高二4-6基础练习

6.2.4 向量的数量积第2课时 向量的向量积一、选择题1．（2019·全国高二课时练习）有四个式子：①1a a ⋅=；②0a a +=；③0MN NM -=；④a b a b ⋅=⋅.其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C 【解析】由向量的加减与乘法运算知①②③正确， 对④，由于cos a b a b a b θ⋅=≤，故不一定正确，则正确的有3个 故选C2．设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】试题分析：若0λ∃<，使λ=m n ，则两向量,m n 反向，夹角是180︒，那么cos1800⋅=︒=-<m n m n m n ；若0m n ⋅<，那么两向量的夹角为(]90,180︒︒，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分而不必要条件，故选A. 3．（2019·全国高一课时练习）已知2,2a b a b ==⋅=，则a b -=（ ）A ．1B C ．2 D 2【答案】C【解析】()22222222a b a b a b a a b b -=-=-=-⋅+=-==.故选C. 4．（2019·全国高一课时练习）已知,a b 均为单位向量，且()()33222a b a b +⋅-=-，则向量,a b 的夹角为( ) A ．6π B ．4π C ．34π D ．56π 【答案】A【解析】设向量,a b 的夹角为θ.因为|a |＝|b |＝1，所以(2a ＋b )·(a －2b )＝2－3a ·2b -＝－3cos θ，即cos θ＝2，θ＝6π. 故选A.5．（多选题）对于平面向量，给出下列四个命题：A.命题p 1：若a ⃗⋅b ⃗⃗>0，则a ⃗与b⃗⃗的夹角为锐角； B.命题p 2：“|a ⃗⋅b ⃗⃗|=|a ⃗|⋅|b ⃗⃗|”是“a ⃗//b⃗⃗”的充要条件； C.命题p 3：当a ⃗,b ⃗⃗为非零向量时，“a ⃗+b ⃗⃗=0⃗⃗”是“|a ⃗+b ⃗⃗|=||a ⃗|−|b⃗⃗||”的必要不充分条件； D.命题p 4：若|a ⃗+b ⃗⃗|=|b ⃗⃗|，则|2b ⃗⃗|≥|a ⃗+2b⃗⃗|。

高二英语选修六基础知识测试一一．单词拼写1. We may talk of beautiful things, but beauty itself is a .2. Even people who take no interest in art cannot have failed to notice examples of modern (雕塑) on display in public places.3. It is t of John to think about helping others in this way.4. He had been ill for a long time and c he was behind in his work.5. The s of the trees grew longer as the afternoon went on.6. The boys (试图，尝试) to leave for camping but were stopped by their parents.7. I made no a to make friends with her.8. Chinese economic and trade 展览会) have promoted the exchangeof the advanced techniques with foreign countries.9. It is generally accepted that the Chinese c is one of the oldest in the world.10. When his father died, he came into p of a large fortune.11. They said the painters were careless and their paintings were (荒唐的).12. This is a (引起争论的) decision so it can’t be carried out at present.13. Sally is not an (上进的) person. If she were, she would be a moresuccessful business woman.14. He majors in (当代的) literature in college.15. The earthquake was light but its side effects were p .16. The n teacher made the children sit bolt up right.17. Mind your manners, guy! I want no (重复) of your bad behaviour.18. Our new computer software is extremely f .19. We should make a (具体的) analysis of each specific question.20. There is (无休止的) work to do when you have children in the house.21. The company’s head office is in the city, but it has b all over the country.22. Your room looks old. Why not (改造) it by painting it?23. He told me with s that his mother was very ill.24. His formal style of speaking was a to the occasion.25. The cloth has a p (图案) of flowers on the dress material.26. John was touched by the w of their welcome.27. He quickly became a to the local food.28. My children are hopelessly (上瘾的) to television.29. He worked so hard that (最终) he made himself ill.30. An a means a young person or a teenager.31. Now that I am p , I eat a good diet because I want my baby to beborn healthy.32. Whenever I pass the KFC, I a feel hungry.33. The man lost in the desert was d for water.34. She was a of her children’s bad behaviour.35. I play golf for (放松),which I think is a good way of relaxing myself.36. We should pay more attention to not only our physical health but also ourm health.37. C means the power of understanding.38. The illness has considerably (使虚弱) him, and now he looks very weak.39. These exercises are designed to (增强) the muscles in your arms.40. She was (尴尬的) when they asked her age.41. He prefers q to quality when food is concerned.42. What is the (平均的) rainfall for August in your country?43. Each (单独的) boy in the class has his own personalities.44. As we all know, the rainbow is a natural p .45. I do not (提倡) building large factories.46. We have had a few (分歧), but we’re still good friends.47. A wide (种类) of colours and patterns are available.48. At first g , the place seemed deserted.49. The English language is very w and more and more people are using it.50. The elephant is the largest animal in e in the world.51. People in big cities have to fight a battle against different kinds of (污染).52. He got into a p when he found his house on fire.53. She made it clear that under no c would she cancel the trip.54. I am still amazed at their beauty as well as their p to cause great damage.55. What other ways do you know of expressing fear or (焦虑)？56. I was t almost as much as the ground under my feet when theearthquake began.57. Tianshan is home to a great d of rare plants and animals.58. The beautiful vase made in Qing Dynasty in the store is very p .59. When I was a child, I used to go b in the river.60. They (保证) delivery for free within one week.61. That is an active (火山).62. We wanted each student to realize their full (潜力).63. You should be able to (评估) your own work.64. Have you ever experienced a (飓风)？65. Don’t be so sure. We don’t know with (绝对的) certainty that theproject will succeed.66. He w a hand in the air to attract her attention.67. A computer is the most important piece of e you will buy.68. He e into loud, desperate sobs.69. The exercises in this chapter can guide you, but it will be up to you to do the(实际的) work.70. We must (约定) a day to meet again.71. The engineer drew a d of the bridge.72. They should be able to find you the best package to s your needs.73. We are giving away 2 000 free (样品).74. He crossed the street and walked a Central Park.75. The climate of Beijing is (温和的) as a whole.二．短语互译1. 大量3. 习惯于……5. （对某人）有吸引力7. 适合于……9. 处境危险11. be casual about13. by coincidence15. as a consequence of17. be desperate for19. due to21. 即使23. 想要（做）……25. 瞥一眼27. 上升；增长29. 尤其；特别31. keep on33. make one’s way35. on behalf of37. on the whole39. (be) in a panic41. have a preference for43. 大量的45. 用完47. 同意；订购49. 冒险51. in the abstract53. on display55. make sense57. be brimful of59. over and over again61. make a commitment to do sth63. be enthusiastic about65. have potential to do sth67. 表达某人的感情69. try one’s best to do sth 2. 对……上瘾4. 对……过敏6. 被任命为……8. 对…感到羞愧的10. 禁止某人做某事12. in/under no circumstances14. come about16. decide on18. be disappointed at20. have an effect on22. 兑换……为……24. 陷入；染上26. 匆匆看一遍28. 保证做某事30. 不管；不顾32. let out34. be made up of36. on the other hand38. be opposed to40. in possession of42. 容忍；忍受44. 导致46. 只要48. 从容；不紧张50. 测试；试验52. a bunch of54. in the flesh56. nursery rhyme58. day by day60. have a tendency to do …62. 即将做…这时…64. have an appointment with…66. 因……而失去知觉68. 对……挑剔/讲究70. ban sb from doing sth三．短文改错（共10小题；每小题1分，满分10分）假定英语课上老师要求同桌之间交换修改作文，请你修改你同桌写的以下作文。

tv甲乙t 1第4题图盐城市时杨中学2012年高二物理必修学业水平测试选择题专项训练 （四） 姓名：_________班级:__________1．下列物体或人，可以看作质点的是 （ ）①研究跳水冠军伏明霞在跳水比赛中的空中姿态 ②研究奥运冠军王军霞在万米长跑中③研究一列火车通过某路口所用的时间 ④研究我国科学考察船去南极途中A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④2．打桩机重锤从距地面5m 高处落下，被与地面相平的桩弹回后升到距地面lm 高处，若取此处为坐标原点，向上为正方向。

则重锤在此过程中通过的路程和发生的位移分别是 A ．6m -4m B ．4m lm C ．5m 0 D ．6m 4m ( ) 3．下面关于物体惯性大小的说法中，正确的是（ ）A ．运动速度大的物体比速度小的物体难以停下来，所以运动速度大的物体惯性大B ．物体受的力越大，要它停下来就越困难，所以物体受的力越大，则惯性越大C ．行驶中的车辆突然刹车，乘客前倾，这是由于惯性所引起的D ．物体抛出去还能够继续运动是因为受到一个惯性力的作用 4．甲、乙两车在同一地点同时做直线运动，其v －t 图象如图所示，则 （ ） A ．它们的初速度均为零 B ．甲的加速度大于乙的加速度C ．0～t 1时间内，甲的速度大于乙的速度D ．0～t 1时间内，甲的位移大于乙的位移5．下列情况中的速度，属于平均速度的是 （ ） A ．刘翔在110米跨栏时冲过终点线时的速度为9.5m ／s B ．由于堵车，汽车在通过隧道过程中的速度仅为1．2m ／s C ．返回地球的太空舱落到太平洋水面时的速度为8m ／s D ．子弹射到墙上时的速度为800m ／s6．关于加速度，下列说法正确的是 （ ） A ．速度变化得越大，加速度就越大B ．加速度大小逐渐变小，速度的大小也逐渐变小C ．加速度与速度变化的方向可能相同，也可能相反D ．加速度与速度的方向可能相同，也可能相反 7．下列现象中不属于应用牛顿第三定律的是 （ ） A ．划船 B ．发射火箭． C ．章鱼在水中的运动 D ．苹果从树上掉下来8．静止在斜面上的物体如图所示，受到的作用力有 （ ） A ．重力、支持力 B ．重力、支持力、摩擦力 C ．重力、支持力、下滑力、摩擦力 D ．重力、压力、下滑力、摩擦力9．1971年7月26号发射的阿波罗-15号飞船首次把一辆月球车送上月球，美国宇航员斯特驾驶月球车行驶28km ，并做了一个落体实验：在月球上的同一高度同时释放羽毛和铁锤，出现的现象是（月球上是真空）（ ） A ．羽毛先落地，铁锤后落地 B ．铁锤先落地，羽毛后落地C ．铁锤和羽毛都做自由落体运动，其加速度都为重力加速度29.8/m sD ．铁锤和羽毛都做自由落体运动，同时落地10．物体做匀速圆周运动时，下列说法正确的是（ ） A.物体必须受到恒力的作用 B.物体所受合力必须等于零C.物体所受合力的大小可能变化D.物体所受合力的大小不变，方向不断改变11．某物体在地球表面，受到地球的万有引力为F ，若此物体受到的引力减小为4F ，则其距离地面的高度应为（R 为地球半径）（ ）A ．RB ．2RC ．4RD ．8R12．在力学单位制中,选定下面哪一组物理量的单位作为基本单位? （ ） A ．速度、质量和时间 B.重力、长度和时间 C ．长度、质量和时间 D.位移、质量和速度F13．细绳一端固定在天花板上，另一端拴一质量为m 的小球，如图所示。

