内蒙古元宝山区平煤高级中学高中数学人教版必修二同步课件4.2.2圆与圆的位置关系(共36张)

x12 + y12 + D1x1 + E1y1 + F1 = 0, 2 2 x + y 1 1 + D2x1 + E2y1 + F2 = 0. ① ②
① - ②，得
(D1 - D2 )x1 +(E1 - E2 )y1 + F1 - F2 = 0 ③
④
同理可得 (D1 - D2 )x2 +(E1 - E2 )y2 + F1 - F2 = 0 由③④可知 A(x1,y1 ),B(x2 ,y2 )一定在直线
【解析】选B.将两圆方程化为标准方程为 (x-3)2+(y+8)2=121,(x+2)2+(y-4)2=64. 所以O1(3,-8),r1=11;O2(-2,4),r2=8. 因为|O1O2|= 2 3 2 4 8 2 13,
所以3＜|O1O2|＜19,
所以两圆相交，从而公切线有两条.
.
3．若圆：x2+y2－2ax+a2=2和x2+y2－2by +b2=1外
2+b2>3+2 2 a 离，则a、b满足的条件是__________________.
4. 已知以C(-4,3)为圆心的圆与圆 x y 1
2 2
相切，求圆C的方程.
2 2 ( x 4) ( y 3) 16. 答案: 外切
比较d和r1，r2的和与差 的大小，下结论
不要贬低黄昏，黄昏同清晨一样是成 就事业的时间。
32
练习
4、求通过直线l:2x+y+4=0与圆C:x2+y2+2x4y+1=0的交点，并且有最小面积的圆C`的方 程.

[答案] C [解析] 由|r2－r1|≤d≤r2＋r1 得：|6－ m|≤5≤6＋
m，∴1≤m≤121，故选 C.
用数形结合法，画图y－3)2＝25，圆C2与圆C1关于 点(2,1)对称，则圆C2的方程是( )
A．(x－3)2＋(y－5)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋1)2＝25 C．(x－1)2＋(y－4)2＝25 D．(x－3)2＋(y＋2)2＝25 [答案] B [解析] 设⊙C2上任一点P(x，y)，它关于(2,1)的对称 点(4－x,2－y)在⊙C1上， ∴(x－5)2＋(y＋1)2＝25.
(m＋1)2＋(m＋2)2＝3＋2， ∴m2＋3m－10＝0，解得 m＝－5 或 2.
(2)如果 C1 与 C2 内含，则有 (m＋1)2＋(m＋2)2<3－2，
(m＋1)2＋(m＋2)2<1，∴m2＋3m＋2<0， ∴－2<m<－1， ∴当m＝－5或m＝2时，C1与C2外切； 当－2<m<－1时，C1与C2内含.
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4．2.2 圆与圆的位置关系
1．已知两圆C1和C2的半径分别为r1、r2，圆心距为d 两圆相离⇔ d>r1＋r2 两圆相外切⇔ d＝r1＋r2 两圆相交⇔ |r2－r1|<d<r2＋r1 两圆相内切⇔ d＝|r2－r1| 两圆内含⇔ 0≤d<|r2－r1|
2．已知两圆x2＋y2＝1与x2＋y2＋2x－y＝0交于A、B两
4．已知圆 x2＋y2＝1 和(x＋4)2＋(y－a)2＝25 相切，则 a ＝ 0 或±2 5 ，
∵C1(0,0)，r1＝1；C2(－4，a)，r2＝5，∴若|C1C2|＝r1＋ r2＝6，则 a＝±2 5；若|C1C2|＝r2－r1＝4，则 a＝0.

