关于曲线上存在两条互相垂直的切线问题模型探究

圆锥曲线中的垂直模型
圆锥曲线是平面上的一类曲线，它们可以通过截取一个圆锥体
而得到。

圆锥曲线包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。

在这些曲线中，垂直模型是指曲线在某点处的切线与该点处的纵坐标轴垂直。

下面
我将从各种圆锥曲线的角度来讨论垂直模型。

首先是圆的情况。

圆的所有点到圆心的距离都相等，因此在任
何一点处，切线都与该点处的纵坐标轴垂直。

其次是椭圆。

椭圆的性质决定了在椭圆上的点处，切线与该点
处的纵坐标轴并不一定垂直。

只有在椭圆的端点处，切线与纵坐标
轴才是垂直的。

接着是双曲线。

双曲线的性质与椭圆有些相似，只有在双曲线
的端点处，切线与纵坐标轴才是垂直的。

最后是抛物线。

抛物线的性质决定了在抛物线上的点处，切线
与该点处的纵坐标轴始终垂直。

这是因为抛物线的几何定义决定了
其在焦点处与直角相交。

总的来说，圆锥曲线中的垂直模型在不同类型的曲线上有不同的表现。

这些性质对于解决与圆锥曲线相关的数学问题和实际应用具有重要意义。

希望这些信息能够对你有所帮助。

两条切线互相垂直斜率关系在数学领域中，我们经常会遇到两条直线相交的情况。

如果两条直线互相垂直，则它们会在交点处形成一个直角。

那么问题来了，我们如何确定两条切线互相垂直的情况呢？答案就是斜率关系。

什么是斜率？直线的斜率是这条直线在坐标系中形成一个角度，用于衡量直线的倾斜程度。

我们通常用k来表示。

现在我们来看两条切线相交的情况。

假设我们有两条曲线，f(x)和g(x)，它们在某处相交。

我们定义点(A, f(A))为曲线f(x)在该点的一个坐标，同理，点(B, g(B))为曲线g(x)在该点的一个坐标。

在这两个点处，我们可以看到两个切线，分别是tang_f和tang_g。

我们需要分别确定这两条切线在交点处的斜率。

首先，我们来看切线tang_f的斜率。

根据微积分的定义，我们可以得出：f'(A) = lim((h->0) ((f(A+h) - f(A)))/h)f'(A)表示曲线f(x)在点A处的切线的斜率，lim表示h趋近于0的极限值。

我们可以将h=0代入方程，这样除数变成了0，但f(A+h) - f(A)不等于0。

所以，我们需要对分子和分母同时除以h。

这样，我们就可以得到：f'(A) = lim((h->0) (f(A+h) - f(A))/h) (*)同样，我们可以计算切线tang_g的斜率。

我们需要使用相同的方法，只不过需要将上式中的f变成g。

g'(B) = lim((h->0) (g(B+h) - g(B))/h)现在，我们来看两个斜率的乘积，即f'(A) * g'(B)。

如果它们相乘等于-1，则两条切线互相垂直。

因此，我们需要将这个等式的两边代入(*)式中，这样可以得到：f'(A) * g'(B) = -1如果你有数学基础，你可以自行证明这个等式成立。

如果你不确定它的正确性，可以自己尝试证明一下。

不难发现，这个等式和勾股定理非常相似，也是用来证明直角三角形的一个重要定理。

专题27切线模型【模型1】双切线模型已知如图27-1，点P 为⊙O 外一点，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，根据切线的性质，可证明PAO ∆≌PBO ∆,︒=∠+∠180AOB APB ，PO 垂直平分AB 。

【模型2】割线定理如图27-2，已知在⊙O 中，弦AC 、BD 相交于点P ，点P 在⊙O 外⇒PB PD PA PC ∙=∙。

【证明】如图27-5，连接AD 、BC ，P P ∠=∠，BA ∠=∠∴PDA ∆∽PCB∆∴PCPD PB PA =∴PBPD PA PC ∙=∙【模型3】切割线定理如图27-3，已知在⊙O 中，弦AC 的延长线交⊙O 的切线PB 于P ⇒PA PC PB ∙=2。

