高中数学变化率问题 导数的概念(老师版)

第１章导数及其应用１.１变化率与导数１.１．１变化率问题１.１．２导数的概念学习目标核心素养１．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景.２．会求函数在某一点附近的平均变化率．（重点）３．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．（重点、难点）４．理解函数的平均变化率，瞬时变化率及导数的概念．（易混点）１．通过对函数的平均变化率、瞬时变化率、导数的概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养.２．通过求平均变化率、瞬时变化率及导数的学习，培养逻辑推理及数学运算的核心素养.１．函数的平均变化率（１）函数y＝f （x）从x１到x２的平均变化率为错误!＝错误!，其中Δx＝x２—x１是相对于x１的一个“增量”，Δy＝f （x２）—f （x１）＝f （x１＋Δx）—f （x１）是相对于f （x１）的一个“增量”．（２）平均变化率的几何意义设A（x１，f （x１）），B（x２，f （x２））是曲线y＝f （x）上任意不同的两点，函数y＝f （x）的平均变化率错误!＝错误!＝错误!为割线AB的斜率，如图所示．思考：Δx，Δy的值一定是正值吗？平均变化率是否一定为正值？[提示] Δx，Δy可正可负，Δy也可以为零，但Δx不能为零．平均变化率错误!可正、可负、可为零．２．瞬时速度与瞬时变化率（１）物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．（２）函数f （x）在x＝x0处的瞬时变化率是函数f （x）从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即错误!错误!＝错误!错误!.３．导数的概念函数y＝f （x）在x＝x0处的导数就是函数y＝f （x）在x＝x0处的瞬时变化率，记作f ′（x0）或y′|错误!，即f ′（x0）＝错误!错误!.１．函数y＝f （x），自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为（）Ａ．f （x0＋Δx）Ｂ．f （x0）＋ΔxＣ．f （x0）·ΔxＤ．f （x0＋Δx）—f （x0）D[Δy＝f （x0＋Δx）—f （x0），故选Ｄ．]２．若一质点按规律s＝8＋t２运动，则在一小段时间[２,２．１]内的平均速度是（）Ａ．４Ｂ．４．１Ｃ．0．４１Ｄ．—１．１B[错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝４．１，故选Ｂ．]３．函数f （x）＝x２在x＝１处的瞬时变化率是________．２[∵f （x）＝x２.∴在x＝１处的瞬时变化率是错误!错误!＝错误!错误!＝错误!错误!＝错误!（２＋Δx）＝２．]４．函数f （x）＝２在x＝6处的导数等于________．0 [f ′（6）＝错误!错误!＝错误!错误!＝0．]求函数的平均变化率２（１）从0．１到0．２的平均变化率；（２）在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．[解] （１）因为f （x）＝３x２＋５，所以从0．１到0．２的平均变化率为错误!＝0．9．（２）f （x0＋Δx）—f （x0）＝３（x0＋Δx）２＋５—（３x错误!＋５）＝３x错误!＋6x0Δx＋３（Δx）２＋５—３x错误!—５＝6x0Δx＋３（Δx）２.函数f （x）在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为错误!＝6x0＋３Δx.１．求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量Δx＝x２—x１；第二步，求函数值的增量Δy＝f （x２）—f （x１）；第三步，求平均变化率错误!＝错误!.２．求平均变化率的一个关注点求点x0附近的平均变化率，可用错误!的形式．[跟进训练]１．如图所示，函数y＝f （x）在A，B两点间的平均变化率等于（）Ａ．１Ｂ．—１Ｃ．２Ｄ．—２B[平均变化率为错误!＝—１．故选Ｂ．]２．已知函数y＝f （x）＝２x２的图象上点P（１,２）及邻近点Q（１＋Δx,２＋Δy），则错误!的值为（）Ａ．４Ｂ．４xＣ．４＋２Δx２Ｄ．４＋２ΔxD[错误!＝错误!＝４＋２Δx.故选Ｄ．]求瞬时速度１．物体的路程s与时间t的关系是s（t）＝５t２，如何计算物体在[１,１＋Δt]这段时间内的平均速度？[提示] Δs＝５（１＋Δt）２—５＝１0Δt＋５（Δt）２，错误!＝错误!＝１0＋５Δt.２．当Δt趋近于0时，探究１中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？[提示] 当Δt趋近于0时，错误!趋近于１0，这时的平均速度即为当t＝１时的瞬时速度．【例２】某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数s（t）＝t２＋t＋１表示，求物体在t＝１s时的瞬时速度．思路探究：错误!错误!错误!―→错误![解] ∵错误!＝错误!＝错误!＝３＋Δt，∴错误!错误!＝错误!（３＋Δt）＝３．∴物体在t＝１处的瞬时变化率为３．即物体在t＝１s时的瞬时速度为３m/s.１．（变结论）在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度．[解] 求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度．∵错误!＝错误!＝错误!＝１＋Δt，∴错误!（１＋Δt）＝１．∴物体在t＝0时的瞬时变化率为１，即物体的初速度为１m/s.２．（变结论）在本例条件不变的前提下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.[解] 设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.又错误!＝错误!＝（２t0＋１）＋Δt.错误!错误!＝错误!（２t0＋１＋Δt）＝２t0＋１．则２t0＋１＝9，则物体在４s时的瞬时速度为9 m/s.求运动物体瞬时速度的三个步骤（１）求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s（t0＋Δt）—s（t0）．（２）求平均速度错误!＝错误!.（３）求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，错误!无限趋近于常数v，即为瞬时速度．求函数在某一点处的导数00Ａ．１Ｂ．—１Ｃ．—错误!Ｄ．错误!（２）求函数f （x）＝x—错误!在x＝１处的导数．思路探究：（１）类比f ′（x0）＝错误!错误!求解．（２）错误!―→错误!―→错误!（１）C[∵错误!错误!＝错误!错误!＝—３f ′（x0）＝１，∴f ′（x0）＝—错误!，故选Ｃ．]（２）[解] ∵Δy＝（１＋Δx）—错误!—错误!＝Δx＋１—错误!＝Δx＋错误!，∴错误!＝错误!＝１＋错误!，∴f ′（１）＝错误!错误!＝错误!错误!＝２．求函数y＝f （x）在点x0处的导数的三个步骤简称：一差、二比、三极限．[跟进训练]３．已知f ′（１）＝—２，则错误!错误!＝________.４[∵f ′（１）＝—２，∴错误!错误!＝错误!错误!＝—２错误!错误!＝—２f ′（１）＝—２×（—２）＝４．]４．求函数y＝３x２在x＝１处的导数．[解] ∵Δy＝f （１＋Δx）—f （１）＝３（１＋Δx）２—３＝6Δx＋３（Δx）２，∴错误!＝6＋３Δx，∴f ′（１）＝错误!错误!＝错误!（6＋３Δx）＝6．１．极限思想是逼近的思想，瞬时变化率就是平均变化率的极限．２．函数y＝f （x）在x＝x0处的导数f ′（x0）反映了函数在该点处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况．即：f ′（x0）＝错误!错误!＝错误!错误!＝错误!错误!，且y＝f （x）在x0处的导数是一个局部概念．特别提醒：１取极限前，要注意化简错误!，保证使Δx→0时分母不为0．２函数在x0处的导数f ′（x0）只与x0有关，与Δx无关．３导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛．１．一物体的运动方程是s＝３＋２t，则在[２,２．１]这段时间内的平均速度是（）Ａ．0．４Ｂ．２Ｃ．0．３Ｄ．0．２B[错误!＝错误!＝错误!＝２．]２．物体自由落体的运动方程为s（t）＝错误!gt２，g＝9．8 m/s２，若v＝错误!错误!＝9．8 m/s，那么下列说法中正确的是（）Ａ．9．8 m/s是物体从0 s到１s这段时间内的速率Ｂ．9．8 m/s是１s到（１＋Δt）s这段时间内的速率Ｃ．9．8 m/s是物体在t＝１s这一时刻的速率Ｄ．9．8 m/s是物体从１s到（１＋Δt）s这段时间内的平均速率C[结合平均变化率与瞬时变化率可知选项C正确．]３．设函数f （x）＝ax＋３，若f ′（１）＝３，则a等于（）Ａ．２Ｂ．—２Ｃ．—３Ｄ．３D[因为f ′（１）＝错误!错误!＝错误!错误!＝a.因为f ′（１）＝３，所以a＝３．]４．设f （x）在x0处可导，若错误!错误!＝A，则f ′（x0）＝________.错误![错误!错误!＝３错误!错误!＝３f ′（x0）＝A.故f ′（x0）＝错误!A.]５．在曲线y＝f （x）＝x２＋３上取一点P（１,４）及附近一点（１＋Δx,４＋Δy），求：（１）错误!；（２）f ′（１）．[解] （１）错误!＝错误!＝错误!＝２＋Δx.（２）f ′（１）＝错误!错误!＝错误!（２＋Δx）＝２．。