高二物理复习题带答案一、选择题1. 物体做匀加速直线运动，加速度为2m/s²，第3s内通过的位移是：A. 4mB. 6mC. 8mD. 10m2. 两个质量分别为m₁和m₂的物体，用轻绳连接后跨过定滑轮，若m₁>m₂，系统将：A. 静止不动B. 向下加速C. 向上加速D. 向上匀速3. 一个物体在水平面上做匀速圆周运动，下列哪个量是不变的？A. 速度B. 动能C. 角速度D. 向心力二、填空题4. 牛顿第二定律表达式为：_________。

5. 根据能量守恒定律，当一个物体从高处自由落下时，其重力势能将转化为_________。

三、简答题6. 请简述什么是简谐振动，并给出一个生活中的例子。

四、计算题7. 一辆汽车以10m/s的速度行驶，司机发现前方有障碍物，立即刹车。

如果刹车过程中加速度的大小为5m/s²，求汽车从开始刹车到完全停止所需的时间。

五、实验题8. 在“探究加速度与力、质量的关系”的实验中，如何设计实验才能更准确地得出结论？答案：一、选择题1. B. 6m（根据匀加速直线运动的位移公式：s = vt + 1/2at²，代入t=3s，v=10m/s，a=2m/s²计算得s=6m）2. B. 向下加速（因为m₁>m₂，所以m₁g - m₂g > 0，产生向下的加速度）3. B. 动能（速度大小不变，动能不变）二、填空题4. F = ma（牛顿第二定律）5. 动能（重力势能转化为动能）三、简答题6. 简谐振动是指物体在平衡位置附近作周期性的往复运动，其加速度与位移成正比，且方向相反。

生活中的例子有：弹簧振子的振动、单摆的运动等。

四、计算题7. 根据公式v = v₀ + at，代入v₀=10m/s，a=-5m/s²，v=0，解得t = (0 - 10) / (-5) = 2s。

五、实验题8. 设计实验时，应保持其中一个变量不变，改变另一个变量，观察加速度的变化。

高二课本学问点详解及练习：选修6Unit5（人教版）Unit5 The power of nature学问点详解Ⅰ. 常考单词必背1．appoint vt.①任命；委派②指定；约定Committee members recently appointed me their chairman.委员会最近任命我为主席。

[快速闪记](1)appoint sb as/to be...任命某人担当……appoint sb to ＋职位任命某人担当……职位appoint sb to do...指定某人做……(2)appointment n．[C]约会；约定；预约；[C] & [U]任命；任职；职位by appointment通过预约make an appointment(with)(与……)约定appointed adj.指定的；约定的；受指派的2．evaluate vt.评估；评价；对……评价；鉴定We need to evaluate how well the policy is working.我们须要对这一政策产生的效果做出评估。

3．wave n．波浪；波涛vt.波动；挥手She waved a friendly greeting.她友好地挥手致意。

4．absolute adj.完全的；确定的；的确的；无条件的It was nearly an absolute agreement.这差不多是一个完备的协议。

absolutely/'æbsəluːtlI/adv.①确定地；完全地②无条件地It is absolutely the best building in town.这无疑是城里最好的建筑物。

5．suit n．[C](一套)衣服；套vt.(服装、颜色等)相配；合身；中……的意；合乎……的要求To students，you'd better choose the activities which interest you and suit you.对学生来说，你最好选择那些感爱好适合自己的活动。

高二100个数学练习题1. 求下列方程的解:a) 2x + 5 = 17b) 3(2x - 4) = 21c) 4(x + 3) = 322. 化简下列代数表达式:a) 3x + 2y - 5x - 3yb) 2(x + y) - 3(2x - y)c) 5(x - y) - 2(3x + y)3. 计算下列等式的值:a) |7 - 12| + |-5|b) √(25 - 16) + 4^2c) 2^(3 + 1) - 54. 求下列函数的定义域:a) f(x) = √(3x - 2)b) g(x) = 1/(x^2 - 4)c) h(x) = √(2x - 1)/(x - 5)5. 解下列不等式:a) 2x - 5 < 3x + 2b) 4 - 3x > 7x + 2c) 2(3x - 1) ≥ 3(x + 4)6. 求下列函数的导数:a) f(x) = 3x^2 + 2x - 5b) g(x) = √(4x - 2)c) h(x) = (x^3 - 4x^2 + 5x) / x^27. 求下列函数的不定积分:a) ∫(4x^3 - 2x^2 + 5) dxb) ∫(2/x + 3x^2 - 4) dxc) ∫e^(2x) dx8. 计算下列三角函数的值:a) sin(30°)b) cos(45°)c) tan(60°)9. 解下列三角方程:a) sin(x) = 1/2b) cos(2x) = 0c) tan^2(x) = 310. 求下列数列的通项公式:a) 2, 4, 6, 8, ...b) 1, 4, 9, 16, ...c) 1, -2, 4, -8, ...11. 解下列数列的递推式:a) a_1 = 2, a_n = a_(n-1) + 3b) a_1 = 1, a_n = 2*a_(n-1)c) a_1 = 5, a_2 = 7, a_n = a_(n-1) + a_(n-2)12. 画出下列函数的图像:a) y = x^2 + 3x + 2b) y = 1/xc) y = |x - 3|13. 解下列数学问题:a) 如果一个三角形的两边长分别为5cm和9cm，夹角为60°，计算第三边长。

