下载文档原格式
浅谈数学教学中的反证法摘要】在中学数学教学中，引导学生正确运用反证法是数学教师课堂教学实践的重要任务，本文着重探讨反证法的应用方法，以期对我们的数学教学实践有所帮助。
关键词：反证法，思维流程，教学实践一、反证法是一种重要的数学证明方法所谓证明，就是用已知的数学事实或其真实性显而易见的数学公理去解释、说明、断定要证命题的真实性1。
因此，引导学生学会利用反证法证明数学命题是一项重要的教学内容。
二、反证法在数学中的应用（一）反证法的特点及应用反证法对数学命题的证明方法着重于采取逆向思维，由题设通过推理最终否定结论。
我们假设原命題为a→b ，是推导而出的结果，c通常为条件、公理以及定理等，也可以使临时假设的条件，我们可表示为→（c∧）a→b，逻辑依据：“矛盾律”和“排中律”是反证法的最核心最根本的逻辑依据。
反证法的逻辑思维流程是：假若“结论不能够得以成立”，那么结论已不成立就会出现人所共知的问题，这个问题主要是通过与已知的设定条件相悖，或者与公理等相悖，或与我们做出的临时设定条件相悖，或与自身矛盾等方式显示出来。
种类：我们使用反证法的核心点在于归谬，一般在运用中有简单归谬法和穷举归谬法两种形式。
模式：设定需要证明的命题为“若X则Y”，X是题设，Y是我们得出的结论，X，Y亦均为数学判断，如此，反证法证明命题通常分三步。
反设：首先设定与求证结果相悖的内容。
反设—假设待证结论不成立,亦即肯定待证结论的反面,并将其作为增加条件,添加到给定的题设中去2。
归谬：我们将反设作为条件，基于此采取系统的无任何错误的推理，暴露矛盾，这是反证法的关键环节。
结论：推导出反设不能够成立，从而说明原命题正确。
（二）反证法在中学数学中的应用领域反证法是从证明反论题虚假来证明原命题真实的一种证题方法,是一种重要的间接证法3。
反证法普遍应用于平面几何、代数、三角、立体和解析几何等数学的许多部分内容之中。
反证法的理论依据是形式逻辑中的两个基本规律—矛盾律和排中律4。
反证法在高中数学中的应用牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一。
”它是指从与命题的结论相反的假设出发，经过正确的推理，推出与已知证明的定理，公理，定义或题设相矛盾的结果，这样就证明了与结论相反的假设不能成立，从而肯定了原来的结论成立。
一般来说，反证法常用来正面证明或求解有困难，情况多或复杂，而逆否命题是比较浅显的题目，问题可能解决的十分干脆。
利用反证法求解时必须结合其它的知识和方法综合考查，由于它应用的广泛性和它在中学数学与高考的突出作用，它已成为一种重要的解题思想，倍受命题者青睐，本文就反证法思想在解题中的应用加以分类解析，旨在探索题型规律，揭示解题方法.1在简易逻辑中的应用例1设,,x y R ∈ :8,:2p x y q x +≠≠或 6,y ≠则p 是q 的（ ）A ． 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C.充要条件 D . 既不充分也不必要条件分析直接判断总感觉模凌两可，若从反证法的思想考虑逆否命题，简洁清晰。
解析因为 “:2q x ⌝=且6y =”是“:8p x y ⌝+=”的充分不必要条件，所以p 是q 充分不必要条件。
点评在简易逻辑中，当原问题是否定形式的命题，且直接证明或求解较为困难时，考虑逆否命题可化难为易，简洁清晰。
2在平面向量中的应用例2（2011上海理17）设12345,,,,A A A A A 是空间中给定的5个不同的点，则使123450MA MA MA MA MA ++++= 成立的点M 的个数为（ ）.A ．0 B.1 C.5 D.10分析先用向量加法意义说明这样的点是存在的，再用反证法证明这样的点是唯一的。
解析由123450MA MA MA MA MA ++++= 得，()123451,5O M O A O A O A O A =++++ 由向量加法法则知存在这样的点;M 下面用反证法证明点M 的个数是唯一的，假设满足条件的点除M 外还有点,N 那么123450MA MA MA MA MA ++++= ①，123450NA NA NA NA NA ++++= ②，①-②得50,MN = 则N 点与M 点重合，与假设矛盾.所以满足条件的点M 只有一个.点评涉及唯一性问题的证明时，利用反证法可以有效的突破解题困境，使问题处理的简洁流畅。
