江苏省邗江中学2012-2013学年高一上学期期中考试数学试题

2014-2015学年江苏省扬州市邗江中学高一（上）期中数学试卷一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．（答案请写在答题卡的指定位置）江苏省邗江中学2014-2015学年度第一学期高一数学期中试卷命题人魏跃兵霍庆元1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={1，3}，则C A B．2．（5分）已知a是实数，若集合{x|ax=1}是任何集合的子集，则a的值是．3．（5分）已知函数f（2x+1）=4x2，则f（5）=．4．（5分）函数y=ln（3﹣2x）的定义域是．5．（5分）设a=log1.20.9，b=1.10.8，则a，b的大小关系是．6．（5分）方程log3x+x=3的解的个数是．7．（5分）函数f（x）=x2﹣2x+3，x∈[0，3]的值域是．8．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点，则f（﹣2）=．9．（5分）函数f（x）=log2（x﹣1）的单调递增区间是．10．（5分）若f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+2x，则f（﹣1）=．11．（5分）若函数y=a x（a＞0，a≠1）在区间x∈[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则实数a的值为．12．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，对于任意的x∈R，都满足f（﹣x）=f（x），且对于任意的a，b∈（﹣∞，0]，当a≠b时，都有＜0．若f（m+1）＜f（2），则实数m的取值范围是．13．（5分）函数f（x）=x2+bx+3满足f（2+x）=f（2﹣x），若f（m）＜0，则f （m+2）与f（log2π）的大小关系是f（m+2）f（log2π）．14．（5分）下列几个命题，其中正确的命题有．（填写所有正确命题的序号）①函数y=log2（x﹣3）+2的图象可由y=log2x的图象向上平移2个单位，向右平移3个单位得到；②函数的图象关于点（1，2）成中心对称；③在区间（0，+∞）上函数的图象始终在函数y=x的图象上方；④任一函数图象与垂直于x轴的直线都不可能有两个交点．二.解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字步骤．（请写在答题卡的指定位置）15．（10分）（1）计算log3+log3﹣log24；（2）已知+=3，求x+的值．16．（12分）设集合A={x|x＜﹣3，或x＞6}，B={x|3＜x＜7}．（1）求A∩B；（2）设C={x|x≥m}，且B∩C=B，求实数m的取值范围．17．（12分）设函数f（x）=（）10﹣ax，其中a为常数，且f（3）=．（1）求a的值；（2）若f（x）≥4，求x的取值范围．18．（15分）甲商店某种商品11月份（30天，11月1日为第一天）的销售价格P（元）与时间t（天）函数关系如图（一）所示，该商品日销售量Q（件）与时间t（天）函数关系如图（二）所示．（1）写出图（一）表示的销售价格与时间的函数关系式P=f（t）及其定义域，写出图（二）表示的日销售量与时间的函数关系式Q=g（t）及其定义域；（2）写出日销售金额M（元）与时间t的函数关系式M=h（t）及其定义域并求M的最大值．（注：日销售金额M=销售价格P×日销售量Q）．19．（15分）已知函数f（x）=，x∈（﹣1，1）．（1）用单调性的定义证明f（x）在x∈（﹣1，1）上是单调减函数；（2）若关于x的不等式f（x）≥a（x2﹣3x+2）对于任意x∈（﹣1，1）恒成立，求实数a的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）=ax2﹣|x|+2a﹣1 （a为实常数）．（1）判断函数f（x）的奇偶性并给出证明；（2）若函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围；（3）若a＞0，设g（x）=|f（x）﹣x|在区间[﹣2，2]上的最大值为h（a），求h （a）的表达式．2014-2015学年江苏省扬州市邗江中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．（答案请写在答题卡的指定位置）江苏省邗江中学2014-2015学年度第一学期高一数学期中试卷命题人魏跃兵霍庆元1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={1，3}，则C A B{2，4} ．【解答】解：因为集合A={1，2，3，4}，B={1，3}，所以C A B={2，4}，故答案为：{2，4}．2．（5分）已知a是实数，若集合{x|ax=1}是任何集合的子集，则a的值是0．【解答】解：由于a是实数，若集合{x|ax=1}是任何集合的子集，则此集合必是空集，故方程ax=1无根，所以a=0故答案为：0．3．（5分）已知函数f（2x+1）=4x2，则f（5）=16．【解答】解：已知函数f（2x+1）=4x2，令t=2x+1，则x=，故有f（t）=4 ．故f（5）=4=16，故答案为16．4．（5分）函数y=ln（3﹣2x）的定义域是（﹣∞，）．【解答】解：由3﹣2x＞0，得x＜．∴原函数的定义域为（﹣∞，）．故答案为：（﹣∞，）．5．（5分）设a=log1.20.9，b=1.10.8，则a，b的大小关系是a＜b．【解答】解：∵a=log1.20.9＜0，b=1.10.8＞1，∴a＜b．故答案为：a＜b．6．（5分）方程log3x+x=3的解的个数是1．【解答】解：根据函数y=log3x，函数y=3﹣x，图象的交点个数可判断：方程log3x+x=3的解的个数是1，故答案为：17．（5分）函数f（x）=x2﹣2x+3，x∈[0，3]的值域是[2，6] ．