《新步步高》考前三个月高考二轮复习数学(江苏专用理科)知识考点题型篇专题4三角函数与.doc

第28练直线与［题型分析•高考展望］直线与圆是解析几何的基础，在高考中除对木部分知识单独考查外, 更多是在与圆锥曲线结合的综合题中，对相关知识进行考查•单独考查时，一般为填空题， 难度不大，属低中档题•直线的方程，圆的方程的求法及位置关系的判断与应用是本部分的 重点.常考题型精析题型一直线方程的求法与应用例1⑴若点p (l,l)为圆(X —3)2+/ = 9的弦MN 的屮点，则弦MN 所在直线的方程为(2)已知△MC 的顶点力为(3, —1),力0边上的中线所在直线方程为6x+llQy —59=0, ZB 的平分线所在直线方程为兀一纱+10=0,求BC 边所在直线的方程.点评 ⑴两条直线平行与垂直的判定① 若两条不重合的直线/1, ?2的斜率他存在，则l\〃l2Ok\=k2, /］丄"O 侑危=一1；② 判定两直线平行与垂直的关系时，如果给出的直线方程中存在字母系数，不仅要考虑斜率 存在的情况，还要考虑斜率不存在的情况.(2)求直线方程的常用方法① 直接法：直接选用恰当的直线方程的形式，写出结果；② 待定系数法：先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有一待定系数，再由题 给的另一条件求出待定系数.知识•考点•题型 练透高考必会题型 专题7 解析几何变式训练1如图所示，某县相邻两镇在一平而直角坐标系下的坐标为力(1,2),3(4,0), —条河所在的直线方程为/：x+2y—10=0,若在河边 /上建一座供水站P，使之到3两镇的管道最省，那么供水站户应建在什么地方？题型二圆的方程半轴交于两点力，3(3在/的上方)，且AB=2.例2 (1)(2015•湖北)如图,已知圆C与x轴相切于点7(1,0),①圆C的标准方程为②圆C在点3处的切线在x轴上的截距为⑵(2015•南通模拟)己知圆C经过点力(2, -1),并且圆心在直线/,： y=-2v±，且该圆与直线4 y=-x+l相切.①求圆C的方程；②求以圆C内一点B(2,点评求圆的方程的两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.变式训练2已知圆C： (x-x o)2+(y-yo)2=^2 (^>0)-^ y轴相切，圆心C在直线/：兀一3尹= 0上，且圆C截直线加：0所得的弦长为2羽，求圆C的方程.题型三直线与圆的位置关系、弦长问题例3 (1)(2015-重庆改编)已知直线 /：x+今一1=0(Q WR)是圆C： x2+y2—4x—2y+\= 0 的对称轴，过点/(—4, °)作圆C的一条切线，切点为B,则仙= ___________________ .(2)已知直线/过点P(0,2),斜率为匕圆0： ?+/-12x+32=0.①若直线/和圆相切，求直线/的方程；②若直线/和圆交于3两个不同的点，问是否存在常数层使得OA + OB与陀共线？若存在，求出力的值；若不存在，请说明理由.点评研究直线与圆位置关系的方法(1)研究直线与圆的位置关系的最基本的解题方法为代数法，将几何问题代数化，利用函数与方程思想解题.(2)与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径尸，圆心到直线的距离d,及半弦长*, 构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.变式训练3 (2014-课标全国I )已知点P(2,2),圆C：x2+y2-^y=0,过点P的动直线/与圆C交于3两点，线段的中点为A/, O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程；⑵当OP=OM时，求/的方程及APOM的面积.高考题型精练1.(2015-山东改编)一条光线从点(-2,-3)射出，经尹轴反射后与圆(x+3)?+e—2)2=l相切,则反射光线所在直线的斜率为______________ .2.已知x, y满足x+2y—5 = 0,贝＞J(x—l)2 + (y—I)2的最小值为 _____ .3.(2015-南通模拟)已知直线爪a(x-y+2)+2x-y+3=0 (aWR)与直线〔的距离为1，若］2不与坐标轴平行，且在y轴上的截距为一2,则％的方程为 ______________ •4.(2015-徐州模拟)已知点力(1,2), B(5, -2),在x轴上有一点P(x f0)满足PA=PB,在y轴上有一点0(0,刃，它在线段的垂直平分线上，则△OPQ的面积为______________ .5.(2015•广东改编)平行于直线2x+p+l=0且与圆?+/ = 5相切的直线的方程是6.已知直线x+y—£=0(£>0)与圆x2+y2=4交于不同的两点力，B, O是坐标原点，且有|勿+OB\^-\AB\,那么£的収值范围是________________ .7.(2015•苏州模拟)已知P是直线/： 3x-4y+ll=0上的动点，PA, PB是圆x2+y2-2x~2y+ 1=0的两条切线，C是圆心，那么四边形刃CB而积的最小值是___________ .&若圆上一点力(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x-y+l= 0相交的弦长为2迈，则圆的方程是___________________________ .9.已知圆C关于尹轴对称，经过点力(1,0),且被兀轴分成两段弧长比为1 ：2,则圆C的方程为________________ .10.若直线ax+hy=\过点A(b, a),则以坐标原点O为圆心，长为半径的圆的面积的最小值是_______ .11.与直线X—y—4 = 0和圆A： x2 + v2+ 2x~2y = 0都相切的半径最小的圆C的方程是12.如图所示，已知以点力(一1,2)为圆心的圆与直线厶：x+2y+7=0相切，过点3(—2,0)的动直线/与圆/相交于M, N两点，0是MN的中点，直线/与相交于点只(1)求圆/的方程；(2)当A/N=2倾时，求直线/的方程;(3)BQ BP是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由.质:点难点全突破() —直线与圆位置关系的动态研究专题7解析几何常考题型典例剖析例 1 (l)2x-y-l=O解析由题意知圆心C(3,0), kcp= —2*由 kcp k^N =— 1，得 kwv=2,所以弦MN 所在直线的方程是2x-y —1=0.⑵解设3(4刃一 10,必)，由中点在6x+10y-59 = 0上， 可得：6妙2 7+10卩2 1-59 = 0, y\=5,・・・3(10,5).设昇点关于x-4y+10=0的对称点为/T (兀‘，y f ),+ 10 = 0=M‘（1,7）,•・•点(1,7), B(10,5)在直线 BC 上， .y~5 x —10 ••7_5=[_10，故BC 边所在直线的方程是2x+9y —65 =0.变式训练1解如图所示，过力作直线/的对称点A',连结A' B 交/于P,若P'(异 于P)在直线上, 则 AP r+BP' =A' P' +BP , >A fB.因此，供水站只有在P 点处，才能取得最小值，设才(a, b), M A A f的中点在/±,且AA f 丄/,答案精析第28练直线与+11^3 41 b+2-y+2X^—-10=0, b~2卫一1所以直线才B 的方程为6x+y —24=0,2 H)= T, 解得 a = 3,b=6. 即川(3,6).解方程组6x+y—24 = 0, 兀+2尹一10=0,_38X_]],36丿=讦所以P点的坐标为（11， 11/故供水站应建在点戶借，普）处.例2 ⑴①（X—1）2 + 0—匹）2 = 2 ②一迈一1解析①由题意，设圆心C（l, r）（r为圆C的半径），则/= 乡[+12=2,解得r=y[2.所以圆C的方程为（x—I F+Q—返）2=2.②方法一令x=0,得歹=迈±1,所以点3（0,迈+1）.又点C（l,迈），所以直线BC的斜率为kuc= _、，所以过点B的切线方程为y—（y[2 + l）=x—0,即尹=x+（迈+1）.令y=0,得切线在x轴上的截距为一^2-1.方法二令x=0,得尹=迈±1,所以点3（0,血+1）.又点C（l,迈），设过点3的切线方程为歹一（迈+1）=也，即也一y+（迈+1） = 0.由题意，得圆心C（l,迈）到直线kx-y+（yf2 +1）=0的距离孚普也=尸迈'解得k=X-故切线方程为兀一y+（迈+1）=0.令7=0,得切线在兀轴上的截距为一V2-1. ⑵解①设圆的标准方程为（x—a）2 + （j;—b）2=r2,72-t/)2+(-l-/))2=r2, h= —2a,1| d=l, 方=一2,Z=A/2.故圆C的方程为(X-1)2+G^+2)2=2.②由①知圆心C坐标为(1, -2),… _号_(_2) 1 贝H 紅冯= 2~~1= _2*设直线/3的斜率为届，由kykcB= — \,可得 &3=2.故直线厶的方程为y+|=2(x—2),即4x—2尹一13 = 0.变式训练2解圆C： (x - xo)2+(y ~y Q)2=R2(R>0)与尹轴相切，则\x Q\=R.®圆心C在直线/：x-3y=0上，则心=3必・②圆C截直线〃2： x—尹=0所得的弦长为2甫，则2、/二¥^^^=曲•③把①②代入③，消去X0,旳得R=3,则x°=3,尹o=l 或x()= —3, yo =— 1.故所求圆C 的方程为(X-3)2+(V-1)2=9或(x+3)2+(y+l)2=9.例3 (1)6解析由于直线x+ay~\ =0是圆C：x1+y2-4x-2y+l= 0的对称轴，.••圆心C(2,l)在直线x+ay— 1 =0 _E, .*.2+t7— 1 =0, a = — 1, 4, — 1).A^C2=36+4=40.又r=2, A^2=40-4=36.:・AB=6.⑵解①将圆的方程化简，得(X—6)2+J^2=4.圆心0(6,0),半径厂=2.由题意可设直线/的方程为y=kx+2,故圆心到直线/的距离喘意h 髓. 因为直线/和圆相切，故d=r,即=3解得斤=0或力=—才, 所以，直线/的方程为尹=2或3x+4尹一8 = 0.②将直线/的方程和圆的方程联立得y=kx^2,(X -6)2+/=4,消去尹得(1+疋),+4伙一 3衣+36=0, 因为直线/和圆相交，故/ = [4伙一 3尸 一4 X 36X(1 +k 2)>0, 3解得一才VXO.设/(X1，购)，B(X2,尹2),4 伙一 3) X1+x2=__1+F36 片2—乔乔’而尹]+歹2 =也】+2 +也2 + 2 =饥¥]+兀2)+ 4,OA + OB=(xi+x 2i p+乃)，7^=(6, -2).因为OA + OB 与P0共线,所以一2 X (xi +X2)= 6X (y| +y 2),3 又因为一才<X0,所以没有符合条件的常数化 变式训练3解 ⑴圆C 的方程可化为x 2+(y-4)2=16, 所以圆心为C(0,4),半径为4.设 M(x, y),则GW=(x, y-4), MP=(2~x,2~y).由题设知CMMP=O,故 x(2—x) + O —4)(2—y)=0, 即(x-l)2+(y-3)2=2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(X —1)2+()/—3)2=2.(2)由⑴可知M 的轨迹是以点N(l,3)为圆心，迈为半径的圆.由于故O 在线段的垂直平分线上.又P 在圆N 上，从而ON 丄PM.则有V 整理得(1+3Q4 伙一3)] -7+F J +12=0^因为ON 的斜率为3,所以/的斜率为一*, 故/的方程为7=—罗+亍 又 OM=OP=2y[2t o 到/的距离为色导， 叱呼， 所以的面积为学 常考题型精练1.-扌或-号解析 由已知，得点(一2, —3)关于尹轴的对称点为(2, -3),由入射光线与反射光线的对 称性，知反射光线一定过点(2, —3).设反射光线所在直线的斜率为则反射光线所在直线的方程为y + 3 = k(x-2)9即kx_y_2k_3 = 0.由反射光线与圆相切，则有d =解析(X —l)2+(y —1)表示点P(x,尹)到点0(1,1)的距离的平方. 由已知可得点尸在直线/： x+2尹一5 = 0上，所以的最小值为点0到直线/的距离，即芈§1+2? 5所以(X —l)2+(y-l)2的最小值为3.4x+3y+6 = 0解析 由题意可知，直线/】过直线x —尹+2 = 0与2x-y+3 = 0的交点戶(一1,1),由两条直线间的距离为1可得，点P 到直线伍的距离为1，设厶的方程为y=kx-29则 4 41»解得《=—§，故厶的方程为尹=—亍x —2,即4x+3p+6=0.4解析 由题意知直线川5的斜率为k=—=~\f 线段力3的中点坐标为(3,0),故其垂直平 分线的方程为y=x —3,该直线与兀轴交于点P(3,0),与尹轴交于点Q(0, -3),故△OP0\-3k-2-2k-3\心+1 _4 3 解得£=_亍或k=—^.4-5 2 yj/c +1的面积为5=^X3X3 = 2-5.2x+y+5 = 0或2x+y-5 = 0线方程为2兀+尹+5 = 0或2兀+尹一5 = 0.6.应,2^2)解析当I鬲+丽|=晋|越〔时，O, A, B三点为等腰三角形的三个顶点，如图，其中O4 = OB, ZAOB= 120°,从而圆心O到直线x+ y~k=0(k>0)的距离为1,此时k=逅;当*>\庖时，|鬲+為|>書|乔 |,又直线与圆x2+y2=4存在两交点，故k<2y[2.综上，£的取值范围是[迈，2迈).7.^3解析如图所示，圆的标准方程为(x-l)2 + (y-l)2=l,圆心为C(l,l),半径为r=l.