第4章 数 列 章末测试(基础)一、单选题(每题只有一个选项为正确答案。

每题5分，8题共40分) 1．(2021·河南高二月考)设数列{}n a 满足11n n a a n++=，12a =，则3a =( ) A ．1- B ．12C ．2D ．32【答案】D【解析】因为121a a +=，12a =，2312a a +=，所以332a =.故选：D ． 2．(2021·河南高二月考)设等比数列{}n a 的前n 项和为147258,9,18,n S a a a a a a ++=++=则9S =( ) A ．27 B ．36 C ．63 D ．72【答案】C【解析由题意，设等比数列{}n a 的公比为q 258147()a a a a a a q ∴++=++ 2q ∴=，又369258()36a a a a a a q ++=++=91472583699183663S a a a a a a a a a ∴=++++++++=++=故选：C3．(2021·河南高二月考)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若235,,S S S 成等差数列，且110a =，则{}n a 的公差d =( ) A ．2 B ．1 C ．1- D ．2-【答案】D 【解析235,,S S S 成等差数列，3252S S S ∴=+，即()1112332510a d a d a d +=+++，110a =，可解得2d =-.故选：D.4．(2021·河南高二月考)猜想数列282680,,,,3579--⋅⋅⋅的一个通项公式为n a =( )A ．()31121nn n --+ B ．()12121n nn +-+ C ．()121121n n n +--+ D ．()31121n nn --+【答案】D【解析根据数列可得，分母3，5，7，9，…满足21n ， 分子2，8，26，80，…满足31n -，又数列的奇数项为负，偶数项为正，所以可得()31121n nn a n -=-+. 故选：D.5．(2021·江苏省阜宁中学高二月考)在数列{}n a 中，22293n a n n =-++，则此数列最大项的值是( ) A ．107 B ．9658C ．9178D ．108【答案】D【解析22298172293248n a n n n ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，因为n ∈+N ，且78108,107a a ==， 所以此数列最大项为7108a =. 故选：D.6．(2021·全国高二课时练习)数列{}n a 中，11a =，对所有的2n ≥，*n ∈N ，都有2123····n a a a a n ⋯=，则35a a +等于( ) A ．259B ．2516 C ．6116D ．3115【答案】C【解析当2n =时，2122a a =；当3n =时，21233a a a =；当4n =时，212344a a a a =；当5n =时，2123455a a a a a =；则212331229=243a a a a a a ==，21231245524325=4165a a a a a a a a a a ==； 所以356116a a +=. 故选：C.7．(2021·全国高二课时练习)一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( ) A ．300米B ．299米C ．199米D ．166米【答案】A【解析由题意，可得小球10次着地共经过的路程为： 828111110010050100()100100[1()()]2222++++⨯=+++++ 9911()12100100300200()3001212-=+⨯=-⨯≈-米 故选：A.8．(2021·上海市大同中学高二月考)有一个三人报数游戏：首先A 报数字1，然后B 报两个数字2、3，接下来C 报三个数字4、5、6，然后轮到A 报四个数字7、8、9、10，依次循环，直到报出10000，则A 报出的第2021个数字为( ) A ．5979 B ．5980 C ．5981 D ．以上都不对【答案】C【解析由题可得A 第n *()n N ∈次报数的个数为32n -， 则A 第n 次报完数后总共报数的个数为[1(32)](31)22n n n n n T +--==，再代入正整数n ，使2020,n T n ≥的最小值为37，得372035T =， 而A 第37次报时，3人总共报数为3631109⨯+=次， 当A 第109次报完数3人总的报数个数为109(1091)12310959952m S +=++++==， 即A 报出的第2035个数字为5995， 故A 报出的第2021个数字为5981. 故选：C二、多选题(每题不止一个选项为正确答案，每题5分，4题共20分)9．(2021·全国高二课时练习)已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且1a ，3a ，2a 成等差数列，则q 的值可能为( ) A ．12 B ．1C ．12-D ．－2【答案】BC【解析由题意，可知3122a a a =+，即21112a q a a q =+．又10a ≠，∴221q q =+，∴1q =或12-．故选：BC ．10．(2021·全国高二课时练习)(多选)在《增删算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其意思是：“某人到某地需走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地”则下列说法正确的是( ) A ．此人第二天走了96里路B ．此人第三天走的路程占全程的18C ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里D ．此人第五天和第六天共走了30里路 【答案】AC【解析设此人第n 天走了n a 里路，则数列{}n a 是首项为1a ，公比q 为12的等比数列，其前n 项和为S n ，因6378S =，即1661(1)2378112a S -==-，解得1192a =，11192(),N ,62n na n n -*=⋅∈≤，由于21192962a =⋅=，即此人第二天走了96里路，A 正确；由于31192484a =⋅=，4813788>，B 错误； 后五天走的路程为378192186-=(里)，1921866-=(里)，此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里，C 正确；由于5611192192181632a a +=⋅+⋅=，D 错误. 故选：AC11．(2021·全国高二课时练习)(多选)已知数列{}n a 的通项公式为2n a n n =+，则下列是该数列中的项的是( ) A ．18 B ．12 C ．25 D ．30【答案】BD【解析】因为2n a n n =+，所以n 越大，n a 越大．当3n =时，233312a =+=；当4n =时，244420a =+=；当5n =时，255530a =+=；当6n =时，266642a =+=．故选：BD ．12．(2021·全国高二课时练习)已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足()1302n n n a S S n -+=≥，113a =，则下列命题中正确的是( )A ．1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列B ．13n S n=C ．()131n a n n =--D ．{}3n S 是等比数列【答案】ABD【解析】因为()12n n n a S S n -=-≥，()1302n n n a S S n -+=≥， 所以1130n n n n S S S S ---+=，所以1113n n S S --=， 所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为3的等差数列，A 正确；因为11113S a ==， 所以()13313n n n S =+-=，13n S n =，B 正确；2n ≥时，由1n n n a S S -=-，得()131n a n n =--，但113a =不满足此式，因此C 错误；由13n S n =得1311333n n n S +==⨯，所以{}3n S 是等比数列，D 正确． 故选：ABD ．三、填空题(每题5分，4题共20分)13．(2021·河南高二月考 )设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4683315a a a -+=，则11S =______． 【答案】33 【解析】{}n a 是等差数列，由4683315a a a -+=可得()486315a a a +-=，即66615a a -=，可得63a =，则()1111161111332a a S a +===. 故答案为：33.14．(2021·全国高二课时练习)已知1x >，1y >，且lg x ，2，lg y 成等差数列，则x y +有最小值_____ 【答案】200【解析】因为lg x ，2，lg y 成等差数列，所以lg lg 22x y +=⨯，即410xy =所以200x y +≥，当且仅当100x y ==时等号成立， 所以x y +的最小值为200， 故答案为：200.15．(2021·全国高二课时练习)已知ABC 的一个内角为120︒，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC 最长边的边长等于________． 【答案】14 【解析】ABC 三边长构成公差为4的等差数列，∴设处于中间长度的一条边长为x ，则最大的边长为4x +，最小的边长为4x -，ABC 的一个内角为120︒，即为最大角，则它对应的边的长度最长，即为4x +，则()()()222441cos120242x x x x x +--+︒==--， 化简得：164x x -=-，解得10x =， 所以三角形的三边分别为：6，10，14，最长边为14， 故答案为：14．16．(2021·全国高二课时练习)根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，可以得出第n 个图中有________个点．【答案】n 2－n ＋1【解析】图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有2个分支，每个分支有1个点； 图(3)除中间1个点外，有3个分支，每个分支有2个点； 图(4)除中间1个点外，有4个分支，每个分支有3个点；…猜想第n 个图中除中间一个点外，有n 个分支，每个分支有(n －1)个点， 故第n 个图中点的个数为1＋n (n －1)＝n 2－n ＋1． 故答案为：n 2－n ＋1四、解答题(17题10分，其余每题12分，共6题70分)17．(2021·河南高二月考 )在等差数列{}n a 中，36787,3a a a a =-++=. (1)求{}n a 的通项公式;(2)求{}n a 的前n 项和n S 及n S 的最小值.【答案】(1)213n a n =-；(2)212n n S n =-，-36.【解析】(1)设{}n a 的公差为d ，根据题意得31678127,3183?a a d a a a a d =+=-⎧⎨++=+=⎩ 解得11,2a d =-⎧⎨=⎩，所以()1121213n a n n =-+-=-.(2)根据等差数列的前n 项和公式得()21112122n n n S n n -=-+⨯=- 则当6n =时，n S 取得最小值36-.18．(2021·全国高二课时练习)已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝23n +a n . (1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．【答案】(1)a 2＝3，a 3＝6 ；(2)a n =(1)2n n +. 【解析】(1)由S 2＝43a 2，得(a 1＋a 2)＝43a 2，又a 1＝1，∴a 2＝3a 1＝3.由S 3＝53a 3，得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，∴a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23n +a n －13n +a n －1， ∴a n ＝11n n +-a n －1，即1n n a a -＝11n n +-.∴a n ＝1n n a a -·12n n a a --·…·32a a ·21a a ·a 1＝11n n +-·2nn -·…·42·31·1 ＝(1)2n n +. 又a 1＝1满足上式， ∴a n ＝(1)2n n +. 19．(2021·全国高二课时练习)已知数列{a n }满足a 1＝76，S n 是{a n }的前n 项和，点(2S n ＋a n ，S n ＋1)在()1123f x x =+的图象上． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若c n ＝2()3n a -n ，T n 为c n 的前n 项和，n ∴N *，求T n .【答案】(1)2132n n a =+；(2)222n n n T +=-. 【解析】(1)∴点(2S n ＋a n ，S n ＋1)在()1123f x x =+的图象上，∴()111223n n n S S a +=++， ∴11123n n a a +=+.∴1212323n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ∴数列23n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12132a -=为首项，以12为公比的等比数列，∴121113222n n na -⎛⎫-=⨯=⎪⎝⎭，即2132nn a =+, (2)∴232n n n n c a n ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,∴23111232222n n nT =+⨯+⨯++，∴∴234111112322222n n nT +=+⨯+⨯++，∴ ∴－∴得23111111222222n n n n T +=++++-， ∴222n nnT +=-. 20．(2021·全国高二课时练习)已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且112n n S a +=.(1)证明数列{}n a 是等比数列，并求其通项公式；(2)设31log (1)n n b S +=-，求满足方程122311112551n n b b b b b b ++++=的n 的值. 【答案】(1)证明见解析；23n na =；(2)100. 【解析】(1)证明：由112n n S a +=得，11112S a +=，又因为11a S =，所以123a =，因为112n n S a =- ∴，所以当2n ≥时，11112n n S a --=- ∴，由∴-∴得，111122n n n n n a S S a a --=-=-+即113n n a a -=， 故{}n a 是以23为首项，13为公比的等比数列，从而1212()333n n n a -=⨯=.(2)由(1)中可知，11111223n n n n n S a S a =-⇒-==所以31311log (1)log 13n n n b S n ++=-==--， 从而11111(1)(2)12n n b b n n n n +==-++++， 故1223111111111111252334122251n n b b b b b b n n n ++++=-+-++-=-=+++， 解得，100n =.21．(2021·全国高二专题练习)已知{a n }是等差数列，公差为d ，首项a 1＝3，前n 项和为S n ，令c n ＝(－1)n S n (n ∴N *)，{c n }的前20项和T 20＝330.数列{b n }满足212(2)2n n n b a d --=-+，a ∴R . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＋1≤b n ，n ∴N *，求a 的取值范围． 【答案】(1)a n ＝3n ；(2)54a ≤. 【解析】(1)设等差数列的公差为d ，因为(1)nn n c S =-，所以20123420330T S S S S S =-+-++⋯+=， 则24620330a a a a +++⋯+=， 则10910(3)23302d d ⨯++⨯=， 解得3d =，所以33(1)3n a n n =+-=；(2)由(1)知212(2)32n n n b a --=-+，则12112(2)32[2(2)32]n n n n n n b b a a ---+-=-+--+2122124(2)3243[(2)()]23n n n n a a ----=-+=-+由1n n b b +≤⇔221212(2)()02()2323n n a a ---+≤⇔≤- 因为2122()23n --随着n 的增大而增大， 所以1n =时，2122()23n --最小值为54，所以54a ≤. 22．(2021·全国高二专题练习)某学校实验室有浓度为2 g/ml 和0.2 g/ml 的两种K 溶液．在使用之前需要重新配制溶液，具体操作方法为取浓度为2 g/ml 和0.2 g/ml 的两种K 溶液各300 ml 分别装入两个容积都为500 ml 的锥形瓶A ，B 中，先从瓶A 中取出100 ml 溶液放入B 瓶中，充分混合后，再从B 瓶中取出100 ml 溶液放入A 瓶中，再充分混合．以上两次混合过程完成后算完成一次操作．设在完成第n 次操作后，A 瓶中溶液浓度为a n g/ml ，B 瓶中溶液浓度为b n g/ml.(lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(1)请计算a 1，b 1，并判定数列{a n －b n }是否为等比数列？若是，求出其通项公式；若不是，请说明理由； (2)若要使得A ，B 两个瓶中的溶液浓度之差小于0.01 g/ml ，则至少要经过几次？ 【答案】(1)是，a n －b n ＝0.9·(12)n -1；(2)8次. 【【解析】 (1)由题意，得b 1＝0.23002100300100⨯+⨯+＝0.65 g /ml ，a 1＝0.651002200200100⨯+⨯+＝1.55 g /ml .当n ≥2时，b n ＝1400(300b n －1＋100a n －1)＝14(3b n －1＋a n －1)，a n ＝1300(200a n －1＋100b n )＝14(3a n －1＋b n －1)，∴a n －b n ＝12(a n －1－b n －1)， ∴等比数列{a n －b n }的公比为12， 其首项a 1－b 1＝1.55－0.65＝0.9， ∴a n －b n ＝0.9·(12)n -1.(2)由题意可知，问题转化为解不等式0.9·(12)n -1<10－2，∴n>1＋12lg3lg2≈7.49，∴至少要操作8次才能达到要求.。

