一次不定方程及方程的整数解问题-1

求不定方程整数解有三对夫妻一同上商店买东西.男的分别姓孙、姓陈、姓金，女的分别姓李、•姓赵、姓尹。

他们每人只买一种商品，并且每人所买商品的件数正好等于那种商品的单价(元数).现在知道每一个丈夫都比他的妻子多花63元,并且孙先生所买的商品比赵女士多23件,金先生所买的商品比李女士多11件,问孙先生、陈先生、金先生的爱人各是谁？例1．若b a ,都是正整数，且2001500143=+b a ，求b a +的值．(2001年北京市初中数学竞赛)例２ 设m 为正整数，且方程组⎩⎨⎧-==+17001113mx y y x ()()21 有整数解，求m 的值。

（“希望杯”数学竞赛试题）例３ 已知自然数y x ,满足789=+yx ，求y x +的值．（五羊杯数学竞赛试题） 【例1】若关于x 的方程054)15117()9)(6(2=+----x k x k k 的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有 个．思路点拨 用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确．注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论．【例2】 已知a 、b 为质数且是方程0132=+-c x x 的根，那么ba ab +的值是( ) A ．22127 B ．22125 C ．22123 D ．22121 思路点拨 由韦达定理a 、b 的关系式，结合整数性质求出a 、b 、c 的值．【例4】 当m 为整数时，关于x 的方程01)12()12(2=++--x m x m 是否有有理根?如果有，求出m 的值；如果没有，请说明理由．思路点拨 整系数方程有有理根的条件是△为完全平方数．设△=22224)12(544)12(4)12(n m m m m m =+-=+-=--+(n 为整数)解不定方程，讨论m 的存在性． 注：一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△=ac b 42-为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件．【例5】 若关于x 的方程0)13()3(22=-+--a x a ax 至少有一个整数根，求非负整数a 的值． 思路点拨 因根的表示式复杂，从韦达定理得出的a 的两个关系式中消去a 也较困难，又因a 的次数低于x 的次数，故可将原方程变形为关于a 的一次方程．1．已知关于x 的方程012)1(2=--+-a x x a 的根都是整数，那么符合条件的整数a 有 ．2．已知方程019992=+-m x x 有两个质数解，则m ＝ ．3．给出四个命题：①整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程02=++c bx ax (a ≠0)的根只能是无理数；④若a 、b 、c 均为奇数，则方程02=++c bx ax 没有有理数根，其中真命题是 ．4．已知关于x 的一元二次方程0)12(22=+-+a x a x (a 为整数)的两个实数根是1x 、2x ，则21x x -= ． 5．设rn 为整数，且4<m<40，方程08144)32(222=+-+--m m x m x 有两个整数根，求m 的值及方程的根1.已知实数x,y,z 适合x+y=6,z 2=xy -9,则z 等于( )A.±1B.0C.1D.-12.方程组44,23.ab bc ac bc +=⎧⎨+=⎩的正整数解(a,b,c)的组数是( ) A.4 B.3 C.2 D.13.方程xy=x+y 的整数解有_____组.4.设x,y 都是正整数,且使,则y=+的最大值为________.5.求满足1116x y -=的所有正整数x,y.1.( )A.不存在B.仅有1组C.有2组D.至少有4组2.设a 、b 、c 为有理数,且等式则2a+999b+1 001c 的值是( )A.1 999B.2 000C.2 001D.2 0033.满足方程11x 2+2xy+9y 2+8x -12y+6=0的实数对(x,y)的个数等于_____.4.实数x,y 满足x ≥y ≥1和2x 2-xy -5x+y+4=0,则x+y=_________.5.a 、b 、c 都是正整数,且满足ab+bc=3 984,ac+bc=1 993,则abc•的最大值是______.6.象棋比赛共有奇数个选手参加,每位选手都同其他选手比赛一盘,记分办法是胜一盘得1分,平一盘各得0.5分,输一盘得0分,已知其中两名选手共得8分,其他人的平均分为整数,求参加此次比赛共有多少人?、。

