关于二次曲线切线问题的两点注记

§5.3 二次曲线的切线一、概念1. 定义1：如果直线与二次曲线交于相互重合的两个点，那么这条直线就叫做二次曲线的切线，这个重合的交点叫做切点；如果直线全部在二次曲线上，我们也称它为二次曲线的切线，直线上的每一个点都可以看作切点.2.定义2：二次曲线F(x, y)=0上满足条件F1(x0, y0)=F2(x0, y0)=0的点(x0, y0)叫做二次曲线的奇异点，简称奇点；二次曲线的非奇异点叫做二次曲线的正常点. 奇点是中心，但中心不一定是奇点.注：(1) 二次曲线有奇点的充要条件是I3= 0，(2) 二次曲线的奇点一定是二次曲线的中心，但反之不然.二、切线求法1.已知切点求切线：设点(x0, y0)是二次曲线F(x, y)=0上的点, 则通过点(x0, y0)的直线方程总可以写成那么此直线成为二次曲线切线的条件，当Φ(X, Y)≠0时∆=[F1(x0, y0)X +F2(x0, y0)Y]2-Φ(X, Y)⋅F(x0, y0)=0.因为点 (x0, y0) 在二次曲线上，所以F(x0, y0)=0；因而上式可化为F1(x0, y0)X +F2(x0, y0)Y=0.当Φ(X, Y)= 0时除了F(x0, y0)=0外，唯一的条件仍然是F1(x0, y0)X +F2(x0, y0)Y=0.(1)如果点(x0, y0)是二次曲线F (x, y)=0的正常点：那么由以上条件得X:Y = F2(x0, y0)：(-F1(x0, y0))，因此切线方程为或写成，或 (x-x0)F1(x0, y0)+(y-y0)F2(x0, y0)=0，其中 (x0, y0) 是它的切点；(2)如果点 (x0, y0) 是二次曲线F (x, y)=0的奇异点，即F1(x0, y0)=F2(x0, y0)=0，则切线方向X:Y不能唯一地被确定，从而通过点 (x0, y0)的切线不确定,这时通过点 (x0, y0) 的任何直线都和二次曲线F (x, y)=0相交于相互重合的两点，我们把这样的直线也看成是二次曲线的切线.这样我们就得到定理1：如果点(x0, y0) 是二次曲线F (x, y)= 0的正常点，则通过点(x0, y0)的切线方程是 (x-x0)F1(x0, y0)+(y-y0)F2(x0, y0)=0，(x0, y0)是它的切点.如果点 (x0, y0) 是二次曲线F (x, y)=0的奇异点，则通过点 (x0, y0) 的每一条直线都是二次曲线F (x, y)=0的切线.推论：如果点 (x0, y0) 是二次曲线F (x, y) = 0的正常点，则通过点 (x0, y0) 的切线方程是a11x0x + a12(x0y+xy0)+a22y0y+a13(x+x0)＋a23(y+y0)+a33=0.证明：过点(x0, y0) 的切线方程可改写成xF1(x0, y0)+yF2(x0, y0)-[x0F1(x0, y0)+y0F2(x0, y0)]=0,那么xF1(x0, y0)+yF2(x0, y0)+ F3(x0, y0)-[x0F1(x0, y0)+y0F2(x0, y0)+ F3(x0, y0)]=0,则有xF1(x0, y0)+yF2(x0, y0)+ F3(x0, y0)=0,即 x(a11x + a12y+a13)+y(a12x + a22y+a23)+( a13x + a23y+a33)=0,从而得a11x0x + a12(x0y+xy0)+a22y0y+a13(x+x0)＋a23(y+y0)+a33=0.2.已知二次曲线外一点，求过此点的切线：设点(x0 , y0)不是二次曲线上的点，即F(x0 , y0)≠0, 则过点(x0 , y0)的直线方程为此直线成为二次曲线上切线唯一条件是Φ(X, Y)≠0且∆=[F1(x0, y0)X +F2(x0, y0)Y]2-Φ(X, Y)⋅F(x0, y0)=0.由此解出X:Y，从而得(两条)切线的方程.例1. 求以下二次曲线在所给点或通过所给点的切线方程.（1）曲线3x2+4xy+5y2-7x-8y-3=0, 在点 (2, 1)；（2）曲线x2+xy+y2＋x＋4y+3=0, 经过点 (-2, -1).解：（1）F (x, y)= 3x2+4xy+5y2-7x-8y-3, F1(x, y)=3x+2y-, F2(x, y)=2x+5y-4,因为 F (2, 1)=12+8+5-14-8-3+=0，且F1(2, 1)=≠0, F2(2, 1)=5≠0,所以点(2, 1)是二次曲线上的正常点.因此切线方程为(x-2)+5(y-1)=0，化简得 9x+10y-28=0.（2）F (x, y)= x2+xy+y2+x+4y+3, F1(x, y)=x+, F2(x, y)=, 因为F(-2, -1)=4≠0, 所以点 (-2, -1) 不在曲线上，而F1(-2, -1)= -2, F2(-2, -1)=0,设所求切线方程为，由 (-2X)2-4(X2+XY+Y2)=0 得X1:Y1=-1:1, X2:Y2=1:0,所以两条切线方程为与，即x+y+3=0 与y+1=0.例3. 已知曲线x2+4xy+3y2-5x-6y+3=0的切线平行于x+4y=0，求切线方程和切点坐标.解：设切点为(x0, y0)，则切线方程为x0x+2(x0y+xy0)+3y0y-(x+x0)-3(y+y0)+3=0,即 (x0+2y0-)x+(2x0+3y0-3)y-x0-3y0+3=0,由已知条件有即 4(x0+2y0-)=2x0+3y0-3,或 2x0+5y0-7=0, ①又切点在曲线上，从而+4x0y0+3-5x0-6y0+3=0, ②由①, ②解得切点为 (1, 1)，(-4, 3), 故所求切线方程为x+4y-5=0 和x+4y-8=0.例4. 试求经过原点且切直线4x+3y+2=0于点 (1,-2) 及切直线x-y-1=0于点 (0, -1) 的二次曲线方程.解：因为二次曲线过原点 (0, 0)，所以设二次曲线为a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y=0,切线方程为 (x-x0)F1(x0, y0)+(y-y0)F2(x0, y0)=0,还可写为F1(x0, y0)x+F2(x0, y0)y+F3(x0, y0)=0.从而过点 (1, -2) 及 (0, -1) 的切线分别为(a11-2a12+a13)x+(a12-2a22+a23)y+a13-2a23=0,(-a12+a13)x+(-a22+a23)y-a23=0,由题设它们应分别为4x+3y+2=0及x-y-1=0，故有,解得λ: μ = 1: -,从而a11=6, a12 = , a22 = -1, a13= 1, a23= -,故所求二次曲线为6x2+3xy-y2+2x-y=0.作业题：1. 求以下二次曲线在所给点或经过所给点的切线方程.(1) 曲线 5x2+7xy+y2-x+2y=0 在原点；(2) 曲线 5x2+6xy+5y2=8经过点 (0, 2).2. 已知曲线x2+xy+y2=3 的切线平行于x轴，求切线方程和切点坐标.。