6.6 分布列基础（精练）（基础版）1．（2022·云南·昆明市第一中学西山学校）国家“双减”政策落实之后，某市教育部门为了配合“双减”工作，做好校园课后延时服务，特向本市小学生家长发放调查问卷了解本市课后延时服务情况，现从中抽取100份问卷，统计了其中学生一周课后延时服务总时间(单位：分钟)，并将数据分成以下五组：[)[)[)[)[]100,120,120,140,140,160,160,180,180,200，得到如图所示的频率分布直方图.(1)根据如图估计该市小学生一周课后延时服务时间的众数、平均数、中位数(保留小数点后一位)；(2)通过调查分析发现，若服务总时间超过160分钟，则学生有不满情绪，现利用分层随机抽样的方法从样本问卷中随机抽取8份，再从抽取的8份问卷中抽取3份，记其中有不满情绪的问卷份数为X ，求X 的分布列及均值.【答案】(1)150，151，150.9；(2)分布列见解析，34.【解析】(1)众数：150；第1到5组频率分别为：0.05，0.15，0.55，0.2，0.05，平均数：1100.051300.151500.551700.21900.05151x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 设中位数为x ，则中位数在第3组，则()0.21400.02750.5x +-⨯=，150.9x ≈； (2)用分层随机抽样抽取8份问卷，其中学生有不满情绪的有8×(0.2＋0.05)＝2份，∴X 的可能取值为0，1，2，∴()306238C C 5C 140P X ===，()216238C C 15C 281P X ===，()126238C C 3C 282P X ===，∴X 的分布列为：题组一 超几何分布∴()515330121428284E X =⨯+⨯+⨯=. 2．（2022·北京·高三专题练习）为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核.记X 表示学生的考核成绩，并规定85X >为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：.(1)从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核为优秀的概率；(2)从图中考核成绩满足[]70,79X ∈的学生中任取3人，设Y 表示这3人中成绩满足8510X -≤的人数，求Y 的分布列和数学期望；(3)根据以往培训数据，规定当8510.510X P ⎛-⎫≤≥⎪⎝⎭时培训有效.请你根据图中数据，判断此次冰雪培训活动是否有效，并说明理由.【答案】(1)15(2)分布列见解析，()158E Y = (3)有效，理由见解析 【解析】(1)解：设该名学生的考核成绩优秀为事件A ，由茎叶图中的数据可知，30名同学中，有6名同学的考核成绩为优秀，故()15P A =. (2)解：由8510X -≤可得7595X ≤≤，所以，考核成绩满足[]70,79X ∈的学生中满足8510X -≤的人数为5，故随机变量Y 的可能取值有0、1、2、3，()3338C 10C 56P Y ===，()213538C C 151C 56P Y ===，()123538C C 152C 28P Y ===，()3538C 53C 28P Y ===，所以，随机变量Y 的分布列如下表所示：因此，()115155150123565628288E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=. (3)解：由85110X -≤可得7595X ≤≤，由茎叶图可知，满足7595X ≤≤的成绩有16个， 所以851610.51030X P ⎛-⎫≤=≥⎪⎝⎭，因此，可认为此次冰雪培训活动有效. 3．（2022·宁夏中卫·三模（理））共享电动车（sharedev ）是一种新的交通工具，通过扫码开锁，实现循环共享.某记者来到中国传媒大学探访，在校园喷泉旁停放了10辆共享电动车，这些电动车分为荧光绿和橙色两种颜色，已知从这些共享电动车中任取1辆，取到的是橙色的概率为0.4P =，若从这些共享电动车中任意抽取3辆.(1)求取出的3辆共享电动车中恰好有一辆是橙色的概率；(2)求取出的3辆共享电动车中橙色的电动车的辆数X 的分布列与数学期望. 【答案】(1)12；(2)分布列见解析，数学期望为65.【解析】(1)因为从10辆共享电动车中任取一辆，取到橙色的概率为0.4，所以橙色的电动车有4辆，荧光绿的电动车有6辆.记A 为“从中任取3辆共享单车中恰好有一辆是橙色”，则()2164310C C 1C 2P A ⨯==. (2)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.所以()3064310C C 10C 6P X ⨯===，()2164310C C 11C 2P X ⨯===， ()()1264310C C 32C 10P X P A ⨯====，()0364310C C 13C 30P X ⨯===.所以分布列为数学期望()1131601236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.4．（2022·广东·华南师大附中三模）“双减”政策实施后，为了解某地中小学生周末体育锻炼的时间，某研究人员随机调查了600名学生，得到的数据统计如下表所示：(1)估计这600名学生周末体育锻炼时间的平均数t ；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (2)在这600人中，用分层抽样的方法，从周末体育锻炼时间在[)40,60内的学生中抽取15人，再从这15人中随机抽取3人，记这3人中周末体育锻炼时间在[)50,60内的人数为X ，求X 的分布列以及数学期望()E X . 【答案】(1)58.5；(2)分布列答案见解析，数学期望：95.【解析】(1)估计这600名学生周末体育锻炼时间的平均数 350.1450.2550.3650.15750.15850.158.5t =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.(2)依题意，周末体育锻炼时间在[)40,50内的学生抽6人，在[)50,60内的学生抽9人，则()363154091C P X C ===，()216931527191C C P X C ===，()12693152162455C C P X C ===，()3931512365C P X C ===，故X 的分布列为： 则()42721612901239191455655E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 5．（2022·云南保山·模拟预测（理））某高中学校为了解学生的课外体育锻炼时间情况，在全校学生中随机抽取了200名学生进行调查，并将数据分成六组，得到如图所示的频率分布直方图．将平均每天课外体育锻炼时间在[40,60)上的学生评价为锻炼达标，将平均每天课外体育锻炼时间在[0,40)上的学生评价为锻炼不达标(1)根据频率分布直方图估计这200名学生每天课外体育锻炼时间的众数、中位数；(2)为了了解学生课外体育锻炼时间不达标的原因，从上述锻炼不达标的学生中按分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记这三人中每天课外体育锻炼时间在[0,20)的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【答案】(1)中位数为28.125，众数等于25(2)分布列见解析，0.9【解析】(1)众数就是直方图中最高矩形底边中点的横坐标，则样本众数等于25．由频率分布直方图可得，在[0,10)上的频率为0.08，在[10,20)上的频率为0.16，在[20,30)上的频率为0.32，0.080.160.50.080.160.32<<+＋＋，则中位数在区间[20,30)上．设中位数为0x ，则()00.24200.0320.5+-⨯=x ，028.125x =，即样本中位数为28.125．(2)根据题意，在[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)上抽取的人数分别为1，2，4，3，其中在[0,20)上抽取的人数为3，则0ξ=，1，2，3．3127373310103576321(0),(1),1202412040ξξ⨯========C C C P P C C ， 2133733310102171(2),(3)12040120C C C P P C C ξξ=====⨯==． 从而得到随机变量ξ的分布列如下表：随机变量ξ的期望72171()01230.9244040120E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=6．（2022·北京市朝阳区人大附中朝阳分校模拟预测）自“新型冠状肺炎”疫情爆发以来，科研团队一直在积极地研发“新冠疫苗”.在科研人员不懈努力下，我国公民率先在2020年年末开始使用安全的新冠疫苗，使我国的“防疫”工作获得更大的主动权.研发疫苗之初，为了测试疫苗的效果，科研人员以白兔为实验对象，进行了一些实验：(1)实验一：选取10只健康白兔，编号1至10号，注射一次新冠疫苗后，再让它们暴露在含有新冠病毒的环境中，实验结果发现：除2号､3号､7号和10号四只白兔仍然感染了新冠病毒，其他白兔未被感染.现从这10只白兔中随机抽取3只进行研究，将仍被感染的白兔只数记作X ，求X 的分布列和数学期望.(2)实验二：疫苗可以再次注射第二针､加强针，但两次疫苗注射时间间隔需大于三个月.科研人员对白兔多次注射疫苗后，每次注射的疫苗对白兔是否有效互相不影响.试问：若将实验一中未被感染新冠病毒的白兔的频率当做疫苗的有效率，那么一只白兔注射两次疫苗后的有效率能否保证达到90%？如若可以，请说明理由；若不可以，请你参考上述实验给出注射疫苗后有效率在90%以上的建议. 【答案】(1)分布列见解析；数学期望()65E X =； (2)无法保证；建议：需要将注射一次疫苗的有效率提高到90%以上. 【解析】(1)由题意得：X 所有可能的取值为0，1，2，3，()3631020101206C P X C ∴====；216431060111202C C P XC ； 1264310363212010C C P X C ；3431041312030C P XC ； X ∴的分布列为：∴数学期望()1131601236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=； (2)由已知数据知：实验一中未被感染新冠病毒的白兔的频率为0.6，则注射一次疫苗的有效率为0.6， ∴一只白兔注射两次疫苗的有效率为：()2110.60.8484%90%--==<， ∴无法保证一只白兔注射两次疫苗后的有效率达到90%；设每支疫苗有效率至少达到x 才能满足要求，()21190%x ∴--≥，解得：0.990%x ≥=，∴需要将注射一次疫苗的有效率提高到90%以上才能保证一只白兔注射两次疫苗后的有效率达到90%.7．（2022·全国·高三专题练习（理））高二年级某班学生在数学校本课程选课过程中，已知第一小组与第二小组各有六位同学.每位同学都只选了一个科目，第一小组选《数学运算》的有1人，选《数学解题思想与方法》的有5人，第二小组选《数学运算》的有2人，选《数学解题思想与方法》的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析选课情况.(1)求选出的4 人均选《数学解题思想与方法》的概率；(2)设ξ为选出的4个人中选《数学运算》的人数，求ξ的分布列和数学期望． 【答案】(1)415(2)分布列见解析，期望为1 【解析】(1)解：设“从第一小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件A ，“从第二小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件B ,由于事 件A 、B 相互独立，且22542266C C 22(),()C 3C 5P A P B ====， 所以选出的4人均选《数学解题思想与方法》的概率为224()()()3515P A B P A P B ⋅=⋅=⨯=.(2)解：由题意，随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3，可得4(0)15P ξ==，211125524422226666C C C C C 22(1)C C C C 45P ξ==⋅+⋅=，152266C 11(3)C C 45P ξ==⋅=，2(2)1(0)(1)(3)9P P P P ξξξξ==-=-=-==， 所以随机变量ξ的分布列为：ξ0 1 23 P415224529145所以随机变量ξ的数学期望 42221012311545945E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 1．（2022·北京·人大附中三模）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图： 组号分组频数1[)0,262 [)2,48题组二 二项分布每周课外阅读时间小于6小时的学生我们称之为“阅读小白”，大于等于6小时且小于12小时的学生称之为“阅读新手”，阅读时间大于等于12小时的学生称之为“阅读达人”.(1)从样本中随机选取一名学生，已知这名学生的阅读时间大于等于6小时，问这名学生是“阅读达人”概率； (2)从该校学生中选取3人，用样本的频率估计概率，记这3人中“阅读新手和阅读小白”的人数和为X ，求X 的分布列和数学期望；(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组.