专题03 几何法求抛物线上的点到定直线的距离最值高中数学破题致胜微方法(抛物线上的点到定点或定直线的

抛物线上的点到直线的最大值在二维平面几何中，我们经常会遇到抛物线与直线的关系。

本文将讨论一个有趣的问题：如何求解抛物线上的点到一条给定直线的距离的最大值。

问题描述设抛物线方程为y=ax2+bx+c，直线方程为y=mx+d，现在我们要找到在抛物线上的点(x,ax2+bx+c)到直线y=mx+d的距离的最大值。

求解方法为了求解这个问题，我们先要确定点到直线的距离公式。

点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式为：$$ \\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^2 + B^2}} $$接下来，我们假设我们要求解的最大距离对应的点为(x1,ax12+bx1+c)，那么点(x1,ax12+bx1+c)到直线y=mx+d的距离为：$$ \\frac{|m x_1 - ax_1^2 - bx_1 - d|}{\\sqrt{m^2 + 1}} $$为了找到最大距离，我们需要最大化上式。

我们可以通过微分来解决这个问题。

令 $f(x) = \\frac{|m x - ax^2 - bx - d|}{\\sqrt{m^2 + 1}}$，我们需要求解f(x)的极值点。

通过对f(x)求导并令导数为零，我们可以得到最大距离对应的x1的值。

接着，我们将x1的值代回到点的坐标中，即可以得到最大距离对应的点(x1,ax12+bx1+c)。

结论通过以上的求解过程，我们可以找到抛物线上的点到直线的最大距离。

这个问题涉及到了距离的计算和微分，通过适当的数学推导和分析，我们能够有效地解决这类问题。

在实际应用中，这个问题可能会有不同的变体或扩展，但基本的思路和方法仍然适用。

通过深入研究和灵活运用数学原理，我们可以解决更为复杂的几何问题，为实际问题的求解提供有力的支持。

以上是关于抛物线上的点到直线的最大值问题的基本介绍和解法，希望对读者有所启发。

感谢阅读！。

抛物线上一点到两定点距离和最小值问题GAO KAO DAO JI SHI中考倒计时11天毕业季GRADUATION SEASON《怎样解题》一书的作者匈牙利数学家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。

做题不在多而在精，题要解得精彩；对待解题的思想方法要对头，要通过做题，深刻理解概念，扎实掌握基本知识，学会运筹帷幄，纵横捭阖，使自己的思维水平不断提升，高屋建瓴；只有这样，面对千变万化、形式各异的题目时，才能应对自如，使一道道难题迎刃而解。

也就是说，我们在解题时应力求做到一题多解，多解归一，多题归一，用“动”的观点分析问题，尽可能地拓宽思路，训练自己敏锐的思维，做到“八方联系，浑然一体”，最终达到“漫江碧透，鱼翔浅底”的境界。

原题呈现NO.1（1）将点D(0,4)，代入y=a(x-1)2+3a，求得a=1，所以抛物线的解析式为y=x2-2x+4.NO.2第（2）问中求∠ABD-∠DBE的度数，在直角坐标系背景下求两角的差，自然会联想到特殊角，结合题中相关点的坐标，易∠DBA=45°，故过点B作BF⊥y轴，则△BFD为等腰直角三角形，易证△DBE∽△ABF，则∠DBE=∠ABF，由∠ABD-∠ABF=45°，所以∠ABD-∠DBE=45°。

NO.3第（3）问求△KAF周长的最小值，顶点A、F为定点，所以AF定长，故周长最小只需求KA+KF的最小值，两定一动，线段和最值是不是将军饮马模型呢？显然不是，因为动点K是抛物线上的动点，而不是直线上的动点，故不能用将军饮马模型处理，又该如何破解呢？为什么是点F这个点，F（1,13/4）这个点有何特殊性，请看下面动图。

抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线（来自百度）显然定点F是抛物线的焦点，如何求出抛物线的准线，将动点K 到F的距离转化成K到准线距离是关键。

中考数学抛物线动点题秒杀技巧全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：抛物线是数学中一个非常重要的概念，也是中考数学考试中常常会出现的题型之一。

抛物线的性质不仅仅是个别的知识点，更是一个整体的系统性知识。

在解题过程中，我们需要灵活运用抛物线的相关知识，抓住关键点，掌握一些技巧，才能在考试中取得更好的成绩。

本文将为大家介绍一些中考数学抛物线动点题的秒杀技巧，希望能够帮助大家顺利解答相关题目。

我们需要了解抛物线的基本性质。

抛物线是一种特殊的二次曲线，其一般方程为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0。

抛物线开口的方向取决于a的正负性：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

在抛物线上，我们常常遇到顶点、焦点、准线等概念，这些都是解题过程中需要重点关注的内容。

在解决抛物线动点题时，我们首先要确定动点的位置。

动点通常是抛物线上的一个点，在运动过程中其坐标会发生变化。

设抛物线的方程为y=ax^2+bx+c，动点的坐标为(x,y)，我们需要根据题目中的条件，确定动点的位置。

我们需要利用抛物线的性质，建立动点坐标变化的关系式。

在解题过程中，我们常常需要根据已知条件列方程，利用抛物线的性质建立动点坐标变化的关系式，从而求解动点的轨迹、移动方向等。

如果动点在抛物线上以匀速运动，我们可以利用速度的定义建立关于动点坐标的变化式。

我们需要灵活运用数学知识，解题过程中要注意化繁为简。

在解决抛物线动点题时，我们可能会遇到复杂的条件和问题，这时我们需要善于化繁为简，抓住关键点，简化问题。

可以通过几何、代数等不同的方法，灵活运用数学知识，解题过程中要注意逻辑性，不要陷入死胡同。

中考数学抛物线动点题并不是难题，关键在于掌握抛物线的基本性质，灵活运用数学知识，化繁为简，善于建立关系式，抓住关键点。

通过不断练习，积累经验，相信大家能够在考试中轻松应对抛物线动点题，取得好成绩。

希望以上的技巧能够帮助大家更好地掌握抛物线动点题的解题方法，祝大家在中考数学考试中取得优异成绩！第二篇示例：中考数学中，抛物线动点题是考生普遍认为比较难的题型之一。

抛物线到直线最短距离公式在咱们的数学世界里，抛物线和直线就像是两个性格各异的小伙伴。

今天咱们就来聊聊抛物线到直线的最短距离公式，这可是个有趣又实用的知识点。

话说我曾经在课堂上给学生们讲这个知识点的时候，发生了一件有意思的事儿。

有个学生特别积极，每次我提出问题，他都把手举得高高的，眼睛里透着一股非要弄明白不可的劲儿。

咱们先来说说抛物线，它就像是一个调皮的孩子，总是弯弯曲曲地跑着。

而直线呢，就像是个规规矩矩的乖孩子，直来直去。

当这两个小伙伴碰到一起，要找出它们之间最短的距离，那可得有点小技巧。

咱们先假设抛物线的方程是 $y = ax^2 + bx + c$ ，直线的方程是$Ax + By + C = 0$ 。

要找到它们之间的最短距离，就得用到一些数学魔法啦。

我们先找抛物线上任意一点 $P(x_0, y_0)$ ，然后计算点 $P$ 到直线的距离 $d$ 。

这个距离 $d$ 可以用公式 $d = \frac{|Ax_0 + By_0 +C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ 来计算。