1.1.1 变化率问题1.1.2 导数的概念[学习目标] 1.理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念.2.掌握函数平均变化率的求法.3.掌握导数的概念，会用导数的定义求简单函数在某点处的导数.知识点一 函数的平均变化率 1.平均变化率的概念设函数y ＝f (x )，x 1，x 2是其定义域内不同的两个点，那么函数的变化率可用式子f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示，我们把这个式子称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率，习惯上用Δx 表示x 2－x 1，即Δx ＝x 2－x 1，可把Δx 看作是相对于x 1的一个“增量”，可用x 1＋Δx 代替x 2；类似地，Δy ＝f (x 2)－f (x 1).于是，平均变化率可以表示为ΔyΔx .2.求平均变化率求函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]上平均变化率的步骤如下： (1)求自变量的增量Δx ＝x 2－x 1； (2)求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)；(3)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx .思考 (1)如何正确理解Δx ，Δy? (2)平均变化率的几何意义是什么？答案 (1)Δx 是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘，其值可取正值、负值，但Δx ≠0；Δy 也是一个整体符号，若Δx ＝x 1－x 2，则Δy ＝f (x 1)－f (x 2)，而不是Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，Δy 可为正数、负数，亦可取零. (2)如图所示：y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率是曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”，⎪⎪⎪⎪Δy Δx 越大，曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上越“陡峭”，反之亦然.平均变化率的几何意义是函数曲线上过两点的割线的斜率，若函数y ＝f (x )图象上有两点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，则f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝k AB .知识点二 瞬时速度与瞬时变化率把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s ＝s (t )描述，设Δt 为时间改变量，在t 0＋Δt 这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)，那么位移改变量Δs 与时间改变量Δt 的比就是这段时间内物体的平均速度v ，即v ＝Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt.物理学里，我们学习过非匀速直线运动的物体在某一时刻t 0的速度，即t 0时刻的瞬时速度，用v 表示，物体在t 0时刻的瞬时速度v 就是运动物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均变化率s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt 在Δt →0时的极限，即v ＝lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .瞬时速度就是位移函数对时间的瞬时变化率. 思考 (1)瞬时变化率的实质是什么？ (2)平均速度与瞬时速度的区别与联系是什么？答案 (1)其实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于0时的值，它是刻画函数值在某处变化的快慢.(2)①区别：平均变化率刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x 0点处变化的快慢；②联系：当Δx 趋于0时，平均变化率ΔyΔx 趋于一个常数，这个常数即为函数在x 0处的瞬时变化率，它是一个固定值.知识点三 导数的概念 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|0x x =，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. 思考 (1)函数f (x )在x 0处的导数满足什么条件时存在？ (2)求解函数f (x )在x 0处导数的步骤是什么？答案 (1)函数f (x )在x 0处可导，是指Δx →0时，Δy Δx 有极限，如果ΔyΔx 不存在极限，就说函数在点x 0处无导数.(2)求解函数f (x )在x 0处导数的步骤如下： ①求函数值的增量：Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； ②求平均变化率：Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；③取极限，得导数：f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.题型一 求平均变化率例1 求函数y ＝f (x )＝2x 2＋3在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并求当x 0＝2，Δx ＝12时该函数的平均变化率.解 当自变量从x 0变化到x 0＋Δx 时，函数的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝[2(x 0＋Δx )2＋3]－(2x 20＋3)Δx ＝4x 0Δx ＋2(Δx )2Δx＝4x 0＋2Δx . 当x 0＝2，Δx ＝12时，平均变化率的值为4×2＋2×12＝9.反思与感悟 平均变化率是函数值的增量与相应自变量的增量的比值，所以求函数在给定区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率问题，即求Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx的值.跟踪训练1 (1)已知函数y ＝f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及其邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则ΔyΔx＝ .答案 2Δx ＋4解析 因为Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(Δx )2＋4Δx ，所以平均变化率ΔyΔx ＝2Δx ＋4.(2)求函数y ＝f (x )＝1x2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率(x 0≠0).解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝1(x 0＋Δx )2－1x 20＝－Δx (2x 0＋Δx )(x 0＋Δx )2x 20，∴ΔyΔx ＝－Δx (2x 0＋Δx )(x 0＋Δx )2x 20Δx ＝－2x 0＋Δx (x 0＋Δx )2x 20.