根据对称性可知四边形PACB面积等于25^PC=2x|x/^Xr=/>4,故丹最小时，四边形刃CE的面积最小，由于PAhpPC2—、,故PC最小时，PA最小，此时，直线CP垂直于直线/：3x-4y+\]=0, 故PC的最小值为圆心C到直线/：3x-4y+ll=0所以丹=y]PC2~\ =^22-1 =书.故四边形PACB面积的最小值为迈.8,(x-6)2+(y+3)2=52 或(x~14)2+(y+7)2=244解析设圆的方程为(x~a)2+^~b)2=r2，点力(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上, 说明圆心在直线x+2尹=0上，即有a+2b=0,又(2—67)2+(3—fe)2=r2,而圆与直线x—丿+1 =0相交的弦长为2迈，故亠閉=2,a = 6y依据上述方程，解得^=-3,/ = 52 所以所求圆的方程为(x —6)2+0+3)2=52或(兀一14)2+0+7)2=244.解析・・•圆C 关于y 轴对称, ・••圆C 的圆心在y 轴上，可设C(0, b),设圆C 的半径为儿则圆C 的方程为x 2+(y~b)2=r 2.卩2+(一b )2",依题意，得｛ 11切=尹10.7T解析T 直线ax+by=\过点A(b, a),• • ab~\~ab=\. ab =*.又 OA =y]a 2 + b 2,・••以O 为圆心，O 力长为半径的圆的面积为 S=Tt-OA 2=(a 2+b 2)Ti^2ab7t=Tt,・••面积的最小值为71.ii.(x —iF+e+i )2=2解析 易知所求圆C 的圆心在直线尹=一x 上，故设其坐标为C(c, —c),又其直径为圆力 的圆心力(一1,1)到直线兀一尹一4=0的距离减去圆/的半径，即2厂=希-迈=2y[2=>r=y[2,即圆心C 到直线兀一尹一4=0的距离等于迈，故有2馬出=也片c=3或c=l,结合图形当c=3时圆C 在直线兀一尹一4=0下方，不符合题意，故所求圆的方程为(x-1)2°=14, 或“ 〃=一7,7=244. 9.X 2 + 43+e+1)2=2.12.解(1)设圆/的半径为/?.・・•圆/与直线厶：x+2y+7 = 0相切，..|-1+4+7|・・R—逅-亦.・•・圆/的方程为(x+1)2 + 0—2)2=20.(2)当直线/与x轴垂直时，易知兀=一2符合题意；当直线I与x轴不垂直时，设直线/的方程为y=k(x+2)f即kx~y+2k=0.连结AQ,则AQA.MN.,：MN=2y[i9t .*.^0=^20-19=1.. \k—2| 3由力。

回扣4数列1．牢记概念与公式等差数列、等比数列2.活用定理与结论(1)等差、等比数列{a n}的常用性质(2)判断等差数列的常用方法①定义法：a n＋1－a n＝d (常数) (n∈N*)⇔{a n}是等差数列．②通项公式法：a n＝pn＋q (p，q为常数，n∈N*)⇔{a n}是等差数列．③中项公式法：2a n＋1＝a n＋a n＋2 (n∈N*)⇔{a n}是等差数列．④前n项和公式法：S n＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{a n}是等差数列．(3)判断等比数列的三种常用方法①定义法：a n ＋1a n＝q (q 是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． ②通项公式法：a n ＝cq n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． ③中项公式法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． 3．数列求和的常用方法(1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和．(2)形如{a n ·b n }(其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列)的数列，利用错位相减法求和． (3)通项公式形如a n ＝c (an ＋b 1)(an ＋b 2)(其中a ，b 1，b 2，c 为常数)用裂项相消法求和．(4)通项公式形如a n ＝(－1)n ·n 或a n ＝a ·(－1)n (其中a 为常数，n ∈N *)等正负项交叉的数列求和一般用并项法．并项时应注意分n 为奇数、偶数两种情况讨论．(5)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成c n ＝a n ＋b n 形式的数列求和问题的方法，其中{a n }与{b n }是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列． (6)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求S n .1．已知数列的前n 项和求a n ，易忽视n ＝1的情形，直接用S n －S n －1表示．事实上，当n ＝1时，a 1＝S 1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.2．易混淆几何平均数与等比中项，正数a ，b 的等比中项是±ab .3．等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，灵活整体代换进行基本运算．如等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝n ＋12n ＋3，求a n b n 时，无法正确赋值求解．4．易忽视等比数列中公比q ≠0，导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解．5．运用等比数列的前n 项和公式时，易忘记分类讨论．一定分q ＝1和q ≠1两种情况进行讨论．6．利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项． 7．裂项相消法求和时，分裂前后的值要相等， 如1n (n ＋2)≠1n －1n ＋2，而是1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2.8．通项中含有(－1)n 的数列求和时，要把结果写成分n 为奇数和n 为偶数两种情况的分段形式．1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －4(n ∈N *)，则a n 的通项公式为________． 答案 2n ＋1解析 a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－4－(2a n －4)⇒a n ＋1＝2a n ，再令n ＝1，∴S 1＝2a 1－4⇒a 1＝4，∴数列{a n }是以4为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝4·2n －1＝2n ＋1.2．已知数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1－a n ，且a 1＝2，a 2＝3，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 016的值为________． 答案 0解析 由题意得，a 3＝a 2－a 1＝1，a 4＝a 3－a 2＝－2，a 5＝a 4－a 3＝－3，a 6＝a 5－a 4＝－1，a 7＝a 6－a 5＝2，∴数列{a n }是周期为6的周期数列，而2 016＝6·336，∴S 2 016＝336S 6＝0. 3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5＝14－a 6，则S 10等于________． 答案 70解析 a 5＝14－a 6⇒a 5＋a 6＝14， S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 5＋a 6)2＝70.4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝4，S 10＝110，则使S n ＋63a n 取得最小值时n 的值为________． 答案 8解析 a 2＝4，S 10＝110⇒a 1＋d ＝4,10a 1＋45d ＝110⇒a 1＝2，d ＝2，因此S n ＋63a n＝2n ＋n (n －1)＋632n ＝n 2＋632n ＋12，又n ∈N *，所以当n ＝8时，S n ＋63a n 取得最小值．5．等比数列{a n }中，a 3a 5＝64，则a 4等于________． 答案 8或－8解析 由等比数列的性质知，a 3a 5＝a 24， 所以a 24＝64，所以a 4＝8或a 4＝－8.6．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 3＝52，且a 2＋a 4＝54，则S na n 等于________．答案 2n －1解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎨⎧a 1(1＋q 2)＝52，a 1q (1＋q 2)＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝12，∴S na n ＝a 1(1－q n)1－q a 1qn －1＝2×(1－12n )1－122×(12)n －1＝2n －1. 7．设函数f (x )＝x a ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋2，则数列{1f (n )}的前9项和是________．答案3655解析 由题意得函数f (x )＝x a ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋2，即ax a －1＋a ＝2x ＋2，所以a ＝2，即f (x )＝x 2＋2x ，1f (n )＝1n (n ＋2)＝12(1n －1n ＋2)，所以S n ＝12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2)＝12(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)．则S 9＝12(1＋12－110－111)＝3655.8．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则2S n ＋16a n ＋3(n ∈N *)的最小值为________．答案 4解析 据题意由a 1，a 3，a 13成等比数列可得(1＋2d )2＝1＋12d ，解得d ＝2，故a n ＝2n －1，S n ＝n 2，因此2S n ＋16a n ＋3＝2n 2＋162n ＋2＝n 2＋8n ＋1＝(n ＋1)2－2(n ＋1)＋9n ＋1＝(n ＋1)＋9n ＋1－2，据基本不等式知2S n ＋16a n ＋3＝(n ＋1)＋9n ＋1－2≥2(n ＋1)×9n ＋1－2＝4，当n ＝2时取得最小值4.9．等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于________． 答案 4解析 由等比数列的性质有a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5， 所以T 8＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8 ＝lg(a 1a 2…a 8)＝lg(a 4a 5)4＝lg(10)4＝4.10．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋2n 且a 1＝2，则数列{a n }的通项公式a n ＝____________. 答案 n 2－n ＋2 解析 a n ＋1＝a n ＋2n ，∴a n ＋1－a n ＝2n ，采用累加法可得∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1， ＝2(n －1)＋2(n －2)＋…＋2＋2＝n 2－n ＋2.11．若数列{a n }满足a n ＝3a n －1＋2(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝1，则数列{a n }的通项公式为a n ＝____________.答案 2×3n －1－1解析 设a n ＋λ＝3(a n －1＋λ)，化简得a n ＝3a n －1＋2λ， ∵a n ＝3a n －1＋2，∴λ＝1，∴a n ＋1＝3(a n －1＋1)，∵a 1＝1，∴a 1＋1＝2， ∴数列{a n ＋1}是以2为首项，3为公比的等比数列， ∴a n ＋1＝2×3n －1，∴a n ＝2×3n －1－1.12．数列113，219，3127，4181，51243，…的前n 项之和等于________________．答案n (n ＋1)2＋12[1－(13)n ] 解析 由数列各项可知通项公式为a n ＝n ＋13n ，由分组求和公式结合等差数列、等比数列求和公式可知前n 项和为S n ＝n (n ＋1)2＋12[1－(13)n ]． 13．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝λS n ＋1(n ∈N *，且λ≠－1)，且a 1,2a 2，a 3＋3为等差数列{b n }的前三项． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和．解 (1)方法一 ∵a n ＋1＝λS n ＋1(n ∈N *)， ∴a n ＝λS n －1＋1(n ≥2)．