（只需写出结论） 【答案】(1)1069(2)分布列答案见解析，()2710E X =(3)第4组【解析】(1)解：从样本中随机选取一名学生，其中阅读时间大于等于6小时的学生人数为1003169-=， “阅读达人”的学生人数为10，故所求概率为1069. (2)解：从该校学生中任选一人，该学生是“阅读小白”或“阅读新人”的概率为90910010=， 所以，9~3,10X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()3110101000P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()397293101000P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()21391271C 10101000P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，()223912432C 10101000P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭， 所以，随机变量X 的分布列如下表所示：()927310100E X =⨯=. (3)解：样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数为10.0630.0850.1770.2290.25110.12130.06150.02170.02⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=7.68.因此，样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第4组.2．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））《关于加快推进生态文明建设的意见》，正式把“坚持绿水青山就是金山银山”的理念写进中央文件，成为指导中国加快推进生态文明建设的重要指导思想．为响应国家号召，某市2020年植树节期间种植了一批树苗，2022年市园林部门从这批树苗中随机抽取100棵进行跟踪检测，得到树高的频率分布直方图如图所示：(1)求树高在225-235cm 之间树苗的棵数，并求这100棵树苗树高的平均值；(2)若将树高以等级呈现，规定：树高在185-205cm 为合格，在205-235为良好，在235-265cm 为优秀．视该样本的频率分布为总体的频率分布，若从这批树苗中机抽取3棵，求树高等级为优秀的棵数ξ的分布列和数学期望．【答案】(1)15；220.5(2)分布列见解析；期望为0.6【解析】(1)树高在225-235cm 之间的棵数为：()10010.00530.0150.02000250.011015⎡⎤⨯-⨯++++⨯=⎣⎦．．树高的平均值为：0.051900.152000.22100.252200.152300.12400.052500.05260220.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(2)由（1）可知，树高为优秀的概率为：0.10.050.050.2++=， 由题意可知()~3,0.2B ξ，则ξ的所有可能取值为0，1，2，3，()0330C 0.80.512P ξ===， ()1231C 0.80.20.384P ξ==⨯=， ()2232C 0.80.20.096P ξ==⨯=，()3333C 0.20.008P ξ===，故ξ的分布列为：因为()~3,0.2B ξ，所以()30.20.6E ξ=⨯=3．（2022·新疆克拉玛依·三模（理））第24届北京冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日在北京和张家口联合举办.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，它掀起了中国人民参与冬季运动的大热潮.某市举办了中学生滑雪比赛，从中抽取40名学生的测试分数绘制成茎叶图和频率分布直方图如下，后来茎叶图受到了污损，可见部分信息如图.(1)求频率分布直方图中的a 值，并根据直方图估计该市全体中学生的测试分数的中位数和平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，结果保留一位小数）；(2)将频率作为概率，若从该市全体中学生中抽取4人，记这4人中测试分数不低于90分的人数为X ，求X 的分布列及数学期望.【答案】(1)0.02a =，中位数为74.3，平均数为74.5；(2)分布列见解析，25.【解析】(1)由频率分布直方图和茎叶图知，测试分数在[50,60),[60,70),[70,80),[90,100]的频率依次为：0.1,0.25,0.35,0.1，因此，测试分数位于[)80,90的频率为10.10.250.350.10.2----=，则0.20.0210a ==， 显然测试分数的中位数t 在区间[70,80)内，则有：()700.0350.50.10.25t -⨯=--，解得：74.3t ≈， 测试分数的平均数为：550.1650.25750.35850.2950.174.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. (2)测试分数不低于90分的频率为110，X 的所有可能值是：0，1，2，3，4， 显然1(4,)10XB ，()4419C ()(),N,41010k k k P X k k k -==∈≤， 所以X 的分布列为：数学期望()124105E X =⨯=. 4．（2022·全国·模拟预测）为了中国经济的持续发展制定了从2021年2025年发展纲要，简称“十四五”规划，为了普及“十四五”的知识，某党政机关举行“十四五”的知识问答考试，从参加考试的机关人员中，随机抽取100名人员的考试成绩的部分频率分布直方图，其中考试成绩在[)70,80上的人数没有统计出来．(1)估算这次考试成绩的平均分数；(2)把上述的频率看作概率，把考试成绩的分数在[]80,100的学员选为“十四五”优秀宣传员，若从党政机关所有工作人员中，任选3名工作人员，其中可以作为优秀宣传员的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．【答案】(1)70.5(2)分布列见解析，数学期望为0.9【解析】(1)设分数在[)70,80内的频率为x ，根据频率分布直方图得，()0.010.0150.020.0250.005101x ++++⨯+=，解得0.25x =，可知分数在[)70,80内的频率为0.25，则考试成绩的平均分数为450.10550.15650.2750.25850.25950.0570.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．(2)根据频率分布直方图可知考试成绩在[]80,100的频率为()0.0250.005100.3+⨯=，则0,1,2,3ξ=．()003334300.30.71000P C ξ==⨯=，()12344110.30.71000P C ξ==⨯=()22318920.30.71000P C ξ==⨯=，()3332730.31000P C ξ===，故随机变量ξ的分布列为因为该分布为二项分布，所以该随机变量的数学期望为()30.30.9E ξ=⨯=．5．（2022·江苏苏州·模拟预测）如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点O 出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，质点到达位置的数字记为X ．(1)若该质点共移动2次，位于原点O 的概率；(2)若该质点共移动6次，求该质点到达数字X 的分布列和数学期望． 【答案】(1)12;(2)分布列见解析，0.【解析】(1)质点移动2次，可能结果共有224⨯=种，若质点位于原点O ，则质点需要向左、右各移动一次，共有12C 2=种，故质点位于原点O 的概率2142P ==. (2)质点每次移动向左或向右，设事件A 为“向右”，则A 为“向左”，故1()()2P A P A ==, 设Y 表示6次移动中向左移动的次数，则1(6,)2Y B ，质点到达的数字62X Y =-,所以06611(6)(0)C ()264P X P Y =====,16613(4)(1)C ()232P X P Y =====，266115(2)(2)C ()264P X P Y =====， 36615(0)(3)C ()216P X P Y =====，466115(2)(4)C ()264P X P Y =-====， 56613(4)(5)C ()232P X P Y =-====，66611(6)(6)C ()264P X P Y =-====， 所以X 的分布列为：1()(62)2()626602E X E Y E Y =-=-+=-⨯⨯+=.6．（2022·北京通州·模拟预测）第24届冬季奥林匹克运动会，于2022年2月在北京市和张家口市联合举行．某校寒假期间组织部分滑雪爱好者参加冬令营集训．训练期间，冬令营的同学们都参加了“单板滑雪”这个项目相同次数的训练测试，成绩分别为A 、B 、C 、D 、E 五个等级，分别对应的分数为5、4、3、2、1．甲、乙两位同学在这个项目的测试成绩统计结果如图所示．(1)根据上图判断，甲、乙两位同学哪位同学的单板滑雪成绩更稳定？（结论不需要证明） (2)求甲单板滑雪项目各次测试分数的众数和平均数；(3)若甲、乙再同时参加两次测试，设甲的成绩为4分并且乙的成绩为3分或4分的次数为X ，求X 的分布列（频率当作概率使用）．【答案】(1)乙比甲的单板滑雪成绩更稳定 (2)众数为3分，平均数为2.9分 (3)分布列答案见解析【解析】(1)解：由图可知，乙比甲的单板滑雪成绩更稳定.(2)解：因为甲单板滑雪项目测试中4分和5分成绩的频率之和为0.325， 3分成绩的频率为0.375，所以，甲单板滑雪项目各次测试分数的众数为3分，测试成绩2分的频率为10.20.3750.250.0750.1----=，所以，甲单板滑雪项目各次测试分数的平均数为10.220.130.37540.2550.075 2.9⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. (3)解：由题意可知，在每次测试中，甲的成绩为4分，并且乙的成绩为3分或4分的概率为30.250.375216⨯⨯=， 依题意，3~2,16X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以，()2131********P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()12313391C 1616128P X ==⋅⋅=，()239216256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 所以，随机变量X 的分布列如下表所示：X0 1 2 P1692563912892561．（2022·全国·高三专题练习（理））冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线MN 的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN 将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O 的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆O 中，得3分，冰壶的重心落在圆环A 中，得2分，冰壶的重心落在圆环B 中，得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为13，14；甲、乙得2分的概率分别为25，12；甲、乙得1分的概率分别为15，16．(1)求甲所得分数大于乙所得分数的概率；(2)设甲、乙两人所得的分数之差的绝对值为X ，求X 的分布列和期望．题组三 独立重复实验【答案】(1)1130(2)分布列见解析，期望为：169180【解析】(1)由题意知甲得0分的概率为1211135515---=，乙得0分的概率为1111142612---=，甲所得分数大于乙所得分数分为：甲得3分乙得2或1或0分，甲得2分乙得1或0分，甲得1分乙得0分所以所求概率为1121111(1)()3456125123011⨯-+⨯++⨯=．(2)X 可能取值为0，1，2，3，()11211111290345256151290P X ==⨯+⨯+⨯+⨯=()112111111111++35565251283246121805P X ==⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯=()11111121231215180P X ==⨯+⨯+⨯+⨯=()11211121545334P X ==⨯+⨯=所以，随机变量X 的分布列为：所以()298331216918001239018018405E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 2．（2022·全国·高三专题练习（理））为弘扬奥运精神，某校开展了“冬奥”相关知识趣味竞赛活动.现有甲､乙两名同学进行比赛，共有两道题目，一次回答一道题目.规则如下：∴抛一次质地均匀的硬币，若正面向上，则由甲回答一个问题，若反面向上，则由乙回答一个问题.∴回答正确者得10分，另一人得0分；回答错误者得0分，另一人得5分.∴若两道题目全部回答完，则比赛结束，计算两人的最终得分.已知甲答对每道题目的概率为45，乙答对每道题目的概率为35，且两人每道题目是否回答正确相互独立.(1)求乙同学最终得10分的概率；(2)记X 为甲同学的最终得分，求X 的分布列和数学期望. 