高二数学尖子生辅导资料(12)111

高二上学期数学第十二次周练试题（尖子班、重点班）一选择题（共10题；共50分）1．“”是“方程表示双曲线”的( )A ． 充分不必要条件B ． 充要条件C ． 必要不充分条件D ． 既不充分也不必要条件 2．设椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于两点，则的值是（ ）A ． 2B ．C ． 4D ．3．过点且与双曲线有共同渐近线的双曲线方程是（ ）A ．B ．C ．D ．4．过抛物线24y x =的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则|AB|等于（ ） A ．10 B ．8 C ．6 D ．4 5．已知双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率为( )A ．B ．C ．D ．6．已知椭圆C ： ，直线：（），与C 的公共点个数为（ ）A ． 0个B ． 1个C ． 2个D ． 无法判断7．设双曲线C:的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1，则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ） A ． 2 B ．C ．D ． 48．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．B ． 2C ．D ． 39．已知()00,M x y 是双曲线C ： 2212x y -=上的一点， 1F ， 2F 是C 的两个焦点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是（ ）A ． 33,⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ．33,⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ C ． 2222,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ D ． 2323,⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭10．设圆()22125x y ++=的圆心为C ， ()1,0A 是圆内一定点， Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为（ ）A ． 224412125x y -=B ． 224412125x y +=C ． 224412521x y -=D ． 224412521x y += 二、填空题（共4题；共20分）11．已知抛物线22(0)y px p =>的过焦点的弦为AB ，且9AB =， 6A B x x +=，则p =_____________12．双曲线C ： 22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，其渐近线与圆()2234x a y -+=相切，则该双曲线的方程为__________．13．长为2的线段AB 的两个端点在抛物线x y =2上滑动，则线段AB 中点M 到y 轴距离的最小值是14．以下三个关于圆锥曲线的命题中： ①设为两个定点，为非零常数，若,则动点的轨迹是双曲线；②方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；③双曲线与椭圆有相同的焦点；④已知抛物线，以过焦点的一条弦为直径作圆，则此圆与准线相切，其中真命题为__________．（写出所有真命题的序号）三、解答题（共2题；共30分）15．已知抛物线过点．（1）求抛物线C的方程；（2）求过点的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点（均与点A不重合）．设直线AM，AN的斜率分别为，，求证：为定值．16．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为，过轴正半轴一点且斜率为的直线交椭圆于两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在实数使，若存在求出实数的值；若不存在需说明理由.。

2020-2021年高二数学选择性必修二尖子生同步培优题典第四章数列单元检测A 解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注：本检测满分150分。

