05_02(第20讲)第5章FIR滤波器的设计方法
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数字信号处理Digital Signal Processing
第20讲窗口设计法
5.2 窗口设计法（时域）
如滤波器的理想频率响应为波器的设计就在于寻找一个实际系统函数()10()N j jn n H e h n e
ωω−−==∑去逼近h (n)可以从理想频响通过傅里叶反变换获得
时间窗口设计法是从单位脉冲响应序列着手，使h(n)逼近理想的单位脉冲响应序列一般来说，理想频响界频率处有突变点，所以，这样得到的响应h d (n)往往都是无限长序列，而且是非因果的(d e H FIR 的h(n)是有限长的。
无限长非因果理想单位脉冲响应h
(n)
d
矩形窗函数
实际的FIR滤波器
以一个截止频率为ωc 的线性相位理想低通滤波器为例，讨论FIR 的设计问题。
一矩形窗口法
⎪⎨⎧≤⋅=−ωωωαωj j e e H 1)(π2a. 对于给定的理想低通滤波器
理想特性的h
d (n)和H
d
(ω)
这是一个以为中心的偶对称的无限长非因果序列α
设为窗口函数的频谱:)(ωj e W ()j d H e H ω=)
(ωj e H c. 计算
对频响起作用的是它的幅度函数
()sin
ω
W
=
R
理想频响写成幅度函数和相位函数的表示形式
H d (e j ω)=H d (ω)e -j ⎩⎨⎧=ωωω0|1)(d H 信号时域的乘积对应于频域卷积
幅度函数为
是理想滤波器幅度函数与窗函数幅度函数的卷积。
ωj H e H =()(∫−=ππθπωW H H d )(21)(以幅度函数和相位函数来表示实际FIR 滤波器的幅度函数H(
4个特殊频率点看卷积结果：
故H(0)近似为)(θR W N c πω2>>)(θR W （1）ω=0时, H(0)等于在在
（2）ω=ω
时，一半重叠，H(
c
（3）ω=ω
–2π/N时，第一旁瓣
c
现正肩峰；
（4）ω=ω
c +2π/N 时，第一旁瓣（负数）在通带
内，出现负肩峰。
矩形窗的卷积过程
的改变不能改变主瓣与旁瓣的比例关系的绝对值大小和起伏的密度，当N 增加时，窗口函数对理想特性的影响：
①改变了理想频响的边沿特性，形成过渡带，宽为，等于W R (ω)的主瓣宽度。
②过渡带两旁产生肩峰和余振（带内、带外起伏），取决于WR(ω)的旁瓣，旁瓣多，余振多；旁瓣相对值大，肩峰强，与N 无关。
(决定于窗口形状③N 增加,过渡带宽减小,肩峰
0用矩形窗设计的ω
c
=π/2 FIR滤波器的幅度响应
-10
肩峰值的大小决定了滤波器通带内的平稳程度和阻带内的衰减，所以对滤波器的性能有很大的影响。
改变窗函数的形状，可改善滤波器的特性，窗函数有许多种，但要满足以下两点要求：
①窗谱主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带；
(]2cos 1[1)(n R n n w N ⎟⎞⎜⎛−=π5.2.2 几种常用的窗函数
1. 矩形窗
2. 汉宁窗（升余弦窗）
利用ＤＴＦＴ的移位特性，汉宁窗频谱的幅度函数W(ω)可用矩形窗的幅度函数表示为：
25.0)(5.0)(2e n R n w N j N ⎜⎜⎝⎛−=−πN −⎛2. 汉宁窗（升余弦窗）
⎢⎣
⎡
−−
+=2(25.0)(5.0)(N W W W R R πωωω三部分矩形窗频谱相加，使旁瓣互相抵消，能量集中
在主瓣，旁瓣大大减小，主瓣宽度增加
-44-20
0d B
它是对汉宁窗的改进，在主瓣宽度（对应第一零点的宽度）相同的情况下，旁瓣进一步减小，可使99.96%的能量集中在窗谱的主瓣内。
cos 46.054.0)(n w ⎢⎡−=3. 汉明窗（改进的升余弦窗）
增加一个二次谐波余弦分量，可进一步降低旁瓣，
但主瓣宽度进一步增加，为12cos 5.042.0)(N n n w ⎢⎣⎡+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=π12π4. 布莱克曼窗（三阶升余弦窗）