【解答】解：函数f（x）=x2﹣2x+3，x∈[0，3]的对称轴为x=1，开口向上，在区间[0，3]不是单调增，∴f（x）max=f（3）=6，f（x）min=f（1）=2，∴函数的值域为[2，6]．故答案为：[2，6]．8．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点，则f（﹣2）=．【解答】解：设f（x）=x a，因为幂函数图象过，则有8=，∴a=﹣3，即f（x）=x﹣3，∴f（﹣2）=（﹣2）﹣3=﹣故答案为：﹣9．（5分）函数f（x）=log2（x﹣1）的单调递增区间是（1，+∞）．【解答】解：f（x）=log2（x﹣1）由y=log2t和t=x﹣1复合而成，∵t=x﹣1＞0，由复合函数的单调性可知f（x）=log2（x﹣1）的单调增区间是（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．10．（5分）若f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+2x，则f（﹣1）=﹣3．【解答】解：∵f（x）为定义在R上的奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1），∵当x≥0时，f（x）=x2+2x，∴f（1）=1+2=3，即f（﹣1）=﹣f（1）=﹣3．故答案为：﹣3．11．（5分）若函数y=a x（a＞0，a≠1）在区间x∈[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则实数a的值为2．【解答】解：①当0＜a＜1时函数y=a x在[0，1]上为单调减函数∴函数y=a x在[0，1]上的最大值与最小值分别为1，a∵函数y=a x在[0，1]上的最大值与最小值和为3∴1+a=3∴a=2（舍）②当a＞1时函数y=a x在[0，1]上为单调增函数∴函数y=a x在[0，1]上的最大值与最小值分别为a，1∵函数y=a x在[0，1]上的最大值与最小值和为3∴1+a=3∴a=2故答案为：2．12．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，对于任意的x∈R，都满足f（﹣x）=f（x），且对于任意的a，b∈（﹣∞，0]，当a≠b时，都有＜0．若f（m+1）＜f（2），则实数m的取值范围是（﹣3，1）．【解答】解：由f（﹣x）=f（x），可得函数f（x）为偶函数，∴f（|x|）=f（x），再根据对任意的a，b∈（﹣∞，0]，当a≠b时，都有，故函数在（﹣∞，0]上是减函数，∴函数在[0，+∞）上是增函数，故由f（m+1）＜f（2），∴f（|m+1|）＜2∴|m+1|＜2可得﹣2＜m+1＜2，解得﹣3＜m＜1，故答案为：（﹣3，1）．13．（5分）函数f（x）=x2+bx+3满足f（2+x）=f（2﹣x），若f（m）＜0，则f （m+2）与f（log2π）的大小关系是f（m+2）＞f（log2π）．【解答】解：∵函数f（x）=x2+bx+3满足f（2+x）=f（2﹣x）∴抛物线的对称轴为2∴b=﹣4∴f（x）=（x﹣3）（x﹣1）即抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）点∵f（m）＜0∴1＜m＜3∴3＜m+2＜5∴f（m+2）＞0∵2＜π＜4∴1＜log2π＜2∴f（log2π）＜0f（m+2）＞f（log2π）．14．（5分）下列几个命题，其中正确的命题有①④．（填写所有正确命题的序号）①函数y=log2（x﹣3）+2的图象可由y=log2x的图象向上平移2个单位，向右平移3个单位得到；②函数的图象关于点（1，2）成中心对称；③在区间（0，+∞）上函数的图象始终在函数y=x的图象上方；④任一函数图象与垂直于x轴的直线都不可能有两个交点．【解答】解：①将y=log2x的图象向上平移2个单位，得到y=log2x+2的图象，再将所得图象向右平移3个单位得到y=log2（x﹣3）+2的图象，故①正确；②函数==2﹣，此函数是由反比例函数y=﹣向左平移一个单位，再向上平移2个单位得到的，由反比例函数的对称中心为（0，0）知，此函数的对称中心为（﹣1，2），故②错误；③∵点（0，0），（1，1）是函数的图象与函数y=x的图象的两个交点，且，故③错误；④由函数的定义，对于定义域内的任意一个x，由唯一的一个函数值与其对应，故任一函数图象与垂直于x轴的直线都不可能有两个交点．④正确故答案为①④二.解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字步骤．（请写在答题卡的指定位置）15．（10分）（1）计算log3+log3﹣log24；（2）已知+=3，求x+的值．【解答】解：（1）原式=．（2）由已知得．所以．16．（12分）设集合A={x|x＜﹣3，或x＞6}，B={x|3＜x＜7}．（1）求A∩B；（2）设C={x|x≥m}，且B∩C=B，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵A={x|x＜﹣3，或x＞6}，B={x|3＜x＜7}，∴A∩B={x|6＜x＜7}；（2）∵C={x|x≥m}，且B∩C=B，∴B⊆C，则m≤3．17．（12分）设函数f（x）=（）10﹣ax，其中a为常数，且f（3）=．（1）求a的值；（2）若f（x）≥4，求x的取值范围．【解答】解：（1）由f（3）=，可得（）10﹣3a=，所以，10﹣3a=1，解得a=3．（2）由已知（）10﹣3x≥4=（）﹣2，所以10﹣3x≤﹣2，解得x≥4，故f（x）≥4解集为{x|x≥4}．18．（15分）甲商店某种商品11月份（30天，11月1日为第一天）的销售价格P（元）与时间t（天）函数关系如图（一）所示，该商品日销售量Q（件）与时间t（天）函数关系如图（二）所示．（1）写出图（一）表示的销售价格与时间的函数关系式P=f（t）及其定义域，写出图（二）表示的日销售量与时间的函数关系式Q=g（t）及其定义域；（2）写出日销售金额M（元）与时间t的函数关系式M=h（t）及其定义域并求M的最大值．（注：日销售金额M=销售价格P×日销售量Q）．