中考数学试题分项版解析汇编：专题11+四边形问题(第01期)(广西专版)

专题一：四边形的几何综合问题【方法指导】1.平行四边形的判定与性质的作用平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．2.菱形的性质与判定：菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．菱形的四条边都相等，菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．3.矩形的性质与判定：关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．4.正方形：①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．【题型剖析】【考点1】平行四边形的计算与证明【例1】如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF．（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；（2）若∠AFB＝90°，AB＝4，求四边形BEFD的周长．【变式1-1】已知点E、F分别是□ABCD的边BC、AD的中点．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若BC＝10，∠BAC＝90°，求▱AECF的周长．【变式1-2】如图，四边形ABCD是平行四边形，分别以AB，CD为边向外作等边△ABE和△CDF，连接AF，CE．求证：四边形AECF为平行四边形．【考点2】菱形的计算与证明【例2】图，点E、F分别在□ABCD的边AB、CD的延长线上，且BE＝DF，连接AC、EF、AF、CE，AC与EF交于点O．（1）求证：AC、EF互相平分；（2）若EF平分∠AEC，判断四边形AECF的形状并证明．【变式2-1】已知：如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AE＝6，BF＝8，平行四边形ABCD的面积是36，求AD的长．【变式2-2】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，O为BC中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接BE，CE．（1）求证：四边形DCEB为菱形；（2）若AC＝6，∠DCB＝30°，求四边形DCEB的面积．【变式2-3】如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交BC、AD于点F、E，垂足为O．（1）求证：四边形AFCE为菱形；（2）若AB＝4，BC＝8，求菱形AFCE的面积．【考点3】矩形的计算与证明【例3】在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形EBFD是矩形．（2）若AE＝3，DE＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．【变式3-1】（2019•建湖县二模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，对角线AC、BD交于点O，AO＝BO，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB＝2，求△OEC的面积．【变式3-2】如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若BF＝8，DF＝4，求CD的长．【考点4】正方形综合问题【例4】．已知，正方形ABCD，∠EAF＝45°，（1）如图1，当点E，F分别在边BC，CD上，连接EF，求证：EF＝BE+DF；（2）如图2，点M，N分别在边AB，CD上，且BN＝DM，当点E，F分别在BM，DN上，连接EF，请探究线段EF，BE，DF之间满足的数量关系，并加以证明；（3）如图3，当点E，F分别在对角线BD，边CD上，若FC＝2，则BE的长为．【变式4-1】正方形ABCD 的边长为1，点O 是BC 边上的一个动点（与B ，C 不重合），以O 为顶点在BC 所在直线的上方作∠MON ＝90°（1）当OM 经过点A 时，①请直接填空：ON （可能，不可能）过D 点：（图1仅供分析）②如图2，在ON 上截取OE ＝OA ，过E 点作EF 垂直于直线BC ，垂足为点F ，作EH ⊥CD 于H ，求证：四边形EFCH 为正方形；③如图2，将②中的已知与结论互换，即在ON 上取点E （E 点在正方形ABCD 外部），过E 点作EF 垂直于直线BC ，垂足为点F ，作EH ⊥CD 于H ，若四边形EFCH 为正方形，那么OE 与OA 是否相等？请说明理由；（2）当点O 在射线BC 上且OM 不过点A 时，设OM 交边BA 的延长线于G ，且OG ＝2．在ON 上存在点P ，过P 点作PK 垂直于直线BC ，垂足为点K ，使得S △PKO=41S △OBG ，连接GP ，则当BO 为何值时，四边形PKBG 的面积最大？最大面积为多少？【变式4.2】如图，点E 是正方形ABCD 外一点，点F 是线段AE 上一点，且△EBF 是等腰直角三角形，其中∠EBF ＝90°，连接CE 、CF ．（1）求证：△ABF ≌△CBE ；（2）判断CE 与EF 的位置关系，并说明理由．【考点5】四边形综合问题【例5】如图，正方形ABCD 的边长为a ，点E 为边BC 的中点，点F 在边CD 上，连接AE ，EF ．（1）当CF=41a 时，求证：∠AEF ＝90°； （2）若CF ＝2DF ，连接AF ．求∠EAF 的度数；（3）当∠AEF ＝∠DAE 时，求△CEF 的面积（用含a 的式子表示）．【变式5.1】如图，在矩形ABCD中，已知AB=23，AD＝2，点P是对角线BD上一动点（不与B，D重合），连接AP，过点P作PE⊥AP，交DC于点E．（1）求证：∠P AD＝∠PEC；（2）当点P是BD的中点时，求DE的值；（3）在点P运动过程中，当DE=3时，求BP的值．【变式5.2】如图：在▱ABCD中，AC⊥AB，且AD＝5，AB＝4，如果将△ACD绕着点A顺时针方向旋转一个角度（小于180°），如（1）图得到△AC'D'，则在旋转过程中．（1）线段C'D'经过原来点C的位置（填“能”或“不能”）；（2）如（2）图，当C'D'∥BC时，AC'与BC相交于点E，则；（3）如（3）图，当C'D'经过点B时，AD'与BC相交于点F，求△ABF的面积；（4）如（4）图，当C'落在BC上时，记∠CAF＝∠1，求sin∠1的值．【达标检测】1．如图1，已知点O 在四边形ABCD 的边AB 上，且OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝2，OC 平分∠BOD ，与BD 交于点G ，AC 分别与BD 、OD 交于点E 、F ．（1）求证：OC ∥AD ；（2）如图2，若DE ＝DF ，求AF AE 的值；（3）当四边形ABCD 的周长取最大值时，求DF DE的值．2．如图，线段AB＝8，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使∠EAP＝∠BAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）．（1）求证：△AEP≌△CEP；（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；（3）求△AEF的周长．专题一：四边形的几何综合问题【方法指导】1.平行四边形的判定与性质的作用平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．2.菱形的性质与判定：菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．菱形的四条边都相等， 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．3.矩形的性质与判定：关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．4.正方形：①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．