精心整理一次不定方程的解我们现在就这个问题，先给出一个定理定理如是互质的正整数是整数，且方,①cby?ax?有一组整数解则此方程的一切整数解可以表示为yx,00其中…3,??1,?2,t?0,证因为是方程①的整数解，当然满足y,x00②c?ax?by00因此．cby?at)?ax?ba(x?bt)?(y?0000这表明，也是方程①的解．at?y??x?xbty00设是方程①的任一整数解，则有??y,x③??caxby???②得④③??)y(?)x(ax??by?00精心整理．精心整理t是整数．将，其中代入④，即得由于，所以，即???atyy?y?at??y ya?y1)?,(ab000．因此可以表示成，的形式，所以，???y?y?atx?x?x?x?btyy?x??x?btatbty,x00000表示方程①的一切整数解，命题得证．有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解. 例1求的整数解．715y?11x?将方程变形得1解是这个方程的的倍数．由观察是整数，所应是因211组整数解，所以方程的解先考，通过观察易得解11114所以(7711，，从而可取21?x??28,y00可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是 t一样的．将解中的参数做适当代换，就可化为同一形式．求方程的非负整数解．2例9022y??6x得因为，所以方程两边同除以解2?(6,22)2①45?3x?11y由观察知，是方程1??yx?4,11②1?11y?x3的一组整数解，从而方程①的一组整数解为由定理，可得方程①的一切整数解为精心整理．精心整理因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有180?11t?0?③??45?3t?0?由于是整数，由③得，所以只有两种可能．16?t?15,tt16t?15?当；当．所以原方程的非负整数解是3??4,yy?0?t16,xt?15,x?15,x?415x???，??y?3y?0??求方的所有正整数解211?分析这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解解用方211?的最小系除方程①的各项，并移项211y②?30?2y?x?77y?53．化简得到是整数，故因为也是整数，于是?u yx,3?7u5y?7③3??7u5y3?2u（整数），由此得令?v5④35v?2u?u??1u??1??是方程④的一组解．将代入③得，再将由观察知代入②得2?2y?y??v?1v?1??x?25x?25?19t??t为整数，所以它的一切解为．于是方程①有一组解025x???y?2y?2?7t??0由于要求方程的正整数解，所以解不等式，得只能取．因此得原方程的正整数解为0,1t精心整理．精心整理x?25x?6??，??y?2y?9??当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其解法结合例题说明．求方程的整数解．4例25??107y37x解为表示，我们把上述辗转相除过程回代，1031由此可是方的一组整数解．于2610322652?x22600是方的一组整数解23107所以原方程的一切整数解某国硬币分分两种，问用这两种硬币支分货款，有多少种不例14的方法解设需枚分，枚分恰好支付分，于是x y57142①1425?y?7x所以由于，所以，并且由上式知．因为，所以，从而1xx?1)5?52(12)?(5,20x?x7?142，所以①的非负整数解为1,6,11,16?x x?1x?6x?11x?16????，，，????y?27y?20y?13y?6????所以，共有4种不同的支付方式．说明当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程．多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程．精心整理．精心整理求方程的整数解．6例1000?y?5z9x?24解设，即，于是．于是原方程可化为t8y?3t?3x?9x?24y1000??5z3t3x?8y?t?①?3t?5z?1000?用前面的方法可以求得①的解为x?3t?8?（是整数）②u?y??t?3u②的解为200是整数）100，得消去1600都是整数200100年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾1500 大约提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题，通俗地讲就是下例．只个钱买小鸡每个钱三只．用母鸡每只三个钱，今有公鸡每只五个钱，7 例100100鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？只，由题意列方程组解设公鸡、母鸡、小鸡各买z,x,y①②化简得③300?z?15x?9y②得③?200y?14x?8得，解即1?100x7?4y?4x7?y的一个特解为于是1004x7?y?精心整理．精心整理由定理知的所有整数解为100?x?4y7由题意知，，所以100?y,z0?x,4?25?t?28??7解得?24?28??t14?77?4∴28t?25?7只公鸡只母鸡8811精心整理．。

探究二元一次不定方程（Inquires into the dual indefinite equation）冯晓梁（XiaoLiang Feng）（江西科技师范学院数计学院数一班 330031）【摘要】:二元一次不定方程是最简单的不定方程, 一些复杂的不定方程常常化为二元一次不定方程问题加以解决。

