tanB ⋅+=2sinA sinBcosA cosBsinC sinA sinB cosC cosA cosB ⋅⎛⎫+ ⎪⎝⎭=()2sinAsinBcosC sinCsin A B +=22abcosC c 即可得出．【详解】∵a 2+b 2=2014c 2， ∴a 2+b 2﹣c 2=2013c 2=2abcosC ．∴()2tanA tanB tanC tanA tanB ⋅+=2sinA sinBcosA cosBsinC sinA sinB cosC cosA cosB ⋅⎛⎫+ ⎪⎝⎭=()2sinAsinBcosC sinCsin A B +=22abcosC c =2013． 故答案为：A【点睛】本题考查了三角函数基本关系式和两角和的正弦公式、正弦定理、余弦定理等基础知识与基 本技能方法，属于难题．7．已知点()(),0M a b ab ≠是圆222:C x y r +=内一点，直线l 是以M 为中点的弦所在的直线，直线m 的方程为2bx ay r -=，那么( )A ．l m ⊥且m 与圆C 相切B ．l m 且m 与圆C 相切 C ．l m ⊥且m 与圆C 相离D ．l m 且m 与圆C 相离【答案】C【分析】求圆心到直线的距离，然后与a 2+b 2＜r 2比较，可以判断直线与圆的位置关系，易得两直线的关系．【详解】以点M 为中点的弦所在的直线的斜率是﹣a b ，直线m 的斜率为ba，∴直线l ⊥m ，∵点M （a ，b ）是圆x 2+y 2=r 2内一点，∴a 2+b 2＜r 2， ∴圆心到bx ﹣ay=r 22r ，故相离．故答案为：C【点睛】本题主要考查直线的位置关系，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.8．若圆22210x y ax y +-++=和圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点(),C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程是( )A ．24480y x y -++=B ．22220y x y +-+=C ．24480y x y +-+=D ．2210y x y --+=【答案】C【分析】求出两个圆的圆心坐标，两个半径，利用两个圆关于直线的对称知识，求出a 的值，然后求出过点C （﹣a ，a ）的圆P 与y 轴相切，就是圆心到C 的距离等于圆心到y 轴的距离，即可求出圆心P 的轨迹方程．【详解】圆x 2+y 2﹣ax +2y +1=0的圆心（12a-，），因为圆x 2+y 2﹣ax +2y +1=0与圆x 2+y 2=1关于直线y=x ﹣1对称，设圆心（12a -，）和（0,0）的中点为（142a -，）， 所以（142a -，）满足直线y=x ﹣1方程，解得a=2， 过点C （﹣2，2）的圆P 与y 轴相切，圆心P 的坐标为（x ，y ）x = 解得：y 2+4x ﹣4y +8=0，所以圆心P 的轨迹方程是y 2+4x ﹣4y +8=0， 故答案为：C【点睛】（1）本题主要考查圆关于直线的对称问题，考查动点的轨迹方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求轨迹方程的四种主要方法 ： ①待定系数法：通过对已知条件的分析，发现动点满足某个曲线（圆、圆锥曲线）的定义，然后设出曲线的方程，求出其中的待定系数，从而得到动点的轨迹方程.②代入法：如果点M 的运动是由于点P 的运动引起的，可以先用点M 的坐标表示点P 的坐标，然后代入点P 满足的方程，即得动点M 的轨迹方程.③直接法：直接把已知的方程和条件化简即得动点的轨迹方程.④参数法：动点(,)M x y 的运动主要是由于某个参数ϕ的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即()()x f y g ϕϕ=⎧⎨=⎩，再消参.9．平行四边形ABCD 中，2AB =，AD 1,?1AB AD =⋅=-，点M 在边CD 上，则MA MB ⋅的最大值为( )A 1B 1C ．0D ．2【答案】D【分析】根据向量的数量积的运算，求出A=120°，再建立坐标系，得到MA •MB =x （x ﹣2）+34=x 2﹣ 2x +34=（x ﹣1）2﹣14，设f （x ）=（x ﹣1）2﹣14，利用函数的单调性求出函数的最值，问题得 以解决．【详解】∵平行四边形ABCD 中，AB=2，AD=1，AB •AD =﹣1，点M 在边CD 上，∴|AB |•|AD |•cos ∠A=﹣1， ∴cosA=﹣12，∴A=120°， 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的垂线为y 轴，建立如图所示的坐标系，∴A （0，0），B （2，0），D （﹣12设M （x ，则﹣12≤x ≤32，∴MA =（﹣x MB =（2﹣x ∴MA •MB =x （x ﹣2）+34=x 2﹣2x +34=（x ﹣1）2﹣14， 设f （x ）=（x ﹣1）2﹣14，则f （x ）在[﹣12，1）上单调递减，在[1，32]上单调递增，∴f （x ）min =f （1）=﹣14，f （x ）max =f （﹣12）=2， 则MA •MB 的最大值是2， 故答案为：D【点睛】本题考查了向量的数量积定义和向量数量积的坐标表示和函数的最值问题，关键是建立坐标系，属于中档题．10．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）A ．2⎤⎥⎣⎦B ．