其中8道单选题，4道多选题，4道填空题，6道解答题。

一、单选题1，2，，4，…，则是这个数列的（）A．第8项B．第9项C．第10项D．第11项【答案】B【解析】【分析】将数列中的每一项都写成n，即可判断.【详解】，2，3，4，... ，由此可归纳该数列的通项公式为nna=，又9=，则其为该数列的第9项.故选：B.【点睛】本题考查了由数列的前几项归纳出其通项公式，属于基础题.2．记等差数列{}n a的前n项和为n S，若52a=，25468a a a a-=，则20S=（）A．180B．180-C．162D．162-【答案】B【解析】【分析】先利用等差数列的通项公式，求出等差数列的首项和公差，再根据前n项和公式即可求出20S. 【详解】52a =，24628a a a-=，11114226840a da d a d a d+=⎧∴⎨+--=+⎩,解得11114226840a d a d a d a d +=⎧⎨+--=+⎩，2d ∴=-，110a =，201019228a ，()12020201802a a S +⋅∴==-.故选：B. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质和前n 项和公式，考查学生的运算求解能力，属于基础题. 3．在数列{}n a 中，112a =，111n n a a -=-（2n ≥，n ∈+N ），则2020a =（ ）A ．12B ．1C ．1-D ．2【答案】A 【解析】 【分析】通过递推式求出数列前几项可得数列为周期数列，利用数列的周期性可得答案. 【详解】2111121a a =-=-=-，3211112a a =-=+=，431111122a a =-=-=， 可得数列{}n a 是以3为周期的周期数列，202036731112a a a ⨯+∴===. 故选：A. 【点睛】本题考查数列的周期性，关键是通过递推式求出前几项观察出周期，是基础题.4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0n a >，1q >，352620,64a a a a +==，则5S =（ ） A ．B ．C ．42D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据2664a a =，利用等比数列的性质得到3564a a =,结合3520a a +=，利用根与系数的关系构造二次方程求解得到35,a a 的值，进而得到等比数列的首项和公比，然后利用求和公式计算即得所求. 【详解】由于在等比数列{}n a 中，由2664a a =可得：352664a a a a ==， 又因为3520a a +=，所以有：35,a a 是方程220640x x -+=的二实根，又0,1n a q >>，所以35a a <， 故解得：354,16a a ==，从而公比3122,1,a q a q ==== 那么55213121S -==-，故选：D ． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式，等比数列的性质，等比数列的求和，属中档题. 5．两等差数列{}n a 和{}n b ，前n 项和分别为n S ，n T ，且723n n S n T n +=+，则220715a ab b ++的值为（ ） A ．14924B ．7914C ．165 D ．5110【答案】A 【解析】 【分析】在{}n a 为等差数列中，当(m n p q m +=+，n ，p ，)q N +∈时，m n p q a a a a +=+．所以结合此性质可得：2202171521a a Sb b T +=+，再根据题意得到答案．【详解】解：在{}n a 为等差数列中，当(m n p q m +=+，n ，p ，)q N +∈时，m n p q a a a a +=+．所以1212202171521121121()2121()2a a a a Sb b T b b ⨯+⨯+==+⨯+⨯，又因为723n n S n T n +=+，所以22071514924a ab b +=+．故选：A ． 【点睛】本题主要考查等差数列的下标和性质，属于中档题． 6．等比数列{}n a 中（ ） A ．若12a a <，则45a a < B ．若12a a <，则34a a < C ．若32S S >，则12a a < D ．若32S S >，则12a a >【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式及求和公式，等比数列的公比分析即可求出答案. 【详解】等比数列{}n a 中，20q >，∴当12a a <时，可得2212a q a q <，及34a a <，故B 正确；但341a a q =和352a a q =不能判断大小（3q 正负不确定），故A 错误；当32S S >时，则12312+++a a a a a >，可得30a >，即210a q >，可得10a >，由于q 不确定，不能确定12,a a 的大小，故CD 错误. 故选：B. 【点睛】本题考查等比数列通项公式和求和公式的应用，属于基础题.7．函数()2cos 2f x x x =--{}n a ，则3a =（ ） A ．1312πB ．54π C ．1712πD ．76π 【答案】B 【解析】 【分析】先将函数化简为()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭再解函数零点得4x k ππ=+或512x k ππ=+，k Z ∈，再求3a 即可.【详解】解：∵()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭∴ 令()0f x =得：2263x k πππ-=+或22263x k πππ-=+，k Z ∈， ∴4x k ππ=+或512x k ππ=+，k Z ∈，∴ 正数零点从小到大构成数列为：12355,,,4124a a a πππ===故选：B. 【点睛】本题考查三角函数的性质，数列的概念，考查数学运算求解能力，是中档题. 8．已知函数()cos lnxf x x x ππ=+-，若22018201920192019f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1009ln 0,0)a b a b π+>>（，则11a b+的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】A 【解析】 【分析】 根据()()2ln f x fx ππ+-=，采用倒序相加的方法可得2018ln S π=，从而得到2a b +=，根据基本不等式求得最小值. 【详解】由题可知：()()()()2cos lncos ln ln 2ln x xf x f x x x x xππππππππ-+-=++-+==- 令22018201920192019S f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又20182017201920192019S f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭于是有22ln 2ln 2ln 22018ln S ππππ=++⋅⋅⋅+=⨯ 2018ln S π⇒= 因此2a b += 所以()()11111112222222a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当1a b ==时取等号本题正确选项：A 【点睛】本题考查倒序相加法求和、利用基本不等式求解和的最小值问题.关键是能够通过函数的规律求得a 与b 的和，从而能够构造出基本不等式的形式.二、多选题9．无穷数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（ ）A ．{}n a 可能为等差数列B ．{}n a 可能为等比数列C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列 【答案】AC 【解析】 【分析】由2n S an bn c =++可求得n a 的表达式，利用定义判定得出答案．【详解】当1n =时，11a S a b c ==++．当2n ≥时，()()221112n n n a S S an bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+． 当1n =时，上式＝+a b ．所以若{}n a 是等差数列，则0.a b a b c c +=++∴= 所以当0c 时，{}n a 是等差数列，不可能是等比数列；当0c ≠时，{}n a 从第二项开始是等差数列． 故选：AC 【点睛】本题只要考查等差数列前n 项和n S 与通项公式n a 的关系，利用n S 求通项公式，属于基础题．10．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，()*12n n a S n N +=∈，则有（ ） A ．13n n S -=B ．{}n S 为等比数列C ．123n n a -=⋅D ．21,1,23,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩【分析】根据,n n a S 的关系，求得n a ，结合等比数列的定义，以及已知条件，即可对每个选项进行逐一分析，即可判断选择. 【详解】由题意，数列{}n a 的前n 项和满足()*12n n a S n N +=∈，当2n ≥时，12n n a S -=，两式相减，可得112()2n n n n n a a S S a +-=-=-， 可得13n n a a +=，即13,(2)n na a n +=≥， 又由11a =，当1n =时，211222a S a ===，所以212a a =， 所以数列的通项公式为21,1232n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩；当2n ≥时，11123322n n n n a S --+⋅===，又由1n =时，111S a ==，适合上式，所以数列的{}n a 的前n 项和为13n n S -=；又由11333nn n n S S +-==，所以数列{}n S 为公比为3的等比数列， 综上可得选项,,A B D 是正确的. 故选：ABD. 【点睛】本题考查利用,n n a S 关系求数列的通项公式，以及等比数例的证明和判断，属综合基础题. 11．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d > B ．70a =C ．95S S >D ．6S 与7S 均为n S 的最大值【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项即可求解. 【详解】根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项：{}n a 是等差数列，若67S S =，则7670S S a -==，故B 正确；又由56S S <得6560S S a -=>，则有760d a a =-<，故A 错误； 而C 选项，95S S >，即67890a a a a +++>，可得()7820a a +>， 又由70a =且0d <，则80a <，必有780a a +<，显然C 选项是错误的. ∵56S S <，678S S S =>，∴6S 与7S 均为n S 的最大值，故D 正确； 故选：BD. 【点睛】本题考查了等差数列以及前n 项和的性质，需熟记公式，属于基础题.12．将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中m ＞0）.已知a 11＝2，a 13＝a 61+1，记这n 2个数的和为S .下列结论正确的有（ ）A ．m ＝3B ．767173a =⨯C ．()1313j ij a i -=-⨯D ．()()131314n S n n =+- 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据第一列成等差，第一行成等比可求出1361,a a ，列式即可求出m ，从而求出通项ij a ， 再按照分组求和法，每一行求和可得S ，由此可以判断各选项的真假． 【详解】∵a 11＝2，a 13＝a 61+1，∴2m 2＝2+5m +1，解得m ＝3或m 12=-（舍去）， ∴a ij ＝a i 1•3j ﹣1＝[2+（i ﹣1）×m ]•3j ﹣1＝（3i ﹣1）•3j ﹣1，∴a 67＝17×36，∴S ＝(a 11+a 12+a 13+……+a 1n )+(a 21+a 22+a 23+……+a 2n )+……+(a n 1＋a n2＋a n 3＋……＋a nn )11121131313131313nn n n a a a ---=+++---（）（）（） 12=（3n ﹣1）•2312n n +-（） 14=n （3n +1）（3n ﹣1） 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查等差数列，等比数列的通项公式的求法，分组求和法，等差数列，等比数列前n 项和公式的应用，属于中档题．三、填空题13．已知数列{}n a 的通项公式是246n a n =-，那么n S 达到最小值时n 为________. 【答案】22或23. 【解析】 【分析】利用数列的单调性求得满足题意的n 即可. 【详解】246n a n =-，∴数列{}n a 是递增数列.令()1246021460n n a n a n +=-≤⎧⎨=+-≥⎩，解得：2223n ≤≤，∴22n =或23n =，则可知n S 达到最小值时n 为22或23. 故答案为：22或23. 【点睛】本题考查等差数列前n 项和最值的求法，属于基础题.14．我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的底面由扇环形的石板铺成（如图），最高一层是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，则前9圈的石板总数是__________．【答案】405 【解析】 【详解】 【分析】前9圈的石板数依次组成一个首项为9，公差为9的等差数列，9989994052S ⨯=⨯+⨯= 15．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”.将数列1，4进行“扩展”，第一次得到数列1，4，4；第二次得到数列1，4，4，16，4；……；第n 次得到数列1，1x ，2x ，…，i x ，4，并记()212log 14n i a x x x =⋅⋅⋅⋅⋅，其中21n t =-，*n ∈N .则{}n a 的通项n a =___________. 【答案】31n + 【解析】 【分析】先由()212log 14n t a x x x =⋅⋅⋅⋅，结合题意得到132n n a a +=-，再设13()n n a t a t ++=+求出1t =-，得到数列{}1n a -是首项为3，公比为3的等比数列，进而可求出结果.【详解】由题意，根据()212log 14n t a x x x =⋅⋅⋅⋅，可得()1211122log 1(1)((4)4)t t n a x x x x x x x +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3333312214log 324n t x x x a ⎛⎫⋅⋅⋅⋅==-⎪⎝⎭， 设13()n n a t a t ++=+，即132n n a a t +=+，可得1t =-，则数列{}1n a -是首项为2121log 413a -=-=，公比为3的等比数列，故13n n a -=，所以31,n n a n N +=+∈.故答案为：31n +.【点睛】本题主要考查数列的应用，熟记等比数列的性质以及通项公式即可，属于常考题型.16．如图，互不相同的点12,,,n A A A 和12,,,,n B B B 分别在角O 的两条边上，所有n n A B 相互平行，且所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等.设n n OA a =.若11a =，22a =，则数列{}n a 的通项公式是________.【答案】32n a n =-【解析】【分析】根据三角形相似和所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等，找到与n a 相关的递推公式，再由递推公式求得通项公式.【详解】由于11//,n n n n A B A B ++ 所以11,n n n n OA B OA B ++梯形11n n n n A B B A ++ 的面积为11n n OA B ++∆的面积減去n n OA B △的面积，2222i i j j OA B i i OA B j jSOA a S OA a == 则可得 222211,n n n n a a a a +--=- 即递推公式为222112,n n n a a a +-=+故2{}n a 为等差数列，且公差d =2221a a -3=，故21(1)332n a n n =+-⨯=-，得32n a n =-故答案为: 32n a n =-【点睛】本题主要考查数列在平面几何中的应用，根据几何关系寻找递推有关系是解决问题的关键，属于中档题.四、解答题17．在①112n n a a +=-，②116n n a a +-=-，③18n n a a n +=+-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的n S 存在最大值，则求出最大值；若问题中的n S 不存在最大值，请说明理由.问题：设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且14a =，__________，求{}n a 的通项公式，并判断n S 是否存在最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】答案见解析【解析】【分析】若选①，求出数列{}n a 是首项为4，公比为12-的等比数列，求出通项公式和前n 项和，通过讨论n 的奇偶性，求出其最大值即可；若选②，求出数列{}n a 是首项为4，公差为16-的等差数列，求出通项公式和前n 项和，求出其最大值即可； 若选③，求出217242n n n a -+=，当16n ≥时，0n a >，故n S 不存在最大值. 【详解】解：选① 因为112n n a a +=-，14a =，所以{}n a 是首项为4.公比为12-的等比数列， 所1211422n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当n 为奇数时，141281113212n n n S ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==+ ⎪⎝⎭+， 因为81132n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭随着n 的增加而减少，所以此时n S 的最大值为14S =. 当n 为偶数时，81132n n S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且81814323n n S ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭ 综上，n S 存在最大值，且最大值为4.选② 因为116n n a a +-=-，14a =.所以{}n a 是首项为4，公差为16-的等差数列， 所以11254(1)666n a n n ⎛⎫=+--=-+ ⎪⎝⎭. 由125066n -+≥得25n ≤， 所以n S 存在最大值.且最大值为25S （或24S ）， 因为25252412545026S ⨯⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭，所以n S 的最大值为50. 选③因为18n n a a n +=+-，所以18n n a a n +-=-，所以217a a -=-，326a a -=-，…19n n a a n --=-， 则2121321(79)(1)171622n n n n n n n a a a a a a a a --+---+=-+-+=-+-=， 又14a =，所以217242n n n a -+=. 当16n ≥时，0n a >，故n S 不存在最大值.【点睛】此题考查数列的通项公式和求和公式，考查等差数列和等比数列的性质，属于基础题 18．数列{}n a 的前n 项和()2=1003n S n n n N *-+∈.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1) ()()102110122n n a nn ⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩ (2) ()()22100350100500351n n n n T n n n ⎧-++≤⎪=⎨-+≥⎪⎩【解析】【分析】(1) 当1n =时，1102a =，利用1n n n a S S -=-得到通项公式，验证1a 得到答案.(2)根据{}n a 的正负将和分为两种情况，50n ≤和51n ≥，分别计算得到答案.【详解】(1)当1n =时，11=10013=102a s =-+，当2n ≥时，()()221=10010011=1012n n n a S S n n n n n -=-------. 综上所述()()102110122n n a n n ⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩. (2)当50n ≤时，n n b a =，所以123n n T a a a a =+++⋅⋅⋅+39997951012n =++++⋅⋅⋅+-()()991012331002n n n n +-=+=+-， 当51n ≥时，n n b a =-，123505152n n T a a a a a a a =+++⋅⋅⋅+---⋅⋅⋅-()5012312n n T a a a a a -=-+++⋅⋅⋅++()50063100n n =---21005003n n =-+.综上所述()()22100350100500351n n n n T n n n ⎧-++≤⎪=⎨-+≥⎪⎩. 【点睛】本题考查了利用1n n n a S S -=-求通项公式，数列的绝对值和，忽略1n =时的情况是容易犯的错误.19．已知数列{}n a 满足12a =，1122n n n a a ++=+.（1）证明：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （2）设2n n na b =，证明：122311111n n b b b b b b +++⋅⋅⋅+<. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由1122n n n a a ++=+变形得：11122n n n na a ++=+，可得证明. （2）由（1）知：2n n n ab n ==,∴()1111111n n b b n n n n +==-++,用裂项相消可求和,从而可证明. 【详解】 （1）由1122n n n a a ++=+变形得：11122n n n na a ++=+ 又12a =，故112a = ∴数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项1为公差的等差数列. （2）由（1）知：2n n n a b n == ∴()1111111n n b b n n n n +==-++ ∴122311111111112231n n b b b b b b n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111n =-<+ ∴122311111n n b b b b b b +++⋅⋅⋅+< 【点睛】本题考查根据数列的递推公式证明数列为等差数列，考查用裂项相消法求和，属于基础题. 20．设{}n a 是公比大于1的等比数列，12314++=a a a ，且21a +是1a ，3a 的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若21log 2n n n b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）2n n a =；（2）()1122n n T n +=-⋅-.【解析】【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为()1q q >，根据题中条件列出方程组，求出首项和公比，即可得出通项公式；（2）先由（1）得到2nn b n =-⋅，再由错位相减法，即可得出结果.【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为()1q q >.依题意，有()21321a a a +=+，将()13221a a a +=+代入12314++=a a a 得()222114a a ++=，得24a =.联立1232144a a a a ++=⎧⎨=⎩得21111144a a q a q a q ⎧++=⎨=⎩ 两式两边相除消去1a 得22520q q -+=， 解得2q 或12q =（舍去）， 所以1422a ==， 所以，111222n n n n a a q --==⨯=，（2）因为21log 22n n n n b a n ⎛⎫==-⋅ ⎪⎝⎭所以，231222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯①23412122232(1)22n n n T n n +-=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯② ①-②，得23122222n n n T n +=++++-⨯()111212222212n n n n n n +++-=-⨯=-⋅--.所以，数列{}n b 的前n 项和11222n n n T n ++=-⋅-.【点睛】 本题主要考查求等比数列的通项公式，考查错位相减法求数列的和，涉及等差中项的应用，属于常考题型.21．已知数列{}n a 的前n 项和为23122n S n n =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列[]lg n n b a =，[]x 表示不超过x 的最大整数，求{}n b 的前1000项和1000T .【答案】（1）32n a n =-；（2）10002631T =.【解析】【分析】（1）利用1n n n a S S -=-可求出；（2）根据数列特点采用分组求和法求解.【详解】（1）当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()()221313111322222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎢⎥⎣⎦， 将1n =代入上式验证显然适合，所以32n a n =-.（2）因为410a =，34100a =，3341000a =，333410000a =，所以0,131,4332,343333,3341000n n n b n n ≤≤⎧⎪≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩， 所以100003130230036672631T =⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题考查n a 和n S 的关系，考查分组求和法，属于基础题.22．已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N ；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n n n n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．【答案】（Ⅰ）n a n =，12n nb -=；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）465421949n n n n +--+⨯. 【解析】【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列{}n a 前n 项和，然后利用作差法证明即可；(Ⅲ)分类讨论n 为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算211n k k c-=∑和21n k k c =∑的值，据此进一步计算数列{}n c 的前2n 项和即可.【详解】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .由11a =，()5435a a a =-，可得d =1.从而{}n a 的通项公式为n a n =.由()15431,4b b b b ==-，又q ≠0，可得2440q q -+=，解得q =2，从而{}n b 的通项公式为12n nb -=. (Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得(1)2n n n S +=， 故21(1)(2)(3)4n n S S n n n n +=+++，()()22211124n S n n +=++， 从而2211(1)(2)02n n n S S S n n ++-=-++<， 所以221n n n S S S ++<. (Ⅲ)当n 为奇数时，()111232(32)222(2)2n n n n n n n n a b n c a a n n n n-+-+--===-++， 当n 为偶数时，1112n n n n a n c b -+-==， 对任意的正整数n ，有222221112221212121k k nn n k k k c k k n --==⎛⎫=-=- ⎪+-+⎝⎭∑∑， 和223111211352321444444n n k k n n k k k n n c-==---==+++++∑∑ ① 由①得22314111352321444444n k n n k n n c +=--=+++++∑ ②由①②得22111211312221121441444444414n n k n n n k n n c ++=⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+++-=---∑， 由于11211121221121156544144334444123414nn n n n n n n ++⎛⎫- ⎪--+⎝⎭--=-⨯--⨯=-⨯-， 从而得：21565994n k n k n c =+=-⨯∑. 因此，2212111465421949n nn n k k k n k k k n c c c n -===+=+=--+⨯∑∑∑. 所以，数列{}n c 的前2n 项和为465421949n n n n +--+⨯. 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.。