∴a n ＋1－a n ＝λa n ，即a n ＋1＝(λ＋1)a n (n ≥2)，λ＋1≠0， 又a 1＝1，a 2＝λS 1＋1＝λ＋1，∴数列{a n }是以1为首项，以λ＋1为公比的等比数列， ∴a 3＝(λ＋1)2，∴4(λ＋1)＝1＋(λ＋1)2＋3， 整理得λ2－2λ＋1＝0，得λ＝1. ∴a n ＝2n －1，b n ＝1＋3(n －1)＝3n －2.方法二 ∵a 1＝1，a n ＋1＝λS n ＋1(n ∈N *)， ∴a 2＝λS 1＋1＝λ＋1，a 3＝λS 2＋1＝λ(1＋λ＋1)＋1＝λ2＋2λ＋1. ∴4(λ＋1)＝1＋λ2＋2λ＋1＋3， 整理得λ2－2λ＋1＝0，得λ＝1. ∴a n ＋1＝S n ＋1 (n ∈N *)， a n ＝S n －1＋1(n ≥2)，∴a n ＋1－a n ＝a n ，即a n ＋1＝2a n (n ≥2)，又a 1＝1，a 2＝2， ∴数列{a n }是以1为首项，以2为公比的等比数列， ∴a n ＝2n －1，b n ＝1＋3(n －1)＝3n －2.(2)设数列{a n b n }的前n 项和为T n ， a n b n ＝(3n －2)·2n －1，∴T n ＝1·1＋4·21＋7·22＋…＋(3n －2)·2n －1.①∴2T n ＝1·21＋4·22＋7·23＋…＋(3n －5)·2n －1＋(3n －2)·2n .②①－②得，－T n ＝1·1＋3·21＋3·22＋…＋3·2n －1－(3n －2)·2n＝1＋3·2·(1－2n －1)1－2－(3n －2)·2n .整理得T n ＝(3n －5)·2n ＋5.14．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且S n ＝a n (a n ＋1)2 (n ∈N *)，(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)设b n ＝1S n ，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若λ≤T n 对于任意n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围．(1)证明 ∵S n ＝a n (a n ＋1)2 (n ∈N *)，①∴S n －1＝a n －1(a n －1＋1)2(n ≥2)．②①－②得a n ＝a 2n ＋a n －a 2n －1－a n －12(n ≥2)，整理得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)＝(a n ＋a n －1)， ∵数列{a n }的各项均为正数，∴a n ＋a n －1≠0， ∴a n －a n －1＝1(n ≥2)． 当n ＝1时，a 1＝1，∴数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列． (2)解 由(1)得S n ＝n 2＋n2，∴b n ＝2n 2＋n ＝2n (n ＋1)＝2(1n －1n ＋1)，∴T n ＝2[(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝2(1－1n ＋1)＝2nn ＋1，∵T n ＝21＋1n ，∴T n 单调递增，∴T n ≥T 1＝1，∴λ≤1.故λ的取值范围为(－∞，1]．。

3．三角函数、解三角形、平面向量1．α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α＝θ＋2k π(k ∈Z )，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等．任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (x ，y )是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r ＝x 2＋y 2>0，那么sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (x ≠0)，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关．[问题1] 已知角α的终边经过点P (3，－4)，则sin α＋cos α的值为________． 2．同角三角函数的基本关系式及诱导公式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限角 －α π－α π＋α 2π－α π2－α 正弦 －sin α sin α －sin α －sin α cos α 余弦cos α－cos α－cos αcos αsin α[问题2] cos 9π4＋tan ⎝⎛⎭⎫－7π6＋sin21π的值为_______________________________． 3．三角函数的图象与性质 (1)五点法作图；(2)对称轴：y ＝sin x ，x ＝k π＋π2，k ∈Z ；y ＝cos x ，x ＝k π，k ∈Z ；对称中心：y ＝sin x ，(k π，0)，k ∈Z ；y ＝cos x ，⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0，k ∈Z ；y ＝tan x ，⎝⎛⎭⎫k π2，0，k ∈Z . (3)单调区间：y ＝sin x 的增区间：⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π (k ∈Z )， 减区间：⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π (k ∈Z )； y ＝cos x 的增区间：[]－π＋2k π，2k π (k ∈Z )，减区间：[2k π，π＋2k π] (k ∈Z )；y ＝tan x 的增区间：⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π (k ∈Z )． (4)周期性与奇偶性：y ＝sin x 的最小正周期为2π，为奇函数；y ＝cos x 的最小正周期为2π，为偶函数；y ＝tan x 的最小正周期为π，为奇函数．易错警示：求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，容易出现以下错误： (1)不注意ω的符号，把单调性弄反，或把区间左右的值弄反； (2)忘掉写＋2k π，或＋k π等，忘掉写k ∈Z ；(3)书写单调区间时，错把弧度和角度混在一起．如[0,90°]应写为⎣⎡⎦⎤0，π2. [问题3] 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的递减区间是________________． 4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β――→令α＝βsin2α＝2sin αcos α.cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β――→令α＝βcos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2，tan2α＝2tan α1－tan 2α.在三角的恒等变形中，注意常见的拆角、拼角技巧，如： α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)， α＝12[(α＋β)＋(α－β)]．α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4，α＝⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4. [问题4] 已知α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 5．解三角形 (1)正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (R 为三角形外接圆的半径)．注意：①正弦定理的一些变式：(ⅰ)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(ⅱ)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R；(ⅲ)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；②已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍．在△ABC 中A >B ⇔sin A >sin B .(2)余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc等，常选用余弦定理判定三角形的形状．[问题5] 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝60°，则B ＝________. 6．向量的平行与垂直设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且b ≠0，则a ∥b ⇔b ＝λa ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. a ⊥b (a ≠0)⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.0看成与任意向量平行，特别在书写时要注意，否则有质的不同．[问题6] 下列四个命题：①若|a |＝0，则a ＝0；②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③若a ∥b ，则|a |＝|b |；④若a ＝0，则－a ＝0.其中正确命题是________． 7．向量的数量积 |a |2＝a 2＝a·a ，a·b ＝|a||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2， cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22，a 在b 上的投影＝|a |cos 〈a ，b 〉＝a·b |b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 22＋y 22. 注意：〈a ，b 〉为锐角⇔a·b >0且a 、b 不同向； 〈a ，b 〉为直角⇔a·b ＝0且a 、b ≠0； 〈a ，b 〉为钝角⇔a·b <0且a 、b 不反向．易错警示：投影不是“影”，投影是一个实数，可以是正数、负数或零．[问题7] 已知|a |＝3，|b |＝5，且a ·b ＝12，则向量a 在向量b 上的投影为________． 8．当a ·b ＝0时，不一定得到a ⊥b ，当a ⊥b 时，a ·b ＝0；a ·b ＝c ·b ，不能得到a ＝c ，消去律不成立；(a ·b )c 与a (b ·c )不一定相等，(a ·b )c 与c 平行，而a (b ·c )与a 平行．[问题8] 下列各命题：①若a ·b ＝0，则a 、b 中至少有一个为0；②若a ≠0，a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；③对任意向量a 、b 、c ，有(a ·b )c ≠a (b ·c )；④对任一向量a ，有a 2＝|a |2.其中正确命题是________．9．几个向量常用结论(1)P A →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心； (2)P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →⇔P 为△ABC 的垂心； (3)向量λ(AB →|AB →|＋AC→|AC →|) (λ≠0)所在直线过△ABC 的内心；(4)|P A →|＝|PB →|＝|PC →|⇔P 为△ABC 的外心．易错点1 忽视角的范围例1 已知sin α＝55，sin β＝1010，且α，β为锐角，则α＋β＝________. 错因分析 只考虑α，β为锐角． 没有注意到sin α＝55，sin β＝1010本身对角的范围的限制，造成错解． 解析 因为α，β为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝255，cos β＝1－sin 2β＝31010.所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255×31010－55×1010＝22. 又因为0＜α＋β＜π，所以α＋β＝π4.答案 π4易错点2 图象平移把握不准例2 已知函数f (x )＝sin(2x ＋π4)，为了得到函数g (x )＝cos2x 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度错因分析 ①没有将f (x )，g (x )化为同名函数；②平移时看2x 变成了什么，而没有认识到平移过程只是对“x ”而言．解析 g (x )＝sin(2x ＋π2)＝sin[2(x ＋π8)＋π4]，∴y ＝f (x )的图象向左平移π8个单位长度即可得到y ＝g (x )的图象．答案 A易错点3 三角函数单调性判断错误例3 求函数y ＝12sin(π4－2x3)的单调区间．