231⎤⎥⎣⎦ C ．23⎣⎦ D ．36⎣⎦【答案】B【分析】设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为：1F ,根据AF BF ⊥，得到四边形为1AF BF 为矩形，再由ABF α∠=，结合椭圆的定义得到22sin 2cos a c c αα=+，然后由1sin cos c e a αα==+求解. 【详解】设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为：1F ,因为AF BF ⊥，所以四边形为1AF BF 为矩形， 所以12AB FF c == 因为ABF α∠=，所以2sin ,2cos ,AF c BF c αα==由椭圆的定义得：22sin 2cos a c c αα=+，所以11sin cos 24c e a πααα===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以5,4122πππα⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 4πα⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，142πα⎡⎛⎫+∈⎢⎪⎝⎭⎣，所以12e ⎤∈⎥⎣⎦，故选：B【点睛】方法点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点F 1，F 2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF 1|·|PF 2|；通过整体代入可求其面积等．11．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足PA m PB =，当m 取最大值时，点P 恰好在以A 、B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为A ．12B 1C D 1【答案】B【分析】根据题目可知，过P 作准线的垂线，垂足为N ，则由抛物线的定义，结合PA m PB =，可得1PN PAm=，设PA 的倾斜角为α，当m 取得最大值时，sin α最小，此时直线PA 与抛物线相切，即可求出的P 的坐标，再利用双曲线的定义，即可求得双曲线得离心率．【详解】由题意知，由对称性不妨设P 点在y 轴的右侧，过P 作准线的垂线，垂足为N ，则根据则抛物线的定义，可得PN PB =，PA m PB =1PN PAm∴=设PA 的倾斜角为α，当m 取得最大值时，sin α最小，此时直线PA 与抛物线相切，设直线PA 的方程为1y kx =-，与24x y =联立，得2440x kx -+=， 令216160k ∆=-=，解得1k =± 可得(2,1)P ， 又此时点P 恰好在以A 、B 为焦点的双曲线上∴双曲线的实轴21)a PA PB =-=1,1a c ∴==1e ∴=故答案选B ．【点睛】本题主要考查了双曲线与抛物线的性质的应用，在解决圆锥曲线相关问题时常用到方程思想以及数形结合思想．12．已知在R 上的函数()f x 满足如下条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②对于任意R x ∈，()()220f x f x +--=；③当[]0,2x ∈时，()f x x =；④函数()()()12n n f x f x -=⋅，*n N ∈，若过点()1,0-的直线l 与函数()()4f x 的图象在[]0,2x ∈上恰有8个交点，在直线l 斜率k 的取值范围是（ ） A ．80,11⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．110,8⎛⎫⎪⎝⎭C ．80,19⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．190,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】先由条件①②，得到函数()f x 是周期为4的周期函数；根据③求出函数()f x 在一个周期[]22-,上的表达式为(),02,20x x f x x x ≤≤⎧=⎨--≤<⎩，根据④得到()()4f x 的周期为12，其图象可由()f x 的图象压缩为原来的18得到，作出()()4f x 的图象，结合图象，即可求出结果.【详解】因为函数()f x 是偶函数，由()()220f x f x +--=得()()()222f x f x f x +=-=-，即()()4f x f x +=，所以函数()f x 是周期为4的周期函数； 若[]2,0x ∈-，则[]0,2x ∈；因为当[]0,2x ∈时，()f x x =， 所以[]0,2x -∈时，()f x x -=-，因为函数()f x 是偶函数，所以()()f x x f x -=-=， 即()f x x =-，[]2,0x ∈-，则函数()f x 在一个周期[]22-,上的表达式为(),02,20x x f x x x ≤≤⎧=⎨--≤<⎩，因为()()()12n n f x f x -=⋅，*n N ∈，所以函数()()()48f x f x =，*n N ∈，故()()4f x 的周期为12，其图象可由()f x 的图象压缩为原来的18得到，作出()()4f x 的图象如图：易知过()1,0M -的直线l 斜率存在，设过点()1,0-的直线l 的方程为()1y k x =+， 则要使直线l 与()()4f x 的图象在[]0,2x ∈上恰有8个交点，则0MA k k <<，因为7,24A ⎛⎫⎪⎝⎭，所以20871114MA k -==+，故8011k <<. 