高考数学基础突破 导数与积分 第1讲 变化率与导数

变化率与导数、导数的计算【考点梳理】1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：①定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝lim Δx →0ΔyΔx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0fx 0＋Δx －f x 0Δx.②几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝lim Δx →0f x ＋Δx －f xΔx为f (x )的导函数．2．基本初等函数的导数公式3(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝fx g x －f x gx[g x ]2(g (x )≠0)．【考点突破】考点一、导数的计算【例1】(1)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________.(2)已知函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )且f (x )＝x 2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋sin x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________.(3)已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于( )A ．e 2B ．eC ．ln 22D ．ln 2[答案] (1) 3 (2) 36－4π (3) B[解析] (1)因为f (x )＝(2x ＋1)e x， 所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x， 所以f ′(0)＝3e 0＝3.(2)因为f (x )＝x 2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋sin x ，所以f ′(x )＝2x f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋cos x . 所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2×π3×f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋cos π3. 所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝36－4π.(3) f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1， 由f ′(x 0)＝2，即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e. 【类题通法】熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错． 【对点训练】1．已知函数f (x )＝(x 2＋2)(ax 2＋b )，且f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．0[答案] B[解析] f (x )＝(x 2＋2)(ax 2＋b )＝ax 4＋(2a ＋b )x 2＋2b ，f ′(x )＝4ax 3＋2(2a ＋b )x 为奇函数，所以f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.2．f (x )＝x (2 017＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 018，则x 0等于( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e[答案] B[解析] f ′(x )＝2 017＋ln x ＋x ×1x＝2 018＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 018，得2 018＋ln x 0＝2 018，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.3．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( )A ．－eB ．－1C ．1D ．e[答案] B[解析] 由f (x )＝2x f ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2 f ′(1)＋1x，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.考点二、导数的几何意义【例2】已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程． [解析] (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2， 即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)， 又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)， 整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，∴经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0，或y ＋2＝0. 【类题通法】求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.【对点训练】 已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2，4)的切线方程．[解析] (1)根据已知得点P (2，4)是切点且y ′＝x 2， ∴在点P (2，4)处的切线的斜率为y ′| x ＝2＝4， ∴曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为y ′| x ＝x 0＝x 20，∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.∵点P (2，4)在切线上， ∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0， ∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2， 故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.【例3】(1)若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．(2)已知曲线y ＝x ＋1x －1在点(3，2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－12D ．