； ； ； ．2021 年九年级数学中考一轮复习练习题函数——一次函数时间 90 分钟 满分：120 分一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计 30 分 ）1. 如果y 关于x 的函数y = (k 2+ 1)x 是正比例函数，那么k 的取值范围是（ ） A.k ≠ 0B. k ≠± 1C. 不能确定D.一切实数2. 在直角坐标平面内，任意一个正比例函数的图像都经过点（ ）A.(1, 1)B.(1, 0)C.(0, 1)D.(0, 0)3. 下列正比例函数中，y 的值随着x 值的增大而减小的是（ ）A.y = 0.2xB. 1 y = xC. 5D.y = 2x4. 下列函数中，是一次函数的有（ ）1(1)y = πx ；(2)y = 2x−1 (3)y = x (4)y = 2−3x (5)y = x 2−1A.4个B.3个C.2个D.1个 A (x ,3) B (x ,5) x x5. 一次函数y = 2x + m 的图象上有两点 1 2 ， 2 ，则 1与 2的大小关系是（ ）A. x 1 < x 2B. x 1 > x 2C.x 1 = x 2D.无法确定6. 一次函数y = −4x−2的图象和性质，叙述正确的是（ ）A.y 随x 的增大而增大B.在y 轴上的截距为2C. 与x 轴交于点(−2,0)D. 函数图象不经过第一象限7. 已知一次函数y = kx + b(k < 0, b < 0)，那么一次函数的图象不经过第（ ） 象限．A.一B.二C.三D.四8. 已知直线y = kx + b 经过点(2, 1)，则方程kx + b = 1的解为（ ）A.x = 0B.x = 1C.x = 2D.x =± 29. 一次函数y = kx + b (k ≠ 0)中变量x 与y 的部分对应值如下表x ⋯ −1 0 1 2 3 ⋯y ⋯ 8 6 4 2 0 ⋯下列结论： ①随的增大而减小；②点(6,−6)一定在函数y = kx + b 的图像上；③当x > 3时， y > 0；④当x < 2时，(k−1)x + b < 0.其中正确的个数为（ ）A.4B.3C.2D.1 10. 如图，已知直线l:y = 3 3 x ，过点A(0, 1)作y 轴的垂线交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1；过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2；…；按此作法继续下去，则点A 4的坐标为（ ）A.(0, 128)B.(0, 256)C.(0, 512)D.(0, 1024)二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计 12 分 ）11. 把直线y = −2x 沿y 轴向上平移6个单位，所得到的直线解析式是. 12. 直线y = x−a 不经过第四象限，则关于x 的方程ax 2 + 2x + 1 = 0有 个实数解．13. 在平面直角坐标系内，若点(3,0),(m,2),(0,−3)在同一直线上，则m 的值为. 14. 某高速列车公司规定旅客可免费携带一定质量的行李，当行李的质量超过规定时，需付的行李费y （元）是行李质量x （kg ）的一次函数．已知行李质量为30kg 时，需付行李费4元；行李质量为40kg 时，需付行李费12元．则旅客最多可免费携带kg 行李． 三、 解答题 （本题共计 8 小题 ，共计 78 分 ）15.(9 分) 已知一次函数y = (2m + 1)x + 3 + m.(1)若y随x的增大而减小，求m的取值范围；(2)若图象经过点(−1,1)，求m的值，画出这个函数图象．16.(9 分) 在平面直角坐标系中，直线l1:y1= k1x + b1与x轴交于点B(12, 0)，与直线l2:y2= k2x交于点A (6, 3)．(1)分别求出直线l1和直线l2的表达式；(2)直接写出不等式k1x + b1 < k2x的解集.17.(10 分) 平面直角坐标系xOy内，一次函数y = 2x−2经过点A(−1,m)和B(n,2)(1)求m，n的值；(2)求该直线与x轴的交点坐标．18.(10 分) 已知一次函数y1= kx + b和y2= mx + n的图象如图所示．(1)求y1和y2的函数表达式，并求出它们的交点坐标．(2)利用图象直接写出当y1 < y2时，x的取值范围．19.