【证明】如图27-4，连接AB 、BC ，PBC ∠为⊙O 的弦切角，∴APBC ∠=∠又PP ∠=∠∴PCB ∆∽PBA ∆∴PA PB PB PC =∴PAPC PB ∙=2【例1】如图，点P 为⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的切线PA 、PB ，记切点为A 、B ，点C 为⊙O 上一点，连接AC 、BC ．若∠ACB ＝62°，则∠APB 等于（）A ．68°B ．64°C ．58°D ．56°【答案】D 【分析】根据切线性质求出∠PAO ＝∠PBO ＝90°，圆周角定理求得∠AOB ，再根据四边形内角和定理即可求得．【解析】解：∵PA 、PB 是⊙O 的切线，∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∴∠PAO ＝∠PBO ＝90°，∴∠AOB +∠P ＝180°，∵∠ACB ＝62°，∴∠AOB ＝2∠ACB ＝2×62°＝124°，∴∠APB ＝180°﹣124°＝56°，故选：D ．【例2】已知：如图，PAB 、PCD 是⊙O 的割线，4PA cm =，6AB cm =，3CD cm =.则PD =______cm .【答案】8【分析】由于PAB 和PCD 是⊙O 的割线，可直接根据割线定理求出PD 的长．【解析】根据割线定理得：PA•PB=PC•PD ；∵4PA cm =，6AB cm =，3CD cm =；∴PD=•PA PB PC=8cm ．故答案为8.【例3】如图，AB 是⊙O 的直径，射线BC 交⊙O 于点D ，E 是劣弧AD 上一点，且BE 平分FBA ∠，过点E 作EF BC ⊥于点F ，延长FE 和BA 的延长线交于点G ．(1)证明：GF 是⊙O 的切线；(2)若2AG =，6GE =，求⊙O 的半径．【答案】(1)见解析；(2)8【分析】（1）连接OE ，证明OE BF ，得到OE ⊥FG ，即可得证．（2）连接OE ，AE ，证明△GAE ∽GEB ，求得GB 、AB 的长，半径即可得解．【解析】（1）如图，连接OE ，因为BE 平分FBA ∠，所以∠OBE =∠FBE ；因为OE =OB ，所以∠OBE =∠OEB ；所以∠FBE =∠OEB ，所以OE BF ，因为EF BC ⊥，所以OE ⊥FG ，所以GF 是⊙O 的切线．（2）如图，连接OE ，AE ，因为AB 是直径，GF 是圆的切线，所以∠OEG =∠AEB =90°，所以∠GEA =∠OEB ；因为OE =OB ，所以∠OBE =∠OEB ；所以∠GEA =∠GBE ，因为∠G =∠G ，所以△GAE ∽GEB ，所以AG GE GE GB=，因为2AG =，6GE =，所以266GB =，解得GB =18，所以AB =GB -AG =18-2=16，所以圆的半径为8．一、单选题1．如图，AB 是⊙O 的直径，点M 在BA 的延长线上，MA ＝AO ，MD 与⊙O 相切于点D ，BC ⊥AB 交MD 的延长线于点C ，若⊙O 的半径为2，则BC 的长是（）A ．4B ．23C ．22D ．3【答案】B【分析】连接OD，求出BC是⊙O的切线，根据切线长定理得出CD＝BC，根据切线的性质求出∠ODM＝90°，根据勾股定理求出MD，再根据勾股定理求出BC即可．【解析】解：连接OD，∵MD切⊙O于D，∴∠ODM＝90°，∵⊙O的半径为2，MA＝AO，AB是⊙O的直径，∴MO＝2+2＝4，MB＝4+2＝6，OD＝2，由勾股定理得：MD∵BC⊥AB，∴BC切⊙O于B，∵DC切⊙O于D，∴CD＝BC，设CD＝CB＝x，在Rt△MBC中，由勾股定理得：MC2＝MB2+BC2，即（x）2＝62+x2，解得：x＝即BC＝故选：B．∠=∠，则2．如图，PA、PB分别切O于点A、B，点C为优弧AB上一点，若ACB APB∠的度数为（）ACBA．67.5︒B．62︒C．60︒D．58︒【答案】C【分析】要求∠ACB的度数，只需根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接OA，OB；再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解．【解析】解：连接OA ，OB ，∵PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，∴OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，∴∠PAO=∠PBO=90°，∴∠AOB+∠APB=180°，∵∠AOB=2∠ACB ，∠ACB=∠APB ，∴3∠ACB=180°，∴∠ACB=60°，故选：C ．3．如图，⊙O 的半径为72，BD 是⊙O 的切线，D 为切点，过圆上一点C 作BD 的垂线，垂足为B ，BC ＝3，点A 是优弧CD 的中点，则sin ∠A 的值是（）A ．37B ．7C ．7D ．21【答案】C【分析】根据题意构造△CDF ，由圆的性质可证△CDF ∽△CBD ，有相似的性质即可得CD 的值，从而求sin ∠A ；【解析】作直径CF ，连接CD 和DF ，则∠A ＝∠F ，∵BD 切⊙O 于D ，∴∠CDB＝∠F，∵CB⊥DB，CF为直径，∴∠CDF＝∠B＝90°，∴△CDF∽△CBD，∴CF CD CD BC=，∵722CF=⨯＝7，BC＝3，∴CD∴sin A＝sin F＝217 CDCF=，故选：C．二、填空题4．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠P＝50°，则∠ACB的度数为____________【答案】65°或115°【分析】分当点C在优弧AB上时与当点C在劣弧AB上时两种情况进行讨论，根据圆周角定理计算∠ACB的度数．【解析】解：当点C在优弧AB上时，如图1所示，连接OA、OB，图1∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP=∠OBP=90°，∴∠AOB =180°-∠P =180°-50°=130°，∴∠ACB =12∠AOB =12×130°=65°．当点C 在劣弧AB 上时，如图2所示，连接OA ，OB ，在优弧AB 上取点D ，连接AD ，BD ，图2∵AP 、BP 是切线，∴∠OAP =∠OBP =90°，∴∠AOB =360°-90°-90°-50°=130°，∴∠ADB =65°，又∵圆内接四边形的对角互补，∴∠ACB =180°-∠ADB =180°-65°=115°．故答案为：65°或115°．5．如图，已知AB 是O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 与O 相切于点D ，过点B 作PD 的垂线交PD 的延长线于点C ．若O 的半径为3，5BC =，则PA 的长为______．【答案】32【分析】直接利用切线的性质得出90PDO ∠=︒，再利用相似三角形的判定与性质分析得出答案．【解析】解：连接DO ，PD 与O 相切于点D ，90PDO ∴∠=︒，90C ∠=︒，//DO BC ∴，PDO PCB ∴∆∆∽，∴35DO PO BC PB ==，设PA x =，则3536x x +=+，解得：32x =，故32PA =．故答案为：32．6．如图，PA ，PB 是O 的切线，A ，B 为切点．若60APB ∠=︒，则AOP ∠的大小为______．【答案】60°【分析】先由切线的性质及切线长定理求出90,30PAO APO ∠=︒∠=︒，再根据直角三角形两锐角互余求解即可．【解析】PA ，PB 是O 的切线，A ，B 为切点190,2PAO APO PAB ∴∠=︒∠=∠90APO AOP ∴∠+∠=︒60APB ∠=︒30APO ∴∠=︒60AOP ∴∠=︒故答案为：60°．7．如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 是切点．若∠P ＝45°，则∠AOB ＝_____°．【答案】135【分析】由切线的性质得∠PAO =∠PBO =90°，然后根据四边形内角和可求解．【解析】解：∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴∠PAO =∠PBO =90°，∴由四边形内角和可得：∠AOB +∠P =180°，∵∠P =45°，∴∠AOB =135°；故答案为：135．8．如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A ，B ，点E 是⊙O 上一点，且50E ∠=︒，则P ∠的度数为______．【答案】80°【分析】连接AO 、BO ，根据圆的切线的性质可得90∠=∠=︒PAO PBO ，再根据圆周角定理可得2100AOB E ∠=∠=︒，最后根据四边形内角和为360︒，即可求出P ∠的度数．【解析】解：连接AO 、BO ，PA 、PB 分别切⊙O 于点A ，B ，90PAO PBO ∴∠=∠=︒50E ∠=︒2100AOB E ∴∠=∠=︒360360909010080P PAO PBO AOB ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒-︒-︒-︒=︒故答案为：80°．9．如图，PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，Q 是优弧AB 上一点，若∠P =40°，则∠Q 的度数是________．【答案】70°【分析】连接OA、OB，根据切线性质可得∠OAP=∠OBP=90°，再根据四边形的内角和为360°求得∠AOB，然后利用圆周角定理求解即可．【解析】解：连接OA、OB，∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，∴∠OAP=∠OBP=90°，又∠P=40°，∴∠AOB=360°－90°－90°－40°=140°，∴∠Q=12∠AOB=70°，故答案为：70°．三、解答题10．如图，⊙O与△ABC的边BC相切于点D，与AB、AC的延长线分别相切于点E、F，连接OB，OC．(1)若∠ABC=80°，∠ACB=40°，求∠BOC的度数．(2)∠BOC与∠A有怎样的数量关系，并说明理由．【答案】(1)60°(2)∠BOC=90°-12∠A，见解析【分析】（1）方法一：先根据平角的定义求出∠EBC 和∠DCF 的度数，再根据切线长定理得到∠EBO =∠DBO =12∠EBC =50°，∠DCO =∠FCO =12∠DCF =70°，据此理由三角形内角和定理求解即可；方法二：如图，连接OD ，OE ，OF ，则由切线的性质可知，证明Rt △ODB ≌Rt △OEB (HL)，Rt △ODC ≌Rt △OFC (HL)，得到∠EOB =∠DOB ，∠COD =∠COF ，先求出∠A 的度数，再利用四边形内角和定理求出∠EOF =120°，则∠BOC =∠BOD +∠COD =12∠EOF =60°．（2）同（1）方法二求解即可．【解析】（1）解：方法一：由题意得∠EBC =180°-∠ABC =180°-80°=100°，∠DCF =180°-∠ACB =180°-40°=140°，由切线长定理可知，∠EBO =∠DBO =12∠EBC =50°，∠DCO =∠FCO =12∠DCF =70°，∴在△OBC 中，∠BOC =180°-∠OBC -∠BCO =180°-70°-50°=60°；方法二：如图，连接OD ，OE ，OF ，则由切线的性质可知，∠BEO =∠BDO =∠CDO =∠CFO =90°，又∵OD =OE =OF ，OB =OB ，OC =OC ，∴Rt △ODB ≌Rt △OEB (HL)，Rt △ODC ≌Rt △OFC (HL)，∴∠EOB =∠DOB ，∠COD =∠COF ，在△ABC 中，∠A =180°-∠ABC -∠ACB =60°，在四边形AEOF 中，∠A +∠EOF =180°，∴∠EOF =120°，∴∠BOC =∠BOD +∠COD =12∠EOF =60°．（2）解：同（1）方法二可得180EOF A =︒-∠∠，∠EOB =∠DOB ，∠COD =∠COF ，∴∠BOC =∠BOD +∠COD =12∠EOF =1902A ︒-∠．11．如图，已知P ，PB 分别与⊙O 相切于点AB ，∠APB ＝60°，C 为⊙O 上一点．(1)如图②求∠ACB的度数；(2)如图②AE为⊙O的直径，AB与BC相交于点D，若AB＝AD，求∠BAC的度数．【答案】(1)60°；(2)45°【分析】（1）连接OA、OB，根据切线的性质得到∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形内角和等于360°计算；（2）连接CE，根据圆周角定理得到∠ACE=90°，由（1）知∠ACB=60°，则∠BCE=90°-60°=30°，根据圆周角定理可得∠BAE=∠BCE=30°，再根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质可计算出∠EAC=15°，然后由∠BAC=∠BAE+∠EAC即可求解．【解析】（1）解：连接OA、OB，∵PA，PB是⊙O的切线，∴∠OAP=∠OBP=90°，∴∠AOB=360°-90°-90°-60°=120°，由圆周角定理得，∠ACB=12∠AOB=60°；（2）解：连接CE，∵AE为⊙O的直径，∴∠ACE=90°，由（1）知∠ACB=60°，∴∠BCE=90°-60°=30°，∴∠BAE=∠BCE=30°，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=75°，∴∠EAC=∠ADB-∠ACB=15°．∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=30°+15°=45°．12．如图，CD是⊙O的切线，切点为D，点C在直径AB的延长线上．(1)求证：∠CAD＝∠BDC；(2)若tan∠BDC＝23，AC＝3，求CD的长．【答案】(1)见解析；(2)2【分析】（1）根据切线的性质得到∠CDB+∠ODB=90°，由AB是⊙O的直径，推出∠ODB+∠ADO=90°，得到∠CDB=∠ADO，再利用OA=OD，推出∠ADO∠DAO，即可证得；（2）证明△CBD∽△CDA，推出BD CDAD AC=，根据tan∠BDC＝23，得到tan∠CAD＝2 3=BD CDAD AC=，代入AC=3，即可求出CD．【解析】（1）证明：连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD，即∠ODC=90°，∴∠CDB+∠ODB=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠ODB+∠ADO=90°，∴∠CDB=∠ADO，∵OA=OD，∴∠ADO=∠DAO，∴∠CAD＝∠BDC；（2）∵∠CAD ＝∠BDC ，∠C =∠C ，∴△CBD ∽△CDA ，∴BD CD AD AC=，∵tan ∠BDC ＝23，∴tan ∠CAD ＝23=BD CD AD AC =，∴233CD =，解得：CD =2．13．如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 切⊙O 于点C ．BD PD ⊥，垂足为D ，连接BC ．(1)求证：BC 平分∠PBD ；(2)若4cm PA =，42cm PC =，求⊙O 的半径．【答案】(1)见解析；(2)2cm【分析】（1）连接OC ，由切线的性质易得到OC BD ∥，进而推出OCB CBD ∠=∠，结合OB OC =易得CBD OBC ∠=∠，即可求解；（2）设半径为r ，进而求出4OP r =+，然后根据勾股定理求解．【解析】（1）证明：连接OC ，∵PD 是⊙O 的切线，∴OC PD ⊥．∵BD PD ⊥，∴OC BD ∥，∴OCB CBD ∠=∠．∵OB OC =，∴OCB OBC ∠=∠，∴CBD OBC ∠=∠，∴BC 平分∠PBD ；（2）解：设半径为r ，则OA OC r ==，则4OP r =+，在Rt △POC 中，由勾股定理得：222OC PC OP +=，∴(()222424r r +=+，∴2r =，即⊙O 的半径是2cm ．14．如图，AB 是⊙O 的直径，AM 是⊙O 的切线，AC 、CD 是⊙O 的弦，且CD AB ⊥，垂足为E ，连接BD 并延长，交AM 于点P ．(1)求证：CAB APB ∠=∠；(2)若⊙O 的半径5,8r AC ==，求线段PD 的长．【答案】(1)见解析；(2)323【分析】（1）根据AM 是O 的切线，得出90BAM ∠=︒．根据CD AB ⊥，可证AM CD ．得出CDB APB ∠=∠．根据同弧所对圆周角性质得出CAB CDB ∠=∠即可；（2）连接AD ．根据直径所对圆周角性质得出，90CDB ADC ∠+∠=︒．可证ADC C ∠=∠．得出8AD AC ==．根据勾股定理6BD ==．再证ADB PAB △∽△．求出21005063AB PB BD ===即可．【解析】(1)证明：∵AM 是O 的切线，∴90BAM ∠=︒．∵CD AB⊥∴90CEA ∠=︒，∴AM CD ．∴CDB APB ∠=∠．∵CAB CDB ∠=∠，∴CAB APB ∠=∠．(2)解：如图，连接AD ．∵AB 为直径，∴∠ADB =90°，∴90CDB ADC ∠+∠=︒．∵90,CAB C CDB CAB ∠+∠=︒∠=∠，∴ADC C ∠=∠．∴8AD AC ==．∵210AB r ==，∴6BD ==．∵∠BAP =∠BDA =90°，∠ABD =∠PBA ，∴ADB PAB △∽△．∴AB BD PB AB=．∴21005063AB PB BD ===．∴5032633DP =-=．15．如图，AB 为⊙O 的直径，过圆上一点D 作⊙O 的切线CD 交BA 的延长线与点C ，过点O 作//OE AD 交CD 于点E ，连接BE ．(1)直线BE 与⊙O 相切吗？并说明理由；(2)若2CA =，4CD =，求DE 的长．【答案】(1)相切，见解析；(2)6DE =【分析】（1）先证得：90ODC ODE ∠=∠=︒，再证ODE OBE ≌，得到90OBE ODE ∠=∠=︒，即可求出答案；（2）设半径为r ；则：2224(2)r r +=+，即可求得半径，再在直角三角形CBE 中，利用勾股定理222BC BE CE +=，求解即可．【解析】（1）证明：连接OD ．∵CD 为O 切线，∴90ODC ODE ∠=∠=︒，又∵OE AD ∥，∴DAO EOB ∠=∠，ADO EOD ∠=∠，且ADO DAO ∠=∠，∴EOD EOB ∠=∠，在ODE 与OBE △中；∵OD OB EOD EOB OE OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ODE OBE ≌，∴90OBE ODE ∠=∠=︒，∴直线BE 与O 相切．（2）设半径为r ；则：2224(2)r r +=+，得3r =；在直角三角形CBE 中，222BC BE CE +=，222(233)(4)DE DE +++=+，解得6DE =16．如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 为⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，直线PO 交⊙O 于点D 、E ，交AB 于点C．(1)求证：∠ADE =∠PAE ．(2)若∠ADE =30°，求证：AE =PE ．(3)若PE =4，CD =6，求CE 的长．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)CE 的长为2．【分析】（1）连接OA ，根据切线的性质得到∠OAE +∠PAE =90°，根据圆周角定理得到∠OAE +∠DAO =90°，据此即可证明∠ADE =∠PAE ；（2）由（1）得∠ADE =∠PAE =30°，∠AED =60°，利用三角形外角的性质得到∠APE =∠AED -∠PAE =30°，再根据等角对等边即可证明AE =PE ；（3）证明Rt △EAC ∽Rt △ADC ，Rt △OAC ∽Rt △APC ，推出DC ×CE =OC ×PC ，设CE =x ，据此列方程求解即可．【解析】（1）证明：连接OA ，∵PA 为⊙O 的切线，∴OA ⊥PA ，即∠OAP =90°，∴∠OAE +∠PAE =90°，∵DE 为⊙O 的直径，∴∠DAE =90°，即∠OAE +∠DAO =90°，∴∠DAO =∠PAE ，∵OA =OD ，∴∠DAO =∠ADE ，∴∠ADE =∠PAE ；（2）证明：∵∠ADE =30°，由（1）得∠ADE =∠PAE =30°，∠AED =90°-∠ADE =60°，∴∠APE =∠AED -∠PAE =30°，∴∠APE =∠PAE =30°，∴AE =PE ；（3）解：∵PA 、PB 为⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，直线PO 交AB 于点C ．∴AB ⊥PD ，∵∠DAE =90°，∠OAP =90°，∴∠DAC +∠CAE =90°，∠OAC +∠PAC =90°，∵∠DAC +∠D =90°，∠OAC +∠AOC =90°，∴∠CAE =∠D ，∠PAC =∠AOC ，∴Rt △EAC ∽Rt △ADC ，Rt △OAC ∽Rt △APC ，∴,EC AC OC AC AC DC AC PC==∴AC 2=DC ×CE ，AC 2=OC ×PC ，即DC ×CE =OC ×PC ，设CE =x ，则DE =6+x ，OE =3+2x ，OC =3+2x -x =3-2x ，PC =4+x ，∴6x =(3-2x )(4+x )，整理得：x 2+10x -24=0，解得：x=2(负值已舍)．∴CE的长为2．。

双垂直模型结论及证明双垂直模型听起来就像是一门深奥的科学，但其实呢，它也可以用一种轻松的方式来理解。

想象一下，你在玩积木，想要把一堆零碎的块拼在一起，结果发现有两个特别的块，像是交叉的两根线，一垂直一水平。

咱们就可以从这儿开始聊聊双垂直模型了。

这个模型的核心在于它如何处理数据，哎，这就像咱们生活中那些矛盾的事情，明明在一个方向上走，却总有一些意想不到的转折。

咱们得理解，双垂直模型主要是用来分析两个变量之间的关系。

就好比你和你的朋友，大家都是独立的个体，但当你们聚在一起的时候，就会产生各种有趣的化学反应。

这个模型就像是揭开了这种“化学反应”的神秘面纱，让人们可以清晰地看到各种关系。

有人可能会问，这个模型到底有什么用？它在很多领域都有应用，比如经济学、社会学，甚至在市场营销中也能看到它的身影。

就像是每次你想买个新手机，都会先比较一下各个品牌之间的优缺点，双垂直模型就是在帮助你理清这些复杂的关系。

咱们再深入一层，这个模型的结论是，两个变量之间的互动关系可以用一种简单明了的方式呈现出来。

比如说，你的工作效率和休息时间之间的关系，明明休息了之后，你的效率会更高，但如果你休息得太久，那效率又会掉下去。

哎，这种现象就像是喝咖啡，喝多了会心慌，但适量喝又能提神。

这个模型的魅力就在于，它能把这种复杂的互动关系用简单的图表和公式表达出来，真是太神奇了。

咱们来聊聊这个模型的证明部分。

证明就像是在解一道难题，有时需要一些巧妙的方式来显示出事情的真相。

你知道吗？很多时候，科学家们就是通过观察和实验来验证模型的准确性。

就像是你在厨房做菜，尝一尝再加点盐，最后调到一个恰到好处的味道。

双垂直模型的证明过程也是如此，得经过一系列的数据收集、分析，再加上一点运气，最终得到一个可靠的结论。

就算有时候结果不如预期，但这些数据也能让你明白哪里出了问题。

而这个模型的应用不仅限于理论，实际上，它对实际操作也有很大的帮助。

想象一下，如果你是一位商家，想要推出新产品，使用这个模型来分析目标客户的偏好，就能更精准地制定营销策略。

自学资料一、相似三角形的性质和判定综合【知识探索】1．（1）三角形相似的判定方法①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似③判定定理1：如果一个三角形的对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。