故选：A.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于，根据条件，由函数基本性质，得到()()4f x 的图象，再由函数交点个数，利用数形结合的方法，即可求解.二、填空题13．在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，1b =，ABC sin sin b c B C ++的值为_______________.【答案】2【分析】根据1262sin A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭解出A=3π，利用三角形的面积公式算出c=2．根据余弦定理a 2=b 2+c 2﹣2bccosA 的式子算出 【详解】∵1262sin A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，A ∈（0，π） ∴2A +6π=56π，可得A =3π∵b=1，△ABC∴S =12112c sinA ⨯⨯⨯=，解之得c =2 由余弦定理，得a 2=b 2+c 2﹣2bc cosA=1+4﹣2×123cos π⨯=3∴a根据正弦定理，得b c sinB sinC ++=asinA 3sin故答案为2【点睛】本题着重考查了特殊角的三角函数值、三角形的面积公式、正余弦定理解三角形等知识，属 于中档题．14．已知平面上有四点,,,O A B C ，向量OA ，OB ，OC 满足：0OA OB OC ++=，1OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅=-，则ABC 的周长是_______________.【答案】【分析】先判断三角形为正三角形，再根据正弦定理，问题得以解决． 【详解】平面上有四点O ，A ，B ，C ，满足OA +OB +OC =0， ∴O 是△ABC 的重心，∵OA •OB =OB •OC ，∴OB •（OA ﹣OC ）=OB •CA =0， 即：OB ⊥CA ，同理可得：OC ⊥BA ，OA ⊥BC ， 即O 是垂心， 故△ABC 是正三角形，∵OA •OB =OB •OC =OC •OA =﹣1， 令外接圆半径R ，则：R 2cos （∠AOB ）=R 2cos （23π）=﹣1 即：R即：a sinA =3a sinπ， 即：a， 故周长：3a=， 故答案为：【点睛】本题考查了平面向量的有关知识以及正弦定理解三角形等有关知识，属于中档题．15．已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为___.【分析】设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，|F 1F 2|=2c ，椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2, 由余弦定理可得4c 2=（r 1）2+（r 2）2﹣2r 1r 2cos 3π，①在椭圆中，①化简为即4c 2=4a 2﹣3r 1r 2…②，在双曲线中，化简为即4c 2=4a 12+r 1r 2…③，2212134e e +=所以，再利用柯西不等式求椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值.【详解】设椭圆的长半轴为a ，双曲线的实半轴为a 1，（a ＞a 1），半焦距为c ， 由椭圆和双曲线的定义可知， 设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，|F 1F 2|=2c ， 椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2, ∵∠F 1PF 2=3π，则∴由余弦定理可得4c 2=（r 1）2+（r 2）2﹣2r 1r 2cos 3π，① 在椭圆中，①化简为即4c 2=4a 2﹣3r 1r 2…②， 在双曲线中，①化简为即4c 2=4a 12+r 1r 2…③，2212134e e +=所以， 由柯西不等式得（1+13）（221213e e +）≥（121e e +）212113e e +≤所以【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关 键．属于难题．16．已知数列{}n a 的前n 项和122n n n S a +=-，若不等式223(5)n n n a λ--<-，对n N +∀∈恒成立，则整数λ的最大值为______．【答案】4【详解】当1n =时，21122S a =-，得14a =，当2n ≥时，122nn n S a -=-， 又122n n n S a +=-，两式相减得1222nn n n a a a -=--，得122nn n a a -=+，所以11122n n nn a a ---=． 又1122a =，所以数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，1为公差的等差数列， 12nn a n =+，即(1)2n n a n =+⋅．因为0n a >，所以不等式223(5)n n n a λ--<-，等价于2352nn λ-->． 