高数 第一章 作业

高等数学习题及解答(1) 1 / 21

一般班高数作业（上）

第一章 函数

1、试判断以下每对函数是不是同样的函数，并说明原因：

（2） y sin(arcsin x) 与

（6） y arctan(tan x) 与

y x； （4）

y x； （8）

y x 与 y x2 ；

y f ( x) 与 x f ( y) 。

解：判断两个函数的定义域和对应法例能否同样。

（2） y sin(arcsin x) 定义域不一样，所以两个函数不一样；

（4） y x2 x ，两个函数同样；

（6） y arctan(tan x) 定义域不一样，所以两个函数不一样；

（8） y f (x) 与 x f ( y) 定义域和对应法例都同样，所以两个函数同样。

2、求以下函数的定义域，并用区间表示：

x 2 1 1

（2） y

x ；

（7） y e x

x ； （3） y 2 x arcsinln 1

x

解：（2） x [ 2,0) ；

（3） x [1 e2 ,0) (0,1 e 2 ] ；

（7） x (0, e) (e, ) 。

1 。

1 ln x

f (x) x2 1, x 0

3、设 1 x2 , x ，求 f ( x) f ( x) 。

0

解：按 x 0 ， x 0 ， x 0 时，分别计算得， f (x) 0 x 0 f ( x)

x 。

2 0

4、议论以下函数的单一性（指出其单增区间和单减区间） ：

（2） y 4x x2 ； （4） y x x 。

解：（2） y 4x x2 4 ( x 2) 2 单增区间为 [0,2] ，单减区间为 [ 2,4] 。

（4） y x x 2x x 0 ) 。

第七章 多元函数微分学

作业1 多元函数

1．填空题

（1）已知函数22,yfxyxyx，则,fxy22211xyy；

（2）49arcsin2222yxyxz的定义域是22,49xyxy；

（3）)]ln(ln[xyxz的定义域是

,,0,1,0,1xyxyxxyxxyx；

（4）函数0,0,sin),(xyxxxyyxf的连续范围是 全平面 ；

（5）函数2222yxzyx在22yx处间断.

2．求下列极限

（1）0039limxyxyxy；

解：000039391limlimlim639xttyxyttxytt

（2）22()lim(exyxyxy）. 解：3yx22()2()lim(elim(e2xyxyxyxxyyxyxyxeye））

由于1limelimlim0ttttttttee，2222limelimlimlim0ttttttttttteee，

故22()2()lim(elim(e20xyxyxyxxyyxyxyxeye））

3．讨论极限26300limyxyxyx是否存在.

解：沿着曲线3,,0,0ykxxy,有336626262000limlim1xxykxxykxkxyxkxk因k而异，从而极限26300limyxyxyx不存在

4．证明0,00,2),(222222yxyxyxxyyxf在点)0,0(分别对于每个自变量x或y

都连续，但作为二元函数在点)0,0(却不连续.

(完满版)2019年电大高数基础形考1-4答案

2019 年电大高数基础形考 1-4 答案

《高等数学基础》作业一

第 1 章 函数

第 2 章 极限与连续 （一） 单项选择题

⒈以下各函数对中，（ C ）中的两个函数相等．

A. f ( x) ( x) 2 ， g( x)

C. f ( x) ln x3 ， g (x)

⒉设函数 f ( x) 的定义域为 (

A. 坐标原点

C. y 轴

x B. f ( x) x 2 ， g (x) x

3 ln x D. f ( x) x 2 1 x 1 ， g( x)

1 x , ) ，则函数 f ( x) f ( x) 的图形关于（ C）对称．

B. x 轴

D. y x

⒊以下函数中为奇函数是（ B）．

A. y ln( 1 x2 ) B. y x cos x

C. y a x a x

D. y ln(1 x)

2

C）．

⒋以下函数中为基本初等函数是（

A. y x 1 B. y x

C. y x 2 D. y 1 , x 0

1 , x 0

⒌以下极限存计算不正确的选项是（ D ）．

A. lim x 2 1 B. lim ln(1 x) 0 x 2 x 2 x 0

C. lim sin x 0 D. 1 0 lim x sin

x x x x

⒍当 x 0 时，变量（ C）是无量小量．

A. sin x B. 1

x x

C. x sin 1

D. ln( x 2)

x

⒎若函数 f ( x) 在点 x0 满足（ A ），则 f ( x) 在点 x0 连续。

A. lim f ( x) f ( x0 ) B. f ( x) 在点 x0 的某个邻域内有定义

︱1/(x-1)︱>M

这就证明了lim

x→1(1/x-1)=∞.

直线X=1是函数y=1/(x-1)的图形的铅直渐近线。

一般地说，如果lim

x→x0f(x)=∞,则x=x。是函数y=f(x)的图形的铅直渐近线。

无穷大与无穷小之间有一种简单的关系，即：

定理2 在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大,则为1/f(x)无穷小；反之，如果f(x)为无穷小，且f(x)≠0,则1/f(x)为无穷大。

证 设 lim

x→xof(x)=∞.

νε>0根据无穷大的定义，对于M=1/ε, δ>0，当0<∣X-X。∣M=1/ε,

即 ∣1/f(x)∣

所以1/f(x)为当x→x0时的无穷小。

反之，设lim

x→x0f(x)=0,且f(x)≠0。

M>0。根据无穷小的定义，对于ε=1/M，δ>0，当0<∣X-X。∣

由于当0<∣X-X。∣

∣1/f(x)∣>M, 所以1/f(x)为x→x0时的无穷大。 类似可证当x→∞时的情形。 习题 1﹣4

1．两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明。

2．根据定义证明：

（1）y=392xx为X→3时无穷小； （2）y=xsinx1为当x→0时的无穷小。

3．根据定义证明：函数y=xx21为当x→0时无穷大。问x满足什么条件，能使∣y∣>104?

4.求下列极限并说明理由：

（1）xlimxx12； （2）0limxxx112

5．根据函数定义或无穷大定义，填写下表;

f(x)→A f(x)→∞ f(x)→+∞ f(x)→-∞

x→x。

x→x。+

x→x。-

x→∞

x→+∞

x→-∞

6.函数y=xcosx在（﹣，﹢）内是否有界限？这个函数是AXX）（即有时，使当xf|||0,0,.00MXXM|xf|||x,0,.0）（即有时，使当否为x时的无穷大？为什么？