12(3)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.[答案] (1) (e ，e) (2) A (3) 8[解析] (1)由题意得y ′＝ln x ＋x ·1x＝1＋ln x ，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2.设P (m ，n )，则1＋ln m ＝2，解得m ＝e ， 所以n ＝eln e ＝e ，即点P 的坐标为(e ，e)． (2)由y ′＝－2x －2得曲线在点(3，2)处的切线斜率为－12，又切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝－2，故选A. (3)法一 ∵y ＝x ＋ln x ，∴y ′＝1＋1x，y ′|x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. ∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切， ∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋（a ＋2）x ＋1消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 法二 同法一得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1). ∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)，∴y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2).由⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＋（a ＋2）＝2，ax 20＋（a ＋2）x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－12，a ＝8.【类题通法】处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上. 【对点训练】1．曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( ) A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(1，3)和(－1，3)D ．(1，－3)[答案] C[解析] f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，∴P (1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C.2．已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1，1)处的切线互相垂直，则ab的值为( ) A ．13 B ．23 C ．－23 D ．－13 [答案] D[解析] 由题意，y ′＝3x 2，当x ＝1时，y ′|x ＝1＝3.所以a b ×3＝－1，即a b ＝－13.3．已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2，7)，则a ＝________. [答案] 1[解析] ∵f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)．∵切线过点(2，7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1.。

第十一节变化率与导数、导数的计算一、导数的概念1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．2．函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数．二、基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x三、导数的运算法则1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； 2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；3.⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．1．(教材习题改编)若f (x )＝x e x ，则f ′(1)＝( ) A ．0 B ．e C ．2eD ．e 2解析：选C ∵f ′(x )＝e x ＋x e x ，∴f ′(1)＝2e.2．曲线y ＝x ln x 在点(e ，e)处的切线与直线x ＋ay ＝1垂直，则实数a 的值为( ) A ．2 B ．－2 C.12D ．－12解析：选A 依题意得y ′＝1＋ln x ，y ′ |x ＝e ＝1＋ln e ＝2，所以－1a ×2＝－1，a ＝2.3．(教材习题改编)某质点的位移函数是s (t )＝2t 3－12gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，它的加速度是( )A ．14 m/s 2B ．4 m/s 2C ．10 m/s 2D ．－4 m/s 2解析：选A 由v (t )＝s ′(t )＝6t 2－gt ，a (t )＝v ′(t )＝12t －g ，得t ＝2时，a (2)＝v ′(2)＝12×2－10＝14(m/s 2)．4．(2012·广东高考)曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________． 解析：∵y ′＝3x 2－1，∴y ′ |x ＝1＝3×12－1＝2. ∴该切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝05．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________． 解析：y ′＝(x cos x )′－(sin x )′ ＝x ′cos x ＋x (cos x )′－cos x ＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . 答案：－x sin x 1.函数求导的原则对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．2．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．典题导入[例1] 用定义法求下列函数的导数． (1)y ＝x 2； (2)y ＝4x2.[自主解答] (1)因为Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝(x ＋Δx )2－x 2Δx＝x 2＋2x ·Δx ＋(Δx )2－x 2Δx ＝2x ＋Δx ，所以y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x . (2)因为Δy ＝4(x ＋Δx )2－4x 2＝－4Δx (2x ＋Δx )x 2(x ＋Δx )2， ΔyΔx ＝－4·2x ＋Δx x 2(x ＋Δx )2， 所以limΔx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4·2x ＋Δx x 2(x ＋Δx )2＝－8x 3. 