1-6极限存在准则、两个重要极限

证明：
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(1)用归纳法证有界性
∵ 0 < x1 < 3
∴ 3 − x1 > 0
1 3 0 < x2 < x1 (3 − x1 ) ≤ ( x1 + 3 − x1 ) = 2 2 3 设：正整数为k时，有： 0 < xk ≤ 2
1 3 ≤ (3 − x + x ) 则当： 0 < xk +1 = xk (3 − xk ) k k = 2 2 3 ∴ 有界 ∴由归纳法知，当n > 1时，恒有： 0 < xn ≤ 2
1 1 设 lim xn = a, 则： lim xn +1 = lim ( xn + ) n →∞ 2 n →∞ n →∞ xn 1 1 2 ⇒ a = 1 ⇒ a = 1, (a = −1舍去） ⇒ a = (a + ) 2 a ∴ lim xn = 1
n →∞
n →∞
10
例、设x1 = 10, xn +1 = 6 + xn
20
三角函数的和差化积、积化和差公式： sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β cos(α ± β ) = cos α cos β ± sin α sin β α +β α −β sin α + sin β = 2sin cos 2 2
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α +β α −β sin α − sin β = 2cos sin 2 2
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x ( x → 0)
t 1 原式 = lim = lim t → 0 sin t t → 0 sin t
t
=1
arcsin x ∼ x ( x → 0)
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x 1 − cos x 1 − cos x ∼ ( x → 0) 例、 求 lim 2 x →0 2 x 2 2 x x 2 sin 2 1 1 2 1 ⎡sin 2 ⎤ = lim ⎢ x ⎥ = ⋅1 = 解: 原式 = lim 2 x →0 2 x 2 x →0 ⎣ 2 ⎦ 2
例、 已知圆内接正 n 边形面积为
π An = n R sin π cos n n 2 证明: lim An = π R . n →∞ π sin 证: lim An = lim π R 2 π n cos π = π R 2 n
2
2
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π n
R
n →∞
n →∞
n
sin ϕ ( x) =1 说明: 计算中注意利用 lim ϕ ( x ) →0 ϕ ( x )
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sin f ( x) ∼ f ( x) ( f ( x) → 0)
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sin mx sin mx mx nx 例、 lim = lim x → 0 sin nx x → 0 mx nx sin nx nx mx sin mx m lim lim = lim = x → 0 x → 0 x → 0 mx sin nx n nx
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（2）xn = 2
<2
∴ 有上界
∴ xn +12 = 2 xn
∴ 极限存在
∵ xn +1 = 2 xn 设： lim xn = a
n →∞ n →∞
a 2 = 2a ∴ a = 2 (a = 0舍去）
13
∴ lim xn = 2
例、设0 < x1 < 3, xn +1 = xn (3 − xn ), n = 1, 2,..., 证明数列{xn }的极限存在，并求此极限
第一章
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第六节 极限存在准则及 两个重要极限
一、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则 二、 两个重要极限
1
一、极限存在准则 准则I、（夹逼性定理） 若数列{xn },{ yn },{zn }满足： (n = 1, 2,...)，⎫ 则： lim xn = a ⎬ n →∞ (2)、 lim yn = a, lim zn = a ⎭ n →∞ n →∞
1 [1− ( )n ] 2
1 2
1 4
1 2n
=2
=2
1 [1− ( )n ] 2
=2
12
方法二：利用单调有界证明
1 xn +1 2 2... 2 （1） = = 1 1 1 = 2 2n+1 > 1 xn 2 2 2... 2 2 + 4 +...+ 2n ∴ xn +1 > xn为单调增加数列 1 [1− ( )n ] 2 1 1 1 + + ... + n +1 2 4 2