错因分析 由于受思维定势的影响，本题容易出现仍然按照函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的单调区间的判断方法进行，如认为当x 满足2k π－π2≤π4－23x ≤2k π＋π2(k ∈Z )时函数单调递增，就会求错函数的单调区间．解 原函数变形为y ＝－12sin(2x 3－π4)，令u ＝2x 3－π4，则只需求y ＝sin u 的单调区间即可，所以y ＝sin u 在2k π－π2≤2x 3－π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，即3k π－3π8≤x ≤3k π＋9π8(k ∈Z )上单调递增；y ＝sin u在2k π＋π2≤u ＝2x 3－π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即3k π＋9π8≤x ≤3k π＋218π(k ∈Z )上单调递减．故y ＝12sin(π4－2x 3)＝－sin u 的单调递减区间为[3k π－3π8，3k π＋9π8](k ∈Z )，单调递增区间为[3k π＋9π8，3k π＋21π8](k ∈Z )． 易错点4 解三角形忽视检验例4 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，c ＝ 3. (1)若角C ＝π3，则角A ＝________；(2)若角A ＝π6，则b ＝________.错因分析 在用正弦定理解三角形时，易出现漏解或多解的错误，如第(1)问中没有考虑c 边比a 边大，在求得sin A ＝a sin C c ＝12后，得出角A ＝π6或5π6；在第(2)问中没有考虑角C 有两解，由sin C ＝c sin A a ＝32，只得出角C ＝π3，所以角B ＝π2，解得b ＝2，这样就出现漏解的错误．解析 (1)由正弦定理a sin A ＝csin C ，得sin A ＝a sin C c ＝12，又a ＜c ，所以A ＜C .所以A ＝π6.(2)由a sin A ＝c sin C， 得sin C ＝c sin A a ＝32，得C ＝π3或2π3，当C ＝π3时，B ＝π2，可得b ＝2；当C ＝2π3时，B ＝π6，此时得b ＝1.答案 (1)π6(2)2或1易错点5 忽视向量共线致误例5 已知a ＝(2,1)，b ＝(λ，1)，λ∈R ，a 与b 的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是________________________________________________________________________． 错因分析 误认为θ为锐角⇔cos θ>0，没有排除θ＝0即两向量同向的情况． 解析 由θ为锐角，有0<cos θ<1. 又∵cos θ＝a·b|a|·|b |＝2λ＋15·λ2＋1，∴0<2λ＋15·λ2＋1<1， ∴⎩⎨⎧2λ＋1>0，2λ＋1<5·λ2＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ>－12，λ≠2.∴λ的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫λ|λ>－12且λ≠2.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫λ|λ>－12且λ≠21．(2014·大纲全国)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( ) A.45B.35C ．－35D ．－452．设a ＝sin33°，b ＝cos55°，c ＝tan35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >aD ．c >a >b3．(2015·东北三校联考)已知sin αcos α＝13，则cos 2(α＋π4)的值为( )A.12B.13C.16D.234．函数y ＝2sin(π6－2x )(x ∈[－π，0])的单调递增区间是( )A ．[－π，－5π6]B ．[－π3，0]C ．[－2π3，－π6]D ．[－π3，－π6]5.函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A ，φ∈R )的部分图象如图所示，那么f (0)等于( ) A ．－12B ．－1C ．－32D ．－ 36．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( ) A.32B.22C.12D ．－127．(2015·陕西省五校第一次联考)如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，∠A ＝60°，点M 在AB 边上，且AM ＝13AB ，则DM →·DB →等于( )A ．－32B.32C ．－1D ．18．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．9．如图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)图象的一部分，A ，B 是图象上的一个最高点和一个最低点，O 为坐标原点，则OA →·OB →的值为________．10．(2014·天津)已知函数f (x )＝cos x ·sin(x ＋π3)－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值和最小值．学生用书答案精析3．三角函数、解三角形、平面向量要点回扣 [问题1] －15[问题2]22－33[问题3] ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z ) [问题4] －5665[问题5] 45° [问题6] ④ [问题7]125[问题8] ④ 查缺补漏1．D [因为角α的终边经过点(－4,3)，所以x ＝－4，y ＝3，r ＝5， 所以cos α＝x r ＝－45.]2．C [∵a ＝sin33°，b ＝cos55°＝sin35°， c ＝tan35°＝sin35°cos35°，又0<cos35°<1， ∴c >b >a .]3．C [∵sin αcos α＝13，∴sin2α＝2sin αcos α＝23，∴cos 2(α＋π4)＝1＋cos (2α＋π2)2＝1－sin2α2＝1－232＝16.]4．C [因为y ＝2sin(π6－2x )＝－2sin(2x －π6)，所以函数y ＝2sin(π6－2x )的单调递增区间就是函数y ＝sin(2x －π6)的单调递减区间．由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )， 解得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π(k ∈Z )，即函数y ＝2sin(π6－2x )的单调递增区间为[π3＋k π，5π6＋k π](k ∈Z ) 又x ∈[－π，0]，所以k ＝－1，故函数y ＝2sin(π6－2x )(x ∈[－π，0])的单调递增区间为[－2π3，－π6]．]5．B [由题图可知，函数的最大值为2，因此A ＝2. 又因为函数经过点⎝⎛⎭⎫π3，2， 则2sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝2， 即2×π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝－π6＋2k π，k ∈Z .f (0)＝2sin φ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π6＋2k π＝－1.] 6．C [∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝c 22ab ，又∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2ab ≤2c 2. ∴cos C ≥12.∴cos C 的最小值为12.]7．D [DM →＝DA →＋AM →＝DA →＋13AB →，又DB →＝DA →＋AB →，所以DM →·DB →＝(DA →＋13AB →)·(DA →＋AB →)＝DA →2＋13AB →2＋43DA →·AB →＝1＋43－43AD →·AB → ＝73－43|AD →|·|AB →|cos60°＝73－43×1×2×12＝1.] 8．27解析 由正弦定理知AB sin C ＝3sin60°＝BC sin A ，∴AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A . 又A ＋C ＝120°，∴AB ＋2BC＝2sin C ＋4sin(120°－C )＝2(sin C ＋2sin120°cos C －2cos120°sin C ) ＝2(sin C ＋3cos C ＋sin C )＝2(2sin C ＋3cos C )＝27sin(C ＋α)， 其中tan α＝32，α是第一象限角， 由于0°＜C ＜120°， 且α是第一象限角， 因此AB ＋2BC 有最大值27. 9.19π2－1 解析 由题意可知A (π6，1)，B (2π3，－1)，OA →·OB →＝π6×2π3＋1×(－1)＝19π2－1.10．解 (1)由已知，有f (x )＝cos x ·(12sin x ＋32cos x )－3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin2x －34(1＋cos2x )＋34 ＝14sin2x －34cos2x ＝12sin(2x －π3)． 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间[－π4，－π12]上是减函数，在区间[－π12，π4]上是增函数，f (－π4)＝－14，f (－π12)＝－12，f (π4)＝14， 所以，函数f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值为14，最小值为－12.。

第37练概率的两类模型［题型分析•高考展望］概率是高中数学的重要内容，也是高考的必考知识点•在高考中，概率部分的命题主要有三个方面的特点：一是以古典概型的概率公式为考查对象，二是以儿何概型的概率公式为考查对象，三是古典概型与其他知识相交汇，题目多以填空题的形式出现.常考题型精析题型一古典概型问题例1 (1)(2015•课标全国I改编)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，贝IJ称这3个数为一组勾股数，从1,23,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为 ___________ .(2)某班级的某一小组有6位学生，其中4位男生，2位女生，现从屮选取2位学生参加班级志愿者小组，求下列事件的概率：①选取的2位学生都是男生；②选収的2位学生一位是男生，另一位是女生.点评求解古典槪型问题的三个步骤(1)判断本次试验的结果是不是等可能的，设出所求事件4⑵分别计算基本事件的总数舁和所求事件力所包含的基本事件的个数九(3)利用古典概型的概率公式P⑷=晋求出事件/的概率.若直接求解比较困难，则可以利用间接的方法，如逆向思维，先求其对立事件的槪率，进而再求所求事件的槪率.变式训练1 (2014-课标全国I改编)4位同学各自在周六、周日两天屮任选一天参加公益活动, 则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为题型二几何概型问题 ［底応2表示的平面区域为°在区域°内随机取一个点，则此点 到坐标原点的距离大于2的概率是 （2）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯.这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同 时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 点评（1）几何概型并不限于向平面（或直线、空间）投点的试验，如果一个随机试验有无限多 个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面（或直线、空间）中的一点来表示，而所有基 本结果对应于一个区域0,这时，与试验有关的问题即可利用几何概型来解决.（2）几何概型的概率求解，一般要将问题转化为长度、面积或体积等几何问题.在转化中，面积问题的求解常常用到线性规划知识，也就是用二元一次不等式（或其他简单不等式）组表示区 域.几何概型的试验中事件A 的概率Pg ）只与其所表示的区域的几何度量（长度、面积或体积） 有关，而与区域的位置和形状无关.变式训练2 （1）（2015•湖北改编）在区间［0,1］上随机取两个数兀，”记刃为事件“x+yW* 的概率，P2为事件“卩W*”的概率，则®P I <2<P2-的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为高考题型精练1.（2015•山东改编）在区I'可［0,2］上随机地取一个数x,则事件“一1勺0虽+訴率为2. （2015•广东改编）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其屮有10个白球，5个红球.