题型二 实际问题中的瞬时速度例2 一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2(位移单位：m ，时间单位：s). (1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度； (3)求t ＝0到t ＝2时的平均速度.解 (1)初速度v 0＝lim Δt →0 s (Δt )－s (0)Δt ＝lim Δt →0 3Δt －(Δt )2Δt ＝lim Δt →0 (3－Δt )＝3. 即物体的初速度为3 m/s.(2)v 瞬＝lim Δt →0 s (2＋Δt )－s (2)Δt ＝lim Δt →0 3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－4)Δt ＝lim Δt →0 －(Δt )2－Δt Δt ＝lim Δt →0 (－Δt －1)＝－1. 即此物体在t ＝2时的瞬时速度为1 m/s ，方向与初速度方向相反. (3)v ＝s (2)－s (0)2－0＝6－4－02＝1.即t ＝0到t ＝2时的平均速度为1 m/s.反思与感悟 作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，Δt 趋近于0，指时间间隔Δt 越来越小，但不能为0，Δt ，Δs 在变化中都趋近于0，但它们的比值趋近于一个确定的常数.跟踪训练2 已知一物体作自由落体运动，下落的高度的表达式为s ＝12gt 2，其中g 为重力加速度，g ≈9.8米/平方秒(s 的单位：米).(1)求t 从3秒到3.1秒、3.01秒、3.001秒、3.000 1秒各段内的平均速度； (2)求t ＝3秒时的瞬时速度.解 (1)当t 在区间[3,3.1]上时，Δt ＝3.1－3＝0.1(秒)，Δs ＝s (3.1)－s (3)＝12g ·3.12－12g ·32≈2.989(米).v 1＝Δs Δt ≈2.9890.1＝29.89(米/秒). 同理，当t 在区间[3,3.01]上时，v 2≈29.449(米/秒)，当t 在区间[3,3.001]上时，v 3≈29.404 9(米/秒)，当t 在区间[3,3.000 1]上时，v 4≈29.400 49(米/秒).(2)Δs Δt ＝s (3＋Δt )－s (3)Δt ＝12g (3＋Δt )2－12g ·32Δt ＝12g (6＋Δt )， lim Δt →0Δs Δt ＝lim Δt →0 12g (6＋Δt )＝3g ≈29.4(米/秒).所以t ＝3秒时的瞬时速度约为29.4米/秒. 题型三 函数在某点处的导数例3 求函数y ＝x －1x在x ＝1处的导数.解 Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －(1－11)＝Δx ＋Δx 1＋Δx ，Δy Δx ＝Δx ＋Δx 1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx ，∴lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 (1＋11＋Δx)＝2，从而y ′|x ＝1＝2. 反思与感悟 求函数在x ＝x 0处的导数的步骤： (1)求函数值的增量，Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率，Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx. 跟踪训练3 求函数y ＝4x2在x ＝2处的导数；解 ∵Δy ＝4(Δx ＋2)2－422＝4(Δx ＋2)2－1＝－(Δx )2＋4Δx (Δx ＋2)2，∴ΔyΔx ＝－Δx ＋4(Δx ＋2)2，∴lim Δx →0 ΔyΔx＝－lim Δx →0 Δx ＋4(Δx ＋2)2＝－1.因对导数的概念理解不到位致误例4 设函数f (x )在x 0处可导，且f ′(x 0)已知，求下列各式的极限值. (1)lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx ；(2)lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h.错解 (1)lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0).(2)lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h ＝12lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0－h )h ＝12f ′(x 0).错因分析 在导数的定义中，增量Δx 的形式是多种多样的，但不论Δx 是哪种形式，Δy 必须选择相对应的形式.如(1)中Δx 的改变量为Δx ＝x 0－(x 0－Δx )，(2)中Δx 的改变量为2h ＝(x 0＋h )－(x 0－h ). 正解 (1)lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx ＝－lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx ＝－lim －Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx＝－f ′(x 0). (2)lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h ＝lim 2h →0 f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h＝f ′(x 0). 防范措施 自变量的改变量Δx 的值为变后量与变前量之差.1.在求解平均变化率时，自变量的变化量Δx 应满足( ) A.Δx ＞0 B.Δx ＜0C.Δx ≠0D.Δx 可为任意实数答案 C解析 因平均变化率为ΔyΔx，故Δx ≠0.2.沿直线运动的物体从时间t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ，那么lim Δt →0 ΔsΔt为( ) A.从时间t 到t ＋Δt 时物体的平均速度 B.t 时刻物体的瞬时速度 C.当时间为Δt 时物体的速度D.从时间t 到t ＋Δt 时位移的平均变化率 答案 B解析 v ＝Δs Δt ，而lim Δt →0 Δs Δt 则为t 时刻物体的瞬时速度. 3.函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数为 . 答案 12解析 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝1＋Δx －1， ∴Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1， ∴f ′(1)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →011＋Δx ＋1＝12.4.设f (x )在x 0处可导，若lim Δx →0 f (x 0＋3Δx )－f (x 0)Δx＝A ，则f ′(x 0)＝ .答案 13A解析 lim Δx →0f (x 0＋3Δx )－f (x 0)Δx ＝3lim 3Δx →0 f (x 0＋3Δx )－f (x 0)3Δx ＝3f ′(x 0)＝A .故f ′(x 0)＝13A . 5.以初速度为v 0(v 0＞0)作竖直上抛运动的物体，t 秒时的高度为s (t )＝v 0t －12gt 2，求物体在t 0时刻的瞬时加速度.