专题03 胡不归专题在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如P A +PB 最值，除此之外我们还可能会遇上形如“P A +kP ”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题； （2）阿氏圆． 【故事介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）而如果先沿着驿道AC 先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？【模型建立】如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BCV V的值最小．V 1V 2V 1驿道砂石地ABCV 2V 1MNCBA【问题分析】121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，记12V k V =，即求BC +kAC 的最小值． 【问题解决】构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，即CHk AC=，CH =kAC ．将问题转化为求BC +CH 最小值，过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．M M【模型总结】在求形如“P A+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“P A+kPB”型问题转化为“P A+PC”型．而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段．例题1. 如图，△ABC中，AB=AC=10，tan A=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD 的最小值是_______．【分析】本题关键在于处理BD”，考虑tan A=2，△ABE三边之比为1:2sin∠，故作DH⊥AB交AB于H点，则DH=．问题转化为CD+DH最小值，故C、D、H共线时值最小，此时CD DH CH BE+===．【小结】本题简单在于题目已经将BA线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线DH，即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下：则需自行构造α，如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在．变式练习>>>1．如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则PB+的最小值等于________．【分析】考虑如何构造”，已知∠A=60°，且，故延长AD，作PH⊥AD延长线于H点，即可得PH，将问题转化为：求PB+PH最小值．当B、P、H三点共线时，可得PB+PH取到最小值，即BH的长，解直角△ABH即可得BH长．AB CDEHEDCBA AB CDEHαsinα5H EDCBAEDCBA BCD PMHPD CBA A BCD PHM例题2. 如图，AC是圆O的直径，AC＝4，弧BA＝120°，点D是弦AB上的一个动点，那么OD+BD的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵的度数为120°，∵∵C＝60°，∵AC是直径，∵∵ABC＝90°，∵∵A＝30°，作BK∵CA，DE∵BK于E，OM∵BK于M，连接OB．∵BK∵AC，∵∵DBE＝∵BAC＝30°，在Rt∵DBE中，DE＝BD，∵OD+BD＝OD+DE，根据垂线段最短可知，当点E与M重合时，OD+BD的值最小，最小值为OM，∵∵BAO＝∵ABO＝30°，∵∵OBM＝60°，在Rt∵OBM中，∵OB＝2，∵OBM＝60°，∵OM＝OB•sin60°＝，∵DB+OD的最小值为，故选：B．变式练习>>>2．如图，∵ABC中，∵BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小值为2，则BC＝﹣．【解答】解：如图将∵ABP绕点A顺时针旋转60°得到∵AMG．连接PG，CM．∵AB＝AC，AH∵BC，∵∵BAP＝∵CAP，∵P A＝P A，∵∵BAP∵∵CAP（SAS），∵PC＝PB，∵MG＝PB，AG＝AP，∵GAP＝60°，∵∵GAP是等边三角形，∵P A＝PG，∵P A+PB+PC＝CP+PG+GM，∵当M，G，P，C共线时，P A+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长，∵AP+BP+CP的最小值为2，∵CM＝2，∵∵BAM＝60°，∵BAC＝30°，∵∵MAC＝90°，∵AM＝AC＝2，作BN∵AC于N．则BN＝AB＝1，AN＝，CN＝2﹣，∵BC＝＝＝﹣．故答案为﹣．例题3. 等边三角形ABC的边长为6，将其放置在如图所示的平面直角坐标系中，其中BC边在x轴上，BC边的高OA在Y轴上．一只电子虫从A出发，先沿y轴到达G点，再沿GC到达C点，已知电子虫在Y轴上运动的速度是在GC上运动速度的2倍，若电子虫走完全程的时间最短，则点G的坐标为（0，）．