但是呢，因为点 $P$ 在抛物线上，所以 $y_0 = ax_0^2 + bx_0 + c$ 。

把这个代入到距离公式里，就得到了一个关于 $x_0$ 的式子。

然后我们对这个式子求导，找到导数为零的点，这个点对应的距离就是最短距离啦。

就像我们在生活中找最近的路一样，有时候可能会走一些弯路，但通过不断地尝试和计算，总能找到那条最短的捷径。

回到那个积极的学生，他在我讲解的过程中，不停地在本子上写写画画，还不时皱着眉头思考。

我能感觉到他是真的在努力理解这个有点复杂的概念。

当我们最终得出最短距离的公式时，他脸上露出了那种恍然大悟的笑容，那一刻，我觉得所有的辛苦讲解都值了。

在数学的海洋里，这样的知识就像是一颗颗璀璨的珍珠。

虽然寻找它们的过程可能会有点辛苦，但当我们把它们串起来，就能打造出一条美丽的知识项链。

所以，同学们，别害怕这些看似复杂的公式和概念，只要咱们用心去探索，总能发现其中的乐趣和奥秘。

抛物线求最值问题（第一类）1.已知抛物线和一条直线，求抛物线上的一点到直线与（y 轴、准线、焦点）距离之和的最小值问题。

此类题常用方法转化为求焦点到直线的距离。

例题已知抛物线方程为x y 42=,直线l 的方程为04=+-y x ,在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d1,P 到直线l 的距离为d2,则d1+d2的最小值为多少？分析：如图点P 到y 轴的距离等于点P 到焦点F 的距离减1，过焦点F 作直线x-y+4=0的垂线，此时d1+d2最小，根据抛物线方程求得F ，进而利用点到直线的距离公式求得d1+d2的最小值．解：如图点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，从而P 到y 轴的距离等于点P 到焦点F 的距离减1．过焦点F 作直线x-y+4=0的垂线，此时d1+d2=|PF|+d2-1最小， ∵F （1，0），则|PF|+d2==，则d1+d2的最小值为．抛物线求最值问题（第二类）2.已知抛物线和一个定点，①：定点在抛物线“内”，求抛物线上的一点到定点与（焦点、准线）距离之和的最值问题；②定点在抛物线“外”，求抛物线上的一点到定点与（焦点、准线）距离之差绝对值的最值问题。

此类题常用方法转化为三点共线或者顶点到直线问题。

例题已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，-1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A.⎪⎭⎫⎝⎛-1,41B．⎪⎭⎫⎝⎛1,41C．（1，2）D．（1，-2）分析：先判断点Q与抛物线的位置，即点Q在抛物线内，再由点P 到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，根据图象知最小值在M，P，Q三点共线时取得，可得到答案．解：点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图PF+PQ=PM+PQ，故最小值在M，P，Q三点共线时取得，此时P，Q的纵坐标都是-1，抛物线求最值问题（第三类）3.已知抛物线和一条直线，求抛物线上的一点到直线距离最小值问题。

圆锥曲线第3讲抛物线
【知识要点】一、抛物线的定义平面内到某一定点
F 的距离与它到定直线
l （l F ）的距离相等的点的轨迹叫抛物线，这
个定点F 叫做抛物线的焦点，定直线
l 叫做抛物线的准线。

注1：在抛物线的定义中，必须强调：定点F 不在定直线l 上，否则点的轨迹就不是一个抛
物线，而是过点
F 且垂直于直线l 的一条直线。

注2：抛物线的定义也可以说成是：平面内到某一定点F 的距离与它到定直线
l （l F
）
的距离之比等于
1的点的轨迹叫抛物线。

注3：抛物线的定义指明了抛物线上的点到其焦点的距离与到其准线的距离相等这样一个事实。

以后在解决一些相关问题时，
这两者可以相互转化，这是利用抛物线的定义解题的关键。

二、抛物线的标准方程1.抛物线的标准方程
抛物线的标准方程有以下四种：
（1）
px y
22
（0p ），其焦点为
)
0,2
(
p F ，准线为
2p x
；（2）
px y
22
（0p ），其焦点为
)
0,2(
p F ，准线为
2p x
；（3）
py x
22
（0p ），其焦点为
)2,
0(p
F ，准线为2p y
；（4）
py x
22
（0p
），其焦点为
)
2,
0(p F ，准线为
2p y
.
2.抛物线的标准方程的特点抛物线的标准方程
px y
22
（0p ）或py x
22
（0p
）的特点在于：等号的一端。