【解答】解：（1）设价格函数是y=kt+b，过点（0，15）、（30，30），则，∴b=15，k=；∴ff（t）=t+15（0＜t≤30，t∈N）；设销售量函数y=at+m，过点（0，160），（30，40），则，∴m=160，a=﹣4；∴g（t）=﹣4t+160（0＜t≤30）（t∈N）；（2）M=h（t）=（t+15）（﹣4t+160）=﹣2t2+20t+2400（0＜t≤30，t∈N）∴t=5时，M的最大值为2450元．19．（15分）已知函数f（x）=，x∈（﹣1，1）．（1）用单调性的定义证明f（x）在x∈（﹣1，1）上是单调减函数；（2）若关于x的不等式f（x）≥a（x2﹣3x+2）对于任意x∈（﹣1，1）恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）证明：任取x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=﹣=，又∵x1，x2∈（﹣1，1），x1＜x2，∴（1+x1）（1+x2）＞0，x2﹣x1＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在x∈（﹣1，1）上是单调减函数．（2）∵y=x2﹣3x+2=（x﹣2）（x﹣1）在（﹣1，1）上单调递减且恒有y＞0，不等式f（x）≥a（x2﹣3x+2）对于任意x∈（﹣1，1）恒成立，即为a≤，对于任意x∈（﹣1，1）恒成立，令g（x）===，当x=时取得最小值，g（）=，所以a的取值范围是a≤．20．（16分）已知函数f（x）=ax2﹣|x|+2a﹣1 （a为实常数）．（1）判断函数f（x）的奇偶性并给出证明；（2）若函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围；（3）若a＞0，设g（x）=|f（x）﹣x|在区间[﹣2，2]上的最大值为h（a），求h （a）的表达式．【解答】解：（1）对于函数f（x）=ax2﹣|x|+2a﹣1，它的定义域为R，且满足f （﹣x）=f（x），故函数为偶函数．（2）当a=0时，在区间[1，2]上，f（x）=﹣|x|﹣1=﹣x﹣1，不满足在区间[1，2]上是增函数，故a≠0．在区间[1，2]上，函数f（x）=ax2﹣x+2a﹣1的图象对称轴方程为x=，根据函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，可得①，或②，求得a≥．（3）当x∈[﹣2，2]时，g（x）=|f（x）﹣x|=，①0，即≥2，h（a）=max=6a﹣5；②a，即0＜2，h（a）=max=6a﹣1∴h（a）=．。

2012-2013学年江苏省扬州市高三（上）期中数学试卷第一部分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5分）已知复数z满足z•（1﹣i）=2，其中i为虚数单位，则z= 1+i ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：复数方程两边同乘1﹣i的共轭复数，然后化简即可．解答：解：由z•（1﹣i）=2，可得z•（1﹣i）（1+i）=2（1+i），所以2z=2（1+i），z=1+i．故答案为：1+i．点评：本题考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．2．（5分）（2004•上海）已知点A（﹣1，﹣5）和=（2，3），若=3，则点B的坐标为（5，4）．考点：平面向量的坐标运算．专题：计算题．分析：由的坐标求出的坐标，再由点A的坐标和向量的坐标表示即：终点的坐标减去起点的坐标，求出终点B的坐标．解答：解：由题意知，=3=（6，9），又因点A的坐标是（﹣1，﹣5），则点B的坐标为（6﹣1，9﹣5）=（5，4）．故答案为：（5，4）．点评：本题考查了向量的坐标运算，即根据运算公式和题意求出所求点的坐标．3．（5分）已知等比数列{a n}满足a1•a7=3a3a4，则数列{a n}的公比q= 3 ．考点：等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：由a1•a7=3a3a4，结合等比数列的性质可得a5=3a4，从而可求公比解答：解：∵a1•a7=3a3a4，∴a3•a5=3a3•a4∴a5=3a4∴q=3故答案为：3点评：本题主要考查了等比数列的性质及等比数列的通项公式的简单应用，属于基础试题4．（5分）若cos（2π﹣α）=，且α∈（﹣，0），则sin（π﹣α）= ﹣．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：由题意求出cosα的值，利用诱导公式化简sin（π﹣α），结合同角三角函数的基本关系式，求出它的值即可．解答：解：cos（2π﹣α）=cosα=，又α∈（﹣，0），故sin（π﹣α）=sinα=﹣=﹣．故答案为：﹣．点评：本题是基础题，考查同角三角函数的基本关系式，诱导公式的应用，考查计算能力，常考题型．5．（5分）已知两个平面α，β，直线l⊥α，直线m⊂β，有下面四个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l⊥m⇒α∥β；④l∥m⇒α⊥β．其中正确的命题是①、④．考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：证明题．分析：本题应逐个判断：①④需用熟知的定理即线线垂直，面面垂直来说明，②③可举出反例来即可．解答：解：∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，又直线m⊂β，故有l⊥m，即①正确；∵l⊥α，α⊥β，∴l∥β，或l⊂β，此时l与m可能平行，相交或异面，即②错误；∵l⊥α，l⊥m，∴又m⊂β，此时α与β可能相交可能平行，故③错误；∵l⊥α，l∥m，∴m⊥α，又m⊂β，故有α⊥β，即④正确．故答案为：①④点评：本题考查直线的平行于垂直关系，熟练运用性质定理是解决问题的关键，属基础题．6．（5分）设x，y满足，则z=x+y的最小值为 2 ．