【解答】解：如图作GM∵AB于M，设电子虫在CG上的速度为v，电子虫走完全全程的时间t＝+＝（+CG），在Rt∵AMG中，GM＝AG，∵电子虫走完全全程的时间t＝（GM+CG），当C、G、M共线时，且CM∵AB时，GM+CG最短，此时CG＝AG＝2OG，易知OG＝•×6＝所以点G的坐标为（0，﹣）．故答案为：（0，﹣）．变式练习>>>3．如图，∵ABC在直角坐标系中，AB＝AC，A（0，2），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P 从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）解：假设P在AD的速度为3V，在CD的速度为1V，总时间t＝+＝（+CD），要使t最小，就要+CD最小，因为AB＝AC＝3，过点B作BH∵AC交AC于点H，交OA于D，易证∵ADH∵∵ACO，所以＝＝3，所以＝DH，因为∵ABC是等腰三角形，所以BD＝CD，所以要+CD最小，就是要DH+BD最小，就要B、D、H三点共线就行了．因为∵AOC∵∵BOD，所以＝，即＝，所以OD＝，所以点D的坐标应为（0，）．例题4. 直线y＝与抛物线y＝（x﹣3）2﹣4m+3交于A，B两点（其中点A在点B的左侧），与抛物线的对称轴交于点C，抛物线的顶点为D（点D在点C的下方），设点B的横坐标为t（1）求点C的坐标及线段CD的长（用含m的式子表示）；（2）直接用含t的式子表示m与t之间的关系式（不需写出t的取值范围）；（3）若CD＝CB．∵求点B的坐标；∵在抛物线的对称轴上找一点F，使BF+CF的值最小，则满足条件的点F的坐标是（3，）．【解答】解：（1）抛物线y＝（x﹣3）2﹣4m+3的对称轴为x＝3，令x＝3，则有y＝×3＝4，即点C的坐标为（3，4）．抛物线y＝（x﹣3）2﹣4m+3的顶点D的坐标为（3，﹣4m+3），∵点D在点C的下方，∵CD＝4﹣（﹣4m+3）＝4m+1．（2）∵点B在直线y＝上，且其横坐标为t，则点B的坐标为（t，t），将点B的坐标代入抛物线y＝（x﹣3）2﹣4m+3中，得：t＝（t﹣3）2﹣4m+3，整理，得：m＝﹣t+3．（3）∵依照题意画出图形，如图1所示．过点C作CE∵x轴，过点B作BE∵y轴交CE于点E．∵直线BC的解析式为y＝x，∵BE＝CE，由勾股定理得：BC＝＝CE．∵CD＝CB，∵有4m+1＝（t﹣3）＝（+﹣3），解得：m＝﹣4，或m＝1．当m＝﹣4时，+4×（﹣4）＝﹣＜0，不合适，∵m＝1，此时t＝+＝6，y＝×6＝8．故此时点B的坐标为（6，8）．∵作B点关于对称轴的对称点B′，过点F作FM∵BC于点M，连接B′M、BB交抛物线对称轴于点N，如图2所示．∵直线BC的解析式为y＝x，FM∵BC，∵tan∵FCM＝＝，∵sin∵FCM＝．∵B、B′关于对称轴对称，∵BF＝B′F，∵BF+CF＝B′F+FM．当点B′、F、M三点共线时B′F+FM最小．∵B点坐标为（6，8），抛物线对称轴为x＝3，∵B′点的坐标为（0，8）．又∵B′M∵BC，∵tan∵NB′F＝，∵NF＝B′N•tan∵NB′F＝，∵点F的坐标为（3，）．故答案为：（3，）．变式练习>>>4．如图1，在平面直角坐标系中将y＝2x+1向下平移3个单位长度得到直线l1，直线l1与x轴交于点C；直线l2：y＝x+2与x轴、y轴交于A、B两点，且与直线l1交于点D．（1）填空：点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，2）；（2）直线l1的表达式为y＝2x﹣2；（3）在直线l1上是否存在点E，使S∵AOE＝2S∵ABO？若存在，则求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（4）如图2，点P为线段AD上一点（不含端点），连接CP，一动点H从C出发，沿线段CP以每秒1个单位的速度运动到点P，再沿线段PD以每秒个单位的速度运动到点D后停止，求点H在整个运动过程中所用时间最少时点P的坐标．【解答】解：（1）直线l2：y＝x+2，令y＝0，则x＝﹣2，令y＝0，则x＝2，故答案为（﹣2，0）、（0，2）；（2）y＝2x+1向下平移3个单位长度得到直线l1，则直线l1的表达式为：y＝2x﹣2，故：答案为：y＝2x﹣2；（3）∵S∵AOE＝2S∵ABO，∵y E＝2OB＝4，将y E＝4代入l1的表达式得：4＝2x﹣2，解得：x＝3，则点E的坐标为（3，4）；（4）过点P、C分别作y轴的平行线，分别交过点D作x轴平行线于点H、H′，H′C交BD于点P′，直线l2：y＝x+2，则∵ABO＝45°＝∵HBD，PH＝PD，点H在整个运动过程中所用时间＝+＝PH+PC，当C、P、H在一条直线上时，PH+PC最小，即为CH′＝6，点P坐标（1，3），故：点H在整个运动过程中所用最少时间为6秒，此时点P的坐标（1，3）．例题5. 已知抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一个交点为D．（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；（2）若在（1）的条件下，抛物线上存在点P，使得∵ACP是以AC为直角边的直角三角形，求点P的坐标；（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？