(10 分) 如图：已知函数y = x + 1和y = ax + 3的图象交于点P，点P的横坐标为1.{x−y = −1，(1)关于x，y的方程组ax−y = −3的解是；(2)a = ；(3)求出函数y = x + 1和y = ax + 3的图象与x轴围成的几何图形的面积．20.(10 分) 某水果超市以每千克20元的价格购进一批水果，规定每千克水果售价不低于进价又不高于40元，经市场调查发现，水果的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示.每千克售价x（元）⋯25 30 35 ⋯日销售量y（千克）⋯110 100 90 ⋯(1)求y与x之间的函数解析式；(2)当每千克水果的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？21.(10 分) 在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(0,15)，点B的坐标为(20,0).(1)求直线AB的表达式；(2)若点C的坐标为(m,9)，且S △ ABC = 30，求m的值；(3)若点D的坐标为(12,0)，在射线AB上有两点P，Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与△ OPD全等，求点P的坐标．22.(10 分) 某商店购进一批冬季保暖内衣，每套进价为100元，售价为130元，每星期可卖出80套．现因临近春节，商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20套．设保暖内衣售价为x元，每星期的销量为y件．(1)求商家降价前每星期的销售利润为多少元？(2)求y与x之间的函数关系式；(3)当每件售价定为多少时，每星期的销售利润最大？最大销售利润是多少？参考答案一、 选择题1.D【解答】解：∵ 函数y = (k 2+ 1)x 是正比例函数，∴ k 2 + 1 ≠ 0，∴ k 取全体实数.故选D ．2.D【解答】解：由题意，设正比例函数的解析式为y = kx(k ≠ 0)， 则当x = 0时，y = 0，所以任意一个正比例函数的图像都经过点(0, 0)． 故选D .3.B【解答】解：由题意可知，在正比例函数中，y 的值随着x 值的增大而减小， 则k < 0，故只有B 选项正确.故选B .4.B【解答】解：(1)y = πx 是正比例函数，是特殊的一次函数；(2)y = 2x−1是一次函数；(3)y = 1x 不满足一次函数的定义，不是一次函数；(4)y = 2−3x 是一次函数；2 (5)y = x 2−1不满足一次函数的定义，不是一次函数． 所以是一次函数的有3个．故选B ．5.A【解答】解：在一次函数y = 2x + m 中，∵ k = 2 > 0，∴ y 随x 的增大而增大.3 ∵ 2 < 5，∴x 1 < x 2. 故选A .6.D【解答】解：A ，由y = −4x−2可知，y 随x 的增大而减小，故A 选项错误；B ，令x = 0，得y = −2，则在y 轴上的截距为−2，故B 选项错误；1 C ，令y = 0，得x = − ， (−1，0)则与x 轴交于点 2 ，故C 选项错误； D ，k = −4，b = −2，根据一次函数的性质可知，函数图象不经过第一象限，故D 选项正确.故选D .7.A【解答】解：∵ k < 0，∴ 一次函数y = kx + b 的图象经过第二、四象限．{又∵ b < 0时，∴ 一次函数y = kx + b 的图象与y 轴交与负半轴．综上所述，该一次函数图象经过第二、三、四象限，即不经过第一象限． 故选A ．8.C【解答】解：∵ 直线y = kx + b 经过点(2, 1)，∴ 当x = 2时，1 = kx + b ，∴ 方程kx + b = 1的解为x = 2.故选C .9.C【解答】解：把x = 0，y = 6和x = 1，y = 4分别代入y = kx + b ，得b = 6, k + b = 4.{k = −2,解得： b = 6.∴ 该一次函数的表达式为y = −2x + 6.∵ k = −2 < 0，∴ y 随x 的增大而减小，故①正确；∵ 当x = 6时，则y = −2 × 6 + 6 = −6，∴ 点(6,−6)在一次函数图像上，故②正确；∵ 当x = 3时，y = 0，y 随x 的增大而减小，∴ 当x > 3时，y < 0，故③错误；∵ k = −2，b = 6，∴ y = (k−1)x + b = −3x + 6.