【答案】(1)37100(2)分布列见解析，X 的数学期望为10【解析】(1)记“乙同学最终得10分”为事件A ，则可能情况为甲回答两题且错两题；甲､乙各答一题且各对一题；乙回答两题且对一题错一题， 则()1111141313123722252525252525100P A =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=，所以乙同学得10分的概率是37100. (2)甲同学的最终得分X 的所有可能取值是0，5，10，15，20. ()1111111313131640225252525252510025P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯==，()111213121645222525252510025P X ==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯==，()141114*********102225252525252510025P X ==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯==，()1412164152252510025P X ==⨯⨯⨯⨯==，()141416420252510025P X ==⨯⨯⨯==.X 的分布列为()4191105101520102525252525E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以X 的数学期望为10. 3．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））“民族要复兴，乡村必振兴”，为了加强乡村振兴宣传工作，让更多的人关注乡村发展，某校举办了有关城乡融合发展、人与自然和谐共生的知识竞赛.比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3题者则被淘汰.已知选手甲答对每个题的概率均为35，且相互间没有影响.(1)求选手甲被淘汰的概率；(2)设选手甲在初赛中答题的个数为X ，试求X 的分布列和数学期望. 【答案】(1)9923125(2)分布列见解析，2541625【解析】(1)设“选手甲被淘汰”为事件A ，因为甲答对每个题的概率均为35，所以甲答错每个题的概率均为25.则甲答了3题都错，被淘汰的概率为33328C 5125⎛⎫= ⎪⎝⎭；甲答了4个题，前3个1对2错，被淘汰的概率为22323272C 555625⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭；甲答了5个题，前4个2对2错，被淘汰的概率为2224322432C 5553125⎛⎫⎛⎫⋅⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 所以选手甲被海的概率()87243299212562531253125P A =++=. (2)易知X 的可能取值为3，4，5，对应甲被淘汰或进入复赛的答题个数，则()3333333273C C 5525P X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2222333232322344C C 555555625P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2224322165C 55625P X ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. X 的分布列为则()7234216256225413456255625E X =⨯+⨯+⨯=. 4．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）某靶场有A ，B 两种型号的步枪可供选用，其中甲使用A B ，两种型号的步枪的命中率分别为14,13；，(1)若出现连续两次子弹脱靶或者子弹打光耗尽的现象便立刻停止射击，若击中标靶至少3次，则可以获得一份精美礼品，若甲使用B 型号的步枪，并装填5发子弹，求甲获得精美礼品的概率；(2)现在A B ，两把步枪中各装填3发子弹，甲打算轮流使用A B ，两种步枪进行射击，若击中标靶，则继续使用该步枪，若未击中标靶，则改用另一把步枪，甲首先使用A 种型号的步枪，若出现连续两次子弹脱靶或者其中某一把步枪的子弹打光耗尽的现象便立刻停止射击，记X 为射击的次数，求X 的分布列与数学期望． 【答案】(1)1381(2)分布列见解析；X 的数学期望为3512.【解析】(1)甲击中5次的概率为513⎛⎫ ⎪⎝⎭1243=，甲击中4次的概率为14511C (1)()33-⋅10243=，甲击中3次的概率为()322511C 3133⎛⎫⎛⎫-⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭28243=， 所以甲获得精美礼品的概率为11028391324324324324381++==. (2)X 的所有可能取值为2,3,4,5,(2)P X =11(1)(1)43=--321432=⨯=，(3)P X ==111113(1)(1)14434416⨯--+⨯⨯=，(4)P X ==1111111(1)1(1)(1)(1)4334334-⨯⨯⨯+-⨯⨯-⨯-524=，11111111(5)(1)(1)1(1)(1)144334334P X ==⨯-⨯⨯-⨯+-⨯⨯-⨯⨯1111(1)14433+⨯-⨯⨯⨯548=，所以X 的分布列为：所以1355()23452162448E X =⨯+⨯+⨯+⨯3512=. 5．（2022·全国·二模（理））“百年征程波澜壮阔，百年初心历久弥坚”．为庆祝中国建党一百周年，哈市某高中举办了“学党史、知党情、跟党走”的党史知识竞赛．比赛分为初赛和决赛两个环节，通过初赛选出两名同学进行最终决赛．若该高中A ，B 两名学生通过激烈的竞争，取得了初赛的前两名，现进行决赛．规则如下：设置5轮抢答，每轮抢到答题权并答对则该学生得1分，答错则对方得1分．当分差达到2分或答满5轮时，比赛结束，得分高者获胜．已知A ，B 每轮均抢答且抢到答题权的概率分别为23，13，A ，B 每一轮答对的概率都为12，且两人每轮是否回答正确均相互独立． (1)求经过2轮抢答A 赢得比赛的概率；：(2)设经过抢答了X 轮后决赛结束，求随机变量X 的分布列和数学期望．【答案】(1)14(2)分布列见解析；期望为134【解析】(1)记事件C 为“经过2轮抢答A 赢得比赛” A 学生每轮得一分的概率()2111132322P A =⨯+⨯=，B 学生每轮得一分的概率()1121132322P B =⨯+⨯=，()21124P C ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以经过2轮抢答A 赢得比赛的概率为14．(2)X 的可能取值为2，4，5．2轮比赛甲赢或乙赢的概率为()2221122C 22P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，4轮比赛甲赢或乙赢的概率为()121111142C 22224P X ==⨯⨯⨯=， 5轮比赛甲赢或乙赢的概率为()11151424P X ==--=．X 的分布列为：()111132452444E X =⨯+⨯+⨯=，数学期望为134．6．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）沙滩排球是一项每队由两人组成的两队在由球网分开的沙地上进行比赛的运动．它有多种不同的比赛形式以适应不同人、不同环境下的比赛需求．国家沙滩排球队为备战每年一次的世界沙滩排球巡回赛，在文昌高隆沙湾国家沙滩排球训练基地进行封闭式训练．在某次训练中，甲、乙两队进行对抗赛，每局依次轮流发球（每队不能连续发球），连续赢得2个球的队获胜并结束该局比赛，并且每局不得超过5个球．通过对甲、乙两队过去对抗赛记录的数据分析，甲队发球甲队赢的概率为23，乙队发球甲队赢的概率为12，每一个球的输赢结果互不影响，已知某局甲先发球． (1)求该局第二个球结束比赛的概率；(2)若每赢1个球记2分，每输一个球记0分，记该局甲队累计得分为ξ，求ξ的分布列及数学期望． 【答案】(1)12(2)分布列见解析，18754【解析】(1)记：“甲队发球甲队赢”为事件A ，“乙队发球甲队赢”为事件B ，“第二个球结束比赛”为事件C ，则()23P A =，()12P B =，()()1132P A P B ==，，C AB AB =，因为事件AB 与AB 互斥，所以()()()()P C P ABAB P AB P AB ==+()()()()P A P B P A P B =+2111132322=⨯+⨯=，所以该局第二个球结束比赛的概率为12.(2)依题意知随机变量ξ的所有可能取值为0246，，， ()()()()1110326P P AB P A P B ξ====⨯=；()()()()2P P ABA ABAB P ABA P ABAB ξ===+21111115323323236=⨯⨯+⨯⨯⨯=； ()()4P P AB ABAABABAABABA ξ==()()()()P AB P ABA P ABABA P ABABA=+++21112111112121153++=323233232332323108=⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯； ()()()()()6P P ABAB ABABA ABABA P ABAB P ABABA P ABABAξ===++21212121211112113232323233232354=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=. 所以ξ的分布列为ξ0 2 46 P16536531081154故数学期望()15531118702466361085454E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 1．（2022·江苏省木渎高级中学模拟预测）2012年国家开始实施法定节假日高速公路免费通行政策，某收费站统计了2021年中秋节前后车辆通行数量，发现该站近几天车辆通行数量2100(,)0N ξσ～，若()(1200,80)01200P a P b ξξ>=<<=，则当82ab b a ≥+时下列说法正确的是（ ）A ．12a =B ．14b =C ．34a b +=D ．12a b -=【答案】C【解析】因2100(,)0N ξσ～，且()(1200,80)01200P a P b ξξ>=<<=，则有122b a +=，即21a b =-，不等式82ab b a ≥+为：24(1)1(21)0b b b -≥⇔-≤，则12b =，14a =， 所以34a b +=，14a b -=-，A ，B ，D 均不正确，C 正确.故选：C2．（2022·江苏·高三专题练习）随机变量()2,XN μσ，已知其概率分布密度函数22()21()e2x f x μσσπ-=在2x =处取得最大值为12π，则(0)P X >=（ ）附：()0.6827,(22)0.9545P X P X μσμσμσμσ-≤≤+=-≤≤+=． A ．0.6827 B ．0.84135C ．0.97725D ．0.9545【答案】B【解析】由题意2μ=，1122σππ=，2σ=，所以2(2)41()e2x f x π-=， (022)0.6827P X ≤≤=，所以1(0)(10.6827)0.158652P X <=-=， (0)10.158650.84135P X ≥=-=．故选：B ．3．（2022·河南安阳·模拟预测（理））某房产销售公司有800名销售人员，为了了解销售人员上一个季度的房屋销量，公司随机选取了部分销售人员对其房屋销量进行了统计，得到上一季度销售人员的房屋销量题组四 正态分布(20,4)X N ，则全公司上一季度至少完成22套房屋销售的人员大概有（ ）附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≈，(33)0.9973P X μσμσ-<≤+≈．A ．254人B ．127人C ．18人D ．36人【答案】B 【解析】因为(20,4)X N ，所以20μ=，2σ=，所以()1()10.6827220.1586522P X P X μσμσ--<≤+-≥===所以全公司上一季度至少完成22套房屋销售的人员大概有8000.15865127⨯≈（人）；故选：B4．（2022·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习）（多选）已知某校高三年级有1000人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分的分数转换区间为(]60,300，若使标准分X 服从正态分布N()180,900，()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，3309().973P X μσμσ-<≤+=，则（ ）A ．这次考试标准分超过180分的约有450人B ．这次考试标准分在(]90,270内的人数约为997C ．甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为38D ．()2402700.0428P X <≤= 【答案】BC【解析】依题意得180μ=，2900σ=，30σ=，因为()()11802P X P X μ>=>=， 所以这次考试标准分超过180分的约有110005002⨯=人，故A 不正确；()()90270180330180330P X P X <≤=-⨯<≤+⨯(33)P X μσμσ=-<≤+=0.9973，所以这次考试标准分在(]90,270内的人数约为10000.9973997⨯≈人，故B 正确； 依题意可知，每个人的标准分超过180分的概率为12，所以甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为223113C 1228⎛⎫⎛⎫⋅⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确； ()240270P X <≤()180230180330P X =+⨯<≤+⨯()23P X μσμσ=+<≤+。