我们讨论二元一次方程的整数解。

The dual indefinite equation is the simple the indefinite equation, some complex indefinite equations change into the dual indefinite equation question to solve frequently. We discuss the dual linear equation the integer solution.【关键字】：二元一次不定方程初等数论整数解（Dual indefinite equation Primary theory of numbers Integer solution）二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知项的次数是1的方程叫做二元一次方程。

一个方程是二元一次方程必须同时满足下列条件；①等号两边的代数式是整式；②具有两个未知数；③未知项的次数是1。

如：2x-3y=7是二元一次方程，而方程4xy-3=0中含有两个未知数，且两个未知数的次数都是1，但是未知项4xy的次数是2，所以，它是二元二次方程，而不是二元一次方程。

定理1.形如(不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。

[1]二元一次方程的解和解二元一次方程：能使一个二元一次方程两边的值相等的未知数的一组值叫做这个方程的一个解，但若对未知数的取值附加某些限制，方程的解可能只有有限个。

通常求一个二元一次方程的解的方法是用一个未知数的代数式表示另一个未知数，如x-2y=3变形为x=3+2y，然后给出一个y的值就能求出x的一个对应值，这样得到的x、y的每对对应值，都是x-2y=3的一个解。

初中数学竞赛中不定方程的整数解问题1.利用整数分离在解决不定方程问题时，首先逆用分式的加减法，将分式拆分成一个整数与一个分子为常数的分式的和或差的形式，然后利用整数整除的性质通过对简单分式的分析来解决问题。

这种方法是处理含有分式不定方程的整数解问题的一种有效途径。

例1. 方程301x y x +-=+的整数解共有几组？2.因式分解法当不定方程的一边容易化为两个一次因式的乘积，另一边是一个整数时，通常用分解因式法解决不定方程的整数解问题。

例2.方程222522007x xy y ++=的所有不同的整数解共有几组?例3. 设直角三角形的两条直角边长分别为a, b,斜边长为 c. 若a,b,c 均为正整数，且1()3c ab a b =-+，求满足条件的直角三角形的个数？在一个二元不定方程中，若把其中一个未知数当作参数后，该方程变为关于另一个未知数的一元二次方程，于是，可利用△≥0，求出参数的范围，然后求解。

例4． 关于x,y 的方程22229x xy y ++=的整数解（x,y ）有几组？4.放缩法是指根据已知条件将不定方程中某些未知数放大或缩小，从而确定某个未知数的取值范围，进而确定该未知数的整数解，然后将其代入原方程求其他未知数的整数解一种解题方法。

例5 当x y z ≤≤时，求方程11178x y z ++=的正整数解。

5.利用整除和同余例6． 关于x,y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为多少？在一个二元不定方程中，若把其中一个未知数当作参数后，该方程变为关于另一个未知数的一元二次方程，则可利用设参数法，即设△=2k ，然后求出方程的解，再利用数论的相关知识求解，或通过因式分解，直接从△=2k 求解例7.设a 为质数，b 为正整数，且29(2)509(4511)a b a b +=+。

求a,b 的值。

练习题1. 求方程6xy x y ++=的整数解。

2. 求满足方程2242011x y -=的整数对（x,y ）的组数有多少？3. 方程22332x xy y x y ++=-的非负整数解（x,y ）的组数为几组？4. 求方程11156x y z ++=的正整数解。