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x+a x−a cos x − cos a cos x − cos a = −2sin sin 例、 lim 2 2 x→a x−a cos x − cos a ∴ lim 解： x→a x−a x−a x+a x−a in −2sin sin x+a 2 2 2 = lim − sin = lim x→a x−a 2 x→a x−a 2 = − sin a
∴ xn − a < ε 成立 ∴ lim xn = a
n →∞
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准则I '：若： ⎫ （） 1 x ∈ U ( x0 , r ) (or : x > M )时， ⎪ ⎪ 有 : g ( x) ≤ f ( x) ≤ h( x)成立 ⎬ 则： lim f ( x ) = A x → x0 （2）lim g ( x) = A, lim h( x) = A ⎪ ( x →∞ ) x → x0 x → x0 ⎪ ( x →∞ ) ( x →∞ ) ⎭
lim yn = a 证明： ∵ n →∞
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(1)、yn ≤ xn ≤ zn
∴∀ε > 0, 总∃N1 , 当n > N1时，有 yn − a < ε 成立 同理：∃N 2 ,当n > N 2时，有 zn − a < ε 成立 取：N = max{N1 , N 2 }
2
⎧ a − ε < yn < a + ε 则：当n > N时， ⎨ 同时成立 ⎩ a − ε < zn < a + ε ∴ a − ε < yn ≤ xn ≤ zn < a + ε
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△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积 π 1 sin x < 1 x < 1 tan x ⇒ sin x < x < tan x (0 < x < 2) 2 2
2
x 1 1< < sin x cos x
∵ lim cos x = 1,
x →0
sin x ) ⇒ cos x < < 1 (0 < x < π 2 x sin x ∴ lim =1 x →0 x
(n = 1, 2,...),
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试证明数列{xn }的极限存在，并求此极限
（1）、 ∵ x1 = 10, xn (n = 1, 2,...) 有下界
（2）、用归纳法证单调性
x2 = 6 + 10 = 4 < x1
设当正整数为k时，有：xk +1 < xk
x1 = 2 < 2,
∴{xn }有上界2
8
∴ lim xn 存在
n →∞
1 1 例、设x1 > 0, xn +1 = ( xn + ) n = 1, 2,...， 2 xn 证明： lim xn 存在，并求其极限值
n →∞
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1 1 证明： (1)∵ xn +1 = ( xn + ) 2 xn
⎧单调增加有上界 ⇒ 必有极限 单调有界必有极限 ⇒⎨ ⎩单调减少有下界
6
证明单调性有以下几种方法： （）、 1 xn +1 − xn ≥ 0 (or :≤ 0) (2)、xn +1 − xn与xn − xn −1同号
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xn +1 （3）、 ≥ 1 （or :≤ 1) xn
(4)、利用数学归纳法（也可用此法证有界性）
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1 例、求:lim x sin x →∞ x 解： 令：u = 1 , 则：x → ∞时，u → 0 x sin u 1 ∴ 原式 = lim = 1 ∴ lim x sin = 1 u →0 u x →∞ x 1 sin 可推广： lim sin f ( x) = 1 x = 1） f ( x)→0 f ( x) (实为 lim x →∞ 1 其中：f ( x) ≠ 0 x
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（2）n > 1时，
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xn +1 − xn = xn (3 − xn ) − xn = xn ( 3 − xn − xn )
= 3 xn 3 − xn + xn
≥0
∴ xn +1 ≥ xn
设:lim xn = a
n →∞
{xn }为单调增加数列
∴ lim xn 存在
n →∞
⇒ lim xn +1 = lim xn (3 − xn )
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tan x 例、 求 lim x →0 x tan x sin x 1 ⎞ ⎛ 解: lim = lim ⎜ ⎟ x →0 x x →0⎝ x cos x ⎠ sin x 1 = lim = 1 tan x ∼ ⋅ lim x →0 x x →0 cos x
arcsin x 例、 求 lim x →0 x 解: 令 t = arcsin x , 则 x = sin t , 因此
则：xk + 2 = 6 + xk +1 < 6 + xk = xk +1