【解答】解：（1）∵y＝a（x+3）（x﹣1），∵点A的坐标为（﹣3，0）、点B两的坐标为（1，0），∵直线y＝﹣x+b经过点A，∵b＝﹣3，∵y＝﹣x﹣3，当x＝2时，y＝﹣5，则点D的坐标为（2，﹣5），∵点D在抛物线上，∵a（2+3）（2﹣1）＝﹣5，解得，a＝﹣，则抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵A的坐标为（﹣3，0），C（0，3），∵直线AC的解析式为：y＝x+3，∵∵∵ACP是以AC为直角边的直角三角形，∵CP∵AC，∵设直线CP的解析式为：y＝﹣x+m，把C（0，3）代入得m＝3，∵直线CP的解析式为：y＝﹣x+3，解得，（不合题意，舍去），∵P（﹣，）；∵∵∵ACP是以AC为直角边的直角三角形，∵AP∵AC，∵设直线CP的解析式为：y＝﹣x+n，把A（﹣3，0）代入得n＝﹣，∵直线AP的解析式为：y＝﹣x﹣，解y＝得，，∵P（，﹣），综上所述：点P的坐标为（﹣，）或（，﹣）；（3）如图2中，作DM∵x轴交抛物线于M，作DN∵x轴于N，作EF∵DM于F，则tan∵DAN＝＝＝，∵∵DAN＝60°，∵∵EDF＝60°，∵DE＝＝EF，∵Q的运动时间t＝+＝BE+32DE=BE+EF，∵当BE和EF共线时，t最小，则BE∵DM，此时点E坐标（1，﹣4）．变式练习>>>5．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A（2，0）、B（﹣8，0），交y轴于点C，过点A、B、C三点的∵M与y轴的另一个交点为D．（1）求此抛物线的表达式及圆心M的坐标；（2）设P为弧BC上任意一点（不与点B，C重合），连接AP交y轴于点N，请问：AP•AN是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；（3）延长线段BD交抛物线于点E，设点F是线段BE上的任意一点（不含端点），连接AF．动点Q 从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到点F，再沿线段FB以每秒个单位的速度运动到点B后停止，问当点F的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？【解答】解：（1）抛物线解析式为y＝﹣（x+8）（x﹣2），即y＝﹣x2﹣x+4；当x＝0时，y＝﹣x2﹣x+4＝4，则C（0，4）∵BC＝4，AC＝2，AB＝10，∵BC2+AC2＝AB2，∵∵ABC为直角三角形，且∵ACB＝90°，∵AB为直径，∵圆心M点的坐标为（﹣3，0）；（2）以AP•AN为定值．理由如下：如图1，∵AB为直径，∵∵APB＝90°，∵∵APB＝∵AON，∵NAO＝∵BAP，∵∵APB∵∵AON．∵AN：AB＝AO：AP，∵AN•AP＝AB•AO＝20，所以AP•AN为定值，定值是20；（3）∵AB∵CD，∵OD＝OC＝4，则D（0，﹣4），易得直线BD的解析式为y＝﹣x﹣4，过F点作FG∵x轴于G，如图2，∵FG∵OD，∵∵BFG∵∵BDO，∵＝，即＝＝＝，∵点Q沿线段FB以每秒个单位的速度运动到点B所用时间等于点Q以每秒1个单位的速度运动到G点的时间，∵当AF+FG的值最小时，点Q在整个运动过程中所用时间最少，作∵EBI＝∵ABE，BI交y轴于I，作FH∵BI于H，则FH＝FG，∵AF+FG＝AF+FH，当点A、F、H共线时，AF+FH的值最小，此时AH∵BI，如图2，作DK∵BI，垂足为K，∵BE平分∵ABI，∵DK＝DO＝4，设DI＝m，∵∵DIK＝∵BIO，∵∵IDK∵∵IBO，∵＝＝＝，∵BI＝2m，在Rt∵OBI中，82+（4+m）2＝（2m）2，解得m1＝4（舍去），m2＝，∵I（0，﹣），设直线BI的解析式为y＝kx+n，把B（﹣8，0），I（0，﹣）代入得，解得，∵直线BI的解析式为y＝﹣x﹣，∵AH∵BI，∵直线AH的解析式可设为y＝x+q，把A（2，0）代入得+q＝0，解得q＝﹣，∵直线AH的解析式为y＝x﹣，解方程组，解得，∵F（﹣2，﹣3），即当点F的坐标是（﹣2，﹣3）时，点Q在整个运动过程中所用时间最少．1. 如图，在平面直角坐标系中，点()3,3A ，点P 为x 轴上的一个动点，当OP AP 21+最小时，点P 的坐标为___________.[答案]：()0,2P2. 如图，四边形ABCD 是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，点M 为对角线BD （不含点B ）上的一动点，则BM AM 21+的最小值为___________.[答案]：323. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点A （﹣1，0），B （0，﹣），C（2，0），其对称轴与x 轴交于点D ．（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）点M 为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点N ，使得以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形为菱形，求点M 的坐标；（3）若P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，求PB +PD 的最小值．【解答】（1）由题意，解得，∵抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣，∵y＝x2﹣x﹣＝（x﹣）2﹣，∵顶点坐标（，﹣）；（2）设点M的坐标为（，y）．∵A（﹣1，0），B（0，﹣），∵AB2＝1+3＝4．