例谈反证法在中小学数学中的应用摘要：随着我国教育的不断发展，家长不仅重视学生的学习成绩，更加重视学生的能力提升。
中小学阶段作为学生发展的重要阶段，在数学教学中更加需要重视学习方法，这样才能够提升学生的成绩，为学生树立学习信心。
本文主要先说明反证法的原理和相应步骤，然后说明反证法在中小学数学中的应用，最后说明在中小学数学教学中应用反证法需要注意的问题。
关键词：反证法;中小学;数学;应用在数学教学过程中，最重要的一种证明方法就是反证法，反证法作为当前数学解决问题的解决方法，能够在一个命题无法进行证明，或者是感到非常困难时，就可以使用反证法，这种方法在中小学数学教学中应用非常广泛，那么就需要教师在教学时，让学生能够熟练掌握这种方法，这样才能够帮助学生更好的进行学习，提升学生的数学成绩。
1.反证法概念反证法并不是独立出现的，而是间接证明法中的一种，是以反方向为证明的一种方法，也就是在肯定下提出的否定，通过对其矛盾推理，进而验证命题。
再用反证法进行论证时，如果所证明的命题只有一种，那么就直接将这种命题驳回就可以，如果结论有很多反面，就需要将所有的反面全部驳倒，这样才能够证明原结论正确，这种证明方法还叫穷举法[1]。
2.反证法原理和步骤反证法作为一种论证方法，主要是根据所需要证明问题的反面证明，来论证原命题的正确，也就是说，在正常的思维下，从问题的反面入手，将所知道的内容进行判断，然后根据逻辑学来进行严格推理，进而指导否定结论是错误，这样就可以说明原命题是正确。
在中小学数学中常常用到反证法。
如果遇到的数学题从正面来解答较为困难，就可以从反面进行解决。
在对其中小学数学题目解答较为困难时，我们通常会使用反证法，步骤就是：第一，先根据数学题目提出假设，然后做出和题目对立的假设;第二，在提出假设后，进行验证，从对立的命题出发，根据定义、题设等等方面进行谨慎的推理，进而来说明假设并不成立;第三，得到结论，因为推出假设不成立，就可以说明原命题是正确的。
浅谈“反证法”在高中数学的应用反证法，又称归谬法，是一种通过否定或质疑对方的论点，从而证明自己观点正确性的方法。
这种证明方法在高中数学中有着广泛的应用，下面我们就来谈谈反证法在高中数学中的应用。
反证法的原理是：如果一个命题的结论是错误的，那么这个命题的前提也必须是错误的。
这个原理基于逻辑推理的矛盾性，即如果一个命题的前提和结论之间存在矛盾，那么这个命题就是错误的。
根据这个假设，推导出与原命题的结论相矛盾的结论；说明这个矛盾的结论与原命题的结论是矛盾的，从而证明原命题的结论是正确的。
下面我们通过一个实例来说明反证法在高中数学中的应用：例题：求证：在任意三角形ABC中，至少有一个内角小于或等于60度。
证明：假设在三角形ABC中，所有内角都大于60度，即每个内角都大于60度。
根据三角形内角和定理，三角形内角和为180度，因此三角形ABC的内角和大于180度。
但是，这与三角形内角和定理相矛盾，因为三角形的内角和不可能大于180度。
因此，我们的假设是错误的，至少有一个内角小于或等于60度。
通过这个例子，我们可以看到反证法的应用范围很广，可以用来证明各种类型的命题，包括数量关系、不等式、函数性质等等。
虽然反证法在高中数学中有着广泛的应用，但是并不是所有的命题都可以使用反证法来证明。
一般来说，反证法适用于那些结论是“至多”、“至少”等形式的命题，因为这些命题的结论可以被否定。
如果命题的结论是“等于”、“不等于”等形式，那么就不适合使用反证法。
反证法是一种非常重要的数学证明方法，在高中数学中有着广泛的应用。
通过掌握反证法的原理和步骤，我们可以更好地理解和掌握数学中的各种知识点，提高自己的数学素养。
使用反证法也可以培养我们的逻辑思维能力，让我们更加严谨、准确地思考问题。
因此，我们应该认真学习反证法，并将其应用到实际生活中去。