∵ −3 < 0，∴ 函数y = −3x + 6，y 随x 的增大而减小，又∵ 当 x=2 时，y = −3 × 2 + 6 = 0，∴ 当x < 2时，y > 0，即当x < 2时，(k−1)x + b = −3x + 6 > 0，故④错误. 综上所述，正确的有①②共2个.， ＝ ， A 4 4 256 故选C .10.B【解答】3 ∵ 直线l 的解析式为；y = 3 x ，∴ l 与x 轴的夹角为30 ∘，∵ AB // x 轴，∴ ∠ABO ＝30 ∘ ，∵ OA ＝1，∴ OB ＝2，∴ AB = 3，∵ A 1B ⊥ l ，∴∠ABA 1＝60 ∘ ∠BA 1O 30 ∘ ∴A 1O ＝4， ∴A 1(0, 4)，同理可得A 2(0, 16)， …4 ∴ 纵坐标为 ＝ ，∴ A 4(0, 256)．二、 填空题11.y = −2x + 6【解答】解：∵ 直线y = −2x 沿y 轴向上平移6个单位长度，所得到的直线解析式是y = −2x + 6.故答案为：y = −2x + 6.12.2或1【解答】解：∵ 直线y = x−a不经过第四象限，∴ −a ≥ 0，∴ a ≤ 0，∴ −4a ≥ 0.∵ ax2 + 2x + 1 = 0，当a ≠ 0时，Δ = b2−4ac = 22−4a = 4−4a > 0，此时方程有2个实数解；当a = 0时，方程为2x + 1 = 0，此时有1个实数解；∴ 方程ax2 + 2x + a = 0有2个或1个实数解.故答案为：2或1.13.5【解答】解：设这三点所在的直线的解析式为y = kx + b.把点(3,0)，(0,−3)代入y = kx + b，得{3k + b = 0,b = −3，{ k = 1,解得b = −3.∴ 这三点所在的直线的解析式为y = x−3.把(m,2)代入y = x−3，得m−3 = 2.{ 解得m = 5.故答案为：5.14.25【解答】解：设一次函数y = kx + b (k ≠ 0)，由题意，得4 = 30k + b ， 12 = 40k + b ， 4 k = ，5 解得： b = −20.4y = x−20 故一次函数的解析式为： 5 .4 当y = 0时，5x−20 = 0，解得x = 25，故旅客最多可免费携带25kg 行李． 故答案为：25．三、 解答题15.解：(1)由题意得：2m + 1 < 0，1m < − 解得：2． (2)将点(−1,1)代入可得：1 = −(2m + 1) + 3 + m ，解得：m = 1，∴ y = 3x + 4.令x = 0，则y = 4，∴ 函数图象经过点(−1,1)，(0,4)，作出函数图象如图所示.{ l 1 1 2 2 l 2 216.解：(1)把点A(6, 3)，B(12, 0)代入直线l 1:y 1 = k 1x + b 1，1{ 6k 1 + b 1 = 3， k = − ， 2 得 12k 1 + b 1 = 0， 解得 b 1 = 6， 1y = − x + 6 ∴ 直线 的表达式为 2 .将A(6, 3)代入直线l 2:y 2 = k 2x ，1 k = 解得 ，1 y = x ∴ 直线 的表达式为2 .(2)由图象可知：不等式k 1x + b 1 < k 2x 的解集为x > 6.17.解：(1)将A(−1,m)和B(n,2)代入一次函数y = 2x−2中，{m = −1 × 2−2,得 2 = 2n−2,{m = −4,解得 n = 2.(2)令y = 0，得2x−2 = 0，解得x = 1，所以该直线与x 轴的交点坐标为(1,0).18. 1 {解：(1)由图象可知y 1过点(0,3)，(3,0)，代入y 1 = kx + b ，得y 1 = −x + 3．y 2过点(0,5)，(−5,0)，代入y 2 = mx + n ，得y 2 = x + 5．{y = −x + 3, {x = −1,联立方程组 y = x + 5, 解得 y = 4,所以y 1和y 2交点的坐标为(−1,4)．(2)依图象可得当y 1 < y 2时，x > −1．19.解：(1)把x = 1代入y = x + 1，得出y = 2，所以点P 的坐标为(1, 2)，函数y = x + 1和y = ax + 3的图象交于点P(1, 2)，即x = 1，y = 2同时满足两个一次函数的解析式．{x−y = −1， {x = 1， 所以关于x ，y 的方程组 {x = 1， ax−y = −3 的解是 y = 2. 