∵以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时AM＝AB，则（+1）2+y2＝4，解得y＝±，即此时点M的坐标为（，）或（，﹣）；∵以B为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时BM＝AB，则（）2+（y+）2＝4，解得y＝﹣+或y＝﹣﹣，即此时点M的坐标为（，﹣+）或（，﹣﹣）；∵线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM＝BM，则（+1）2+y2＝（）2+（y+）2，解得y＝﹣，即此时点M的坐标为（，﹣）．综上所述，满足条件的点M的坐标为（，）或（，﹣）或（，﹣+）或（，﹣﹣）或（，﹣）；（3）如图，连接AB，作DH∵AB于H，交OB于P，此时PB+PD最小．理由：∵OA＝1，OB＝，∵tan∵ABO＝＝，∵∵ABO＝30°，∵PH＝PB，∵PB+PD＝PH+PD＝DH，∵此时PB+PD最短（垂线段最短）．在Rt∵ADH中，∵∵AHD＝90°，AD＝，∵HAD＝60°，∵sin60°＝，∵DH＝，∵PB+PD的最小值为．4. 【问题提出】如图∵，已知海岛A到海岸公路BD的距离为AB的长度，C为公路BD上的酒店，从海岛A到酒店C，先乘船到登陆点D，船速为a，再乘汽车，车速为船速的n倍，点D选在何处时，所用时间最短？【特例分析】若n＝2，则时间t＝+，当a为定值时，问题转化为：在BC上确定一点D，使得+的值最小．如图∵，过点C做射线CM，使得∵BCM＝30°．（1）过点D作DE∵CM，垂足为E，试说明：DE＝；（2）请在图∵中画出所用时间最短的登陆点D′．【问题解决】（3）请你仿照“特例分析”中的相关步骤，解决图∵中的问题．（写出具体方案，如相关图形呈现、图形中角所满足的条件、作图的方法等）【综合运用】（4）如图∵，抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，E为OB中点，设F为线段BC上一点（不含端点），连接EF．一动点P从E出发，沿线段EF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿着线段FC以每秒个单位的速度运动到C后停止．若点P在整个运动过程中用时最少，请求出最少时间和此时点F的坐标．【解答】解：（1）如图∵，∵DE∵CM，∵∵DEC＝90°，在Rt∵BCM中，DE＝CD sin30°＝CD；（2）如图∵过点A作AE′∵CM交BC于点D′，则点D′即为所用时间最短的登陆点；（3）如图∵，过点C作射线CM，使得sin∵BCM＝，过点A作AE∵CM，垂足为E交BC于点D，则点D为为所用时间最短的登陆点；（4）由题意得：t＝＝EF+CF，过点C作CD∵x轴交抛物线于点D，过点F作GF∵CD交CD于点G，∵ACB＝∵DCB＝α，sin∵ABC＝＝，则EF＝CF，EF+CF＝EF+FH，故当E、F、H三点共线且与CD垂直时，t最小，将点B、C坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，点E是OB中点，其坐标为：（3，0），当x＝3时，对于y＝﹣x+3，y＝，点F坐标为（3，），t＝＝EF+CF，当H、F、E三点共线时，EF+FH＝OC＝3，即：最小时间为3秒．5. 如图，∵ABC是等边三角形．（1）如图1，AH∵BC于H，点P从A点出发，沿高线AH向下移动，以CP为边在CP的下方作等边三角形CPQ，连接BQ．求∵CBQ的度数；（2）如图2，若点D为∵ABC内任意一点，连接DA，DB，DC．证明：以DA，DB，DC为边一定能组成一个三角形；（3）在（1）的条件下，在P点的移动过程中，设x＝AP+2PC，点Q的运动路径长度为y，当x取最小值时，写出x，y的关系，并说明理由．【解答】（1）解：如图1中∵∵ABC是等边三角形，AH∵BC，∵∵CAP＝∵BAC＝30°，CA＝CB，∵ACB＝60°，∵∵PCQ是等边三角形，∵CP＝CQ，∵PCQ＝∵ACB＝60°，∵∵ACP＝∵BCQ，∵∵ACP∵∵BCQ，∵∵CBQ＝∵CAP＝30°．（2）证明：如图2中，将∵ADC绕当A顺时针旋转60°得到∵ABQ，连接DQ．∵∵ACD∵∵ABQ，∵AQ＝AD，CD＝BQ，∵∵DAQ＝60°，∵∵ADQ是等边三角形，∵AD＝DQ，∵DA，DB，DC为边一定能组成一个三角形（图中∵BDQ）．（3）如图3中，作PE∵AB于E，CF∵AB于F交AH于G．∵PE＝P A，∵P A+2PC＝2（P A+PC）＝2（PE+PC），根据垂线段最短可知，当E与F重合，P与G重合时，P A+2PC的值最小，最小值为2CF．由（1）可知∵ACP∵∵BCQ，可得BQ＝P A，∵P A＝BQ＝AG＝CG＝y，FG＝y，∵x＝2（y+y），∵y＝x．6. 如图，已知抛物线y＝（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与∵ABC相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F 的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？【解答】解：（1）抛物线y＝（x+2）（x﹣4），令y＝0，解得x＝﹣2或x＝4，∵A（﹣2，0），B（4，0）．∵直线y＝﹣x+b经过点B（4，0），∵﹣×4+b＝0，解得b＝，∵直线BD解析式为：y＝﹣x+．