【题型剖析】 【考点1】平行四边形的计算与证明 【例1】如图，已知在△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，连结DF ，EF ，BF ．（1）求证：四边形BEFD 是平行四边形；（2）若∠AFB ＝90°，AB ＝4，求四边形BEFD 的周长．【解析】（1）证明：∵D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，∴DF ，EF 分别是△ABC 的中位线，∴DF ∥BC ，EF ∥AB ，∴DF ∥BE ，EF ∥BD ，∴四边形BEFD 是平行四边形；（2）解：∵∠AFB ＝90°，D 是AB 的中点，AB ＝4，∴DF ＝DB ＝DAAB ＝2， ∵四边形BEFD 是平行四边形，∴四边形BEFD 是菱形，∵DB ＝2，∴四边形BEFD 的周长为8．【变式1-1】已知点E 、F 分别是□ABCD 的边BC 、AD 的中点．（1）求证：四边形AECF 是平行四边形；（2）若BC ＝10，∠BAC ＝90°，求▱AECF 的周长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∵点E 、F 分别是▱ABCD 的边BC 、AD 的中点，∴AF=21AD ，CE=21BC ，∴AF ＝CE ，AF ∥CE ，∴四边形AECF 是平行四边形；（2）解：∵BC ＝10，∠BAC ＝90°，E 是BC 的中点．∴AE ＝CE=21BC ＝5， ∴四边形AECF 是菱形，∴▱AECF 的周长＝4×5＝20．【变式1-2】如图，四边形ABCD 是平行四边形，分别以AB ，CD 为边向外作等边△ABE 和△CDF ，连接AF ，CE ．求证：四边形AECF 为平行四边形．【解答】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，∠ABC ＝∠ADC∵△ABE 和△CDF 是等边三角形∴BE ＝EA ＝AB ＝CD ＝CF ＝DF ，∠EBA ＝∠CDF ＝60°∴∠ADF ＝∠EBC ，且AD ＝BC ，BE ＝DF ∴△ADF ≌△CBE （SAS ）∴EC ＝AF ，且AE ＝CF ∴四边形AECF 为平行四边形【考点2】菱形的计算与证明【例2】图，点E 、F 分别在□ABCD 的边AB 、CD 的延长线上，且BE ＝DF ，连接AC 、EF 、AF 、CE ，AC 与EF 交于点O ．（1）求证：AC 、EF 互相平分；（2）若EF 平分∠AEC ，判断四边形AECF 的形状并证明．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝DC ，AB ∥DC ．又∵BE ＝DF ，∴AB +BE ＝DC +DF ，即AE ＝CF ．∵AE ＝CF ，AE ∥CF ， ∴四边形AECF 是平行四边形． ∴AC 、EF 互相平分．（2）四边形AECF 是菱形．证明如下：∵AB ∥DC ，∴∠AEO ＝∠CFO ．∵EF 平分∠AEC ，∴∠AEO ＝∠CEO ．∴∠CEO ＝∠CFO ． ∴CE ＝CF ．∵四边形AECF 是平行四边形，∴四边形AECF 是菱形．【变式2-1】如图，在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，∠ABC 的平分线交AD 于点F ．（1）求证：四边形ABEF 是菱形；（2）若AE ＝6，BF ＝8，平行四边形ABCD 的面积是36，求AD 的长．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ， ∴∠DAE ＝∠AEB ，∵∠BAD 的平分线交BC 于点E ，∴∠DAE ＝∠BAE ，∴∠BAE ＝∠BEA ，∴BA ＝BE ，同理：AB ＝AF ∴AF ＝BE ， 又∵AF ∥BE ， ∴四边形ABEF 是平行四边形，∵AB ＝AF ，∴四边形ABEF 是菱形（2）如图，过A 作AH ⊥BE ，∵四边形ABEF 是菱形，∴AO ＝EO =21AE ＝3，BO ＝FO =21BF ＝4，AE ⊥BF ， ∴BE =22EO BO =5， ∵S 菱形ABEF =21AE •BF =21×6×8＝24，∴BE •AH ＝24，∴AH =524， ∴S 平行四边形ABCD ＝AD ×AH ＝36，∴AD =215． 【变式2-2】如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 为AB 中点，O 为BC 中点，连接DO 并延长到点E ，使OE ＝OD ，连接BE ，CE ．（1）求证：四边形DCEB 为菱形；（2）若AC ＝6，∠DCB ＝30°，求四边形DCEB 的面积．【解析】（1）证明：∵O 是BC 边中点，∴OC ＝OB ，又∵OE ＝OD ，∴四边形DCEB 是平行四边形．∵Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 为AB 中点，∴CD ＝BD ，∴四边形DCEB 为菱形；（2）解：∵CD ＝BD ，∠DCB ＝30°，∴∠ABC ＝∠DCB ＝30°，∵Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，∠ABC ＝30°，∴AB ＝12，BC =63．∵D 为AB 中点，O 是BC 中点，∴DO =21AC ＝3，∴S 菱形DCEB ＝BC •DO =183． 【变式2-3】如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线分别交BC 、AD 于点F 、E ，垂足为O ．（1）求证：四边形AFCE 为菱形；（2）若AB ＝4，BC ＝8，求菱形AFCE 的面积．【解析】（1）证明：∵EF 垂直平分AC ，∴OA ＝OC ，∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ∥BC ， ∴∠EAO ＝∠FCO ，AOE ＝∠COF ，∴△AOE ≌△COF ，∴OE ＝OF ∴四边形AFCE 为菱形；（2）解：设AF ＝x ，∵AB ＝4，BC ＝8，∴BF ＝8﹣x ，∴AF 2＝AB 2+BF 2，∴x 2＝42+（8﹣x ）2，∴x ＝5，∴S 菱形AFCE ＝FC •AB ＝5×4＝20，∴菱形面积为20．【考点3】矩形的计算与证明【例3】在□ABCD 中，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，点F 在边CD 上，DF ＝BE ，连接AF ，BF ．（1）求证：四边形EBFD 是矩形．（2）若AE ＝3，DE ＝4，DF ＝5，求证：AF 平分∠DAB ．【解析】证明：（1）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴DC ∥AB ，又∵DF ＝BE ，∴四边形DEBF 为平行四边形，又∵DE ⊥AB ，∴∠DEB ＝90°，∴四边形DEBF 为矩形；（2）∵四边形DEBF 为矩形，∴∠DEB ＝90°，∵AE ＝3，DE ＝4，DF ＝5∴AD=22DE AE =5，∴AD ＝DF ＝5，∴∠DAF ＝∠DF A ， ∵AB ∥CD ，∴∠F AB ＝∠DF A ，∴∠F AB ＝∠DF A ，∴AF 平分∠DAB ．【变式3-1】如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝∠ADC ，对角线AC 、BD 交于点O ，AO ＝BO ，DE 平分∠ADC 交BC 于点E ，连接OE ．（1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）若AB ＝2，求△OEC 的面积．【解答】（1）证明：∵AD ∥BC ，∴∠ABC +∠BAD ＝180°，∠ADC +∠BCD ＝180°，∵∠ABC ＝∠ADC ，∴∠BAD ＝∠BCD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD ， ∵OA ＝OB ，∴AC ＝BD ，∴四边形ABCD 是矩形．（2）解：作OF ⊥BC 于F ，如图所示．∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝2，∠BCD ＝90°，AO ＝CO ，BO ＝DO ，AC ＝BD ，∴AO ＝BO ＝CO ＝DO ，∴BF ＝FC ，∴OF =21CD ＝1，∵DE 平分∠ADC ，∠ADC ＝90°， ∴∠EDC ＝45°，在Rt △EDC 中，EC ＝CD ＝2，∴△OEC 的面积=21•EC •OF ＝1． 