§3 二次曲线的切线和奇点一 切线：1、定义：若一直线l 与二次曲线C 交于二重合实点，或l 整个在二次曲线C 上，则称l为C 的切线。

切线与C 的公共点称为切点。

2、求法：设0P （0x ，0y ）∈C ，以0P 为切点的切线 l ：⎩⎨⎧+=+=tY y y tX x x 00 今确定X ：Y1°当1F （0x ，0y ），2F （0x ，0y ）不全为0时，若X ：Y 不是渐近方向，则l 与C 相切〈═〉l 与C 交于二重合实点〈═〉△=[1F （0x ，0y ）X+2F （0x ，0y ）Y]²-Φ（X ，Y ）F （0x ，0y ）=0 〈═〉1F （0x ，0y ）X+2F （0x ，0y ）Y=0〈═〉X ：Y=-2F （0x ，0y ）：1F （0x ，0y ） 若X ：Y 是渐近方向，则l 与C 相切〈═〉l 处在C 上〈═〉1F （0x ，0y ）X+2F （0x ，0y ）Y=0〈═〉X ：Y=-2F （0x ，0y ）：1F （0x ，0y ） 从而切线l ：⎩⎨⎧+=-=t )y x (F y y t )y x (F x x 00100020，， 即 1F （0x ，0y ）（x -0x ）+2F （0x ，0y ）（y -0y ）=01F （0x ，0y ）x+2F （0x ，0y ）y-[1F （0x ，0y ）0x +2F （0x ，0y ）0y ]=0 1F （0x ，0y ）x +2F （0x ，0y ）y+3F （0x ，0y ）=0亦即11a 0x x +12a （0x y +0y x ）+22a 0y y +13a （x +0x ）+23a （y +0y ）+33a =0 （*） 注：在1F （0x ，0y ）与2F （0x ，0y ）不全为0时，（*）即为以0P （0x ，0y ）为切点的切线方程。