1.抛物线上的点到直线的距离的最小值是
试题分析：设与直线平行与抛物线相切的直线方程为：，由得：由得，所
以直线与直线的距离即为抛物线上的点到直线的距离的最小值.
2.在抛物线上求一点,使该点到直线的距离最小,并求最小值.
设是抛物线上的任意一点,则,
点到直线的距离为=
=,又∵,∴当时,,此时,
所以抛物线上点到直线的距离最小,最小值为.
3.抛物线上的点到直线的最短距离为________________。

试题分析：设抛物线上任一点为，则它到直线的距离为
，∴当时，，故填
4.抛物线y=x2上的点到直线2x-y=4的最短距离是（）
A B C D
解：设抛物线y=x2上的点的坐标为（x，y），则
由点到直线的距离公式可得d===≥
∴抛物线y=x2上的点到直线2x-y=4的最短距离是
5.若抛物线y=4x2上的点P到直线y=4x-5的距离最短，求点P的坐标。

解：由点P到直线y=4x-5的距离最短知，过点P的切线与直线y=4x-5平行，
设P（x0，y0），
则，
由，得
故所求的点的坐标为。

6.已知A（0，-4），B（3，2），抛物线y=x2上的点到直线AB的最短距离为______．
∵kAB==2
∴直线AB的方程为：y=2x-4，即2x-y-4=0
又∵y=x2，则y'=2x，
当y'=2时，x=1，此时y=1
故抛物线y=x2上（1，1）点到直线AB的距离最小距离d为：
d==
故答案为：。

专题03 几何法求抛物线上的点到定直线的距离最值本内容主要研究几何法求抛物线上的点到定直线的距离最值.求出抛物线的与定直线平行的切线方程，可以判别式法，焦点在y 轴上的抛物线也可以用导数求出抛物线的切线方程.数形结合，求抛物线上的点到已知直线的最短距离转化抛物线的切线方程与已知直线的距离.先看例题：例：求抛物线264=y x 上的点到直线L ：4x +3y +46=0的最短距离.整理：求出抛物线的与定直线平行切线方程：方法一：设与定直线平行的抛物线的切线方程，与抛物线方程联立，消去一个变量得一元二次方程，令Δ＝0，可求出抛物线的与定直线平行切线方程.方法二：焦点在y 轴上的抛物线，可以用导数求出抛物线的与定直线平行切线方程. 求抛物线上的点到已知直线的最短距离转化抛物线的切线方程与已知直线的距离.再看一个例题，加深印象：例：在平面直角坐标系xOy 中,P 为抛物线y 2＝12x 上的一个动点.若点P 到直线3x －y ＋5＝0的距离大于c 恒成立,则实数c 的取值范围为________.总结：1. 求出抛物线的与定直线平行切线方程：方法一：设与定直线平行的抛物线的切线方程，与抛物线方程联立，消去一个变量得一元二次方程，令Δ＝0，可求出抛物线的与定直线平行切线方程.方法二：焦点在y 轴上的抛物线，可以用导数求出抛物线的与定直线平行切线方程. 2. 求抛物线上的点到已知直线的最短距离转化抛物线的切线方程与已知直线的距离. 练习：1.抛物线y =－x 2上的点到直线4x +3y －8=0距离的最小值是( )2.抛物线2:x y C =上的点到直线02:=--y x l 距离的最小值是( )答案：1.解：设与直线4x +3y －8=0平行的抛物线y 2＝12x 的切线方程为4x +3y －t =0，令切点A 211(x ,-x ),2y x =-的导函数为y -2x '=，所以点A处切线的斜率为1-2x.因些，14-2x=-3，12x=3,即A24(,-)39.抛物线y=－x2上的点到直线4x+3y－8=0距离的最小值是A24(,-)39到直线4x+3y－8=0的距离24|438|439d=53⨯-⨯-=.2.。