考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；数形结合．分析：本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入z=x+y中，求出z=x+y的最小值．解答：解：满足约束条件的平面区域如图示：由图得当过点B（2，0）时，z=x+y有最小值2．故答案为：2．点评：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．7．（5分）（2010•盐城三模）已知函数，则的值为．考点：二倍角的正弦；同角三角函数基本关系的运用；二倍角的余弦．专题：计算题．分析：利用公式tanx=、sin2α=2sinαcosα、cos2α=2cos2α﹣1即可化简求值．解答：解：因为f（x）==，所以f（）=．点评：本题考查同角三角函数的基本关系及正余弦的倍角公式．8．（5分）已知命题p：|5x﹣2|＜3，命题q：，则p是q的充分不必要条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”、“充要”选择并进行填空）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；其他不等式的解法．专题：计算题．分析：根据绝对值不等式的性质及一元二次方程的解法分别求出命题p和q的范围，再根据充分必要条件的定义进行求解；解答：解：命题p：|5x﹣2|＜3，，解得{x|﹣＜x＜1}，命题q：，可得x2+4x﹣5＜0，解得{x|﹣5＜x＜1}，∴{x|﹣＜x＜1}⇒{x|﹣5＜x＜1}，∴p是q的充分不必要条件，故答案为：充分不必要；点考查不等式解法及充要条件的判断方法，注意：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命评：题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；9．（5分）△ABC中，，，，则= 5 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：由向量的数量积可得，=||||cos（π﹣B）=﹣9可求的BC与cosB的关系，然后结合余弦定理即可求解BC解答：解：由向量的数量积可得，=||||cos（π﹣B）=﹣9∴cosB=9∴|BC|cosB=3由余弦定理可得，cosB==∴|BC|=5故答案为：5点评：本题主要考查了向量的数量积的定义及余弦定理在求解三角形中的应用，属于知识的简单应用10．（5分）已知关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式的解集是（﹣1，2）．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；转化思想．分析：关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是（1，+∞），可得=1，且a＜0，由此对于x的不等式求解即可．解答：解：由题意关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是（1，+∞），可得=1，且a＜0，关于x的不等式，可变为（x﹣2）（x+1）＜0，即得（x﹣2）（x+1）＜0，∴﹣1＜x＜2不等式的解集：（﹣1，2）故答案为：（﹣1，2）．点评：本题考查一次不等式的解法，求解问题的关键是根据不等式ax﹣b＜0的解集是（1，+∞），解出参数a，b所满足的条件，求解分式不等式不等式．考查转化思想．11．（5分）已知等比数列{a n}的首项是1，公比为2，等差数列{b n}的首项是1，公差为1，把{b n}中的各项按照如下规则依次插入到{a n}的每相邻两项之间，构成新数列{c n}：a1，b1，a2，b2，b3，a3，b4，b5，b6，a4，…，即在a n和a n+1两项之间依次插入{b n}中n个项，则c2013= 1951 ．考点：等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：由题意可得，，b n=1+（n﹣1）×1=n，当n=62时，=2016即此时共有2016项，且第2016项为262，而c2013=b1951可求解答：解：由题意可得，，b n=1+（n﹣1）×1=n由题意可得，在数列{a n}中插入的项为，20，1，21，2，3，22，4，5，6，23…2n时，共有项为1+2+…+n+（n+1）==当n=62时，=2016即此时共有2016项，且第2016项为262∴c2013=b1951=1951故答案为：1951点评：本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式的应用，解题的关键是要准确判断所求项在已知数列中所处的项的位置．12．（5分）△ABC内接于以O为圆心半径为1的圆，且，则△ABC的面积S= ．考点：向量在几何中的应用．分析：利用向量的平行四边形法则作出为，据已知条件知与为相反向量得到OD=5，据勾股定理易得OA⊥OB，将三角形分成三个三角形，利用三角形的面积公式求出各个三角形的面积．解答：解：如图，，则．易得OA⊥OB，且，所以．故答案为点评：本题考查向量的运算法则：平行四边形法则、勾股定理、三角形的面积公式．13．（5分）已知等差数列{a n}的首项为1，公差为2，若a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…对n∈N*恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣12] ．