【变式3-2】如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，延长BC 至F ，使CF ＝BE ，连接DF ．（1）求证：四边形AEFD 是矩形；（2）若BF ＝8，DF ＝4，求CD 的长．【解析】（1）证明：∵在菱形ABCD 中，∴AD ∥BC 且AD ＝BC ，∵BE ＝CF ，∴BC ＝EF ，∴AD ＝EF ，∵AD ∥EF ，∴四边形AEFD 是平行四边形，∵AE ⊥BC ，∴∠AEF ＝90°，∴四边形AEFD 是矩形；（2）解：设BC ＝CD ＝x ，则CF ＝8﹣x在Rt △DCF 中，∵x 2＝（8﹣x ）2+42 ，∴x ＝5，∴CD ＝5．【考点4】正方形综合问题【例4】．已知，正方形ABCD ，∠EAF ＝45°，（1）如图1，当点E ，F 分别在边BC ，CD 上，连接EF ，求证：EF ＝BE +DF ；（2）如图2，点M，N分别在边AB，CD上，且BN＝DM，当点E，F分别在BM，DN上，连接EF，请探究线段EF，BE，DF之间满足的数量关系，并加以证明；（3）如图3，当点E，F分别在对角线BD，边CD上，若FC＝2，则BE的长为2．【解析】（1）证明：如图1中，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，∴△ADF≌△ABG，∴AF＝AG，DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，∵正方形ABCD，∴∠D＝∠BAD＝∠ABE＝90°，AB＝AD，∴∠ABG＝∠D＝90°，即G、B、C在同一直线上，∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝90°﹣45°＝45°，∴∠EAG＝∠BAG+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝45°，即∠EAG＝∠EAF，∴△EAG≌△EAF（SAS），∴EG＝EF，∵BE+DF＝BE+BG＝EG，∴EF＝BE+DF．（2）结论：EF2＝BE2+DF2，理由：将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABH，（如图2）∴△ADF≌△ABH，∴AF＝AH，DF＝BH，∠DAF＝∠BAH，∠ADF＝∠ABH，∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝90°﹣45°＝45°，∴∠EAH＝∠BAH+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝45°，即∠EAH＝∠EAF，∴△EAH≌△EAF（SAS），∴EH＝EF，∵BN＝DM，BN∥DM，∴四边形BMDN是平行四边形，∴∠ABE＝∠MDN，∴∠EBH＝∠ABH+∠ABE＝∠ADF+∠MDN＝∠ADM＝90°，∴EH2＝BE2+BH2，∴EF2＝BE2+DF2，（3）作△ADF的外接圆⊙O，连接EF、EC，过点E分别作EM⊥CD于M，EN⊥BC于N（如图3）．∵∠ADF＝90°，∴AF为⊙O直径，∵BD为正方形ABCD对角线，∴∠EDF＝∠EAF＝45°，∴点E在⊙O上，∴∠AEF＝90°，∴△AEF 为等腰直角三角形，∴AE ＝EF ，∴△ABE ≌△CBE （SAS ），∴AE ＝CE ，∴CE ＝EF ，∵EM ⊥CF ，CF ＝2，∴CM =21CF ＝1， ∵EN ⊥BC ，∠NCM ＝90°，∴四边形CMEN 是矩形∴EN ＝CM ＝1，∵∠EBN ＝45°，∴BE =2EN =2．【变式4-1】正方形ABCD 的边长为1，点O 是BC 边上的一个动点（与B ，C 不重合），以O 为顶点在BC 所在直线的上方作∠MON ＝90°（1）当OM 经过点A 时，①请直接填空：ON （可能，不可能）过D 点：（图1仅供分析）②如图2，在ON 上截取OE ＝OA ，过E 点作EF 垂直于直线BC ，垂足为点F ，作EH ⊥CD 于H ，求证：四边形EFCH 为正方形；③如图2，将②中的已知与结论互换，即在ON 上取点E （E 点在正方形ABCD 外部），过E 点作EF 垂直于直线BC ，垂足为点F ，作EH ⊥CD 于H ，若四边形EFCH 为正方形，那么OE 与OA 是否相等？请说明理由；（3）当点O 在射线BC 上且OM 不过点A 时，设OM 交边BA 的延长线于G ，且OG ＝2．在ON 上存在点P ，过P 点作PK 垂直于直线BC ，垂足为点K ，使得S △PKO =41S △OBG ，连接GP ，则当BO 为何值时，四边形PKBG 的面积最大？最大面积为多少？【解析】（1）①若ON 过点D ，则OA ＞AB ，OD ＞CD ，∴OA 2＞AD 2，OD 2＞AD 2，∴OA 2+OD 2＞2AD 2≠AD 2，∴∠AOD ≠90°，这与∠MON ＝90°矛盾，∴ON 不可能过D 点，故答案为：不可能；②如图2中，∵EH ⊥CD ，EF ⊥BC ，∴∠EHC ＝∠EFC ＝90°，且∠HCF ＝90°，∴四边形EFCH 为矩形，∵∠MON ＝90°，∴∠EOF ＝90°﹣∠AOB ，在正方形ABCD 中，∠BAO ＝90°﹣∠AOB ，∴∠EOF ＝∠BAO ，在△OFE 和△ABO 中，，∴△OFE ≌△ABO （AAS ），∴EF ＝OB ，OF ＝AB ，又OF ＝CF +OC ＝AB ＝BC ＝BO +OC ＝EF +OC ，∴CF ＝EF ，∴四边形EFCH 为正方形； ③结论：OA ＝OE ．理由：如图2﹣1中，连接EC ，在BA 上取一点Q ，使得BQ ＝BO ，连接OQ ．∵AB ＝BC ，BQ ＝BO ，∴AQ ＝OC ，∵∠QAO ＝∠EOC ，∠AQO ＝∠ECO ＝135°，∴△AQO ≌△OCE （ASA ），∴AO ＝OE ．（2）如备用图，∵∠POK ＝∠OGB ，∠PKO ＝∠OBG ，∴△PKO ∽△OBG ，∵S △PKO =41S △OBG ，∴41)(2==∆∆OG OP S S OBG PKO ，∴OP ＝1， ∴S △POG =21OG •OP =21×1×2＝1， 设OB ＝a ，BG ＝b ，则a 2+b 2＝OG 2＝4， ∴b =24a -， ∴S △OBG =21ab =21a 24a -=21244a a +-=214)2(22+--a ∴当a 2＝2时，△OBG 有最大值1，此时S △PKO =41S △OBG =41， ∴四边形PKBG 的最大面积为1+1+41=49． ∴当BO 为2时，四边形PKBG 的面积最大，最大面积为49． 【变式4.2】如图，点E 是正方形ABCD 外一点，点F 是线段AE 上一点，且△EBF 是等腰直角三角形，其中∠EBF ＝90°，连接CE 、CF ．（1）求证：△ABF ≌△CBE ；（2）判断CE 与EF 的位置关系，并说明理由．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，∴∠ABF +∠FBC ＝90°，∵△FBE 是等腰直角三角形，∠EBF ＝90°，∴BF ＝BE ，∠CBE +∠FBC ＝90°，∴∠ABF ＝∠CBE ，∴△ABF ≌△CBE （SAS ）；（4）CE 与EF 的位置关系是互相垂直，理由如下：由（1）知，△ABF ≌△CBE ，则∠F AB ＝∠ECB ，∵∠AGB ＝∠GCF +∠GFC ，∠AGB +∠F AB ＝90°，∴∠GCF +∠GFC +∠F AB ＝90°，∴∠GCF +∠GFC +∠ECB ＝90°，∴∠FEC ＝90°，即CE 与EF 的位置关系是互相垂直． 【考点5】四边形综合问题 【例5】如图，正方形ABCD 的边长为a ，点E 为边BC 的中点，点F 在边CD 上，连接AE ，EF ．（1）当CF=41a 时，求证：∠AEF ＝90°； （2）若CF ＝2DF ，连接AF ．求∠EAF 的度数；（3）当∠AEF ＝∠DAE 时，求△CEF 的面积（用含a 的式子表示）．