在中学数学的学习过程中，我们经常会遇到一些看似简单但实际上需要巧妙思维才能解决的问题。
这时候，反证法就像是一把利剑，能帮助我们破解难题。
浅谈反证法在数学中的应用刘胜摘要：在数学教学中，抓好基本概念、基本技能的教育是非常重要的，而“解题教学”是提高学生数学素质，培养学生解决实际问题能力的重要途径。
各种解题方法的正确理解和掌握又是锻炼学生思维的多样性、敏捷性、灵活性的基础。
反正法主要运用了一种逆向思维的逻辑进行解题，它是先提出一个与命题结论相反的假设。
然后，从这个假设出发经过正确的推理，导致矛盾，从而否定假设，达到肯定原命题的一种方法。
它与一般证明方法不同，反证法又可分为归谬反证法和穷举反证法两种。
本文从反证法的概念、关于学生在学习中理解反证法的困难、学生运用反证法能力的培养、反证法证题的步骤、分类等方面给以浅述。
关键词：反证法概念理解培养步骤分类证明矛盾反证法是中学数学教学中所涉及的基本论证方法。
初中学生学习平面几何不久，便接触了反证法的思想，在此基础上于第二册建立了反证法的概念, 并运用反证法证明了平面几何中一些重要定理。
在以后数学各个分科教学的推理论证中，也都经常使用这一论证方法。
可见反证法的教学和应用贯穿于整个中学数学教学过程中，学生对反证法的学习、理解和运用反证法能力的提高，也是在中学学习数学过程中逐步加深和完成的。
因此在中学数学教学的全过程中，教师都应该注意对学生运用反证法能力的培养。
一、关于反证法的概念关于反证法这一要领讲法并不一致，有人把反证法归结为证明逆否命题的方法。
他们认为“用反证法进行论证，就是证明原命题的逆否命题”。
有的书中将反证法概念叙述为：为了证明A=>B，而去证明与它们等价的命题，且在等价命题的条件部分中含有要证明的结论的否定，称这样证明方法为反证法。
也有的书上将反证法的概念解释为：当我们要论证一个论题成立（真）时，先假定论题的矛盾论题是真的，然后用演绎推理，从引进的矛盾论题和给定的论据推出逻辑矛盾来，进而确认原论题是真的，这样的证明方法称为反证法。
还有的书中将中学数学中反证法解释为：有一些中学数学题，运用直接证明不易作出它的证明，但却能较易于证明它们结论的反面不成立，直接证明的这种变形称为反证法。
浅谈反证法在中学数学中的应用论文摘要：阐明反证法的定义、逻辑依据、种类、证明的一般步骤、，探索了反证法在中学数学中的应用。
关键词：反证法证明矛盾Reduction to Absurdity Applied in Mathematics in Middle SchoolWu-shileiAbstract:In this paper, we give the definition ，the logical basis and species of reduction to absurdity. Besides, we illustrate its procedures and explore its applications of on mathematics in the middle school.Key-words:reduction to absurdity proof contradict一. 引言有个很著名的“道旁苦李”的故事：从前有个名叫王戎的小孩，一天，他和小朋友发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘，尝了之后才知是苦的，独有王戎没动，王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。
”这个故事中王戎用了一种特殊的方法，从反面论述了李子为什么不甜，不好吃。
这种间接的证法就是我们下面所要讨论的反证法。
反证法不但在初等数学中有着广泛的应用，而且在高等数学中也具有特殊作用。
数学中的一些重要结论，从最基本的一些性质、定理，到某些难度较大的世界名题，往往是用反证法证明的。
二. 反证法的定义、逻辑依据、种类及模式定义：反证法是从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾，推理而得。
