数学人教版九年级上册图片欣赏

BC //DF ， DE AB ，DEB 90 ，ABC 90 ，
AC 是 O 的直径，ADC 90 ，
BG AD ，AGB 90 ，
ADC AGB ， BG//CD .
7.用反证法证明下列问题：
如图，在 △ABC 中，点 D、E 分别在 AC 、 AB 上， BD 、CE 相交于点 O.求证： BD 和 CE 不可
24.2.1点和圆的位置关系
人教版（2012）九年级上册
壹
Part One
学习目录
学习目录
1
理解并掌握点和圆的三种位置关系
2
理解不在同一直线上的三点确定一个圆及其运用
3
了解三角形的外接圆和三角形外心的概念
4
了解反证法的证明思想
贰
Part Two
探索新知
新课导入
我国射击运动员在奥运会上屡获金牌，为我国赢得荣誉，图是射击靶的示意图，
A 半径 r 的取值范围是： 4 r 4 5 .
故答案为： 4 r 4 5 .

3. 如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，O为原点，∠ABO＝60°，
若△AOB的外接圆与 y 轴交于点D(0，3)．
(1)求∠DAO的度数；
(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．
解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°，
AOC 2ABC 90 ，
OA2 OC 2 AC 2 ，即 2OA2 2 ，
解得： OA 1 ，
6.如图，D 是 ABC 外接圆上的动点，且 B，D 位于 AC 的两侧， DE AB ，垂足为 E，DE 的
延长线交此圆于点 F. BG AD ，垂足为 G，BG 交 DE 于点 H，DC，FB 的延长线交于点 P，

B点关于x轴的对称点C，则A，C两点的坐标关系是
思考：如图，直线l1与l2相交，∠α=60°，点P在∠α内（不在l1、l2上）.
如果A(-3,2)，则B点坐标为______，C点坐标为_____.
猜想：对于任意点A(x,y)，则B点坐标为_______，C点坐
n的最小值为4.因为a 与a关于x轴对称，a 与a 运用坐标探索中心对称与轴对称的关系，探索点绕原点旋转90°的倍数角度的坐标变化规律.
重合，a12与a重合，…，所以，当n=4k(k为正整数)时，an与a重合，所以n的最小值为4.
B点关于x轴的对称点C，则A，C两点的坐标关系是
这节课我们探索用坐标表示旋转角为90°的旋转变换.
d.猜想：把点P(x，y)绕原点分别顺时针旋转 90°，180°，270°，360°后的对应点的坐 标依次是 ___(_y_，__-x_)_，__(_-x_，__-_y_)_，__(-_y_，__x_)_，__(x_，__y_)_. e.仿照上述过程探索把点P(x，y)绕原点分别 逆时针旋转90°, 180°, 270°, 360°后的对 应点的 坐标依次是 __(_-_y_，__x_)，__(_-_x_，__-y_)_，__(y_，__-_x_)_，__(x_，_. y)
a 与a重合，a 与a重合，…，所以，当n=4k(k 仿照上述过程探索把点P(x，y)绕原点分别逆时针旋转90°, 180°, 270°, 360°后的对应点的 坐标依次是
8 _____________________________.
12
为正整数)时，a 与a重合，所以n的最小值为4. 2），作点A关于x轴的对称点，得到点B，再作点B关于y轴的对称点，得到点C.
a.如果A(-3,2)，则B点坐标为__(_-_3_,-_2，) C点坐标为__(_3_,_-.2A)，

