Banach空间中N阶脉冲积分-微分方程边值问题的解

banach空间中高阶常微分方程周期边值问题的解的存在性首先，关于常微分方程周期边值问题，需要先介绍它的定义、性质、以及各种参数。

在介绍它的定义之前，我们需要先介绍Banach 空间，这是一种非常抽象的数学概念，它会限定函数在各种极限中的行为。

Banach空间定义：给定一个复数数域X，X的子集M的定义为线性空间，如果：1.M是完全的，这意味着对于任意元素x∈M，如果(xn)是序列，且xn→x，则x∈M；2.M上有一个范数，即一个M[0,∞）函数，使得M上有正定义的欧式距离，且它具有三角不等式；3.如果x∈M，则存在常数c>0，使得它的范数最小；4.M上定义有完备的封闭性。

因此，Banach空间定义为M上满足以上条件的空间。

定义常微分方程周期边值问题：给定一个常微分方程组：y(t)=f(t,y), (t∈[0,T])给定一(T轴上的固定点)t1,...,tN, 以及一组边值y(t1)=y1, y(t2)=y2,..., y(tN)=yN对于对于Banach空间中的M，我们可以定义常微分方程周期边值问题，它的定义为：找出使得y(t)=f(t,y)， y(t1)=y1, y(t2)=y2,..., y(tN)=yN成立的函数y，使y∈M。

对于常微分方程周期边值问题，它具有一些重要的性质，分别是： 1.边值问题具有解的唯一性，即对于边值问题，只有一解满足所有条件，不存在其他解。

2.边值问题具有连续性，即对于边值问题，在给定边值时，只有一解与给定边值相连，并且解是连续的。

3.边值问题具有可导性，即对于边值问题，可以使用微分方法来求解，可以求出方程的导数，并使用导数来分析问题的变化规律。

在介绍完常微分方程周期边值问题以及Banach空间的定义以及性质之后，本文将讨论《Banach空间中高阶常微分方程周期边值问题的解的存在性》，即对于在Banach空间中的高阶常微分方程周期边值问题，存在什么样的条件可以保证它的解的存在性。