不难看出，若0P （0x ，0y ）使1F （0x ，0y ），2F （0x ，0y ）不全为0，则要求以0P 为切点的切线，只需要在C 的方程中，以0x x ，2x y y x 00+ ，0y y ，2x x 0+ ，2y y 0+ 替换x ² xy y ² x y即可2°当1F （0x ，0y ）=2F （0x ，0y ）=0时，对∀过0P 且沿非渐近方向的直线l ：⎩⎨⎧+=+=tY y y tX x x 00 ， △=[1F （0x ，0y ）X+2F （0x ，0y ）Y]²-Φ（X ，Y ）F （0x ，0y ）=0 ∴l 是切线；而对任意过0P 且沿渐近方向的直线l ：⎩⎨⎧+=+=tY y y tX x x 00 Φ（X ，Y ）=1F （0x ，0y ）X+2F （0x ，0y ）Y=F （0x ，0y ）=0，∴l 整个在曲线 即l 也是切线可见，若曲线C 上一点0P （0x ，0y ）使1F （0x ，y 。

二次函数速记口诀二次方程零换y，二次函数便出现。

全体实数定义域，图像叫做抛物线。

抛物线有对称轴，两边单调正相反。

A定开口及大小，线轴交点叫顶点。

顶点非高即最低。

上低下高很显眼。

如果要画抛物线，平移也可去描点，提取配方定顶点，两条途径再挑选。

列表描点后连线，平移规律记心间。

左加右减括号内，号外上加下要减。

二次方程零换y，就得到二次函数。

图像叫做抛物线，定义域全体实数。

A定开口及大小，开口向上是正数。

绝对值大开口小，开口向下A负数。

抛物线有对称轴，增减特性可看图。

线轴交点叫顶点，顶点纵标最值出。

如果要画抛物线，描点平移两条路。

提取配方定顶点，平移描点皆成图。

列表描点后连线，三点大致定全图。

若要平移也不难，先画基础抛物线，顶点移到新位置，开口大小随基础。

二次函数与几何方法分为：二次函数与线段及角、等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、面积等问题)重要思想：①分类讨论→代表性题型：动态几何问题，存在性讨论问题;②转化思想(待定系数)→代表性题型：面积问题，二函数图象与坐标轴的交点距离、二次函数与一次函数交点距离等; ③最短路径→代表性题型：利用二次函数的对称性求三角形的周长最小时点的坐标;④尺规作图→代表性题型：二次函数中求出直角三角形与等腰三角形时点的坐标，采用直角三角板与圆规进行尺规作图分析;⑤极端值思想→代表性题型：动态几何问题，动态函数问题;⑥数形结合思想→代表性题型：函数与几何综合题。

二次函数的常见考法(1)考查一些带约束条件的二次函数最值;(2)结合二次函数考查一些创新问题二次函数的实际应用在公路、桥梁、隧道、城市建设等很多方面都有抛物线型;生产和生活中，有很多“利润最大”、“用料最少”、“开支最节约”、“线路最短”、“面积最大”等问题，它们都有可能用到二次函数关系，用到二次函数的最值。

那么解决这类问题的一般步骤是：第一步：设自变量;第二步：建立函数解析式;第三步：确定自变量取值范围;第四步：根据顶点坐标公式或配方法求出最值(在自变量的取值范围内)。