一次不定方程及方程的整数解问题-1一次不定方程（组）及方程的整数解问题【写在前面】不定方程（组）是数论中的一个重要课题，不仅是数学竞赛，甚至在中考试卷中也常常出现. 对于不定方程（组），我们往往只求整数解，甚至是只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定.有时还可以解决计数、求最值等方面的问题.二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常要转化为二元一次不定方程问题加以解决.【本讲重点】求一次不定方程（组）的整数解【知识梳理】不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是往往有无穷多个解，不能唯一确定. 重要定理：设a 、b 、c 、d 为整数，则不定方程c by ax =+有： 定理1 若,),(d b a =且d 不能整除c ，则不定方程c by ax =+没有整数解；定理2 若),(0y x 是不定方程c by ax =+且的一组整数解（称为特解），则⎩⎨⎧-=+=aty y bt x x 00,（t 为整数）是方程的全部整数解（称为通解）. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）.定理3 若),(0y x 是不定方程1=+by ax ，1),(=b a 的特解，则),(0cy cx 是方程c by ax =+的一个特解. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）.根据定理2 ，)(1,31是整数t ty t x ⎩⎨⎧-=+=是原方程的所有整数解.（2）∵（5，10）=5，但5不能整除13，∴根据定理1，原方程的无整数解.【点评】先判断方程是否有整数解，多于系数不大的题目优先选用观察法寻找特解. 求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的.【实践】求下列不定方程的整数解（1）211147=+y x ； （2）11145=-y x .答案：（1）无整数解；（2）)(51,145是整数t ty t x ⎩⎨⎧-=-= 【例2】求方程213197=+y x 的所有正整数解.【分析】此方程的系数较大，不易用观察法得出特解.根据方程用y 来表示x ,再将含y 的代数式分离出整系数部分，然后对分数系数部分进行讨论，赋予y 不同的整数，寻找一个使分数系数部分成为正整数的y 0，然后再求x 0，写出通解，再解不等式组确定方程的正整数解.【解答】∵（7，19）=1，根据定理2，原方程有整数解.由原方程可得75323075314210719213yy y y y x -+-=-+-=-=， 由此可观察出一组特解为x 0=25，y 0=2.∴方程的通解为)(72,1925是整数t ty t x ⎩⎨⎧-=+=.其中⎩⎨⎧>->+072,01925t t ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->72,1925t t ∴721925<<-t ∴0,1-=t 代入通解可得原方程的正整数解为⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.2,25.9,6y x y x 或【点评】根据定理2解这类方程，若未知数的系数较大不容易观察出一组整数解时，可用一个未知数去表示另一个未知数，再利用整数的知识，这是解二元一次不定方程基本的方法，称为分离整系数法. 这样就容易找出一组整数解来.【实践】求方程2654731=+y 的正整数解. 答案： x=4,y=3.【例3】大客车能容纳54人，小客车能容纳36人，现有378人要乘车，问需要大、小客车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满.【分析】本题是不定方程的应用，根据题意列出方程并求出非负整数解即可.【解答】设需要大客车x 辆，小客车y 辆，根据题意可列方程3783654=+y x ，即2123=+y x .又（3，2）=1，根据定理2，原方程有整数解. 易知⎩⎨⎧==9,1y x 是一个特解，通解为)(99,21是整数t t y t x ⎩⎨⎧-=+= 由题意可知⎩⎨⎧≥-≥+099,021t t 解得.3,2,1,0=t 相应地⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.0,7.3,5.6,3.9,1y x y x y x y x答：需要大客1车辆，小客车9辆；或需要大客车3辆，小客车6辆；或需要大客车5辆，小客车3辆；也可以只要大客车7辆，不要小客车. 【点评】一般来说实际问题通常取正整数解或者非负整数解.【实践】某次考试共需做20道小题，对1道得8分，错一道扣5分，不做不得分.某生共得13分，他没做的题目有几道？ 答案：7【例4】某人的生日月份数乘以31，生日的日期数乘以12，相加后得347，求此人的生日.【分析】本题的隐含条件是：月份的取值[1，12]，日期的取值[1，31].【解答】设此人生日的月份数为x ,日期数y. 根据题意可列方程 31x+12y=347.