【解析】（1）证明：∵正方形ABCD 的边长为a ，点E 为边BC 的中点，∴BE ＝CE =21a ，∠ABC ＝∠ECF ＝90°，∵CF =41a ，∴2==CFBE EC AB ， ∴△ABE ∽△ECF ，∴∠BAE ＝∠CEF ，∵∠BAE +∠AEB ＝90°，∴∠CEF +∠AEB ＝90°， ∴∠AEF ＝90°；（2）将△ABE △绕点A 点逆时针旋转90°，如图1，则AE ＝AE '，BE ＝DE '，∠E 'AD ＝∠EAB ，∠ADE '＝∠ABE ＝90°，∵∠ADF ＝90°，∴点F 、D 、E '三点在同一直线上，∵CF ＝2DF ，∴CF =32a ，DF =31a ，CE ＝BE ＝DE '=21a ， ∴E 'F =65a ，EF=22CF CE +=65a ，∴EF ＝E 'F ， ∵AE ＝AE '，AF ＝AF ，∴△AEF ≌△AE 'F （SSS ），∴∠EAF ＝∠E 'AF '=21∠EAE '＝45°； （3）过A 作AG ⊥EF ，如图2，∵AD ∥BC ，∴∠DAE ＝∠AEB ，∵∠DAE ＝∠AEF ，∴∠AEB ＝∠AEF ，∵∠ABE ＝∠AGE ＝90°， ∵AE ＝AE ，∴△ABE ≌△AGE （AAS ），∴BE ＝GE '=21a ，AB ＝AG ， ∵AB ＝AD ，∴AD ＝AG ，∵AF ＝AF ，∴Rt △ADF ≌Rt △AGF （HL ），∴DF ＝GF ，设CF ＝x ，则GF ＝DF ＝a ﹣x ，∴EF '=21a+a ﹣x =23a ﹣x ，∵CE 2+CF 2＝EF 2，∴222)23()21(a x a -=+， 解得，x =32a ，∴△CEF 的面积=21CE ·CF=21×21a ×32a=61a 2． 【变式5.1】如图，在矩形ABCD 中，已知AB =23，AD ＝2，点P 是对角线BD 上一动点（不与B ，D 重合），连接AP ，过点P 作PE ⊥AP ，交DC 于点E ．（1）求证：∠P AD ＝∠PEC ；（2）当点P 是BD 的中点时，求DE 的值；（3）在点P 运动过程中，当DE =3时，求BP 的值．【解析】（1）证明：∵PE ⊥AP ，∴∠APE ＝90°，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADC ＝90°，在四边形ADEP 中，∠ADE +∠DEP +∠APE +∠DAP ＝360°，∴∠DEP +∠DAP ＝360°﹣90°﹣90°＝180°，又∵∠DEP +∠PEC ＝180°，∴∠P AD ＝∠PEC ；（2）解：∵四边形ABCD 是矩形，AB=23，AD ＝2，∴tan ∠ADB=3232==AD AB ， ∴∠BAD ＝60°，连接AC ，如图1所示：∵点P 是BD 的中点，四边形ABCD 是矩形， ∴点P 为AC 与BD 的交点，∴△ADP 为等边三角形，∴AP ＝AD ＝2，∵AE ＝AE ，∴Rt △ADE ≌Rt △APE （HL ），∴∠EAD ＝∠EAP ＝30°，∴tan ∠EAD =332==DE AD DE ，∴DE=332； （3）解：过点P 作PG ⊥AB 于G ，GP 的延长线交DC 于H ，如图2所示：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥DC ，∴PG ⊥DC ，∴四边形BCHG 是矩形，∴GH ＝BC ＝2， 设PG ＝a ，则PH ＝GH ﹣PH ＝2﹣a ，在Rt △BGP 中，tan ∠PBG=33322===AB AD BG PG ，， ∴BG=3PG=3a ，∴AG ＝AB ﹣BG ＝23－3a=3（2﹣a ），EH ＝DH ﹣DE ＝23－3a －3=3－3a ∵PG ⊥DC ，∴∠APG +∠EPH ＝90°，∵∠APG +∠P AG ＝90°，∴∠EPH ＝∠P AG ，∵∠AGP ＝∠PHE ＝90°，∴△AGP ∽△PHE ，∴EH PH PG AG =，即a a a a 332332--=-， 解得：a=43，∴BP ＝2PG=23． 【变式5.2】如图：在▱ABCD 中，AC ⊥AB ，且AD ＝5，AB ＝4，如果将△ACD 绕着点A 顺时针方向旋转一个角度（小于180°），如（1）图得到△AC 'D '，则在旋转过程中．（1）线段C 'D ' 不能 经过原来点C 的位置（填“能”或“不能”）； （2）如（2）图，当C 'D '∥BC 时，AC '与BC 相交于点E ，则41'=AE E C ； （3）如（3）图，当C 'D '经过点B 时，AD '与BC 相交于点F ，求△ABF 的面积；（4）如（4）图，当C '落在BC 上时，记∠CAF ＝∠1，求sin ∠1的值．【解析】（1）如（1）图，延长AC 交C 'D '于M ，∵AC ⊥AB ，∴∠CAB ＝90°，在▱ABCD 中，CD ∥AB ，∴∠ACD ＝∠CAB ＝90°，由旋转得：∠C '＝∠ACD ＝90°，AC ＝AC '，∴AM ＞AC '，∴线段C 'D '不能经过原来点C 的位置；（2）如（2）图：∵C 'D '∥BC ，且∠C '＝90°，∴∠AEC ＝∠C '＝90°，在▱ABCD 中，BC ＝AD ＝5，Rt △CAB 中，AC=2245-=3，∵S △ABC=21BC •AE =21AC •AB ∴21×5AE ＝21×3×4∴AE =512，∵AC '＝AC ＝3，∴C 'E ＝3－512=53， ∴4151253'=÷=AE E C （3）如（3）图，过A 作AE ⊥BC 于E ，∵AD ∥BC ，∴AE ⊥AD ，∴∠DAE ＝90°，由（2）知：AE =512， ∵AB ＝4，∴BE=22AE AB -=22)512(4-=516， 由旋转得：∠DAF ＝∠CAC '，∴∠DAF ﹣∠DAE ＝∠CAC '﹣∠CAB ，即∠EAF ＝∠BAC '，Rt △ABC '中，AB ＝4，AC '＝3，∴BC '=73422=-，∵tan ∠BAC '＝tan ∠EAF ，∴AE EF AC BC =''，即，51237EF =∴EF ＝574， ∴BF ＝BE ﹣EF=516－574，∴S △ABF =21BF •AE =21(=516－574)×512=2572496-； （4）如（4）图，过A 作AE ⊥BC 于E ，过F 作FH ⊥AC 于H ，由旋转得：∠CAC '＝∠DAD '，∠DAC ＝∠D 'AC '，∵AC ＝AC '，AE ⊥CC '，∴CE ＝C 'E=59，∠ACC '＝∠AC 'C ＝∠D 'AC '，∵∠AC 'D '＝∠AC 'C +∠FC 'D '＝∠D '+∠D 'AC '＝90°， ∴∠D '＝∠FC 'D '，∴AF ＝FD '＝C 'F=25，∴CF ＝2CE ﹣C 'F ＝2×59－25=1011， ∵S △ACF =21AC •FH =21CF •AE ，∴21×3FH =21×1011×512，，∴FH=2522， ∴sin ∠1=1254425522=÷=AF FH ． 【达标检测】1．如图1，已知点O 在四边形ABCD 的边AB 上，且OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝2，OC 平分∠BOD ，与BD 交于点G ，AC 分别与BD 、OD 交于点E 、F ．（1）求证：OC ∥AD ；（2）如图2，若DE ＝DF ，求AFAE 的值； （3）当四边形ABCD 的周长取最大值时，求DF DE 的值． 【解析】（1）证明：∵AO ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ADO ，∵OC 平分∠BOD ，∴∠DOC ＝∠COB ，又∵∠DOC +∠COB ＝∠OAD +∠ADO ，∴∠ADO ＝∠DOC ，∴CO ∥AD ；（2）解：∵OA ＝OB ＝OD ，∴∠ADB ＝90°，设∠DAC ＝α，则∠ACO ＝∠DAC ＝α．∵OA ＝OD ，DA ∥OC ，∴∠ODA ＝∠OAD ＝2α，∴∠DFE ＝3α，∵DF ＝DE ，∴∠DEF ＝∠DFE ＝3α，∴4α＝90°，∴α＝22.5°，∴∠DAO ＝45°，∴△AOD 和△ABD 为等腰直角三角形，∴AD=2AO ，∴2=AOAD ， ∵DE ＝DF ，∴∠DFE ＝∠DEF ，∵∠DFE ＝∠AFO ，∴∠AFO ＝∠AED ，又∠ADE ＝∠AOF ＝90°，∴△ADE ∽△AOF ，∴2==AOAD AF AE ． （3）解：∵OD ＝OB ，∠BOC ＝∠DOC ，∴△BOC ≌△DOC （SAS ），∴BC ＝CD ，设BC ＝CD ＝x ，CG ＝m ，则OG ＝2﹣m ，∵OB 2﹣OG 2＝BC 2﹣CG 2，∴4﹣（2﹣m ）2＝x 2﹣m 2，解得：m=241x ，∴OG ＝2－241x ，∵OD ＝OB ，∠DOG ＝∠BOG ， ∴G 为BD 的中点，又∵O 为AB 的中点，∴AD ＝2OG ＝4－221x ， ∴C 四边形ABCD =2BC +AD +AB ＝2x +4－221x +4=－221x +2x +8=2)2(21--x +10，∵021<-，∴x ＝2时，四边形ABCD 的周长有最大值为10．