高二尖子生培训资料恒定电流1〔2020·大庆模拟〕 如下图，平均的长方形薄片合金电阻板abcd ，ab 边为L 1，ad 边为L 2，当端点I 、Ⅱ或Ⅲ、Ⅳ接入电路时，R I II ：R Ⅲ Ⅳ = ( ) A ．21L L ： B ．12L L ：C ．2221L L ：D ．2122L L ：2.〔2020·漳州模拟〕 一台直流电动机机额外电压为100V ，正常任务时电流为20A ，线圈内阻为0.5Ω，那么在1min 内〔 〕 A ．电动机线圈发生的热量为1.2×104J B ．电动机消耗的电能为1.2×104J C ．电动机对外做功1.2×105J D ．电源输入给电动机的功率为2KW3.〔2020·大庆模拟〕 两个电热器衔接如下图，其中R 1=R 3=10Ω，R 2=R 4=40Ω，今将输入端接在电压U 的电路中，那么它们功率的关系是( ) A ．P 1>P 2>P 3>P 4 B ．P 1>P 3>P 2>P 4 C ．P 2>P 1>P 3>P 4 D ．P 4>P 3>P 2>P 14.〔2020·大庆模拟〕 如下图为甲、乙两灯泡的I-U 图象．依据图象，计算甲、乙两灯泡并联在电压为220V 的电路中，实践发光的功率约为( ) A ．15W 、30W B ．30W 、40W C ．40W 、60W D ．60W 、100W5.〔2020·长沙模拟〕 R 1和R 2区分标有〝2 1.0A Ω〞和〝4 0.5A Ω〞，将它们串联后接入电路中，如右图所示，那么此电路中允许消耗的最大功率为( ) Ａ．1.5W Ｂ．3.0W Ｃ．5.0 W Ｄ．6.0W6．〔2020·青岛模拟〕阻值较大的两个电阻R 1和R 2串联后，接入电压恒定的电路，如图2所示，现用同一电压表依次测量a 与b 、b 与c 以及a 与c 间电压，测量值依次为U 1、U 2及U ，那么( ) A ．U 1+U 2=U B ．U 1+U 2<U C ．U 1/U 2=R 1/R 2D ．U 1/U 2≠R 1/R 27.〔2020·长沙模拟〕 如图，a 、b 区分表示一个电池组和一只电阻的伏安特性曲线．那么以下说法正确的选项是( ) A ．电池组的内阻是1Ω B ．电阻的阻值为0.33ΩC ．将该电阻接在该电池组两端，电池组的输入功率将是4WD．改动外电阻的阻值时，该电池组的最大输入功率为4W8、〔2020温州模拟〕一个用半导体资料制成的电阻器D，其电流I随它两端电压U变化的关系图象如图5中的〔a〕所示，将它与两个规范电阻R1、R2组成如图〔b〕所示电路，当电键S接通位置1时，三个用电器消耗的电功率均为P。

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高二数学高效课堂资料概率：二项式定理与分布列【学习目标】1.能列出离散型随机变量的分布列并会球数字特征.2.探究求期望及步骤和规律，总结求数字特征的方法.3.分享交流二项式定理、期望探究的收获. 【重点难点】重点：随机变量的分布列及期望；难点：列出离散型随机变量的分布列【专题核心】二项式定理、随机变量的分布列【使用说明及预习指导】1.梳理二项式定理分布列的有关知识，构建知识树；2.限时45分钟，独立规范完成导学案，总结规律方法，找出我的疑惑。

3.标有为选做题，越多难度越大.活动一、请将二项式定理和随机变量相关知识点形成网络并画出知识树。

活动二：梳理自测1．(2014·湖北卷)若二项式7(2)a xx的展开式中31x的系数是84，则实数a ＝()A ．2 B.54 C．1 D.242．(2013·东北三校第二次联考)将一枚质地均匀的硬币连掷4次，出现“至少两次正面向上”的概率为()A.14B.34C.38D.11163.某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为（）A.100B.200C.300D.400 4．(2013·广州模拟)已知离散型随机变量ξ的分布列为ξ123…n Pk nk nk n…k n则k 的值为()A.12B ．1C ．2D ．35．(2013·黄山二模)已知随机变量的分布列为X 123 P 0.20.40.4则E(6X ＋8)＝() A ．13.2 B ．21.2 C ．20.2 D ．22.2（）6.若(2x －3)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5等于()A ．－10B ．－5C ．5D ．107.13nxn Nn x x使得的展开式中含有常数项的最小的为________．8．连续向一目标射击，直到击中为止，已知一次射击命中目标的概率为34，则射击次数为3的概率为________．（）9．某老师从星期一到星期五收到的信件数分别是10,6,8,5,6，则该组数据的方差s 2＝________.10.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。

专题1.1正弦定理姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共20题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020·四川省仁寿一中）在锐角ABC ∆中，若2a =，3b =，π6A =，则cos B =（ ） A ．34BCD【答案】C 【解析】在锐角ABC ∆中，若2a =，3b =，6A π=，∴由正弦定理sin sin a b A B=，可得13sin 32sin 24b AB a⨯⋅===，∴由B为锐角，可得cos B ===C 2．（2020·湖南省雅礼中学）ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，21sin sin cos 3a A B b A a +=，则a b等于（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．6【答案】B【解析】因为21sin sin cos 3a A B b A a +=，所以由正弦定理化得：221sin sin sin cos sin 3A B B A A +=， 整理得：()221sin sin cos sin sin 3B A A B A +==，即sin 3sin A B =则由正弦定理得：i 3sin s n a A b B==. 3．（2020·黑龙江省牡丹江一中）在ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ） A ．8a =，10b =，45A =︒ B ．60a =，81b =，60B =︒ C ．7a =，5b =，80A =︒ D ．14a =，20b =，45A =︒【答案】A10sin 2B =，解得sin 82B =>，b a >，故B A >，故有两解，A 正确；60sin A =，解得sin A =<，b a >，故B A >，故有一解，B 错误； 75sin80sin B =︒，解得5sin80sin sin807B ︒=<︒，b a <，故B A <，故有一解，C 错误； 20sin 2B =，解得sin 1B =>，无解，D 错误. 4．（2020·福建省泰宁第一中学）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ， 2cos 22A b cc+=，则ABC ∆的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形【答案】A 【解析】因为2cos22A b c c +=，所以1cosA 22b cc++=,() ccosA b,sinCcosA sinB sin A C ,sinAcosC 0===+=,因此cosC 0C 2π==，,选A.5．已知,,a b c 为ABC 的三个内角,,A B C 的对边，向量(cos ,cos ),(,2)m A B n a c b ==-，若//m n ，则内角A 的大小为（ ） A ．6πB ．3π C ．4π D ．23π 【答案】C【解析】因为//m n ，所以cos cos cos a B A b A =-，所以由正弦定理得sin cos cos sin cos A B C A B A =-cos sin cos sin cos sin C A A B B A C =+=．因为内角(0,)C π∈，所以sin 0C ≠，所以cos A =(0,)A π∈，所以内角4A π=．6．（2020·吉林省实验高中）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 满足2a c b +=，且90A C -=︒，则cos B =（ ）A ．4B ．4C ．34D ．0【答案】C【解析】根据正弦定理：sin sin 2sin A C B +=，90A C -=︒，180A B C ++=︒，故1352B A =︒-，452B C =︒-，即sin 135sin 452sin 22B B B ⎛⎫⎛⎫︒-+︒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4sin cos 222B B B =，cos02B ≠，故sin 24B =，故23cos 12sin24B B =-=. 7．（2018·云南省弥勒市一中）设ABC ∆的三个内角, , A B C 满足2=+B A C ，又2sin B=sin sin C A ，则这个三角形的形状是 （ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形【答案】B【解析】因为ABC ∆的三个内角++ =πA B C ，所以2,33B A C ππ=+=,则有23sin sin sin 4B AC =⋅=，所以222sin sin sin sin cos sin cos 333A A A A A πππ⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21111132sin 2cos 2sin 22442344A A A A A π⎛⎫=+=-+=-+= ⎪⎝⎭ ，即sin 213A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又因为203A π<<，所以3A π=。