记122311,,224n nn b b b -==-=， 2n ≥时，112121223462n n nnn b n n b n ++--==--． 所以3n ≥时，11,n nb b +< 综上，max 33()8n b b ==，所以33375,5888λλ-><-=，所以整数λ的最大值为4． 【解析】1．数列的通项公式；2．解不等式．三、解答题17．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知向量33cos,sin 22A A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且满足3m n +=.(1)求角A 的大小；(2)若3b c a +=，试判断ABC 的形状. 【答案】(1)(2)直角三角形【分析】(1)直接化简3m n +=得1cos 2A =，60A =︒.（2）联立222122b c a bc --=①，3b c a +=②，化简得2b c =或2c b =，当b=2c 时，可以推理得到ABC 为直角三角形，同理，若2c b =，则ABC 也为直角三角形. 【详解】(1)∵()()2223m n m n ++⋅=，代入33cos,sin 22A A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，有33112cos cos sin sin 32222A A A A ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，∴331coscos sin sin 22222A A A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即31cos 222A A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴1cos 2A =，60A =︒.(2)∵1cos 2A =，∴222122b c a bc +-=①又∵b c +=②联立①②有，222bc b c =+-，即222520b bc c --=，解得2b c =或2c b =，又∵b c +=，若2b c =，则a =，∴)2222224a c c c b +=+==，ABC 为直角三角形，同理，若2c b =，则ABC 也为直角三角形.【点睛】（1）本题主要考查三角恒等变换，考查余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解题的关键是推理得到2b c =或2c b =. 18．已知圆C 经过原点()0,0O 且与直线28y x =-相切于点()4,0P （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）在圆C 上是否存在两点,M N 关于直线1y kx =-对称，且以线段MN 为直径的圆经过原点？若存在,写出直线MN 的方程；若不存在，请说明理由 【答案】（Ⅰ）()()22215x y -+-=. （Ⅱ）见解析.【分析】（Ⅰ）由已知得圆心经过点P （4，0）、且与y=2x ﹣8垂直的直线122y x =-+上，它又在线段OP 的中垂线x=2上，求得圆心C （2，1）C 的方程．（Ⅱ）假设存在两点M ，N 关于直线y=kx ﹣1对称，则y=kx ﹣1通过圆心C （2，1），求得k=1，设直线MN 为y=﹣x+b ，代入圆的方程，利用韦达定理及 OM •ON =0，求得b 的值，可得结论．【详解】（Ⅰ）法一：由已知，得圆心在经过点()4,0P 且与28y x =-垂直的直线122y x =-+上，它又在线段OP 的中垂线2x =上，所以求得圆心()2,1C ，半径为所以圆C 的方程为()()22215x y -+-=. (细则：法一中圆心3分，半径1分，方程2分)法二：设圆C 的方程为()()22200x x y y r -+-=，可得()222000022200,1,424x y r y x x y r r ⎧⎪+=⎪⎪⎪=-⎨-⎪⎪⎛⎫⎪-+== ⎪⎪⎝⎭⎩解得002,1,x y r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩,所以圆C 的方程为()()22215x y -+-= (细则：方程组中一个方程1分)（Ⅱ）假设存在两点,M N 关于直线1y kx =-对称，则1y kx =-通过圆心()2,1C ，求得1k =，所以设直线MN 为y x b =-+代入圆的方程得()2222220x b x b b -++-=，设()11,M x x b -+，()22,N x x b -+，则()221212230OM ON x x b x x b b b ⋅=-++=-=解得0b =或3b =这时0∆>，符合题意，所以存在直线MN 为y x =-或3y x =-+符合条件 (细则：未判断0∆>的扣1分).【点睛】本题主要考查了圆锥曲线的综合应用问题，其中解答中涉及到圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，向量的坐标运算等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中把直线的方程和椭圆方程联立，转化为方程的根与系数的关系、韦达定理的应用是解答问题的关键19．各项均为正数的数列{}n a 中，11a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，对任意*n N ∈，有()222n n n S pa pa p p R =+-∈.