从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为例2 （1）设不等式组 （2）（2014-福建）如图，在边长为1”发生的概3. （2015•福建改编）如图，矩形MCD 中,点/在x 轴上，点B 的坐标为（1,0）,兀+1,兀20, 且点C 与点Q 在函数f （x ）=\ 1 ,的图象上.若在矩形MCQ 内—尹+1, x ＜0随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 _________4. （2014-辽宁改编）若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 屮, 其中AB = 2, BC=l,则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是5•将一颗骰子投掷两次分别得到点数G , b,则直线ax~hy=0与圆（x~2）2+y 2 = 2相交的概率 为__________ .6•已知实数a, b 满足仁xp 兀2是关于x 的方程x^—2x+b —a+3 = 0的两个实根，[0WK4,则不等式0＜心＜15成立的概率是 ________ .7.（2014-江西改编）掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于 ______ .&有一底面半径为I ，高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取 一点P,则点P 到点O 的距离大于1的概率为 _______________ .9. （2014-重庆）某校早上8： 00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7： 30〜7： 50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概 率为 ____________ .10. 在口前举行的全国大学生智能总决赛中，某高校学生开发的智能机器人在一个标注了平面2直角坐标系的平面上从坐标原点出发，每次只能移动一个单位，沿X 轴正方向移动的概率是彳 沿尹轴正方向移动的概率为£则该机器人移动6次恰好移动到点（3,3）的概率为 ______________ .11. （2014-四川）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外 完全相同•随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a, b, C. ⑴求“抽取的卡片上的数字满足a + b=c v的概率； ⑵求“抽取的卡片上的数字a, b, c 不完全相同”的概率.DCO ~LXy12.(2014•山东)海关对同时从儿B, C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(1)求这6件样品中来自B, C各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽収2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品來自相同地区的概率.答案精析第37练概率的两类模型常考题型典例剖析例1 (1島解析从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3), (1,2,4), (1,2,5), (1,3,4), (1,3,5), (1,4,5), (2,3,4), (2,3,5), (2,4,5), (3,4,5),其中勾股数只有(3,4,5),所以概率为壽⑵解①设4位男生的编号分别为1,2,3,4,2位女生的编号分别为5,6.从6位学生中任取2位学生的所有可能结果为(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,4), (3,5),(3.6), (4,5), (4,6), (5,6),共15 种.从6位学生中任取2位学生，所取的2位全是男生的方法数，即从4位男生中任取2个的方法数，共有6 种，即(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4).所以选取的2位学生全是男生的概率为戸=备=彳.②从6位学生中任取2位，其中一位是男生，而另一位是女生，其取法包括(1,5), (1,6), (2,5),(2.6), (3,5), (3,6), (4,5), (4,6),共8 种.Q所以选取的2位学生一位是男生，另一位是女生的概率为巴=十・7变式训练1 §解析4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有24=16(种)，其中仅1 +1 7在周六(周日)参加的各有1种，.••所求概率为1—一歹=令例2 (1)1(2)扌解析(1)如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表示的区域且区域D的百积为4,而阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域.易知该阴影部分的面积为4—九因此满足条件4 —兀 7T的概率是丁 =1—* (2)如图所示，设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时次亮的时间相差不超过2秒的概率为12_3_ 7T 16=4=1_4-可行域如图所示:S'ABOS 曲边多边死OEGFC 十1 SgECiP2= ,血于= ,所次P0<P2・5四边形OCDE / 5因边形o CDE/⑵0」8解析由题意知，这是个几何概型问题,f ；=KM)O =O18> TS 正=1,阴= 0.18.常考题型精练 解析 由一iwiog^x+*)wi,得*3・•・由几何概型的概率计算公式得所求概率1- 0 3 p= --------- =_2- 0 4-刻为x 、％兀、y 相互独立，由题意可知“ 0令£4,Jx-y|W2,4X4-2x|x2X2 FW2)=匕竺斗一—S 正方形变式训练2 (1)④解析在直角坐标系中，依次作出不等式组OWxW 1, OWyWl,依题意，p\ = £ ,5四边形OCDE3-4所以两串彩灯第一x+応*, qW* 的解析 从袋中任取2个球共有Ch =105种取法，其中恰好1个白球1个红球共有C ；od = 5O 种取法，所以所取的球恰好1个白球1个红球的概率为需=普.31 32 1解析由图形知C(l,2), D(—2,2), ・・・S 四边形ABCD =6，S 阴=㊁X 3 X 1 =空..I P=g=j.解析 设质点落在以力B 为直径的半圆内为事件力, nl阴影面积扫2兀 则PM)二长方形面积=辰=孑解析 圆心(2,0)到直线ax —抄=0的距离当2时，直线与圆相交，则有戶命 得满足b>a 的，共有15种情况, 因此直线or —®=0与圆(x-2)2+y 2=2相交的概率为菁=誇.°32解析 由题意，关于x 的方程x 2-2x+b-a+3=0对应的一元二次函数人对 =x 2-2x+b-a+3 满足人0)>0, /(1)<0,貓标系如图.满足题意的区域为图中阴影部分，3故所求概率卩=花=莎・71解析掷两颗骰子，点数有以下情况：(1,1) , (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),(3,1), (3,2),(3,3) , (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3), (5,4), (5,5),(5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6),共 36 种，其中点数之和为 5 的有(1,4),b42^• • /✓O/ / /ab-ci+3>09 b~a+2<0,建立平面直角坐(2,3) , (3,2), (4,1),共4种，故所求概率为花=g. 8.|解析 设点P 到点。

小题精练41. ____________________________________________________ 已知集合 M={兀|x3<},N= {y\y=2x f xeR},贝ij MQN= _______________________________________ .2. _____________________________________ 命题的否定是 .3. 已知复数zi=2+i, Z2=l —2i,若z=¥，则 z = z 23 2 2 - 7 -4•设 a=(-Y ，h= (-)5 , c=(-y,则 Q , b, c 的大小关系是 5 5 55. _________________________________________________________________ 设加，〃是两条不同的直线，«, ”是两个不同的平面，下列命题小正确的是 ____________ . ① 若 m//a, n//则 m//n ；② 若a 丄“，m 丄卩,mQa,则m//a ；③ 若a 丄卩，mUa,则加丄0；④ 若加Ua, 77Ca, m//p, n//p,则 a 〃“.6. 学校组织同学参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学.现从该小组中选出3位同学分别到A, B. C 三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同安排方法有0=___________则（X —2）2+y 的最小值为 ______&函数y=kx+ 1( —2Wx<0),8兀 兀 2sin(ex+°)(0WxW"y, 0<°旬的图象如图，则k= a)=11 .S 尸右+右 +・・・+-^~[则实数加的収值范围是13.已知椭圆的中心在坐标原点0, A, C 分别是椭圆的上、下顶点，3是椭圆的左顶点，F 是椭圆的左焦点，直线力尸与3C 相交于点D 若椭圆的离心率为*,则ABDF 的正切值为 14•如图所示，图2中实线围成的部分是长方体（图1）的平面展开图，其中四边形ABCD 是边 长为1的止方形•若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的 概率是£则此长方体的体积是 ________10.已知整数a, b, c,门満足：2"+2〃=2°,字，贝ij log 2r 的最大值是12.己知直线y=mx （m e R ）与函数金）=的图象恰有三个不同的公共点, 1 1 1 1 D:B 1 1 1 •2-图1 图2答案精析小题精练41. (0,1]解析 由题意 M= {x|O^x^l}, N={>>0}，故 MDN=(O,1].2. mxWR, x 2=x解析 根据全称命题的否定是存在性命题知命题''VxER, xMx"的否定是“mxER, x 2 =兀”. 3. —i& 丄l . _ , z\ 2 + i (2 + i)(l+2i)角军析 由已知得z=r=r _r =―——=人Z2 1—21 3所以Z = —i.4. a>c>b 解析••了=（彳）在（°，+8）上为减函数，且|>|, :.b<c, ••了在（0, +8）上为增函数,解析 ①若m//a, n//a,则m//n 或〃2, 〃相交或异面；②若a 丄0,加丄"，则m//a 正确；③若。

回扣2 函数与导数1．函数的定义域和值域(1)求函数定义域的类型和相应方法①若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；②若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f [g (x )]的定义域为不等式a ≤g (x )≤b 的解集；反之，已知f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为函数y ＝g (x )(x ∈[a ，b ])的值域； ③在实际问题中应使实际问题有意义．(2)常见函数的值域①一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域为R ；②二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)：当a >0时，值域为⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞，当a <0时，值域为⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a ； ③反比例函数y ＝k x(k ≠0)的值域为{y ∈R |y ≠0}． 2．函数的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x (定义域关于原点对称)，都有f (－x )＝－f (x )成立，则f (x )为奇函数(都有f (－x )＝f (x )成立，则f (x )为偶函数)．(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f (x )，如果对于定义域内的任意一个x 的值：若f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)，则f (x )是周期函数，T 是它的一个周期．3．关于函数周期性、对称性的结论(1)函数的周期性①若函数f (x )满足f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )为周期函数，2a 是它的一个周期．②设f (x )是R 上的偶函数，且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )是周期函数，2a 是它的一个周期．