专题15等差数列及其前n 项和综述1.等差数列有关公式：(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ；(2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2.2.等差数列常用结论：若{a n }为等差数列，公差为d ，前n 项和为S n ，则有：(1)下标意识：若p ＋q ＝m ＋n ，则a p ＋a q ＝a m ＋a n ，特别地，若p ＋q ＝2k ，则a p ＋a q ＝2a k ；(2)隔项等差：数列a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列；(3)分段等差：数列S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…是公差为nd 的等差数列；(4)数列{S nn }是公差为d 2的等差数列，其通项公式S n n ＝d 2n 13.．等差数列与函数关系：(1)经整理a n ＝dn ＋(a 1－d )，则数列{a n }是等差数列⇔通项a n 为一次函数：即a n ＝kn ＋b (a 、b 为常数)；(2)经整理S n ＝d 2n 21，数列{a n }是等差数列⇔S n 为无常数项的二次函数：即S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)．【题型一】等差数列概念及公式【典例分析】已知数列{}n a ，{}n b ，{}n c 均为等差数列，且1111a b c ++=，2223a b c ++=，则202120212021a b c ++=（）A ．4037B ．4039C ．4041D ．40481.若等差数列{}n a 的公差为d ，n n b ca =（c 为常数且0c ≠），则（）A ．数列{}n b 是公差为d 的等差数列B ．数列{}n b 是公差为cd 的等差数列C ．数列{}n b 是首项为c 的等差数列D ．数列{}n b 不是等差数列2.在等差数列{}n a 中，若公差为d ，m a 、n a 为数列的任意两项，则当m n ≠时，下列结论：①()m n a a m n d +=+；②()m n a a m n d -=-；③n ma a d n m-=-；④()m n a a m n d =+-．其中必定成立的有（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【题型二】首项公差列方程型【典例分析】在等差数列{}n a 中，14715a a a ++=，25821a a a ++=，则4710a a a ++的值为（）A ．33B ．30C ．27D ．241.已知{}n a 是等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，则公差d 为（）A ．6B ．6-C ．2-D ．22.等差数列{}n a 满足344a a +=，788a a +=，则1112a a +=（）A ．10B ．12C ．14D ．163.在等差数列{an }中，a 1+a 2+a 3＝21，a 2a 3＝70，若an ＝61，则n ＝（）A ．18B ．19C ．20D ．21【题型三】“高斯技巧”1：等差中项型【典例分析】等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则9113a a -=（）A ．42B ．45C ．48D ．511.在等差数列{}n a 中，21232a a +=，则678a a a ++的值是（）A ．24B ．32C ．48D ．962.等差数列{an }中，a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=450，求a 2+a 8=（）A ．45B ．75C ．180D ．3003.等差数列{an }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值是（）A ．20B ．22C ．24D ．8【题型四】“高斯技巧”2：奇数项和型【典例分析】.在等差数列{}n a 中，已知前21项和2163S =，则25820a a a a ++++ 的值为（）A ．7B ．9C ．21D ．421.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1510S =，则511a a +=（）A ．1B ．43C ．53D ．42.已知等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，3459a a a ++=，则7S =（）A ．3B ．7C ．21D ．423.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3710a a +=，则9S =（）A ．22.5B ．45C ．67.5D ．90【题型五】“高斯技巧”3：首尾和【典例分析】已知一个有限项的等差数列{an }，前4项的和是40，最后4项的和是80，所有项的和是210，则此数列的项数为（）A ．12B ．14C ．16D ．18【变式训练】1.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且38a a m +=，10S pm =，则p =（）A ．3B ．5C ．6D ．102.等差数列{}n a 中，12318192024,78++=-++=a a a a a a ，则此数列的前20项和等于（）A ．160B ．180C ．200D ．2203.等差数列{an }的前n 项和为Sn ，若a 1＝1，a m ﹣1+a m +a m+1＝27，且Sm ＝45，则m ＝（）A ．8B ．9C ．10D ．11【题型六】比值型1：首项公差不定方程【典例分析】设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4234a a =，则84=S S ________．湖北省襄阳市第一中学2019-2020学年高二下学期5月月考数学试题1.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1240,≠=a S a ，则73=a S （）A ．1B ．89C ．53D ．792.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若7112S S =，则64a a =（）A ．722B ．32C ．217D ．143.已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且4813S S =，则816S S 等于（）A ．18B ．19C ．13D ．310【题型七】比值型2：双数等差中项型【典例分析】设等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别是n S ，n T ，若237n n S nT n =+，则66a b =（）A ．1720B ．1120C ．2217D ．12171.设等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，并且2343n n S n T n -=-对于一切N n +∈都成立，则66a b =（）A ．37B ．715C ．13D ．19412.等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和为n S ，n T ，且3123n n S n T n -=+，则1010a b =（）A ．3127B ．2923C ．2923-D ．56413.设n S ，n T 分别是等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，若552a b =，则99ST =A ．2B ．3C ．4D ．6【题型八】比值型3：双数列下标不一致型【典例分析】设等差数列{}n a 与等差数列{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T .若对于任意的正整数n 都有2131n n S n T n+=-，则89a b =（）A ．3552B ．3150C ．3148D ．3546即1.已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且214n n A n B n +=+，则28357b b a a a +=++（）A ．43B ．3839C ．1319D ．26572.已知均为等差数列的{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且231n n S n T n +=+，则19210a a b b ++的值为（）A ．74B ．2110C ．136D ．1573.设等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别是,n n S T ，若237n n S nT n =+，则63a b =（）A ．1B ．34-C ．2217D ．2【题型九】比值型4：整数型【典例分析】已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3393n n S n T n +=+，则使得n na b 为整数的正整数n 的值为___________.1.已知等差数列{}n a 和等差数列{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T 且()()1723n n n S n T +=+，则使nna b 为整数的正整数n 的个数是（）A ．2B ．6C ．4D ．52.已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且7453n n A n B n +=+，55a b =_____，n na b 为整数的正整数n 的取值集合为_______．3.已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和nT ，且6381nnSn Tn +=+，则使得k ka b 为整数的正整数k 的个数是（）A ．3B ．4C ．5D ．6【题型十】前n，2n，3n 项和应用【典例分析】在等差数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且843S S =，则128SS =（）A ．43B ．53C ．2D ．31.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22,6n n S S ==，则4n S =（）A ．8B ．12C ．14D ．202.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，663S =，则789a a a ++等于（）A ．63B ．71C ．99D ．1173.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 且19a d ==，若322729n n n n S S S S -=-+，则n 的值为（）A ．8B ．9C ．16D ．18【题型十一】数列实际应用题【典例分析】北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创隙积术，是研究某种物品按一定规律堆积起来求其总数问题.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，发展了隙积术的成果，对高阶等差数列求和问题提出了一些新的垛积公式.高阶等差数列的前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.现有二阶等差数列：2，3，5，8，12，17，23…则该数列的第41项为（）A ．782B ．822C ．780D ．820【变式训练】1.《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为33尺，前九个节气日影长之和为108尺，则谷雨日影长为（）A ．5.5B ．8C ．12D ．162.中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：今有米二百四十石，令甲，乙，丙､丁，戊五人递差分之，要将甲､乙二人数与丙､丁，戊三人数同.问：各该若干？其大意是：现有大米二百四十石，甲，乙，丙，丁，戊五人分得的重量依次成等差数列，要使甲，乙两人所得大米重量与丙，丁，戊三人所得大米重量相等，问每个人各分得多少大米？在这个问题中，丁分得大米重量为（）A ．32石B ．40石C ．48石D ．56石分阶培优练培优第一阶——基础过关练1．已知{}n a 是等差数列，且8923a a =+，则7a =（）A ．1B ．3C ．5D ．72．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3241,8a a a =+=，则9S ＝（）A ．60B ．62C ．63D ．813．已知数列{}n a 与{}n b 均为等差数列，且354a b +=，598a b +=，则47a b +=（）A ．5B ．6C ．7D ．84．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3510a a +=-，642S =-，则10S =（）A ．12-B ．10C ．12D ．205．甲、乙两位旅客乘坐高铁外出旅游，甲旅客喜欢看风景，需要靠窗的座位；乙旅客行动不便，希望座位靠过道．已知高铁二等座的部分座位号码如图所示，则下列座位号码符合甲、乙两位旅客要求的是（）窗口12过道345窗口6789101112131415……………A ．21，28B ．22，29C ．23，39D ．24，406．南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．现有高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第20项为（）A ．183B ．125C ．162D ．1917．在等差数列{}n a 中，已知1234520a a a a a ++++=，那么3a 等于（）A ．4B ．5C ．6D ．78．已知公差为1的等差数列{n a }中，1a ，2a ，4a 成等比数列，则{n a }的前10项的和为（）A ．55B ．50C ．45D ．109．设等差数列{}n a 与等差数列{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若对任意自然数n 都有2343n n S n T n -=-，则935784a ab b b b +++的值为（）A ．37B ．79C ．1941D ．1-10．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，11a =，22a =，33a =，数列{}12n n n a a a ++++是公差为1的等差数列，则40S =（）A ．325B ．326C ．327D ．328培优第二阶——能力提升练1．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若23S =，418S =，则6S =（）A ．36B ．45C ．63D ．752．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111153S S S =-，则611a a =（）A ．92B ．58C ．910D ．873．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到500这500个数中，能被3除余2，且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则这个新数列各项之和为（）．A ．6923B ．6921C ．8483D ．84814．已知,n n S T 分别是等差数列{}{},n n a b 的前项和，且*21()42n n S n n T n +=∈-N ，则1011318615a a b b b b +=++（）A ．2138B ．2342C ．4382D ．41786．已知数列{}n a 的前n 项和为211122n S n n =++，则n a =______．7．等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则2517208101214a a a a b b b b +++=+++________．8．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，若212a a =，12468S =，则1a =___________.9．正项等差数列{}n a 的前n 和为n S ，已知2375150a a a +-+=，则9S =__________.10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若127S π=，则67cos()a a +=__________.培优第三阶——培优拔尖练1．我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题:“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何”根据这一数学思想，所有被3除余2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列{}n a ，所有被5除余2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列{}n b ，把数列{}n a 与{}n b 的公共项按从小到大的顺序排列组成数列{}n c ，则数列{}n c 的第10项是数列{}n b 的第______项.2．若周长为15的三角形的三边成等差数列，最大内角为120°，则三角形的面积是__________．3．已知点P 在双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>上，12,F F 分别是双曲线E 的左、右焦点，若12F F 是12,PF PF 的等差中项，且12PF F △的面积为2c （c 为双曲线E 的半焦距），则双曲线E 的离心率为__________．4．若n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且()1522,22n n a a S n a n +==-+，则数列{}n a 的通项公式是______________．5．给出数列{}n a 如下：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…，,,...n n n n个，…，则该数列的第2022项为_______.6．设数列{}n a 的前n 项和为()*n S n ∈N ，则下列能判断数列{}n a 是等差数列的是______．①n S n =；②2n S n n =+；③2n n S =；④21n S n n =++．7．设F 是双曲线22221x y a b-=的右焦点，双曲线两条渐近线分别为1l ，2l ，过F 作直线1l 的垂线，分别交1l ，2l 于A 、B 两点．若OA ，AB ，OB 成等差数列，且向量BF 与FA同向，则双曲线离心率e 的大小为_____________．8．已知数列{}n a 中，13a =，()111122,n n n n n n a a n n N a a a a *+-+--=≥∈--，若2041a =，则9a =______．9．已知数列{}n a ，{}n b 均为等差数列，且11a b m =，224a b =，338a b =，4416a b =，则m =________.10．数列{}n a 是公差不为零的等差数列,其前n 项和为n S ,若记数据1232015,,,,a a a a 的方差为1λ,数据3201512,,,,1232015S S S S 的方差为2λ,则12λλ=______.专题16等差数列“函数性质”及综合应用【题型一】等差数列前n 项和对称性【典例分析】在各项不全为零的等差数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，且20162018S S =，2012k S S =，则正整数k ＝（）A ．2020B ．2021C ．2022D ．20231.已知递减的等差数列{}n a 满足2219a a =，则数列{}n a 的前n 项和取最大值时n =（）A ．4或5B ．5或6C ．4D ．52.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且122a =，716S S =，则n S 取最大值时n 的值为（）A ．