不仿设原命题为qp→，s是推出的结论，s一般是条件、某公理定义定理或临时假设，用数学术语可以简单地表示为：()qpssqp→⇔Λ→→，即()qpssqp→⇔Λ→Λ。
浅谈反证法在初中数学解题中的应用作者：莫美珍来源：《学周刊》2018年第17期摘要：反证法在初中数学中有着广泛的应用，它的解题技巧对数学解题有很大的帮助，尤其针对一些难以着手的问题。
教师通过研究反证法在中学数学中解题的范围和其在几种常用命题中的应用技巧，对反证法的分类进行讨论，根据用反证法在各类命题中的应用步骤、类型和规律分析，总结出反证法在初中数学范畴中的重要性。
最后论述反证法这种思维方式在初中数学中所起的作用，要求学生能够用逆向思维来解决更多的数学问题，并结合生活的需要，解决生活中的难题。
关键词：初中数学；反证法；逆向思维中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2018）17-0043-02DOI：10.16657/ki.issn1673-9132.2018.17.026反证法的思维方式与正向思维方式相反，它遵循“由果溯因”这种思维模式。
在数学解题中，教师要注意培养学生的逆向思维，从而提高学生的数学能力。
反证法中独特、巧妙的思维方式可以使那些难以着手的数学问题迎刃而解。
例如下面涉及的这几类问题，其思维方式都比较巧妙，这种解题方法对于提高学生解决数学问题的能力有很大的帮助，更能够帮助学生提高分析问题、灵活运用数学知识解决问题的能力。
反证法在初中数学教学中的应用比较广泛，通常在一些基本的性质、定理和重要结论中都有所体现，在某些难度较大的题目中更是不可或缺的。
一、反证法的定义及理论依据（一）反证法的定义反证法的基本理念是：在否定了原命题（真命题）后，找出必要矛盾，就可以证明原命题。
在对一个命题进行证明时，可以先假设命题结论的对立面是成立的，若由已知条件可以得出两个矛盾的结论，或者导出的结果与定义、定理、已知公理、已知条件之一相矛盾，此时就可以说明假设是不成立的，同时也就证明了原命题一定成立。
利用这种方式对命题进行证明的方法称为反证法。
反证法可以归纳为：“否定结论，寻找矛盾。
沈重予著浅谈反证法在中学数学中的应用作者：汪建宏来源：《读写算》2014年第35期去掉大米中的砂粒，有两种方法。
一种直接把砂粒一一捡出来；一种用淘洗法，把砂粒残留下来。
这两种方法虽然形式不同，但结果却是一样的。
直接方法困难较多，间接方法却很容易。
在数学解题中，也常用间接的方法来证题。
下面我们就来谈谈数学证明的间接方法之一，反证法。
一. 反证法的定义、逻辑依据、种类1.定义：反证法是从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，证明时否定结论，从而推出与定理、公理等正确的命题相矛盾的结论，因此断定假设错误的一种证明方法。
2.逻辑依据：反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。
3.种类：运用反证法的关键在于归谬，因此反证法又称为归谬法。
根据结论的反面，分为简单归谬法和穷举归谬法。
二. 反证法的适用范围反证法是数学证明中的一种重要方法。
牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。
它是从命题结论的反面出发，假设命题结论的反面成立，通过正确的逻辑推理导出与定理、公理、定义相矛盾的结论，从而证明原命题的正确性的一种重要方法。
反证法之所以有效是因为它对命题结论的否定从而实际上增加了论证的条件，这对发现解题思路是很有帮助的。
对于直接证明难以入手的命题，改变其思维方法从结论的反面入手进行思考论证，问题可能解决得十分干脆利索。
在现代数学中，反证法已成为问题解决的最常用和最有效的方法之一。
但是任何证明方法都有它成立的条件和适用范围。
离开并超越了条件和范围就会犯错，同样，也会影响解题的成功率。
因此，我们应该学会正确使用反证法来解决问题。