当x＝﹣5时，y＝3，∵D（﹣5，3）．∵点D（﹣5，3）在抛物线y＝（x+2）（x﹣4）上，∵（﹣5+2）（﹣5﹣4）＝3，∵k＝．∵抛物线的函数表达式为：y＝（x+2）（x﹣4）．即y＝x2﹣x﹣．（2）由抛物线解析式，令x＝0，得y＝﹣k，∵C（0，﹣k），OC＝k．因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∵ABP为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是∵ABC∵∵APB或∵ABC∵∵P AB．∵若∵ABC∵∵APB，则有∵BAC＝∵P AB，如答图2﹣1所示．设P（x，y），过点P作PN∵x轴于点N，则ON＝x，PN＝y．tan∵BAC＝tan∵P AB，即：，∵y＝x+k．∵P（x，x+k），代入抛物线解析式y＝（x+2）（x﹣4），得（x+2）（x﹣4）＝x+k，整理得：x2﹣6x﹣16＝0，解得：x＝8或x＝﹣2（与点A重合，舍去），∵P（8，5k）．∵∵ABC∵∵APB，∵，即，解得：k＝．∵若∵ABC∵∵P AB，则有∵ABC＝∵P AB，如答图2﹣2所示．设P（x，y），过点P作PN∵x轴于点N，则ON＝x，PN＝y．tan∵ABC＝tan∵P AB，即：＝，∵y＝x+．∵P（x，x+），代入抛物线解析式y＝（x+2）（x﹣4），得（x+2）（x﹣4）＝x+，整理得：x2﹣4x﹣12＝0，解得：x＝6或x＝﹣2（与点A重合，舍去），∵P（6，2k）．∵∵ABC∵∵P AB，＝，∵＝，解得k＝±，∵k＞0，∵k＝，综上所述，k＝或k＝．（3）方法一：如答图3，由（1）知：D（﹣5，3），如答图2﹣2，过点D作DN∵x轴于点N，则DN＝3，ON＝5，BN＝4+5＝9，∵tan∵DBA＝＝＝，∵∵DBA＝30°．过点D作DK∵x轴，则∵KDF＝∵DBA＝30°．过点F作FG∵DK于点G，则FG＝DF．由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t＝AF+DF，∵t＝AF+FG，即运动的时间值等于折线AF+FG的长度值．由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．过点A作AH∵DK于点H，则t最小＝AH，AH与直线BD的交点，即为所求之F点．∵A点横坐标为﹣2，直线BD解析式为：y＝﹣x+，∵y＝﹣×（﹣2）+＝2，∵F（﹣2，2）．综上所述，当点F坐标为（﹣2，2）时，点M在整个运动过程中用时最少．方法二：作DK∵AB，AH∵DK，AH交直线BD于点F，∵∵DBA＝30°，∵∵BDH＝30°，∵FH＝DF×sin30°＝，∵当且仅当AH∵DK时，AF+FH最小，点M在整个运动中用时为：t＝，∵l BD：y＝﹣x+，∵F X＝A X＝﹣2，∵F（﹣2，）．7. 已如二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象和x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，（1）如图1，P是直线BC上方抛物线上一动点（不与B、C重合）过P作PQ∵x轴交直线BC于Q，求线段PQ的最大值；（2）如图2，点G为线段OC上一动点，求BG+CG的最小值及此时点G的坐标；（3）如图3，在（2）的条件下，M为直线BG上一动点，N为x轴上一动点，连接AM，MN，求AM+MN的最小值．【解答】解：（1）令y＝0，即：﹣x2+2x+3＝0，解得：x＝3或﹣1，即点A、B的坐标分比为（﹣1，0）、（3，0），令x＝0，则y＝3，则点C的坐标为（0，3），直线BC过点C（0，3），则直线表达式为：y＝kx+3，将点B坐标代入上式得：0＝3k+3，解得：k＝﹣1，则直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点P的坐标为（m，n），n＝﹣m2+2m+3，则点Q坐标为（3﹣n，n），则PQ＝m﹣（3﹣n）＝﹣m2+3m，∵a＝﹣1＜0，则PQ有最大值，当m＝﹣＝，PQ取得最大值为；（2）过直线CG作∵GCH＝α，使CH∵GH，当sinα＝时，HG＝GC，则BG+CG的最小值即为HG+GB的最小值，当B、H、G三点共线时，HG+GB最小，则∵GBO＝α，∵sinα＝，则cosα＝，tanα＝，OG＝OB•tanα＝3×＝，即点G（0，），CG＝3﹣＝，而BG＝，BG+CG的最小值为：；（3）作点A关于直线BG的对称点A′，过A′作A′N∵x轴，交BG于点M，交x轴于点N，则此时AM+MN取得最小值，即为A′N的长度，则：∵GBA＝∵AA′N＝∵OGB＝α，AA′＝2AB sin∵ABG＝2×4×sinα＝，A′N＝A′A cosα＝×＝，即：AM+MN的最小值为．8. 如图，在Rt∵ABC中，∵ACB＝90°，∵B＝30°，AB＝4，点D、F分别是边AB，BC上的动点，连接CD，过点A作AE∵CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF+FB的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：延长AC到点P，使CP＝AC，连接BP，过点F作FH∵BP于点H，取AC中点O，连接OG，过点O作OQ∵BP于点Q，∵∵ACB＝90°，∵ABC＝30°，AB＝4，∵AC＝CP＝2，BP＝AB＝4∵∵ABP是等边三角形，∵∵FBH＝30°∵Rt∵FHB 中，FH ＝FB∵当G 、F 、H 在同一直线上时，GF +FB ＝GF +FH ＝GH 取得最小值 ∵AE ∵CD 于点G ，∵∵AGC ＝90° ∵O 为AC 中点，∵OA ＝OC ＝OG ＝AC∵A 、C 、G 三点共圆，圆心为O ，即点G 在∵O 上运动 ∵当点G 运动到OQ 上时，GH 取得最小值 ∵Rt∵OPQ 中，∵P ＝60°，OP ＝3，sin∵P ＝ ∵OQ ＝OP ＝，∵GH 最小值为故选：C ．