12B ．12或11C ．11或10D ．103.已知等差数列{}n a 中，514a a =，且公差0d <，则其前n 项和取得最大值时n 的值为（）A ．8B ．9C ．10D ．11【题型二】通项公式线性（零点正负）【典例分析】在等差数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，10a >，670a a <，则无法判断正负的是（）A ．11S B ．12S C ．13S D ．14S1.数列{}n a 中，已知217n a n =-，该数列中相邻两项积为负数的是（）A ．6a 和7a B ．7a 和8a C ．8a 和9a D ．9a 和10a 2.首项为-24的等差数列，从第10项起为正数，则公差d 的取值范围是（）A ．8,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．8,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．8,33⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．8,33⎛⎤⎥⎝⎦3.数列{n a }中()*115332N n n a a a n +==-∈，，则该数列中相邻两项乘积为负数的是（）A ．67a a ⋅B ．78a a ⋅C ．89a a ⋅D ．910a a ⋅【题型三】等差数列不等式范围【典例分析】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ．已知312a =，100S >，60a <，则选项不正确的是（）A ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项为第6项B ．2445d -<<-C ．50a >D ．0n S >时，n 的最大值为51.的前n 项和为n S ，若n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为d （1d ≥）的等差数列，则（）A ．12a a ≤B ．12a a ≥C ．1234≤a a a a D ．1234≥a a a a 2.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()()3441201711a a -+-=，()()3201420141201711a a -+-=-，则下列结论正确的是（）A ．2017201442017S a a ，=-<B ．2017201442017S a a =>，C ．2017201442017S a a =->，D ．2017201442017S a a =<，3.．设函数()24,32,3x x f x x x -≤-⎧=⎨-+>-⎩，数列{}n a 满足()()*1N n n a f a n +=∈，若{}n a 是等差数列.则1a 的取值范围是___________.【题型四】最值与范围1：通项最值【典例分析】数列{}n a 满足1=2a ，24a =-，且对任意正整数n ，有2121n n n a a a ++=-+，则n a 的最小值为（）A ．16-B ．17-C ．18-D ．19-1.等差数列{an }的前n 项和为Sn ，n ∈N *.若S 12>0，S 13<0，则数列{|an |}的最小项是（）A ．第6项B ．第7项C ．第12项D ．第13项2.已知函数2()42x x f x =-．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()1n n S f a +=，211a a =，则1a 的最大值为（）A ．9B ．12C ．20D ．6343.等差数列{}n a 的前n 项和为n S .已知15a =-，31a =-.记(1,2,)==⋅⋅⋅nn nSb n a，则数列{}n b 的（）A ．最小项为3bB ．最大项为3bC ．最小项为4b D ．最大项为4b 【题型五】最值与范围2：前n 项和最值【典例分析】已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和n S ，1510a a +=，4a 是1a 和5a 的等比中项，则nnS a （）A ．有最大值9B ．有最大值25C ．没有最小值D ．有最小值-24．涉及到最值即可从二次函数图像对称轴1.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若201820202019S S S <<，设12n n n n b a a a ++=，则数列1n b ⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和nT 取最大值时n 的值为A ．2020B ．2019C ．2018D ．20172.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且10a >，500S =.设()*12n n n n b a a a n N ++=∈，则当数列{}n b 的前n 项和n T 取得最大值时,n 的值为A ．23B ．25C ．23或24D ．23或253.已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，若不等式21233n a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅+≤恒成立，则n 的最大值为A ．6B ．7C ．8D ．9【题型六】求和应用1：正负相间求和【典例分析】数列{}n a 满足11(1)2n n n a a n +++-=，则数列{}n a 的前60项和等于（）A ．1830B ．1820C ．1810D ．18001.数列{}n a 满足()11121n n n a a n ++=-+-，则数列{}n a 的前48项和为（）A ．1006B ．1176C ．1228D ．23682.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若11a =，22a =，且()1211n n n a a ++-=+-，则100S 的值为（）A ．5050B ．2600C ．2550D ．24503.已知数列{}n a 满足()213nn n a a ++-=，11a =，22a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则30S =（）A ．351B ．353C ．531D ．533【题型七】求和应用2：奇数项与偶数项和【典例分析】含21n +项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为（）A ．21n n +B ．1n n +C ．1n n-D ．12n n+1.一个等差数列共有2n+1项，其奇数项的和为512，偶数项的和为480，则中间项的值为（）A ．30B ．31C ．32D ．332.已知数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =，且满足12n n n a a S +=，数列{}n b 满足1115,2n n b b b n +=-=，则数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中第__________项最小．3..已知数列{}n a 、{}n b ，221n n a n =-，221n n b n =+，其前n 项和分别为n S ，n T ，记最接近n n S T -的整数为n c ，则12100c c c ++⋅⋅⋅+=______．【题型八】求和应用3：绝对值型和【典例分析】已知等差数列{}n a 满足：1212111222n n a a a a a a +++=-+-++- 1233372222n a a a =++++++= ，则n 的最大值为（）A ．18B ．16C ．12D ．8【变式训练】1.等差数列12,,,n a a a ⋅⋅⋅()*3,n n ≥∈N ，满足121|||||||1|n a a a a ++⋅⋅⋅+=+2|1|a ++|1|n a +⋅⋅⋅++12|2||2||2|2019n a a a =-+-+⋅⋅⋅+-=，则（）A ．n 的最大值为50B ．n 的最小值为50C ．n 的最大值为51D ．n 的最小值为512.已知等差数列{}n a 满足：12121|||||||1||1||1||1|n n a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅++=-2|1||1|2021n a a +-+⋅⋅⋅+-=，则正整数n 的最大值为________3.已知数列{}n a 的通项公式为192n a n =-，n N *∈，则其前20项的和为______.【题型九】求和应用4：取整函数型数列【典例分析】．[]x 为不超过x 的最大整数，设n a 为函数()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦，[)0,x n ∈的值域中所有元素的个数.若数列12n a n ⎧⎫⎨+⎩⎭的前n 项和为n S ，则2022S =（）A ．10121013B ．12C ．20214040D ．10111012【变式训练】1.正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则12100111S S S ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦ （）其中[]x 表示不超过x的最大整数.A ．18B ．17C ．19D ．202.若[]x 表示不超过x 的最大整数（例如：[][]0.10,0.11=-=-），数列{}n a 满足：13a =，122n n a a n +-=+，则+++= （）A ．10102021⨯B ．10102020⨯C ．10092021⨯D ．10092020⨯3.设正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足21(1)4n n S a =+，记[]x 表示不超过x 的最大整数，2[]12019nn a b =+．数列{}n b 的前n 项和为n T ，则使得2019n T ≥成立的n 的最小值为（）A ．1179B ．1178C ．2019D ．2018【题型十】求和应用5：等差裂项相消型【典例分析】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3791534S a a =+=，，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和为n T ，且对于任意的*11n n a n T t+∈<N ，，则实数t 的取值范围为______．1..等差数列{}n a 中，24a =，它的前n 项和2n S n kn =+，则12100111S S S +++=L （）A ．100101B ．1101C ．101100D ．991002.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，2a 为整数，且5n S S ≤，则数列12n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前9项和为（）A ．19-B ．29-C ．19D ．293.在等差数列{}n a 中，11a =，前n 项和n S 满足2421n n S n S n +=+，1n =，2，…，则122021111S S S +++= _____________．【题型十一】求和应用6：无理等差型【典例分析】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，472a =，且)*n =∈N 1=与两坐标轴围成的三角形的面积为n T ，则1232159T T T T ++++ 的值为__________.1.数列的前2022项和为（）AB C 1D 12.等差数列{}n a 中，375,9a a ==，设nb ={}n b 的前61项和为（）A ．7-B ．7C ．8D ．8【题型十二】数列中函数性质综合应用【典例分析】已知数列{}n a 满足121,3a a ==，()1N,3n n a a n n n --=∈≥，{}21n a -是递增数列，{}2n a 是递减数列，则2018a =__________．【变式训练】1.已知数列{}n a 为递增数列，前n 项和2n S n n λ=++，则实数λ的取值范围是（）A ．(],2-∞B ．(),2-∞C ．(],0-∞D ．(),0∞-2.下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列；3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列；{}4:3n p a nd +数列是递增数列；其中的真命题为A ．12,p p B ．34,p p C ．23,p p D ．14,p p 3.设函数()12ln x f x x-=+，11a =，()()()()1231n n a f f f f n n n n -=+++⋅⋅⋅+（*N n ∈，n ≥2）．设数列{}n a 的前n 项和n S ，则20n S n+的最小值为______．【题型十三】等差数列与三角函数【典例分析】数列{}n a 满足12sin 12n n n a a n π+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，*N n ∈，则数列{}n a 的前80项和为（）A ．1640B ．1680C ．2100D ．2120借助三角函数的周期性，特别是正余弦函数角度是相间角时，为特殊的周期数列1.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，()214n n a S +=，记()11sinsin 22n n n n n b S S ππ++=⋅+⋅，若数列{}n b 的前n 项和为n T ，则100T =（）A ．400-B ．200-C ．200D ．4002..已知数列{}n a 满足11a =，1(1)(1)n n na n a n n +=+++，*n ∈N ，且23n n b π=，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，则2020S =A ．1B ．12C ．12-D ．-13.已知等差数列{}n a 满足225910a a +=，则12345a a a a a ++++的最大值为（）A ．B ．20C ．25D ．100分阶培优练培优第一阶——基础过关练1．已知数列｛n a ｝的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足５＜k a ＜８，则k=A ．9B ．8C ．7D ．62．设等差数列{an }的前n 项和为Sn ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当Sn 取最小值时，n 等于()A ．6B ．7C ．8D ．93．已知ab =a ，b 的等差中项为()ABCD 4．已知数列{}n a 满足()()()1222120111n nn aaa a a +-=+++L ，则（）．A ．20231a a >B ．20231a a <C ．数列{}n a 是等差数列D ．数列{}n a 是等比数列5．首项为24-的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d 的取值范围是（）．A ．83d >B ．3d <C ．533d ≤<D ．833d <≤6．已知等差数列{a n }中,|a 3|=|a 9|,公差d<0,S n 是数列{a n }的前n 项和,则()A ．S 5>S 6B ．S 5<S 6C ．S 6=0D ．S 5=S 68．已知等差数列{}n a 中，n S 是它的前n 项和．若160S >且170S <，则当n S 最大时n 的值为()A ．8B ．9C ．10D ．169．等差数列{}n a 共有21n +项，其中奇数项之和为4，偶数项之和为3，则n 的值是A ．3B ．5C ．7D ．910．已知数列{}n a 为等差数列，若11101a a <-，且它们的前n 项和为n S 有最大值，则使得0n S <的n 的最小值为A ．11B ．19C ．20D ．21培优第二阶——能力提升练1．已知数列{}n a 为等差数列，若11101a a <-，且它们的前n 项和为n S 有最大值，则使得0n S <的n 的最小值为A ．11B ．19C ．20D ．212．已知等差数列{}n a 的公差0d <，若462824,10a a a a =+=，则该数列的前n 项和n S 的最大值为A ．50B ．45C ．40D ．353．已知等差数列{}n a 中，39a a =，公差0d <，则使前n 项和n S 取最大的正整数n 是（）A ．4或5B ．5或6C ．6或7D ．不存在4．已知实数a ，0b >，a ，b 的等差中项为12，设11,m a n b a b =+=+，则m n +的最小值为()A ．3B ．4C ．5D ．65．在等差数列{a n }中，a 10＜0，a 11＞0，且a 11＞|a 10|，S n 为数列{a n }的前n 项和，则使S n ＞0的n 的最小值为A ．10B ．11C ．20D ．216．等差数列的前n 项和为Sn ,且428a a -=，3526a a +=.记2nn S T n =，如果存在正整数M ，使得对一切正整数n ，都成立.则M 的最小值是_______7．等差数列{}n a 中，n S 是它的前n 项之和，且67S S <，78S S >，则：①数列的公差0d <；②9S 一定小于6S ；③7a 是各项中最大的一项；④7S 一定是n S 中的最大值．其中正确的是______________（填入你认为正确的所有序号）．8．记等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若1OB a ＝200OAa OC＋，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200＝_________.9．设数列{}n a 的通项为()*27n a n n N =-∈，则1215a a a +++= ____________．10．设等差数列{an }的前n 项和为Sn ，若3611,03a a -<<<<，则9S 的取值范围是________.培优第三阶——培优拔尖练1．已知数列{}n a 满足：11a =，213a =，1121216n n n n b b b b a a a a +-+++=+ (2n ≥且N n +∈)，等比数列{}n b 公比2q =，则数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S =___________.2．已知一组双曲线()22:44n E x y n n N *-=+∈，设直线()2x m m =>与n E 在第一象限的交点为n A ，点n A 在n E 的两条渐近线上的射影分别为点n B ，n C 记n n n A B C 的面积为n a 则数列{}n a 的前20项的和为__________．3．已知数列{}n a 和{}n b 满足12a =，11b =，1n n n a b b ++=，114n n n a b a +++=.则20211008b a ＝_______.4．已知正项数列{}n a 满足122n n n a a a ++=+，且221n nSa -=，其中n S 为数列n a 的前n 项和，若实数λ使得不等式()8nna nλ+≥恒成立，则实数λ的最大值是________.5．已知()tan =f x x ，数列{}n a 满足：对任意*n ∈N ，n 0,2a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且13a π=，()n 1f a +=，则使得121sin sin sin 10k a a a ⋅< 成立的最小正整数k 为________.6．在正项等比数列{}n a 中，512a =，673a a +=.则满足1212n n a a a a a a ++⋅⋅⋅+>⋅⋅⋅的最大正整数n 的值为7．已知集合*{|21,}A x x n n N ==-∈，*{|2,}n B x x n N ==∈．将A B ⋃的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为________．8．在等差数列{}n a 中，25a =，621a =，则数列{}n a 的通项公式为______．