虽然反证法是一种很积极的证明方法，而且反证法证题也有很多优点：比如适用范围广、推理比较方便等。
不过并不是每一道题都能用反证法来解决。
反证法虽然是在平面几何教材中出现的，但对数学的其它各部分内容的解决，如代数、三角、立体几何、解析几何中都可以应用。
那么，究竟什么样的命题可以用反证法来证呢？当然没有绝对的标准，但证题的实践告诉我们：下面几种命题一般用反证法来证可以较好的解决。
昌吉学院论文（设计）分类号：本科毕业论文（设计）密级：浅谈反证法在中学数学中的应用系院学科门类数学系专业数学与应用数学学号姓名指导教师教师职称讲师二零一三年五月三日毕业论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。
除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果或作品。
本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。
作者签名：年月日毕业论文版权使用授权书本毕业论文作者完全了解学院有关保存、使用毕业论文的规定，同意学院保留并向有关毕业论文管理部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。
本人授权本学院及以上级别优秀毕业毕业论文评选机构将本毕业论文的全部或部分内容编入有关数据库以资检索，可以采用复印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本毕业论文。
声明人签名：导师签名：年月日年月日昌吉学院2013届本科毕业论文（设计）摘要数学思想和方法是把数学知识转化为能力的桥梁,在数学的诸多证明方法中,有一种被称为“数学家最精良的武器之一”的间接证明方法,这就是反证法。
反证法是数学中一种应用广泛的证明方法，在许多方面都有着不可替代的作用。
从最基本的性质定理，到某些难度很大的世界难题都是用反证法来证明的。
反证法不仅可以单独使用，也可以结合其他方法一同使用，还可以在论证同一命题时多次使用。
它与一般证明方法不同，反证法又可分为归谬反证法和穷举反证法两种。
本文主要讲了反证法的定义、逻辑依据、分类以及其使用的步骤，并根据大量文献进行探究和研究，对反证法的适应范围、如何正确使用反证法以及运用反证法应该注意的问题进行归纳与总结。
关键词：反证法；逻辑依据；中学数学；归谬昌吉学院本科毕业论文格式规范目录摘要 (I)目录.................................................................................................................................... I I 引言 (1)1反证法的定义及逻辑依据 (2)1.1反证法的定义 (2)1.2反证法的逻辑依据 (2)2反证法的分类及步骤 (4)2.1反证法的分类 (4)2.2运用反证法解决问题的步骤 (5)3反证法的适用范围 (6)3.1逆命题 (6)3.2基本命题 (6)3.3否定性命题 (7)3.4限定式命题 (8)3.5整除性问题 (8)3.6无穷性命题 (9)3.7某些存在性命题 (9)3.8全称肯定性命题 (10)3.9一些不等量命题 (10)4运用反证法应注意的问题 (12)4.1了解矛盾种类 (12)4.2正确的作出反设 (13)4.3正确的导出矛盾 (15)4.4必须明确推理特点 (16)总结 (16)参考文献 (17)致谢 (18)昌吉学院2013届本科毕业论文（设计）引言在当今和未来社会中，人们面对纷繁复杂的信息，经常需要作出选择和判断，进而进行推理，作出决策，因而义务教育阶段，数学课程的学习，强调学生的数学活动，发展学生的推理能力。
反证法在中学数学中的应用
反证法应用于中学数学
反证法在中学数学中的应用是一种有效的严格推理方式，可以让
学生们更加获得理解和掌握数学概念，这种方法在数学竞赛和有
关数学问题分析中发挥着非常重要的作用。
反证法主要是建立反
证论述，使用否定性的定理或者假设来证明一个结论是正确的，