④判定定理2：如果一个三角形的对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

第1页共35页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训⑤判定定理3：如果一个三角形的对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似。

（2）直角三角形相似的判定方法①以上各种判定方法均适用②垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。

【错题精练】例1．在△ABC中，CE，BD分别是边AB，AC上的高，F是BC边上的中点．（1）指出图中的一个等腰三角形，并说明理由．（2）若∠A＝x°，求∠EFD的度数（用含x的代数式表达）．（3）猜想∠ABC和∠EDA的数量关系，并证明．【答案】【解答】解：（1）△DEF是等腰三角形．∵CE，BD分别是边AB，AC上的高，F是BC边上的中点，∴EF BC，DF BC，∴EF＝DF，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵FE＝FB，FD＝FC，∴∠FEB＝∠FBE，∠FDC＝∠FCD，∴∠FEB+∠FDC＝∠FBE+∠FCD＝180°﹣∠A＝180°﹣x°，∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A＝180°﹣x°，∴∠FED+∠FDE＝360°﹣（180°﹣x°）﹣（180°﹣x°）＝2x°，∴∠EFD＝180°﹣2x°；（3）∠ABC＝∠EDA．∵∠BEC＝∠BDC＝90°，∴B、E、D、C四点共圆，∴∠ABC＝∠EDA．例2．如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E在线段DC上，点A、D、G在同一直线上，且AD＝3，DE＝1，连接AC、CG、AE，并延长AE交OG于点H．（1）求证：∠DAE＝∠DCG．（2）求线段HE 的长．第2页共35页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训【解答】例3．如图，AB是半圆O的直径，D是弧BC的中点，四边形ABCD的对角线AD、BC交于点E，AC、BD的延长线交于点F（1）求证：△BDE∽△ADB；（2）若AB＝，AD＝4，求CF 的长．第3页共35页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【答案】例4．如图，AB是⊙O的直径，点C为弧AB的中点，∠ABC的角平分线交⊙O于点D，交AC于点F，AD、BC的延长线交于点E，DG⊥BE于点G．（1）求证：AE＝BF；（2）判断DG与⊙O的位置关系，写出你的结论并证明；（3）若BD•FD＝，求⊙O的面积．第4页共35页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训【答案】第5页共35页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训例5．如图，在正方形ABCD中，点G在边BC上（不与点B，C重合），连结AG，作DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，设BG：BC=k（1）求证：AE＝BF．（2）连结BE，DF，设∠ EDF＝α，∠ EBF＝β．求证：tanα＝ktanβ．（3）设线段AG与对角线BD交于点H，△AHD和四边形CDHG的面积分别为S1和S2，求的最大值．第6页共35页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训【答案】第7页共35页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训第8页共35页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训【举一反三】1．如图，在锐角三角形ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AG⊥BC于G，AF⊥DE于F，∠DAF=∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ACB．（2）若AE=6，AB=10，求AF：AG．第9页共35页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【答案】解：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFD=∠AGC=90°，∵∠DAF=∠GAC，∴∠ADE=∠ACB，∵∠EAD=∠BAC，∴△ADE∽△ACB．（2）由（1）可知：△ADE∽△ACB，∵AE=6，AB=10，AD：AC=AE：AB=6:10=3:5，由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°，∠EAF=∠GAC，∴△DAF∽△CAG∴ AF：AG=AD：AC=3：52．如图，四边形是正方形，点G是BC边上任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE且交AG于点F．（1）求证：AE＝BF；（2）如图，连接DF、CE，探究线段DF与CE的关系并证明．第10页共35页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训【答案】3．如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE且交AG于点F．（1）求证：AE＝BF；（2）如图1，连接DF、CE，探究线段DF与CE的关系并证明；（3）如图2，若AB=，G为CB中点，连接CF，直接写出四边形CDEF的面积.【解答】4．已知四边形ABCD是矩形，连接AC，点E是边CB延长线上一点，CA＝CE，连接AE，F是线段AE的中点，（1）如图1，当AD＝DC时，连接CF交AB于M，求证：BM＝BE；（2）如图2，连接BD交AC于O，连接DF分别交AB、AC于G、H，连接GC，若∠FDB＝30°，S四，求线段GC的长．边形GBOH=【解答】5．如图：AB是半圆的直径，∠ABC的平分线交半圆于D，AD和BC的延长线交于圆外一点E，连结CD．（1）求证：△EDC是等腰三角形．（2）若AB＝5，BC＝3，求四边形ABCD的面积．【答案】二、圆的切线【知识探索】1．（1）定理1（切线长定理）：从圆外一点作圆的两条切线，切线长相等．（2）定理2：从圆外一点作圆的两条切线，它们的夹角被这一点与圆心的连线平分．【错题精练】例1．如图所示，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=15，则△PCD的周长为（）A. 15B. 12C. 20D. 30【解答】解：∵P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，∴AC=EC，BD=DE，AP=BP，∵PA=15，∴△PCD的周长为：PA+PB=30．故选：D．【答案】D例2．图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则sin∠CBE=（）A. √63B. 23C. 13D. √1010【解答】解：取BC的中点O，则O为圆心，连接OE，AO，AO与BE的交点是F∵AB，AE都为圆的切线∴AE=AB∵OB=OE，AO=AO∴△ABO≌△AEO（SSS）∴∠OAB=∠OAE∴AO⊥BE在直角△AOB里AO2=OB2+AB2∵OB=1，AB=3∴AO=√10易证明△BOF∽△AOB ∴BO：AO=OF：OB ∴1：√10=OF：1∴OF=√1010sin∠CBE=OFOB =√1010故选：D．【答案】D例3．如图，正六边形ABCDEF中，P，Q两点分别为△ACF，△CEF的内心，若AF=1，则PQ的长度为______．【解答】解：连接PF，QF，作QH⊥EF于H，∵六边形ABCDEF正六边形，∴∠BAF=∠AFE=∠FED=120°，AB=BC=DC=DE，∴∠BAC=∠DEC=30°，∠AFC=∠EFC=60°，∴∠CAF=∠CEF=90°，∴△ACF和△ECF为全等的直角三角形，CE=√3EF=√3，CF=2EF=2，∵P，Q两点分别为△ACF，△CEF的内心，∴GH为Rt△CEF的内切圆的半径，QH=EF+CE−CF2=1+√3−22=√3−12，FQ平分∠EFC，PF平分∠AFC，∴∠PFC=30°，∠QFC=30°，∴∠PFQ=60°，∵△FCA≌△FCE，∴FP=FQ，∴△FPQ为等边三角形，在Rt△FQH中，FQ=2QH=√3-1，∴PQ=√3-1．故答案为√3-1．【答案】√3-1例4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AB为直径作半圆O交AC于点D，点E为BC的中点，连接DE．（1）求证：DE是半圆O的切线；（2）若∠BAC=30°，DE=3，求AD的长．【答案】（1）证明：连接OD、OE、BD，如图所示：∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=∠BDC=90°，在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，∴DE=BE，在△OBE和△ODE中，OB=OD OE=OE BE=DEOB=ODOE=OEBE=DE，∴△OBE≌△ODE（SSS），∴∠ODE=∠ABC=90°，则DE为圆O的切线；（2）解：在Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴BC=12AC，∵BC=2DE=6，∴AC=12，又∵∠C=60°，DE=CE，∴△DEC为等边三角形，∴DC=DE=3，∴AD=AC-DC=12-3=9．例5．如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，切点分别为点A、B、E，若△PCD的周长为18cm，∠APB=60°，求⊙O的半径．【答案】解：连接OA，OP，则OA⊥PA，根据题意可得：CA=CE，DE=DB，PA=PB，∵PC+CE=DE+PD=18，∴PC+CA+DB+PD=18，∴PA=×18=9（cm），∵PA、PB是⊙O的切线，∴∠APO=∠APB=30°，在Rt△AOP中，PO=2AO，AO＞0，故OA2+92=（2AO）2，解得：OA=，故⊙O的半径为：cm．例6．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E．（1）求证：∠BDC=∠A；（2）若CE=2√3，DE=2，求AD的长．（3）在（2）的条件下，求弧BD的长．【答案】（1）证明：连接OD，∵CD是⊙O切线，∴∠ODC=90°，即∠ODB+∠BDC=90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠ODB+∠ADO=90°，∴∠BDC=∠ADO，∵OA=OD，∴∠ADO=∠A，∴∠BDC=∠A；（2）∵CE⊥AE，∴∠E=∠ADB=90°，∴DB∥EC，∴∠DCE=∠BDC，∵∠BDC=∠A，∴∠A=∠DCE，∵∠E=∠E，∴△AEC∽△CED，∴CEDE =AE CE，∴EC2=DE•AE，∴（2√3）2=2（2+AD），∴AD=4．（3）∵直角△CDE中，tan∠DCE=DEEC =22√3=√33，∴∠DCE=30°，又∵△AEC∽△CED，∴∠A=∠DCE=30°，∴∠DOB=2∠A=60°，BD=AD•tanA=4×√33=4√33，∴△OBD是等边三角形，则OD=BD=4√33，则弧BD的长是60π×4√33180=4√3π9．【举一反三】1．如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E交PA，PB于C，D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长为3r，连接OA，OP，则OAPA的值是（）A. 213√13 B. 125C. 32D. 23【解答】解：∵PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E交PA，PB于C，D，∴CA=CF，DF=DB，PA=PB，∴PC+CF+DF+PD=PA=PB=2PA=3r，∴PA=32r，则OAPA 的值是：r32r=23．故选：D．【答案】D2．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD为（）A. 2.5B. 1.6C. 1.5D. 1【解答】解：连接OD、OE，设AD=x，∵半圆分别与AC、BC相切，∴∠CDO=∠CEO=90°，∵∠C=90°，∴四边形ODCE是矩形，∴OD=CE，OE=CD，又∵OD=OE，∴CD=CE=4-x，BE=6-（4-x）=x+2，∵∠AOD+∠A=90°，∠AOD+∠BOE=90°，∴∠A=∠BOE，∴△AOD∽OBE，∴ADOE =OD BE，∴x4−x =4−x x+2，解得x=1.6，故选：B．【答案】B3．如图，已知△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，作∠ABC的角平分线交AC于D，以D为圆心，DA 为半径作圆，与射线交于点E、F．有下列结论：①△ABC是直角三角形；②⊙D与直线BC相切；③点E是线段BF的黄金分割点；④tan∠CDF=2．其中正确的结论有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【解答】解：∵32+42=52，∴AB2+AC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，①正确；作DM⊥BC于M，如图所示：∵BD 是∠ABC 的平分线，∴DM=DA ，∴⊙D 与直线BC 相切，∴②正确；∵∠BAC=∠DMC=90°，在Rt △BDM 和△BDA 中，{BD =BD DM =DA， ∴Rt △BDM ≌△BDA （HL ），∴MB=AB=3，∴CM=BC-MB=2，∵∠C=∠C ，∴△CDM ∽△CBA ，∴DM AB =CM AC ，即DM 3=24， 解得：DM=32，∴DF=DE=32，∴BD=√AB 2++AD 2=√32+（32）2=3√52， ∴BE=BD-DE=3√52-32，BF=BD+DF=3√52+32， ∵EF 2=9，BF•BE=（3√52+32）（3√52-32）=9， ∴EF 2=BF•BE ，∴点E 是线段BF 的黄金分割点，③正确；∵tan ∠CDF=tan ∠ADB=AB AD =332=2，∴④正确；正确的有4个．故选：A ．【答案】A4．如图，PT 切⊙O 于点T ，经过圆心O 的割线PAB 交⊙O 于点A 、B ，已知PT=4，PA=2，则⊙O 的直径AB 等于（ ）A. 3B. 4C. 6D. 8【解答】∵PT2=PA•PB，PT=4，PA=2，∴PB=8，∴AB=6，【答案】C5．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5．如图，⊙O是△ABC的内切圆，与三边分别相切于点E、F、G．（1）求证：内切圆的半径r=1；（2）求tan∠OAG的值．【答案】（1）证明：如图连结OE，OF，OG．∵⊙O是△ABC的内切圆，∠C=90°，∴四边形CEOF是正方形，∴CE=CF=r．又∵AG=AE=3-r，BG=BF=4-r，AG+BG=5，∴（3-r）+（4-r）=5．解得r=1；（2）解：连结OA，在R t△AOG中，∵r=1，AG=3-r=2，tan∠OAG=OG：AG=1：26．如图，AB为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O 的切线交AD的延长线于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE=6，⊙O的半径为10，求BF的长．【答案】（1）证明：连结OD，∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥OE．又∵DE⊥AC，∴AE∥OD．∴∠2=∠ADO，∵OA=OD，∴∠1=∠ADO．∴∠1=∠2，即AD平分∠ABC；（2）解：作DH⊥AB于H，∵∠1=∠2，∠E=90°，∴DH=DE=6，∵OD=10，∴由勾股定理得：OH=8，∴AH=10+8=18，AB=20，∵FB是⊙O的切线，∴∠FBA=90°，∴DH⊥AB，∴DH∥BF，∴△AHD∽△ABF，∴DHBF =AH AB，∴6BF =18 20，∴BF=203．1．如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA=3，则PB=（）A. 2B. 3C. 4D. 5【解答】解：连接OA、OB、OP，根据切线的性质得出OA⊥PA，OB⊥PB，然后证得Rt△AOP≌Rt△BOP，即可求得PB=PA=3．【答案】B2．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，交DE于点H，AM⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD＝4，AB＝6，求的值．【解答】3．如图，△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于F点．（1）若AE=2，AD=3，BE=4，求CD的长（2）求证：DE·BF=EF·BC【解答】（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB；∠A=∠A∴△ABD∽△ACE∴ABAC =ADAE，∵AE=2，AD=3，BE=4，∴AB=6∴6AC =32，∴AC=4（2）∵BD⊥AC，CE⊥AB；∠BFE=∠DFC ∴△BFE∽△CFD∴BFFC =EFDF∵∠DFE=∠BFC ∴△DFE∽△CFD∴EFBF =EDBC∴DE·BF=EF·BC【答案】（1）4；（2）见解答．4．【阅读发现】如图①，在△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC于点D，E为AD上一点，且DE＝BD，可知AB＝CE．【类比探究】如图②，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，E是OC上任意一点，AG⊥BE 于点G，交BD于点F．判断AF与BE的数量关系，并加以证明．【推广应用】在图②中，若AB＝4，BF=则△AGE的面积是多少？【答案】5．已知：如图，⊙O为△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，作射线BF，使得BA平分∠CBF，过点A 作AD⊥BF于点D．（1）求证：DA为⊙O的切线；（2）若BD=1，tan∠BAD=12，求⊙O的半径．【答案】（1）证明：连接OA；∵BC为⊙O的直径，BA平分∠CBF，AD⊥BF，∴∠ADB=∠BAC=90°，∠DBA=∠CBA；∵∠OAC=∠OCA，∴∠DAO=∠DAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°，∴DA为⊙O的切线．（2）解：∵BD=1，tan∠BAD=12，∴AD=2，∴AB=√22+12=√5，∴cos∠DBA=√55；∵∠DBA=∠CBA，∴BC=ABcos∠CBA =√5√55=5．∴⊙O的半径为2.5．6．如图1，Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，点M为AB中点，点D在弧上，连接CD、BD，点G 是CD的中点，连结MG．（1）求证：MG⊥CD；（2）如图2，若AC＝BC，AD平分∠ BAC，AD与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，求证：CF＝CE；（3）在（2）的条件下，若OG•DE＝3（2-），求⊙O 的面积．【答案】。