故答案为： y = 2.(2)把P(1, 2)代入y = ax + 3中，可得2 = a + 3，解得a =−1． 故答案为：−1.(3)因为函数y = x + 1与x 轴的交点为(−1, 0)，y = −x + 3与x 轴的交点为(3, 0)，所以这两个交点之间的距离为3−(−1) = 4，因为P(1, 2)，所以函数y = x + 1和y = ax + 3的图象与x 轴围成的几何图形的面积为： 1 × 4 × 2 = 42 ． 20.时， ， 解：(1)设y = kx + b(k ≠ 0)，将(25, 110)，(30, 100)代入，{110 = 25k + b ， 得： 100 = 30k + b ， {k = −2， 解得： b = 160，∴ y = −2x + 160.(2)设超市日销售利润为w 元，w = (x−20)(−2x + 160)= −2x 2 + 200x−3200= −2(x−50)2 + 1800，∵ −2 < 0，∴ 当20 ≤ x ≤ 40时，w 随x 的增大而增大，∴ 当x = 40时，w 取得最大值为：w = −2(40−50)2 + 1800 = 1600.答：当每千克水果的售价定为40元时，日销售利润最大，最大利润是1600元. 21.解：(1)∵ 点A (0,15)在直线AB 上，故可设直线AB 的表达式为y = kx + 15.又∵ 点B (20,0)在直线AB 上，∴ 20k + 15 = 0，3k = − ∴ 4，3 ∴ 直线AB 的表达为y = −4x + 15 .(2) 过C 作CM//x 轴交AB 于M ，∵ 点C 的坐标为(m,9)，∴ 点M 的纵坐标为9.3当y = 9 −4x + 15 = 9152 + 202 时， ， 解得x = 8，∴ M(8,9)，∴ CM = |m−8|，∴S △ ABC = S △ AMC + S △ BMC1 = CM ⋅ (y A −y M ) +2 1 CM ⋅ (y M −y B ) 21 = CM ⋅ OA =2 15 |m−8| 2 .∵ S △ ABC = 30，15 ∴ 2 |m−8| = 30，解得m = 4或m = 12 .(3) ①当点P 在线段AB 上时，若点P 在B ，Q 之间，当OQ = OD = 12，且∠POQ = ∠POD 时，△ OPQ ≅ △ OPD .∵ OA = 15，OB = 20，∴ AB = = 25.设△ AOB 中AB 边上的高为h ，则AB ⋅ h = OA ⋅ OB ，∴ h = 12，∴ OQ ⊥ AB ，∴ PD ⊥ OB ，∴ 点P 的横坐标为12.3当x = 12y = −4x + 15 = 6 ∴ P 1(12,6) .若点P 在A ，Q 之间，当PQ = OD = 12，且∠OPQ = ∠POD 时有 △ POO ≅ △ OPD ，则 ，时， ， 则BP = OB = 20，∴ BP:AB = 20:25 = 4:5，4∴ S △ POB = 5S △ AOB .作PH ⊥ OB 于H ，1 S △ POB = 2OB ⋅ PH 1 4 OB ⋅ PH = ∴2 5 1 × OB ⋅ OA2 ，∴ PH = 4 4 OA = 5 5 × 15 = 12 .3 当y = 12时，−4x + 15 = 12， 解得x = 4，∴ P 2(4,12).②当点P 在AB 的延长线上时，若点Q 在B ，P 之间，且PQ = OD ，∠OPQ = ∠POD 时， △ POQ ≅ △ OPD ， 作OM ⊥ AB 于M ，PN ⊥ OB 于N ，则PN = OM = 12，∴ 点P 的纵坐标为−12，3当y = −12−4x + 15 = −12 解得x = 36，∴ P 3(36,−12).若点Q 在BP 的延长线上或BP 的反向延长线上，都不存在满足条件的P ，Q 两点． 综上所述，满足条件的点P 为P 1(12,6)，P 2(4,12)，P 3(36,−12). 22.解：(1)由题意得：(130−100) × 80 = 2400（元），∴ 商家降价前每星期的销售利润为2400元 .(2)y = 130−x × 20 + 80 5 由题意可得：，即y = −4x + 600 ．(3) 设每星期的销售利润为w 元，则w = (x−100)y= (x−100)(−4x + 600)= −4(x−125)2+ 2500，∴ 当每件售价定为125元时，每星期的销售利润最大，最大销售利润是2500元.。