离为 17CM或7CM
。
4.如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的是（ D ）
A．50°
B．60°
C .80°
D．100°
5．如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是（ D ）
A．64°
B．58°
C．32°
D．26°
6．已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对
几何语言:
෽ =
෽,
∵
∴ ∠ =பைடு நூலகம்
1
∠.
2
结论
同弧或等弧所对的圆周角相等,
都等于该弧所对的圆心角的一半.
例题分析
（
已知：在⊙O中，AB 所对的圆周角是 ∠C，圆心
角是 ∠AOB. 求证： ∠C =
1
2
∠AOB.
证明： ∵ OA=OC
∴∠A=∠C
又 ∠AOB=∠A＋∠C
∴∠AOB= 2∠C
图来证明刚才我们发现的同弧所对的圆周角与圆心角的大小
关系吗?
你能发现几杆类似的“红旗”图案？
这些对该情况下命题的证明有哪些启示？
证一证
A
A
O
O
C D
D
B
作辅助线
分离右旗
分离左旗
∴∠A=∠C.
∵∠BOC是△AOC的外角，
C ∴∠BOC=∠A+∠C.
（“红旗”图案）
撤消辅助线
还原右旗
闪动角
还原左旗
证明∵OA=OC
∴∠BOC=2∠A.
1
即 ∠BAC = 2∠BOC.
学生完成证明过程，思考交流后一种情况的证明思路，在展
示台上展示学生的证明过程，教师做思路和规范性点评）

下课!
课堂作业：课本 家庭作业：练习册
O
A
B
E
D
∴ CD⊥弦AB ，A⌒D=
⌒
BD
，A⌒C=B⌒C
1.判断下列图形，能否满足垂径定理？
B
B
B
O
O
O
C A
(×)
DC A
DC E
(×)
(√)
注意：定理中的两个条件
（直径，垂直于弦）缺一不可！
DC
O D
A
(√)
2.如图，在圆O中，直径MN⊥AB，垂足
是C，则下列结论中错误的D是（ ）
A.A⌒N=⌒BN B. AC=BC
2
2
OD=OC－CD=R－7.2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得A
C D B
OA2=AD2+OD2
R
即 R2=18.72+（R－7.2）2
O
解得：R≈27．9（m）
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
图一：AC、BD有什么关系？ A C O D B
变式：图二AC＝BD依然成立吗？ (1)
AC
O
将圆心到弦的距离、半径、 弦长构成直角三角形，把问题 转化为直角三角形的问题。
B
A P
O
如图，A⌒B 所在圆的圆心是点O， 过O作OC⊥AB于点D，若CD=4 m， 弦AB=16 m，求此圆的半径.
课本例题
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥 主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m， 拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥 拱的半径（精确到 0.1 m）．
M
C.A⌒M=⌒BM D.OC=CN

b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点
Y △＜0
△=0 △＞0
O
X
探究：利用二次函数图像解一元二次不等式
根据 y x2 2x 3 图象回答下列问题．
• 当 x 取何值时，y=0？
y
1、当 x 取何值时，y＜0？
2、当 x 取何值时，y＞0？
-1
能否用含有x的不等式来描
3
x
述两个问题？
y＝x2－2x－3
探利究用：二次你函能数用图二像解次一函元数二y次=不x2等-2式x-3的
图象求解不等式 x2-2x-3>0和x2-2x-
3 ＜ y04 吗？ 3 2
N1
M
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
-1
-2
-3
利用二次函数图像解一元二次不等式
－3x2 ＋6x － 2＞0
方 程3 x 2 6 x 2 0的 解 是
y
1
3 3
x
x1 1
3 3
,
x2 1
3 3
原不等式的的解集是
o 1
3 3
x 1
3 3
{x1
3 3

x 1
3 3
}
3) 4x2 －4x ＋ 1＞0
解 ： 0
方 程4 x 2 4 x 1 0的 解 是
探究
已知二次函数y=-x2+3x+4的图象如图；
y
(1)x方=程-1-,xx2+=34x+4=0的解
4
是__ ___