考点：数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2n a2n+1=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2n（a2n﹣1﹣a2n+1）=4（a2+a4+…+a2n），结合等差数列的性质及求和公式可得关于n的不等式，解不等式可求对n∈N*恒成立，转化为求解函数的最值即可解答：解：a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2n a2n+1=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2n（a2n﹣1﹣a2n+1）=﹣4（a2+a4+…+a2n）=，所以﹣8n2+4n≥tn2，所以对n∈N*恒成立，t≤﹣12，故答案为（﹣∞，﹣12]点评：本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用及恒成立与最值求解的相互转化关系的应用．14．（5分）设x，y是正实数，且x+y=1，则的最小值是．考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题；不等式的解法及应用．分析：该题是考查利用基本不等式求最值问题，但直接运用基本不等式无从下手，可考虑运用换元思想，把要求最值的分母变为单项式，然后利用“1”的代换技巧转化为能利用基本不等式求最值得问题．解答：解：设x+2=s，y+1=t，则s+t=x+y+3=4，所以==．因为所以．故答案为．点评：本题考查了基本不等式，考查了换元法和数学转化思想，训练了整体代换技巧，解答此题的关键是运用换元后使分式的分母由多项式变为了单项式，展开后使问题变得明朗化．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知，B={x|x2﹣2x+1﹣m2≤0，m＞0}，（1）若m=2，求A∩B；（2）若A∪B=B，求实数m的取值范围．考一元二次不等式的解法；集合关系中的参数取值问题．点：专题：不等式的解法及应用．分析：（1）把m=2代入可解得集合A、B，求交集即可；（2）把A∪B=B转化为A⊆B，构建不等式组求解集可得m的取值范围．解答：解：（1）由得，解得2＜x＜6，∴A={x|2＜x＜6}（3分）由m=2知x2﹣2x+1﹣m2≤0化为（x﹣3）（x+1）≤0，解得﹣1≤x≤3，∴B={x|﹣1≤x≤3}（6分）∴A∩B={x|2＜x≤3}（7分）（2）∵A∪B=B，∴A⊆B，（8分）又∵m＞0，∴不等式x2﹣2x+1﹣m2≤0的解集为1﹣m≤x≤1+m，（11分）∴解得，∴m≥5，∴实数m的取值范围是[5，+∞）（14分）点评：本题为不等式的解法，涉及集合的运算和转化的思想，属基础题．16．（14分）△ABC中，AC=3，三个内角A，B，C成等差数列．（1）若，求AB；（2）求的最大值．考点：等差数列的性质；正弦定理；余弦定理．专题：等差数列与等比数列；解三角形．分析：（1）由A，B，C成等差数列易得，进而可得，由正弦定理可得答案；（2）由余弦定理可得32=a2+c2﹣ac，结合基本不等式可得结论．解答：解：（1）∵A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，又A+B+C=π，∴，（2分）又，∴，（4分）由正弦定理得：，所以；（7分）（2）设角A，B，C的对边为a，b，c，由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即32=a2+c2﹣ac，（9分）又a2+c2≥2ac，当且仅当a=c时取到等号，所以9=a2+c2﹣ac≥ac（11分）所以，所以的最大值是．（14分）点评：本题为三角形与基本不等式的结合，涉及等差数列的定义和向量的数量积，属中档题．17．（15分）如图，四边形ABCD为正方形，在四边形ADPQ中，PD∥QA．又QA⊥平面ABCD，．（1）证明：PQ⊥平面DCQ；（2）CP上是否存在一点R，使QR∥平面ABCD，若存在，请求出R的位置，若不存在，请说明理由．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）要证明线面垂直PQ⊥平面DCQ，根据其判定定理，需要证明PQ垂直于平面DCQ 内的两条相交直线，由已知可证明CD⊥PQ，只要再证明PQ⊥DQ即可．（2）只要分别取PC、CD的中点，再利用三角形的中位线和平行四边形的判定与性质即可得到结论．解答：解：（1）法一：∵QA⊥平面ABCD，∴QA⊥CD，由四边形ABCD为正方形知DC⊥AD，又QA、AD为平面PDAQ内两条相交直线，∴CD⊥平面PDAQ，∴CD⊥PQ．在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，∴PQ2+DQ2=PD2．由勾股定理得逆定理得：PQ⊥QD．又CD、QD为平面ADCB内两条相交直线，∴PQ⊥平面DCQ．法二：∵QA⊥平面ABCD，QA⊂平面PDAQ，∴平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD．又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，∴DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC．在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，则PQ⊥QD．又CD、QD为平面ADCB内两条相交直线，∴PQ⊥平面DCQ．（2）存在CP中点R，使QR∥平面ABCD．证：取CD中点T，连接QR，RT，AT，由三角形的中位线定理得：RT∥DP，且RT=DP，又AQ∥DP，且AQ=DP，从而AQ∥RT，且AQ=RT，∴四边形AQRT为平行四边形，所以AT∥QR．∵QR⊄平面ABCD，AT⊂平面ABCD，∴QR∥平面ABCD．即存在CP中点R，使QR∥平面ABCD点评：掌握线面、面面平行和垂直的判定与性质定理是解题的关键．18．（15分）某啤酒厂为适应市场需要，2011年起引进葡萄酒生产线，同时生产啤酒和葡萄酒，2011年啤酒生产量为16000吨，葡萄酒生产量1000吨．该厂计划从2012年起每年啤酒的生产量比上一年减少50%，葡萄酒生产量比上一年增加100%，试问：（1）哪一年啤酒与葡萄酒的年生产量之和最低？（2）从2011年起（包括2011年），经过多少年葡萄酒的生产总量不低于该厂啤酒与葡萄酒生产总量之和的？