∴BC ＝2，∴△BCO 为等边三角形， ∴∠BOC ＝60°，∵OC ∥AD ，∴∠DAO ＝∠COB ＝60°，∴∠ADF ＝∠DOC ＝60°，∠DAE ＝30°，∴∠AFD ＝90°，∴33=DA DE ，DF=21DA ，∴332=DF DE ． 2．如图，线段AB ＝8，射线BG ⊥AB ，P 为射线BG 上一点，以AP 为边作正方形APCD ，且点C 、D 与点B 在AP 两侧，在线段DP 上取一点E ，使∠EAP ＝∠BAP ，直线CE 与线段AB 相交于点F （点F 与点A 、B 不重合）．（1）求证：△AEP ≌△CEP ；（2）判断CF 与AB 的位置关系，并说明理由；（3）求△AEF 的周长．【解析】（1）证明：∵四边形APCD 正方形，∴DP 平分∠APC ，PC ＝P A ，∴∠APD ＝∠CPD ＝45°，∴△AEP ≌△CEP （SAS ）；（2）CF ⊥AB ，理由如下：∵△AEP ≌△CEP ，∴∠EAP ＝∠ECP ，∵∠EAP ＝∠BAP ，∴∠BAP ＝∠FCP ，∵∠FCP +∠CMP ＝90°，∠AMF ＝∠CMP ，∴∠AMF +∠P AB ＝90°， ∴∠AFM ＝90°，∴CF ⊥AB ；（3）过点 C 作CN ⊥PB ．∵CF ⊥AB ，BG ⊥AB ，∴FC ∥BN ，∴∠CPN ＝∠PCF ＝∠EAP ＝∠P AB ， 又AP ＝CP ，∴△PCN ≌△APB （AAS ），∴CN ＝PB ＝BF ，PN ＝AB ，∵△AEP ≌△CEP ，∴AE ＝CE ，∴AE +EF +AF ＝CE +EF +AF ＝BN +AF ＝PN +PB +AF ＝AB +CN +AF ＝AB +BF +AF＝2AB ＝16．。

第 ７题图 ８ ． （ ２ ０ １ ４桂林 ２ １ 题８ 分） 在Ａ Ｂ Ｃ Ｄ中， 对角线 Ａ Ｃ 、 Ｂ Ｄ交于 点Ｏ ， 过点 Ｏ作直线 Ｅ Ｆ分别交线段 Ａ Ｄ 、 Ｂ Ｃ于点 Ｅ 、 Ｆ ． （ １ ） 根据题意， 画出图形， 并标上正确的字母； 獉獉 （ ２ ） 求证： Ｄ Ｅ＝ Ｂ Ｆ ． ９ ．（ ２ ０ １ ４ 贺州 ２ １题 ７分） 如图， 四边形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ是平行四边 形， Ｅ 、 Ｆ是对角线 Ｂ Ｄ上的点， ＝ ． ∠１ ∠２
．（ ２ ０ １ ２ 贺州 ７题 ３分） 在 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ中， Ｅ ２ ２ Ｄ 的 三 等 分 点， Ａ Ｅ＝ Ａ Ｄ ， 连接 为Ａ ３ Ｅ ， 交Ａ Ｃ于点 Ｆ ， Ａ Ｃ＝ １ ２ ， 则Ａ Ｆ为 Ｂ 第 ２题图 ㊀㊀） （ ． ４ Ｂ ． ４ ． ８ Ｃ ． ５ ． ２ Ｄ ． ６ Ａ ３ ．（ ２ ０ １ ３ 钦州 １ １ 题 ３分） 如图， 图 ①、 图 ②、 图 ③ 分别表示 乙、 丙三人由 Ａ地到 Ｂ地的路线图（ 箭头表示行进的 甲、 方向） ． 其中 Ｅ为 Ａ Ｂ的中点， Ａ Ｈ＞Ｈ Ｂ ． 判断三人行进路 ㊀㊀） （ 线长度的大小关系为 Ａ ．甲 ＜ 乙＜ 丙 Ｂ ．乙 ＜ 丙＜ 甲 ．丙 ＜ 乙＜ 甲 Ｄ ．甲 ＝ 乙＝ 丙 Ｃ 第３ 题图 ４ ．（ ２ ０ １ ４南 宁 １ １题 ３分 ）如 图， 在 Ｂ Ｃ Ｄ中， 点 Ｅ是 Ａ Ｄ的中点， 延长 Ａ Ｂ Ｃ到点 Ｆ ， 使 Ｃ Ｆ ʒ Ｂ Ｃ＝１ ʒ ２ ， 连接 第４ 题图 ４ Ｄ Ｆ ， Ｅ Ｃ ． 若Ａ Ｂ＝ ５ ， Ａ Ｄ＝ ８ ， ｓ ｉ ｎ Ｂ＝ ， ５ 则Ｄ Ｆ的长等于 （ ㊀㊀） Ａ ．槡 １ ０ Ｂ ．槡 １ ５ Ｃ ．槡 １ ７ Ｄ ． ２ ５ 槡 ５ ．（ ２ ０ １ ４崇 左 １ ８题 ３分） 如 图， Ａ （ ４ ， ） ， Ｂ （ ３ ， ３ ） ， 以Ａ Ｏ ， Ａ Ｂ为边作平行 ０ 四边形 Ｏ Ａ Ｂ Ｃ ， 则经过 Ｃ点的反比例 函数的解析式为㊀㊀㊀㊀． 第 ５题图 ６ ．（ ２ ０ １ ４河 池 １ ８题 ３分） 在 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｓ ４ ， Ａ Ｅ 平 分 ∠Ｂ Ａ Ｃ ， 交 Ｂ Ｃ于 Ｅ ， 沿 Ａ Ｅ将 Ｂ Ｃ Ｄ ＝２ Ａ 中， △Ａ Ｂ Ｅ折叠， 点 Ｂ的对应点为 Ｆ ， 连接 Ｅ Ｆ并延长交 Ａ Ｄ 于Ｇ ， Ｅ Ｇ将 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ分为面积相等的两个部分， 则Ｓ Ｂ Ｅ △Ａ ＝ ㊀㊀㊀㊀． ７ ．（ ２ ０ １ ３ 梧州 ２ ０ 题 ６分） 如图， 已知： Ａ Ｂ Ｄ ， Ｂ Ｅ Ｄ ， 垂 ∥Ｃ ⊥Ａ ， Ｃ Ｆ Ｄ ， 垂足为点 Ｆ ， 并且 Ａ Ｅ＝ Ｄ Ｆ ． ⊥Ａ 足为点 Ｅ

专练11四边形中的最值问题1.综合与实践（1）任意一个四边形ABCD通过剪裁，都可以拼接成一个三角形，方法如下：如图1，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，连接EH，P是线段EH的中点，连接PF，PG，沿线段EH，PF，PG剪开，将四边形ABCD分成①，②，③，④四部分，按如图2所示的方式即可拼成一个无缝隙也不重叠的△P′MN．关于在拼接过程中用到的图形的变换，说法正确的是（）A.①→①是轴对称B.②→②是平移C.③→③是中心对称D.④→④是中心对称（2）如图3，连接EF′，F′C′，C′H，判断四边形EF′C′H的形状，并说明理由．（3）若△P′MN是一个边长为4的等边三角形，则四边形EF′C′H的对角线F′H+C′E的最小值为________．【答案】（1）C（2）四边形F′C′HE是平行四边形．理由：由题意可知，P′F′=F′M，P′C′=C′N，MN，F′C′∥EH，∴F′C′=12∵PH=HN，PE=EM，MN，∴EH=12∴F′C′=EH，∴四边形F′C′HE是平行四边形．（3）2√7【解析】（1）观察图象可知②→②，③→③是中心对称，①→①，④→④是平移．故答案为：C．（3）如图4，过点O作直线l∥MN，作F′T⊥MN于点T，连接TC′交直线l于点O′，连接F′O′，此时F′O′+O′C′的值最小，最小值=TC′的长．∵在Rt△MTF′中，MF′=C′F′=2，∠TMF′=60°，∴TF′=2⋅sin60°=√3．∵C′F′∥MN，∴∠C′F′T=∠F′TM=90°，∴C′T=√F′T2+C′F′2=√3+4=√7，∴F′H+C′E的最小值=2C′T=2√7．2.阅读下面材料，并解决问题：（1）如图1，等边三角形ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数；为了解决本题，我们可以将ΔABP绕顶点A逆时针旋转到ΔACP′处，此时ΔACP′≌ΔABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB=________；（2）基本运用：请你利用第（1）题的思想方法，解答下面问题：如图2，在ΔABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E，F为BC上的点，且∠EAF=45°．求证：EF2=BE2+FC2；（3）能力提升：在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点，AB=4．①如图3，将ΔADE绕点D逆时针旋转90°得到ΔDCF，连结EF．a．把图形补充完整（无需写画法）；b．求EF2的取值范围；②如图4，求BE+AE+DE的最小值．【答案】（1）150°（2）证明：如图，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到ΔACE′．由旋转的性质得，AE′=AE，CE′=BE，∠CAE′=∠BAE，∠ACE′=∠B，∠EAE′=90°．∵∠EAF=45°，∴∠E′AF=∠CAE′+∠CAF=∠BAE+∠CAF=∠BAC－∠EAF=90°－45°=45°，∴∠EAF=∠E′AF．在ΔEAF和ΔE′AF中，{AE=AE′∠EAF=∠E′AFAF=AF，∴ΔEAF≌ΔE′AF(SAS)，∴E′F=EF．∵∠CAB=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠E′CF=45°+45°=90°，由勾股定理得，E′F2=CE′2+FC2 ，即EF2=BE2+FC2 ．（3）解：①a．如图，ΔDCF即为所求．b．方法一：∵2√2≤DE≤4，ΔFDE是等腰直角三角形，∴EF2=2DE2 ，∴16≤EF2≤32．