把假设与结论的关系倒转，将其转化为否定的证明作用。
反证法在中学数学中的应用包括几何学、推理学、统计学等多个
领域。
几何学中，反证法可以用来证明点、直线、圆等平面几何
图形之间关系的正确性。
例如，可以证明两个圆之间有交点时，
只有一组交点，实质上就是假定有两组交点，然后从而得出初始
假设结果是不正确的结论，也就是正确结论。
推理学中反证法通常用来证明一个公式是否正确，例如对一个函
数求导，可以假定函数的导数不正确，再利用其它的定理及定义，得出假定的函数的导数结果是不正确的，因此假定函数的导数是
正确的。
反证法在统计学中也有广泛的应用，它可以用来证明一些经典概
率论结论，例如中心极限定理、大数定律等，也可以用反证法来
证明一些逻辑性结论，如当某一概率不足以使某个结论成立时，
有时会证明该概率大于某个值，即使用反证法证明一个概率值不
应小于特定的界限。
另外，在应用反证法时，学生们需要反复的推导，思考探究新的
思路，学习思维模式的建立及变换，从而使得学生能够更加深入
的掌握数学知识、丰富数学思想，培养学生的分析解决问题能力。
总而言之，反证法在中学数学中十分有效，可以帮助学生学习一
种更严谨的数学思维方式，理解分析数学概念，培养学生的数学
解题能力。
浅谈反证法在中学数学中的应用
反证法是一种间接法，证明定理的一种方法，先提出和定理中的结论相反的假定，然后从这
个假定中得出和已知条件相矛盾的结果来，这样就否定了原来的假定而肯定了定理，也叫归
谬法. 反证法是一种间接证法，它不直接证明论题“若A则B”（即A→B）为真，而是从反面去证明它的否定命题“既A且B”为假，从而肯定“若A则B”为真的证明方法.
1.2 反证法的来源
1.2.1 古希腊的反证法
反证法,无论是逻辑上的还是数学上的，它的概念都是一致的.即是反证法是证明的一种方法.
西方数学在毕达哥拉斯学派的影响下，认为万物皆数.但随着这个表征数学史第一次危机“根
号2”的问题的出现，使得希腊人重新审视了自己的数学，这最终导致希腊人放弃了以数为基
础的几何.
1.2.2 中国古代数学的反证法
在我们中国的传统数学中，本身对于演绎的证明一般就不太重视，而且中国传统逻辑学的不
完备，尽管我们中国的先辈们认识到了一些逻辑规律，并且在魏晋时期就已经大兴辩难之风，但是他们大多使用的都是类似于反驳，在他为《九章算术》作注释时也多次采用了归谬论证法，墨子也使用归谬法.但是应该指出，明确的反证法的用法却是凤毛麟角，在这一点上与西
方存在着差别极大，而在中国数学中，即便是刘徽这位我国古代在理论与逻辑方面都很擅长
的数学大师，也只是用到了反驳(如：举反例).
1.2.3 反证法的其他来源
① 墨子的“归谬法”
例如：“学之益也,说在诽者.”通过证明“学习无益”是假，而得到“学习有益”的命题是真.这是一个非常有意思的反证法的特例.而将其归为归谬论证欠妥切，归谬是反驳的一种方法，显然在
这里是证明一个命题为真.
② 刘徽的“证伪法”在我们的数学中，我们都只将证明与反驳对应为直接证明、归谬法(如反
例法)与间接证明(如反证法).从这意义来说,刘徽他并没有使用过反证法，他仅仅只是在使用归谬法，只是在推翻一些假命题，即在证伪.
1.3 反证法的一般步骤
学习反证法应把握它的一般步骤:
反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面（否定命题）成立；
归谬：将“反设”作条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾.
结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既然结论的反面不成立，从而肯定
了结论成立.
具体方法：
命题r=在C下，若A则B
反证：若A则￢B，证明￢B与A的矛盾
例1求证 A(原论题)
证明 (1)设非A真(非A为反论题)
(2)如果非A，则B(B为由非A推出的论断)
(3)非B(已知)
(4)所以，并非非A(根据充分条件假言推理的否定后件式)
(5)所以，A(非非A=A).