由题悟法根据导数的定义，求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处导数的步骤 (1)求函数值的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)计算导数f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx. 以题试法1．一质点运动的方程为s ＝8－3t 2.(1)求质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度；(2)求质点在t ＝1时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法求解)． 解：(1)∵s ＝8－3t 2，∴Δs ＝8－3(1＋Δt )2－(8－3×12)＝－6Δt －3(Δt )2，v ＝ΔsΔt＝－6－3Δt . (2)法一(定义法)：质点在t ＝1时的瞬时速度 v ＝li m Δt →0ΔsΔt＝li m Δt →0 (－6－3Δt )＝－6. 法二(导数公式法)：质点在t 时刻的瞬时速度 v ＝s ′(t )＝(8－3t 2)′＝－6t . 当t ＝1时，v ＝－6×1＝－6.典题导入[例2] 求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝e x ＋1e x －1； [自主解答] (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.由题悟法求导时应注意：(1)求导之前利用代数或三角恒等变换对函数进行化简可减少运算量．(2)对于商式的函数若在求导之前变形，则可以避免使用商的导数法则，减少失误．以题试法2．求下列函数的导数．(1)y ＝e x ·ln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； 解：(1)y ′＝(e x ·ln x )′ ＝e x ln x ＋e x ·1x ＝e x ⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x . (2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3.典题导入[例3] (1)(2011·山东高考)曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A ．－9B ．－3C ．9D ．15(2)设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．－14B ．2C ．4D ．－12[自主解答] (1)y ′＝3x 2，故曲线在点P (1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y －12＝3(x －1)，令x ＝0得y ＝9.(2)∵曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，∴g ′(1)＝k ＝2. 又f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，∴f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，故切线的斜率为4. [答案] (1)C (2)C若例3(1)变为：曲线y ＝x 3＋11，求过点P (0,13)且与曲线相切的直线方程． 解：因点P 不在曲线上，设切点的坐标为(x 0，y 0)， 由y ＝x 3＋11，得y ′＝3x 2， ∴k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20.又∵k ＝y 0－13x 0－0，∴x 30＋11－13x 0＝3x 20. ∴x 30＝－1，即x 0＝－1. ∴k ＝3，y 0＝10.∴所求切线方程为y －10＝3(x ＋1)， 即3x －y ＋13＝0.由题悟法导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)； (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；(3)已知切线过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)求切点，设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f ′(x 0)求解．以题试法3．(1)(2012·新课标全国卷)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________． (2)(2013·乌鲁木齐诊断性测验)直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则b 的值为( )A ．－2B ．－1C ．－12D ．1解析：(1)y ′＝3ln x ＋1＋3，所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4，所以切线方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3.(2)设切点的坐标为⎝⎛⎭⎫a ，－12a ＋ln a ，依题意，对于曲线y ＝－12x ＋ln x ，有y ′＝－12＋1x ，所以－12＋1a ＝12，得a ＝1.又切点⎝⎛⎭⎫1，－12 在直线y ＝12x ＋b 上，故－12＝12＋b ，得b ＝－1. 答案：(1)y ＝4x －3 (2)B1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：选C f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )[2(x －a )]＝3(x 2－a 2)．2．已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t (t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( )A.194 B.174 C.154D.134解析：选D ∵s ′＝2t －3t 2，∴s ′|t ＝2＝4－34＝134.3． (2012·哈尔滨模拟)已知a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －2)x 的导函数f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为( )A ．y ＝－3xB ．y ＝－2xC ．y ＝3xD ．