记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，若2115n n mS S +-≤得对*n ∈N 恒成立，则正整数m 的最小值为______．9．已知数列{}n a ，{}n b 满足：11a =，1n n a a n ++=，21n n b a -=，则数列n b =_________；记n S 为数列{}n a 的前n 项和，3124S S -=_________.10．(多空题)已知{}n a 是等差数列，首项为1a ，其公差0d <，前n 项和为n S ，设数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，（1）若14a d =-，则当n =________时，n T 有最大值；（2）若当且仅当6n =时，n T 有最大值，则1ad的取值范围是________.专题17等比数列概念及其前n 项和【题型一】等比数列概念【典例分析】已知等比数列{}n a 中，13a =，公比3q =-，则下列说法正确的是（）A ．数列{}13n n a a ++是等比数列B ．数列{}1n n a a +-不是等比数列C ．数列是等比数列D ．数列{}23log n a 是单调递减数列1.已知数列{}n a 为等比数列，则“{}n a 为常数列”是“123,,a a a 成等差数列”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2.已知等比数列{}n a 的公比为q ，则“{}n a 是递增数列”的一个充分条件是（）A ．10a >B ．1q >C ．100a q <<，D ．1001a q <<<，3.已知数列{}n a 是各项均大于0的等比数列，若2log n nb a =，则下列说法中正确的是（）A ．{}n b 一定是递增的等差数列；B ．{}n b 不可能是等比数列；C ．{}2121n b -+是等差数列；D ．{}3n b不是等比数列．【题型二】等比数列通项计算【典例分析】等比数列{}n a 是递增数列，若5160a a -=，4224a a -=，则公比q 为（）A ．12B ．2C ．12或2-D ．2或121..已知递增等比数列{}n a ，10a >，2464a a =，1534a a +=，则6a =（）A ．8B ．16C ．32D ．642.已知等比数列{an }的各项均为正数，Sn 为其前n 项和，且满足：a 1＋3a 3＝72，S 3＝72，则a 4＝（）A ．14B ．18C ．4D ．83.在等比数列{}n a 中，472a a +=，298a a =-，则110a a +=（）A ．5B ．7C ．－5D ．－7【题型三】等比数列前n 项和【典例分析】已知等比数列{an }的首项为1，公比为2，则a 12+a 22+⋯+an 2＝（）A ．（2n ﹣1）2B ．()1213n-C ．4n ﹣1D ．()1413n-1.已知公比为()1q q ≠的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为（）A ．nnq S B ．n n S q C ．11n n S q -D ．211n n S a q -2.若等比数列{}n a 的前n 项和Sn ＝3n +a ，则a 的值为（）A ．3B ．0C ．﹣1D ．﹣33.数列1，12+，2122++，⋯，23112222n -+++++ ，的前n 项和为（）A ．21n n --B ．122n n +--C ．2nD ．12n n+-【题型四】等比数列sn 与an 的关系【典例分析】.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，13(1)n n a S n +=≥，则n a 等于（）A ．34n⨯B ．341n ⨯+C ．21,134,2n n n -=⎧⎨⨯≥⎩D ．21,1341,2n n n -=⎧⎨⨯+≥⎩1.已知数列{}n a 的前n 项合为n S ，且22n n S a =-()n N +∈，则9S =（）A ．510B ．511C ．1022D ．10232.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n 都有324n n a S =+，若2log n n b a =，则1010b =（）．A ．2019B ．2020C ．2021D ．20223.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足20n n S a ++=，则664S a =（）A ．63B ．252C ．364D ．728【题型五】等差等比纠缠数列【典例分析】已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若489a aa ⋅⋅=-4892bb b π++=，则410311tan 1b b a a +=⋅-（）A．B C ．D1.设{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列．已知数列{}n n a b +的前n 项和()2*51N n n S n n =+-∈，则d q -=（）A ．3-B ．1-C ．2D ．42.数列{an }中，an ＝3n －7(n ∈N ＋)，数列{bn }满足b 1＝13，bn －1＝27bn (n ≥2且n ∈N ＋)，若an ＋log kbn 为常数，则满足条件的k 值（）A ．唯一存在，且为13B ．唯一存在，且为3C ．存在且不唯一D ．不一定存在3.已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，11a =，其前n 项和为n S ，若35412,,2a a a 成等差数列，则76S S -=（）A ．128B ．64C ．32D ．1【题型六】等比数列性质【典例分析】已知数列{}n a 的首项为1，数列{}n b 为等比数列，且1n n na b a +=，若11010112020b b =，则21a =（）A ．1008B ．1024C ．2019D ．20201.已知正项等比数列{}n a 的公比为3，且2022013a a a = ，则48121620a a a a a =（）A ．2523B ．5033C ．2533D ．2532.已知数列{}n a 是等比数列，且()222212341240222n a a a a a a a a >+++++=，，那么124a a a ++的值等于（）A ．2B ．1CD ．33.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122n n S a =-，若155121022k k k a a a ++++++=- ，则正整数k =（）A ．3B ．4C ．5D ．6【题型七】等比数列“不定方程型”计算【典例分析】设数列{}n a ，{}n b 都是正项等比数列，n S ，n T 分别为数列{lg }n a 与{lg }n b 的前n 项和，且12n n S n T n+=，则33log a b =（）A ．35B ．95C ．59D ．531.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若105:1:2S S =，则51015105S S S S S ++=-（）A ．72B ．92-C ．92D ．72-2.已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若存在*m ∈N ，满足29m m S S =，2511m m a m a m +=-，则m 的值为()A ．-2B ．2C ．-3D ．33.已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1a ，312a ，22a 成等差数列，则91078a a a a +=+（）A．1B ．1-C．3+D ．3-【题型八】S n ，S 2n ，S 3n 应用【典例分析】设Sn 是等比数列{an }的前n 项和，3613S S =，则612S S 等于（）A ．310B ．15C ．18D ．19【变式训练】1.一个等比数列共有3m 项，若前2m 项之和为15，后2m 项之和为60，则这个等比数列的所有项的和为（）A ．63B ．72C ．75D ．872.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若63:1:2S S =，则93:S S =（）A ．1:2B ．2:3C ．3:4D ．1:33.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10302,14S S ==，则40S =（）A ．20B ．30C ．40D ．50【题型九】插入数构成等比数列【典例分析】若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，可以形成一个新的数列，再把所得数列按照同样的方法可以不断构造出新的数列.现将数列1，3进行构造，第1次得到数列1，4，3；第2次得到数列1，5，4，7，3；依次构造，第()*N n n ∈次得到数列1，123,,,,,3k x x x x .记1213n k a x x x =+++++ ，若4378n a >成立，则n的最小值为（）A ．6B ．7C ．8D ．9【变式训练】1.将等比数列{}n b 按顺序分成1项，2项，4项，…，12n -项的各组，再将公差为2的等差数列{}n a 的各项依次插入各组之间，得到数列{}n c ：1b ，1a ，2b ，3b ，2a ，4b ，5b ，6b ，7b ，3a ，…，数列{}n c 的前n 项和为n S ．若11c =，22c =，3134S =，则100S =（）A ．18611302⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1863113042⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦C ．186********⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦D ．1861113032⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2.在1和10之间插入n 个实数，使得这()2+n 个数构成递增的等比数列，将这()2+n 个数的乘积记作n T ，则1211lg lg lg T T T +++= （）A ．132B ．11C ．44D ．523.十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的，明万历十二年(公元1584年)，他写成《律学新说》提出了十二平均律的理论十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个数使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为M ，插入11个数后这13个数之和为N ，则依此规则，下列说法错误的是（）A ．插入的第8B ．插入的第5个数是插入的第1C ．3M >D ．7N <分阶培优练培优第一阶——基础过关练1．（全国·高考真题（理））某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）.经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成（）A ．511个B ．512个C ．1023个D ．1024个2．（2018·北京·高考真题（理））“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为ABC．D．3．（陕西·高考真题（理））各项均为正数的等比数列的前n 项和为Sn ，若Sn =2,S 3n =14,则S 4n 等于A ．80B ．30C ．26D ．164．（2019·全国·高考真题（理））已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =A ．16B ．8C ．4D ．25．（2020·全国·高考真题（文））记Sn 为等比数列{an }的前n 项和．若a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，则nnS a =（）A ．2n –1B ．2–21–nC ．2–2n –1D ．21–n –16．（2020·全国·高考真题（理））数列{}n a 中，12a =，对任意,,m n m n m n N a a a ++∈=，若155121022k k k a a a ++++++=- ，则k =（）A ．2B ．3C ．4D ．57．（2021·全国·高考真题（文））记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若24S =，46S =，则6S =（）A ．7B ．8C ．9D ．108．（全国·高考真题（理））等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0，若236,,a a a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（）A ．24-B ．3-C ．3D ．89．（全国·高考真题（文））一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角的正弦值为（）ABCD 5210．（2020·全国·高考真题（文））设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A ．12B ．24C ．30D ．3211．（重庆·高考真题（文））有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是（）A ．4B ．5C ．6D ．7培优第二阶——培优拔尖练1．在正项等比数列{}n a 中，13a =，且23a 是3a 和4a 的等差中项，则2a =（）A ．8B ．6C ．3D ．322．若数列{}n a 的通项公式为21nn a =-，则数列{}n a 的前n 项和n S 等于（）A ．122n n +--B ．12n n +-C ．122n n +-+D ．122n n ++-3．已知各项均为正数的等比数列{}n a 满足，24a =，3424a a +=，则12233445910a a a a a a a a a a -+-+⋅⋅⋅+=（）A ．188(21)5+B ．188(21)5-C ．208(21)5+D ．208(21)5-4．在公比不为1的等比数列{}n a 中，若26m n a a a a =，则mn 不可能为（）A ．12B ．14C ．15D ．165．已知数列{}n a ，如果121321,,,...,,...n n a a a a a a a ----是首项为1，公比为12的等比数列，则n a =()A ．1212n ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11212n -⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11122n ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．111122n -⎛⎫- ⎪⎝⎭6．在等比数列{}n a 中，若4745671,3a a a a a a =-+++=，则45671111a a a a +++=（）A ．3B ．13C ．13-D ．3-7．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且7103a a =，则612S S =（）A ．910B ．2728C ．109D ．28278．已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b是等差数列，若76103a b π==，则210311sin 1b b a a +=-（）A．2B．C ．12D ．12-9．在等比数列{}n a 中，1234567845122,55a a a a a a a a a a +++++++==-，则1234567811111111a a a a a a a a +++++++=（）A ．6-B ．2425-C ．145D ．210．已知公差不为0的等差数列的第4，7，16项恰好分别是某等比数列的第4，6，8项，则该等比数列的公比是（）AB．CD专题18等比数列范围最值及函数性质目录【题型一】等比数列前n 项积..................................................................................................................................31【题型二】与通项和Sn 有关的正负比较................................................................................................................32【题型三】等比数列函数性质..................................................................................................................................33【题型四】等比数列与范围......................................................................................................................................33【题型五】等比数列最值..........................................................................................................................................34【题型六】恒成立求参..............................................................................................................................................34【题型七】等比数列复合型：“下标数列”..........................................................................................................35【题型八】递推公式构造等比型..............................................................................................................................36【题型九】递推：二阶等比数列..............................................................................................................................36【题型十】等比数列文化应用题..............................................................................................................................37培优第一阶——基础过关练......................................................................................................................................37培优第二阶——能力提升练......................................................................................................................................38培优第三阶——培优拔尖练.. (39)【题型一】等比数列前n 项积【典例分析】已知等比数列{}n a 满足1132,2a q ==-，记()12n n T a a a n +=∈N ，则数列{}n T （）A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项。