五种方法解二次曲线的切线问题，理解应用这些公式你离学霸
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题型：已知焦点在x轴上的椭圆与直线2x+3y-10=0相切，且离心率为√3/2，求此椭圆方程
这里给出五种方法求解，几乎每种都代表着不同的方法，这些方法中蕴含着丰富的知识，同学们好好研究一下，对你们的学习非常有帮助呢！
解法一：（判别式法）
初等数学中，二次曲线的切线问题源于判别式，且利用判别式还可得出有关切线的某些性质、公式或定理。

解法二：。

利用隐函数定理解高考中二次曲线的切线问题导数给高中数学增添了新的活力，也是高考的热点内容.纵观历年高考，有很多导数试题与高等数学中的隐函数导数有关.本文是在高三备考复习中，对近些年来全国和若干省（市）高考数学卷中的把关题和压轴题做一些简单分析，旨在为备考初等数学与高等数学的衔接知识方面起抛砖引玉的作用.一、隐函数定理设函数F（x，y）在包含（x0，y0）的一个开集上连续可微，并且满足条件F（x0，y0）=0，Fy（x0，y0）≠0，则存在以（x0，y0）为中心的开方块D×E（D=（x0-δ，x0+δ），E=（y0-η，y0+η）），使得（1）对任何一个x∈D，恰好存在唯一的一个y∈E，满足方程F （x，y）=0.这就是说，方程F（x，y）=0确定了一个从D到E的函数y=f（x）；（2）函数y=f（x）在D连续可微，它的导数可按下式计算dydx=-Fx（x，y）Fy（x，y）.二、问题已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）.（Ⅰ）点P（x0，y0）是椭圆C上一点，求过P点的椭圆C的切线方程；（Ⅱ）点P（x0，y0）是椭圆C外一点，过P引椭圆C的切线PA、PB，点A、B为切点，求直线AB的方程.解：（Ⅰ）根据隐函数定理f′（x）=dydx=-2xa22yb2=-xb2ya2，过P的切线斜率k=-x0b2y0a2，过P的切线方程为y-y0=--x0b2y0a2（x-x0），整理得x0xa2+y0yb2=1.（Ⅱ）设切点A（x1，y1）、B（x2，y2），由（1）知切线PA：x1xa2+y1yb2=1，切线PB：x2xa2+y2yb2=1，由直线PA、PB的交点为P（x0，y0），所以直线AB的方程为x0xa2+y0yb2=1.三、推广命题1 已知圆C：（x-a）2+（y-b）2=r2.（1）点P（x0，y0）是圆C上一点，则过P点的圆C的切线方程为（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2.（2）点P（x0，y0）是圆C：（x-a）2+（y-b）2=r2外一点，过P引圆C的切线PA、PB，点A、B为切点，则直线AB的方程为（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2.命题2 已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）.（1）点P（x0，y0）是双曲线C上一点，则过P点的双曲线C的切线方程为x0xa2-y0yb2=1.（2）点P（x0，y0）是双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）外一点，过P引双曲线C的切线PA、PB，点A、B为切点，则直线AB的方程为x0xa2-y0yb=1.命题3 已知抛物线C：x2=2py（p>0）.（1）点P（x0，y0）是抛物线C上一点，则过P点的抛物线C 的切线方程为x0x=2p・y0+y2.（2）点P（x0，y0）是抛物线C：x2=2py（p>0）外一点，过P引抛物线C的切线PA、PB，点A、B为切点，则直线AB的方程为x0x=2p・y0+y2.四、在高考中的应用图1【例1】如图1，以椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的中心为圆心，分别以a和b为半径作大圆和小圆.过椭圆右焦点F（c，0）（c>b）作垂直于x轴的直线交大圆于第一象限内的点A.连结OA交小圆于点B.设直线BF是小圆的切线.（Ⅰ）证明c2=ab，并求直线BF与y轴的交点M的坐标；（Ⅱ）设直线BF交椭圆于P、Q两点，证明OP・OQ=12b2.解：（Ⅰ）F（c，0），则A（c，b），所以OA的方程为y=bcx.