有序Banach空间分数阶Robin边值问题的正解李小龙;张丽丽【摘要】讨论了有序Banach空间E中Riemann-Liouville分数阶Robin边值问题:-Dα0+u(t) =f(t,u(t)),0≤t≤ 1,u(0) =u'(1) =θ正解的存在性,其中1＜α≤2,f:[0,1]×P→P连续,P为E中的正元锥.利用非紧性测度的估计技巧及凝聚映射的不动点指数理论获得了该边值问题正解的存在性结果.【期刊名称】《宁夏大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(040)002【总页数】5页(P111-115)【关键词】分数阶微分方程;Robin边值问题;正解;凝聚映射;不动点指数【作者】李小龙;张丽丽【作者单位】陇东学院数学与统计学院,甘肃庆阳 745000;陇东学院数学与统计学院,甘肃庆阳 745000【正文语种】中文【中图分类】O175.15分数阶微分方程在流体力学、流变学、生物系统的电传导、各种回路、黏弹性力学、分数控制系统与分数控制器、电分析化学、神经的分数模型以及分数回归模型等领域有广泛应用,特别是在与分形维有关的物理与工程问题中.近年来许多学者应用相关的不动点定理与上下解的单调迭代技巧研究了分数阶边值问题的正解及其多个正解的存在性[1—5],但在一般的无穷维Banach空间中对该类问题的研究还比较少,并且讨论的是分数阶Dirichlet边值问题解的存在性,本文研究了分数阶Robin边值问题正解的存在性.在研究无穷维Banach空间中分数阶微分方程边值问题时,非线性项f的连续性保证不了解的存在性,为了对相应的积分算子应用凝聚映射的拓扑度理论及相关的不动点定理,需要给f附加以下条件:紧型条件或者是耗散型条件,而耗散型条件适用于特殊情形;又Banach空间的微分方程与普通微分方程的最大差异是把微分方程转换为与之等价的积分方程后,相应的积分算子不再具有紧性.为了对该积分算子应用凝聚映射的不动点定理,通常需要给非线性项f附加一些非紧性测度条件.本文使用了下列非紧性测度条件:(H0) 对任意R>0,f(I×PR)有界,且存在常数使得对任意t∈I,D⊂PR,有α(f(t,D))≤Lα(D),其中在研究Banach空间中微分方程的正解时,很多文献(如文献[6])都要求f在有界集上一致连续.文中所利用的新的非紧性测度估计技巧[7]只需要f连续.本文将在一般的有序Banach空间E中讨论非线性分数阶Robin边值问题:(1)正解的存在性,其中是标准的Riemann-Liouville分数阶导数,f:[0,1]×P→P连续,P 为E中的正元锥.1 预备知识设E为有序Banach空间,其正元锥P为正规锥,正规常数为N,记I=[0,1].设C(I,E)为定义于I取值于E的全体连续函数按范数构成的Banach空间.记C(I,P)={u∈C(I,E)|u(t)∈P,t∈I},则C(I,P)为C(I,E)中的正规锥.正规常数亦为N,以下使用的C(I,E)中的半序“≤”由C(I,P)引出.定义1[1] 设α>0,函数f:(0,+∞)→R的α阶Riemann-Liouville积分为其中Γ(·)为Gamma函数.定义2[1] 设α>0,函数f:(0,+∞)→R的α阶Riemann-Liouville导数为其中Γ(·)为Gamma函数,n=[α]+1.由Riemann-Liouville型微分的定义可得下列结论.引理1[1] 设α>0,u∈C(0,1)∩L(0,1)是分数阶微分方程的解,则u(t)具有形式u(t)=c1tα-1+c2tα-2+…+cNtα-N,ci∈R, i=1,2,…,N,其中N是大于或等于α的最小正整数.引理2[1] 假设u∈C(0,1)∩L(0,1)有α(α>0)阶导数属于C(0,1)∩L(0,1),则ci∈R, i=1,2,…,N,其中N是大于或等于α的最小正整数.引理3 设1<α≤2,则对任意h∈C(I,E),Banach空间E中的线性分数阶边值问题(2)存在唯一解u(t)=G(t,s)h(s)dsTh(t),(3)其中证明由文献[1]知的解为再由u(0)=u′(1)=θ,可得于是下面证明唯一性.设u1,u2∈C(I,E)为方程(2)的两个解,则对任意φ∈E*,r(t)=φ(u1(t)-u2(t))为纯量线性方程的解,由文献[3]知r(t)=0,由φ∈E*的任意性知u1(t)-u2(t)≡θ,即u1(t)≡u2(t)于I,因此方程(2)的解唯一.引理4 由(3)式知算子T:C(I,E)→C(I,E)满足证明由(3)式知故从而显然算子T:C(I,E)→C(I,E)为正的线性连续算子,T有相应于第一特征值λ1的正特征函数u*,即λ1Tu*=u*.文中E与C(I,E)中有界集的Kuratiwski非紧性测度均由α(·)表示.对B⊂C(I,E), 记B(t)={u(t)|u∈B}⊂E,t∈I.引理5[8] 设B⊂C(I,E)为等度连续的有界函数族,则α(B(t))在I上连续,且引理6[9] 设B={un}⊂C(I,E)为可列集,若存在ψ∈L1(I)使得则α(B(t))在I上可积,且引理7[7] 设D⊂E有界, 则存在D的可列子集D0,使得α(D)≤2α(D0).定义算子Q:C(I,P)→C(I,P)如下:(Qu)(t)=G(t,s)f(s,u(s))ds,(4)则Q:C(I,P)→C(I,P)连续,且方程(1)的解等价于积分算子Q的不动点.引理8 设f:I×P→P满足假设(H0),则由(4)式定义的算子Q:C(I,P)→C(I,P)为凝聚映射.证明由(4)式易证Q把C(I,P)中的有界集映为有界的等度连续集.任取非相对紧的有界集B⊂C(I,P),下面证明α(Q(B))<α(B). 令则对∀t∈I,B(t)⊂PR,设为假设(H0)中的非紧性测度系数. 由引理7知,存在可列集B1={un}⊂B,使得α(Q(B))≤2α(Q(B1)).故对任意t∈I,由引理6及假设(H0)可得α(Q(B1(t)))=2α({G(t,s)f(s,un(s))|n=1,2,…})ds=2G(t,s)α(f(s,B1(s)))ds≤2LG(t,s)α(B1(s))ds≤2LG(t,s)dsα(B1)≤因为Q(B1)等度连续,由引理5知α(Q(B1))=于是有α(Q(B))≤2α(Q(B1))≤因此Q:C(I,P)→C(I,P)为凝聚映射.