第76讲双切线问题知识梳理双切线问题，就是过一点做圆锥曲线的两条切线的问题，解决这一类问题我们通常用同构法.解题思路：①根据曲线外一点()00P x y ，设出切线方程()00y y k x x -=-．②和曲线方程联立，求出判别式0∆=．③整理出关于双切线斜率12k k 、的同构方程．④写出关于12k k 、的韦达定理，并解题．必考题型全归纳题型一：定值问题例1．（2024·河南·高三竞赛）已知抛物线C ：22x y =与直线l ：1y kx =-没有公共点，P 为直线l 上的动点，过P 作抛物线C 的两条切线，A 、B 为切点.（1）证明：直线AB 恒过定点Q ；（2）若点P 与Q 的连线与抛物线C 交于M 、N 两点，证明：PM QN PN QM =.例2．（2024·高二单元测试）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点F 与椭圆22143x y +=的右焦点重合，点M 是抛物线C 的准线上任意一点，直线MA ，MB 分别与抛物线C 相切于点A ，B ．(1)求抛物线C 的标准方程及其准线方程；(2)设直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，证明：12k k ⋅为定值．例3．（2024·贵州贵阳·校联考模拟预测）已知坐标原点为O ，抛物线为2:2(0)G x py p =>与双曲线22133y x -=在第一象限的交点为P ，F 为双曲线的上焦点，且OPF △的面积为3．(1)求抛物线G 的方程；(2)已知点(2,1)M --，过点M 作抛物线G 的两条切线，切点分别为A ，B ，切线MA ，MB 分别交x 轴于C ，D ，求MAB △与MCD △的面积之比．变式1．（2024·安徽合肥·高三合肥一中校联考开学考试）已知抛物线2:2E x py =（p 为常数，0p >）.点()00,M x y 是抛物线E 上不同于原点的任意一点.(1)若直线00:2x l y x y =-与E 只有一个公共点，求p ；(2)设P 为E 的准线上一点，过P 作E 的两条切线，切点为,A B ，且直线PA ，PB 与x 轴分别交于C ，D 两点.①证明：PA PB⊥②试问PC AB PB CD⋅⋅是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.变式2．（2024·河南信阳·信阳高中校考三模）已知抛物线()21:20C y px p =>上一点()1,Q a 到焦点的距离为3.(1)求a ，p 的值；(2)设P 为直线=1x -上除(1,-，(-两点外的任意一点，过P 作圆()222:23C x y -+=的两条切线，分别与曲线1C 相交于点A ，B 和C ，D ，试判断A ，B ，C ，D 四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由.题型二：斜率问题例4．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C :2222x y a b +=1(a>b>0)的离心率为4,F 1,F 2是椭圆的两个焦点,P 是椭圆上任意一点,且△PF 1F 2的周长是8+(1)求椭圆C 的方程;(2)设圆T :(x-2)2+y 2=49,过椭圆的上顶点M 作圆T 的两条切线交椭圆于E ,F 两点,求直线EF 的斜率.例5．（2024·全国·高三专题练习）设点P 为抛物线2:y x Γ=外一点，过点P 作抛物线Γ的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ．（Ⅰ）若点P 为(1,0)-，求直线AB 的方程；（Ⅱ）若点P 为圆22(2)1x y ++=上的点，记两切线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，求1211||k k -的取值范围．例6．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为4，1F ，2F是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上任意一点，且12PF F △的周长是8+(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在斜率为1的直线L 与椭圆C 交于A ，B 两点，使得以AB 为直径圆过原点，若存在写出直线方程；(3)设圆()224:9T x t y -+=，过椭圆的上顶点作圆T 的两条切线交椭圆于E 、F 两点，当圆心在x 轴上移动且(1,3)t ∈时，求EF 的斜率的取值范围．变式3．（2024·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考阶段练习）已知圆()()229:M x a y b -+-=，圆心M 在抛物线()2:20C x py p =>上，圆M 过原点O 且与C 的准线相切．(1)求抛物线C 的方程；(2)点()0,1Q -，点P （与Q 不重合）在直线:1l y =-上运动，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为,A B ．求证：AQO BQO ∠=∠．变式4．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）已知00(4,)(0)P y y >是抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，过P 作圆222:(4)D x y r -+=(04)r <<的两条切线（切点为,A B ），交抛物线C 分别点,,M N 且当1r =时，PA =(1)求抛物线C 的方程;(2)判断直线MN 的斜率是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由.变式5．（2024·湖南岳阳·统考模拟预测）已知1F 、2F 分别为椭圆22:14xy Γ+=的左、右焦点，M 为Γ上的一点.(1)若点M 的坐标为()()1,0m m >，求12F MF △的面积；(2)若点M 的坐标为()0,1，且直线()35y kx k =-∈R 与Γ交于不同的两点A 、B ，求证：MA MB⋅ 为定值，并求出该定值；(3)如图，设点M 的坐标为(),s t ，过坐标原点O 作圆()()222:M x s y t r -+-=（其中r 为定值，01r <<且s r ≠）的两条切线，分别交Γ于点P ，Q ，直线OP ，OQ 的斜率分别记为1k ，2k .如果12k k 为定值，求OP OQ ⋅的取值范围，以及OP OQ ⋅取得最大值时圆M 的方程.题型三：交点弦过定点问题例7．（2024·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为2的正方形（记为Q ）．(1)求椭圆C 的方程；(2)设点P 在直线2x a =上，过点P 作以原点为圆心短半轴长为半径圆O 的两条切线，切点为M ，N ，求证：直线MN 恒过定点．例8．（2024·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，P (4,4)是C 上的一点.(1)若直线PF 交C 于另外一点A ，求AP ；(2)若圆E ：()()222202x y r r -+=<<，过P 作圆E 的两条切线，分别交C 于M ，N 两点，证明：直线MN 过定点.例9．（2024·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知动圆M 恒过定点10,8F ⎛⎫⎪⎝⎭，圆心M 到直线14y =-的距离为1,8d d MF =+．(1)求M 点的轨迹C 的方程；(2)过直线1y x =-上的动点Q 作C 的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，证明：直线AB 恒过定点．变式6．（2024·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考三模）已知抛物线()2:20C x py p =>，过抛物线的焦点F 且斜率为34的直线l 与抛物线相交于不同的两点A ，B ，258AB =．(1)求抛物线C 的方程；(2)点M 在抛物线的准线上运动，过点M 作抛物线C 的两条切线，切点分别为P ，Q ，在平面内是否存在定点N ，使得直线MN 与直线PQ 垂直？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．变式7．（2024·河南·校联考模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为2，圆224x y +=与椭圆C 恰有两个公共点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知结论：若点()00,x y 为椭圆22221x y a b+=上一点，则椭圆在该点处的切线方程为00221x x y ya b+=．若椭圆C 的短轴长小于4，过点(8,)T t 作椭圆C 的两条切线，切点分别为,A B ，求证：直线AB 过定点．变式8．（2024·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考开学考试）如图所示，已知()0,1P 在椭圆222Γ:1(02)4x y b b+=<<上，圆222:(1)(0)C x y r r -+=>，圆C 在椭圆Γ内部.(1)求r 的取值范围；(2)过()0,1P 作圆C 的两条切线分别交椭圆Γ于,A B 点（,A B 不同于P ），直线AB 是否过定点？若AB 过定点，求该定点坐标；若AB 不过定点，请说明理由.变式9．（2024·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知点O 为平面直角坐标系的坐标原点，点F 是抛物线C ：24y x =的焦点．(1)过点F 且倾斜角为4π的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，求AOB 的面积；(2)若点T 为直线2x =-上的动点，过点T 作抛物线C 的两条切线，切点分别为M ，N ，求证：直线MN 过定点．变式10．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知22x py =()0p >的焦点为F ，且经过F 的直线被圆()223192x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭截得的线段长度的最小值为4．(1)求抛物线的方程；(2)设坐标原点为O ，若过点()2,0作直线l 与抛物线相交于不同的两点P ，Q ，过点P ，Q 作抛物线的切线分别与直线OQ ，OP 相交于点M ，N ，请问直线MN 是否经过定点？若是，请求出此定点坐标，若不是，请说明理由．变式11．（2024·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）如下图所示，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点为A 2，且椭圆C 经过点2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的方程；(2)若过点A 作圆222:(1)M x y r ++=（圆M 在椭圆C 内）的两条切线分别与椭圆C 相交于B D ､两点（B D ､异于点A ），当r 变化时，试问直线BD 是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.题型四：交点弦定值问题例10．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()0,F c (0)c >到直线:20l x y --=的距离为2．(1)求抛物线C 的方程；(2)设点0(P x ，0)y 为直线l 上一动点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点，求直线AB 的方程，并证明直线AB 过定点Q ；(3)过（2）中的点Q 的直线m 交抛物线C 于A ，B 两点，过点A ，B 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，求1l ，2l 交点M 满足的轨迹方程．例11．（2024·全国·高三专题练习）如图，设抛物线方程为22x py =(p ＞0)，M 为直线2y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B .（1）求直线AB 与y 轴的交点坐标；（2）若E 为抛物线弧AB 上的动点，抛物线在E 点处的切线与三角形MAB 的边MA ，MB 分别交于点C ，D ，记EAB MCDS S λ=△△，问λ是否为定值？若是求出该定值；若不是请说明理由.例12．（2024·全国·高三专题练习）已知拋物线2:2(0)C y px p =>，F 为焦点，若圆22:(1)16E x y -+=与拋物线C 交于,A B两点，且AB =(1)求抛物线C 的方程；(2)若点P 为圆E 上任意一点，且过点P 可以作拋物线C 的两条切线,PM PN ，切点分别为,M N .求证：MF NF ⋅恒为定值.变式12．（2024·山东青岛·统考二模）已知O 为坐标原点，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 是双曲线C 在第一象限上的点，直线1PF 与y 轴的交点为Q ，2PQF 的周长等于6a ，221224PF PF -=.(1)求C 的方程；(2)过圆22:1O x y +=上一点W （W 不在坐标轴上）作C 的两条切线，对应的切点为A ，B .证明：直线AB 与椭圆22:14x D y +=相切于点T ，且WT AB WA WB ⋅=⋅.题型五：交点弦最值问题例13．（2024·江西抚州·临川一中校考模拟预测）椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设(),G m n 是椭圆E 上的动点，过原点О作圆G ：()()2245x m y n -+-=的两条斜率存在的切线分别与椭圆E 交丁点A ，B ，求OA OB +的最大值.例14．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线C 的方程为24x y =，F 为其焦点，过不在抛物线上的一点P 作此抛物线的切线,PA PB ，,A B 为切点.且PA PB ⊥.（Ⅰ）求证：直线AB 过定点；（Ⅱ）直线PF 与曲线C 的一个交点为R ，求AR AB ⋅ 的最小值.例15．（2024·河南·襄城高中校联考三模）已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在y 轴的正半轴上，圆22(1)1y x +-=经过抛物线C 的焦点.(1)求C 的方程；(2)若直线:40l mx y +-=与抛物线C 相交于,A B 两点，过,A B 两点分别作抛物线C 的切线，两条切线相交于点P ，求ABP 面积的最小值.变式13．（2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校联考阶段练习）已知椭圆22:1164x y C +=，00(,)P x y 是椭圆外一点，过P 作椭圆C 的两条切线，切点分别为,M N ，直线MN 与直线OP 交于点Q ，,A B 是直线OP 与椭圆C 的两个交点.(1)求直线OP 与直线MN 的斜率之积；(2)求AMN 面积的最大值.变式14．（2024·新疆喀什·统考模拟预测）已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，且F与圆M ：()2231x y ++=上点的距离的最小值为3．(1)求p ；(2)若点P 在圆M 上，PA ，PB 是抛物线C 的两条切线，A ，B 是切点，求三角形PAB 面积的最值．题型六：交点弦范围问题例16．（2024·全国·高三专题练习）如图，设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的一点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A 、B ，且直线PA 、PB 分别交y 轴于点M 、N ．（1）证明：FM PA ⊥；（2）求||||FM FN ⋅的取值范围．例17．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1(F ，点1,2Q ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）经过圆O ：225x y +=上一动点P 作椭圆C 的两条切线，切点分别记为,A B ，直线,PA PB 分别与圆O 相交于异于点P 的,M N 两点.（i ）当直线,PA PB 的斜率都存在时，记直线,PA PB 的斜率分别为12,k k .求证：121k k =-；（ii ）求||||AB MN 的取值范围.例18．（2024·山东·校联考模拟预测）已知圆22:4,O x y O +=为坐标原点，点K 在圆O 上运动，L 为过点K 的圆的切线，以L 为准线的拋物线恒过点())12,F F ，抛物线的焦点为S ，记焦点S 的轨迹为S ．(1)求S 的方程；(2)过动点P 的两条直线12,l l 均与曲线S 相切，切点分别为,A B ，且12,l l 的斜率之积为1-，求四边形PAOB 面积的取值范围．变式15．（2024·云南曲靖·统考模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，以椭圆的顶点为顶点的四边形面积为(1)求椭圆C 的标准方程；(2)我们称圆心在椭圆C 上运动且半径为的圆是椭圆C 的“环绕圆”.过原点O 作椭圆C 的“环绕圆”的两条切线，分别交椭圆C 于,A B 两点，若直线,OA OB 的斜率存在，并记为12,k k ，求12k k 的取值范围。