由y=bcx，x2+y2=b2得B（bca，b2a），则根据隐函数定理，小圆O在B点的切线BF的方程为bcax+b2ay=b2，又该切线过点F（c，0），所以c2=ab，M（0，a），（Ⅱ）由（1）知切线BF的方程为cx+by=ab，由方程组x2a2+y2b2=1，cx+by=ab，得x1x2=a4b-a2b3a3+b3，y1y2=a2b3-a3b2a3+b3，x1x2+y1y2=a4b-a2b3a3+b3+a2b3-a3b2a3+b3=a3b（a-b）（a+b）（a2-ab+b2）.又c2=ab，a2=b2+c2，a2=b2+ab.a+b=a2b，a-b=b2a.x1x2+y1y2=a4b-a2b3a3+b3+a2b3-a3b2a3+b3=a3b（a-b）（a+b）（a2-ab+b2）=12b2，所以OP・OQ=x1x2+y1y2=12b2.图2【例2】在平面直角坐标系xOy中，有一个以F1（0，-3）和F2（0，3）为焦点、离心率为32的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量OM=OA+OB.求点M的轨迹方程.解：根据题意，椭圆半焦距长为3，半长轴长为a=ce=2，半短轴长b=1，即椭圆的方程为x2+y24=1.设点P坐标为（cosθ，2sinθ）（其中0所以点M的轨迹方程为（1x）2+（2y）2=1（x>0且y>0）.评析：例1是过圆上的点作圆的切线，例2是过椭圆上的点作椭圆的切线，都是研究切线的直线方程，是命题1的应用.【例3】如图3，设抛物线方程为x2=2py（p>0），M为直线y=-2p 上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，|AB|=410，求此时抛物线的方程；（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x2=2py（p>0）上，其中点C满足OC=OA+OB（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）证明：由题意设M（x0，-2p），则根据隐函数定理，直线AB的方程为x0x=2p×-2p+y2，即x0x-py+2p2=0.由x0x-py+2p2=0，x2=2py得x2-2x0x-4p2=0，①图3即2x0=x1+x2.所以A、M、B三点的横坐标成等差数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x0=2时，直线AB的方程为2x-py+2p2=0，方程①即为x2-4x-4p2=0，因此x1+x2=4，x1x2=-4p2，kAB=2p.由弦长公式得|AB|=1+k2（x1+x2）2-4x1x2=1+4p216+16p2.又|AB|=410，所以p=1或p=2，因此所求抛物线方程为x2=2y或x2=4y.（Ⅲ）由（Ⅰ）知x1+x2=2x0，则y1+y2=2x20+4p2p.由题意得C（x1+x2，y1+y2），即C（2x0，2x20+4p2p）.当x0=0时，则x1+x2=2x0=0，此时，点M（0，-2p）符合题意.当x0≠0时，设D（x3，y3），由题意可得x23=2py3，y3-2x20+4p2px3-2x0=-px0，x0x3+2x02-py3+2x20+4p2p2+2p2=0.解关于x0，x3，y3的方程组，经验检该方程组无解.所以x0≠0时，不存在符合题意的M点.综上所述，仅存在一点M（0，-2p）符合题意.图4【例4】设点P（x0，y0）在直线x=m（y≠±m，0解：（Ⅰ）设A（xA，yA），N（xN，xN），AN垂直于直线y=x，则，yA-xNxA-xN=-1，xN=xA+yA2，N（xA+yA2，xA+yA2）.设G（x，y），则x=1m+xA+xA+yA23=13m+12xA+16yA，y=xA+yA2+yA3=16xA+12yA，解得xA=94x-34y-34m，yA=-34x+94y+14m，代入双曲线方程x2-y2=1，并整理得9（x-13m）22-9y22=1，即G点所在的曲线方程为（x-13m）229-y229=1.（Ⅱ）设P（m，y0），则根据隐函数定理得过P的双曲线切线方程为mx-y0y=1，又M（1m，0）满足上述方程，A、M、B三点共线.点评：例3是过抛物线外一点作抛物线的两切线，例4是过双曲线外一点作双曲线的两切线，都是研究切点弦所在的直线方程，是以上命题（2）的应用.五、评析（1）在近几年高考试题中有关过曲线上点的切线、曲线外一点引曲线的两切线的切点弦问题出现频率高，而且以压轴题为主.（2）用隐函数定理解这种题型比用常规方法（判别式法、转化为求导数、解方程组等）要省事.（3）这种题型具有明显的高等数学背景，它对进一步学习高等数学来说是非常必须的，具有较好的选拔功能，同时也具有导学和导教功能.。