解 ∵Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－v 0t 0＋12gt 20＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2，∴Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt . 当Δt →0时，ΔsΔt →v 0－gt 0.∴物体在t 0时刻的瞬时速度为v 0－gt 0.由此，类似地可得到物体运动的速度函数为 v (t )＝v 0－gt ，∴Δv Δt ＝v 0－g (t 0＋Δt )－(v 0－gt 0)Δt ＝－g .∴当Δt →0时，ΔvΔt→－g .故物体在t 0时刻的瞬时加速度为－g .1.求平均变化率的步骤：(1)求Δy ，Δx .(2)求ΔyΔx.2.求瞬时速度的一般步骤：(1)求Δs 及Δt .(2)求Δs Δt. (3)求lim Δt →0 ΔsΔt .3.利用定义求函数f (x )在x ＝x 0处的导数：(1)求函数的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0).(2)求ΔyΔx.(3)y ′|0x x =＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.一、选择题1.质点运动规律s ＝t 2＋3，则在时间[3,3＋Δt ]中，相应的平均速度等于( ) A.6＋Δt B.6＋Δt ＋9ΔtC.3＋ΔtD.9＋Δt答案 A解析 因为v ＝s (3＋Δt )－s (3)Δt ＝6Δt ＋(Δt )2Δt＝6＋Δt .故选A.2.设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( ) A.f ′(x )＝a B.f ′(x 0)＝a C.f ′(x )＝b D.f ′(x 0)＝b 答案 B解析 由导数定义得f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 a Δx ＋b (Δx )2Δx ＝a .故选B. 3如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是( )A.1B.－1C.2D.－2答案 B 解析Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－32＝－1. 4.如果某物体的运动方程为s ＝2(1－t 2) (s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2 s 末的瞬时速度为( ) A.－4.8 m/s B.－0.88 m/s C.0.88 m/s D.4.8 m/s答案 A解析 物体运动在1.2 s 末的瞬时速度即为s 在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得. 5.设函数f (x )可导，则lim Δx →0f (1＋3Δx )－f (1)3Δx等于( )A.f ′(1)B.3f ′(1)C.13f ′(1) D.f ′(3)答案 A解析 lim Δx →0f (1＋3Δx )－f (1)3Δx＝f ′(1).6.一个质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－3t 2＋8t ，那么速度为零的时刻是( )A.1秒末B.1秒末和2秒末C.4秒末D.2秒末和4秒末答案 D解析 据导数的定义，得s ′＝t 2－6t ＋8，令s ′＝0，即t 2－6t ＋8＝0. 解得t ＝2或t ＝4，故速度为零的时刻为2秒末和4秒末. 二、填空题7.已知函数y ＝2x ＋3，当x 由2变到1.5时，函数的增量Δy ＝ .答案 13解析 Δy ＝f (1.5)－f (2)＝⎝⎛⎭⎫21.5＋3－⎝⎛⎭⎫22＋3＝43－1＝13. 8.已知函数f (x )＝1x，则f ′(1)＝ . 答案 －12解析 f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0 11＋Δx－1Δx＝lim Δx →0 －11＋Δx (1＋1＋Δx )＝－12.9.如图所示，函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是 .答案 [x 3，x 4]解析 由平均变化率的定义可知，函数y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]上的平均变化率分别为：f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，f (x 3)－f (x 2)x 3－x 2，f (x 4)－f (x 3)x 4－x 3，结合图象可以发现函数y ＝f (x )的平均变化率最大的一个区间是[x 3，x 4].10.子弹在枪筒中的运动可以看作是匀加速直线运动.如果它的加速度是a ＝5×105 m/s 2，子弹从枪口射出所用的时间为1.6×10－3 s ，则子弹射出枪口时的瞬时速度为 m/s. 答案 800解析 运动方程为s ＝12at 2.∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2，∴Δs Δt ＝at 0＋12a Δt ，∴v ＝lim Δt →0 Δs Δt ＝at 0. 又∵a ＝5×105 m/s 2，t 0＝1.6×10－3 s ，∴v ＝at 0＝8×102＝800(m/s). 三、解答题11.求函数y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数.解 Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3)＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ， ∴Δy Δx ＝2(Δx )2＋16Δx Δx ＝2Δx ＋16.∴y ′|x ＝3＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 (2Δx ＋16)＝16. 12.若函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值. 解 ∵f (1＋Δx )－f (1)＝a (1＋Δx )2＋c －a －c ＝a (Δx )2＋2a Δx .∴f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0 a (Δx )2＋2a Δx Δx ＝lim Δx →0 (a Δx ＋2a )＝2a ，即2a ＝2，∴a ＝1. 13.试比较正弦函数y ＝sin x 在x ＝0和x ＝π2附近的平均变化率哪一个大.解 当自变量从0变到Δx 时，函数的平均变化率为k 1＝sin Δx －sin 0Δx ＝sin ΔxΔx.当自变量从π2变到Δx ＋π2时，函数的平均变化率为k 2＝sin (π2＋Δx )－sin π2Δx ＝cos Δx －1Δx .由于是在x ＝0和x ＝π2的附近的平均变化率，可知Δx 较小，但Δx 既可化为正，又可化为负.当Δx ＞0时，k 1＞0，k 2＜0，此时有k 1＞k 2.当Δx ＜0时，k 1－k 2＝sin Δx Δx －cos Δx －1Δx ＝sin Δx －cos Δx ＋1Δx ＝2sin (Δx －π4)＋1Δx .∵Δx ＜0，∴Δx －π4＜－π4，∴sin(Δx －π4)＜－22，从而有2sin(Δx －π4)＜－1，2sin(Δx －π4)＋1＜0，∴k 1－k 2＞0，即k 1＞k 2.综上可知，正弦函数y ＝sin x 在x ＝0附近的平均变化率大于在x ＝π2附近的平均变化率.。