取C(I,P)的子锥:K={u∈C(I,P)|u(t)≥θ,∀t∈I},容易证明Q(C(I,P))⊂K,从而当f:I×P→P时, Q:K→K为凝聚映射,方程(1)的正解等价于Q在K中的不动点.本文将用凝聚映射的不动点指数理论寻找Q的不动点.引理9[10] 设E为Banach空间, K为E中的锥, Ω⊂E为有界开集,为凝聚映射.若Q 满足u≠λQu,∀u∈K∩∂Ω,0<λ≤1,则不动点指数i(Q,K∩Ω,K)=1.引理10[11] 设E为Banach空间, K为E中的锥, Ω⊂E为有界开集,为凝聚映射.若存在v0∈K,v0≠θ,使得Q满足u-Qu≠μv0,∀u∈K∩∂Ω,μ≥0,则不动点指数i(Q,K∩Ω,K)=0.2 主要结果及其证明定理1 设E为有序Banach空间,其正元锥P为正规锥,f:I×P→P连续,满足条件(H0).若f满足下列条件之一:(H1) ① 存在ε∈(0,(α-1)Γ(α+1))及δ>0,使得当x∈Pδ时f(t,x)≤εx;② 存在η>λ1及h0∈C(I,P),使得当x∈P时f(t,x)≥ηx-h0(t).(H2) ① 存在ε>λ1及δ>0,使得当x∈Pδ时f(t,x)≥εx;② 存在η∈(0,(α-1)Γ(α+1))及h0∈C(I,P),使得当x∈P时f(t,x)≤ηx+h0(t).则边值问题(1)至少存在一个正解.证明由上面的论述知,只需证明由(4)式定义的凝聚映射Q:K→K存在非零的不动点.取0<r<R<∞,记以下分2种情形分别证明当r充分小R充分大时Q在上存在不动点.情形1 f满足假设(H1). 取0<r<δ,其中δ为假设(H1)中的常数, 证明Q满足引理9中的条件:u≠λQu, ∀u∈K∩∂Ωr, 0<λ≤1.(5)反设(5)式不成立,则存在u0∈K∩∂Ωr及0<λ0≤1,使得u0=λ0Qu0.根据Q的定义及条件(H1)中① 得u0(t)=λ0Qu0(t)≤G(t,s)f(s,u0(s))ds≤εG(t,s)u0(s)ds=εTu0(t).累次使用上式,可得u0(t)≤εTu0(t)≤…≤εnTnu0(t),∀t∈I,n∈N.由锥K的正规性和引理4知其中N为正规常数,故这与矛盾.于是(5)式成立,再由引理9知i(Q,K∩Ωr,K)=1.(6)下面证明当R充分大时u-Qu≠τu*，∀u∈K∩∂ΩR, τ≥0.(7)反设(7)式不成立，则存在u0∈K∩∂ΩR及τ0≥0,使得u0-Qu0=τ0u*,则u0=Qu0+τ0u*,根据算子Q的定义及条件(H1)中② 得u0=Qu0+τ0u*=G(t,s)f(s,u0(s))ds+τ0u*≥ηG(t,s)u0(s)ds-G(t,s)h0(s)ds+τ0u*=ηTu0-G(t,s)h0(s)ds+τ0u*.从而有(ηT-I)u0≤G(t,s)h0(s)ds-τ0u*≤G(t,s)h0(s)ds.又由η>λ1知(ηT-I)为正算子,故逆算子(ηT-I)-1存在, 由锥K的正规性得(8)取则(7)式成立,由引理10知i(Q,K∩ΩR,K)=0,从而根据不动点指数理论的区域可加性,由该式结合(6)式可得i(Q,K∩ΩR,K)-i(Q,K∩Ωr,K)=-1.由可解性知Q在中至少存在一个不动点,该不动点即为方程(1)的正解.情形2 f满足假设(H2). 取0<r<δ,证明u-Qu≠τu*, ∀u∈K∩∂Ωr, τ≥0.(9)反设(9)式不成立,则存在u0∈K∩∂Ωr及τ0≥0,使得u0-Qu0=τ0u*,从而u0=Qu0+τ0u*.令τ*=sup{τ|u0≥τu*},即0<τ0<τ*<+∞,且u0≥τ*u*.又由T的正性知λ1Tu0≥τ*λ1Tu*=τ*u*.由条件(H2)中① 可得u0=Qu0+τ0u*=G(t,s)f(s,u0(s))ds+τ0u*≥εG(t,s)u0(s)ds+τ0u*=εTu0+τ0u*≥λ1Tu0+τ0u*≥(τ*+τ0)u*.这与τ*的定义矛盾.故根据引理10知i(Q,K∩Ωr,K)=0.(10)再证当R充分大时u≠λQu, ∀u∈K∩∂ΩR, 0<λ≤1.(11)假设存在u0∈K及0<λ0≤1,使得u0=λ0Qu0.从而由条件(H2)中② 得u0=λ0Qu0≤G(t,s)f(s,u0(s))ds≤G(t,s)(ηu0(s)+h0(s))ds=ηTu0+G(t,s)h0(s)ds，即(I-ηT)u0≤G(t,s)h0(s)ds,又所以由微扰定理知I-ηT存在有界逆算子(I-ηT)-1,且从而由锥K的正规性得取ε0>0,使得η+ε0<(α-1)Γ(α+1),则有而收敛,即级数收敛,令则有取则(11)式成立,由引理9知i(Q,K∩ΩR,K)=1.于是,由该式结合(10)式可得i(Q,K∩ΩR,K)-i(Q,K∩Ωr,K)=1.由可解性知Q在中至少存在一个不动点,该不动点即为方程(1)的正解. 参考文献：【相关文献】[1] BAI Zhanbing, LÜ Haishen.Positive solutions for boundary value problem of nonlinear fractionl differential equation[J].J Math Anal Appl,2005,311(2):495-505.[2] BAI Zhanbing.On positive solutions of a nonlocal fractional boundary valueproblem[J].Nonlinear Anal,2010,72(2):916-924.[3] JIANG Daqing, YUAN Chengjun.The positive properties of the Green function for Dirichlet-type boundary value problems of nonlinear fractional differential equations and its application[J].Nonlinear Anal,2010,72(2):710-719.[4] WANG Yingqing, LIU Lishan, WU Yonghong. 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