③设f (x )是R 上的奇函数，且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )是周期函数，4a 是它的一个周期．(2)函数图象的对称性①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．②若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )，即f (x )＝－f (2a －x )，则f (x )的图象关于点(a,0)对称．③若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称． 4．函数的单调性函数的单调性是函数在定义域上的局部性质．①单调性的定义的等价形式：设x 1，x 2∈[a ，b ]，那么(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②若函数f (x )和g (x )都是减函数，则在公共定义域内，f (x )＋g (x )是减函数；若函数f (x )和g (x )都是增函数，则在公共定义域内，f (x )＋g (x )是增函数；根据同增异减判断复合函数y ＝f [g (x )]的单调性．5．函数图象的基本变换(1)平移变换：y ＝f (x )――→h >0，右移h <0，左移y ＝f (x －h )， y ＝f (x )――→k >0，上移k <0，下移y ＝f (x )＋k . (2)伸缩变换：y ＝f (x )――→0<ω<1，伸ω>1，缩y ＝f (ωx )， y ＝f (x )――→0<A <1，缩A >1，伸y ＝Af (x )． (3)对称变换：y ＝f (x )――→x 轴y ＝－f (x )，y ＝f (x )――→y 轴y ＝f (－x )，y ＝f (x )――→原点y ＝－f (－x )．6．准确记忆指数函数与对数函数的基本性质(1)定点：y ＝a x (a >0，且a ≠1)恒过(0,1)点；y ＝log a x (a >0，且a ≠1)恒过(1,0)点．(2)单调性：当a >1时，y ＝a x 在R 上单调递增；y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增； 当0<a <1时，y ＝a x 在R 上单调递减；y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减．7．函数与方程(1)零点定义：x 0为函数f (x )的零点⇔f (x 0)＝0⇔(x 0,0)为f (x )的图象与x 轴的交点．(2)确定函数零点的三种常用方法①解方程判定法：即解方程f(x)＝0.②零点定理法：根据连续函数y＝f(x)满足f(a)f(b)<0，判断函数在区间(a，b)内存在零点．③数形结合法：尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解．8．导数的几何意义(1)f′(x0)的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，该切线的方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．(2)切点的两大特征：①在曲线y＝f(x)上；②在切线上．9．利用导数研究函数的单调性(1)求可导函数单调区间的一般步骤：①求函数f(x)的定义域；②求导函数f′(x)；③由f′(x)>0的解集确定函数f(x)的单调增区间，由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调减区间．(2)由函数的单调性求参数的取值范围：①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f′(x)≤0 (x∈M)恒成立；②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集；③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集．10．利用导数研究函数的极值与最值(1)求函数的极值的一般步骤：①确定函数的定义域；②解方程f′(x)＝0；③判断f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0两侧的符号变化：若左正右负，则x0为极大值点；若左负右正，则x0为极小值点；若不变号，则x0不是极值点．(2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原则．2．解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围．3．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连结，可用“及”连结或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．4．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．5．准确理解基本初等函数的定义和性质．如函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的单调性忽视字母a 的取值讨论，忽视a x >0；对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)忽视真数与底数的限制条件．6．易混淆函数的零点和函数图象与x 轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化．7．已知可导函数f (x )在(a ，b )上单调递增(减)，则f ′(x )≥0(≤0)对∀x ∈(a ，b )恒成立，不能漏掉“＝”号，且需验证“＝”不能恒成立；而已知可导函数f (x )的单调递增(减)区间为(a ，b )，则f ′(x )>0(＜0)的解集为(a ，b )．8．f ′(x )＝0的解不一定是函数f (x )的极值点．一定要检验在x ＝x 0的两侧f ′(x )的符号是否发生变化，若变化，则为极值点；若不变化，则不是极值点．1．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，x ≤0，2x －4，x >0，则 f [f (1)]等于________． 答案 －2解析 由f [f (1)]＝f (21－4)＝f (－2)＝2×(－2)＋2＝－2.2．若函数f (x )＝x 2－12ln x ＋1在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．答案 [1，32) 解析 因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，y ′＝2x －12x， 由f ′(x )＝0，得x ＝12.利用图象可得， ⎩⎪⎨⎪⎧ k －1<12<k ＋1，k －1≥0，解得1≤k <32. 3．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7单调递增，则实数a 的取值范围是________． 答案 (2,3)解析 因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7单调递增，所以1<a <3且由f (7)<f (8)得，7(3－a )－3<a 2，解得a <－9或a >2，所以实数a 的取值范围是(2,3)．4．函数y ＝x ·2x|x |的图象大致形状是________．答案 ①解析 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，－2x ，x <0， y ＝2x 在(0，＋∞)上单调递增，且y ＝2x ＞0，排除②④；又y ＝－2x 在(－∞，0)上单调递减，排除③.5．已知函数f (x )为偶函数，将f (x )的图象向右平移一个单位后得到一个奇函数，若f (2)＝－1，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)等于________．答案 0解析 由条件知f (x －1)是奇函数，所以f (－x －1)＝－f (x －1)，又f (x )为偶函数，所以f (x ＋1)＝－f (x －1)，即f (x ＋2)＝－f (x )，从而f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )是周期为4的函数，在f (x ＋2)＝－f (x )中令x ＝－1，可得f (1)＝0，再令x ＝1可得f (3)＝－f (1)＝0，令x ＝2可得f (4)＝－f (2)＝1，因此f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝504[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＝0.6．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且f (－1)＝2，则f (2 017)的值是________． 答案 －2解析 由题意得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数是以T ＝4的周期函数，所以f (2 017)＝f (1)＝－f (－1)＝－2.7． a 、b 、c 依次表示函数f (x )＝2x ＋x －2，g (x )＝3x ＋x －2，h (x )＝ln x ＋x －2的零点，则a 、b 、c 的大小顺序为________．答案 b <a <c解析 a 、b 、c 为直线y ＝2－x 分别与曲线y ＝2x ，y ＝3x ，y ＝ln x 的交点横坐标，从图象可知b <a <c .8．设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则a 、b 、c 的大小关系是________．答案 c >a >b解析 易知log 23>1，log 32，log 52∈(0,1)．在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝log 3x 与y＝log 5x 的图象，观察可知log 32>log 52.所以c >a >b .比较a ，b 的其他解法：log 32>log 33＝12，log 52<log 55＝12，得a >b ；0<log 23<log 25，所以1log 23>1log 25，结合换底公式得log 32>log 52，即a ＞b .9．若函数f (x )定义域为[－2,2]，则函数y ＝f (2x )·ln(x ＋1)的定义域为________．答案 (－1,1]解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤2x ≤2，x ＋1>0，∴－1<x ≤1， 即函数y ＝f (2x )·ln(x ＋1)的定义域为(－1,1]．10．设函数f (x )＝x 3－2e x 2＋mx －ln x ，记g (x )＝f (x )x，若函数g (x )至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是__________．答案 (－∞，e 2＋1e] 解析 令g (x )＝x 2－2e x ＋m －ln x x＝0， ∴m ＝－x 2＋2e x ＋ln x x(x >0)， 设h (x )＝－x 2＋2e x ＋ln x x，令f 1(x )＝－x 2＋2e x ， f 2(x )＝ln x x ，∴f 2′(x )＝1－ln x x 2， 发现函数f 1(x )，f 2(x )在x ∈(0，e)上都是单调递增，在x ∈(e ，＋∞)上都是单调递减，∴函数h (x )＝－x 2＋2e x ＋ln x x在x ∈(0，e)上单调递增，在x ∈(e ，＋∞)上单调递减，∴当x ＝e 时，h (x )max ＝e 2＋1e ，∴函数有零点需满足m ≤h (x )max ，即m ≤e 2＋1e. 11．设奇函数y ＝f (x )(x ∈R )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈[0，12]时f (x )＝－x 2，则f (3)＋f (－32)的值等于________． 答案 －14解析 由于y ＝f (x )为奇函数，根据对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，可得f (－t )＝f (1＋t )，所以函数y ＝f (x )的一个周期为2，故f (3)＝f (1)＝f (0＋1)＝－f (0)＝0，f (－32)＝f (12)＝－14， ∴f (3)＋f (－32)＝－14. 12．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极小值10，则a ＋b 的值为________． 答案 －7解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10，解得a ＝4，b ＝－11或a ＝－3，b ＝3，经验证，a ＝4，b ＝－11符合题意，故a ＋b ＝－7.13．已知函数f (x )＝x ＋1e x (e 为自然对数的底数)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)设函数φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋1e x ，存在实数x 1，x 2∈[0,1]，使得2φ(x 1)<φ(x 2)成立，求实数t 的取值范围．解 (1)∵函数的定义域为R ，f ′(x )＝－x e x ， ∴当x <0时，f ′(x )>0，当x >0时，f ′(x )<0，∴f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．(2)存在x 1，x 2∈[0,1]，使得2φ(x 1)<φ(x 2)成立，则2[φ(x )]min <[φ(x )]max .∵φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋e －x ＝x 2＋(1－t )x ＋1e x ，∴φ′(x )＝－x 2＋(1＋t )x －t e x ＝－(x －t )(x －1)e x. ①当t ≥1时，φ′(x )≤0，φ(x )在[0,1]上单调递减，∴2φ(1)<φ(0)，即t >3－e 2>1； ②当t ≤0时，φ′(x )>0，φ(x )在[0,1]上单调递增，∴2φ(0)<φ(1)，即t <3－2e<0；③当0<t <1时，若x ∈[0，t )，φ′(x )<0，φ(x )在[0，t )上单调递减， 若t ∈(t,1]，φ′(x )>0，φ(x )在(t,1)上单调递增，∴2φ(t )<max{φ(0)，φ(1)}，即2·t ＋1e t <max{1，3－t e}．(*) 由(1)知，g (t )＝2·t ＋1e t 在[0,1]上单调递减， 故4e ≤2·t ＋1e t ≤2，而2e ≤3－t e ≤3e， ∴不等式(*)无解．综上所述，存在t ∈(－∞，3－2e)∪(3－e 2，＋∞)，使得命题成立．。