《导数的概念》教学设计一、教材分析《导数的概念》是《普通高中课程标准实验教科书·数学选修2-2》（人教A版）第一章1.1.2的内容，是在学生学习了变化率的内容后，通过实例探究，从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，并抽象概括出导数的概念。

它为即将学习的导数的几何意义、导数的计算、导数的应用等知识的奠定了基础，更是我们研究函数单调性、极值、最值和解决生活中优化等问题的有力工具。

教学重点：了解导数概念的形成，理解导数有内涵。

教学难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵，可以通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点。

二、学习目标1.知识与技能目标①理解导数的概念.②掌握用定义求导数的方法.2.过程与方法目标3.情感、态度与价值观目标①通过合作与交流，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度.②培养学生正确认识量变与质变、运动与静止等辩证唯物主义观点，形成正确的数学观.三、教学程序（一）创设情境，引入新课[课件投影]播放一段视频林跃在2022年北京奥运会10米跳台夺冠的视频，给出一个思考题：假如在比赛过程中，林跃相对水面的高度h（m）与起跳后的时间t（）存在这样一个函数关系：.计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：（1）林跃在这段时间里是静止的吗？（2）你認为用平均速度来描述他的运动状态有什么问题吗？[设计意图]林跃是和我们的学生年纪相仿的国家优秀运动员，他夺冠的经历无疑能让我们的学生感到振奋，这无形中激发了学生的爱国热情。

更重要的是，以此实例能激发学生求知的欲望，从而使学生从“要我学”变成了“我要学”。

通过数值与现实矛盾的产生，使学生意识到平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，为了能更精确地刻画物体运动，我们有必要研究某个时刻的速度即瞬时速度。

[设计意图]通过引导使学生进一步体会从平均速度出发，“以已知探求未知”的数学思想方法，培养学生的动手操作能力，通过亲自动手算、动脑思，让学生初步感受到逼近的趋势。

然后，老师指出：同学们，△t越小，V的值应该越接近于t ＝2秒时的瞬时速度，为了方便，我们将上面求V（2）的过程用下面式子表示：“V（2）＝t ht h∆-∆+)2()2(＝（－4.9△t －13.1）＝－13.1”老师总结，并进一步提出问题：用上面的方法，我们可以求出运动员在t＝2秒时瞬时速度，当然，我们可以用同样的方法求出运动员在其他时刻的瞬时速度。

问题四：同学们，运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎样表示呢？（V(（t0）)）＝tt ht th∆-∆+)()(0＝－9.8t＋6.5）通过学生回答，教师指出：由上面的式子，同学们不难理解，运动员在某一时刻t0的瞬时速度即为h（t）在t= t0处的瞬时变化率，并进一步提出问题：问题五：函数f（x）在x=x0处瞬时变化怎样表示？（xx fx xf∆-∆+)()(0）从而引出导数的概念：“xx fx xf∆-∆+)()(0”称为函数y＝f（x）在x=x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x=x0，即f′（x0）＝xx fx xf∆-∆+)()(为了让学生加深导数概念的理解，教师总结：（1）y＝f （x）在x=x0处的导数即为f（x）在x=x0处瞬时变化率；（2）在问题四中，运动员在t=t0时刻的瞬时速度即为h（t）在t=t0处的瞬时变化率，也就是h（t）在t0处的导数。

例2，已知函数f（x）＝2x2＋x＋2求：（1）f（x）在x＝2处导数。

（即x＝2时的瞬时变化率）f′（2）（2）求f（x）在x=x０处的导数（即x=x０时的瞬时变化率）f′（x0）（3）求f（x）在x＝3处的导数（即x＝2时的瞬时变化率）f′（3）学生思考老师提出的问题。

学生思考老师提出的问题。

学生思考老师提出的问题。

学生先做，然后老师投影过程，起到示范性作用。

为了突破“引入导数概念”这个难点，在这里我设计了三个问题，是特殊到一般让学生沿着楼梯一步一步地往上走。

例2的目的是让学生巩固导数的概念以及规范求导数的步骤。

《变化率问题与导数的概念》教学设计阳城一中郭耀平一、内容和内容解析（1）内容：本节主要包括两方面的内容：变化率和导数的概念。

从平均变化率开始，用平均变化率探求瞬时变化率，并从数学上给予各种不同变化率在数量上的精确描述，即导数。

（2）内容解析：通过实例，让学生切身体会平均变化率；再经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，在对实际背景问题研究的基础上，抽象概括出导数的概念。

导数的概念是微积分的核心概念之一，是即将学习的导数的几何意义、导数的计算、导数的应用等知识的基础。

导数是研究事物变化快慢，研究函数单调性、极值、最值和解决生活中优化问题的有力工具。

本节内容课堂教学的主线是渗透其中蕴涵的逼近思想，教学重点是导数的概念。

二、目标和目标解析（1）目标①了解微积分的概貌及其在数学中的位置，经历运用数学描述刻画现实的过程；②理解变化率的概念，体验由平均变化率到瞬时变化率的过程；③掌握导数的概念，探究运用形象直观的“逼近”方法定义导数的过程。