〈方法一〉〈方法二〉 特解：)(3116125165是整数通解：t t y tx y x ⎩⎨⎧-=+=⎩⎨⎧== )31347(|123134712x xy -∴-=16550125121121)(512)12(mod 711)12(mod 31347===∴=∴≤+≤∴≤≤+=∴≡∴≡∴y x x t t x t t x x x 代入原方程得：把是整数答：此人的生日为5月16日.【点评】求出通解后，要利用隐含条件求出符合题意的解. 其中方法二是利用了同余的知识.【实践】已知有一个三位数，如果它本身增加3，那么新的三位数的各位数字和就减少到原来的31，求一切这样三位数的和. 答案：432【例5】(新加坡数学竞赛题)设正整数m,n 满足698+=+mn n m ，则m 的最大值为 .【分析】把m 用含有n 的代数式表示，用分离整系数法，再结合整除的知识，求出m 的最大值.【解答】∵698+=+mn n m ，∴n mn m 968-=-，n m n 96)8(-=-由题意可得，n ≠8，∴8669866729869896-+=-+-=--=--=n n n n n n n m ， ∵m,n 为正整数， ∴ 当n=9时，m 有最大值为75..16503131161121251311121是符合题意解解得⎩⎨⎧==∴=∴⎩⎨⎧≤-≤≤+≤∴⎩⎨⎧≤≤≤≤y x t t t y x【点评】此题是求最值的问题，利用分离整系数法是一种典型的常用方法.【实践】(北京市数学竞赛题)有8个连续的正整数，其和可以表示成7个连续的正整数的和，但不能3个连续的正整数的和，那么这8个连续的正整数中最大数的最小值是 . 答案：28【例6】我国古代数学家张建丘所著《算经》中的“百钱买百鸡”问题：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁，鸡母，鸡雏各几何？ 【分析】分析：用x,y,z 来表示鸡翁，鸡母，鸡雏的只数，则可列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++1001003135z y x z y x如何解这个不定方程组？消元转化为不定方程.【解答】解：设鸡翁，鸡母，鸡雏的只数分别为x,y,z.⎪⎩⎪⎨⎧=++=++)2(1003135)1(100z y x z y x (2)×3－(1)得：14x +8y =200，即7x +4y =100.〈方法一〉)(71844.184是整数通解：，特解：t t y t x y x ⎩⎨⎧-=+=⎩⎨⎧==.2,1,0718171804400=∴⎪⎩⎪⎨⎧<->⎩⎨⎧>->+∴⎩⎨⎧>>t t t t t y x 解得⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===844128111878184,z y x z y x z y x 原方程有三组解：相应地〈方法二〉〉下面的方法同〈方法一为整数）（通解：的特解是其特解为令.75004300.1004750030053,147t t y tx y x y x y x y x ⎩⎨⎧--=+==+⎩⎨⎧-==∴⎩⎨⎧-===+〈方法三〉下面方法同〈一〉是整数得：代入把是整数，即，，).(71844718)3(44).(44)4(mod 30:)4(mod 7100)7100(|4)3(71004t ty tx ty t x t t x x x x x y ⎩⎨⎧-=+=∴-=+=+=∴≡≡∴-∴-=【点评】充分挖掘题目的隐含条件，进而求整数解. 【实践】如果1只兔可换2只鸡，2只兔可换3只鸭，5只兔可换7只鹅.某人用20只兔换得鸡、鸭、鹅共30只.问：其中的鸡、鸭、鹅各多少只？ 答案：（2，21，7）、（4，12，14）、（6，3，21）【例7】求方程23732=++z y x 的整数解.【分析】对于三元一次不定方程，可以另外引进一个未知数，将其转化为方程组，然后分别解方程组中的各个方程，从而得到原方程的解.【解答】设t y x =+32，则原方程可看作⎩⎨⎧=+=+)2(.237)1(,32z t t y x 对于方程（1）x =-t ,y =t 是一个特解，从而（1）的整数解是)()4(.2)3(,3-是整数u u t y u t x ⎩⎨⎧+=-=又t =2,z =3是方程（2）的一个特解，于是（2）的整数解是)()6(.72)5(,3是整数v v t v z ⎩⎨⎧+=-=将（6）代入（3）、（4）消去t 得到原方程的所有整数解为：)(.3,272,372是整数、v u v z u v y u v x ⎪⎩⎪⎨⎧-=++=---=【点评】一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的，将解中的参数作适当代换，就可以化为同一形式. 【实践】求方程7892439=+-z y x 的整数解. 答案：)(.83213,3,238是整数、v u v u z v y u v x ⎪⎩⎪⎨⎧--=-=+-=【例8】(海峡两岸友谊赛试题)甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学没人有31个核桃，三组共有核桃总数是365个.问：三个小组共有多少名同学？ 【分析】设甲组同学a 人，乙组同学b 人，丙组同学c 人，由题意得365313028=++c b a . 要求c b a ++，可以运用放缩法从确定c b a ++的取值范围入手.【解答】设甲组同学a 人，乙组同学b 人，丙组同学c 人，则365313028=++c b a .