四节点矩形单元有限元分析

《有限元分析》课程作业任课教师：徐亚兰学生姓名：陈新杰学号：班级：1304012时间：2016-01-05一、问题描述及分析问题：如图1所示，有一矩形平板，在右侧受到P=10KN/m 的分布力，材料常数为：弹性模量Pa E 7101⨯=；泊松比3/1=μ；板的厚度为t=；试按平面应力问题利用三角形与矩形单元分别计算各个节点位移及支座反力。

图1 平面矩形结构的有限元分析分析：使用两种方案：一、基于3节点三角形单元的有限元建模，将矩形划分为两个3节点三角形单元；二、基于4节点矩形单元的有限元建模，使用一个4节点矩形单元。

利用MATLAB 软件计算出各要求量，再将两种方案的计算结果进行比较、分析、得出结论。

二、有限元建模及分析1、基于3节点三角形单元的有限元建模及分析 （1）结构的离散化与编号如图2所示，将平面矩形结构分为两个3节点三角形单P=10KN/m1m1m元。

单元①三个节点的编号为1，2，4，单元②三个节点的编号为3，4，2，各个节点的位置坐标为(),,1,2,3,4i i x y i =，各个节点的位移（分别沿x 方向和y 方向）为(),,1,2,3,4i i u v i =。

图2 方案一：使用两个3节点三角形单元（2）各单元的刚度矩阵及刚度方程 a.单元的几何和节点描述单元①有6个节点位移自由度（DOF ）。

将所有节点上的位移组成一个列阵，记作(1)q ；同样，将所有节点上的各个力也组成一个列阵，记作(1)F ，则有(1)112244,,,,,)q u v u v u v =（(1)112244(,,,,,)x y x y x y F F F F F F F =同理，对于单元②，有(2)334422,,,,,)q u v u v u v =（1234X y ①②(2)334422(,,,,,)x y x y x y F F F F F F F =b.单元的位移场描述对于单元①，设位移函数012012(,)(,)u x y a a x a y v x y b b x b y ⎫=++⎪⎬=++⎪⎭(1-1)由节点条件，在,i i x x y y ==处，有(,)(,)i i i i i i u x y u v x y v =⎫⎬=⎭1,2,4i = (1-2) 将式(1-1)代入节点条件式(1-2)中，可求出式（1-1）中待定系数，即011122211223444411()22u x y a u x y a u a u a u AAu x y ==++ (1-3) 11122112234441111()221u y a u y b u b u b u AAu y ==++ (1-4) 21122112234441111()221x u a x u c u c u c u AAx u ==++ (1-5) 01122341()2b a v a v a v A =++(1-6) 11122341()2b b v b v b v A =++(1-7) 21122341()2b c v c v c v A =++(1-8)在式(1-3)~式(1-8)中1122123441111()221x y A x y a a a x y ==++ (1-9)2212442442124421244(1,2,3)1111x y a x y x y x y y b y y y x c x x x ⎫==-⎪⎪⎪⎪=-=-⎬⎪⎪⎪==-+⎪⎭ (1-10) 上式中的符号(1,2,3)表示下标轮换，如12,23,31→→→同时更换。

平⾯四边形4结点等参有限单元法有限元程序设计平⾯四边形4结点等参有限单元法程序设计1、程序功能及特点a.该程序采⽤四边形4节点等参单元，能解决弹性⼒学的平⾯应⼒应变问题。

b.前处理采⽤⽹格⾃动划分技术，⾃动⽣成单元及结点信息。

b.能计算受集中⼒、⾃重体⼒、分布⾯⼒和静⽔压⼒的作⽤。

c.计算结点的位移和单元中⼼点的应⼒分量及其主应⼒。

d.后处理采取整体应⼒磨平求得各个结点的应⼒分量。

e.算例计算结果与ANSYS计算结果⽐较，并给出误差分析。

f.程序采⽤Visual Fortran 5.0编制⽽成。

2、程序流程及图框图2-１程序流程图图2-２⼦程序框图其中，各⼦程序的主要功能为：INPUT――输⼊原始数据HUAFEN――⾃动⽹格划分，形成COOR(2,NP),X,Y的坐标值与单元信息CBAND――形成主元素序号指⽰矩阵MA（*）SKO――形成整体刚度矩阵[K]CONCR――计算集中⼒引起的等效结点荷载{R}eBODYR――计算⾃重体⼒引起的等效结点荷载{R}eFACER――计算分布⾯⼒引起的等效结点荷载{R}eDECOP――⽀配⽅程LU三⾓分解FOBA――LU分解直接解法中的回代过程OUTDISP――输出结点位移分量STRESS――计算单元应⼒分量OUTSTRE――输出单元应⼒分量STIF――计算单元刚度矩阵FDNX――计算形函数对整体坐标的导数TiNxN，=i1,2,3,4。