第 7 练抓要点——函数性质与分段函数[ 题型剖析·高考展望 ]函数单一性、奇偶性、周期性是高考必考内容，以分段函数为载体是常考题型．主要以填空题的形式考察，难度为中档偏上．二轮复习中，应当要点训练函数性质的综合应用能力，采集函数应用的不一样题型，剖析比较异同点，排查与其余知识的交汇点，找到此类问题的解决议略，经过训练提升解题能力．体验高考1 ． (2015 山·东改编 )设函数f(x)＝3x－ 1， x＜ 1，f(f(a)) ＝ 2f(a)的 a 的取值范围是则知足2x， x≥1，________ ．答案2，＋∞3分析由 f(f( a)) ＝ 2f(a)得， f(a) ≥1.2 2 当 a<1 时，有 3a－1≥1，∴ a≥，∴≤a<1.3 3 当 a≥1时，有 2a≥1，∴ a≥0，∴ a≥ 1.2综上， a≥ .32． (2015 山·东改编 )设函数 f(x)＝3x－b， x＜ 1，5＝ 4，则 b 等于 ________．x若 f f2 ， x≥1.6答案1 2分析由题意，得 f 555－ b. 6＝ 3× － b＝62535b1.当－ b≥1，即 b≤时，22＝ 4，解得 b＝222当52－ b＜ 1，即 b＞32时， 3×52－ b － b＝4，7解得 b＝8( 舍去 )．1因此 b＝ .23x －3x， x≤a，3． (2016 ·京北 )设函数 f(x)＝－2x，x＞a.(1)若 a＝ 0，则 f(x)的最大值为 ________；(2)若 f(x)无最大值，则实数 a 的取值范围是 ________．答案 (1)2 (2)(－∞，－ 1)3x － 3x， x≤0，分析(1)当 a＝0 时， f(x)＝－2x，x＞ 0.若 x≤0， f′(x)＝ 3x2－3＝ 3(x2－ 1)．由 f′(x)＞ 0 得 x＜－ 1，由 f′(x)＜0 得－ 1＜x≤0.因此 f( x)在 (－∞，－ 1)上单一递加；在 (－ 1,0] 上单一递减，因此 f( x)的最大值为 f(－ 1)＝ 2.若 x＞ 0， f(x)＝－ 2x 单一递减，因此f(x)＜ f(0)＝ 0.因此 f( x)的最大值为 2.(2)f(x)的两个函数在无穷制条件时的图象如图．由 (1) 知，当 a≥－ 1 时， f(x)获得最大值2.当 a＜－ 1 时， y＝－ 2x 在 x＞ a 时无最大值，且－ 2a＞ 2.因此 a＜－ 1.1－ x， x≥0，则 f(f(－ 2))等于 ________．4． (2015 陕·西改编 )设 f(x)＝x2 ， x＜ 0，答案1 2分析∵ f(－ 2)＝ 2－2＝1＞ 0，则 f(f(－ 2))＝ f1＝1－1＝ 1－1＝1.444225． (2016 四·川 )已知函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当0<x<1 时， f(x)＝ 4x，则f－5＋ f(1) ＝________.2答案－ 2分析因为 f(x)是周期为 2 的函数，因此 f( x)＝ f(x＋ 2)．而 f(x)是奇函数，因此 f( x)＝－ f(－ x)．因此 f(1) ＝ f(－ 1)， f(1)＝－ f(－ 1)，即 f(1) ＝0，又 f －5＝ f －1＝－ f1， f11＝42＝ 2，222255故 f －2＝－ 2，进而 f －2＋ f(1) ＝－ 2.高考必会题型题型一函数单一性、奇偶性的应用1．常用结论：设x1、 x2∈ [a， b]，则(x1－ x2) [f(x1)－ f(x2)]>0 ?f(x1)－ f(x2)>0 ? f(x)在[ a， b] 上x1－ x2单一递加． (x1－x2)[f( x1)－ f(x2)]<0 ?f(x1 )－ f(x2)<0? f(x)在 [a， b]上单一递减．x1－ x22．若 f(x)和 g(x)都是增函数，则 f(x)＋ g(x)也是增函数，－ f(x)是减函数，复合函数的单一性依据内函数和外函数同增异减的法例判断．3．定义域不对于原点对称的函数必定是非奇非偶函数．4．奇偶性同样的两函数的积为偶函数，奇偶性相反的两函数的积为奇函数．例 1 (1) 假如函数f(x)＝ ax2＋ 2x－3 在区间 (－∞， 4)上是单一递加的，则实数 a 的取值范围是 ________．(2 － a) x＋1， x＜ 1，(2) 已知 f(x)＝知足对随意 x1≠x2，都有f(x1)－f( x2)＞ 0 建立，那么 a 的取a x， x≥1x1－ x2值范围是 ________．答案(1)[－1， 0] (2)[3， 2) 42分析(1)当 a＝0 时， f(x)＝2x－ 3，在定义域 R 上是单一递加的，故在(－∞，4)上单一递加；当 a≠0时，二次函数f( x)的对称轴为x＝－1a.因为 f( x)在 (－∞，4) 上单一递加，因此 a＜ 0，且－1a≥4，解得－14≤a＜0.综合上述得，－14≤a≤0. (2)由已知条件得 f(x)为增函数，2－ a＞0，∴a＞ 1，(2 －a) ×1＋ 1≤a，解得3≤a＜ 2，∴ a 的取值范围是 [3， 2)．22评论(1) 奇偶性：拥有奇偶性的函数在对于原点对称的区间上其图象、函数值、分析式和单一性联系亲密，研究问题时可转变到只研究部分( 一半 )区间上，这是简化问题的一种途径．特别注意偶函数f(x)的性质： f(|x|)＝ f(x)．(2)单一性：能够比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的独一性．变式训练1若 f(x)＝－ x2＋ 2ax 与g( x)＝a在区间[1,2] 上都是减函数，则 a 的取值范围是x＋1________ ．答案(0,1]分析由 f(x)＝－ x2＋ 2ax 在 [1,2] 上是减函数可得[1,2] ? [a，＋∞)，∴ a≤ 1.∵y＝1在 ( －1，＋∞)上为减函数，x＋ 1a∴由 g(x)＝在[1,2]上是减函数可得a＞0，故 0＜ a≤1.题型二函数的周期性与对称性的应用重要结论： 1.若对于定义域内的随意x，都有 f(a－ x)＝ f(a＋ x)，则函数＝ a 对称．2．若对于随意x，都有 f(x＋ T)＝ f(x)，则 f(x)为周期函数，且它的周期为例 2 (1) 已知函数f(x)是 (－∞，＋∞)上的奇函数，且 f(x)的图象对于直线f(x)的图象对于直线xT.x＝ 1 对称，当 x∈ [ －1,0)时， f(x)＝－ x，则 f(2015) ＋ f(2016) ＝ ________.(2) 定义在 R 上的函数 f(x)知足 f(x＋ 6)＝ f( x)．当－ 3≤x＜－ 1 时， f(x)＝－ (x＋ 2)2；当－ 1≤x＜3时， f(x)＝ x，则 f(1) ＋ f(2)＋ f(3) ＋＋ f(2016) ＝ ________.答案 (1)1 (2)336分析(1)由 f(x)是( －∞，＋∞)上的奇函数且f(x) 的图象对于直线x＝ 1 对称，知 f(x)的周期为4，∴f(2015) ＝f(3) ＝ f(－ 1)＝ 1，f(2016) ＝ f(4)＝ f(0) ＝ 0.∴f(2015) ＋f(2016) ＝1＋ 0＝ 1.(2) 由 f(x＋ 6)＝ f(x)可知，函数 f(x)的一个周期为 6，因此 f(－ 3)＝ f(3) ＝－ 1， f(－ 2)＝ f(4) ＝ 0，f(－1)＝ f(5)＝－ 1，f(0) ＝ f(6)＝ 0，f(1) ＝ 1，f(2)＝ 2，因此在一个周期内有 f(1) ＋f(2) ＋＋f(6)＝1＋ 2－ 1＋ 0－ 1＋0＝ 1，因此 f(1) ＋ f(2)＋＋ f(2016) ＝ [f(1) ＋f(2)＋＋f(6)] ×336＝ 336.评论利用函数的周期性、对称性能够转变函数分析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转变到已知区间上求解．变式训练2已知函数y＝ f(x)是定义在R 上的奇函数，? x∈ R，f(x－ 1)＝ f(x＋ 1)建立，当f(x2)－ f(x1)x∈ (0,1)且 x1≠x2时，有＜0，给出以下命题：①f(1)＝ 0；②f(x)在 [ － 2,2] 上有 5 个零点；③点 (2014,0) 是函数 y＝ f(x)图象的一个对称中心；④直线 x＝2014 是函数 y＝ f(x)图象的一条对称轴．则正确命题的序号是________．答案①②③分析在 f(x－ 1)＝ f(x＋ 1)中令x＝ 0，得f(－1)＝ f(1)，又f(－ 1)＝－ f(1)，∴ 2f(1)＝ 0，∴ f(1)＝ 0，故①正确；由 f(x － 1)＝ f(x ＋ 1)，得 f(x)＝ f( x ＋2) ，∴ f(x)是周期为 2 的周期函数，∴ f(2)＝ f(0)＝ 0，又当 x ∈ (0,1)且 x 1≠x 2 时，有 f(x 2)－f(x 1)＜0，x 2－x 1 ∴函数在区间 (0,1)上单一递减，可作函数的简图如图．由图知②③也正确，④不正确．因此正确命题的序号为①②③ .题型三 分段函数例 3(1)(2016 ·江苏 )设 f(x)是定义在R 上且周期为 2 的函数，在区间[ － 1,1)上， f( x)＝x ＋ a ，－ 1≤x ＜ 0，592此中 a ∈ R.若 f－ 2 ＝ f 2 ，则 f(5a)的值是 ________．5－ x ， 0≤x ＜ 1，(2)(2016 青·岛模拟 )对实数 a 和 b ，定义运算 “?”： a?b ＝a ， a －b ≤1，设函数 f(x)＝ (x 2－ 2)?b ， a －b ＞ 1.( x －x 2)， x ∈ R.若函数 y ＝ f(x)－ c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是________ ．答案(1)－2(2)( － ∞，－ 2]∪ (－ 1，－ 3)54分析(1)由已知 f －5＝ f － 5＋ 2 ＝ f －12 2 21＝－ ＋ a ，f 9＝ f 9－4 ＝ f 1 ＝ 2－1＝1222 5 210.又∵ f －52 ＝f 92 ，则－ 12＋ a ＝ 101， a ＝ 35，3 2 ∴ f(5a)＝ f(3)＝ f(3 －4)＝ f(－ 1)＝－ 1＋ ＝－ .55x 2－ 2， x 2－ 2－ (x －x 2)≤1，(2) f(x)＝x － x 2， x 2－ 2－ (x － x 2)＞ 1，23x － 2，－ 1≤x ≤ ，2即 f(x)＝x － x 2， x ＜－ 1或 x ＞32.3f(x)的图象如下图，由图象可知c 的范围是 (－ ∞，－ 2]∪ (－ 1，－ 4)．评论(1) 分段函数是一个函数在其定义域的不一样子集上，因对应关系的不一样而分别用几个不一样的式子来表示的． 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集， 其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分构成，但它表示的是一个函数．(2) 在求分段函数 f(x)的分析式时，必定要第一判断 x 属于定义域的哪个子集，而后再代入相应的关系式．变式训练 3 已知函数 f(x)＝x 2＋ 1， x ≥0，则知足不等式 f(1 －x 2)＞f(2x)的 x 的取值范围是1， x ＜0，________ ． 答案(－ 1， 2－ 1)2分析x ＋ 1， x ≥0，画出 f(x)＝的图象如图．1， x ＜ 0由图象可知，若f(1－ x 2)＞ f(2x)，1－ x 2＞ 0， 则1－ x 2＞ 2x ，－ 1＜ x ＜ 1，即－ 1－ 2＜ x ＜－ 1＋ 2，得 x ∈ (－ 1， 2－ 1)．高考题型精练1．设函数 f(x)为偶函数，对于随意的 x ＞0，都有 f(2＋ x)＝－ 2f(2－ x)，已知 f( － 1)＝ 4，那么f(－ 3)等于 ______．答案－ 8分析∵ f(x)为偶函数，∴f(1)＝ f(－ 1)＝ 4， f(－ 3)＝ f(3) ，当x＝ 1 时， f(2＋ 1)＝－ 2·f(2 － 1) ，∴f(3)＝－ 2×4＝－ 8，∴f(－ 3)＝－ 8.2．