四种窗函数的比较
窗口函数的频谱N=51，A=20lg|W(ω)/W(0)|
π
ω5.0
N
51=
=
c
窗函数主瓣宽度过渡带宽
矩形N
/4πN
/8.1π汉宁N /8πN /2.6π汉明N /8πN /6.6π
以上四种窗函数，都是以增加主瓣宽度为代价来降低旁瓣。
凯塞窗则可自由选择主瓣宽度和旁瓣衰减。
()[]()
1/211)(2⎜⎝⎛−−−=
I N n I n w o o ββ5.凯塞窗
I 0(x)
0.30.40.50.60.70.80.91w (n )
-60-50-40-30-20-100幅度/d B
β过渡带通
2.120
3.00π/N±
3.384
4.46π/N±
4.538
5.86π/N±
∑−==
10
(1
)(M n d
M H
M
n h 窗口设计法的主要工作是计算较为复杂时，h d (n)不容易由反傅里叶变换求得。
这时一般可用离散傅里叶变换代替连续傅里叶变换，求得近似值：
ω
βΔ−≈
⎪⎩⎪⎨⎧+−−=286.28,0(07886.0)21(5842.0),7.8(1102.04.0At N At At At
在窗口函数方面，MATLAB可计算以下的窗口函数：W=hanning(N)
W=hamming(N)
W=blackman(N)
W=kaiser(N, beta)
Ｎ是窗函数长度，beta是凯塞窗参数β，可利用公式计算，Ｗ是返回的窗口函数，长度为Ｎ。
例 用凯塞窗设计一FIR 低通滤波器，低通边界频率阻带边界频率πω5.0=r ，阻带衰减At 不小于解 首先求解)(n h d ，根据指标要求其边界频率应为
πωωω2
5.03.02'+=+=
r
c c
wn=kaiser(30,4.55);
nn=[0:1:29];
alfa=(30-1)/2;
hd=sin(0.4*pi*(nn-alfa))./(pi*(nn-alfa)); h=hd.*wn';
[h1,w1]=freqz(h,1);
例用MATLAB 计算以上例题，低通边界频率界频率πω5.0=r ，阻带衰减At 不小于50dB 解 阻带衰减50dB At = 则5020
20
1010
0.00320.003At δ−===≈
代入相关参数
[M, Wc, beta, ftype]=kaiserord([0.3 0.5], [1 0], [0.01 0.003])
得：M= 30 Wc = 0.4000 beta = 4.6017 ftype =low
5.2.3 用MATLAB实现窗口设计法FIR滤波器的4个频带分别为
0≤ω≤πf1 πf2≤ω≤πf3 πf4≤ω≤πf5
FIR滤波器在4个频带中的幅度值为
a1a2a3
FIR滤波器在4个频带中的波动
例4 用窗函数法设计一线性相位高通滤波器。
该滤波器在通带和阻带具有相同的波动幅度
为0.35π~π，阻带范围为0~0.2π。
解采用fir1的函数，凯塞窗，MATLAB
f=[0.2 0.35]; a=[0 1];
dev=[0.01 0.01];
[M, Wc, beta, ftype]=kaiserord(f, a, dev);
h=fir1(M, Wc,ftype, kaiser(M+1,beta));
单位脉冲相应
例:试用Kaiser 窗设计满足下列指标的具有ωs1=0.1π,
ωp1=0.2π，ωp2=0.4π, ωs2=0.5π, ωs3=0.6π, ωp3=0.7π, ωp4=0.8π, ωs4=0.9π, δs =0.01
f=[0.1 0.2 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9];a=[0,1,0,1,0];Rs=0.01;
5.5 IIR与FIR数字滤器的比较
FIR
设计方
法一般无解析的设计公式，要借助计算机程序完成
设计结
果可得到幅频特性（可以多带）和线性相位（最大优点）
稳定性极点全部在原点（永远稳定）。