（2）目标解析①了解微积分的概貌及其在数学中的位置，让学生接受数学文化的熏陶，体会数学的价值。

有关微积分起源的具体例子的列举，像计算抛物线弓形的面积（建筑物的上顶）、求速度的问题（高台跳水）等，会引发学生的求知欲，而经历运用数学描述刻画现实的过称可以通过气球膨胀率作为平均变化率的应用实现。

②理解平均变化率和瞬时变化率的概念，这一点可以用高台跳水的例子实现。

③导数的定义是在反思瞬时速度建立过程的基础上，总结思想和计算方法，有特殊到一般形成的，通过探究导数的定义，掌握利用导数定义来解决实际问题。

三、教学问题诊断分析1．微积分是有文化底蕴的数学内容，了解微积分的发展史能够激发学生的求知欲，但如果介绍过于简单，学生可能下课后就会没有任何印象；如果介绍过于详细，便会占用大量时间，影响本节课内容的完成；2.气球膨胀是学生非常熟悉的生活现象，但是从直观的生活感知（气球越来越难吹）到它的数学描述，对于学生来讲是比较困难的。

3．1.1 变化率问题3．1.2 导数的概念(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能通过大量的实例的分析，让学生经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数．2．过程与方法通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法．3．情感、态度与价值观学生在从平均变化率到瞬时变化率的探索过程中，通过动手算、动脑思和集体合作讨论，发展思维能力，树立敢于战胜困难的信息，养成主动获取知识和敢于探索求知的习惯，激发求知欲，增强合作交流意识．●重点、难点重点：了解导数概念的形成，理解导数有内涵．难点：在平均变化率的基础上探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵．通过列举大量实例增强学生对导数概念形成的理解，以化解重点；通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点．(教师用书独具)●教学建议学生对平均变化率已有了很好的认识，同时在物理课程中已学习过瞬时速度，因此，学生已经具备了一定的认知基础，于是，在教学设计中，宜采用相互讨论、探究规律和引导发现的教学方法，本着为学生发展的原则，通过师生互动、共同探索，形成概念，并学以致用．在学生的认知基础上，为了让学生明确导数就是瞬时变化率，函数f(x)在x＝x0处的导数反映了函数f(x)在x＝x0处附近变化的快慢，从而更好地理解导数的概念．在学法指导上，应回避了学生较难理解的极限思想，而是通过让学生体验逼近的思想，让他们通过自主探究，发现导数的内涵．使学生在学习过程中探究能力，分析问题、解决问题的能力都得到了不同程度的提升．●教学流程创设问题情境，引出问题：如何刻画物体运动的快慢？⇒引导学生结合物理知识，分析、比较，引出平均变化率与瞬时变化率的概念.⇒通过引导学生回答所提问题理解瞬时变化率，得出导数的概念.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握如何计算平均变化率.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握求瞬时速度的方法，为求导数打下基础.⇒通过例3及其变式训练，学会求函数在某点处的导数的步骤与方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.(对应学生用书第45页)实例：(1)当你吹气球时会发现随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加的会越来越慢．(2)从高空放下一件物体，随着时间的变化，物体下降的速度会越来越快． 1．如何用数学的观点刻画物体运动的快慢？ 【提示】 可以运用平均变化率来刻画．2．实例(2)中，当t 1≈t 2时刻时，平均变化率有什么样的特点？ 【提示】 平均变化率接近t 1或t 2时刻的速度． 1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率 (1)定义式：Δy Δx＝fx 2－f x 1x 2－x 1.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢． 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 (1)定义式：lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0fx 0＋Δx －f x 0Δx.(2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值． (3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢．函数f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li m Δx →0 Δy Δx＝li mΔx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx.(对应学生用书第45页)平均变化率的计算求函数f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 都为13，在哪一点附近平均变化率最大？【思路探究】 (1)Δx 、Δy 分别为多少？(2)平均变化率怎么求？(3)哪一点附近的平均变化率大？【自主解答】 在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f 1＋Δx －f 1Δx ＝1＋Δx 2－1Δx＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f 2＋Δx －f 2Δx ＝2＋Δx 2－22Δx＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f 3＋Δx －f 3Δx ＝3＋Δx 2－32Δx＝6＋Δx .若Δx ＝13，则k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1＜k 2＜k 3，故在x ＝3附近的平均变化率最大．1．解答本题的关键是弄清在某点处自变量的增量Δx 与函数值的增量Δy . 2．求函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率的三个步骤 (1)求自变量的增量：Δx ＝x 2－x 1. (2)求函数值的增量：Δy ＝f (x 2)－f (x 1)．(3)作商求函数的平均变化率：Δy Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1.求函数y ＝sin x 在0到π6之间和π3到π2之间的平均变化率，并比较它们的大小．【解】 函数y ＝sin x 在0到π6之间的平均变化率为sin π6－sin 0π6－0＝3π，在π3到π2之间的平均变化率为sin π2－sinπ3π2－π3＝32－3π.∵2－3＜1，∴3π＞32－3π.∴函数y ＝sin x 在0到π6之间的平均变化率为3π，在π3到π2之间的平均变化率为32－3π，且在0到π6之间的平均变化率较大．求瞬时速度若一物体运动方程如下：(位移s ：m ，时间t ：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2 t ≥329＋3t －320≤t ＜3求(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度． (2)物体的初速度v 0.