9. 抛物线2623663y x x =--+与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ．点P 是直线AC 上方抛物线上一点，PF ⊥x 轴于点F ，PF 与线段AC 交于点E ；将线段OB 沿x 轴左右平移，线段OB的对应线段是O 1B 1，当12PE EC +的值最大时，求四边形PO 1B 1C 周长的最小值，并求出对应的点O 1的坐标．【分析】根据抛物线解析式得A ()32,0-、B ()2,0、C ()0,6，直线AC 的解析式为：363y x =+，可知AC 与x 轴夹角为30°． 根据题意考虑，P 在何处时，PE +2EC取到最大值． 过点E 作EH ⊥y 轴交y 轴于H 点，则∠CEH =30°，故CH =2EC， 问题转化为PE +CH 何时取到最小值．考虑到PE 于CH 并无公共端点，故用代数法计算，设2623,663P m m m ⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭，则3,63E m m ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，30,63H m ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，2636PE m m =--，E B 1O 1P A BCFyx O H O xyFC BA P O 1B 1EC 1O xyF CBAP O 1B 1ECH=，22=PE CH m+=+∵当PE+EC的值最大时，x＝﹣2，此时P（﹣2，），∵PC＝2，∵O1B1＝OB＝，∵要使四边形PO1B1C周长的最小，即PO1+B1C的值最小，如图2，将点P向右平移个单位长度得点P1（﹣，），连接P1B1，则PO1＝P1B1，再作点P1关于x轴的对称点P2（﹣，﹣），则P1B1＝P2B1，∵PO1+B1C＝P2B1+B1C，∵连接P2C与x轴的交点即为使PO1+B1C的值最小时的点B1，∵B1（﹣，0），将B1向左平移个单位长度即得点O1，此时PO1+B1C＝P2C＝＝，对应的点O1的坐标为（﹣，0），∵四边形PO1B1C周长的最小值为+3.。
最值模型之胡不归“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
1.当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理(见专题08);2.当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点P在直线上运动和点P 在圆上运动。
(1)其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；(2)点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题(见专题11)。
胡不归：【模型建立】如图1：P是直线BC上的一动点，求PA+k·PB的最小值。
【作法】1.作∠CBE=α，使sinα=k,则PD=k·OP(图2)2.当AD最短，AD⊥BE时，则P为要求点。
(图3)AD长即为PA+k·PB的最小值.简记:胡不归,正弦作个角,作高求长即可.特别提醒：当k>1时，kAP+BP=k AP+1k BP按常规模型算即可1∠AOB=30°，OM=2，D为OB上动点，求MD+12OD的最小值．2(1)【问题探究】如图1，点E是等边△ABC高AD上的一定点，请在AB上找一点F，使EF=12AE，并说明理由；(2)【问题解决】如图2，在△ACD中，CO⊥AD，垂足为O，若AD=32，AC=2，OC=3，点P在OC上，求DP+12PC的最小值．(3)【问题拓展】如图3，△ABC中，AB=AC=10，tan∠A=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，求CD+ 55BD的最小值．1.实战训练1一．选择题(共8小题)1如图，在△ABC 中，P 为平面内的一点，连接AP 、PB 、PC ，若∠ACB =30°，AC =8，BC =10，则4PA +2PB +23PC 的最小值是()A.489B.36C.410+25+67D.1610-102如图，△ABC 为等边三角形，BD 平分∠ABC ，AB =2，点E 为BD 上动点，连接AE ，则AE +12BE 的最小值为()A.1B.2C.3D.23如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-49x 2+83x 与x 轴的正半轴交于点A ，B 点为抛物线的顶点，C 点为该抛物线对称轴上一点，则3BC +5AC 的最小值为()A.24B.25C.30D.364如图，在等边△ABC 中，AB =6，点E 为AC 中点，D 是BE 上的一个动点，则CD +12BD 的最小值是()A.3B.33C.6D.3+35如图，在菱形ABCD中，AB=AC=6，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM= 2，点P是线段BD上的一个动点，则MP+12PB的最小值是()A.2B.23C.4D.436如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，则AB=2BC．