FUN8――计算形函数及雅可⽐矩阵[J]SFUN ――应⼒磨平-单元下的‘K’=NCN‘SCN――应⼒磨平-单元下的右端项系数‘CN‘SUMSKN――应⼒磨平-单元下的右端项集成到总体的‘P‘SUMSTRS――应⼒磨平-单元下的集成到总体的‘K‘GAUSTRSS――⾼斯消元求磨平后的应⼒3、输⼊数据及变量说明当程序开始运⾏时，按屏幕提⽰，键⼊数据⽂件的名字。

在运⾏程序之前，根据程序中INPUT需要的数据输⼊建⽴⼀个存放原始数据的⽂件，这个⽂件的名字为INDAT.DAT。

《abaqus与nastran壳单元类型的比较与应用》近年来，有限元分析方法在工程设计领域得到了广泛的应用。

在有限元分析软件中，abaqus和nastran是两个常用的软件包，它们各自拥有多种壳单元类型，用于对薄壳结构进行分析。

本文将对abaqus与nastran的壳单元类型进行比较，并探讨其在工程实践中的应用。

一、abaqus壳单元类型1. 二维壳单元在abaqus中，常用的二维壳单元类型包括STRI65、S4R和S4。

STRI65是三节点三角形单元，适用于各种弯曲和薄壁结构的分析；S4R是四节点矩形单元，适用于各种应力状态下的薄壁结构的分析；S4是四节点四边形单元，也适用于各种应力状态下的薄壁结构的分析。

2. 三维壳单元对于三维壳结构，abaqus中常用的壳单元类型包括SHELL181和SHELL281。

SHELL181是六节点二次三角形单元，适用于各种复杂应力状态下的薄壁结构；SHELL281是八节点二次四边形单元，适用于各种复杂应力状态下的薄壁结构。

二、nastran壳单元类型1. 二维壳单元在nastran中，常用的二维壳单元类型包括SHELL4和SHELL63。

SHELL4是四节点四边形单元，适用于各种弯曲和薄壁结构的分析；SHELL63是六节点三角形单元，适用于各种弯曲和薄壁结构的分析。

2. 三维壳单元对于三维壳结构，nastran中常用的壳单元类型包括CBAR和CQUAD4。

CBAR是二节点柱单元，适用于各种复杂应力状态下的薄壁结构；CQUAD4是四节点四边形单元，适用于各种复杂应力状态下的薄壁结构。

三、abaqus与nastran壳单元类型的比较从上述介绍可以看出，abaqus与nastran在壳单元类型上有很多的相似之处，比如都有针对二维和三维壳结构的多种单元类型可供选择。

但同时也存在一些差异，比如abaqus中的SHELL181和nastran中的SHELL4，虽然都是用于薄壁结构的分析，但其节点数和形状略有不同。

有限元程序设计平面四边形4结点等参有限单元法程序设计1、程序功能及特点a.该程序采用四边形4节点等参单元，能解决弹性力学的平面应力应变问题。

b.前处理采用网格自动划分技术，自动生成单元及结点信息。

b.能计算受集中力、自重体力、分布面力和静水压力的作用。

c.计算结点的位移和单元中心点的应力分量及其主应力。

d.后处理采取整体应力磨平求得各个结点的应力分量。

e.算例计算结果与ANSYS计算结果比较，并给出误差分析。

f.程序采用Visual Fortran 5.0编制而成。

2、程序流程及图框图2-１程序流程图图2-２子程序框图其中，各子程序的主要功能为：INPUT――输入原始数据HUAFEN――自动网格划分，形成COOR(2,NP),X,Y的坐标值与单元信息CBAND――形成主元素序号指示矩阵MA（*）SKO――形成整体刚度矩阵[K]CONCR――计算集中力引起的等效结点荷载{R}eBODYR――计算自重体力引起的等效结点荷载{R}eFACER――计算分布面力引起的等效结点荷载{R}eDECOP――支配方程LU三角分解FOBA――LU分解直接解法中的回代过程OUTDISP――输出结点位移分量STRESS――计算单元应力分量OUTSTRE――输出单元应力分量STIF――计算单元刚度矩阵FDNX――计算形函数对整体坐标的导数TiiyNxN⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂，=i1,2,3,4。