关于两曲线对应点切线垂直曲率挠率的相关结论摘要：本文主要探讨两曲线对应点切线垂直时，其曲率和挠率的关系。

通过对曲线的定义、曲率和挠率的概念及其性质的介绍，我们得出了两曲线对应点切线垂直时曲率和挠率的关系式，并通过实例进行了验证。

关键词：曲线；曲率；挠率；切线垂直；关系式；实例验证一、引言曲线是数学中的一种基本图形，它广泛应用于各个领域，如物理、工程、经济等等。

曲线的性质和变化规律对于研究各个领域的问题都有着重要的作用。

曲率和挠率是曲线的两个重要概念，它们描述了曲线在空间中的弯曲程度和扭曲程度，是研究曲线性质的基本工具。

本文主要探讨两曲线对应点切线垂直时，其曲率和挠率的关系。

二、曲线的定义及性质曲线是平面或空间中的一条连续的弧线，它可以用参数方程或者一般方程来表示。

曲线的弧长是曲线的长度，曲线的弧度是曲线的弯曲程度，曲线的切线是曲线在某一点处的切线，曲率是曲线在某一点处切线的弯曲程度。

曲线的性质有很多，其中比较重要的有：1. 曲线的切线是曲线在该点处切线方向的极限状态。

2. 曲线的曲率是曲线在该点处切线弯曲程度的大小。

3. 曲线的弧长是曲线长度的度量。

4. 曲线的弧度是曲线弯曲程度的度量。

三、曲率和挠率的概念及性质曲率是曲线在某一点处切线弯曲程度的大小，它可以表示为： k=lim(Δθ/Δs)其中Δθ为曲线的弧度变化量，Δs为曲线上两点之间的弧长距离。