例2如果a是大于1的整数，而所有不大于a的素数都不能整除a，则a是素数.
证明假设a是合数，记a=bc (b、c∈Z，且b， c＞1)，由于a不能被大于1且不大于a的素数整除，所以b＞a，c＞a，从而bc＞a，这与假设a=bc矛盾，故a是素数.
2. 反证法的适用范围
究竟什么样的命题可以用反证法来证呢？当然没有绝对的标准，但证题的实践告诉我们：下面几种命题一般用反证法来证比较方便.
2.1否定性命题
即结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题，直接证法一般不易入手，而反证法有希望成功.
例3 求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角.已知：∠A，∠B，∠C是三角形ABC的
三个内角.求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个钝角.
证明假如∠A，∠B，∠C中有两个钝角，不妨设∠A＞900,且∠B＞900，则∠A+∠B+∠C＞1800.这与“三角形内角和为1800”这一定理相矛盾. 故∠A，∠B均大于900不成立.所以一个三角形不可能有两个钝角.
2.2限定式命题
即结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题.
例4 求证：素数有无穷多个.
证明假设素数只有n个： P1、P2……Pn，取整数N=P1?P2……Pn+1，显然N不能被这几个数中的任何一个整除.因此，或者N本身就是素数（显然N不等于“P1、P2、……Pn中任何一个），或者N含有除这n个素数以外的素数r，这些都与素数只有n个的假定相矛盾，故素数个数不可能是有限的.
2.3某些存在性命题
例5 设x，y∈(0,1)，求证:对于a, b∈R ,必存在满足条件的x，y，使|xy - ax - by|≥31成立.
证明假设对于一切x，y∈〔0 , 1〕使|xy - ax- by| ＜31恒成立，
令x = 0， y = 1 ，则|b|＜31令x = 1 ， y = 0，得| a| ＜31令x = y = 1,得| 1 - a - b| ＜31.但| 1 -
a - b| ≥1 - | a| - | b| ＞1 -31-31=31产生矛盾，故欲证结论正确.
2.4一些不等量命题的证明
如：不等式，反证法是证明它的一种重要方法，但当结论反面有无穷多种情况时，一般不宜
用反证法.
2.5基本命题
例6. 求证：两条相交直线只有一个交点.已知：如图，直线a、b相交于点P，求证：a、b只
有一个交点.
证明假定a，b相交不只有一个交点P，那么a, b至少有两个交点P、Q.于是直线a是由P、
Q两点确定的直线，直线b也是由P、Q两点确定的直线，即由P、Q两点确定了两条直线a，b.与已知公理“两点只确定一条直线”相矛盾，则a，b不可能有两个交点，于是两条相交直线
只有一个交点.
2.6整除性问题
例7. 设a、b都是整数，a2+b2 能被3整除，求证：a和b都能被3整除.证明假设a、b不
都能被3整除.
分三种情况讨论：
（1）a、b都不能被3整除，因a不能被3整除，故a2不能被3整除，同理，b2不能被3
整除，所以a2+b2也不能被3整除，矛盾.
（2）a能被3整除，b不能被3整除，可得a2能被3整除，b2不能被3整除，故a2+b2也
不被3整除，矛盾.
（3）同理可证第三种情况.由（1）（2）（3）得，原命题成立.
参考文献
[1]赵雄辉.证明的方法[M].湖南：湖南人民出版社.2001：85-92.
[2]龙朝阳.反证法的理论基础与适用范围[J].安顺师专学报.1999（2）：40-46.
[3]陈国祥.适合用反证法证明的几类问题[J].中学数学教学参考.1994（7）：22-23.
[4]颜长安.反证法初探[J].数学通讯. 2001（13）：22-24.
[5]高珑珑.反证法例说[J].中学数学月刊. 1997（4）：33-35.
[6]徐加生.例谈正难则反的解题策略[J]. 数学教学研究.1999（4）：12-13.。