方法二：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=AB=4，∠B=90°，∠DAE=∠ACD=45°，∴AC=√AB2+BC2=4√2．∵ΔADE绕点D逆时针旋转90°得到ΔDCF，∴∠DCF=∠DAE=45°，AE=CF，∴∠ECF=∠ACD+∠DCF=90°．设AE=CF=x，EF2=y，则EC= 4√2−x，∴y=(4√2−x)2+x2=2x2−8√2x+32(0<x≤4√2)，即y=2(x−2√2)2+16．∵2>0，∴当x=2√2时，y有最小值，最小值为16，当x=42时，y有最大值，最大值为32，∴16≤EF2≤32．②如图，将ΔABE绕点A顺时针旋转60°得到△AFG，连结EG，DF．作FH⊥AD，交DA的延长线于点H．由旋转的性质可知：AF=AB=4，ΔAEG是等边三角形，∴AE=EG．∵DF≤FG+EG+DE，BE=FG，∴AE+BE+DE的最小值为线段DF的长．在Rt ΔAFH中，∠FAH=30°，AF=2，AH=√42−22=2√3，∴FH=12在Rt ΔDFH中，DF=√(2√3+4)2+22=2√6+2√2，∴BE+AE+ED的最小值为2√6+2√2．【解析】（1）解：150°【解法提示】∵ΔACP′≌ΔABP，∴AP′=AP=3，CP′=BP=4，∠AP′C=∠APB．由题意知旋转角∠PAP′=60°，∴ΔAPP′为等边三角形，∴PP′=AP=3，∠AP′P=60°．易证ΔPP′C为直角三角形，且∠PP′C=90°，∴∠APB=∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C=60°+90°=150°．3.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ADM．（1）如图1，当直线AN经过点C时，求DM的长．（2）如图2，连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积．（3）如图3，当射线BN交线段CD于点E时，求DE的最大值．【答案】（1）解：当AN经过点C时，即A，N，C三点共线∵AB=4，AD=3∴CN=AC−AN=5−3=2∵将△ADM沿直线AM对折∴DM=MN设DM=MN=a，CM=4−a，在Rt△MNC中，CM2=MN2+CN2，(4−a)2=a2+4，∴a=32∴DM=32（2）解：过N作PQ//AD交CD于点P，交AB于Q结合题意，得：∠MNP+∠PMN=90∘∠MNP+∠ANQ=90∘∴∠PMN=∠ANQ∵∠ANM=∠AQN=90∘∴△MNP∽△NAQ∴NPAQ =MPNQ=MNAN=13设MP=m，则NQ=3m，NP=3−3m，AQ=9−9m 在Rt△ANQ中，AN2=NQ2+AQ29=9m2+(9−9m)2解得：m=1（舍）或m=45∴S△ABN=12×AB⋅NQ=12×4×125=245（3）解：∵AD=AN=3∴N在以A为圆心，半径为3的圆弧上运动如图，当BE与圆只有一个交点时，DE取最大值，此时∠ANB=90∘在△ANB和△BCE中{∠ABN=∠CEB∠ANB=∠C=90∘AN=BC∴△ANB≌△BCE∴CE=NB=√AB2−AN2=√7∴DE=4−√7．4.[阅读]如图1，四边形OABC中，OA=a，OC=4，BC=3，∠AOC=∠BCO=90°，经过点O的直线l将四边形分成两部分，直线l与OC所成的角设为θ，将四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处，我们把这个操作过程记为FZ[θ，a].[理解]若点D与点A重合，则这个操作过程为FZ[45°，4]；[尝试]（1）若点D与OA的中点重合，则这个操作过程为FZ[________，________]；（2）若点D恰为AB的中点（如图2），求θ=________；（3）经过FZ[45°，a]操作，点B落在点E处，若点E在四边形OABC的边AB上，试解决下列问题：①求出a的值；②点P，Q分别为边OA上的两个动点，且点Q始终在点P右边，PQ=1，连接CP，QE，在P，Q两点的运动过程中，PC+PQ+QE是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）45°；8（2）30°（3）①如图3：过点B作BH⊥OA于点H，∠COA=90°，∠COF=45°∴∠FOA=45°∵点B与点E关于直线1对称∴∠OFA=∠OFB=90°∴∠OAB=45°∴∠HBA=90-45°=45°=∠HAB∴BH=AH∵OC⊥OA，BH⊥OA∴.OC//BH∵BC//OA.∴四边形BCOH是平行四边形∴BH=CO=4，OH=BC=3∴OA=OH+AH=OH+BH=3+4=7∴a的值为7；②如图4：过点B作BH⊥OA于点H，过点F作OA的对称点Q，连接AQ、EQ、OB∴∠QAO=∠FAO=45°，QA=FA ， ∴∠QAF=90°在Rt △BHA 中，AB= √BH 2+AH 2=√42+42=4√2 在Rt △OFA 中，∠AFO=90°，∠AOF=∠OAF=45° ∴AF=OF=√2=7√22∴AQ=AF= 7√22在R △OCB ，OB= √OC 2+BC 2=√42+32=5在Rt △OFB 中，BF=AB-AF=5- 7√22由折叠可得：BF=EF= 4√2 - 7√22= √22∴AE=AF-EF= 7√22- √22= 3√2在Rt △QAE 中: EQ 2=AE 2+AQ 2=(3√2)2+(7√22)2=852根据两点之间线段最短可得,当点E 、P 、Q 三点共线时，PE+PF=PE+PQ 最短，最小值为线段EQ 长 ∴PE+PF 的最小值的是 √852=√1702【解析】（1）点D 与OA 的中点重合，如图1:由折叠得：∠COP=∠DOP=45°，∠C=∠ODP=90°∴CP=FD∵OP=OP∴Rt△OCP≌Rt△ODP（HL）∴OD=OC=4∵D为OA的中点∴OA=a=8则这个操作过程为FZ[45°，8]；故答案为：45°，8；（ 2 ）如图2:延长MD、OA交于点N∵∠AOC=∠BCO=90°∴∠AOC+∠BCO= 180°∴BC//OA∴∠B=∠DAN在△BDM和△ADN中∠B=∠DAN ,BD=AD, ∠BDM=∠ADN∴△BDM≌△ADN（ASA）∴DM=DN∵∠ODM=∠OCM=90°∴OM=ON.∴∠MOD=∠NOD由折可得∠MOD=∠MOC=θ∴∠COA=3θ=90°∴θ=30°5.如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM 绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；（3）当AM＋BM＋CM的最小值为√3+1时，求正方形的边长.【答案】（1）证明：∵△ABE是等边三角形，∴BA＝BE，∠ABE＝60°.∵∠MBN＝60°，∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.即∠BMA＝∠NBE.又∵MB＝NB，∴△AMB≌△ENB（SAS）（2）解：①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小.理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，∴AM＝EN.∵∠MBN＝60°，MB＝NB，∴△BMN是等边三角形.∴BM＝MN.∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长（3）解：过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF＝90°－60°＝30°.设正方形的边长为x，则BF＝√32x，EF＝x2.在Rt△EFC中，∵EF2＋FC2＝EC2 ，∴（x2）2＋（√32x＋x）2＝(√3+1)2解得，x＝√2（舍去负值）.∴正方形的边长为√2.6.定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题：（1）如图1，正方形ABCD中，E是CD上的点，将ΔBCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E 的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB=BC=5，CD=1，AD>AB，点B到直线AD的距离为BE．①求BE的长．②若M、N分别是AB、AD边上的动点，求ΔMNC周长的最小值．