请在这一结论的基础上继续思考：若AC=2，点D是AB的中点，P为边CD上一动点，则AP+12CP的最小值为()A.1B.2C.3D.27如图，△ABC中，AB=AC=10，tan A=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD +55BD的最小值是()A.25B.45C.53D.108如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是边BC的中点，P是对角线BD上的一个动点，连接AE，AP，若AP+12BP的最小值恰好等于图中某条线段的长，则这条线段是()A.ABB.AEC.BDD.BE2二．填空题(共9小题)1如图，AC垂直平分线段BD，相交于点O，且OB=OC，∠BAD=120°．(1)∠ABC=．(2)E为BD边上的一个动点，BC=6，当AE+12BE最小时BE=2 ．2如图，在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为．3如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+4的图象分别与y轴和x轴交于点A和点B．若定点P的坐标为(0，63)，点Q是y轴上任意一点，则12PQ+QB的最小值为3 ．4如图，直线y=x-3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C(0，1)在y轴上，点P在x轴上运动，则2PC+PB的最小值为．5如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA=4 3，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是 649 s．6如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2-2x+c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B (0，-3)，若P是x轴上一动点，点D(0，1)在y轴上，连接PD，则C点的坐标是，2PD+PC的最小值是．7如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠BAD=30°，P为对角线AC(不含A点)上任意一点，则DP+12AP的最小值为．8如图，四边形ABCD中，AB=62，∠ABC=45°，E是BD上一点，若∠ABD=15°，则AE+12BE的最小值为．9如图，矩形OABC中，点A、C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=3，AB=1，点P为线段OA上一动点，则12OP+PB最小值为．3三．解答题(共5小题)1如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-1，0)，B(0，-3)，C(2，0)，其对称轴与x轴交于点D．(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标；(2)点M为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，求点M的坐标；(3)若P为y轴上的一个动点，连接PD，求12PB+PD的最小值．2如图抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于A(-1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线解析式．(2)连接BC，点P为BC下方上一动点，连接BP，CP．当△PBC的面积最大时，求点P的坐标和△PBC 面积的最大值．(3)点N为线段OC上一点，连接AN，求AN+12CN的最小值．3如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A、B两点，其中A(1，0)，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线解析式；(2)如图1，过点B作x轴垂线，在该垂线上取点P，使得△PBC与△ABC相似，请求出点P坐标；(3)如图2，在线段OB上取一点M，连接CM，请求出CM+12BM的最小值．4(1)【问题探究】如图1，点E是等边△ABC高AD上的一定点，请在AB上找一点F，使EF=12AE，并说明理由；(2)【问题解决】如图2，在△ACD中，CO⊥AD，垂足为O，若AD=32，AC=2，OC=3，点P在OC上，求DP+12PC的最小值．(3)【问题拓展】如图3，△ABC中，AB=AC=10，tan∠A=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，求CD+ 55BD的最小值．。
初中线段最值问题之---胡不归问题【引 入】胡不归问题是一个非常古老的数学问题，曾经是历史上非常著名的“难题”。