【内蒙古元宝山区平煤高级中学高中 数学人 教版必 修二同 步课件 ：4.圆 的标准 方程
例1:已知圆心A(2, -3) ，半径等于5的圆 的方程，试判断点M(5, -7)、N(1，0)、 Q(7, 1)是在圆上，在圆内，在圆外？
(x-2)2+(y+3)2=25
【内蒙古元宝山区平煤高级中学高中 数学人 教版必 修二同 步课件 ：4.圆 的标准 方程
【内蒙古元宝山区平煤高级中学高中 数学人 教版必 修二同 步课件 ：4.圆 的标准 方程
例2: 已知圆过点 A(2, -3)和B (-2, -5),若圆心在直线L:
x-2y –3 =0上，试求圆的标准方程。
y
解法2：由中点坐标公式得：
线段ＡＢ中点坐标（０，－４），
0
x
·Q ·A
由斜率公式得：
kAB
53 1 22 2
k 2（中垂线斜率）
L ·B (2,-3) AB的中垂线方程：2x+y+4=0……(1)
(-2,-5)
又圆心在直线x-2y-3=0 …… (2)上
由(1)(2)求得交点 Q(-1, -2) 为圆心坐标，
确定圆心和半径
【内蒙古元宝山区平煤高级中学高中 数学人 教版必 修二同 步课件 ：4.圆 的标准 方程
从几何角度判断点圆之间的位置关系：
A
A
A
O
O
O
【内蒙古元宝山区平煤高级中学高中 数学人 教版必 修二同 步课件 ：4.圆 的标准 方程
OA<r OA=r OA>r
点M在圆内 点M在圆上 点M在圆外
【内蒙古元宝山区平煤高级中学高中 数学人 教版必 修二同 步课件 ：4.圆 的标准 方程

1.课本第130页练习题. 2.(选做题)已知以C(-4，3)为圆心的圆与圆 x y 1
2 2
相切，求圆C的方程.
课堂探究
2 2 C : x y D1x E1 y F1 0 已知圆 1 2 2 与圆C2 : x y D2 x E2 y F2 0相交于A，B两点，
设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) 那么
2 2 x y 1 1 D1 x E1 y F 1 0, 2 2 x y 2 2 D2 x E2 y F2 0.
外切
3.相交（两个公共点）
课堂探究 设两圆圆心距离为d，半径分别为r1，r2
圆 与 圆 的 位 置 关 系
圆和圆相离
交点个数
d r1 r2
圆和圆外切
d r1 r2
| r1 r2 | d r1 r2
圆和圆相交 圆和圆内切
d | r1 r2 |
d＜ | r1 r2 |
课堂探究
解法二： 将两个圆方程联立,得方程组
x 2 y 2 2 x 8 y 8 0, 2 2 x y 4 x 4 y 2 0. ① ②
③
① ②，得 x 2 y 1 0 1 x 由③得y 2
2 x 把上式代入①，并整理得 2x 3 0
① ②
③
④
① - ②，得 ( D1 D2 ) x1 ( E1 E2 ) y1 F1 F2 0
同理可得 (D1 D2 ) x2 ( E1 E2 ) y2 F1 F2 0
课堂探究
由③④可知 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) 一定在直线

xx1122
+ +
y12 y12
+ +
D1x1 D2x1
+ +
E1y1 E2y1
+ +
F1 F2
= =
0, 0.
① ②
① - ②，得
(D1 - D2 )x1 +(E1 - E2 )y1 + F1 - F2 = 0 ③
同理可得 (D1 - D2 )x2 +(E1 - E2 )y2 + F1 - F2 = 0 ④ 由③④可知 A(x1,y1),B(x2,y2 )一定在直线
l :(D1 - D2 )x +(E1 - E2 )y + F1 - F2 = 0上．
显然通过两点的直线只有一条，即直线方程唯一，
故公共弦的方程为
消去二次项
(D1 - D2 )x +(E1 - E2 )y + F1 - F2 = 0．
所以前面探究问题可通过 （D1－D2)x+(E1－E2)y+F1－F2=0 得出, 即公共弦的方程为：2x+1=0
内切 (x 4)2 ( y 3)2 36.
几何方法 两圆心坐标及半径 r1,r2（配方法）
圆心距d （两点间距离公式）
比较d和r1，r2的和与差 的大小，下结论
代数方法
(
(x a1) x a2 )2
2 ( y b1)2 ( y b2 )2
r12 r22
消去y
px2 qx r 0
例2:已知圆C1：x2+y2－10x－10y=0和圆C2： x2+y2+6x+2y－40=0相交于A、B 两点，求公共弦 AB的长. 解法一：由两圆的方程相减，消去二次项得到