曲率的倒数称为曲率半径，它表示曲线在某一点处的切线与曲线的交点到该点的距离。

挠率是曲线在某一点处切线旋转的速率，它可以表示为：τ=lim(Δα/Δs)其中Δα为曲线的切线方向变化量，Δs为曲线上两点之间的弧长距离。

曲率和挠率的性质有：1. 曲率和挠率都是标量，具有大小和方向。

2. 曲率和挠率都是曲线在某一点处的性质，与曲线的参数方程无关。

3. 曲率和挠率都是曲线弯曲程度的度量，但曲率衡量的是曲线的弯曲程度，而挠率衡量的是曲线的扭曲程度。

4. 曲率和挠率都是曲线的本质属性，与曲线的外部因素无关。

第一章 函数与导数专题02 曲线的切线问题探究【压轴综述】纵观近几年的高考命题，对曲线的切线问题的考查，主要与导数相结合，涉及切线的斜率、倾斜角、切线方程等问题，题目的难度有难有易.利用导数的几何意义解题，主要题目类型有求切线方程、求切点坐标、求参数值（范围）等.与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略有： 1.已知斜率求切点．已知斜率k ，求切点()()11,x f x ，即解方程()f x k '=.2.求切线方程：注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.即注意两个“说法”：求曲线在点P 处的切线方程和求曲线过点P 的切线方程，在点P 处的切线，一定是以点P 为切点，过点P 的切线，不论点P 在不在曲线上，点P 不一定是切点．（1）已知切点求切线方程：①求出函数()y f x =在点0x x =处的导数，即曲线()y f x =在点()()00,x f x 处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为()()000y y f x x x '-=-． （2）求过点P 的曲线的切线方程的步骤为： 第一步，设出切点坐标P ′(x 1，f(x 1))；第二步，写出过P ′(x 1，f(x 1))的切线方程为y-f(x 1)＝f ′(x 1)(x-x 1)； 第三步，将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程，求出x 1；第四步，将x 1的值代入方程y-f(x 1)＝f ′(x 1)(x-x 1)可得过点P(x 0，y 0)的切线方程．3.求切线倾斜角的取值范围．先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决．4.根据导数的几何意义求参数的值（范围）时，一般是利用切点P (x 0，y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．5.已知两条曲线有公切线，求参数值（范围）.6.导数几何意义相关的综合问题．【压轴典例】例1.（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____. 【答案】(e, 1). 【解析】设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x'=，当0x x =时，01y x '=， 点A 在曲线ln y x =上的切线为0001()y y x x x -=-， 即00ln 1xy x x -=-， 代入点(),1e --，得001ln 1ex x ---=-， 即00ln x x e =，考查函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >， 且()'ln 1H x x =+，当1x >时，()()'0,H x H x >单调递增，注意到()H e e =，故00ln x x e =存在唯一的实数根0x e =，此时01y =， 故点A 的坐标为(),1A e .例2.（2019·全国高考真题（理）） 已知函数()11ln x f x x x -=-+.（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e xy =的切线. 【答案】（1）函数()f x 在(0,1)和(1,)+∞上是单调增函数，证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,1)(1,)⋃+∞，2211()ln ()1(1)x x f x x f x x x x ++'=-⇒=--，因为函数()f x 的定义域为(0,1)(1,)⋃+∞，所以()0f x '>，因此函数()f x 在(0,1)和(1,)+∞上是单调增函数；当(0,1)x ∈，时，0,x y →→-∞，而11112()ln 0111e f e e e e+=-=>--，显然当(0,1)x ∈，函数()f x 有零点，而函数()f x 在(0,1)x ∈上单调递增，故当(0,1)x ∈时，函数()f x 有唯一的零点；当(1,)x ∈+∞时，2222221213()ln 0,()ln 01111e e ef e e f e e e e e e +-+-=-=<=-=>----，因为2()()0f e f e ⋅<，所以函数()f x 在2(,)e e 必有一零点，而函数()f x 在(1,)+∞上是单调递增，故当(1,)x ∈+∞时，函数()f x 有唯一的零点综上所述，函数()f x 的定义域(0,1)(1,)⋃+∞内有2个零点； （2）因为0x 是()f x 的一个零点，所以000000011()ln 0ln 11x x f x x x x x ++=-=⇒=-- 1ln y x y x'=⇒=，所以曲线ln y x =在00A(,ln )x x 处的切线l 的斜率01k x =，故曲线ln y x =在00A(,ln )x x 处的切线l 的方程为：0001ln ()y x x x x -=-而0001ln 1x x x +=-，所以l 的方程为0021x y x x =+-，它在纵轴的截距为021x -.设曲线xy e =的切点为11(,)x B x e ，过切点为11(,)x B x e 切线'l ，x x y e y e '=⇒=，所以在11(,)x B x e 处的切线'l 的斜率为1x e ，因此切线'l 的方程为111(1)x xy e x e x =+-，当切线'l 的斜率11xk e =等于直线l 的斜率01k x =时，即11001(ln )x e x x x =⇒=-， 切线'l 在纵轴的截距为01ln 110001(1)(1ln )(1ln )x xb e x ex x x -=-=+=+，而0001ln 1x x x +=-，所以01000112(1)11x b x x x +=+=--，直线',l l 的斜率相等，在纵轴上的截距也相等，因此直线',l l 重合，故曲线ln y x =在00A(,ln )x x 处的切线也是曲线x y e =的切线.例3. （2019·湖北高考模拟（理））已知函数2()1f x x ax =-+，()ln ()g x x a a R =+∈. （1）讨论函数()()()h x f x g x =+的单调性；（2）若存在与函数()f x ，()g x 的图象都相切的直线，求实数a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）(],1-∞ 【解析】（1）函数()h x 的定义域为()0,∞+,()()()2h x f x g x x ax lnx a 1(x 0)=+=-+++>，所以()212x ax 1x 2x a x xh -+=-+='所以当2Δa 80=-≤即a -≤≤()'x 0h >，()h x 在()0,∞+上单调递增；当2Δa 80=->即a a ><-当a <-()'x 0h >，()h x 在()0,∞+上单调递增；当a >时，令()'x 0h =得x =综上：当a ≤时，()h x 在()0,∞+上单调递增；当a >时()h x 在⎛ ⎝⎭，∞⎫+⎪⎪⎝⎭单调递增，在⎝⎭单调递减.（2）设函数()f x 在点()()11x ,f x 与函数()g x 在点()()22x ,g x 处切线相同，()()111x 2,x f x a g x''=-=，则()()()()121212f x g x x x x x f g -==-''，由1212x a x -=，得121a x 2x 2=+，再由()2112212x ax 1lnx a 1x x x -+-+=- 得2121122x x x ax 1lnx a x -=-+--，把121a x 2x 2=+代入上式得()222221a a lnx a 20*4x 2x 4++++-= 设()221a a F x lnx a 24x 2x 4=++++-（∵x 2＞0，∴x ∈（0，+∞））, 则()23231a 12x ax 1x 2x 2x x 2xF --=--+=' 不妨设20002x ax 10(x 0)--=>. 当00x x <<时，()x 0F '<，当0x x >时，()x 0F '>所以()F x 在区间()00,x 上单调递减，在区间()0x ,∞+上单调递增， 把001a=2x x -代入可得：()()20000min1F x F x x 2x lnx 2x ==+-+- 设()21G x x 2x lnx 2x =+-+-，则()211x 2x 20x xG =+++>'对x 0>恒成立， 所以()G x 在区间()0,∞+上单调递增，又()G 1=0所以当0x 1<≤时()G x 0≤，即当00x 1<≤时()0F x 0≤,又当2ax e -=时，()22a 42a 2a 1a a F x lne a 24e 2e 4---=-+++- 22a 11a 04e -⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭因此当00x 1<≤时，函数()F x 必有零点；即当00x 1<≤时，必存在2x 使得()*成立； 即存在12x ,x 使得函数()f x 在点()()11x ,f x 与函数()g x 在点()()22x ,g x 处切线相同． 又由()1y 2x 0,1x=-在单调递增得，因此(]0001a=2x ,x 0,1x -∈所以实数a 的取值范围是(],1-∞． 【总结提升】（1）求切线方程的方法：①求曲线在点P 处的切线，则表明P 点是切点，只需求出函数在点P 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；②求曲线过点P 的切线，则P 点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程；(2)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上. 例4.（2019·山东高考模拟（文））已知函数ln 1()x f x x+=. (Ⅰ)证明：2()f x e x e ≤-； (Ⅱ)若直线(0)yax b a =+>为函数()f x 的切线，求b a的最小值.【答案】(1)见解析.(2) 1e-.【解析】(Ⅰ)证明：整理2()f x e x e ≤-得22ln 10(0)x e x ex x -++≤>令22()ln 1g x x e x ex =-++，2221(1)(21)()e x ex ex ex g x x x-++-+'==-当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0g x '>，所以()g x 在1(0,)e上单调递增；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0g x '<，所以()g x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以1()0g x g e ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，不等式得证.(Ⅱ)221(ln 1)ln ()x xf x x x-+-'==，设切点为()()00,x f x ， 则02ln x a x -=，函数()f x 在()()00,x f x 点处的切线方程为()()()000y f x f x x x '-=- ()000200ln 1ln x x y x x x x +-=--，令0x =，解得002ln 1x b x +=， 所以()0002ln 1ln x x ba x +=-，令()()00002ln 1ln x x h x x +=-， 因为0a >，02ln 0x x ->，所以100<<x ， ()()()()20000000022202ln 3ln 2ln 12ln 1ln 12ln ln 1ln ln ln x x x x x x x h x x x x +---++-'=-=-=-，当010,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()00h x '<，所以()h x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()00h x '<，所以()h x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，因为100<<x ，()011h x h e e⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭. 【思路点拨】（1）由2()f x e x e ≤-即为22ln 10(0)x e x ex x -++≤>，令22()ln 1g x x e x ex =-++，利用导数求得函数()g x 的单调性与最值，即可得到结论； （2）求得函数()f x 的导数，设出切点，可得020ln x a x -=的值和切线方程，令0x =，求得002ln 1x b x +=，令()()00002ln 1ln x x h x x +=-，利用导数求得函数()0h x 的单调性与最小值．对于恒成立问题，往往要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 例5.（2014·北京高考真题（文））已知函数3()23f x x x =-. （1）求()f x 在区间[2,1]-上的最大值；（2）若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围；（3）问过点(1,2),(2,10),(0,2)A B C -分别存在几条直线与曲线()y f x =相切？（只需写出结论） 【答案】 【解析】(1)由3()23f x x x =-得2'()63f x x =-，令'()0f x =，得x =或2x =， 因为(2)10f -=-，(2f -=()2f -=(1)1f =-， 所以()f x 在区间[2,1]-上的最大值为(f =（2）设过点P （1，t ）的直线与曲线()y f x =相切于点00(,)x y ，则300023y x x =-，且切线斜率为2063k x =-，所以切线方程为2000(63)()y y x x x -=--，因此2000(63)(1)t y x x -=--，整理得：32004630x x t -++=，设()g x =32463x x t -++，则“过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切”等价于“()g x 有3个不同零点”，()g x '=21212x x -=12(1)x x -，()g x 与()g x '的情况如下：所以，31t -<<-是()g x 的极大值，31t -<<-是()g x 的极小值， 当，即1t ≥-时，此时()g x 在区间(,0)-∞和(1,)+∞上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点，当，(1,)P t 时，此时()g x 在区间(,0)-∞和(,0)-∞上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点.当且(3,1)--，即时，因为，，所以()g x 分别为区间和()g x 上恰有1个零点，由于()g x 在区间(,0)-∞和(1,)+∞上单调，所以()g x 分别在区间(,0)-∞和上恰有1个零点.综上可知，当过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切时，t 的取值范围是.（3）过点A （-1，2）存在3条直线与曲线()y f x =相切； 过点B （2，10）存在2条直线与曲线()y f x =相切； 过点C （0，2）存在1条直线与曲线()y f x =相切.例6. （2018·天津高考真题（理））已知函数()xf x a =， ()log a g x x =，其中a >1.（I ）求函数()()ln h x f x x a =-的单调区间；（II ）若曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线与曲线()y g x =在点()()22,x g x 处的切线平行，证明()122lnln ln ax g x a+=-； （III ）证明当1ea e ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()y f x =的切线，也是曲线()y g x =的切线. 【答案】(Ⅰ)单调递减区间(),0-∞，单调递增区间为()0,+∞；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)证明见解析. 【解析】（I ）由已知， ()xh x a xlna =-，有()xh x a lna lna ='-.令()0h x '=，解得x =0.由a >1，可知当x 变化时， ()h x '， ()h x 的变化情况如下表：所以函数()h x 的单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为()0,+∞.（II ）由()x f x a lna '=，可得曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线斜率为1xa lna .由()1g x xlna='，可得曲线()y g x =在点()()22,x g x 处的切线斜率为21x lna .因为这两条切线平行，故有121xa lna x lna=，即()1221x x a lna =. 两边取以a 为底的对数，得21220a log x x log lna ++=，所以()122lnlnax g x lna+=-. （III ）曲线()y f x =在点()11,x x a 处的切线l 1： ()111xxy a a lna x x -=⋅-.曲线()y g x =在点()22,a x log x 处的切线l 2： ()2221a y log x x x x lna-=⋅-. 要证明当1ea e ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()y f x =的切线，也是曲线()y g x =的切线， 只需证明当1ea e ≥时，存在()1,x ∈-∞+∞， ()20,x ∈+∞，使得l 1和l 2重合.即只需证明当1ea e ≥时，方程组1112121{1x x x a a lna x lnaa x a lna log x lna=-=-①②有解，由①得()1221x x a lna =，代入②，得1111120x x lnlna a x a lna x lna lna-+++=. ③ 因此，只需证明当1ea e ≥时，关于x 1的方程③存在实数解. 设函数()12x x lnlnau x a xa lna x lna lna=-+++， 即要证明当1ea e ≥时，函数()y u x =存在零点.()()21x u x lna xa '=-，可知(),0x ∈-∞时， ()0u x '>；()0,x ∈+∞时， ()u x '单调递减，又()010u '=>， ()()212110lna u a lna ⎡⎤=-<⎢⎥⎥'⎢⎣⎦， 故存在唯一的x 0，且x 0>0，使得()00u x '=，即()02010x lna x a-=.