（生产总量是指各年年产量之和）考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：（1）利用该厂计划从2012年起每年啤酒的生产量比上一年减少50%，葡萄酒生产量比上一年增加100%，可得该厂第n年啤酒和葡萄酒年生产量，进而可得啤酒与葡萄酒的年生产量之和，利用基本不等式，可求最值；（2）利用葡萄酒的生产总量不低于该厂啤酒与葡萄酒生产总量之和的，建立不等式，即可求得结论．解答：解：设从2011年起，该厂第n年啤酒和葡萄酒年生产量分别为a n吨和b n吨，经过n 年后啤酒和葡萄酒各年生产量的总量分别为A n吨和B n吨．（1）设第n年啤酒和葡萄酒生产的年生产量为D n吨，依题意，=，=500×2n，（n∈N*），（4分）则D n=a n+b n=+500×2n=，当且仅当，即n=3时取等号，故2013年啤酒和葡萄酒生产的年生产量最低，为8000吨．（7分）（2）依题意，，得B n≥2A n，∵，，∴1000（2n﹣1）≥，∵2n﹣1＞0，∴2n≥64=26，∴n≥6，从第6年起，葡萄酒各年生产的总量不低于啤酒各年生产总量与葡萄酒各年生产总量之和的．（15分）点评：本题考查数列知识的运用，考查利用数学知识解决实际问题，考查数列的通项与求和，属于中档题．19．（16分）已知函数，且f（1）=1，f（﹣2）=4．（1）求a、b的值；（2）已知定点A（1，0），设点P（x，y）是函数y=f（x）（x＜﹣1）图象上的任意一点，求|AP|的最小值，并求此时点P的坐标；（3）当x∈[1，2]时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．考点：函数恒成立问题；函数最值的应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）由f（1）=1，f（﹣2）=4，代入可方程，解方程即可求解a，b得关于a，b的（2）由（1）可知，利用两点间的距离个公式代入，结合x的范围可求x+1=t＜0，然后结合基本不等式式即可求解（3）问题即为对x∈[1，2]恒成立，即对x∈[1，2]恒成立，则0＜m＜1或m＞2．法一：问题化为对x∈[1，2]恒成立，mx﹣m≤x2≤mx+m对x∈[1，2]恒成立，从而可转化为求解函数的最值，利用函数的单调性即可求解法二：问题即为对x∈[1，2]恒成立，即对x∈[1，2]恒成立，0＜m＜1或m＞2．问题转化为x|x﹣m|≤m对x∈[1，2]恒成立，令g（x）=x|x﹣m|，结合函数的性质可求解答：解：（1）由f（1）=1，f（﹣2）=4．得解得：（3分）（2）由（1），所以，令x+1=t，t＜0，则=因为x＜﹣1，所以t＜0，所以，当，所以，（8分）即AP的最小值是，此时，点P的坐标是．（9分）（3）问题即为对x∈[1，2]恒成立，也就是对x∈[1，2]恒成立，（10分）要使问题有意义，0＜m＜1或m＞2．法一：在0＜m＜1或m＞2下，问题化为对x∈[1，2]恒成立，即对x∈[1，2]恒成立，mx﹣m≤x2≤mx+m对x∈[1，2]恒成立，①当x=1时，或m＞2，②当x≠1时，且对x∈（1，2]恒成立，对于对x∈（1，2]恒成立，等价于，令t=x+1，x∈（1，2]，则x=t﹣1，t∈（2，3]，，t∈（2，3]递增，∴，，结合0＜m＜1或m＞2，∴m＞2对于对x∈（1，2]恒成立，等价于令t=x﹣1，x∈（1，2]，则x=t+1，t∈（0，1]，，t∈（0，1]递减，∴，∴m≤4，∴0＜m＜1或2＜m≤4，综上：2＜m≤4（16分）法二：问题即为对x∈[1，2]恒成立，也就是对x∈[1，2]恒成立，（10分）要使问题有意义，0＜m＜1或m＞2．故问题转化为x|x﹣m|≤m对x∈[1，2]恒成立，令g（x）=x|x﹣m|①若0＜m＜1时，由于x∈[1，2]，故g（x）=x（x﹣m）=x2﹣mx，g（x）在x∈[1，2]时单调递增，依题意g（2）≤m，，舍去；②若m＞2，由于x∈[1，2]，故，考虑到，再分两种情形：（ⅰ），即2＜m≤4，g（x）的最大值是，依题意，即m≤4，∴2＜m≤4；（ⅱ），即m＞4，g（x）在x∈[1，2]时单调递增，故g（2）≤m，∴2（m﹣2）≤m，∴m≤4，舍去．综上可得，2＜m≤4（16分）点评：本题主要考查了利用待定系数法求解函数的解析式，及基本不等式在求解函数的值域中的应用，函数的恒成立问题与函数最值求解中的综合应用．20．（16分）（2013•昌平区二模）设数列{a n}，对任意n∈N*都有（kn+b）（a1+a n）+p=2（a1+a2…+a n），（其中k、b、p是常数）．（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，求a1+a2+a3+…+a n；（2）当k=1，b=0，p=0时，若a3=3，a9=15，求数列{a n}的通项公式；（3）若数列{a n}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．当k=1，b=0，p=0时，设S n是数列{a n}的前n项和，a2﹣a1=2，试问：是否存在这样的“封闭数列”{a n}，使得对任意n∈N*，都有S n≠0，且．若存在，求数列{a n}的首项a1的所有取值；若不存在，说明理由．考点：数列与不等式的综合；数列递推式．专题：综合题；压轴题；等差数列与等比数列．分析：（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，3（a1+a n）﹣4=2（a1+a2…+a n），再写一式，两式相减，可得数列{a n}是以首项为1，公比为3的等比数列，从而可求a1+a2+a3+…+a n；（2）当k=1，b=0，p=0时，n（a1+a n）=2（a1+a2…+a n），再写一式，两式相减，可得数列{a n}是等差数列，从而可求数列{a n}的通项公式；（3）确定数列{a n}的通项，利用{a n}是“封闭数列”，得a1是偶数，从而可得，再利用，验证，可求数列{a n}的首项a1的所有取值．