圆与圆之间有几种位置关系？
根据圆O1:(x-a)2+(y-b)2=r12（r1>0），圆02:
(x-c)2+(y-d)2=r22(r22>0)，如何判断圆与圆的位 置关系？
思路一：利用连心线长O1O2与r1+r2，|r1-r2|进行
比较.
O1 O2
连心线长O1O2＞r1+r2 < > 圆O1与圆O2相离
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
解：联立圆C1与圆C2的方程，得到方程组：
x2+y2+2x+8y-8=0① x2+y2-4x-4y-2=0 ②
①-②得： x+2y-1=0
两两个个圆圆的的相方交程弦相所在的直线 减得方到程的. 方程有什么
特点？这个方程代表 哪条直线？
C2
A.
O
.
B
C1
已知圆C1：x2+y2+2x+8y-8=0，C2： x2+y2-4x- 4y-2=0，试判断圆C1与圆C2的关系.
M(x,y)
O1
O B O2
A
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。

计算r1+r2 |r1-r2|
相交 R-r<d<R+r
比较d和r1，r2的大小 ，下结论
结合图形记忆
练一练
已知圆C1
（x1） 2（y3） 2 9 24
圆C2（x2） 2（y23） 2147
判断圆C1 圆C2的关系
思路分析：
① 计算两圆心距离 d
② 计算 R+r 、 |R-r| ③ 比较、判断
想一想？
2009.7.22 上午，五 百年一遇的罕见日全 食在天空上演。此次 日全食从日食初亏到 复圆长达2个多小时, 日全食的持续时间最 长可达6分钟左右。 这是1814年-2309 年间中国境内可观测 到的持续时间最长的 一次日全食活动。这 也是世界历史上覆盖 人口最多的一次日全
食。
Hale Waihona Puke |P 1P 2|(x2x1)2(y2y1)2
消元得一元 二次方程
所以方程④有两个不相等的实根用x1，Δ判x2 断两 把x1，x2代入方程③得到y1，y2 圆的位置关 所以圆C1与圆C2有两个不同的交点 系
A(x1,y1),B(x2,y2)
解法二:
化标准方
圆C1 (x1)2(y4)225
程
圆C2(x2)2(y2)210
计算圆心距
离
两圆心距离d= (12)2(42)235
两圆半径和r1+r2= 5 10
计算半径和差
两圆半径差|r1-r2|= 5 10
|r1r2|35r1r2 所以两圆相交
比较、判 断
几何性质法
化标准方程 圆心距d
计算r1+r2 |r1-r2|
比较d和r1，r2的大小 ，下结论
代数解析法

|O1O2|=02、判断圆和Fra bibliotek的位置关系的方法
点、直线、圆和圆的位置关系
几何方法
代数方法
3、圆系方程 ：
1. x2+y2+D1x+E1y+F1+λ (x2+y2+D2x+E2y+F2)=0 (λ ≠-1)
当λ =-1时，表示两圆的公共弦所在的直线方程. 2. x2+y2+Dx+Ey+F+λ (Ax+By+C)=0
Rr
O1
O2
外切
|O1O2|=|R+r|
Rr O1 O2
相交
|R-r|<|O1O2|<|R+r|
R
O1
r
O2
内切
|O1O2|=|R-r|
R
O1
r
O2
内含
0≤|O1O2|<|R-r|
R r
O1O2
同心圆 (一种特殊的内含)
|O1O2|=0
• 判断C1和C2的位置关系
(1)C1 : (x 2)2 ( y 2)2 49 C2 : (x 4)2 ( y 2)2 9 相交
4.2.2 圆与圆的位置关系
复习引入
1.圆的方程? 2.点与圆的位置关系有哪几种？如何判 定这些位置关系？ 3.直线与圆的位置关系有哪几种？如何 判定这些位置关系？
知识探究（一）：圆与圆的位置关系
思考1:在平面几何中，两个大小不等的圆的位
置关系有哪些？这些位置关系是如何判定的？
Rr
O1
O2
外离
|O1O2|>|R+r|
(x2+y2+D1x+E1y+F1)+λ (x2+y2+D2x+E2y+F2)=0