二年级数学尖子生辅导计划及措施我是个教二年级数学的，那些个尖子生啊，我可得好好辅导辅导。

我瞅着那些孩子，眼睛里都透着机灵劲儿，小脸蛋红扑扑的，就像那刚熟透的苹果。

我这辅导计划啊，就像盖房子，得一块砖一块砖稳稳地砌。

首先呢，我得把课本那点东西摸透咯。

可不能照本宣科，那多没意思。

我得像个讲故事的，把数学知识都编成一个个小故事。

比如说讲加法，我就说啊，“小朋友们，咱就像小蚂蚁找食物，找到一个面包屑，又找到一个面包屑，那一共就有两个面包屑啦，这就是加法。

”那措施呢？我这措施可多了去了。

我会搞个小竞赛，就像小动物们争食物一样。

我把那些尖子生分成小组，“你们看啊，这个组是小兔子组，那个组是小猴子组。

”我拿着小卡片，上面写着数学题，谁先算出答案，就给谁一个小贴纸。

那些孩子啊，眼睛都盯着我手里的卡片，小手举得高高的，嘴里喊着：“老师，我来，我来。

”有个小男孩，眼睛瞪得大大的，就怕我看不见他，那着急的模样就像热锅上的蚂蚁。

我还得给他们找些不一样的练习题。

不能老是课本上那些，太单调了。

我就到处找那些有趣的数学题，像那种数字迷宫啊，从一个数字出发，按照规则走，最后得到一个答案。

我把这些题拿给孩子们的时候，他们眼睛里都放光，就像发现了宝藏一样。

有时候啊，我也会犯错。

我把一道题的答案给算错了，那些孩子可不含糊。

有个小男孩，皱着眉头对我说：“老师，您算错了。

”我还不信呢，我又算了一遍，还真是错了。

我就笑着说：“你们可真厉害，比老师还聪明呢。

”那些孩子就哈哈笑起来，教室里的气氛可欢快了。

我就是想让这些尖子生啊，在数学的世界里玩得开心，学得扎实。

我要让他们知道，数学可不是那些枯燥的数字，那是一个个有趣的小秘密，等着他们去发现呢。

2020-2021年高二数学选择性必修二尖子生同步培优题典4.2 等比数列 解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：本卷共16小题，6道单选题，3道多选题，3道填空题，4道解答题。