(1)求常数p 的值；(2)求数列{}n a 的通项公式；(3)记423nn n S b n =⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）1p =（2）12n n a +=（3） ()1122n n T n +=-⋅+ 【分析】(1)令()222n n n S pa pa p p R =+-∈中n=1即得p 的值.(2)利用项和公式求数列{}n a 的通项公式.(3)先求出4223nn n n S b n n =⋅=⋅+，再利用错位相减法求数列{}n b 的前n 项和n T .【详解】解：(1)由11a =及()2*22n n n S pa pa p n N =+-∈，得：22p p p =+-，∴1p =.(2)由2221n n n S a a =+-①，得2111221n n n S a a +++=+-②由②－①，得()()2211122n n n n n a a a a a +++=-+-，即：()()()11120n n n n n n a a a a a a ++++--+=， ∴()()112210n n n n a a a a +++--=，由于数列{}n a 各项均为正数，∴1221n n a a +-=，即112n n a a +-=， ∴数列{}n a 是首项为1，公差为12的等差数列， ∴数列{}n a 的通项公式是()111122n n a n +=+-⨯=.(3)由12n n a +=，得：()34n n n S +=，∴4223n n n n S b n n =⋅=⋅+， ∴231222322nn T n =⨯+⨯+⨯+⋯+⋅()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯+⋯+-⨯+⨯，()()2311121222222212212n n n n n n T n n n +++--=+++⋯+-⋅=-⨯=--⋅--()1122n n T n +=-⋅+.【点睛】（1）本题主要考查项和公式求数列的通项，考查等差数列的通项和求和公式，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 数列{}·n n b c ，其中{}n b 是等差数列，{}n c 是等比数列，则采用错位相减法.20．已知椭圆()2222 :?10x y C a b a b +=>>的离心率2e =，原点到过点(),0A a ，()0,B b -.（1）求椭圆C 的方程； （2）如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点E ，F ，且E ，F 都在以B为圆心的圆上，求k 的值.【答案】（1）221164x y +=；（2）4k =±【分析】（1）由离心率e =2a b =，再求出直线1:B x a A y b -=，从而得5d ==，解方程组可求出,a b 的值，进而可得椭圆C 的方程； （2）设()22,E x y ，()33,F x y ，EF 的中点是(),M M M x y ，再将直线()10y kx k =+≠与椭圆方程联立成方程组，消元后利用根与系数的关系可得2234214M x x k x k +-==+，21114M My kx k =+=+，再由E ，F 都在以B 为圆心的圆上，可得20M M x ky k ++=，从而可求出k 的值 【详解】解：（1）因为c a =222a c b -=，所以2a b =. 因为原点到直线1:B x a A y b -=的距离d ==，解得4a =，2b =.故所求椭圆C 的方程为221164x y +=.（2）由题意2211164y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()22148120k x kx ++-=.可知0∆>.设()22,E x y ，()33,F x y ，EF 的中点是(),M M M x y ，则2234214M x x kx k +-==+，21114M M y kx k=+=+， 因为E ，F 都在以B 为圆心的圆上，且()0,2B -，所以21M My k x +⋅=-， 所以20M M x ky k ++=.即224201414k kk k k-++=++. 又因为0k ≠，所以218k =.所以4k =±【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是将EF 的中点(),M M M x y 坐标用含k 的式子表示，再由E ，F 都在以B 为圆心的圆上，得20M M x ky k ++=，将点M 的坐标代入可求出k 的值，考查计算能力，属于中档题21．已知定点()0,1F ，定直线:1l y =-，动圆M 过点F ，且与直线l 相切. （1）求动圆M 的圆心轨迹C 的方程；（2）过点F 的直线与曲线C 相交于,A B 两点，分别过点,A B 作曲线C 的切线12,l l ，两条切线相交于点P ，求PAB ∆外接圆面积的最小值.【答案】（Ⅰ）24x y =；（Ⅱ）当0k =时线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π.【解析】试题分析：（Ⅰ）设(),M x y=1y +化简即可得结论；（Ⅱ）由题意PAB △的外接圆直径是线段AB ，设AB l ：1y kx =+，与 24x y =联立得2440x kx --=，从而得()241AB k =+，0k =时线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π.