ʏ山东省济南市莱芜第一中学 毕京冉圆锥曲线中,经常会涉及一些相应要素的定值或最值问题㊂此类问题往往 动 静 结合,有效链接 动态 元素与 静态 元素之间的变化与联系,使之达到恒等状态(定值)或接近状态(最值),是历年高考数学中比较常见的题型,备受各方关注㊂同时,圆锥曲线中的定值或最值问题也是平面解析几何中的知识综合与交汇融合的重要场所之一,是考查数学基础知识㊁数学思想方法和数学能力的一个重要阵地㊂一㊁问题呈现问题:已知点M 到点F (3,0)的距离比它到直线l :x +5=0的距离小2㊂(1)求点M 的轨迹E 的方程;(2)过点P (m ,0)(m >0)作互相垂直的两条直线l 1,l 2,它们与(1)中的轨迹E 分别交于点A ,B 及点C ,D ,且G ,H 分别是线段A B ,C D 的中点,求әP G H 面积的最小值㊂二㊁问题剖析此题充分考查了点的轨迹方程的求法,抛物线的定义及其应用,抛物线的方程与基本性质,三角形面积公式,根的判别式与韦达定理,直线的斜率与直线方程,基本不等式及其应用等基础知识,考查推理论证能力㊁数学运算能力,以及化归与转化思想㊁函数与方程思想等㊂问题的第(1)是直线与抛物线的综合性问题,主要考查抛物线的定义与轨迹方程的求解;第(2)问是三角形面积的处理与平面解析几何中的中点弦问题的交汇与综合问题,切入点多,技巧性强㊂无论哪种方法,关键是合理构建涉及әP G H 面积的代数关系式,进而通过合理化归与巧妙转化,利用基本不等式及其应用㊁三角函数的图像与性质来确定әP G H 面积的最小值㊂三㊁问题求解解析:(1)由题意知,点M 到点F (3,0)的距离与到直线l ':x +3=0的距离相等,结合抛物线的定义,可知轨迹E 是以F (3,0)为焦点,直线l ':x +3=0为准线的抛物线,所以p 2=3,解得p =6,故点M 的轨迹E 的方程为y 2=12x ㊂(2)方法1:(直线的一般方程法1)设直线l 1的方程为x =t 1y +m ,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立x =t 1y +m ,y 2=12x ,消去x 整理得y 2-12t 1y -12m =0,则y 1+y 2=12t 1,所以x 1+x 2=t 1(y 1+y 2)+2m =12t 21+2m ,可知G (6t 21+m ,6t 1)㊂设直线l 2的方程为x =t 2y +m ,同理可得H (6t 22+m ,6t 2)㊂所以|P G |=6|t 1|1+t 21,|P H |=6|t 2|1+t 22㊂易知直线l 1,l 2的斜率存在且均不为0,又因为l 1ʅl 2,所以1t 1㊃1t 2=-1,即t 1t 2=-1,所以S әP G H =12|P G |㊃|P H |=18|t 1t 2|㊃(1+t 21)(1+t 22)=182+t 21+t 22ȡ182+2|t 1t 2|=182+2=36,当且仅当|t 1|=|t 2|=1时,等号成立,故әP G H 面积的最小值为36㊂解后反思:根据直线与抛物线的位置关系,合理设置对应的直线方程,考虑到直线的斜率的存在性问题,加以合理变化,设置参数x 关于y 的一次关系式,结合直线与抛物线方程的联立,通过韦达定理来确定中点的坐标,利用两点间的距离公式,并结合三角形的面积公式构建相关的关系式,通过两直线垂直的关系得到参数的关系式,并借助基本不等式来确定最值㊂61 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.