一、单选题1．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，()*3log n S n n N =∈，则数列{}na 是（ ）A ．公比为3的等比数列B ．公差为3的等差数列C ．公比为13的等比数列 D ．既非等差数列，也非等比数列【答案】D 【解析】 【分析】由3log n S n =得3nn S =，然后利用n a 与n S 的关系即可求出n a【详解】因为3log n S n =，所以3nn S =所以当1n =时，113a S ==2n ≥时，1113323n n n n n n a S S ---=-=-=⋅所以13,123,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩故数列{}n a 既非等差数列，也非等比数列 故选：D 【点睛】要注意由n S 求n a 要分两步：1. 1n =时11a S =，2. 2n ≥时1n n n a S S -=-. 2．已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若存在*m N ∈，满足228m m S S =，22212m m a m a m +=-，则数列{}n a 的公比为（ ） A ．12B ．13C ．2D ．3【答案】D 【解析】【分析】 先判断1q ≠，由228m m S S =，利用等比数列求和公式可得27m q =，结合22212m m a m a m +=-可得3m =，从而根据327q =可得结果.【详解】设等比数列公比为q 当1q =时，2228mmS S =≠，不符合题意， 当1q ≠时，()()21211128,12811m mm m m a q S q q S q a q--=∴⋅=+=--， 得27mq =，又2221221,22m m m a m m q a m m ++=∴=--， 由221272m m +=-，得3m =， 327,3q q ∴=∴=，故选D.【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查对基本公式的掌握与应用，考查了分类讨论思想的应用，属于中档题.解有关等比数列求和的题的过程中，如果公比是参数一定要讨论1q ≠与1q =两种情况，这是易错点.3．音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的32，得到“微”，“微”经过一次“益”，频率变为原来的34，得到“商”……依此规律损益交替变化，获得了“宫”“微”“商”“羽”“角”五个音阶.据此可推得（ ） A ．“商”“羽”“角”的频率成公比为34的等比数列 B ．“宫”“微”“商”的频率成公比为32的等比数列 C ．“宫”“商”“角”的频率成公比为98的等比数列 D ．“角”“商”“宫”的频率成公比为12的等比数列 【答案】C 【解析】 【分析】根据文化知识，分别求出相对应的频率，即可判断出结果．【详解】设“宫”的频率为a，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率为32 a，“徵”经过一次“益”，可得“商”的频率为98 a，“商”经过一次“损”，可得“羽”频率为2716a，最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率是8164a，由于a，98a，8164a成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列，且公比为98，故选：C．【点睛】本题考查等比数列的定义，考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．4．设，．若p：成等比数列；q：，则（）A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【答案】A【解析】对命题p：成等比数列，则公比且；对命题，①当时，成立；②当时，根据柯西不等式，等式成立，则，所以成等比数列，所以是的充分条件，但不是的必要条件．考点：等比数列的判定，柯西不等式，充分条件与必要条件．5．已知数列{}n a ：12，212，222，232，312，.322.，332，342，352，362，372，412，422…的前n 项和为n S ，正整数1n ，2n 满足：①11111212n a -=，②2n 是满足不等式1019n S >的最小正整数，则12n n +=（ ） A ．6182 B ．6183C ．6184D ．6185【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，数列{}n a 的规律为：分母为2k 的项有21k -项．将数列{}n a 中的项排成杨辉三角数阵且使得第k 行每项的分母为2k，该行有21k-项，那么1111212-位于数阵第11行最后一项，通过计算得1n ；设数阵中第k 行各项之和为k b ，则212k k b -=，故通过计算可得满足1019n S >的最小正整数2n ，即可得出最后结果. 【详解】由题意可知，数列{}n a 的规律为：分母为2k 的项有21k -项．将数列{}n a 中的项排成杨辉三角数阵且使得第k 行每项的分母为2k ，该行有21k -项，如下所示：对于①，1111212-位于数阵第11行最后一项，对应于数列{}n a 的项数为()()()()11121121221212111408312--+-++-=-=-，∴14083n =；对于②，数阵中第k 行各项之和为k b ，则()12121222122k kk k k k b ⎛⎫-+- ⎪-⎝⎭==， 且数列{}k b 的前k 项之和()121212212121221222222k k k k kk T +--------=+++==， 11102102101810192T --==<，而121121124083101922T --==>，故恰好满足1019n S >的项n a 位于第11行． 假设n a 位于第m 项，则有()1011111112112101810192222m m mT +++++=+>， 可得出()14096m m +>．由于64634032⨯=，64454160⨯=， 则636440966465⨯<<⨯，∴64m =． 因为前10行最后一项位于{}n a 的第()()()()10121021221212110203612--+-++-=-=-项，因此，满足1019n S >的最小正整数22036642100n =+=， 所以12408321006183n n +=+=． 故选：B 【点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和公式，考查了学生的归纳推理能力和运算求解能力.6．已知函数2()2f x x =，()()()1122,0,,0,,,0n n A x A x A x ，*n N ∈为x 轴上的点，且满足11x =，112n n x x -=，过点12,,,n A A A 分别作x 轴垂线交()y f x =于点12,,,n B B B ，若以1,,p p p A B A +为顶点的三角形与以1,,q q q A B A +为顶点的三角形相似，其中p q <，则满足条件的p ，q 共有（ ） A ．0对 B ．1对 C ．2对 D ．无数对【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得11(,0)2n n A -，12311(,)22n n n B --，+11(,0)2n nA ，23131112tan 122n n n n n n n n n nA B A A B A A -+-+∠===，由1p p p A B A +△与1q q q A B A +△相似得到11tan =tan p p p q q q A A B A A B ++∠∠或11tan =tan()2p p p q q q A A B A A B π++∠-∠，再分情况讨论即可得到答案.【详解】如图，由题意，11112n n n x x q--==，n B 的纵坐标为223122nn x -⨯=， 所以11(,0)2n n A -，12311(,)22n n n B --，+11(,0)2n n A ，23131112tan 122n n n n n nn n n nA B A A B A A -+-+∠===， 1p p p A B A +△与1q q q A B A +△均为直角三角形，故1p p p A B A +△与1q q q A B A +△相似 11tan =tan p p p q q q A A B A A B ++⇔∠∠或11tan =tan()2p p p q q q A A B A A B π++∠-∠.当11tan =tan p p p q q q A A B A A B ++∠∠时，3311()22p q p q --=<，无解；当11tan =tan()2p p p q q q A A B A A B π++∠-∠时，11tan tan 1p p p q q q A A B A A B ++∠⋅∠=，所以61162p q p q +-=⇔+=．故存在两对满足条件的p ，q ，分别为1p =，5q =或2p =，4q =．故选：C 【点睛】本题考查数列与函数的应用，考查学生分类讨论思想，数学运算能力，是一道中档题.二、多选题7．数列{}n a 为等比数列（ ）. A ．{}1n n a a ++为等比数列 B ．{}1n n a a +为等比数列 C ．{}221n n a a ++为等比数列D ．{}n S 不为等比数列（n S 为数列{}n a 的前n 项） 【答案】BCD 【解析】 【分析】举反例，反证，或按照等比数列的定义逐项判断即可. 【详解】解：设{}n a 的公比为q ，A. 设()1nn a =-，则10n n a a ++=，显然{}1n n a a ++不是等比数列.B.2211n n n n a a q a a +++=，所以{}1n n a a +为等比数列.C. ()()24222221222211n n n n n n a q q a a q a a a q +++++==++，所以{}221n n a a ++为等比数列. D. 当1q =时，n S np =，{}n S 显然不是等比数列； 当1q ≠时，若{}n S 为等比数列，则()222112n n n S S n S -+=≥，即()()()211111111111n n n a q a q a q q q q-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎪⎪⎪= ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1q =，与1q ≠矛盾，综上，{}n S 不是等比数列. 故选：BCD. 【点睛】考查等比数列的辨析，基础题.8．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，671a a >，67101a a -<-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q << B ．8601a a << C ．n S 的最大值为7S D ．n T 的最大值为6T【答案】ABD 【解析】 【分析】先分析公比取值范围，即可判断A ，再根据等比数列性质判断B,最后根据项的性质判断C,D. 【详解】若0q <，则67670,00a a a a <>∴<与671a a >矛盾； 若1q ≥，则11a >∴671,1a a >>∴67101a a ->-与67101a a -<-矛盾； 因此01q <<，所以A 正确；667710101a a a a -<∴>>>-，因此2768(,1)0a a a =∈，即B 正确； 因为0n a >，所以n S 单调递增，即n S 的最大值不为7S ，C 错误；因为当7n ≥时，(0,1)n a ∈，当16n ≤≤时，(1,)n a ∈+∞，所以n T 的最大值为6T ，即D 正确； 故选：ABD 【点睛】本题考查等比数列相关性质，考查综合分析判断能力，属中档题. 9．已知数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，*n N ∈， n S 是数列1 n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则下列结论中正确的是（ ） A ．()21121n nS n a -=-⋅ B ．212n n S S =C ．2311222n n n S S ≥-+ D ．212n n S S ≥+【答案】CD 【解析】【分析】根据数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，得到1223+++=+n n a a n ，两式相减得：22n n a a +-=，然后利用等差数列的定义求得数列{} n a 的通项公式，再逐项判断. 【详解】因为数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，*n N ∈， 所以1223+++=+n n a a n ， 两式相减得：22n n a a +-=，所以奇数项为1，3，5，7，….的等差数列； 偶数项为2，4，6，8，10，….的等差数列； 所以数列{} n a 的通项公式是n a n =，A. 令2n =时， 311111236S =++=，而 ()1322122⨯-⋅=，故错误； B. 令1n =时， 213122S =+=，而 11122S =，故错误；C. 当1n =时， 213122S =+=，而 31132222-+=，成立，当2n ≥时，211111...23521n n S S n =++++--，因为221n n >-，所以11212n n >-，所以111111311...1 (352148222)n n n ++++>++++=--，故正确；D. 因为21111...1232n n S S n n n n -=+++++++，令()1111...1232f n n n n n =+++++++，因为()111111()021*******f n f n n n n n n +-=+-=->+++++，所以()f n 得到递增，所以()()112f n f ≥=，故正确；故选：CD 【点睛】本题主要考查等差数列的定义，等比数列的前n 项和公式以及数列的单调性和放缩法的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于较难题.三、填空题10．若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于________． 【答案】9 【解析】 【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p ，ab=q ，再由a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a ，b 的方程组，求得a ，b 后得答案． 【详解】由题意可得：a+b=p ，ab=q ， ∵p＞0，q ＞0， 可得a ＞0，b ＞0，又a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列， 也可适当排序后成等比数列， 可得①或②． 解①得：；解②得：．∴p=a+b=5，q=1×4=4， 则p+q=9． 故答案为9．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题． 【思路点睛】解本题首先要能根据韦达定理判断出a ，b 均为正值，当他们与-2成等差数列时，共有6种可能，当-2为等差中项时，因为，所以不可取，则-2只能作为首项或者末项，这两种数列的公差互为相反数；又a,b 与-2可排序成等比数列，由等比中项公式可知-2必为等比中项，两数列搞清楚以后，便可列方程组求解p ，q ．11．等比数列{}n a 的公比01q <<，21724a a =，则使12312111n na a a a a a a ++++>+++成立的正整数n 的最大值为______ 【答案】18 【解析】 【分析】求出数列前n 项的和，根据不等式之间的关系求解可得答案.【详解】解：由等比数列{}n a 的公比01q <<，21724a a =，可得()2162311a q a q =，可得：911a q =，则10a >，且91a q -=，由{}n a 为等比数列，可得1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以11a 为首项，公比为1q 的等比数列， 则原不等式等价为：1111[1()](1)111n n a q a q q q-->--， 因为01q <<，把91a q -=，2181a q -=代入整理得：181(1)(1)n n n q q q q --->-，可得：181n q q -->，181n -<-，即：19n <，由n ∈+N ,故答案为：18.【点睛】本题主要考查数列与不等式的综合，计算量大，属于中档题型.12．平面直角坐标系中，已知点()()013,1,5,2P P .且()*1112n n n n P P P P n N +-=-∈，当n →+∞时，点n P 无限趋近于点M ，则点M 的坐标是____________. 【答案】135,33⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】先计算01P P 的坐标，再求出1n n P P -的坐标，利用向量的和可求点n P 的坐标，利用基本极限可求M 的坐标.【详解】因为()012,1P P =，故1101111112,222n n n n n P P P P ----=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为011210n n n P P PP P P P P -+++=，故()1001121111112,2,222212,n n n n n P P P P PP P P ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝=++++⎭=01121122441221,,113323321122n n n n n P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭==---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪++ ⎪⎝⎭， 故n P 的坐标为1341521,332332n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为1lim 02n n →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故135,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为：135,33⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】 本题考查向量的和、等比数列的通项、等比数列的前n 项和以及数列的极限，注意根据基本极限来求M 的坐标，本题综合度高，为难题.四、解答题13．设数列{}n a 、{}n b 都有无穷项，{}n a 的前n 项和为()21352n S n n =+，{}n b 是等比数列，34b =且632b =.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n n na cb =，求数列{}nc 的前n 项和为n T . 【答案】（1）31n a n =+；()1*,2n n b n N -=∈（2）137142n n -+- 【解析】【分析】（1）由11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求出n a ，根据定义求出数列{}n b 的公比，从而可求出n b ； （2）由题意得1312n n n c -+=，再用错位相减法求和即可． 【详解】解：（1）当1n =时，1a =1S =4；当2n ≥时，()22111353(1)5(1)22n n n a S S n n n n -⎡⎤=-=+--+-⎣⎦1[3(21)5]312n n =-+=+，且14a =亦满足此关系，∴{}n a 的通项为()*31,n a n n N=+∈， 设{}n b 的公比为q ，则3638b q b ==，则2q ， ∴()31*32n n n b b q n N --=⋅=∈；（2）由题意，1312n n n n a n c b -+==， 而214710323112422n n n n n T ---+=+++⋯++， 27101331281242n n n T -+=++++， 两式相减，有21111318312422n n n n T --+⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭， 2111313783214222n n n n n ---++⎛⎫=+--=- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式的求法，考查错位相减法求和，属于中档题． 14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足233n n S a =-.（1）证明数列{}n a 是等比数列；（2）若数列{}n b 满足3log n n b a =，记数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭前n 项和为n T ，证明112n T ≤<. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据233n n S a =-，利用数列通项与前n 项和关系，得到13n n a a -=，再利用等比数列的定义求解.（2）由（1）得到3n n a =，则()1111111n n b b n n n n +==-⋅++，然后利用裂项相消法求得n T 1111n n n =-=++，再根据{}n T 为递增数列求解.【详解】（1）由题意得，当()*2n n N ≥∈时，1222n n n a S S -=-，()11333333n n n n a a a a --=---=-∴13n n a a -=，即13n n a a -=， 当1n =时，1112233a S a ==-，∴130a =≠故{}n a 是以3为首项，3为公比的等比数列（2）由（1）可知3n n a =，∴33l 3log og n n n b a n ===， ∴()1111111n n b b n n n n +==-⋅++ ∴()()1111112233411n T n n n n =+++⋅⋅⋅++⨯⨯⨯-+11111111112233411n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111n n n =-=++ 因为()*2n n N ≥∈时，()111101n n n n T T b b n n -+-==>⋅+， 所以{}n T 为递增数列，故112n T T ≥=因为*n N ∈，则101n >+，故1111n T n =-<+ 所以112n T ≤< 【点睛】本题主要考查数列通项与前n 项和的关系，等比数列的定义，裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15．已知数列{}n a 满足12a =,210a =,212n n n a a a ++=+,n *∈N .(1)证明:数列{}1n n a a ++是等比数列;(2)求数列{}n a 的通项公式;(3)证明:1211134n a a a +++<. 【答案】(1)证明见解析;(2)()1221n n n a +=+⋅-;(3)证明见解析.【解析】【分析】（1）由212n n n a a a ++=+，得2112n n n na a a a ++++=+，即可得到本题答案；（2）由1132n n n a a +++=⋅，得11122222n n n n a a ++⎛⎫-=-⋅- ⎪⎝⎭，即可得到本题答案；（3）当1n =时，满足题意；若n 是偶数，由12123111111111n n n a a a a a a a a +⎛⎫⎛⎫+++<+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得1211134n a a a ++⋯+<；当n 是奇数,且3n ≥时，由1211231111111111n n n n a a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫++++=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得1211134n a a a ++⋯+<，综上，即可得到本题答案. 【详解】(1)因为212n n n a a a ++=+，所以()2112n n n n a a a a ++++=+，因为12120a a +=≠，所以2112n n n n a a a a ++++=+， 所以数列{}1n n a a ++是等比数列； (2)因为1132n n n a a +++=⋅，所以1113222n n n na a +++⋅=， 所以11122222n n n n a a ++⎛⎫-=-⋅- ⎪⎝⎭， 又因为12a =，所以1212a -=-，所以22n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以1-为首项， 12-为公比的等比数列，所以11222n n n a -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，所以()1221n n n a +=+⋅-；(3)①当1n =时，11324n a =<； ②若n 是偶数， 则1213211113122222242142n n n n n nn n a a +++⋅+=+=<⋅+-⋅+-， 所以当n 是偶数时，121211111111n n n a a a a a a a ++++<++++ 123111111n n a a a a a +⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 241311124222n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+⋅+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 11334124414<+⋅=-； ③当n 是奇数，且3n ≥时， 121211111111n n na a a a a a a -+++=++++ 123111111n n a a a a a -⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2411311124222n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+⋅+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11334124414<+⋅=-； 综上所述，当n *∈N 时，1211134n a a a +++<. 【点睛】本题主要考查利用构造法证明等比数列并求通项公式，以及数列与不等式的综合问题.16．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3a ，232a ，12a 成等差数列，且1152a ≠，430S =. （1）求等比数列{}n a 的通项公式（2）若2log n n b a =，111(1)n n n n c b b +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，求n c 前2020项和2020T ； （3）若112(1)n n n n d d a -+=-，13521m m P d d d d -=++++，2462m m Q d d d d =++++，m G 是m P 与m Q 的等比中项且0m G >，对任意*,s t ∈N ，s t G G ρ-≤ ，求ρ取值范围.【答案】（1）2n n a =；（2）20202021-；（3）1[2，)+∞．. 【解析】【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠．可知若1q =时，原题意不成立；当1q ≠时，由已知列关于首项与公比的方程组，求得首项与公比，则等比数列的通项公式可求；（2）2log n n b a n ==，11111(1)()(1)()1n n n n n c b b n n +=-+=-++，由裂项相消法求和； （3）由已知可得，212n n d d +=-，利用等比数列的求和公式分别求得m P 与m Q ，得到m G ，再由数列的函数特性分类求出m G 的范围，则答案可求．【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠．若1q =，由430S =，求得1152a =，与1152a ≠矛盾； 若1q ≠，由已知有21114132(1)301a q a q a a q q ⎧=+⎪⎨-=⎪-⎩，解得122a q =⎧⎨=⎩． ∴2n n a =；（2）2log n n b a n ==，11111(1)()(1)()1n n n n n c b b n n +=-+=-++， 则20201232020T c c c c =+++⋯+11111112020(1)()()()22334202020212021=-+++-+-⋯++=-； （3）由已知可得，11121()21()2n n n nn n d d d d -+++⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则212n n d d +=-．111[1()]212[1()]1321()2m m m d P d --==----，221[1()]212[1()]1321()2m m m d Q d --==----．21[1()]32m m G ==--． 当m 为偶数时，21(1)32m m G =-单调递增，1()2m min G =，1[2m G ∈，2)3； 当m 为奇数时，21(1)32m m G =+单调递减，()1m max G =，2(3m G ∈，1]． 故11()()122m max m min G G ρ-=-=． ρ∴取值范围为1[2，)+∞． 【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等比数列的通项公式与前n 项和的求法，训练了裂项相消法求数列的前n 项和以及数列的单调性与最值，是难题．。