试题解析：（Ⅰ）设点M 到直线l 的距离为d ，依题意MF d =. 设(),M xy = 1y +.化简得24x y =.所以点M 的轨迹C 的方程为24x y =. （Ⅱ）设AB l ：1y kx =+，代入24x y =中，得2440x kx --=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x ⋅=-.所以AB = ()21241x x k ⋅-=+.因为C ：24x y =，即24x y =，所以2x y '=.所以直线1l 的斜率为112x k =，直线2l 的斜率为222xk =. 因为121214x x k k ==-， 所以PA PB ⊥，即PAB 为直角三角形.所以PAB 的外接圆的圆心为线段AB 的中点，线段AB 是直径. 因为()241AB k =+，所以当0k =时线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π. 【方法点晴】本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离公式及三角形面积公式，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标(),x y ，根据题意列出关于,x y 的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把,x y 分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将()()00x g x y h x =⎧⎪⎨=⎪⎩代入()00,0=f x y .本题（Ⅰ）就是利用方法①求圆心轨迹方程的. 22．设函数()21ln 2f x x ax bx =--． （1）当12a b ==时，求函数()f x 的最大值； （2）令()()212a F x f x ax bx x=+++，（03x <≤）其图象上任意一点()00,P x y 处切线的斜率12k恒成立，求实数a 的取值范围； （3）当0a =，1b =-，方程()22mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值． 【答案】（1）34-；（2）12a ≥；（3）12m =. 【分析】（1）对函数求导，根据导数大于0或小于0，确定函数的单调区间，进而求出函数的最大值.（2）求出()(]ln ,0,3a F x x x x=+∈，根据()012'=≤k F x ，列不等式，分离参数可得200max12a x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭，进而求出结果. （3）22ln 20x m x mx --=有唯一正实数解,构造函数()22ln 2g x x m x mx =--，对函数求导，确定函数的单调区间，进而求出函数的最小值为0，进而求出m 值.【详解】（1）依题意，知()f x 的定义城为()0,∞+， 当12a b ==时，()211ln 42f x x x x =--， ()()()21111222x x f x x x x-+-'=--=，令()0f x '=，解得1x =. 当01x <<时，()0f x '>，此时()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，此时()f x 单调递减，所以()f x 的极大值为()314f =-，此即为最大值. （2）()(]ln ,0,3a F x x x x =+∈，则有()002012x a k F x x -'==≤，在(]00,3x ≤上恒成立， 所以200max12a x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭，(]00,3x ∈. 当01x =时，22000111(1)+222-+=--x x x 取得最大值12，所以12a ≥. （3）因为方程()22mf x x =有唯一实数解，所以22ln 20x m x mx --=有唯一正实数解，设()22ln 2g x x m x mx =--，则()2222x mx m g x x --'=，令()0g x '=，20x mx m --=，因为0m >，0x >，所以10x =<（舍去），20x =>， 当()20,x x ∈时，()0g x '<，()g x 在()20,x 上单调递减；当()2,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在()2,x +∞上单调递增；故2x x =时，()20g x '=，()g x 取最小值()2g x因为()0g x =有唯一正实数解，所以()20g x =，则()()220,0,g x g x ⎧=⎪⎨='⎪⎩即22222222ln 20,0,x m x mx x mx m ⎧--=⎨--=⎩ 所以222ln +0-=m x mx m ，因为0m >，所以()222ln 10x x +-=*.设函数()2ln 1h x x x =+-，因为当0x >时，()h x 是增函数，所以()0h x =至多有一解，因为()10h =，所以方程（）的解为21x =1=，解得12m =. 【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于难题.。