y ＝2x解析：选B ∵f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －2)x ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －2. ∵f ′(x )为偶函数，∴a ＝0. ∴f ′(x )＝3x 2－2.∴f ′(0)＝－2.∴曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝－2x .4．设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( ) A ．－1 B.12 C ．－2D ．2解析：选A ∵y ′＝－sin 2x －(1＋cos x )cos x sin 2x ＝－1－cos x sin 2x ，∴y ′|x ＝π2＝－1.由条件知1a ＝－1，∴a ＝－1.5．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( ) A ．1 B. 2 C.22D. 3解析：选B 设P (x 0，y 0)到直线y ＝x －2的距离最小，则y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1.得x 0＝1或x 0＝－12(舍)．∴P 点坐标(1,1)．∴P 到直线y ＝x －2距离为d ＝|1－1－2|1＋1＝ 2.6．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )，g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )＝g (x )＝0C ．f (x )－g (x )为常数函数D ．f (x )＋g (x )为常数函数解析：选C 由f ′(x )＝g ′(x )，得f ′(x )－g ′(x )＝0， 即[f (x )－g (x )]′＝0，所以f (x )－g (x )＝C (C 为常数)．7．(2013·郑州模拟)已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________. 解析：∵f ′(x )＝1x －2f ′(－1)x ＋3，f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3，∴f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8.答案：88．(2012·辽宁高考)已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．解析：易知抛物线y ＝12x 2上的点P (4,8)，Q (－2,2)，且y ′＝x ，则过点P 的切线方程为y ＝4x －8，过点Q 的切线方程为y ＝－2x －2，联立两个方程解得交点A (1，－4)，所以点A 的纵坐标是－4.答案：－49．(2012·黑龙江哈尔滨二模)已知函数f (x )＝12x －14sin x －34cos x 的图象在点A (x 0，y 0)处的切线斜率为1，则tan x 0＝________.解析：由f (x )＝12x －14sin x －34cos x 得f ′(x )＝12－14cos x ＋34sin x ，则k ＝f ′(x 0)＝12－14cos x 0＋34sin x 0＝1，即32sin x 0－12cos x 0＝1，即sin ⎝⎛⎭⎫x 0－π6＝1. 所以x 0－π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得x 0＝2k π＋2π3，k ∈Z.故tan x 0＝tan ⎝⎛⎭⎫2k π＋2π3＝tan 2π3＝－ 3. 答案：－ 310．求下列函数的导数． (1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；解：(1)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′ ＝tan x ＋x ·⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝tan x ＋x cos 2x. (2)y ′＝(x ＋1)′(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)[(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋12x ＋11.11．已知函数f (x )＝x －2x ，g (x )＝a (2－ln x )(a >0)．若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率相同，求a 的值，并判断两条切线是否为同一条直线．解：根据题意有曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为f ′(1)＝3， 曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率为g ′(1)＝－a .所以f ′(1)＝g ′(1)，即a ＝－3.曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y －f (1)＝3(x －1)， 得：y ＋1＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －4＝0. 曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程为y －g (1)＝3(x －1)． 得y ＋6＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －9＝0， 所以，两条切线不是同一条直线．12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1，当曲线y ＝f (x )斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行时，求a 的值．解：f ′(x )＝3x 2＋2ax －9＝3⎝⎛⎭⎫x ＋a 32－9－a 23，即当x ＝－a 3时，函数f ′(x )取得最小值－9－a 23，因斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行， 即该切线的斜率为－12，所以－9－a 23＝－12，即a 2＝9，即a ＝±3.1．(2012·商丘二模)等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则f ′(0)＝( )A ．0B ．26C ．29D ．212解析：选D ∵f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)， ∴f ′(x )＝x ′(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′ ＝(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′，∴f ′(0)＝(－a 1)·(－a 2)·…·(－a 8)＋0＝a 1·a 2·…·a 8＝(a 1·a 8)4＝(2×4)4＝(23)4＝212. 2．