∵)(31365313028)(28c b a c b a c b a ++<=++<++，∴2836531365<++<c b a . ∵c b a ++是整数，∴c b a ++=12或13.但当c b a ++=13时，得132=+c b ，无正整数解.答：三个小组共有12名同学.【点评】整体考虑和的问题，巧妙运用放缩法.【实践】Alice wants to buy some radios, pens and bags. If she buys 3 radios,6 pens,2 bags,she will pay ¥302. If she buys 5 radios,11 pens,3 bags,she will pay ¥508. Question: How much will Alice pay for 1 radio,1 pen and 1 bag? 答案：96【例9】一个布袋里有红、黄、蓝三种颜色大小相同的木球.红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3.小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标的数字和等于21.（1） 小明摸出的球中，红球的个数最多不超过几个？（2） 若摸出的球中三种颜色都有，有多少种不同的摸法？【分析】由于知道三种球的个数和，因此可设二元.第（2）问计数问题的实质是就是求正整数解的组数.【解答】（1）设小明摸的红球有x 个，黄球有y 个，蓝球有）（y x --10个，则21)10(32=--++y x y x ，整理，得x y 29-=，因为x 、y 均为正整数，可知x 的最大值为4.即红球最多不超过4个.（2）由（1）知蓝球的个数是1)29(1010+=---=--=x x x y x z ， 又∵.290.01,029,0,0,0,0<<⎪⎩⎪⎨⎧>+>->∴⎪⎩⎪⎨⎧>>>x x x x z y x 解得 ∴.4,3,2,1=x 因此共有4种不同的摸法，如下：（1，7，2），（2，5，3），（3，3，4），（4，1，5）.【点评】此题求的是未知数的范围及可能取值的个数，因此不需要求出方程的通解，而是根据题意对未知数的限制利用不等式分析出未知数的取值范围，以及整数解的个数.【实践】已知有两堆水泥，若从第一堆中取出100袋放进第二堆，则第二堆比第一堆多一倍；相反，若从第二堆中取出一些放进第一堆，则第一堆比第二堆多5倍.问第一堆中可能的最少水泥袋数是多少？并在这种情况下求出第二堆水泥的袋数.答案：170，40.【例10】设非负整数n ，满足方程n z y x =++2的非负整数（x,y,z ）的组数记为na . （1）求3a 的值；（2）求2001a 的值. 【分析】审清题中na 的n 与方程n z y x =++2是同一个非负整数，3a 的含义是方程32=++z y x 的非负整数解的（x,y,z ）的组数.【解答】（1）当n=3时，原方程为3x，由于+zy2=+≥zx得≤y≥.1,0≤,0当z=1时，方程为x+y=1，其解（x,y）=(0,1),(1,0) 有2组；当z=0时，方程为x+y=3，其解（x,y）=(0,3),(1,2)，(2,1),(3,0) 有4组.综上，a=6.3（2）当n=2001时，原方程为2001yx，由于+z+2=≥≥zyx得≤,0≤.,01000当z=1000时，方程为x+y=1，其解有2组；当z=999时，方程为x+y=3，其解有4组；当z=998时，方程为x+y=5，其解（x,y）=(0,5),(1,4)，(2,3),(3,2)，(4,1),(5,0)有6组；…；当z=0时，方程为x+y=2001，其解（x,y）=(0,2001),(1,2000)，…，(2001,0) 有2002组.综上，a=2+4+6+…+2002=1003002.2001【点评】此题综合较强，涉及解不定方程、分类讨论、计数等方面的知识，需要灵活运用所学只是解决问题.【实践】一次不定方程x+y+z=1999的非负整数解有( )个 CA.20001999B.19992000C.2001000D.2001999【总结反思】以上介绍了初中数学竞赛中一次不定方程的基本解法、各种解题技巧以及应用. 解不定方程的基本方法是分离整系数法，要熟练掌握. 在具体应用问题上，能将实际问题转化为不定方程的问题，并根据题意挖掘题目的隐含条件，也就是未知数的取值范围.【题海拾贝】1.（2000年希望杯竞赛题）若a 、b 均为正整数，且2a>b ，2a+b=10，则b 的值为（ ）A. 一切偶数B.2、4、6、8C.2、4、6D.2、42. 若正整数x,y 满足2004a=15y ，则 x+y 的最小值为 .3. 如果三个既约真分数6,432b a ，的分子都加上b ，这时得到的三个分数之和为6. 求这三个既约真分数的和.4. （重庆市竞赛题）一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒、3粒、4粒或6粒地取出，最终盒内都剩余1粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完.问：盒子里装有多少粒棋子？5. （2006年国际城市竞赛题）一辆汽车下坡的速度是72km/h ，在平地上的速度是63km/h ，上坡的速度是56km/h.汽车从A地到B地用了4h，而返程用了4小时40分，求AB两地的距离.答案：1.D2.6733.5 4.121 5.27312。