高二上学期期中必刷题精选（压轴6类考点专练）一、单选题1．（24-25高三上·云南玉溪·阶段练习）在下图所示直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，π1,3AB DAB =Ð=，12AA =，动点P 在体对角线1BD 上，则顶点B 到平面APC 距离的最大值为（ ）A ．12BCD2．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）在正方体1111ABCD A B C D -中，平面a 经过点B ，D ，平面b 经过点A ，1D ，当平面a ，b 分别截正方体所得截面面积最大时，平面a 与平面b 的夹角的余弦值为（ ）ABC ．12D ．133．（24-25高二上·河北·在正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，1AA =2BC BO =uuu r uuu r ，M 为棱11B C 上的动点，N 为线段AM 上的动点，且MN MOMOMA=，则线段MN 长度的最小值为（ ）A ．2BC D 4．（24-25高二上·云南大理·阶段练习）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，11AA =，O 是AC 的中点，点P 在线段11A C上，若直线OP 与平面1ACD 所成的角为q ，则sin q 的取值范围是（ ）A．B．C．D ．5．（24-25高二上·重庆·阶段练习）长方体11ABCD ABC D -，1AB BC ==，12BB =，动点P 满足1(,[0,1])BP BC BBl m l m =+Îuuu r uuur uuur，1AP BD ^，则二面角P AD B --的正切值的取值范围是（ ）A ．10,4éùêúëûB ．10,2éùêúëûC ．11,42éùêúëûD ．1,12éùêúëû二、多选题6．（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）在长方体1111ABCD A B C D -中，12,4AB BC CC ===，点E 在棱1AA 上，且13AE EA =．点M 为线段11B D 上动点（包括端点），则下列结论正确的是（ ）A ．当点M 为11B D 中点时，1C M ^平面11BB D DB ．过E 点作与直线1BD 垂直的截面a ，则直线AD 与截面aC ．三棱锥E BDM -的体积是定值D ．点M 到直线1BC 7．（24-25高二上·吉林·阶段练习）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1BB 上一点，且12B P PB =，Q 为正方形11BB C C 内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（ ）A ．若1D Q ∥平面1A PD ，则动点Q 的线段B ．存在点Q ，使得1D Q ⊥平面1A PDC ．三棱锥1Q A PD -的最大体积为518D ．若1D Q ，且1D Q 与平面1A PD 所成的角为q ，则sin q 三、填空题8．（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ^底面ABCD ，DAB Ð为直角，//AB CD ，AD CD ==2AB ，E ，F 分别为PC ，CD 的中点，(0)PA kAB k =>，且二面角E BD C --的平面角大于30°，则k 的取值范围是 .9．（湖北省问津教育联合体2024-2025学年高二上学期10月联考数学试卷）正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是1AA 的中点，点F 为正方形11AA B B 内一动点，且//CF 平面1DEC ，若异面直线CF 与11A D 所成角为q ，则cos q 的最小值为 .一、单选题1．（24-25高二上·江西·阶段练习）点()2,3-关于直线2230x y +-=对称的点的坐标为（ ）A ．37,22æö-ç÷èøB ．73,22æö-ç÷èøC ．53,22æö-ç÷èøD ．35,22æö-ç÷èø2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线1l 过点()2,4A ，与x 轴交于点()3,0B ，直线1l 与2l 关于y 轴对称，则直线2l 的方程为（ ）A ．4120x y +-=B ．4120x y -+=C ．45120x y +-=D ．45120x y -+=3．（2025高三·全国·专题练习）已知0x y +=）AB ．CD ．4．（24-25高二上·天津·开学考试）已知点()3,6A -和()1,2B ，在x 轴上求一点M ，使AM BM +最小，那么点M 的坐标为（ ）A ．()2,0-B ．()1,0C ．()4.4,0D ．()0,05．（24-25高二上·云南玉溪·期中）一光线过点(2,4)，经倾斜角为3π4的且过(0,1)的直线l 反射后过点(5,0)，则反射后的光线不会经过下列哪个点（ ）A ．11,2æö-ç÷èøB ．32,8æö-ç÷èøC ．13,4æö-ç÷èøD ．14,4æö-ç÷èø6．（24-25高二上·全国·课后作业）若点M 在直线:1l y x =--上，则点M 到点()()2,1,3,4A B 的距离之和的最小值为（ ）A ．BC ．D ．7．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）直线1(1):220l x m y m ++--=与直线2:(1)220l m x y m +---=相交于点P ，对任意实数m ，直线12,l l 分别恒过定点,A B ，则||||PA PB +的最大值为（ ）A ．2B ．C ．D ．48．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知P ，Q 是直线:10l x y -+=上两动点，且||PQ (4,6)A -，(0,6)B ，则||||||AP PQ QB ++的最小值为（ ）A．10B．10C．D ．12一、单选题1．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知点A 、B 在圆22:16O x y +=上，且AB 的中点M 在圆22:(2)1C x y -+=上，则弦长AB 的最小值为（ ）A．B．C．D．2．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）若经过点()1,2且半径大于1的圆与两坐标轴都相切，若该圆上至少有三个不同的点到直线0x y c -+=的距离等于52，则实数c 的取值范围是（ ）A．æçèB ．55,22æö-ç÷èøC．éêëD ．55,22éù-êúëû3．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知直线1:310(R)l mx y m m --+=Î与直线2:310(R)l x my m m +--=Î相交于点P ，则P 到直线0x y +=的距离d 的取值范围是（ ）A．B．C．D．4．（24-25高二上·四川自贡·阶段练习）.已知点(,)P x y 为直线240l x y ++=：上的动点，过P 点作圆22:(1)1C x y +-=的切线PA ，PB ，切点为,A B ，则PAB V 周长的最小值为（）A．4B．5C．4D．4+5．（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）已知,A B 两点的坐标分别为()()0,1,1,0A B ，两条直线1:10l mx y -+=和()2:10l x my m +-=ÎR 的交点为P ，则AP BP +的最大值为（ ）ABC ．1D ．26．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知圆()22:11C x y -+=，直线:(1)l y k x =+，若直线与x 轴交于点A ，过直线l 上一点P 作圆C 的切线，切点为T，且PA =，则k 的取值范围是（ ）.A．éêëB ．11,33éù-êúëûC．13éùêúëûD．13é-êë7．（24-25高二上·黑龙江鹤岗·阶段练习）设m ÎR ，22:260M x y x y +--=e ．若动直线1:20l x my m +--=与M e 交于点A ，C ，动直线2210:mx y l m --+=与M e 交于点B ，D ，则AC BD +的最大值是（ ）A．B．C．D．8．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）已知圆()()221122:(4)4,,,,C x y A x y B x y -+=是圆上的两个动点，且AB =，则112211x y x y -++-+的最大值为（ ）A．10-B1+C．5D．10+一、单选题1．（23-24高二上·湖南常德·阶段练习）如图，已知12F F 、分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，现以2F 为圆心作一个通过双曲线中心的圆并且交双曲线C 于M N 、两点．若直线1MF 是圆2F 的切线，则该双曲线的离心率为（ ）A1BC．D22．（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左焦点为1F ，O 为坐标原点，若在C 的右支上存在关于x 轴对称的两点,P Q ，使得1PF Q △为正三角形，且1OQ F P ^，则C 的离心率为（）A B ．1C D ．13．（2022·陕西榆林·模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线C 的右支上，直线1PF 与双曲线C 的一条渐近线垂直，垂足为H ，若114PF HF =，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．73B ．53C D 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点为12,,,F F P Q 为C 在第一象限的两个动点，且1212π,6PF QF PF F l =Ð=uuu r uuuu r ，若123PF QF =，则C 的离心率为（ ）A B ．12C D 5．（24-25高三上·海南海口·阶段练习）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P是C 上一点，且212PF F F ^，H 是线段1PF 上靠近1F 的四等分点，且10OH PF ×=uuur uuu r，则C 的离心率为（ ）A B 1C 1D 6．（2025·四川巴中·模拟预测）已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左，右焦点，A ，B 是椭圆C 上的两点．若122F A F B =uuu r uuu u r ，且1π4AF F Ð=，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．13BCD ．237．（24-25高二上·浙江温州·阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与椭圆C 交于,M N 两点，若21225MNF MF F S S =V V 且2121F F N F NF ÐÐ=，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．35B C ．13D 8．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆()22112211:10x yE a b a b +=>>与双曲线()22222222:10,0x y C a b a b -=>>共焦点，12,F F 分别为左、右焦点，点P 为E 与C 的一个交点，且12120F PF Ð=°，设E 与C 的离心率分别为12,e e ，则2212e e +的取值范围是（ ）A ．)+¥B ．)+¥C ．()2,+¥D ．()3,+¥一、单选题1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线2:24C y x =的焦点为F ，定点()6,3,Q P 为C 上一动点，则PF PQ +的最小值为（ ）A ．12B ．14C ．16D ．182．（23-24高三上·广东广州·期中）直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点.若3AF BF =，则AB =（ ）A ．83B ．3C ．163D ．323．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点,A B 为抛物线22y x =上异于原点的两个动点，若AB 4=，则线段AB 中点的横坐标的最小值为（ ）A ．1B ．32C ．53D ．24．（2024·辽宁锦州·模拟预测）抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以点F 为圆心，以AF 为半径的圆与l 交于点B ，D ，与x 轴交于点M ，N ，若AB FM =uuu r uuuu r，则AM =uuuu r （ ）A．B．C．D．5．（23-24高二下·浙江·2:4C x y =，过抛物线C 焦点的直线交抛物线C 于A B 、两点，交圆22:20E x y y +-=于M N 、两点，其中A M 、位于第一象限，则14AM BN+的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知,A B 为抛物线()220y px p =>上的两个动点，以AB 为直径的圆C 经过抛物线的焦点F ，且面积为4π，若过圆心C 作该抛物线准线l 的垂线，垂足为D ，则CD 的最大值为（ ）.A ．4B．C．D ．67．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知抛物线28y x =上一点P 到准线的距离为1d ，到直线:43120l x y -+=的距离为2d ，则12d d +的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于(,A B A 在第一象限）两点，O 为坐标原点，若39AB BF ==，则OAB △的面积是（ ）A．B ．6C．D ．12一、解答题1．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左焦点为,F P 是椭圆上任意一点，PF 的最大值为3，最小值为1．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知1,12M æöç÷èø是椭圆内一点，过点M 任做一条直线与椭圆交于B C 、两点，求以M 为中点的弦所在的直线方程．2．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，右焦点到双曲线C 的一条渐近线的距离为1A ，B 在双曲线C 上，线段AB 的中点为(2,)(0)M m m m ≠.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)O 为坐标原点，若OAB △的面积为23，求直线AB 的方程.3．（24-25高三上·云南大理·开学考试）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点()3,1P ，焦距为，斜率为13-的直线l 与椭圆C 相交于异于点P 的,M N 两点，且直线,PM PN 均不与x 轴垂直.(1)求椭圆C 的方程.(2)记直线PM 的斜率为1k ，直线PN 的斜率为2k ，证明:12k k 为定值.(3)若MN A =为椭圆C 的上顶点，求AMN V 的面积.4．（23-24高二上·江苏南通·2:2(0)y px p =>的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且3MF OF =，MFO △(1)求E 的方程;(2)若不过点F 的直线l 与E 交于A ，B 两点，ABF △的重心在直线2y =上，且13.AF BF +=则满足条件的直线l 是否存在，若存在求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．5．（24-25高三上·黑龙江大庆·阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点(A 在C 上，且离心率e =(1)求双曲线C 的方程;(2)记点A 在x 轴上的射影为点B ，过点B 的直线l 与C 交于M ，N 两点.探究:2211||||BM BN +是否为定值，若是，求出该定值;若不是，请说明理由.6．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点()3,1P ，焦距为13-的直线l 与椭圆C 相交于异于点P 的,M N 两点，且直线,PM PN 均不与x 轴垂直.(1)求椭圆C 的方程；(2)若MN =MN 的方程；(3)记直线PM 的斜率为1k ，直线PN 的斜率为2k ，证明:12k k 为定值.7．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知动点(,)P x y 到定点(2,0)F 的距离与动点P 到定直线2x =-的距离相等，若动点P 的轨迹记为曲线C ．(1)求C 的方程；(2)不过点F 的直线与C 交于横坐标不相等的A ，B 两点，且6AF BF +=，若AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，证明：N 为定点．8．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点(2,0)D ，过F 的直线交C 于,M N 两点，直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为,A B ，记直线,MN AB 的斜率分别为12,k k .(1)求证：12k k 为定值；(2)直线AB 是否过定点？若过定点，求出定点坐标．9．（2024高三下·河南·专题练习）动点(),P x y 与定点()2,0F 的距离和它到定直线1:2l x =的距离的比是2，记动点P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)过()2,0R -的直线l 与C 交于,A B 两点，且(0)RA aRB a =>uuu r uuu r ，若点M 满足AM aMB =uuuu r uuu r ，证明：点M 在一条定直线上.10．（2024·青海海南·二模）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的虚轴长为(3,2)P -在C 上.设直线l 与C 交于A ，B 两点（异于点P ），直线AP 与BP 的斜率之积为13.(1)求C 的方程；(2)证明：直线l 的斜率存在，且直线l 过定点.11．（24-25高二上·广西梧州·阶段练习）已知O 为坐标原点，动点P 到x 轴的距离为d ，且22||OP d l m =+，其中,l m 均为常数，动点P 的轨迹称为(),l m 曲线.(1)若1,2m æöç÷èø曲线为焦点在y 轴上的椭圆，求m 的取值范围.(2)设曲线Ω为19,8æö-ç÷èø曲线，斜率为()0k k ≠的直线l 过Ω的右焦点，且与Ω交于,A B 两个不同的点.（i ）若2k =，求AB ；（ii ）若点B 关于x 轴的对称点为点D ，证明：直线AD 过定点.12．（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 关于直线2y =-的对称点为()0,5-．(1)求C 的方程；(2)若O 为坐标原点，过焦点F 且斜率为1的直线l 交C 于A B 、两点，求|AB |；(3)过点()4,1M 的动直线l 交C 于不同的,A B 两点，N 为线段AB 上一点，且满足AM BN AN BM ×=×，证明：点N 在某定直线上，并求出该定直线的方程．。