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )(n ∈N *，n ≥2)，则f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 012⎝⎛⎭⎫π2＝________. 解析：f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ， f 3(x )＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x ， f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ， 以此类推，可得出f n (x )＝f n ＋4(x )， 又∵f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＋f 4(x )＝0，∴f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 012⎝⎛⎭⎫π2＝503f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋f 3⎝⎛⎭⎫π2＋f 4⎝⎛⎭⎫π2＝0. 答案：03．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l ，根据以下条件求l 的方程．(1)直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点； (2)直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于P .解：(1)由f (x )＝x 3－3x 得f ′(x )＝3x 2－3，过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0，故所求的直线方程为y ＝－2.(2)设过P (1，－2)的直线l 与y ＝f (x )切于另一点(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20－3. 又直线过(x 0，y 0)，P (1，－2)，故其斜率可表示为y 0－(－2)x 0－1＝x 30－3x 0＋2x 0－1，所以x 30－3x 0＋2x 0－1＝3x 20－3， 即x 30－3x 0＋2＝3(x 20－1)(x 0－1)．解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12，故所求直线的斜率为k ＝3⎝⎛⎭⎫14－1＝－94. 所以l 的方程为y －(－2)＝－94(x －1)，即9x ＋4y －1＝0.设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，则⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20·(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.【基础自测】1.（2013全国高考）已知曲线124++=ax x y 在点)2,1(+-a 处的切线的斜率为8，则a =（ ）A.9B.6C.-9D.-62.（2014宁夏一模）如果过曲线12++=x x y 上的点P 处的切线平行于直线2+=x y ，那么点P 的左标为 （ ）A.（1,0）B.（0,-1） B.（0,1） D.（-1,0）3.（2013惠州一模）设P 为曲线C ：322++=x x y 上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为]4,0[π，则点P 横坐标的取值范围为 （ ） A.]21,1[-- B.]0,1[- C.]1,0[ D.]1,21[4.（2013宁夏联考）已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的导数为)('x f ，且0)0('>f ，对于任意实数x 都有0)(≥x f ，则)0()1('f f 的最小值为 （ ） A.3 B.25 C.2 D.23.)1()1(lim,2)1(1)(1'的值求处可导，且在】设函数【例hh f h f f x x f --+==x f D. x fx f B. x f x x f x x f x x f )()(.C )()(.A )()(lim,)(000'0'000--∆-∆-）等于（则处可导在【变式】设函数.)0,1()2(1)1(.123的切线方程求曲线过点处的切线方程；求曲线在】已知曲线【例--=+=x x y。

§ 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题自学引导1.通过实例分析，了解平均变化率的实际意义．2．会求给定函数在某个区间上的平均变化率. 课前热身1.函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为ΔyΔx＝________. 2．平均变化率另一种表示形式：设Δx ＝x －x 0，则ΔyΔx＝________，表示函数y ＝f (x )从x 0到x 的平均变化率.1.f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1答 案2.f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx名师讲解1.如何理解Δx ，Δy 的含义Δx 表示自变量x 的改变量，即Δx ＝x 2－x 1；Δy 表示函数值的改变量，即Δy ＝f (x 2)－f (x 1)．2．求平均变化率的步骤求函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]内的平均变化率． (1)先计算函数的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)计算自变量的增量Δx ＝x 2－x 1.(3)得平均变化率Δy Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1.对平均变化率的认识函数的平均变化率可以表现出函数在某段区间上的变化趋势，且区间长度越小，表现得越精确．如函数y ＝sin x 在区间[0，π]上的平均变化率为0，而在[0，π2]上的平均变化率为sin π2－sin0π2－0＝2π.在平均变化率的意义中，f (x 2)－f (x 1)的值可正、可负，也可以为零．但Δx ＝x 2－x 1≠0.典例剖析题型一求函数的平均变化率例1 一物体做直线运动，其路程与时间t的关系是S＝3t－t2.(1)求此物体的初速度；(2)求t＝0到t＝1的平均速度．分析t＝0时的速度即为初速度，求平均速度先求路程的改变量ΔS＝S(1)－S(0)，再求时间改变量Δt＝1－0＝1.求商ΔSΔt就可以得到平均速度．解(1)由于v＝St＝3t－t2t＝3－t.∴当t＝0时，v0＝3，即为初速度．(2)ΔS＝S(1)－S(0)＝3×1－12－0＝2 Δt＝1－0＝1∴v＝ΔSΔt＝21＝2.∴从t＝0到t＝1的平均速度为2.误区警示本题1不要认为t＝0时，S＝0.所以初速度是零.变式训练1 已知函数f(x)＝－x2＋x的图像上一点(－1，－2)及邻近一点(－1＋Δx，－2＋Δy)，则ΔyΔx＝( )A．