二次曲线的切线方程
什么是二次曲线？二次曲线是指一个二元一次方程，它由一个二次项、两个一次项和一个常数项组成，并以给定方程求出的曲线，比如椭圆、双曲线和抛物线等。

平面中的椭圆、双曲线和抛物线都是二次曲线的一种。

切线，又称法线或正切线，是一条与曲线的切点处的切线方向相同的线，切线的斜率值等于曲线在切点处的切率值。

在二次曲线上，任何一点都有一条切线，因此，研究二次曲线切线的方程也就变得非常重要。

求解二次曲线切线方程的正确方法是首先计算出曲线上每一点
的切率值，然后再根据它们求出切线方程。

一般来说，可以用一下公式来计算出切线方程：
$$y-y_1=m(x-x_1)$$
式中，m表示切点处的切率值，(x1，y1)表示切点的坐标。

同时，还可以用偏导数法计算二次曲线切线方程。

一般来说，二次曲线的切点处的偏导数就等于切线方程的斜率。

如果满足二次曲线的方程,$$ax^2+bx+c=0$$，切点处的斜率值为：$$m=frac{-b}{2a}$$ 接下来，要讨论的是如何使用二次曲线的切线方程来求解问题。

一般来说，切线方程可以用来求解曲线上任意两点的距离以及曲线的使用情况。

此外，它还可以用来求解曲线的最大值和最小值，以及曲线的单调性。

有时，切线方程还可以用来求解曲线上某一点处的切点，或者求解曲线上某一点处的曲率。

通过以上分析，可以看出二次曲线的切线方程非常重要，它可以用来解决很多有关曲线的问题，因此，在数学中研究二次曲线的切线方程也就变得非常重要起来。

因此，在数学教学中，有必要对这一内容进行深入的研究，使学生们能够更好地理解它，也能够用它来解决实际问题。

二次曲线的切线方程及应用[摘要] 本文主要利用隐函数求导的方法推导常见二次曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）上某点处的切线方程，并得出一般二次曲线的切线方程及切点弦方程，再将相应结论进行应用。