方法2:(直线的一般方程法2)由题知直线l 1的斜率存在,设直线l 1的方程为y =k 1(x -m ),设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立y =k 1(x -m ),y 2=12x ,消去x 整理得k 1y 2-12y -12k 1m =0,则y 1+y 2=12k 1,y 1y 2=-12m ,所以x 1+x 2=1k 1(y 1+y 2)+2m =12k 21+2m ,可知G6k 21+m ,6k 1㊂而直线l 1与直线l 2互相垂直,则知直线l 2的方程为y =-1k 1(x -m ),用-1k 1代替k 1,可得H (6k 21+m ,-6k 1)㊂所以|P G |=6k 211+k 21,|P H |=6|k 1|1+k 21㊂故S әP G H =12|P G |㊃|P H |=18|k 1|(1+k 21)=181|k 1|+|k 1|ȡ18ˑ21|k 1|ˑ|k 1|=36,当且仅当1|k 1|=|k 1|=1时,等号成立,故әP G H 面积的最小值为36㊂解后反思:根据直线与抛物线的位置关系,直接确定直线的斜率存在,由此可以直接设置直线的点斜式方程,进一步利用直线与抛物线方程的联立,通过韦达定理来确定中点的坐标,结合两直线垂直加以代换参数,利用两点间的距离公式,并结合三角形的面积公式构建相关的关系式,借助基本不等式来确定最值㊂合理的参数代换,是优化代数运算的基础㊂方法3:(中点弦的点差法)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 21=12x 1,y 22=12x 2,以上两式作差,并整理可得y 1-y 2x 1-x 2=12y 1+y 2=6y G ,即k A B =6y G ㊂同理可得k C D =6y H ㊂易知直线l 1,l 2的斜率存在且均不为0,又因为l 1ʅl 2,所以k A B k C D =36y G y H =-1,即y G y H =-36㊂故S әP G H =12|P G |㊃|P H |=12㊃1+1k 2A B |y G |㊃1+1k 2C D|y H |=18㊃2+1k 2A B +1k 2C Dȡ182+2|k A B k C D |=18㊃2+2=36,当且仅当|k A B |=|k C D |=1时,等号成立,故әP G H 面积的最小值为36㊂解后反思:根据直线与抛物线的位置关系,通过设出点的坐标,利用中点弦的点差法分别确定直线的斜率,结合两直线的垂直关系来构建参数之间的关系式,利用三角形的面积公式,通过圆锥曲线的弦长公式加以合理转化,并结合基本不等式及其应用来确定三角形面积的最小值㊂中点弦的点差法在解决圆锥曲线中涉及弦中点问题时经常用到,可以很好地用来解决一些相关的问题㊂四、结论归纳探究1:根据以上问题的几种解法,进一步加以一般化探究与归纳,从而得到以下相应的结论㊂ʌ结论1ɔ已知抛物线E :y 2=2p x (p >),过x 轴正半轴上任意一点P 作互相垂直的两条直线l 1,l 2,它们与抛物线E 分别交于点A ,B 及点C ,D ,且G ,H 分别是线段A B ,C D 的中点,则әP G H 面积的最小值为p 2㊂ʌ结论2ɔ已知抛物线E :y 2=2p x (p >0),过x 轴正半轴上任意一点P 作互相垂直且斜率分别为ʃ1的两条直线l 1,l 2,它们与抛物线E 分别交于点A ,B 及点C ,D ,且G ,H 分别是线段A B ,C D 的中点,则әP G H的面积恒为定值p 2㊂探究2:根据圆锥曲线之间的类比思维,可从抛物线进一步类比到椭圆或双曲线中,从而得以变式与拓展㊂变式:在平面直角坐标系x O y 中,O 为坐标原点,M (3,0),N (-3,0),已知әP MN 的周长为定值4+23㊂(1)求动点P 的轨迹方程㊂(2)过M 作互相垂直的两条直线l 1,l 2,直线l 1与动点P 的轨迹交于点A ,B ,直线l 2与动点P 的轨迹交于点C ,D ,A B ,C D 的中点分别为E ,F ㊂①证明:直线E F 恒过定点,并求出定点71解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.