3 B．3Δx－(Δx)2 C．3－(Δx)2D．3－Δx 解析Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－(－2)＝－(Δx)2＋3Δx.∴ΔyΔx＝－Δx2＋3ΔxΔx＝－Δx＋3答案D题型二平均变化率的快慢比较例2 求正弦函数y＝sin x在0到π6之间及π3到π2之间的平均变化率．并比较大小．分析用平均变化率的定义求出两个区间上的平均变化率，再比较大小．解设y＝sin x在0到π6之间的变化率为k1，则k 1＝sinπ6－sin0π6－0＝3π.y ＝sin x 在π3到π2之间的平均变化率为k 2，则k 2＝sin π2－sin π3π2－π3＝1－32π6＝32－3π.∵k 1－k 2＝3π－32－3π＝33－1π>0，∴k 1>k 2.答：函数y ＝sin x 在0到π6之间的平均变化率为3π，在π3到π2之间的平均变化率为32－3π，且3π>32－3π.变式训练2 试比较余弦函数y ＝cos x 在0到π3之间和π3到π2之间的平均变化率的大小．解 设函数y ＝cos x 在0到π3之间的平均变化率是k 1，则k 1＝cos π3－cos0π3－0＝－32π.函数y ＝cos x 在π3到π2之间的平均变化率是k 2，则k 2＝cosπ2－cos π3π2－π3＝－3π.∵k 1－k 2＝－32π－(－3π)＝32π>0，∴k 1>k 2.∴函数y ＝cos x 在0到π3之间的平均变化率大于在π3到π2之间的平均变化率．题型三 平均变化率的应用例3 已知一物体的运动方程为s (t )＝t 2＋2t ＋3，求物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的平均速度．分析 由物体运动方程―→写出位移变化量Δs ―→ΔsΔt解 物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的位移增量 Δs ＝s (1＋Δt )－s (1)＝[(1＋Δt )2＋2(1＋Δt )＋3]－(12＋2×1＋3) ＝(Δt )2＋4Δt .物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝(Δt )2＋4ΔtΔt＝4＋Δt .变式训练3 一质点作匀速直线运动，其位移s 与时间t 的关系为s (t )＝t 2＋1，该质点在[2,2＋Δt ](Δt >0)上的平均速度不大于5，求Δt 的取值范围．解 质点在[2,2＋Δt ]上的平均速度为v －＝s 2＋Δt －s 2Δt＝[2＋Δt 2＋1]－22＋1Δt＝4Δt ＋Δt2Δt＝4＋Δt .又v －≤5，∴4＋Δt ≤5. ∴Δt ≤1，又Δt >0，∴Δt 的取值范围为(0,1]. § 1.1 函数的单调性与极值 1.1.2 导数的概念自学引导1.经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念建立的一些实际背景．2．了解瞬时变化率的含义，知道瞬时变化率就是导数．3．掌握函数f (x )在某一点x 0处的导数定义，并且会用导数的定义求一些简单函数在某一点x 0处的导数.课前热身1.瞬时速度．设物体的运动方程为S ＝S (t )，如果一个物体在时刻t 0时位于S (t 0)，在时刻t 0＋Δt 这段时间内，物体的位置增量是ΔS ＝S (t 0＋Δt )－S (t 0)．那么位置增量ΔS 与时间增量Δt 的比，就是这段时间内物体的________，即v ＝S t 0＋Δt －S t 0Δt.当这段时间很短，即Δt 很小时，这个平均速度就接近时刻t 0的速度．Δt 越小，v 就越接近于时刻t 0的速度，当Δt →0时，这个平均速度的极限v ＝lim Δt →0ΔS Δt ＝lim Δt →0S t 0＋Δt －S t 0Δt就是物体在时刻t 0的速度即为________． 2．导数的概念．设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，当Δx 无限趋近0时，比值Δy Δx ＝f x 0＋Δx －f x 0Δx无限趋近于一个常数A ，这个常数A 就是函数f (x )在点x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0.用符号语言表达为f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx＝________1.平均速度 瞬时速度 答 案2.lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx名师讲解1.求瞬时速度的步骤(1)求位移增量ΔS ＝S (t ＋Δt )－S (t )；(2)求平均速度v ＝ΔS Δt；(3)求极限limΔt→0ΔSΔt＝limΔt→0S t ＋Δt－S tΔt；(4)若极限存在，则瞬时速度v＝limΔt→0ΔS Δt.2．导数还可以如下定义一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limΔx→0f x＋Δx－f x0Δx＝limΔx→0ΔyΔx.我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．记作f′(x0)或y′|x＝x，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f x＋Δx－f x0Δx.3．对导数概念的理解(1)“导数”是从现实生活中大量类似问题里，撇开一些量的具体意义，单纯地抓住它们数量上的共性而提取出来的一个概念，所以我们应很自然的理解这个概念的提出与其实际意义．(2)某点导数即为函数在这点的变化率．某点导数概念包含着两层含义：①limΔx→0ΔyΔx存在，则称f(x)在x＝x0处可导并且导数即为极限值；②limΔx→0ΔyΔx不存在，则称f(x)在x＝x0处不可导．(3)Δx称为自变量x的增量，Δx可取正值也可取负值，但不可以为0.(4)令x＝x0＋Δx，得Δx＝x－x0，于是f′(x)＝limx→x0f x－f xx－x与定义中的f′(x0)＝limΔx→0f x＋Δx－f x0Δx意义相同．4．求函数y＝f(x)在点x0处的导数的步骤(1)求函数的增量：Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率：ΔyΔx＝f x＋Δx－f x0Δx；(3)取极限，得导数：f′(x0)＝limΔx→0Δy Δx.典例剖析题型一物体运动的瞬时速度例1 以初速度v0(v0>0)竖直上抛的物体，t秒时高度为s(t)＝v0t－12gt2，求物体在时刻t0处的瞬时速度．分析先求出Δs，再用定义求ΔsΔt，当Δt→0时的极限值．解∵Δs＝v0(t0＋Δt)－12g(t＋Δt)2－(v0t0－12gt2)＝(v0－gt0)Δt－12g(Δt)2，∴ΔsΔt＝v0－gt0－12g·Δt.∴当Δt→0时，ΔsΔt→v0－gt0.故物体在时刻t0处的瞬时速度为v0－gt0.规律技巧瞬时速度v是平均速度v在Δt→0时的极限.因此，v＝limΔt→0v＝limΔt→0ΔsΔt.变式训练1 一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝5t－t2，求此物体在t＝2时的瞬时速度。