解答：解：（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，3（a1+a n）﹣4=2（a1+a2…+a n），①用n+1去代n得，3（a1+a n+1）﹣4=2（a1+a2…+a n+a n+1），②②﹣①得，3（a n+1﹣a n）=2a n+1，a n+1=3a n，（2分）在①中令n=1得，a1=1，则a n≠0，∴，∴数列{a n}是以首项为1，公比为3的等比数列，∴a1+a2+a3+…+a n=．（4分）（2）当k=1，b=0，p=0时，n（a1+a n）=2（a1+a2…+a n），③用n+1去代n得，（n+1）（a1+a n+1）=2（a1+a2…+a n+a n+1），④④﹣③得，（n﹣1）a n+1﹣na n+a1=0，⑤（6分）用n+1去代n得，na n+2﹣（n+1）a n+1+a1=0，⑥⑥﹣⑤得，na n+2﹣2na n+1+na n=0，即a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n，（8分）∴数列{a n}是等差数列．∵a3=3，a9=15，∴公差，∴a n=2n﹣3．（10分）（3）由（2）知数列{a n}是等差数列，∵a2﹣a1=2，∴a n=a1+2（n﹣1）．又{a n}是“封闭数列”，得：对任意m，n∈N*，必存在p∈N*使a1+2（n﹣1）+a1+2（m ﹣1）=a1+2（p﹣1），得a1=2（p﹣m﹣n+1），故a1是偶数，（12分）又由已知，，故．一方面，当时，S n=n（n+a1﹣1）＞0，对任意n∈N*，都有．另一方面，当a1=2时，S n=n（n+1），，则，取n=2，则，不合题意．（14分）当a1=4时，S n=n（n+3），，则，当a1≥6时，S n=n（n+a1﹣1）＞n（n+3），，，又，∴a1=4或a1=6或a1=8或a1=10．（16分）点评：本题考查数列的通项与求和，考查等差数列、等比数列的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．第二部分（加试部分）三、（共4小题，满分40分）21．（10分）已知圆的极坐标方程为：，将此方程化为直角坐标方程，并求圆心的极坐标．考简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．点：专题：选作题．分析：先将方程：展开并化为ρ2=2ρcosθ﹣2ρsinθ，再利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ即可化为普通方程．解答：解：由，得ρ=2cosθ﹣2sinθ，∴ρ2=2ρcosθ﹣2ρsinθ，∴x2+y2﹣2x+2y=0，即（x﹣1）2+（y+1）2=2．∴圆心直角坐标是（1，﹣1），∴，，∴，∴圆心的极坐标为．点评：本题考查了极坐标方程化为普通方程，掌握互化公式及化简方法是解题的关键．22．（10分）如图所示，ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，已知AB=3，AD=4，AA1=2，M是棱A1D1的中点，求直线AM与平面BB1D1D所成角的正弦值．考点：用空间向量求直线与平面的夹角．专题：空间角．分析：先建立空间坐标系，分别求出向量与平面BB1D1D的法向量的坐标，再利用公式直线AM与平面BB1D1D所成的角是θ，则sinθ=即可求出．解答：解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1为坐标轴，建立O﹣xyz坐标系，则，，，设平面BDD1B1的一个法向量为=（x，y，z）由，可得z=0，令x=3，则y=﹣4，可得平面BB1D1D的一个法向量=（3，﹣4，0），∴．设直线AM与平面BB1D1D所成的角是θ，则sinθ====．故直线AM与平面BB1D1D所成角的正弦值是．点评：正确利用公式直线AM与平面BB1D1D所成的角θ，则s inθ==是解题的关键．23．（10分）袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机地抽取4个球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分．（1）求得分X不大于6的概率；（2）求得分X的数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率；排列、组合及简单计数问题．专题：概率与统计．分析：（1）取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，所以得分x=5，6，8，因为从袋中随机地抽取4个球，总共有种取法，然后根据概率公式进行求解；（2）根据题意求得分X的数学期望，x可以取5，6，7，8，分别求出相对应的概率，然后列出分布列，然后利用数学期望公式进行求解；解答：解：（1），，（4分）（2）得分X的所有可能值为：5，6，7，8，，，，，得分X的分布列为X 5 6 7 8 PEX=．（10分）点评：此题主要考查离散型随机变量的期望与公式，这是高考必考的热点问题，比较简单，是一到中档题；24．（10分）设函数f（x）=x﹣sinx，数列{a n}满足a n+1=f（a n）．（1）若a1=2，试比较a2与a3的大小；（2）若0＜a1＜1，求证：0＜a n＜1对任意n∈N*恒成立．考点：数学归纳法；数列与函数的综合．专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）直接利用函数f（x）=x﹣sinx，数列{a n}满足a n+1=f（a n），可得a3﹣a2＜0，从而可得结论；（2）证题的关键是n=k+1时，结论成立，利用函数是（0，1）上的单调递增函数即可．解答：（1）解：a1=2时，a2=f（2）=2﹣sin2∈（0，2），所以sina2＞0，所以a3﹣a2=﹣sina2＜0，所以a2＞a3．（4分）（2）证明：①n=1时，结论成立；②设n=k时，0＜a k＜1，则当n=k+1时，a k+1﹣a k=﹣sina k＜0，即a k+1＜a k＜1，（6分）当x∈（0，1）时，f'（x）=1﹣cosx＞0，即f（x）是（0，1）上的单调递增函数，所以a k+1=f（a k）＞f（0）=0，即0＜a k+1＜1 即n=k+1时，结论成立，综上可得，当0＜a1＜1时，0＜a n＜1对任意n∈N*恒成立，（10分）点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，掌握数学归纳法的证题步骤是关键．。