y2 (4) －2 ＝0 (5)x2＋2x－3＝1＋x2
【解析】(1)、(4)．
猜测： 下列方程的根是什么？
方程的根：使一元二次方程等号两边相等的未知数的取值 叫作一元二次方程的解（又叫做根）.
思考：
（1）下列哪些数是方程
的根？
－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4
从中你能体会根的作用吗？
（2）若x＝2是方程
的一个根，
你能求出a的值吗？
（提示：根的作用：可以使等号成立.）
例题
【例2】关于x的方程x2-kx-6=0的一个根为x=3，则实数k的值
为（ ）
A．1
B ． -1
C．2
D．-2
【解析】选A. 将x=3代入方程x2-kx-6=0得32-3k-6=0 ，
解得
k=1.
跟踪训练
1．你能根据Βιβλιοθήκη 学过的知识解出下列方程的解吗？2.（衡阳·中考）某农机厂四月份生产零件50万个，第
二季度共生产零件182万个.设该厂五、六月份平均每月的增
长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A.
B．
C．50(1+2x)＝182
D．
【解析】选B.该农机厂五月份生产零件 万个，六月
份生产零件
万个，第二季度共生产零件
万个.
3.（兰州·中考）上海世博会的某纪念品原价168元，
对于上述问题，你能设出未知数，列出相应的方程吗？
1.观察下列方程，你能通过观察得到它们的共同特点吗？
共同特点：（1）等号两边都是整式； （2）整式的最高次数是2次.
2．归纳： （1）方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且 未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次方程； （2）一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整 理，都能化成如下形式 ：

答案 A
图24-1-直径,由圆周角定理的推论可知直径所对的圆周角等
知识点三 圆内接四边形的性质
圆内接多边形
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,则这个多边形叫做圆内接多边形, 这个圆叫做这个多边形的外接圆
圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补
符号语言
如图所示,如果四边形ABCD内接于☉O,那么∠A+∠C=∠B+∠D=180°
方法总结 在与圆的内接四边形有关的计算或证明中,利用圆内接四边形对 角互补进行角度转化是解决问题的关键.
经典例题全解
题型一 构造圆内接四边形求角度 例1 (2019山东德州中考)如图24-1-4-6,点O为线段BC的中点,点A,C,D到点O的距 离相等,若∠ABC=40°,则∠ADC的度数是 ( )
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°.
∵∠BAC=25°,
∴∠B=90°-∠BAC=90°-25°=65°.
∵∠B为
︵
AC
所对的圆周角,且根据翻折的性质知
︵
ABC
所对的圆周角的度数等于∠ADC
的度数,
∴∠ADC+∠B=180°, ∴∠ADC=180°-65°=115°. ∴∠DCA=180°-∠BAC-∠ADC=180°-25°-115°=40°.
例2 (2019辽宁营口中考)如图24-1-4-3,BC是☉O的直径,A,D是☉O上的两点,连接 AB,AD,BD,若∠ADB=70°,则∠ABC的度数是 ( )
A.20°
B.70°
图24-1-4-3
C.30°
D.90°
解析 如图24-1-4-4,连接AC, ∵BC是☉O的直径, ∴∠BAC=90°. ∵∠ACB=∠ADB=70°, ∴∠ABC=90°-70°=20°.故选A.

OD于F.求证：AE=CD=BF
O·
A C
B D
3. ⊙O1与⊙O2为等圆，M是O1O2 的中点，过M作一直线交⊙O1于A、 B ，交⊙O2于C、D 。
求证：A⌒B=C⌒D
B
·O1
E
C AM
D F
·O2
4. 如图，∠BAC=50°，则
∠D+∠E=____2_3__0_°__
5.在Rt△ ABC中，AB=6， BC=8，则这个三角形的外
D
所对的弧也相等
E
如 如图 果，弧⊙ABO等＝1和圆弧⊙C也DO成，2是立那等么圆，
O1
A O2
F
∠E和∠F是什么关系？反过
D
来呢？
C
B
推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
思考： 1、“同圆或等圆”的条件能否去掉？ 2、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个 圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个 圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的 其余各组量也相等。
B
C
E
A
O
D
O
A
B
F
C
D
推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是90°； 90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3 如果三角形一边上的中线等于这条边 的一半，那么这个三角形是直角三角形。
C
E • 什么时候圆周角是直角？
D
反过来呢？
O
• 直角三角形斜边中线有什
A
B 么性质？反过来呢？
已知：点O是ΔABC的外心， ∠BOC＝130°，求∠A的度数。
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……

