另一方面，由于该幂级数在i 43+-=z 处是条件收敛的，所以，任何满足5||>z 的点都不可能使该幂级数收敛。否则，根据阿贝尔定理，该幂级数在i 43+-=z 处绝对收敛，这与已知条件相矛盾。
综上所述，幂级数∑∞
=1n n
n z c 的收敛半径为5。问题二 解析函数的泰勒展开式与高等数学中任意阶可导函数的泰勒展开式形式上完全一样，而且一些常见初等函数的泰勒展开式的形式也相同，因此就有人认为泰勒级数这一节没有值得学习的新内容，这种看法对吗？
答 这种看法是非常片面的！虽然解析函数展开为泰勒级数的理论和方法确有许多地方与高等数学中泰勒级数的理论与方法相同，但是，只要读者认真地钻研教材，就会发现它们之间仍存在着显著的差异，而且一些在实变函数中不易理解的问题，只有在复变函数中才能得到解决。下面仅对其中的几个问题略加说明，希望读者注意。
（1）泰勒展开定理成立的条件不同。在实变函数中，一个函数展开为泰勒级数，不仅要求该函数任意可导，而且还要求泰勒公式中余项的极限为零。这两
个条件都是很难满足的，验证它们是否成立也不是一件容易的事。例如，用归纳法可以证明，函数
⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-0,
0,
0,e )(21
x x z f x 在0=x 处的各阶导数都存在，而且0)0()(=n f （ ,2,1,0=n ），因此，它在0=x 处的泰勒级数为
∑∞
=++++=0
000!0n n x n ，显然该级数的和函数0)(=x S 。也就是说，该级数是函数0)(=x S 的麦克劳林展开式，而不是)(x f 的麦克劳林展开式，)(x f 不能展开为x 的幂级数。究其原因，就是因为在0=x 的邻域内该函数的泰勒公式中的余项不趋于零。但在复变函数中就大为不同了，只要函数)(z f 在区域D 内解析，对于D 内任一点0z ，就一定存在0z 的一个邻域，使)(z f 在此邻域内展开为泰勒级数。这是因为解析函数具有任意阶导数，而且余项一定趋于零（参见教材的第118至119页）。
（2）根据幂级数的分析性质（即教材§2中的定理四1），设0z 为区域D 内一点，在0z 的某个邻域R z z <-||0内收敛的幂级数∑∞=-00)(n n
n z z c ，其和函数)(z f 必为该邻域内的解析函数。反之，由泰勒展开定理，若)(z f 在区域D 内解析，则它在D 内任一点0z 的邻域内都能展开成泰勒级数∑∞
=-00)(n n
n z z c 。从而得到刻画解析函数特征的又一个重要结论，即函数)(z f 在区域D 内解析的充要条件是：)(z f 在D 内任一点0z 的邻域内可以展开为0z z -的幂级数，即泰勒级数。
所以，能展开为幂级数)(z f 是解析函数的本质属性。这也是实变函数所没
有的（即使该函数具有任意阶可导性）（1）中所举的)(z f 就是一例。
（3）幂级数的和函数在收敛圆R z z =-||0上至少有一个奇点。事实上，如果)(z f 在此收敛圆上没有奇点，即处处解析，那么根据解析的定义，)(z f 在以收敛圆上各点为中心的邻域内解析。这样，该幂级数的收敛区域就要扩大，除圆域R z z <-||0外，还应加上圆周R z z C =-|:|0上各点的邻域)(z U 之并，即
{})(|||0z U R z z z C z ∈⋃
<- ，
这与收敛圆的概念矛盾。即使对于在收敛圆上出处收敛的幂级数，其和函数仍可能在收敛点处不解析。例如，设 +++++=23222321)(n
z z z z z f n ，则有段幂级数的收敛半径为11lim lim 2
1
=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==∞→+∞→n n c c R n n n n .而且因为级数∑∞=121n n 收敛，所以，级数∑∞=12n n
n z 在1||=z 上处处绝对收敛。但由于
+++++='-n
z z z z f n 1
2321)(，当z 沿实轴从圆1||=z 内趋于1时，∞→')(z f ，说明)(z f 在1=z 处既不可导也不解析，所以1=z 是)(z f 的一个奇点。
利用这个结论，我们可以解释在实变函数的幂级数理论中一些不易理解的问题。例如，在实数范围内，展开式
+-+-+-=+n n x x x x
2422)1(111仅当1||+对于所有实数都是确定的，而且也是任意阶可导的，为什么会收到这个限制呢？实际上，如果将211x
+中的x 换成z ，在复平面内来考察函数2
11z +，那么它有两个奇点i ±=z ，而且这两个
奇点都在泰勒展开式
+-+-+-=+n n z z z z
2422)1(111的收敛圆1||=z 上，右端级数的收敛半径只能等于1。因此，这两个奇点使级数 +-+-+-n n x x x 242)1(1在x 轴上的收敛区间不可能超越区间)1,1(-。
问题三 解析函数展开为泰勒级数有哪些常用的方法？
答 前面已经指出，将解析函数展开为泰勒级数主要有两类方法。一类是直接法，就是根据台列展开定理，求出给定函数的各阶导数，算出泰勒系数并代入展开式（4.1）中。这种方法计算复杂，费时费工。常用的是第二类方法——间接展开法，就是根据幂级数展开的唯一性，利用一些已知的初等函数的泰勒展开式，通过幂级数的代数运算、复合运算（变量代换）以及分析运算性质等来展开。下面对第二类方法通过举例再作一些说明。
1. 利用符合运算的性质——变量代换法
例1 将函数2
)3(1)(+=z z f 在1=z 处展开为幂级数，并指出它的收敛半径。解 因为所给函数属于二项式函数（2-=α），所以，只要将)(z f 作如下变形：
2224111161)]1(4[1)3(1)(⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+⋅=-+=+=z z z z f ，就可以利用二项展开式。令41-=
)(=z z g ζ，则当1|)(|||<=z g ζ时，即4|1|<-z 时，就有
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛--= 3241!343241!2324421161)(z z z z f