已知函数 f( x)为 R 上的减函数，则知足 f 1＜ f(1)的实数 x 的取值范围是 ________．x答案(－ 1,0)∪(0,1)分析由 f(x)为 R 上的减函数且 f 1，＜f(1)x1得x＞ 1，即 |x|＜ 1，x≠0，x≠ 0.∴－ 1＜ x＜0 或 0＜ x＜ 1.3．设函数 f(x)＝－ x2＋4x， x≤4，若函数 y＝ f(x)在区间 (a，a＋ 1)上单一递加，则实数 a 的log 2x， x＞4，取值范围是 ________．答案(－∞，1]∪[4，＋∞)分析如图，－ x2＋ 4x， x≤4，y＝f(x)在区间 (a， a＋ 1)上单一递加，则 a 画出 f( x)＝的图象，若使函数log 2x，x＞ 4＋ 1≤2或 a≥4，解得实数 a 的取值范围是 (－∞， 1]∪ [4，＋∞)．4． (2015 课·标全国Ⅱ改编 )设函数 f(x)＝ ln(1 ＋ |x|)－12，则使得 f(x) ＞f(2x－ 1)建立的 x 的1＋ x 取值范围是 ________．答案1，131分析由 f(x)＝ ln(1 ＋ |x|)－1＋x2，知 f(x) 为 R 上的偶函数，于是 f(x)＞ f(2x－ 1)即为 f(|x|)＞ f(|2x － 1|)．当 x＞ 0 时， f(x)＝ ln(1＋ x)－12，f′(x)＝ 1 ＋2x 22＞0，因此f(x)在[0，＋∞)上是增函1＋ x1＋ x(1＋ x )数，则由f(|x|)＞ f(|2x－ 1|)得 |x|＞ |2x－ 1|，平方得3x2－ 4x＋ 1＜ 0，解得1＜ x＜ 1. 35．已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当数 a 的取值范围是________．答案(－ 2,1)x≥0时， f(x)＝ x2＋ 2x，若f(2－ a2)＞ f(a)，则实分析∵ f(x)是奇函数，∴当 x＜0 时， f(x) ＝－ x2＋ 2x.作出函数 f(x)的大概图象如图中实线所示，联合图象可知 f(x)是 R 上的增函数，由 f(2－ a2)＞ f( a) ，得 2－ a2＞ a，解得－ 2＜a＜ 1.6．函数 y＝ f(x－ 1)的图象对于直线 x＝ 1 对称，当x∈ (－∞， 0)时， f(x)＋ xf′(x)<0 建立，若 a＝ 20.2·f(20.2)， b＝ ln2 f(ln2)·，c (log11) f (log11) ，则a，b，c的大小关系是________．2424答案b>a>c分析因为函数 y＝ f(x－ 1)的图象对于直线x＝ 1 对称，因此 y＝ f( x)对于 y 轴对称．因此函数 y＝ xf(x)为奇函数．因为当 x∈ (－∞，0) 时， [xf(x)] ＝′f(x)＋ xf′(x)<0 ，因此函数y＝ xf(x)在 (－∞， 0)上单一递减，进而当 x∈ (0，＋∞)时，函数y＝xf(x)单一递减．因为 1<2 0.2<2,0<ln2<1 ，log11＝2，24进而 0<ln2<2 0.2< log211 ，4因此 b>a>c.7．(2016 四·川改编 )某企业为激励创新，计划逐年加大研发资本投入．若该企业2015 年整年投入研发资本 130 万元．在此基础上，每年投入的研发资本比上一年增加12%，则该企业全年投入的研发资本开始超出200 万元的年份是 ________．( 参照数据： lg1.12＝ 0.05， lg1.3＝ 0.11， lg2 ＝ 0.30)答案2019分析设第 x 年的研发资本为 200 万元，则由题意可得 130×(1＋ 12%)x＝ 200，∴ 1.12x＝20，∴ x＝ log1.1220＝ log 1.1220－ log 1.1213 1313＝l g20 － lg13lg1.12 lg1.12＝(lg2 ＋lg10) － (lg1.3 ＋ lg10)lg1.120.3＋ 1－ 0.11－ 1≈＝3.8.0.05即 3 年后不到 200 万元，第 4 年超出 200 万元，即 2019 年超出 200 万元．8．已知函数 f( x)在实数集 R 上拥有以下性质：①直线 x ＝1 是函数 f(x)的一条对称轴；② f(x ＋ 2)＝－ f(x)；③当 1≤x 1＜x 2≤3时， (f( x 2)－ f(x 1 )) (x ·2－ x 1)＜ 0，则 f(2015) ， f(2016) ， f(2017) 从大到小的次序为____________________ ．答案 f(2017) ＞ f(2016) ＞ f(2015)分析由 f(x ＋ 2)＝－ f(x)，得 f(x ＋ 4)＝ f(x)，因此函数 f( x)的周期是 4.因此 f(2015) ＝ f(3) ， f(2016) ＝ f(0)， f(2017) ＝ f(1) ，又直线 x ＝1 是函数 f(x)的一条对称轴，因此 f(2016) ＝ f(0) ＝ f(2)．由当 1≤x 1＜x 2≤3时， (f( x 2)－ f(x 1 )) (x ·2－ x 1)＜ 0，可知当 1≤x 1＜ x 2≤3时，函数单一递减，因此 f(1) ＞ f(2)＞ f(3) ，故 f(2017) ＞ f(2016) ＞ f(2015) ．9．已知函数 f(x)＝ x － [ x] ， x ≥0，此中 [x]表示不超出 x 的最大整数． 若直线 y ＝ k(x ＋ 1)(k>0)f(x ＋ 1)， x<0 的图象与函数 y ＝ f(x)的图象恰有三个不一样的交点，则实数 k 的取值范围是 ____________ ．答案1，14 3分析 依据 [x]表示的意义可知，当 0≤x<1 时， f(x)＝ x ，当 1≤x<2 时， f(x) ＝x － 1，当 2≤x<3时， f(x)＝ x － 2，以此类推，当 k ≤x<k ＋ 1 时， f(x) ＝x － k ， k ∈ Z 且 k ＞0.当－ 1≤x<0 时， f(x) ＝ x ＋ 1，作出函数 f( x)的图象如图．直线 y ＝ k(x ＋ 1)过点 (－ 1,0)，当直线经过点 (3,1)时恰有三个交点，当直线经过点(2,1) 时恰巧有两个交点，在这两条直线之间时有三个交点，故1 1 k ∈ 4， 3 .10．已知函数y ＝ f(x)， x ∈ R ，有以下 4 个命题：①若f(1＋ 2x)＝ f(1 －2x)，则f(x)的图象对于直线x ＝ 1 对称；② y ＝ f( x －2)与y ＝ f(2－ x)的图象对于直线x ＝2 对称；③若f( x)为偶函数，且f(2＋x)＝－ f(x)，则f(x)的图象对于直线x ＝2 对称；④若 f( x)为奇函数，且f(x)＝ f(－ x－ 2)，则 f(x)的图象对于直线x＝ 1 对称．此中正确命题的序号为________．答案①②④分析1＋2x＋1－2x＝ 1，故函数 y＝ f(x)的图象对于直线 x＝1对称，故①正确；对于②，令2t ＝ x－2，则问题等价于y＝f(t)与 y＝ f( －t)图象的对称问题，明显这两个函数的图象对于直线t ＝ 0 对称，即函数 y＝ f(x－ 2)与 y＝ f(2－ x)的图象对于直线x－ 2＝ 0 即 x＝ 2 对称，故②正确；由 f(x＋ 2)＝－ f(x)，可得 f(x＋ 4)＝－ f(x＋ 2)＝ f(x)，我们只好获得函数的周期为4，即只好推得函数 y＝ f(x)的图象对于直线对称，故③错误；因为函数x＝ 4k(k∈ Z) 对称，不可以推得函数y＝ f(x)的图象对于直线x＝2f(x)为奇函数，且f(x)＝f(－ x－ 2)，可得f(－ x)＝ f(x＋ 2)，因为－x＋ x＋ 2＝ 1，可得函数 y＝ f(x)的图象对于直线x＝1对称，故④正确．211．设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对随意实数x，恒有 f(x＋ 2)＝－ f(x)，当 x∈ [0,2]时， f(x)＝ 2x－ x2.(1)求证： f(x)是周期函数；(2)当 x∈[2,4] 时，求 f(x)的分析式；(3)计算 f(0)＋ f(1) ＋f(2)＋＋ f(2016) ．(1)证明∵ f(x＋ 2)＝－ f( x)，∴f(x＋ 4)＝－ f(x＋ 2)＝f(x)，∴f(x)是周期为 4 的周期函数．(2) 解∵ x∈ [2,4]，∴－ x∈ [ － 4，－ 2]，∴ 4－ x∈ [0,2] ，∴f(4－x)＝2(4－ x)－ (4－ x)2＝－ x2＋ 6x－ 8，又 f(4 －x)＝ f(－ x)＝－ f(x)，∴－ f(x)＝－ x2＋6x－ 8，即 f(x)＝ x2－ 6x＋8， x∈ [2,4] ．(3)解∵ f(0) ＝ 0， f(1)＝ 1， f(2) ＝ 0， f(3)＝－ 1，又 f(x)是周期为 4 的周期函数，∴ f(0)＋ f(1)＋ f(2) ＋ f(3)＝f(4)＋ f(5)＋ f(6) ＋ f(7)＝＝ f(2012) ＋ f(2013) ＋ f(2014) ＋ f(2015)＝0，∴ f(0)＋ f(1)＋ f(2) ＋＋ f(2016)＝f(2016) ＝f(0) ＝ 0.a12．已知函数f(x)＝ lg(x＋x－2) ，此中 a 是大于 0 的常数．【步步高】高考数学江苏(理)考前三个月配套练习：3.2函数性质与分段函数(含答案分析)(1)求函数 f(x)的定义域；(2)当 a∈ (1,4)时，求函数 f( x)在 [2，＋∞)上的最小值；(3)若对随意 x∈ [2，＋∞)，恒有 f(x)＞ 0，试确立 a 的取值范围．解 (1)由 x＋a－2＞ 0，得x2－2x＋ a＞ 0，x x当 a＞ 1时， x2－ 2x＋ a＞ 0 恒建立，定义域为(0，＋∞)；当 a＝ 1时，定义域为 { x|x＞ 0且 x≠1}；当 0＜ a＜1 时，定义域为 { x|0＜ x＜ 1－1－ a或 x＞ 1＋ 1－ a} ．a a＝x2－ a＞ 0 恒建立，(2) 设 g(x)＝ x＋－ 2，当 a∈ (1,4)， x∈[2，＋∞)时， g′(x)＝ 1－22x x xa因此 g(x)＝ x＋－2 在 [2，＋∞)上是增函数，因此 f( x)＝ lg x＋a－ 2在 [2，＋∞)上是增函数，xa－ 2在 [2，＋∞)上的最小值为f(2) ＝ lga因此 f( x)＝ lg x＋x2.a(3) 对随意 x∈ [2，＋∞)，恒有 f(x)＞ 0，即 x＋x－2＞ 1 对 x∈[2 ，＋∞)恒建立，因此 a＞ 3x－ x2对 x∈ [2，＋∞)恒建立．令 h(x) ＝3x－ x2，2329而 h(x) ＝3x－ x＝－x－2＋4在[2，＋∞)上是减函数，因此h(x)max＝ h(2) ＝ 2，因此 a＞ 2.。

第19练平面向量中的线性问题［题型分析•高考展望］平面向量是初等数学的重要内容，兼具代数和几何的“双重特性”，是解决代数问题和儿何问题的有力工具，与很多知识联系较为密切，是高考命题的热点.多与其他知识联合命题，题型有填空题、解答题，掌握好向量的基本概念、基本运算性质是解题的关键.常考题型精析题型一平面向量的线性运算及应用例1 (1)(2015•课标全国I改编)设Z)为△MC所在平面内一点，BC=3CD,则下列结论正确的是________.点评平面向量的线性运算应注意三点：(1)三角形法则和平行四边形法则的运用条件.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系, 当两向量共线且有公共点时，才能得岀三点共线.⑶04=XOB+fiOC^，“为实数)，若力、B、C三点共线，则久+“=1.变式训练1 (1)(2015・杭州模拟)如图，两块全等的直角边长为1的等腰直角三角形拼在一起，^AD=XAB+kAC,则2+k= _______________ .(2)在梯形ABCD 4*，AB//CD. AB=2CD, M, N 分别为CD 的中点，^AB=kAM+i.iAN.贝IJ 久+“= _______ .题型二平面向量的坐标运算例2 (1)(2015-江苏)已知向量a=(2,1), 6=(1, -2),若ma+nb=(9f一8)(加,用R),则加~n的值为 ________ (2)平面内给定三个向量a=(3,2), ft=(-l,2), c=(4,l),请解答下列问题:①求满足a=mb+nc的实数tn, n；②若(a+kc)//(2b~a),求实数広③若d 满足(d-c)//(a+b)f且\d~c\=yj5f求d.点评(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a=(X], pi), b=(X2,旳)，则a//b的充要条件是X"—兀少1=0;②若a〃方(aHO),则b=Xa.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.(3)向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标, 则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.变式训练2 (1)(2014-湖南)在平面直角坐标系中，O为原点，J(-1,O), 3(0,迈)，C(3,0),动点D满足\CD\=],则|鬲+丽+场|的最大值是______________ ⑵已知向量04=(3, -4), 08=(6,一3), 0C=(5~m,一3—加)，若点、A、B、C 能构成三角形，则实数加满足的条件是高考题型精练1. （2015-四川改编）设向量a=（2,4）与向量b=（x,6）共线，则实数.2. （2015•安徽改编）/\ABC 是边长为2的等边三角形，己知向量a, b 满足乔=2a, AC=2a+b. 则下列结论正确的是 ________ .① |^| = 1； ②a 丄@ab=l;④（4a+b ）丄記 3. （2015•常州调研）已知 /（一3,0）, 3（0,2）,。