【思路探究】 (1)求物体在[3,5]内的平均速度应选择哪一段函数的解析式？(2)物体的初速度v 0的含义是什么？如何去求？【自主解答】 (1)∵物体在t ∈[3,5]内时，s ＝3t 2＋2，且时间增量Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3,5]上的平均速度为 Δs Δt ＝482＝24(m/s)． (2)求物体的初速度v 0，即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵物体在t ＝0附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f 0＋Δt －f 0Δt＝29＋3[0＋Δt －3]2－29－30－32Δt ＝3Δt －18，∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为li m Δt →0 ΔsΔt ＝li mΔt →0 (3Δt －18)＝－18， 即物体的初速度为－18 m/s.1．解答本例首先要弄清第(1)问是求平均变化率，而第(2)问实际上是求t ＝0时的瞬时速度(即瞬时变化率)．2．求瞬时速度应先求平均速度v ＝Δs Δt ，再用公式v ＝li m Δt →0 ΔsΔt，求得瞬时速度．3．如果物体的运动方程是s ＝s (t )，那么函数s ＝s (t )，在t ＝t 0处的导数，就是物体在t ＝t 0时的瞬时速度．一辆汽车按规律s ＝2t 2＋3做直线运动，求这辆车在t ＝2时的瞬时速度(时间单位：s ，位移单位：m)．【解】 设这辆车在t ＝2附近的时间变化量为Δt ，则位移的增量Δs ＝[2(2＋Δt )2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt ＋2(Δt )2，Δs Δt ＝8＋2Δt ，当Δx 趋于0时，平均变化率ΔsΔt 趋于8. 所以，这辆车在t ＝2时的瞬时速度为8 m/s.求函数f (x )＝3x 2＋ax ＋b 在x ＝1处的导数．【思路探究】 求Δy →求ΔyΔx→取极限→得f ′1【自主解答】 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝[3(1＋Δx )2＋a (1＋Δx )＋b ]－(3＋a ＋b )＝3(Δx )2＋(6＋a )Δx .Δy Δx＝3Δx 2＋6＋a ΔxΔx＝3Δx ＋6＋a .li m Δx →0 ΔyΔx ＝li mΔx →0 (3Δx ＋6＋a )＝6＋a . ∴f ′(1)＝6＋a .1．求函数f (x )在某点处导数的步骤与求瞬时变化率的步骤相同，简称：一差、二比、三极限．2．利用定义求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的两个注意点(1)在求平均变化率Δy Δx 时，要注意对ΔyΔx 的变形与约分，变形不彻底可能导致li mΔx →0 ΔyΔx不存在． (2)当对Δy Δx 取极限时，一定要把ΔyΔx变形到当Δx →0时，分母是一个非零常数的形式．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值． 【解】 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1) ＝a (1＋Δx )2＋c －(a ＋c ) ＝2a ·Δx ＋(Δx )2， ∴Δy Δx ＝2a ·Δx ＋Δx2Δx ＝2a ＋Δx .因此f ′(1)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0(2a ＋Δx )＝2a . ∴2a ＝2，a ＝1.(对应学生用书第48页)求物体的瞬时速度、初速度时要注意步骤的规范性(12分)(长沙检测)一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2.(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；(3)求t＝0到t＝2时的平均速度．【思路点拨】本题已知函数解析式，求初速度即t＝0时的瞬时速度，t＝2时的瞬时速度和t∈[0,2]时的平均速度，可以用一差、二比、三极限的方法．【规范解答】(1)当t＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δt ]，即[0，Δt ]， ∴Δs ＝s (Δt )－s (0)＝[3Δt －(Δt )2]－(3×0－02) ＝3Δt －(Δt )2，2分 Δs Δt ＝3Δt －Δt 2Δt＝3－Δt ，3分lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (3－Δt )＝3.4分 ∴物体的初速度为3. (2)取一时间段[2,2＋Δt ]， ∴Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝[3(2＋Δt )－(2＋Δt )2]－(3×2－22) ＝－Δt －(Δt )2，6分 Δs Δt ＝－Δt －Δt 2Δt＝－1－Δt ，7分lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (－1－Δt )＝－1，8分 ∴当t ＝2时，物体的瞬时速度为－1. (3)当t ∈[0,2]时，Δt ＝2－0＝2. Δs ＝s (2)－s (0)＝(3×2－22)－(3×0－02)＝210分v ＝Δs Δt ＝22＝1. ∴在0到2之间，物体的平均速度为1.12分解答此类问题首先要理解概念与公式的内涵，其次在解题过程中要严格按规定步骤解答，切忌跨步，以免出错．1．平均变化率Δy Δx＝fx 0＋Δx －f x 0Δx，当Δx 趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x 0处的瞬时变化率，即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解．另外，它们都是用来刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化得越快．2．函数在一点处的导数，就是在该点函数值的改变量与自变量的改变量的比值的极限，它是一个定值，不是变数.(对应学生用书第48页)1．已知物体位移公式s＝s(t)，从t0到t0＋Δt这段时间内，下列说法错误的是( ) A．Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)叫做位移增量B.ΔsΔt＝s t0＋Δt－s t0Δt叫做这段时间内物体的平均速度C.ΔsΔt不一定与Δt有关D.limΔt→0ΔsΔt叫做这段时间内物体的平均速度【解析】D错误，应为t＝t0时的瞬时速度．【答案】 D2．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )A．0.40 B．0.41C．0.43 D．0.44【解析】∵x＝2，Δx＝0.1，∴Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝2.12－22＝0.41.【答案】 B3．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b【解析】ΔyΔx＝f x0＋Δx－f x0Δx＝a＋b·Δx，f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(a＋b·Δx)＝a.