FUN8――计算形函数及雅可比矩阵[J]SFUN ――应力磨平-单元下的‘K’=NCN‘SCN――应力磨平-单元下的右端项系数‘CN‘SUMSKN――应力磨平-单元下的右端项集成到总体的‘P‘SUMSTRS――应力磨平-单元下的集成到总体的‘K‘GAUSTRSS――高斯消元求磨平后的应力3、输入数据及变量说明当程序开始运行时，按屏幕提示，键入数据文件的名字。

在运行程序之前，根据程序中INPUT需要的数据输入建立一个存放原始数据的文件，这个文件的名字为INDAT.DAT。

《有限元剖析与应用》详尽例题试题 1：图示无穷长刚性地基上的三角形大坝，受齐顶的水压力作用，试用三节点常单元和六节点三角形单元对坝体进行有限元剖析，并对以下几种计算方案进行比较：1）分别采纳同样单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算；2）分别采纳不一样数目的三节点常应变单元计算；3）入选常应变三角单元时，分别采纳不一样区分方案计算。

一．问题描绘及数学建模无穷长的刚性地基上的三角形大坝受齐顶的水压作用可看作一个平面问题，简化为平面三角形受力问题，把无穷长的地基看着平面三角形的底边受固定支座拘束的作用，受力面的受力简化为受均布载荷的作用。

二．建模及计算过程1.分别采纳同样单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算下边简述三节点常应变单元有限元建模过程（其余种类的建模过程近似）：进入 ANSYS【开始】→【程序】→ANSYS → ANSYS Product Launcher → change the working directory→ Job Name: shiti1 → Run设置计算种类ANSYS Main Menu: Preferences → select Structural→ OK元型元是三节点常应变单元，能够用 4 节点退化表示。

ANSYS Main Menu: Preprocessor→ Element Type→ Add/Edit/Delete→ Add→ select Solid Quad 4 node 42 →OK (back to Element Types window)→Options ⋯→ select K3: Plane Strain →OK→ Close (the Element Type window)定资料参数资料，可找的参数并在有限元中定，此中性模量E=210Gpa，泊松比 v=。