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7
名师讲解
1.判断圆与圆的位置关系的方法与步骤
(1)判断两圆C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r
2 1
，C2：(x－a2)2＋(y
－b2)2＝r22位置关系的常用方法：
两圆C1、C2外离⇔|C1C2|>r1＋r2；
两圆C1、C2外切⇔|C1C2|＝r1＋r2；
两圆C1、C2相交⇔|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2；
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8
两圆C1、C2内切⇔|C1C2|＝|r1－r2|； 圆C1内含于圆C2⇔0≤|C1C2|<|r2－r1|，其中|C1C2|＝0时，两 圆同心． (2)判断两圆的位置关系时的一般步骤： 第一步：将两圆的方程化为标准方程； 第二步：依据圆的标准方程计算出两圆的半径r1，r2及圆 心距d(即|C1C2|)； 第三步：根据d与r1，r2之间的关系，判断两圆的位置关 系．
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2．判断两圆的位置关系为什么不用代数法 跟判断直线与圆的位置关系一样，判断两圆的位置关系也 可以用代数法求方程组解的组数，但由于解两个二元二次方程 组通常计算量较大，较为麻烦，而且当无解或是一解时往往还 得重新用几何法来讨论，不如直接运用几何法简便.
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课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
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典例剖析 一 圆与圆的位置关系
【例1】 a为何值时，两圆x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和 x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0.
(1)外切； (2)内切． 【分析】 把圆的方程化成标准方程，求出两圆半径及圆 心距，再作比较．
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12
【解】 将两圆方程化成标准方程 (x－a)2＋(y＋2)2＝9，(x＋1)2＋(y－a)2＝4. 设两圆的圆心距为d，则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a ＋5. (1)当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，此时a＝－ 5，或a＝2. (2)当d＝1即2a2＋6a＋5＝1时，两圆内切，解得a＝－1， 或a＝－2.

解析答案
12345ห้องสมุดไป่ตู้
4.圆x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x－6y＋40＝0的公共弦长为( C )
A. 5
B. 6
C.2 5
D.2 6
解析 x2＋y2＝50与x2＋y2－12x－6y＋40＝0作差，得两圆公共弦所在的
直线方程为2x＋y－15＝0.
圆
x2＋y2＝50
的圆心(0，0)到
2x＋y－15＝0
位置关系 外离
外切
相交
内切
内含
图示
d与r1、r2 _d_>_r_1_＋__r2__ _d_＝__r_1＋__r_2_ _|r_1_－__r2_|<__d_<_r_1_＋__r2_ _d_＝__|r_1_－__r2_| _d_<_|_r1_－__r_2_| 的关系
答案
(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断. 圆圆CC21方方程程―消―元→一元二次方程ΔΔΔ>＝ <000⇒⇒⇒相外内交离切或或内外含切 思考 当两个圆仅有一个公共点时，这两个圆一定外切吗？ 答 不一定，也有可能是内切.
解析 由xx22＋＋yy22＋＝21x，＋2y＋1＝0，
解得xy＝ ＝－ 0 1， 或xy＝ ＝－ 0，1.
解析答案
12345
3.若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
的圆心位于( B )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析 因为直线通过第一、二、四象限， 所以a＜0，b＞0，故圆心位于第二象限.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 已知圆C1的方程为x2＋y2＋2x＋4y－20＝0，圆C2的方程为x2 ＋y2－4x＋4y－2＝0，试判断圆C1与圆C2的位置关系.