第一讲 不定方程的整数解一、公式法不定方程解的通解定理：对于整数(),,,,1a b c a b =，设()00,x y 是方程ax by c +=的一组整数解，那么它的一切整数解为：()()00,,x y x bk y ak =+-，其中k 为任意整数.例1 求不定方程231x y +=的一切整数解.例2 求不定方程41022x y +=的一切整数解.二、变量代换法例3 求4521x y +=的一切整数解.例4 求74100x y +=的正整数解.例5 求不定方程12836100x y z ++=的一切整数解.例6、求方程2x y +=的正整数解.例7、一批参观者决定分乘几辆车，要使每车有同样的人数，每辆汽车至多乘32人. 起先每车乘22人，这时有1人坐不上汽车；开走一辆空车，那么所有的参观者刚好平均分乘余下的汽车. 问原有多少辆汽车，这批参观者有多少人？三、不等式法.例8、已知蟋蟀有6只脚，蜘蛛有8只脚，若干只蟋蟀和蜘蛛共有46只脚，问蟋蟀和蜘蛛各有多少只？例9、求26551x y +=的正整数解.例10、某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法例11、求方程n x y z ++=的正整数解，其中n 是正整数，,,x y z 各不相同.例12、证明：不可能有正整数,x y ，使得221111x xy y ++=四、因式分解法例13、证明：方程33311x y +=没有正整数解.例14、求方程26522xy x y +-=的整数解.五、奇偶性分析例15、2006能写成两个整数的四次方的和吗？如能，请举出实例，否则说明理由.例16、求方程1y x z +=的质数解.练习：1.用公式法与变量代换法两种方法求5713x y +=的整数解.2.用不等式控制法求3220x y +=的正整数解.3.求23220x y +=的正整数解.4.求满足不等式2210x xy y ++≤的正整数解(),x y .5.求不定方程2345x y z ++=的一切整数解.6.求不定方程7543x y z -+=的一切整数解.7、 求,,x y z ，使xyz zyx xzyyz ⋅=. 1、求满足11112x y -=且使y 最大的正整数解x . 8、 求()4419870xy x y -++=的正整数解.9、 求满足2243a ab b ++=的正整数,a b .10、 求方程()27x y xy +=+的整数解.11、 求方程()120x x y z +=+的质数解.12、 求方程1111n x y z u+++=的正整数解，其中n 是正整数，且x y z u >>>.。