ANSYS Main Menu : Preprocessor → Material Props → Material Models→ Structural→ Linear→Elastic → Isotropic→ input EX:, PRXY:→ OK生成几何模型生成特点点ANSYS Main Menu: Preprocessor→Modeling→ Create→Keypoints→ In Active CS→挨次入四个点的坐：input:1(0,0),2(3,0),3(6,0),4(3,5),5(0,10),6(0,5) → OK生成体截面ANSYS Main Menu: Preprocessor→Modeling→ Create→ Areas→ Arbitrary→ Through KPS→挨次接1,2,6;2,3,4;2,4,6;4,5,6 三个特点点→ OK网格区分ANSYS Main Menu : Preprocessor→ Meshing→ Mesh Tool→ (Size Controls) Global: Set→ input NDIV: 1→ OK → (back to the mesh tool window)Mesh: Areas, Shape: Tri, Free → Mesh → Pick All (in Picking Menu) → Close( the Mesh Tool window)模型施加束分下底和直的施加x 和 y 方向的束ANSYS Main Menu: Solution→ Define Loads→ Apply→ Structural→ Displacement→ On lines →底→OK → select:ALL DOF → OK斜施加x 方向的散布荷ANSYS 命令菜: Parameters→ Functions→ Define/Edit→ 1)在下方的下拉列表框内x ,作置的量；2) 在Result窗口中出{X},写入所施加的荷函数：1000*{X} ；3) File>Save(文件展名：func)→返回：Parameters→ Functions→ Read from file：将需要的.func文件翻开，任一个参数名，它表示随之将施加的荷→ OK→ ANSYS Main Menu: Solution→ Define Loads→ Apply→Structural→ Pressure→ On Lines→拾取斜；OK→在下拉列表框中，：Existing table (来自用定的量)→ OK →需要的荷参数名→OK剖析算ANSYS Main Menu: Solution→Solve→ Current LS→OK(to close the solve Current Load Step window)→OK果示确立目前数据最后步的数据ANSYS Main Menu: General Postproc→ Read Result→ Last Set看在外力作用下的形ANSYS Main Menu: General Postproc→ Plot Results → Deformed Shape→select Def + Undeformed→ OK看点位移散布状况Contour Plot→ Nodal Solu⋯→ select: DOF solution→Displacement vctor sum→ Def + Undeformed→OK看点力散布状况Contour Plot→ Nodal Solu⋯→ select: Stress→ XY shear stress→Def + Undeformed → OK退出系ANSYS Utility Menu: File→ Exit ⋯→ Save Everything→ OK三．结果剖析三节点常应变单元（ 6 个节点， 4 个单元）几何模型图变形图，节点位移图，节点应力争，节点应变图六节点常应变单元（ 6个节点， 4个单元）几何模型图变形图，节点位移图，节点应力争，节点应变图分别采纳同样单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算结果比较单元区分方案变形大小应力大小应变大小值的比较剖析三节点三角形DMX:DMX:DMX: 1.最大变形值小；单元SMX:SMN:2778SMN: 2.最大应力值小；SMX:8749SMX: 3.最大应变值小。

1、有限元方法与传统力学方法的比较，有限元的一般概念及基本思路。

叙述有限元方法的基本步骤。

答：比较：运用有限元方法解决工程实际问题时，不管是简单结构或者是复杂的结构，其求解过程是完全相同的，由于每个步骤都具有标准化和规范性的特征，可以在计算机上进行编程而自行实现，这是常规解析方法无法实现的。

即技术核心所在就是采用分段离散的方式来组合出全场几何域上的试函数，而不是直接寻找全场上的试函数。

概念：有限元方法是求解各种复杂数学物理问题的重要方法，是处理各种复杂工程问题的重要分析手段，也是进行科学研究的重要工具。

该方法的应用和实施包括三个方面：计算原理、计算机软件、计算机硬件。

有限元方法的基本思路：将连续系统分割成有限个分区或单元，对每个单元提出一个近似解，再将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统。

（在具备大规模计算能力的前提下，将复杂的几何物体等效离散为一系列的标准形状几何体，再在标准的几何体上研究规范化的试函数表达及其全场试函数的构建，然后利用最小势能原理建立起力学问题的线性方程组。

）有限单元法解题步骤：①结构的离散化，即单元网格划分；②选择位移模式；③分析单元的力学特征，利用几何方程导出结点位移表示的单元应变，利用本构方程建立单元内任意一点的应力与应变的关系，利用变分原理建立单元的平衡方程；④集合所有单元的平衡方程，建立整个结构的平衡方程（即总的平衡方程），包括将刚度集成总刚，以及将单元的等效结点力列阵集成总的荷载列阵；⑤求解结点位移和计算单元应力，包括边界条件修正；⑥解方程，得到未知问题的节点值；⑦后处理。

2、掌握位移函数和形函数的概念，掌握二者之间的关系。

答：位移函数：是单元内部位移变化的数学表达式，设为坐标的函数，由于有限元法采用能量原理进行单元分析，因而必须事先设定位移函数。

在弹性力学中，恰当选取位移函数不是一件容易的事情；但在有限元中，当单元划分得足够小时，把位移函数设定为简单的多项式就可以获得相当好的精确度。

F=o--o-- 000000002 2(4-187)1基于4节点四边形单元的矩形薄板分析(Quad2D4Node)如图4-21所示的一个薄平板，在右端部受集屮力F 作用，其屮的参数为：E = lxlO 7Pa, ;z=l/3,r=0.lm, F=lxl05No 基于MATLAB 平台,按平面应力问题计算各个节点位移、支朋反力以及单元的应力。