【答案】（1）解：如图1由旋转的性质得：∠F=∠BEC，∠ABF=∠CBE，BF=BE∵∠BEC+∠BED=180°，∠CBE+∠ABE=90°，∴∠F+∠BED=180°，∠ABF+∠ABE=90°即∠FBE=90°，故满足“直等补”四边形的定义，∴四边形BEDF为“直等补”四边形；（2）解：①∵四边形ABCD是“直等补”四边形，AB=BC，∴∠A+∠BCD=180°，∠ABC=∠D=90°，如图2，将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF，则∠F=∠AEB=90°，∠BCF+∠BCD=180°，BF=BE∴D、C、F共线，∴四边形EBFD是正方形，∴BE=FD，设BE=x，则CF=x-1，在Rt△BFC中，BC=5，由勾股定理得：x2+(x−1)2=25，即x2−x−12=0，解得：x=4或x=﹣3(舍去)，∴BE=4②如图3，延长CD到P，使DP=CD=1，延长CB到T，使TB=BC=5,则NP=NC，MT=MC,∴△MNC的周长=MC+MN+NC=MT+MN+NP≥PT当T、M、N、P共线时，△MNC的周长取得最小值PT，过P作PH⊥BC，交BC延长线于H，∵∠F=∠PHC=90°,∠BCF=∠PCH,∴△BCF∽△PCH,∴BCPC =BFPH=CFCH,即52=4PH=3CH，解得：CH=65,PH=85,在Rt△PHT中，TH= 5+5+65=565,PT=√PH2+HT2=8√2,∴ΔMNC周长的最小值为8√2．7.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝4 √3，E为对角线AC上的动点（点E不与A，C重合），连接BE，将射线EB绕点E逆时针旋转120°后交射线AD于点F．（1）如图1，当AE＝AF时，求∠AEB的度数；（2）如图2，分别过点B，F作EF，BE的平行线，且两直线相交于点G．①试探究四边形BGFE的形状，并求出四边形BGFE的周长的最小值；②连接AG，设CE＝x，AG＝y，请直接写出y与x之间满足的关系式，不必写出求解过程．【答案】（1）如图1中，∵四边形ABCD是菱形，∴BC∥AD，∠BAC＝∠DAC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵∠ABC＝120°，∴∠BAD＝60°，∴∠EAF＝30°，∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE＝75°，∵∠BEF＝120°，∴∠AEB＝120°﹣75°＝45°．（2）①如图2中，连接DE．∵AB＝AD，∠BAE＝∠DAE，AE＝AE，∴△BAE≌△DAE（SAS），∴BE＝DE，∠ABE＝∠ADE，∵∠BAF+∠BEF＝60°+120°＝180°，∴∠ABE+∠AFE＝180°，∵∠AFE+∠EFD＝180°，∴∠EFD＝∠ABE，∴∠EFD＝∠ADE，∴EF＝ED，∴EF＝BE，∵BE∥FG，BG∥EF，∴四边形BEFG是平行四边形，∵EB＝EF，∴四边形BEFG是菱形，∴当BE⊥AC时，菱形BEFG的周长最小，此时BE＝AB•sin30°＝2 √3，∴四边形BGFE的周长的最小值为8 √3．②如图2﹣1中，连接BD，DE，过点E作EH⊥CD于H．∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝BA，∠ABD＝60°，∵BG∥EF，∴∠EBG＝180°﹣120°＝60°，∴∠ABD＝∠GBE，∴∠ABG＝∠DBE，∵BG＝BE，∴△ABG≌△DBE（SAS），∴AG＝DE＝y，在Rt△CEH中，EH＝12EC＝12x．CH＝√32x，∴DH＝|4 √3﹣√32x|，在Rt△DEH中，∵DE2＝EH2+DH2 ，∴y2＝14x2+（4 √3﹣√32x）2 ，∴y2＝x2﹣12x+48，∴y＝√x2−12x+48（0＜x＜12）．8.如图1，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝6cm，BD＝8cm，分别过点B、C作AC与BD的平行线相交于点E．（1）判断四边形BOCE的形状并证明；（2）点G从点A沿射线AC的方向以2cm/s的速度移动了t秒，连接BG，当S△ABG＝2S△OBG时，求t的值．（3）如图2，长度为3cm的线段GH在射线AC上运动，求BG＋BH的最小值．【答案】（1）结论：四边形BOCE是矩形．理由：∵BE∥OC，EC∥OB，∴四边形OBEC是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴四边形BOCE是矩形．（2）如图2中，∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝3cm，OB＝OD＝4cm，∵S△ABG＝2S△OBG ，∴AG＝2OG，∴2t＝2（3﹣2t）或2t＝2（2t﹣3），解得t＝1或t＝3，∴满足条件的t的值为1或3．（3）如图2中，设OG＝x，则BG＋BH＝√x2+42＋√(x−3)2+42，欲求BG＋BH的最小值，相当于在x轴上找一点P(x，0)，使得点P(x，0)到A(0，4)和B(3，4)的距离最小，如图3中，作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于P，连接BP，此时PA＋PB的值最小，∵A(0，4)，B′(3，﹣4)，∴当B点在y轴右侧时，AP＋PB＝AP＋PB′＝AB′＝√82+32＝√73，当B点在y轴左侧时，由于线段整体移动，同理，得AP＋PB＝AP＋PB′＝AB′＝√73，∴BG＋BH的最小值为√73．9.如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点B的坐标为(10，4)，点D是OA的中点，动点P在线段BC上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动.设动点P的运动时间为t秒.（1）当t=________时，四边形PODB是平行四边形？（2）在直线CB上是否存在一点Q，使得四边形ODPQ是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由；（3）在点P运动的过程中，线段PB上有一点M，且PM=5，求四边形OAMP的周长最小值.【答案】（1）2.5s（2）解：①当点Q在线段BC上时，如图1，∵四边形ODPQ是菱形，∴OQ=OD=5，在Rt△OCQ中，CQ=√52−42=3，CP=3+5=8，∴t=4，点Q的坐标为(3，4)；②当点Q在射线BC上时，如图2，∵四边形ODPQ是菱形，∴OQ=OD=5，在Rt△OCQ中，CQ=√52−42=3，CP=5﹣3=2，∴t=1，点Q的坐标为(﹣3，4)；（3）解：如图3，连接DM，∵PM=OD=5，PM∥OD，∴四边形ODMP是平行四边形，∴OP=DM，∴四边形OAMP的周长=OA+AM+MP+PO=15+AM+PO=15+AM+DM作点A关于直线BC的对称点A'，连接A'M，A'D.∵AM=A'M，∴四边形OAMP的周长=15+A'M+DM，所以，当点A'，M，D三点在同一直线上时，四边形OAMP的周长最小，在Rt△A'DA中，A′D=√A′A2+AD2=√52+82=√89，所以四边形OAMP的周长最小值为15+√89.【解析】解：（1）∵四边形OABC为矩形，点B的坐标为(10，4)，∴BC=OA=10，AB=OC=4.∵点D是OA的中点，∴OD =1OA=5，2由题意知，PC=2t，∴BP=BC﹣PC=10﹣2t.∵四边形PODB是平行四边形，∴PB=OD=5，∴10﹣2t=5，∴t=2.5，即当t=2.5s时，四边形PODB是平行四边形.故答案为：2.5s；10.如图1，矩形ABCD中，AB=3，BC=4 ，将矩形ABCD绕着点A顺时针旋转，得到矩形BEFG.（1）当点E落在BD上时，则线段DE的长度等于________ ；（2）如图2，当点E落在AC上时，求△BCE的面积；（3）如图3，连接AE、CE、AG、CG，判断线段AE与CG的位置关系且说明理由，并求CE 2+AG 2的值；（4）在旋转过程中，请直接写出S△BCE+S△ABG的最大值.