由此可得()u x 在()0,x -∞上单调递增，在()0,x +∞上单调递减.()u x 在0x x =处取得极大值()0u x .因为1ea e ≥，故()1ln lna ≥-， 所以()()000000201212220xxlnlna lnlna lnlna u x a x a lna x x lna lna lna lna x lna +=-+++=++≥≥. 下面证明存在实数t ，使得()0u t <.由（I ）可得1xa xlna ≥+，当1x lna>时， 有()()()1211lnlnau x xlna xlna x lna lna≤+-+++()22121lnlna lna x x lna lna=-++++， 所以存在实数t ，使得()0u t <因此，当1e a e ≥时，存在()1,x ∈-∞+∞，使得()10u x =.所以，当1ea e ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()y f x =的切线，也是曲线()y g x =的切线. 例7.（2015·广东高考真题（理））（14分）（2015•广东）设a ＞1，函数f （x ）=（1+x 2）e x﹣a ． （1）求f （x ）的单调区间；（2）证明f （x ）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f （x ）在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M （m ，n ）处的切线与直线OP 平行，（O 是坐标原点），证明：m≤﹣1．【答案】（1）f （x ）=（1+x 2）e x﹣a 在（﹣∞，+∞）上为增函数． （2）见解析 （3）见解析 【解析】（1）f'（x ）=e x（x 2+2x+1）=e x（x+1）2∴f′（x ）≥0，∴f（x ）=（1+x 2）e x﹣a 在（﹣∞，+∞）上为增函数． （2）证明：由（1）问可知函数在（﹣∞，+∞）上为增函数． 又f （0）=1﹣a ， ∵a＞1．∴1﹣a ＜0∴f（0）＜0．当x→+∞时，f （x ）＞0成立． ∴f（x ）在（﹣∞，+∞）上有且只有一个零点 （3）证明：f'（x ）=e x（x+1）2，设点P （x 0，y 0）则）f'（x ）=e x0（x 0+1）2，∵y=f（x ）在点P 处的切线与x 轴平行，∴f'（x 0）=0，即：e x0（x 0+1）2=0， ∴x 0=﹣1将x 0=﹣1代入y=f （x ）得y 0=．∴，∴…10分令；g （m ）=e m﹣（m+1）g （m ）=e m﹣（m+1）， 则g'（m ）=e m﹣1，由g'（m ）=0得m=0． 当m∈（0，+∞）时，g'（m ）＞0 当m∈（﹣∞，0）时，g'（m ）＜0 ∴g（m ）的最小值为g （0）=0…12分 ∴g（m ）=e m ﹣（m+1）≥0 ∴e m≥m+1∴e m（m+1）2≥（m+1）3即： ∴m≤…14分例8.（2019·四川棠湖中学高考模拟（文））已知抛物线2:4C x y = ，M 为直线:1l y =-上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线MA,MB ，切点分别为A,B.（1）当M 的坐标为(0,-1)时，求过M,A,B 三点的圆的方程； （2）证明：以AB 为直径的圆恒过点M. 【答案】（1）22(1)4x y +-=（2）见证明 【解析】（1）解：当M 的坐标为(0,1)-时，设过M 点的切线方程为1y kx =-，由24,1,x y y kx ⎧=⎨=-⎩消y 得2440x kx -+=. (1) 令2(4)440k ∆=-⨯=，解得1k =±. 代入方程(1)，解得A(2,1),B(-2,1).设圆心P 的坐标为(0,)a ，由PM PB =，得12a +=，解得1a =. 故过,,M A B 三点的圆的方程为22(1)4x y +-=．（2）证明：设0(,1)M x -，由已知得24x y =，12y x '=，设切点分别为211(,)4x A x ，222(,)4x B x ，所以12MA x k =，22MB xk =， 切线MA 的方程为2111()42x x y x x -=-即2111124y x x x =-，切线MB 的方程为2222()42x x y x x -=-即2221124y x x x =-．又因为切线MA 过点0(,1)M x -，所以得201111124x x x -=-. ① 又因为切线MB 也过点0(,1)M x -，所以得202211124x x x -=-. ②所以1x ，2x 是方程2011124x x x -=-的两实根，由韦达定理得1202,x x x +=124x x =-．因为2110(,1)4x MA x x =-+uuu r ，2220(,1)4x MB x x =-+uuu r ，所以22121020()()(1)(1)44x x MA MB x x x x ⋅=--+++uuu r uuu r22221212012012121()()21164x x x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+++++-+⎣⎦． 将1202,x x x +=124x x =-代入，得0MA MB ⋅=. 所以以AB 为直径的圆恒过点M ．【压轴训练】1．（2019·湖南高考模拟（理））过抛物线()220x py p =>上两点,A B 分别作抛物线的切线，若两切线垂直且交于点()12P -，，则直线AB 的方程为（ ） A ．122y x =+ B ．134y x =+ C ．132y x =+ D ．124y x =+ 【答案】D 【解析】由22x py =，得22x y p=，∴'x y p =．设()()1122,,,A x y B x y ，则1212','x x x x x x y y p p====，抛物线在点A 处的切线方程为2112x x y x p p=-， 点B 处的切线方程为2222x x y x p p=-， 由21122222x x y x p px x y x p p⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得121222x x x x x y p +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 又两切线交于点()1,2P -，∴12121222x x x x p+⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故得12122,4x x x x p +==- （*）． ∵过,A B 两点的切线垂直，∴121x x p p⋅=-， 故212x x p =-，∴4p =，故得抛物线的方程为28x y =．由题意得直线AB 的斜率存在，可设直线方程为y kx b =+， 由28y kx bx y=+⎧⎨=⎩消去y 整理得2880x kx b --=， ∴12128,8x x k x x b +==- （**），由（*）和（**）可得14k =且2b =， ∴直线AB 的方程为124y x =+．故选：D ．2.（2019·山东高考模拟（文））设函数的图象上任意一点处的切线为，若函数的图象上总存在一点，使得在该点处的切线满足，则的取值范围是__________．【答案】【解析】，即又，即本题正确结果：3.（2019·山东高考模拟（理））已知函数()2f x x 2ax =+，()2g x 4a lnx b =+，设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点P ，且在P 点处的切线相同，当()a 0,∞∈+时，实数b 的最大值是______．【答案】【解析】 设()00,P x y ，()'22f x x a =+，()24'a g x x=．由题意知，()()00f x g x =，()()00''f x g x =，即2200024x ax a lnx b +=+，①200422a x a x +=，②解②得0x a =或02(x a =-舍)，代入①得：2234b a a lna =-，()0,a ∞∈+，()'684214b a alna a a lna =--=-，当140,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0b >，当14,a e ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，'0b <．∴实数b的最大值是1144b e elne ⎛⎫== ⎪⎝⎭．故答案为：4.（2013·北京高考真题（理））设l 为曲线C ：在点(1，0)处的切线.(I)求l 的方程；(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线l 的下方 【答案】(I)(II)见解析【解析】 (1)设f(x)＝，则f′(x)＝所以f′(1)＝1，所以L 的方程为y ＝x －1.(2)证明：令g(x)＝x －1－f(x)，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于g(x)>0(∀x>0，x≠1)． g(x)满足g(1)＝0，且g′(x)＝1－f′(x)＝.当0＜x ＜1时，x 2－1＜0，ln x ＜0，所以g′(x)＜0，故g(x)单调递减； 当x>1时，x 2－1>0，ln x>0，所以g′(x)>0，故g(x)单调递增． 所以，g(x)>g(1)＝0(∀x>0，x≠1)． 所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．5.（2015·天津高考真题（文））已知函数（Ⅰ）求的单调区间;（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为,求证:对于任意的正实数,都有;（Ⅲ）若方程有两个正实数根且,求证:.【答案】（Ⅰ）的单调递增区间是,单调递减区间是;（Ⅱ）见试题解析;（Ⅲ）见试题解析.【解析】（Ⅰ）由,可得的单调递增区间是,单调递减区间是;（Ⅱ）,,证明在单调递增,在单调递减,所以对任意的实数x,,对于任意的正实数,都有;（Ⅲ）设方程的根为,可得,由在单调递减,得,所以.设曲线在原点处的切线为方程的根为,可得,由在在单调递增,且,可得所以.试题解析:（Ⅰ）由,可得,当,即时,函数单调递增;当,即时,函数单调递减.所以函数的单调递增区间是,单调递减区间是.（Ⅱ）设,则,曲线在点P处的切线方程为,即,令即则.由于在单调递减,故在单调递减,又因为,所以当时,,所以当时,,所以在单调递增,在单调递减,所以对任意的实数x,,对于任意的正实数,都有.（Ⅲ）由（Ⅱ）知,设方程的根为,可得,因为在单调递减,又由（Ⅱ）知,所以.类似的,设曲线在原点处的切线为可得,对任意的,有即.设方程的根为,可得,因为在单调递增,且,因此,所以.6.（2013·福建高考真题（文））已知函数（为自然对数的底数）（Ⅰ）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；（Ⅱ）求函数的极值；（Ⅲ）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）当时，函数无极小值；当，在处取得极小值，无极大值（Ⅲ）的最大值为【解析】（1）由,得．又曲线在点处的切线平行于轴,得,即,解得．（2）,①当时,,为上的增函数,所以函数无极值．②当时,令,得,．,;,．所以在上单调递减,在上单调递增,故在处取得极小值,且极小值为,无极大值．综上,当时,函数无极小值当,在处取得极小值,无极大值．（3）当时,令,则直线:与曲线没有公共点,等价于方程在上没有实数解．假设,此时,,又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解”矛盾,故．又时,,知方程在上没有实数解．所以的最大值为．解法二:（1）（2）同解法一．（3）当时,．直线:与曲线没有公共点,等价于关于的方程在上没有实数解,即关于的方程:（*）在上没有实数解．①当时,方程（*）可化为,在上没有实数解．②当时,方程（*）化为．令,则有．令,得,当变化时,的变化情况如下表:当时,,同时当趋于时,趋于,从而的取值范围为．所以当时,方程（*）无实数解, 解得的取值范围是．综上,得的最大值为．7.（2013·北京高考真题（文））已知函数f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x . (1)若曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切，求a 与b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有两个不同交点，求b 的取值范围．【答案】（Ⅰ）求两个参数，需要建立两个方程.切点在切线上建立一个，利用导数的几何意义建立另一个，联立求解.（Ⅱ）利用导数分析曲线的走势，数形结合求解.【解析】由f(x)＝x 2＋xsin x ＋cos x ，得f′(x)＝2x ＋sin x ＋x(sin x)′－sin x ＝x(2＋cos x)．（1）因为曲线y ＝f(x)在点(a ，f(a))处与直线y ＝b 相切，所以f′(a)＝a(2＋cos a)＝0，b ＝f(a)． 解得a ＝0，b ＝f(0)＝1. （5分） （2）设g(x)＝f(x)－b ＝x 2＋xsin x ＋cos x －b. 令g′(x)＝f′(x)－0＝x(2＋cos x)＝0，得x ＝0. 当x 变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：所以函数g(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，且g(x)的最小值为g(0)＝1－b.①当1－b≥0时，即b≤1时，g(x)＝0至多有一个实根，曲线y ＝f(x)与y ＝b 最多有一个交点，不合题意． ②当1－b<0时，即b>1时，有g(0)＝1－b<0， g(2b)＝4b 2＋2bsin 2b ＋cos 2b －b>4b －2b －1－b>0. ∴y＝g(x)在(0,2b)内存在零点，又y ＝g(x)在R 上是偶函数，且g(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∴y＝g(x)在(0，＋∞)上有唯一零点，在(－∞，0)也有唯一零点． 故当b>1时，y ＝g(x)在R 上有两个零点， 则曲线y ＝f(x)与直线y ＝b 有两个不同交点．综上可知，如果曲线y ＝f(x)与直线y ＝b 有两个不同交点，那么b 的取值范围是(1，＋∞)．（12分）8.（2019·北京高考模拟（文））已知函数32()f x x ax =-．（Ⅰ）当3a =时，求函数()f x 在区间]2,0[上的最小值；（Ⅱ）当3a >时，求证：过点(1,(1))P f 恰有2条直线与曲线()y f x =相切． 【答案】（I ）4-.（Ⅱ）见解析. 【解析】（Ⅰ）当a ＝3时，f （x ）＝x 3﹣3x 2，f '（x ）＝3x 2﹣6x ＝3x （x ﹣2）． 当x ∈[0，2]时，f '（x ）≤0， 所以f （x ）在区间[0，2]上单调递减．所以f （x ）在区间[0，2]上的最小值为f （2）＝﹣4．（Ⅱ）设过点P （1，f （1））的曲线y ＝f （x ）的切线切点为（x 0，y 0），f '（x ）＝3x 2﹣2ax ，f （1）＝1﹣a ，所以()()()32000200001321y x ax y a x ax x ⎧=-⎪⎨--=--⎪⎩，．所以()3200023210x a x ax a -+++-=．令g （x ）＝2x 3﹣（a +3）x 2+2ax +1﹣a ，则g '（x ）＝6x 2﹣2（a +3）x +2a ＝（x ﹣1）（6x ﹣2a ）， 令g '（x ）＝0得x ＝1或3ax =， 因为a ＞3，所以1a ＞．∴g （x ）的极大值为g （1）＝0，g （x ）的极小值为()103a g g ⎛⎫=⎪⎝⎭＜， 所以g （x ）在3a ，⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上有且只有一个零点x ＝1．因为g （a ）＝2a 3﹣（a +3）a 2+2a 2+1﹣a ＝（a ﹣1）2（a +1）＞0，所以g （x ）在3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上有且只有一个零点． 所以g （x ）在R 上有且只有两个零点．即方程()3200023210x a x ax a -+++-=有且只有两个不相等实根，所以过点P （1，f （1））恰有2条直线与曲线y ＝f （x ）相切． 9.（2019·四川高考模拟（理））已知函数，.（1）若，求函数在区间（其中，是自然对数的底数）上的最小值；（2）若存在与函数，的图象都相切的直线，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】 （1）由题意，可得，，令，得. ①当时，在上单调递减，∴.②当时，在上单调递减，在上单调递增，∴.综上，当时，，当时，.（2）设函数在点处与函数在点处有相同的切线，则，∴，∴，代入得.∴问题转化为：关于的方程有解，设，则函数有零点，∵，当时，，∴. ∴问题转化为：的最小值小于或等于0.，设，则当时，，当时，.∴在上单调递减，在上单调递增，∴的最小值为.由知，故.设，则，故在上单调递增，∵，∴当时，，∴的最小值等价于.又∵函数在上单调递增，∴.10.（2019·湖南高考模拟（理））设函数()()()22,42x f x e ax g x x x =+=++.（Ⅰ）讨论()y f x =的极值；（Ⅱ）若曲线()y f x =和曲线()y g x =在点()0,2P 处有相同的切线，且当2x ≥-时，()()mf x g x ≥，求m 的取值范围 .【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）21,e ⎡⎤⎣⎦.【解析】 （Ⅰ）∵()()2xf x eax =+，∴()()2xf x e ax a '=++．①当0a =时，()20xf x e '=>恒成立，所以()f x 在R 上单调递增，无极值．②当0a >时，由()0f x '=得2a x a+=-， 且当2a x a +<-时，()0,()f x f x '<单调递减；当2a x a+>-时，()0,()f x f x '>单调递增． 所以当2a x a+=-时，()f x 有极小值，且()2=a a f x ae +--极小值，无极大值． ③当0a <时，由()0f x '=得2a x a+=-，且当2a x a +<-时，()0,()f x f x '>单调递增；当2a x a+>-时，()0,()f x f x '<单调递减．所以当2a x a+=-时，()f x 有极大值，且()2=a a f x ae +--极大值，无极小值． 综上所述，当0a =时，()f x 无极值； 当0a >时，()2=a af x ae +--极小值，无极大值； 当0a <时， ()2=a af x ae +--极大值，无极小值．（Ⅱ）由题意得()2+4g x x '=，∵()y f x =和()y g x =在点()0,2P 处有相同的切线， ∴(0)(0)f g =''，即24a +=，解得2a =， ∴()()22xf x ex =+．令()()()()222(42)xF x mf x g x me x x x =-=+-++，则()()()124xF x me x '=-+，由题意可得()0220F m =-≥，解得1m ≥． 由()0F x '=得12ln ,2x m x =-=-．①当ln 2m ->-，即21m e ≤<时，则120x -<≤，∴当()12,x x ∈-时，()0,()F x F x '<单调递减；当()1,x x ∈+∞时，()0,()F x F x '>单调递增， ∴()()2,F x -+∞在上的最小值为()()2112111224220F x x x x x x =+---=-+≥，∴()()mf x g x ≥恒成立．