近年来陆续成为各地中考模拟题的小热门考点，学生做起题来失分非常高或是无从下手，今天我们一块来探究下。
【实际背景】话说，从前有一小伙子外出务工，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．小伙子略懂数学常识，考虑到“两点之间线段最短”的知识，就走布满沙石的路直线路径，而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”这个问题引起了人们的思索，小伙子能否节省路上时间提前到家？如果可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是流传千百年的“胡不归问题。
【模型建立】将上述问题归结为如下图(1)数学模型即是：如图，A 是出发点，B 是目的地，直线AC 是一条驿道，而驿道靠目的地一侧全是砂土，人们走在不同的道路上的速度不同，设走在驿站AC 的速度是m 米/秒，走在砂石道路上的速度是n 米/秒；1、如果小伙子直接从A 到B ，则他需要的时间就是：nAB 秒； 2、如果小伙子先走一段路程的驿站，即先走到D 点，在沿着DB 回到家，则他需要的时间就是：(nBD m AD +)秒。
现在问题就是n BD m AD +的结果有没有可能比n AB 更小呢？ 【宏观分析】虽然沿着折线A -D -B 行走，路程变成长了，但是折线AD 的速度更快，所需要的时间更少；沿着AB 行走，虽然路程变短，但是速度变慢，所需要的时间更多，所以： n BD m AD +完全有可能比nAB 更小。
(图1)【理论分析】小伙子所需要的时间为：nBD m AD +，对它进行变形处理如下： )(1BD AD mn n n BD m AD +=+， 由于n m ,均为题目给定的定值，所以求BD AD mn +的值即可。
由于B A ，均是动点，而D 是动点，故转变为两条折线段之和，故想办法将两条折线段AD mn 和BD 拉直时，其值最小，因此需要在图中构造出一条线段，使得其长度刚好为AD m n ，如下图（2）所示：（图2）在直线AC 的一侧作射线AM ，过D 点作AM 的垂线'DH ，由ADDH 'sin =α可知， 线段AD DH ⋅=αsin '，令mn =αsin ， ∴此时BD AD mn +=BD DH BD AD +=+⋅'sin α， 故由点到直线的距离垂线段最短可知：过B 点作AM 的垂线交AM 于点0H ，0BH 即为最小值。
【胡不归问题】模型分析：如图，在△ACE 中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O 经过点C，且圆的直径AB 在线段AE 上．设点 D1CD 的最小值．是线段AC 上任意一点（不含端点），连接OD，当AB=8 时，求OD +2例2（2019长沙）如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E,D是线段BE上的一个动5BD的最小值是 .点，则CD+5如图，抛物线m mx x y 322+-=与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C （0，-3）. （1）求该抛物线的解析式；（2）点D 为抛物线上的一点，且在第二象限内，连接AC ，若∠DAB=∠AC0，求点D 的坐标；（3）若E 为线段OC 上一动点，试求EC AE 22+的最小值.例4 （2017广州24题）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△COD关于CD的对称图形为△CED．（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）连接AE，若AB=6cm，BC=5cm．①求sin∠EAD的值；②若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间．练习1 如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠BCD=90°，∠BAD=60°，AB=4，AD=AB+CD ，DE 平分∠ADC ，与BC 交于点E ，连接AE. 若M 是AE 上的动点，求BM AM 21的最小值.练习2 （2018黄埔区 一模24题-删减）如图，在△ABC 中，AB=AC=m ，∠ABC=30°.（1）利用尺规作⊙O ，使⊙O 经过点A 和点B ，圆心O 在线段BC 上，该圆与BC 的另一交点为D （保留作图痕迹，不写作法）.（2）设F 是线段AB 上任意一点（不与A ，B 重合），连接OF ，当AF+2OF 的最小值为16时，求m 的值.练习3 （2019•恩施州）如图，抛物线y=ax 2-2ax+c 的图象经过点C （0，-2），顶点D 的坐标为（1，-38），与x 轴交于A 、B 两点． （1）求抛物线的解析式．（2）连接AC ，E 为直线AC 上一点，当△AOC ∽△AEB 时，求点E 的坐标和AB AE 的值． （3）点F （0，y ）是y 轴上一动点，当y 为何值时，55FC+BF 的值最小．并求出这个最小值． （4）点C 关于x 轴的对称点为H ，当55FC+BF 取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△QHF 是直角三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．。