【答案】 C4．一物体运动的方程是s＝3＋t2，求物体在t＝2时的瞬时速度．【解】Δs＝(2＋Δt)2－4＝4Δt＋(Δt)2.∴ΔsΔt＝4＋Δt.∴当Δt→0时，瞬时速度为4.(对应学生用书第103页)一、选择题1．已知函数y＝x2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则ΔyΔx等于( )A．2 B．2xC ．2＋ΔxD ．2＋(Δx )2【解析】 Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2. ∴Δy Δx ＝2Δx ＋Δx 2Δx ＝2＋Δx .【答案】 C2．自由落体运动的公式为s ＝s (t )＝12gt 2(g ＝10 m/s 2)，若v ＝s 1＋Δt －s 1Δt ，则下列说法正确的是( )A ．v 是在0～1 s 这段时间内的速度B ．v 是1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的速度C ．5Δt ＋10是物体在t ＝1 s 这一时刻的速度D ．5Δt ＋10是物体从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的平均速度 【解析】 由平均速度的概念知：v ＝s 1＋Δt －s 1Δt＝5Δt ＋10.故应选D.【答案】 D3．(惠州检测)某物体做直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t(t 的单位是秒，s 的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为( )A.12316米/秒 B.12516米/秒 C ．8米/秒 D.674米/秒【解析】 ∵ΔsΔt＝4＋Δt2＋34＋Δt －16－34Δt＝Δt 2＋8Δt ＋－3Δt 44＋ΔtΔt＝Δt ＋8－316＋4Δt ，∴lim Δt →0 Δs Δt ＝8－316＝12516. 【答案】 B4．函数f (x )＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1，k 2的大小关系是( )A ．k 1＜k 2B ．k 1＞k 2C ．k 1＝k 2D ．无法确定【解析】 k 1＝f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝2x 0＋Δx ，k 2＝f x 0－f x 0－ΔxΔx＝2x 0－Δx，而Δx可正可负，故k1、k2大小关系不确定．【答案】 D5．已知点P(x0，y0)是抛物线y＝3x2＋6x＋1上一点，且f′(x0)＝0，则点P的坐标为( )A．(1,10) B．(－1，－2)C．(1，－2) D．(－1,10)【解析】Δy＝3(x0＋Δx)2＋6(x0＋Δx)－3x20－6x0＝6x0·Δx＋3(Δx)2＋6Δx，∴limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(6x0＋3Δx＋6)＝6x0＋6＝0.∴x0＝－1，y0＝－2.【答案】 B二、填空题6．(洛阳检测)一小球沿斜面自由滚下，其运动方程是s(t)＝t2, (s的单位：米，t的单位：秒)，则小球在t＝5时的瞬时速度为________．【解析】v′(5)＝limΔt→0s5＋Δt－s5Δt＝limΔt→0(10＋Δt)＝10【答案】10米/秒7．已知函数f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.【解析】f′(1)＝limΔx→0a1＋Δx＋4－a－4Δx＝limΔx→0aΔxΔx＝2，∴a＝2.【答案】 28．若函数f(x)在x＝a处的导数为m，那么limΔx→0f a＋Δx－f a－ΔxΔx＝________.【解析】∵limΔx→0f a＋Δx－f aΔx＝m，则limΔx→0f a－Δx－f a－Δx＝m.∴limΔx→0f a＋Δx－f a－ΔxΔx＝limΔx→0f a＋Δx－f a＋f a－f a－ΔxΔx＝limΔx→0f a＋Δx－f aΔx＋limΔx→0f a－Δx－f a－Δx＝m＋m＝2m.【答案】2m 三、解答题9．已知f (x )＝(x －1)2，求f ′(x 0)，f ′(0)． 【解】 ∵Δf ＝(x 0＋Δx －1)2－(x 0－1)2＝2x 0·Δx －2Δx ＋(Δx )2， ∴Δf Δx ＝2x 0Δx －2Δx ＋Δx 2Δx＝2x 0－2＋Δx ，f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔfΔx ＝lim Δx →0(2x 0－2＋Δx )＝2x 0－2， 把x 0＝0代入上式，得f ′(0)＝2×0－2＝＝－2. 10．设质点做直线运动，已知路程s 是时间t 的函数：s ＝3t 2＋2t ＋1.(1)求从t ＝2到t ＝2＋Δt 的平均速度，并求当Δt ＝1，Δt ＝0.1时的平均速度； (2)求当t ＝2时的瞬时速度．【解】 (1)从t ＝2到t ＝2＋Δt 内的平均速度为： Δs Δt ＝s 2＋Δt －s 2Δt ＝32＋Δt2＋22＋Δt ＋1－3×4－2×2－1Δt＝14Δt ＋3Δt 2Δt＝14＋3Δt .当Δt ＝1时，平均速度为14＋3×1＝17； 当Δt ＝0.1时，平均速度为14＋3×0.1＝14.3. (2)t ＝2时的瞬时速度为：v ＝lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0(14＋3Δt )＝14. 11．(黄冈检测)枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果枪弹的加速度是a ＝5×105m/s 2，它从枪口射出所用的时间为t 1＝1.6×10－3s ，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．【解】 ∵s (t )＝12at 2，∴Δs ＝s (t 1＋Δt )－s (t 1) ＝12a (t 1＋Δt )2－12at 21 ＝at 1Δt ＋12a (Δt )2，Δs Δt＝at 1Δt ＋12a Δt2Δt＝at 1＋12a Δt .∴枪弹射出枪口时的瞬时速度为v＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(at1＋12aΔt)＝at1.由题意a＝5×105 m/s2，t1＝1.6×10－3s，∴v＝at1＝5×105×1.6×10－3＝800(m/s)，即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.(教师用书独具)求函数y＝1x在x＝1时的瞬时变化率．【解】∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝11＋Δx－1＝1－1＋Δx1＋Δx＝1－1－Δx1＋1＋Δx1＋Δx＝－Δx 1＋1＋Δx 1＋Δx ，∴Δy Δx ＝－11＋1＋Δx 1＋Δx . ∴Δx 趋于0时，Δy Δx 趋于－12.∴x ＝1时的瞬时变化率为－12.求y ＝x 在x ＝1处的导数．【解】 由题意知Δy ＝1＋Δx －1， ∴Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝1＋Δx －11＋Δx ＋1Δx 1＋Δx ＋1＝11＋Δx ＋1，∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0 11＋Δx ＋1＝12.。