②当ln 2m -=-，即2m e =时，则()()2()124x F x ex +'=-+，∴当2x ≥-时，()0,()F x F x '≥在()2,-+∞上单调递增， 又(2)0F -=，∴当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()mf x g x ≥恒成立． ③当ln 2m -<-，即2m e >时， 则有()222(2)2220F me em e --=-=--+<-，从而当2x ≥-时，()()g x mf x ≤不可能恒成立．综上所述m 的取值范围为21,e ⎡⎤⎣⎦．11.（2019·天津高考模拟（理））已知函数()()()()21ln f x x x x a a R =---∈.(1)若()f x 在()0,∞+上单调递减，求a 的取值范围；(2)若()f x 在1x =处取得极值，判断当(]0,2x ∈时，存在几条切线与直线2y x =-平行，请说明理由； (3)若()f x 有两个极值点12,x x ，求证：1254x x +>. 【答案】(Ⅰ)(],1-∞；(Ⅱ)答案见解析；(Ⅲ)证明见解析. 【解析】(Ⅰ)由已知,()()11ln 2ln 2120x f x x x a x x a x x-=+--=--++≤'恒成立 令()1ln 212g x x x a x=--++,则()()()222221111212(0)x x x x g x x x x x x-+--++='=+-=>, ()210x -+<,令()'0g x >,解得:01x <<,令()'0g x <,解得:1x >,故()g x 在()0,1递增,在()1,+∞递减,()()max 122g x g a ∴==-，由()'0f x ≤恒成立可得1a ≤.即当()f x 在()0,+∞上单调递减时,a 的取值范围是(],1-∞. (Ⅱ)()f x 在1x =处取得极值，则()’10f =，可得1a =. 令()1ln 232f x x x x -'=-+=-，即 1ln 250x x x--+=. 设()1ln 25h x x x x =--+，则()()()222221111212x x x x h x x x x x-+--++='=+-=. 故()h x 在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递减， 注意到()55520h eee --=--<，()()112,2ln202h h ==+>， 则方程1ln 250x x x--+=在(]0,2内只有一个实数根， 即当(]0,2x ∈时，只有一条斜率为2-且与函数()f x 图像相切的直线. 但事实上，若1a =，则()1'ln 23f x x x x=--+， ()()()2121''x x f x x--+=，故函数()'f x 在区间()0,1上单调递增，在区间()1,2上单调递减， 且()'101230f =--+=，故函数()'0f x ≤在区间(]0,2上恒成立， 函数()f x 在区间(]0,2上单调递减，即函数不存在极值点， 即不存在满足题意的实数a ，也不存在满足题意的切线. (Ⅲ)若函数有两个极值点12,x x ,不妨设120x x <<， 由(Ⅰ)可知1a >,且：()11111ln 212f x x x a x -+'=-+①, ()22221ln 212f x x x a x -+'=-+②, 由①-②得:()()112112122121221211ln20,2ln 0,2x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫-+--=∴--=->∴< ⎪⎝⎭, 即12112x x e>> , 由①+②得:()()12121212ln 2240x x x x x x a x x ++--++=, ()121212ln 24124512242x x a x x x x ++-++∴+=>=++. 12.（2019·辽宁高考模拟（理））已知a R ∈，函数()()2ln ,0,6.f x a x x x =+∈()I 讨论()f x 的单调性；()II 若2x -是()f x 的极值点，且曲线()y f x =在两点()()()()1122,,,P x f x Q x f x ()12xx <处的切线相互平行，这两条切线在y 轴上的截距分别为12,b b ，求12b b -的取值范围 【答案】()I 当13a ≤时，()f x 在()0,6上单调递减，无单调递增区间；当13a >时，()f x 在20,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，2,6a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；()II 2ln 2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】（Ⅰ）()2222a ax f x x x x-'=-+=.()0,6x ∈Q ∴ ①当0a ≤时，()0f x '<在()0,6x ∈上恒成立. ∴ ()f x 在()0,6上单调递减，无单调递增区间；②当0a >，且26a≥，即103≤a <时，()0f x '<在()0,6x ∈上恒成立.∴ ()f x 在()0,6上单调递减，无单调递增区间；③当0a >，且26a <，即13a >时，在20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，()0f x '<，在2,6x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，()0f x '>，∴ ()f x 在20,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，2,6a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.综上，当13a ≤时，()f x 在()0,6上单调递减，无单调递增区间；当13a >时，()f x 在20,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，2,6a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. （Ⅱ）2x =是()f x 的极值点，∴由()1可知22,1a a=∴= 设在()()11.P x f x 处的切线方程为()112111221ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在()()22,Q x f x 处的切线方程为()222222221ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴若这两条切线互相平行，则2211222121x x x x -+=-+，121112x x ∴+= 令0x =，则1114ln 1b x x =+-，同理，2224ln 1b x x =+- 【解法一】211112x x =-Q121212114ln ln b b x x x x ⎛⎫∴-=-+-= ⎪⎝⎭ 111211114ln ln 22x x x ⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设()182ln ln 2g x x x x ⎛⎫=--+-⎪⎝⎭，11,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()2211168180122x x g x x x x x-+'∴=--=<--，()g x ∴在区间11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()2ln2,03g x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭即12b b -的取值范围是2ln2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【解法二】12122x x x =-Q 121212114ln ln b b x x x x ⎛⎫∴-=-+-= ⎪⎝⎭1182ln 12x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭令()1182ln 12x g x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，其中()3,4x ∈ ()()2228181622x x g x x x x x -+'∴=-+=-- ()()22402x x x -=>-∴函数()g x 在区间()3,4上单调递增，()2ln2,03g x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭.∴ 12b b -的取值范围是2ln2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【解法三】()12122x x x x =+Q g121212114ln ln b b x x x x ⎛⎫∴-=-+-= ⎪⎝⎭ ()2111224ln ·x x x x x x -+ ()2112122ln x x x x x x -=++ 12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=++设()()21ln 1x g x x x-=++，则()()()()22214111x g x x x x x --'=+=++ 11211,122x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭Q，()0g x ∴'>，∴函数()g x 在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()2ln2,03g x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭∴ 12b b -的取值范围是2ln2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭.13.（2019·安徽高考模拟（文））已知函数()ln x f x x =+，直线l ：21y kx =-.（Ⅰ）设(,)P x y 是()y f x =图象上一点，O 为原点，直线OP 的斜率()k g x =，若()g x 在(,1)x m m ∈+(0)m >上存在极值，求m 的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得直线l 是曲线()y f x =的切线？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由； （Ⅲ）试确定曲线()y f x =与直线l 的交点个数，并说明理由. 【答案】11e m e k -<<=Ⅰ，（Ⅱ），（Ⅲ）见解析 【解析】 （Ⅰ）∵()ln (0)y x x g x x x x +==>，∴()1ln 0xg x x='-=，解得x e =. 由题意得： 01m e m <<<+，解得1e m e -<<.（Ⅱ）假设存在实数k ，使得直线是曲线()y f x =的切线，令切点()00,P x y ， ∴切线的斜率0121k x =+. ∴切线的方程为()()00001ln 1y x x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，又∵切线过（0，-1）点，∴()()000011ln 10x x x x ⎛⎫--+=+- ⎪⎝⎭.解得01x =，∴22k =， ∴1k =.（Ⅲ）由题意，令ln 21x x kx +=-， 得 ln 12x x k x++=.令()ln 1(0)2x x h x x x ++=>， ∴()2ln 2xh x x-='，由()0h x '=，解得1x =. ∴()h x 在（0,1）上单调递增，在()1,+∞上单调递减，∴()()max 11h x h ==,又0x →时，()h x →-∞；x →+∞时，()1ln 11222x h x x +=+→， {}1,12k ⎛⎤∴∈-∞⋃ ⎥⎝⎦时，只有一个交点；1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有两个交点；()1,k ∈+∞时，没有交点.14. （2019·河北高考模拟（理））已知函数()xf x e =，()g x alnx(a 0)=>． ()1当x 0>时，()g x x ≤，求实数a 的取值范围；()2当a 1=时，曲线()y f x =和曲线()y g x =是否存在公共切线？并说明理由．【答案】（1）(]0,e ；（2）存在公共切线，理由详见解析.【解析】()1令()()ln m x g x x a x x =-=-，则()1a a x m x x x-=-='. 若0x a <<，则()0m x '>，若x a >，则()0m x '<.所以()m x 在()0,a 上是增函数，在(),a +∞上是减函数.所以x a =是()m x 的极大值点，也是()m x 的最大值点，即()max ln m x a a a =-.若()g x x ≤恒成立，则只需()max ln 0m x a a a =-≤，解得0a e <≤.所以实数a 的取值范围是(]0,e . ()2假设存在这样的直线l 且与曲线()y f x =和曲线()y g x =分别相切与点()()1122,,,ln x A x e B x x . 由()x f x e =，得()xf x e '=. 曲线()y f x =在点A 处的切线方程为()111x x y e e x x -=-，即()1111x xy e x x e =+-. 同理可得，曲线()y g x =在点B 处的切线方程为()2121ln y x x x x -=-，即221ln 1y x x x =+-. 所以()11212111x x e x x e lnx ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩则()1111lne 1x x x e --=-，即()111110x x e x -++= 构造函数()()x11,h x x e x =-++ x R ∈ 存在直线l 与曲线()y f x =和曲线()y g x =相切,等价于函数()()x11h x x e x =-++在R 上有零点对于()1xh x xe ='-. 当0x ≤时，()0h x '>，()h x 在上单调递增.当0x >时，因为()()()'10x h x x e +'=-<，所以()h x '在()0,+∞上是减函数.又()()010,110h h e ''=>=-<，，所以存在()00,1x ∈，使得()00010x h x x e'=-=，即001x e x =. 且当()000,x x ∈，()0h x '>时，当()00,x x ∈+∞时，()0h x '<.综上，()h x 在()00,x 上是增函数，在()0,x +∞上是减函数.所以()0h x 是()h x 的极大值，也是最大值，且()()()()0000000max 0011111?10x h x h x x e x x x x x x ==-++=-++=+＞. 又()22310h e --=-<，()2230h e =-+<，所以()h x 在()02,x -内和()0,2x 内各有一个零点. 故假设成立，即曲线()y f x =和曲线()y g x =存在公共切线.15.（2019·广西高考模拟（理））已知函数1()ln f x x mx x =--在区间(0,1)上为增函数，m R ∈.（1）求实数m 的取值范围； （2）当m 取最大值时，若直线l ：y ax b =+是函数()()2F x f x x =+的图像的切线，且,a b ∈R ，求+a b 的最小值.【答案】（1）2m ≤；（2）+a b 的最小值为-1.【解析】（1）∵()1ln f x x mx x =--， ∴()211f x m x x=+-'． 又函数()f x 在区间()0,1上为增函数，∴()2110f x m x x =-'+≥在()0,1上恒成立， ∴()221111124m t x x x x ⎛⎫≤+=+-= ⎪⎝⎭在()0,1上恒成立．令()()2211111,0,124t x x x x x ⎛⎫=+=+-∈ ⎪⎝⎭， 则当1x =时，()t x 取得最小值，且()2min t x =，∴2m ≤，∴实数m 的取值范围为(],2∞-．（2）由题意的()11ln 22ln F x x x x x x x ⎛⎫=--+=- ⎪⎝⎭，则()211F x x x +'=， 设切点坐标为0001,ln x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 则切线的斜率()020011a f x x x ==+'， 又0001ln x ax b x -=+， ∴002ln 1b x x =--， ∴020011ln 1a b x x x +=+--． 令()211ln 1(0)h x x x x x=+-->， 则()()()23233211212x x x x h x x x x x x'+-+-=-+==， 故当()0,1x ∈时，()()0,h x h x '<单调递减；当()1,x ∈+∞时，()()0,h x h x '>单调递增． ∴当1x =时，()h x 有最小值，且()()11min h x h ==-，∴a b +的最小值为1-．16．（2019·四川高考模拟（理））已知函数()ln x a f x x e +=-．（1）若曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线与x 轴正半轴有公共点，求a 的取值范围；（2）求证：11a e>-时，()1f x e <--．【答案】（1）1a <-；（2）证明见解析.【解析】（1）函数f （x ）＝lnx ﹣e x +a 的导数为f ′（x ）＝1x ﹣e x +a ．曲线f （x ）在点（1，f （1））处的切线斜率为1﹣e 1+a ，切点为（1，﹣e 1+a ），可得切线方程为y +e 1+a ＝（1﹣e 1+a ）（x ﹣1）， 可令y ＝0可得x ＝111a e +-，由题意可得111a e+-＞0， 可得e 1+a ＜1，解得a ＜﹣1； （2）证明：f ′（x ）＝1x ﹣e x +a ．设g （x ）＝f ′（x ）＝1x ﹣e x +a ． 可得g ′（x ）＝﹣（21x +e x +a ），当x ＞0时，g ′（x ）＜0，g （x ）递减； 由a ＞1﹣1e ，e x +a ＞e x ．若e x ＞1x ，g （x ）＜1x﹣e x ＜0， 当0＜x ＜1时，e x +a ＜e 1+a ．若e 1+a ＜1x，即x ＜e ﹣1﹣a ， 故当0＜x ＜e ﹣1﹣a 时，g （x ）＞0，即g （x ）＝f ′（x ）有零点x 0， 当0＜x ＜x 0时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增；当x ＞x 0时，f ′（x ）＜0，f （x ）递减， 可得f （x ）≤f （x 0），又f （x 0）＝lnx 0﹣e x 0+a ，又e x 0+a ＝01x ， 可得f （x 0）＝lnx 0﹣01x ，在x 0＞0递增， 又a ＝ln 01x ﹣x 0＝﹣（lnx 0+x 0）， a ＞1﹣1e ⇔﹣（lnx 0+x 0）＞1﹣1e ＝﹣（ln 1e +1e）， 所以lnx 0+x 0＜ln 1e +1e，由于lnx 0+x 0递增， 可得0＜x 0＜1e ，故f （x ）≤f （x 0）＜f （1e ）＝﹣1﹣e ．。

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