一次不定方程的解法我们现在就这个问题，先给出一个定理．定理 如果,a b 是互质的正整数，c 是整数，且方程ax by c += ①有一组整数解00,x y 则此方程的一切整数解可以表示为00x x bty y at =-⎧⎨=+⎩其中0,1,2,3,t =±±±…证 因为00,x y 是方程①的整数解，当然满足00ax by c += ②因此0000()()a x bt b y at ax by c -++=+=．这表明0x x bt =-，0y y at =+也是方程①的解． 设,x y ''是方程①的任一整数解，则有ax by c ''+= ③③-②得 00()()a x x b y y ''-=-- ④由于(,)1a b =，所以0a y y '-，即0y y at '=+，其中t 是整数．将0y y at '=+代入④，即得0x x bt '=-．因此,x y ''可以表示成0x x bt =-，0y y at =+的形式，所以0x x bt =-，0y y at =+表示方程①的一切整数解，命题得证．有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解.例1 求11157x y +=的整数解．解法1 将方程变形得71511y x -=因为x 是整数，所以715y -应是11的倍数．由观察得002,1x y ==-是这个方程的一组整数解，所以方程的解为215111x t y t=-⎧⎨=-+⎩ t 为整数解法2 先考察11151x y +=，通过观察易得11(4)1531⨯-+⨯=，所以11(47)15(37)7⨯-⨯+⨯⨯=，可取0028,21x y =-=，从而28152111x ty t=--⎧⎨=+⎩ t 为整数 可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的．将解中的参数t 做适当代换，就可化为同一形式．例2 求方程62290x y +=的非负整数解． 解 因为(6,22)2=，所以方程两边同除以2得31145x y += ①由观察知，114,1x y ==-是方程3111x y += ②的一组整数解，从而方程①的一组整数解为0045418045(1)45x y =⨯=⎧⎨=⨯-=-⎩ 由定理，可得方程①的一切整数解为18011453x ty t=-⎧⎨=-+⎩ 因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有1801104530t t -≥⎧⎨-+≥⎩③ 由于t 是整数，由③得1516t ≤≤，所以只有15,16t t ==两种可能．当15,15,0t x y ===；当16,4,3t x y ===．所以原方程的非负整数解是150x y =⎧⎨=⎩ ，43x y =⎧⎨=⎩ 例3 求方程719213x y +=的所有正整数解．分析 这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解． 解 用方程719213x y += ①的最小系数7除方程①的各项，并移项得213193530277y yx y --==-+② 因为,x y 是整数，故357yu -=也是整数，于是573y u +=．化简得到573y u += ③令325uv -=（整数），由此得 253u v += ④由观察知11u v =-⎧⎨=⎩是方程④的一组解．将11u v =-⎧⎨=⎩代入③得2y =，再将2y =代入②得25x =．于是方程①有一组解00252x y =⎧⎨=⎩，所以它的一切解为251927x t y t =-⎧⎨=+⎩t 为整数由于要求方程的正整数解，所以25190270t t ->⎧⎨+>⎩解不等式，得t 只能取0,1．因此得原方程的正整数解为252x y =⎧⎨=⎩ ，69x y =⎧⎨=⎩ 当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其解法结合例题说明． 例4 求方程3710725x y +=的整数解．解1072373337133433841=⨯+=⨯+=⨯+ 为用37和107表示1，我们把上述辗转相除过程回代，得13384=-⨯37484=--⨯ 3794=-⨯ 379(3733)=-⨯- 933837=⨯-⨯9(107237)837=⨯-⨯-⨯ 91072637=⨯-⨯ 37(26)1079=⨯-+⨯由此可知1126,9x y =-=是方程371071x y +=的一组整数解．于是025(26)650x =⨯-=-，0259225y =⨯=是方程3710725x y +=的一组整数解． 所以原方程的一切整数解为65010722537x t y t=--⎧⎨=+⎩ t 为整数例5 某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法？解 设需x 枚7分，y 枚5分恰好支付142分，于是75142x y += ①所以142722222828555x x x y x x ---==-+=--由于7142x ≤，所以20x ≤，并且由上式知52(1)x -．因为(5,2)1=，所以51x -，从而1,6,11,16x =，所以①的非负整数解为127x y =⎧⎨=⎩ ，620x y =⎧⎨=⎩ ，1113x y =⎧⎨=⎩ ，166x y =⎧⎨=⎩所以，共有4种不同的支付方式．说明 当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程．多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程． 例6 求方程92451000x y z +-=的整数解．解 设9243x y t +=，即38x y t +=，于是351000t z -=．于是原方程可化为38351000x y tt z +=⎧⎨-=⎩ ① 用前面的方法可以求得①的解为383x t y t u =-⎧⎨=-+⎩（u 是整数） ② ②的解为2000510003t vz v=+⎧⎨=+⎩ （v 是整数） ③ 消去t ，得600081520003510003x u v y u v z v =-+⎧⎪=-+-⎨⎪=+⎩（,u v 都是整数） 大约1500年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题，通俗地讲就是下例．例7 今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？解 设公鸡、母鸡、小鸡各买,,x y z 只，由题意列方程组 ①②化简得159300x y z ++= ③ ③-②得148200x y +=即74100x y +=，解741x y +=得12x y =-⎧⎨=⎩于是74100x y +=的一个特解为⎧⎪⎨⎪⎩1531003x y z ++=100x y z ++=00100200x y =-⎧⎨=⎩ 由定理知74100x y +=的所有整数解为10042007x t y t =-+⎧⎨=-⎩t 为整数由题意知，0,,100x y z <<，所以0100410002007100t t <-+<⎧⎨<-<⎩t 为整数解得42528724142877t t ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩∴ 425287t <<由于t 是整数，故t 只能取26,27,28，而且,,x y z 还应满足100x y z ++=．即可能有三种情况：4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡；或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；或12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡．。