(a)问题描述 (b)有限元分析模型图4・21右端部受集中力作用的薄平板解答：对该问题进行有限元分析的过程如下。

(1) 结构的离散化与编号将结构离散为二个4节点矩形单元，单元编号及节点编号如图4-21(b)所示，连接关系 见表4・6,节点的几何坐标见表4・7,载荷F 按静力等效原则向节点1, 2移置。

表4-6结构的单元连接关系单元号节点号I 3 5 6 421 3 4 2表节点的坐标节点节点坐标/mXy 1 2 i 2 2 0 3 1 1 4 10 5 01 6节点位移列阵q = [u A v, u 2 v 2 w 3 v 3 u 4 v 4 u 5 v 5 u 6 v 6](4-186)节点外载列阵P=F+R=R= 0约束的支反力列阵R=[0 0 0 0 0 0 0 0 /?x5 R y5 R X 6 R y6J (4-188)总的节点载荷列阵Rd 心 6 (4 89)心 5其中，(R\5，R 、,5)和(心6,心6)分别为节点5和节点6的两个方向的支反力。

(2) 计算各单元的刚度矩阵(以国际标准单位)首先在MATLAB 环境下，输入弹性模量E 、泊松比NU 、薄板厚度h 和平面应力问题 性质指示参数ID,然后针对单元1和单元2,分别两次调用函数Quad2D4Node_Stiffness, 就可以得到单元的刚度矩阵kl(8X8)和k2(8X8)o» E=le7; » NU=l/3; »1=0」； »ID= 1; » kl = Quad2D4Node_Stiffness(E,NU,t, 1,1,0,1,0,0,1,0, ID); »k2=Quad2D4Node_Stiffness(E,NU,t, 2,1,1,1,1,0,2,0, ID);(3) 建立整体刚度方程由于该结构共有6个节点，则总共的自由度数为12,因此，结构总的刚度矩阵为KK(12 X 12),先对KK 清零，然后两次调用函数Quad2D4Node_Assembly 进行刚度矩阵的组装。

四边固支矩形薄板固有振动的理论计算和有限元分析四边固支矩形薄板是一种典型的结构，其固有振动特性的计算对于结构的稳定性以及对外载荷的响应有着重要的影响。

本文将从理论计算和有限元分析两个方面来探讨四边固支矩形薄板的固有振动特性。

一、理论计算在理论计算中，四边固支矩形薄板的固有振动频率可以通过以下公式进行计算：f_n = (C_n^2 + D_n^2)^0.5 / (2πt)^0.5 * (EH^3/12ρ(1-μ^2))，其中，f_n为第n阶固有频率；C_n和D_n分别为第n阶水平和竖直模态振型的振幅比；t为薄板厚度；E为材料的弹性模量；H为矩形薄板的一侧长度；ρ为材料的密度；μ为材料的泊松比。

根据上述公式，我们可以对四边固支矩形薄板进行理论计算，得出其固有振动频率，并根据振动模型分析结构的稳定性以及响应能力。

二、有限元分析在有限元分析中，我们可以通过建立合适的有限元模型，利用求解振型特征值和振型模态来得出四边固支矩形薄板的固有振动特性。

有限元分析的主要步骤包括：1.建立有限元模型：根据实际结构情况，选择合适的有限元支撑和单元类型，对结构进行离散化网格化处理，建立结构有限元模型。

2.确定边界条件：对于固支矩形薄板，边界条件为四边界固定支撑。

3.求解特征值和振型：对于固有振动频率，我们可以通过求解振型特征值和振型模态来得出。

4.分析特征值和振型：得出固有振动频率，我们可以进一步分析与理论计算结果的一致性，同时还可以分析振型特征值与振型模态，进一步了解结构的稳定性和响应能力。

通过有限元分析，我们可以更加精确地了解四边固支矩形薄板的固有振动特性，为结构设计和应用提供更加实际的参考依据。

总之，四边固支矩形薄板的固有振动特性对于结构稳定性和响应能力有着重要的影响。

通过理论计算和有限元分析两个方面的探讨，我们可以更好地理解并应用这一结构特性。

为了更加深入地了解四边固支矩形薄板的固有振动特性，我们可以从以下几个方面进行数据的收集和分析：1. 材料弹性模量与密度：材料的弹性模量和密度直接影响到四边固支矩形薄板的固有振动频率。