【答案】（1）2（2）解：当点E落在AC上时，过点B作BM⊥AC于点M，在RtΔABC中，由勾股定理得：AC=√AB2+BC2=√32+42=5,∵ ΔABC 是直角三角形，BM ⊥AC ， ∴ 12×3×4=12·BM ·AC ,∴ BM =125，在 RtΔBME 中，由勾股定理得：ME =√BE 2−BM 2=√32−(125)2=95，在 RtΔBMC 中，由勾股定理得： MC =√BC 2−BM 2=√42−(125)2=165，∴ CE =MC −ME =165−95=75 ，∴ S ΔBCE =12·CE ·BM =12×75×125=4225 ；（3）解：线段AE 与CG 的位置关系是垂直，理由如下：证明：连接AC 、EG ，设AE 与CG 相交于点N ，AE 与BC 相交于点P ，由旋转的性质知： ∠ABE =∠CBG ， AB =BE ，BC =BG ， ∴在等腰 ΔABE 和等腰 ΔCBG 中得到： ∠EAB =180°−∠ABE2， ∠BCG =180°−∠CBG2，∴ ∠EAB =∠BCG ， ∵ ∠1=∠2 ，∴ ∠CNP =∠ABP =90° ， 即 AE ⊥CG ； ∵ AE ⊥CG ，∴ CE 2+AG 2=CN 2+NE 2+AN 2+NG 2=(CN 2+AN 2)+(NE 2+NG 2)=AC 2+EG 2 ，由矩形的性质可以得到：EG=AC=5，∴CE2+AG2=AC2+EG2=52+52=50；（4）解：过点C作CH⊥直线BE于点H，过点G作EQ⊥直线AB于点Q，∴SΔBCE=12·CH·BE，SΔABG=12·GQ·AB，∵AB=BE=3∴S△BCE+S△ABG=12·CH·BE+12·GQ·AB=12×3×(CH+GQ)，∴当CH+GQ最大时，S△BCE+S△ABG最大，在旋转过程中，0≤CH≤4,0≤GQ≤4，∴0≤CH+GQ≤8，∴当点A、B、E三点共线时，CH+GQ=8，此时最大，∴S△BCE+S△ABG的最大值为：12×3×8=12.【解析】解：（1）解：当E落在BD上时，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴每个内角都等于90°，∵AB=3，BC=4，由勾股定理得：BD =√AB 2+AD 2=√AB 2+BC 2=√32+42=5 ， 由旋转的性质可知： AB =BE =3 ， ∴ DE =BD −BE =5−3=2 ， 故答案为：2；11.如图1，在等边 △ ABC 中，AB ＝6cm ，动点P 从点A 出发以1cm/s 的速度沿AB 匀速运动，动点Q 同时从点C 出发以同样的速度沿BC 的延长线方向匀速运动，当点P 到达点B 时，点P 、Q 同时停止运动，设运动时间为t （s ）．过点P 作PE ⊥AC 于E ，以CQ 、CE 为边作平行四边形CQFE ．（1）AE ＝________，CE ＝________；（用含t 的代数式表示） （2）当平行四边形CQFE 为菱形时，请求出t 的值； （3）如图1，连接PQ ，交AC 边于点D ，求线段DE 的长；（4）如图2，取线段BC 的中点M ，连接PM ，将 △ BPM 沿直线PM 翻折，得 △B ′PM ，连接 AB ′ ，请求出 AB ′ 的最小值． 【答案】 （1）t2；6−t2（2）解：当平行四边形CQFE 为菱形时，则 CE =CQ ， ∴ 6−t2=t ，解得： t =4即当 t =4 时． CE =CQ ，当平行四边形CQFE 为菱形 （3）解：如图2中，作 PK//BC 交 AC 于 K ．∵ΔABC 是等边三角形，∴∠B=∠A=60°，∵PK//BC，∴∠APK=∠B=60°，∠PKD=∠DCQ，∴∠A=∠APK=60°，∴ΔAPK是等边三角形，∴PA=PK，∵PE⊥AK，∴AE=EK=12AK，在△PKD和△QCD中，{CQ=PK∠PKD=∠DCQ∠PDK=∠QDC，∴△PKD≅△QCD(AAS)，∴DK=DC=12CK，∴DE=EK+DK=12(AK+CK)=12AC=3(cm)．（4）解：如图3中，连接AM，AB′∵BM=CM=3，AB=AC，∴AM⊥BC，∴AM=√AB2−BM2=√62−32=3√3，∵AB′⩾AM−MB′，由折叠性质可知，BM=B′M=3∴AB′⩾3√3−3，∴AB′的最小值为3√3−3，此时A、M、B′三点共线．【解析】解：（1）依题意可知：AP=CQ=t，∵ΔABC是等边三角形，∴∠A=60°，AB=AC=BC=8，又∵PE⊥AC，∴∠APE=30°，∴AE=12AP=t2，∴CE=6−AE=6−t2，故答案为：t2，6−t212.如图(1)，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点.作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE、BG.（1）试猜想线段BG和AE的关系(位置关系及数量关系)，请直接写出你得到的结论；（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一角度α后(0°＜α＜90°)，如图(2)，通过观察或测量等方法判断(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；（3）若BC＝DE＝2，正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转角度α (0°＜α＜360°)过程中，当BG为最小值时，求AF的值.【答案】（1）解：如图（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，∴BD=CD=AD，∵在△BDG和△ADE中{BD＝AD∠BDG＝∠ADEDG＝DE∴△BDG≌△ADE（SAS），∴BG=AE，∠DGB=∠DEA，延长EA到BG于一点M，∴∠GAM=∠DAE，∴∠GMA=∠EDA=90°，∴线段BG和AE相等且垂直；（2）解：成立，如图（2），延长EA分别交DG、BG于点M′、N′两点，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，∴∠ADB=90°，且BD=AD，∵∠BDG=∠ADB-∠ADG=90°-∠ADG=∠ADE，∵在△BDG和△ADE中{BD＝AD∠BDG＝∠ADEDG＝DE∴△BDG≌△ADE（SAS），∴BG=AE，∠DEA=∠DGB，∵∠DEA+∠DNE=90°，∠DNE=∠MNG，∴∠MNG+∠DGM=90°，即BG⊥AE且BG=AE；（3）解：由（2）知，要使AE最大，只要将正方形绕点D逆时针旋旋转270°，即A，D，E在一条直线上时，AE最大；∵正方形DEFG在绕点D旋转的过程中，E点运动的图形是以点D为圆心，DE为半径的圆，∴当正方形DEFG旋转到G点位于BC的延长线上（即正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°）时，BG 最大，如图（3），若BC=DE=m，则AD= m2，EF=m，在Rt△AEF中，AF2=AE2+EF2=（AD+DE）2+EF2= 134m2∴AF= √132m，即在正方形DEFG旋转过程中，当AE为最大值时，AF= √132m.。

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命题点1：多边形(近6年考查4次)
1．(2023•百色第4题3分)四边形的外角和为( B )
A．180°
B．360°
C．400°
D．540°
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2．(2023•梧州第17题3分)如图，正六边形ABCDEF的周长是24 cm，连接
这个六边形的各边中点G，H，K，L，M，N，则六边形GHKLMN的周长
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第五章 四边形
第一节 平行四边形与多边形
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【知识拓展】
1．多边形剪掉一个角后与原图形的变化对比(以四边形为例)
剪法
裁 剪 线 不 过 裁剪线过一个 裁剪线过两个
1
2
FG，
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(3)证明：连接BH，EH，CH，∵CE＝CG，FH＝HG，
1
∴CH＝
2
EF，CH∥EF，
1
∵EB＝BF＝
2
EF，∴BE＝CH，
∴四边形EBHC是平行四边形，
∴OB＝OC，OE＝OH，
1
∵OB＝OE，∴OE＝OH＝OB＝OC＝
2
BC.
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是 12 cm.
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命题点2：平行四边形的性质(近6年考查4次)