111
平移变换
轴对称变换
新 疆 的 风 车 田
荷兰的大风车
游 乐 场 的 摩 天 轮
卫星拍摄到的台风“桑 美”的中心旋涡
O
观察: (1)以上现象有什么共同特点? (2)钟表的指针、电扇的风叶在转动过程中， 其形状、大小、位置是否发生变化呢？
O 定点o
动态演示
P
P′
把一个图形绕着某一点o转动一个角
∠AOB的对应角是∠__A_′_O_Ｂ; ′
∠B的对应角是_∠_Ｂ__′;
O
旋转中心是_点__O__;
旋转角是_∠__A_O__A;′
B′
A′ B
A
动态演示
议一议
如图，如果把钟表的指针看做四边形AOBC，它绕O点旋转得 到四边形DOEF. 在这个旋转过程中：
（1）旋转中心是什么? 旋转中心是O （2）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？ 点D和点E的位置 （3）旋转角是什么？ ∠AOD和∠BOE都是旋转角 （4）AO与DO的长有什么关系？BO与EO呢？ AO=DO，BO=EO （5）∠AOD与∠BOE有什么大小关系？
在图中，正方形ABCD与正方形EFGH边长 相等。这个图案可以看作是哪个“基本图案”通过 旋转得到的？
E
A
D
F B
H O
C G
作业： 必做题：
第62页：第1、3、4题 选做题：
第62页：第7、8题
2、不同
运动方向
平移
直线
运动量 的衡量 移动一定距离
旋转
顺时针或 逆时针
转动一定的角度
例题2：△ABC是等边三角形，D是BC边上的一点， △ABD经过旋转后到达△ACE的位置 。
（1）旋转中心是哪一点？

∴CF= 12．在Rt△COF中，OF= OC2 CF2 ，
24 12 5 ∴EF=EO+OF= ，∴ CE EF2 CF2 . 5 5
9 5
5
【例4】如图，AB是⊙O的直径，C．D是⊙O上一 点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延 长线于点E，则∠E等于( B ) A．40° B．50° C．60° D．70°
(1)点在圆内 (2)点在圆上 (3)点在圆外 如果规定点与圆心的距离为d,圆的半径 为r,则d与r的大小关系为:
C
．
．
A．
点与圆的位置关 系
d与r的关系
． B
点在圆内 点在圆上 点在圆外
d＜r d＝r d＞r
2.直线和圆的位置关系:
．
O
．
O l
．
O l
l (1) 相离: 一条直线与一个圆没有公共点,叫做 直线与这个圆相离. (2) 相切: 一条直线与一个圆只有一个公共点,叫 做直线与这个圆相切. (3) 相交: 一条直线与一个圆有两个公共点,叫 做直线与这个圆相交.
定义:顶点在圆周上，两边和圆相交的角， 叫做圆周角.
性质: 同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条
弧所对的圆心角的一半。
D E
O A
1 ADB=∠ ACB = ∠ AEB= AOB 2 在同圆或等圆中，相等的圆周角 C 所对的弧相等 推论： 半圆（或直径）所对的圆 周角是直角，90°的圆周角所 B 对的弦是直径
【分析】如图所示，连接OC, ∵∠BOC与∠CDB是弧BC 所对的圆心角与圆周角， ∴∠BOC=2∠CDB。 又∵∠CDB=20°，∴∠BOC=40°， 又∵CE为圆O的切线，∴OC⊥CE， 即∠OCE=90°, 则 ∠E=90°﹣40°=50°