[关键词] 二次曲线切线方程切点弦方程有关二次曲线的切线方程及其应用问题，近年来在各类考试中出现的频率颇高，为更好地解决此专题的问题，笔者将常见二次曲线的切线方程及切点弦方程的有关结论及推导过程整理一遍，并简述其应用，以供广大教师及学生参考．1几个常见结论及推导1．在圆上一点处的切线方程为：．（注：为与求其它二次曲线的切线方程所用方法一致，这里利用涉及隐函数求导的方法来推导．）将圆的方程中的y视为关于x的函数（即y是x的隐函数），那么就可以在上式两边分别对x求导数．隐函数求导法则，实际与复合函数求导法则一致，将y看作中间变量，外函数是，内函数为，故．于是有：在两边分别对x求导，得，若，则有．由导数的几何意义知，曲线上某点处切线的斜率是该点的导数值．故对于圆上点，若，则有，此即为在点M处切线的斜率，故所求切线方程为．又，① 为所求．若，由图象可知，此时所求切线方程为：或．又，故所求切线方程为：或．也满足①式．故在圆上一点处的切线方程可统一写为：．2．在椭圆上一点处的切线方程为：．推导过程如下：在两边分别对x求导得：，对于点，若，则有，此即为在点M处切线的斜率．故所求切线方程为，又，故②为所求．若，此时所求切线方程为：或，也满足②式．故在椭圆上一点处的切线方程为：．3．在双曲线上一点处的切线方程为：③．注：推导过程与结论1和结论2的推导过程类似，可让学生动手推导，体会其中的思想．4．在抛物线上一点处的切线方程为：．在两边对x求导，得．对于点，若，则有，此即为在点M处的切线的斜率．故所求切线方程为，即，又在抛物线上，故，因此所求切线方程为：④．若，此时所求切线方程为：也满足④式．故在抛物线上一点处的切线方程为：．结论4的切线方程形式与前3个结论有些不同，引导学生从抛物线的方程的形式观察，得到结论：抛物线的切线方程实际上可写为，进而得到一般性的结论5．将以上四个结论推广，可得到以下结论：5．设是二次曲线上一点，则此曲线在点M处的切线方程为：⑤．注：二次曲线的方程中不含项．此结论推导过程可仿照上述结论的推导过程来完成，这里不再赘述．从结论5出发，进一步思考，若点在二次曲线外，则过点M可作曲线的两条切线，设切点分别为，那么由切点在曲线上及结论5可知，曲线在点A处的切线方程为，曲线在点B处的切线方程为，因点在切线上，故⑥，同理，⑦，综合⑥⑦得，点，的坐标都满足方程．因为经过点的直线是唯一的，故过点A,B的直线方程为：．由此，我们可以得到另一个结论：6．设是二次曲线外一点，则过点M可作曲线的两条切线，设切点分别为，则直线AB的方程（即切点弦方程）为：．由结论6，将曲线方程特殊化为高中常见的二次曲线方程，即可得到关于圆、椭圆、双曲线和抛物线的切点弦方程的相应结论．2应用有关切线方程及切点弦方程的考题，近几年均是热点，比如广州市2013届普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）（简称“广州市一模”）第20题，2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科/理科）第20题，2014年清华等七校自主招生考试（简称“华约卷”）第5题等．2013年广东高考的解析几何题虽和当年广州市一模的解析几何题有较大相似度，但考试结果仍不理想，文[1]指出，2013年的解析几何题“不仅加大了计算量，而且对计算的技巧性的要求大大增强，与压轴题的难度接近（第20题得分2.85分，第21题得分2.13）．”因此，有必要对切线方程及切点弦方程这一专题内容做一个梳理．现将2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学第20题展示如下：已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线 :的距离为 .设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线 ,其中为切点.(Ⅰ) 求抛物线的方程；(Ⅱ) 当点为直线上的定点时,求直线的方程；(Ⅲ) 当点在直线上移动时,求的最小值.略解：(Ⅰ)易得所求抛物线方程是：．(Ⅱ)利用第1部分的结论6，即得所求直线的方程（即切点弦方程）为：，即．（注：高考需将结论6的过程在答卷上推演一遍，因其不是高中课本内的结论.第(Ⅲ)小题解答略．）从此题的解答看，熟知第1部分的几个结论虽可立即得正解，但在高考题的作答中仍要将推导过程再演算一遍，似乎不太便捷，这是因为此题直接考查结论（求切点弦方程），若考查的是利用切点弦方程再求其它问题，那熟知结论的优越性立刻体现．请看2014年华约卷第5题：过椭圆上一点作圆的两条切线，切点为，设直线与轴、轴分别交于点，求的面积的最小值．解析：法一：设，由结论6知，直线的方程为：，，，故的面积．又点在椭圆上，故．由基本不等式得：，即（当且仅当时，等号成立），．，即的面积的最小值为．法二：（利用椭圆的参数方程求解）因点在椭圆上，故可设，由结论6知，直线的方程为：，故，的面积（当且仅当，即或时，等号成立），故的面积最小值为．解法一与解法二虽具体利用的知识不同，但其求解思路是一致的，关键的一步在于写出直线PQ的方程，而在自主招生或竞赛类考试中，直接写出二次曲线的切线方程或切点弦方程是允许的．因此，教师可将有关二次曲线的切线方程及切点弦方程问题形成一个小专题，根据学生水平及实际需要，适当讲解以上结论作为拓展，为学生获得更佳成绩打好基础．3小结由于高中阶段没有涉及到隐函数求导的内容，因此高考题在考纲范围内只能考查形如的抛物线的切点弦方程，对于一般水平的学生，教师只需讲透高中常见的解法即可．而第1部分的结论是常见二次曲线的有关切线方程和切点弦方程的结论，结论5、结论6将常见二次曲线的切线方程、切点弦方程统一起来，得到一般二次曲线的切线方程、切点弦方程．实践表明，对于能力较强的学生，是可以理解第1部分的几个结论的推导，并且利用这些结论对于他们应对自主招生或竞赛类考试有一定的帮助．参考文献[1] 彭建开.于平凡处见“真功夫”——2013年高考广东理科试题第20题解析[J].广东教育(高中版), 2013(7·8): 59-60．。