河北省衡水市高三上学期期中数学试卷（理科）姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 设全集 U 是实数集 R,集合 M={x|x -2 或 x 2}, 集合是（ ）,则图中阴影部分所表示的A.B.C.D.2. （2 分） 以下四个命题中，其中正确的个数为（）①命题“若 x2-3x+2=0，则 x=1”的逆否命题为“若 ， 则 x2-3x+2=0”；②“ ”是“”的充分不必要条件；③若命题，则；④若 为假， 为真，则 p,q 有且仅有一个是真命题．A.1B.2C.3D.4第 1 页 共 12 页3. （2 分） (2017 高二上·海淀期中) 命题是的一条对称轴；命题是的最小正周期．下列命题：① 且 ；② 或 ；③；④．其中真命题有（ ）．A. 个B. 个C. 个D. 个4.（2 分）(2017 高一下·伊春期末) 若函数则函数必过定点（ ）A . （1,2） B . （2,2） C . （2,3） D . （2,1）图像与图像关于直线对称,5. （2 分） 方程 A . （1,2） B . （2,3） C . （3,4） D . （4,5）必有一个根的区间是（ ）6. （2 分） 若实数 满足 A.0 B.则的最小值是（ ）第 2 页 共 12 页C.1 D.2 7. （2 分） (2017 高三上·赣州期中) 若变量 x，y 满足|x|﹣ln =0，则 y 关于 x 的函数图象大致是（ ）A.B.C.D.8. （ 2 分 ） (2019 高 一 上 · 阜 阳 月 考 ) 定 义 在上的奇函数，则函数的零点的个数是（ ）A.B.C.D.第 3 页 共 12 页满足：当时，9. （2 分） (2018 高一下·黑龙江期末) 设 成等比数列，则这个三角形的形状是（ ）的三内角 A、B、C 成等差数列，、A . 直角三角形B . 钝角三角形C . 等边三角形D . 等腰直角三角形10. （2 分） 已知定义域为 R 的函数 是奇函数，当 时， =| ， 则实数 a 的取值范围为（ ）|，且对A . [0，2]、 ， 恒有B. C . [-1，1] D . [-2，0]11. （2 分） (2015 高一上·霍邱期末) 若角 α∈（﹣π，﹣ ），则﹣A . ﹣2tanαB . 2tanαC . ﹣tanαD . tanα12. （2 分） 关于 x 的方程有两个实数根，则实数 a 的取值范围（ ）=（ ）A. B. C.D.第 4 页 共 12 页二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2017·渝中模拟) 若 为________．（其中 m＞1），则多项式展开式的常数项14.（1 分）(2018 高二上·阜城月考) 如果函数则曲线在原点处的切线方程是________．,的导函数是偶函数，15. （1 分） (2017·唐山模拟) 已知向量 =（3，﹣1）， =（2，1），则 在 方向上的投影为________．16. （1 分） (2017·江西模拟) 设 x、y 满足约束条件，若目标函数 z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为 2，当的最小值为 m 时，则 y=sin（mx+ ）的图象向右平移 后的表达式为________．三、 解答题 (共 6 题；共 60 分)17. （10 分） (2019 高一下·绵阳月考)中，分别是角所对的边且.（1） 求 （2） 若的值； ，当角 最大时，求的面积．18. （10 分） 已知曲线 y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）上的一个最高点的坐标为（ ， ），此点到 相邻最低点间的曲线与 x 轴交于点（ π，0），若 φ∈（﹣ ， ）．（1） 试求这条曲线的函数表达式； （2） 用“五点法”画出（1）中函数在[0，π]上的图象．19. （10 分） (2017 高三上·长葛月考) 在中，角的对边分别为，.（1） 若，的面积为 2，且 为钝角，求 ；（2） 若，求.20. （10 分） (2017 高二上·陆川开学考) 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ， 且 a3=3，S7=28，在等比第 5 页 共 12 页数列{bn}中，b3=4，b4=8． （1） 求 an 及 bn； （2） 设数列{anbn}的前 n 项和为 Tn，求 Tn． 21. （10 分） (2019·天河模拟) 已知函数（1） 求函数的单调区间和极值；，．（2） 设，且、，直线 AB 的斜率恒大于常数 m，求 m 的取值范围．是曲线上的任意两点，若对任意的22. （10 分） (2016 高一上·天水期中) 已知函数 f（x）=loga（x+1），g（x）=loga（1﹣x）其中（a＞0 且 a≠1）．（1） 判断 f（x）﹣g（x）的奇偶性，并说明理由；（2） 求使 f（x）﹣g（x）＞0 成立的 x 的集合．第 6 页 共 12 页一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 7 页 共 12 页16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 60 分)17-1、17-2、第 8 页 共 12 页18-1、18-2、第 9 页 共 12 页19-1、 19-2、20-1、 20-2、第 10 页 共 12 页21-1、21-2、22-1、22-2、。