基本初等函数和函数的应用知识点总结
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基本初等函数和函数的应用知识点总结
一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算
1.根式的概念:一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根,
其中n >1,且n ∈N *.
◆ 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作00=n 。
当n 是奇数时,a
a n n =,当n 是偶数时,??
?<≥-==)
0()0(||a a a a a a n n 2.分数指数幂
正数的分数指数幂的意义,规定: )
1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m ,)1,,,0(11
*>∈>==-n N n m a a a a n m n m
n m
◆ 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
3.实数指数幂的运算性质
(1)r a ·
s r r a a +=),,0(R s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>;
(3)
s r r a a ab =)(),,0(R s r a ∈>. (二)指数函数及其性质
1、指数函数的概念:一般地,函数)1,0(≠>=a a a y x
且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R .
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1. 因为负数对一些分数次方无意义,0的负数次方无意义。
2、指数函数的图象和性质
a>1 0<a<1
654321-1-4-22460
1 6
54
3
2
1
-1-4-224601
定义域 R
定义域 R 值域y >0
值域y >0 在R 上单调递增在R 上单调递减
非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点(0,1) 函数图象都过定点(0,1)
对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且,总有a )1(f =;
二、对数函数 (一)对数
1.对数的概念:一般地,如果N a x
=)1,0(≠>a a ,那么数x 叫做以.a 为底..N 的对数,记作:N x a log =(a —底数,N —真数,N a log —对数式)
说明:○1 注意底数的限制0>a ,且1≠a ; ○
2 x N N a a x =?=log ; ○
3 注意对数的书写格式. 两个重要对数:
○
1 常用对数:以10为底的对数N lg ; ○
2 自然对数:以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln . 指数式与对数式的互化
幂值真数
b a = N ?log a N = b
底数
指数对数 (二)对数的运算性质
如果0>a ,且1≠a ,0>M ,0>N ,那么:
○
1 M a (log ·=)N M a log +N a log ; ○
2 =N
M
a log M a log -N a log ; ○
3 n a M log n =M a log )(R n ∈. 注意:换底公式
a
b
b c c a log log log =
(0>a ,且1≠a ;0>c ,且1≠c ;0>b ).
利用换底公式推导下面的结论
N
a log
(1)b m n
b a n a m log log =
;
(2)a
b b a log 1log =. (二)对数函数
1、对数函数的概念:函数0(log >=a x y a ,且)1≠a 叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
注意:○1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。
○
2 对数函数对底数的限制:0(>a ,且)1≠a . 2、对数函数的性质: a>1
0<a<1
32.521.5
1
0.5-0.5
-1-1.5-2-2.5
-1
1
23456780
1
1
32.521.5
1
0.5
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-1
1
2345678
1
1
定义域x >0 定义域x >0 值域为R 值域为R 在R 上递增在R 上递减函数图象都过定点(1,0) 函数图象都过定点(1,0)
(三)幂函数
1、幂函数定义:一般地,形如α
x y =)(R a ∈的函数称为幂函数,其中α为常数. 2、幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1); (2)0>α时,幂函数的图象通过原点,并且在区间),0[+∞上是增函数.特别地,当1>α时,幂函数的图象下凸;当10<<α时,幂函数的图象上凸;
(3)0<α时,幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数.在第一象限内,当x 从右边趋向原点时,图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴,当x 趋于∞+时,图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴.
函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念:对于函数))((D x x f y ∈=,把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函
数))((D x x f y ∈=的零点。
2、函数零点的意义:函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根,亦即函数
)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。
即:方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)
(x f y =有零点.
3、函数零点的求法:
○
1 (代数法)求方程0)(=x f 的实数根; ○
2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数)(x f y =的图象联系起
来,并利用函数的性质找出零点.
4.二次函数)0(2≠++=a c bx ax y .
(1)△>0,方程20(0)ax bx c a ++=≠有两不等实根,二次函数的图象与x 轴有两个交点,二次函数有两个零点.
(2)△=0,方程20(0)ax bx c a ++=≠有两相等实根,二次函数的图象与x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
(3)△<0,方程2
0(0)ax bx c a ++=≠无实根,二次函数的图象与x 轴无交点,二次函数无零点.
5.确定零点在某区间(),a b 个数是唯一的条件是:①()f x 在区间上连续,且()()0f a f b <②在区间(),a b 上单调。
6、二分法的定义
对于在区间[a ,]b 上连续不断,且满足()()0f a f b ?<的函数)(x f y =,通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
7、二分法的条件()f a ·()f b 0<表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。