坐标㊂②求四边形A C B D 面积的最小值㊂解析:(1)因为M (3,0),N (-3,0),则|MN |=23㊂又әP MN 的周长为定值4+23,即|P M |+|P N |+|MN |=4+23,所以|P M |+|P N |=4>|MN |,所以动点P 的轨迹为以M ,N 为焦点的椭圆(左㊁右顶点除外),a =2,c =3,则b =1,所以动点P 的轨迹方程为x 24+y 2=1(y ʂ0)㊂(2)①若直线l 1与x 轴重合,则直线l 1与动点P 的轨迹没有交点,不符合题意㊂若直线l 2与x 轴重合,则直线l 2与动点P 的轨迹没有交点,不符合题意㊂设直线l 1的方程为x =my +3(m ʂ0),则直线l 2的方程为x =-1my +3,直线l 1,l 2均过椭圆的焦点(椭圆内一点),所以直线l 1,l 2与椭圆必有交点,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立x =m y +3,x 2+4y 2=4,消去x 整理得(m 2+4)y 2+23m y -1=0,所以y 1+y 2=-23mm 2+4,则x 1+x 2=m (y 1+y 2)+23=832+4,所以点E的坐标为43m 2+4,-3m m 2+4,同理可得点F 的坐标为43m 24m 2+1,3m 4m 2+1㊂所以k E F=3m 4m 2+1+3mm 2+443m 24m 2+1-432+4=5m4(m 2-1)(m ʂʃ1),直线E F 的方程为y +3m m 2+4=5m4(m 2-1)㊃x -43m 2+4,即y =5m4(m 2-1)㊃x -43m 2+4-43(m 2-1)5(m 2+4)=5m 24(m 2-1)㊃x -435,此时直线E F 恒过点435,0㊂当m =ʃ1时,直线E F 的方程为x =435,直线E F 过点435,0㊂综上,直线E F 过定点435,0㊂②由①可得y 1+y 2=-23mm 2+4,y 1y 2=-1m 2+4,所以|A B |=1+m 2|y 1-y 2|=1+m2(y 1+y 2)2-4y 1y 2=4(1+m 2)m 2+4㊂同理可得|C D |=41+1m 21m2+4=4(1+m 2)4m 2+1㊂所以四边形A C B D 的面积为S =12㊃|A B ||C D |=8(m 2+1)2(m 2+4)(4m 2+1)ȡ8(m 2+1)2m 2+4+4m 2+122=3225,当且仅当m 2=1时取等号,故四边形A C B D 的面积的最小值为3225㊂五、规律反思(1)类比思维,合理拓展㊂在圆锥曲线的相关应用问题中,经常通过椭圆㊁双曲线㊁抛物线等曲线之类的方程㊁定义㊁几何性质的类比,从知识类比㊁方法类比㊁能力类比等不同角度加以拓展思维,从一个知识点类比到相关的知识点上,合理拓展, 一题多变 ,形成知识体系㊁方法体系㊁思维体系等,有效应用到数学解题中㊂(2)知识交汇,能力提升㊂涉及抛物线中的定值或最值问题,往往创新性强,设置合理,背景生动,知识丰富,综合巧妙,交汇性多,综合性强,趣味性高㊂结合抛物线中的定值或最值问题的研究,掌握相应的结论,进而结合抛物线的方程㊁基本性质等加以综合应用,从而得以合理转化,巧妙求解,真正有效提升同学们的逻辑推理能力与创新意识,全面提高同学们的思维能力和思维品质,培养同学们的数学核心素养㊂(责任编辑 王福华)81 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。