【人教A版】必修4高中数学同步辅导与检测题：第三章3.1-3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式(含答案)
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1 第三章 三角恒等变换
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
A级 基础巩固
一、选择题
1．sin 15°sin 75° 的值为( )
A.12 B.32 C.14 D.34
解析：原式＝sin 15°cos 15°＝12(2sin 15°cos 15°)＝12sin 30°＝14 .
答案：C
2．已知sin α＝23，则cos (π－2α)＝( )
A．－53 B．－19 C.19 D.53
解析：因为sin α＝23，
所以cos (π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin2 α)＝－1＋2×232＝－19.
答案：B
3.1－sin 24°等于(
)
A.2cos 12° B．2cos 12°
C．cos 12°－sin 12° D．sin 12°－cos 12°
解析：1－sin 24°＝ sin2 12°－2sin 12°cos12°＋cos212°＝
2 （sin 12°－cos 12°）2＝
|sin 12°－cos 12°|＝cos 12°－sin 12°.
答案：C
4．已知cosα＋π4＝14，则sin 2α的值为( )
A.78 B．－78 C.34 D．－34
解析：因为cosα＋π4＝14，
所以sin 2α＝－cos2α＋π2＝－cos2α＋π4＝
1－2cos2α＋π4＝1－116×2＝78.
答案：A
5．若α∈0，π2，且sin2 α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( )
A.22 B.33 C.2 D.3
解析：因为sin2 α＋cos 2α＝14，
所以sin2 α＋cos2 α－sin2 α＝cos2 α＝14
所以cos α＝±12.
又α∈0，π2，
所以cos α＝12，sin α＝32.所以tan α＝3.
答案：D
3 二、填空题
6．(2016·四川卷)cos2π8－sin2π8＝________．
解析：cos2π8－sin2π8＝cos π4＝22.
答案：22
7．已知sin θ2＋cos θ2＝233，那么sin θ＝________，cos 2θ＝________．
解析：因为sin θ2＋cos θ2＝233，
所以sin θ2＋cos θ22＝43，
即1＋2sin θ2cosθ2＝43，所以sin θ＝13，
所以cos 2θ＝1－2sin2 θ＝1－2×132＝79.
答案：13 79
8．已知sin π4－x＝35，则sin 2x的值等于________．
解析：法一：因为sinπ4－x＝35，所以cos π2－2x＝
1－2sin2π4－x＝1－2×352＝725，
所以 sin 2x＝cosπ2－2x＝725.
法二：由sinπ4－x＝35，得22(sin x－cos x)＝－35，
4 所以sin x－cos x＝－325，两边平方得
1－sin 2x＝1825，
所以sin 2x＝725.
答案：725
三、解答题
9．求证：cos2α1tan α2－tan α2＝14sin 2α.
证明：法一：左边＝cos2αcos
α2sin α2－sin
α2cos α2＝cos2αcos2α2－sin2α2sin α2cos α2
＝cos2αsin α2cos
α2cos2α2－sin2α2＝cos2αsin α2cos α2cos
α
＝sin α2cos α2cos α＝12sin αcos α＝14sin 2α＝右边．
所以原式成立．
法二：左边＝cos2αtan α21－tan2α2＝12cos2α·2tan α21－tan2α2＝
5 12cos2α·tan α＝12cos αsin α＝14sin 2α＝右边．
所以原式成立．
10．已知tan α＝17，tan β＝13，并且α、 β均为锐角，求α＋2
β的值．
解：因为tan β＝13，所以tan 2 β＝2tan β1－tan2 β＝2×131－132＝34，所以tan(α＋2 β )＝
tan α＋tan 2 β1－tan αtan 2 β＝17＋341－17×34＝1.
0＜tan α＝17＜1，0＜tan β＝13＜1，
又已知α， β均为锐角，
所以0＜α＜π4，0＜ β ＜π4，0＜2 β ＜π2，
所以0＜α＋2 β ＜3π4.
又tan(α＋2 β )＝1，所以α＋2 β＝π4.
B级 能力提升
1．函数y＝12sin 2x＋sin2 x，x∈R 的值域是( )
A.－12，32 B.－32，12
6 C.－22＋12，22＋12 D.－22－12，22－12
解析：y＝12sin 2x＋1－cos 2x2＝
2222sin 2x－22cos 2x＋12＝
22sin2x－π4＋12.
因为x∈R，所以2x－π4∈R ，sin2x－π4∈[－1，1]，
所以函数y的值域是－22＋12，22＋12.
答案：C
2．已知等腰三角形底角的余弦值等于45，则这个三角形顶角的正弦值为________．
解析：设此三角形的底角为α，顶角为 β，则cos α＝45，sin α＝35，
所以sin β＝sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin
αcos α＝
2×35×45＝2425.
答案：2425
3．已知sin x2－2cos x2＝0.
(1)求tan x的值；
7 (2)求cos 2xcos5π4＋xsin（π＋x）的值．
解：(1)由sin x2－2cos x2＝0，知cos x2≠0，
所以tan x2＝2，
所以tan x＝2tan x21－tan2x2＝2×21－22＝－43.
(2)由(1)知，tan x＝－43，
所以cos 2xcos5π4＋xsin（π＋x）
＝cos 2x－cosπ4＋x（－sin x）
＝cos2x－sin2x22cos x－22sin xsin x
＝（cos
x－sin x）（cos x＋sin x）22（cos x－sin x）sin x
＝2×cos x＋sin xsin x
＝2×1＋tan xtan x＝24.
