圆的有关概念与性质复习题案

圆的相关概念及性质复习导学案

一、中考要求（复习目标）

1.理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系；

2.探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系，直径所对圆周角的特征；

3.掌握垂径定理及推论的应用；

4.了解点与圆的位置关系。

5.圆的对称性（轴对称和中心对称）；

二、复习重点

1.垂径定理及推论；

2.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系；

3.圆周角的定理及其推论；

4.与性质相关的计算

三、复习难点

1.垂径定理及推论；

2.圆心角与圆周角之间的关系以及圆周角的相关性质；

3.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。

4.与性质相关的综合计算

四、知识回顾

考点一：圆

1.在一个平面内，线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫圆心，线段OA叫做半径；

2.连接圆上任意两点的线段叫_______；经过圆心的弦叫______;圆上任意两点间的部分叫_______;大于半圆的弧叫_______;小于半圆的弧叫_______.

考点二：圆的对称性

圆是一个特殊的图形，它既是一个____对称图形，又是一个____对称图形。

考点五：垂径定理及其推论

1.垂径定理：垂直于弦的直径______这条弦，并且平分弦所对的________；

2.推论：（1）平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；（4）圆的两条平行弦所夹的弧相等。

考点三：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等；

2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组两相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

考点四：圆心角与圆周角

1.圆心角定理:圆心角的度数和它所对的弧的度数相等；

【2020中考数学专项复习】：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系

【考纲要求】

1. 圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但不会有太复杂的大题出现；

2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．

【知识网络】

【考点梳理】

考点一、圆的有关概念及性质

1．圆的有关概念

圆、圆心、半径、等圆；

弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；

三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角．

要点诠释：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．

2．圆的对称性

圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；

圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；

圆具有旋转不变性．

3．圆的确定

不在同一直线上的三个点确定一个圆．

要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小． 4．垂直于弦的直径

垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

要点诠释：在图中(1)直径CD，(2)CD⊥AB，(3)AM＝MB，(4)CCAB，(5)ADBD．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三．

注意：(1)(3)作条件时，应限制AB不能为直径．

5．圆心角、弧、弦之间的关系

定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等．

6．圆周角

圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

圆的基本性质知识点及典型例题

辅导学案：圆的基本性质

一、知识点梳理

1.圆的定义及有关概念

圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。圆的一些相关概念包括弦、直径、弧、等弧、优弧、劣弧、半圆、弦心距、等圆、同圆、同心圆等。在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧。

2.平面内点与圆的位置关系

圆的半径为r，同一平面内点到圆心的距离为d，点与圆的位置关系可以分为在圆外、在圆上和在圆内三种情况。

二、例题解析

例1：如图，在Rt△ABC中，直角边AB=3，BC=4，点E，F分别是BC，AC的中点，以点A为圆心，AB的长为半径画圆，则点E在圆A的内部，点F在圆A的上方。

例2：在直角坐标平面内，圆O的半径为5，圆心O的坐标为(-1,-1)，点P(3,-4)。判断点P与圆O的位置关系。

例3：下列说法中，正确的是：直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是直径；半径相等的两个半圆是等弧；一条弦把圆分成两段弧中，至少有一段优弧。

例4：有下列四个命题：直径相等的两个圆是等圆；长度相等的两条弧是等弧；圆中最大的弦是通过圆心的弦；一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧。其中真命题是直径相等的两个圆是等圆。

三、垂径定理及应用

垂径定理指出，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。平分弦的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧。垂径定理最重要的应用是通过勾股定理来解决有关弦、半径、弦心距等问题。

例1：下列语句中正确的是：相等的圆心角所对的弧相等；相等的弧所对的弦相等；平分弦的直径垂直于弦；弦的垂直平分线必过圆心。

例2：过圆内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长为8cm，那么OM的长为9cm。

例3：如图所示，以O为圆心的两个同心圆中，小圆的弦AB的延长线XXX圆于C，若AB=6，BC=1，则与圆环的面积是π(26-3)。

例4：在半径为5厘米的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8厘米，另一条弦长为6厘米，则两弦之间的距离为1厘米。

年级：九 教室： 科目：数学 日期：2014 年 4 月 19 日 课次：1

任课教师：冯老师 博文教育讲义

一、课题名称

圆的有关概念及性质

二、学习目标

1．理解圆的定义和圆的有关概念；

2.理解圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，并能运用它们之间的关系解决有关问题；

3.掌握垂径定理及其应用。

三、教学过程

(1)知识回顾

1．与圆有关的概念

(1)圆的定义

_________________________________图形叫做圆．

在一平面内，圆是到定点的距离等于定长的点的集合。

(2)弦：连结圆上___________的线段叫做弦．

(3)直径：___________的弦叫做直径．（直径也是弦）

(4)弧：圆上任意两点间的部分叫做___________．

(5)优弧：___________叫做优弧．

(6)劣弧：___________叫做劣弧．

(7)同心圆：圆心相同、半径不相等的圆的叫做同心圆．

(8)等圆：___________叫做等圆．

(9)等弧：在同圆或等圆中，___________的弧叫做等弧．（长度一样，形状一样）

(10)圆心角、圆周角、弦切角的概念。

2．圆的对称性

(1)圆是轴对称图形，经过圆心的每一条___________都是它的对称轴．

(2)圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．

(3)圆是旋转对称图形．圆绕圆心旋转___________角度，都能和原来的图形重合。 ．

3．垂径定理及推论

(1)垂径定理

垂直于弦的直径___________，并且___________．

(2)推论

平分弦(不是直径)的直线___________，并且___________．

弦的垂直平分线____________________________________________________.