核外电子排布与元素周期表(建议用时：40分钟)[基础过关练]1．价电子排布式为3d104s1的原子对应的元素在元素周期表中应位于( )A．第5周期ⅠB族B．第5周期ⅡB族C．第4周期ⅦB族D．第4周期ⅠB族D[该元素基态原子核外电子排布式为1s22s22p63s23p63d104s1，根据电子排布式知，该原子含有4个电子层，所以位于第4周期，其价电子排布式为3d104s1，属于ⅠB族元素，所以该元素位于第4周期ⅠB族，D正确。

]2．下列说法不正确的是( )A．某基态原子外围电子排布式为4f75d16s2，该元素位于周期表中第6周期ⅢB族B．在元素周期表中，s区、d区和ds区的元素都是金属元素C．当碳原子的核外电子排布由转变为时，释放能量，由激发态转化成基态D．非金属元素形成的共价化合物中，原子的最外层电子数不一定是2或8B[由基态原子外围电子排布式为4f75d16s2，判断此元素位于周期表中第6周期ⅢB 族，故A正确；s区的H为非金属元素，d区和ds区元素包括副族和Ⅷ族元素，副族和Ⅷ族元素全部是金属元素，故B错误；基态碳原子的核外电子排布式为1s22s22p2，当核外电子排布式为1s22s12p3时，该原子处于激发态，所以碳原子的核外电子排布由转变为时，释放能量，由激发态变为基态，故C正确；非金属元素形成的共价化合物中，如PCl5中P原子不满足最外层电子数为2或8，故D正确。

]3．(2021·黑龙江牡丹江三中高二期末)元素周期表中有如图所示的元素，下列叙述正确的是( )A．钛元素原子的M层上共有10个电子B．钛元素是ds区的过渡元素C．钛元素原子最外层上有4个电子A[钛元素原子的M层为第三层，M层电子排布式为3s23p63d2，共有10个电子，A正确；钛元素是d区元素，B错误；钛元素原子最外层电子排布式为4s2，有2个电子，C错误；47.87是钛元素的相对原子质量，D错误。

]4．下列各组元素属于p区的是( )A．原子序数为1、2、7的元素B．S、O、PC．Fe、Ar、Cl D．Na、Li、MgB[根据元素分区标准可知，属于p区的元素最后填入的电子是p电子；原子序数为1的H元素属于s区，故A错误；O、S、P原子最后填入的电子都是p电子，所以属于p区，故B正确；铁属于d区，故C错误；锂、钠最后填入的电子是s电子，属于s区，故D错误。