江苏省扬州市邗江中学【精品】高一上学期期中数学试题（新疆班）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．直线30x y ++=的倾斜角为（ ）度 A ．30B ．45C ．135D ．1502．已知正四棱锥的底面边长是6 ）A ．B ．C ．D ．3．已知点()2,P m -、(),4Q m ，且直线PQ 的斜率为1，则实数m 的值为（ ） A ．12B ．1C ．1-D ．±14．圆22:2210C x y x y +--+=的圆心到直线2x y -=的距离是（ ）A 1BC 1D ．5．棱长为1的正四面体的表面积为（ ）A B ．C ．D ．6．两直线3x +y -3=0与6x +my +1=0平行，则它们之间的距离为（ ）A ．4B C D 7．当102k <<时，两条直线2x y k -=、1x y +=-的交点在（ ）象限 A ．一B ．二C ．三D ．四8．两圆229x y +=和228690x y x y +-++=的位置关系是（ ） A ．外离B ．外切C ．相交D ．内含9．点P 在正方形ABCD 所在平面外，PD ⊥平面ABCD ，PD=AD ，则PA 与BD 所成角的度数为（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°10．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为3、4、5，则此球的表面积为（ ）A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对11．1l ， 2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 A ．12l l ⊥， 23l l ⊥13//l l ⇒ B ．12l l ⊥， 23//l l ⇒13l l ⊥C ．123////l l l ⇒1l ， 2l ，3l 共面D ．1l ， 2l ，3l 共点 ⇒1l ， 2l ，3l 共面二、多选题12．若l ､m ､n 是互不相同的空间直线，α､β是不重合的平面，则下列命题中为假命题的是（ ）A ．若//αβ，l α⊂，n β⊂，则//l nB ．若αβ⊥，l α⊂，则l β⊥C ．若l n ⊥，m n ⊥，则//l mD ．若l α⊥，l β//，则αβ⊥三、填空题13．过点()2,1-，斜率为3的直线方程为___________________.14．过点()0,2A 、()2,4B ，且圆心在直线20x y --=上的圆的标准方程为____________.15．直线0x y a ++=与圆224x y +=相切，则a =___________________. 16．若圆锥的侧面积为2π，底面积为π，则该圆锥的体积为____________．四、解答题17．三角形ABC 的三个顶点A （-3，0），B （2，1），C （-2，3），求： （1）BC 边所在直线的方程；（2）BC 边上高线AD 所在直线的方程． 18．已知圆C 的方程为：224x y += （1）过点()1,2作圆的切线，求切线方程（2）过点()1,2作直线与圆交于A 、B ，且AB =.19．直角三角形ABC 的顶点坐标()2,0A -，直角顶点(0,B -，顶点C 在x 轴上. （1）求BC 边所在直线的方程；（2）圆M 是三角形ABC 的外接圆，求圆M 的方程. 20．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，点D 是BC 上一点.（1）点D 是BC 的中点，求证：1//A C 平面1AB D ； （2）若AD BC ⊥，求证：平面1AB D ⊥平面11BCC B .21．如图，平面PAC ⊥平面ABC ，点E 、F 、O 分别为线段PA 、PB 、AC 的中点，点G是线段CO 的中点，AB ＝BC ＝AC ＝4，PA ＝PC ＝．求证：（1）PA ⊥平面EBO ； （2）FG ∥平面EBO ．22．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动．（1）证明：11D E A D ⊥；（2）求直线1A D 与平面ABCD 所成的角；（3）当E 为AB 的中点时，求三棱锥1E ACD -的体积.参考答案1．C 【解析】 【分析】求出直线的斜率，即可得出该直线的倾斜角. 【详解】将直线30x y ++=的方程变形为3y x =--，该直线的斜率为1-， 因此，该直线的倾斜角为135度. 故选：C. 【点睛】本题考查直线的倾斜角，解题的关键就是求出直线的斜率，利用斜率与倾斜角的关系来求解，考查计算能力，属于基础题. 2．B 【分析】计算出正四棱锥的底面积，然后利用锥体的体积公式可求出该正四棱锥的体积. 【详解】正四棱锥的底面积为2636=，因此，该正四棱锥的体积为1363⨯=故选B. 【点睛】本题考查正四棱锥体积的计算，考查锥体体积公式的应用，属于基础题. 3．B 【分析】根据斜率公式建立关于m 的方程，解出该方程可得出实数m 的值. 【详解】 由斜率公式可得412m m-=--，整理得220m -=，解得1m =.故选：B. 【点睛】本题考查利用斜率公式求参数的值，解题的关键就是要建立方程求解，考查运算求解能力，属于基础题.4．B 【分析】将圆C 的方程表示为标准方程，求出圆C 的圆心坐标，然后利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线2x y -=的距离. 【详解】圆C 的标准方程为()()22111x y -+-=，圆心坐标为()1,1，因此，该圆的圆心到直线20x y --=的距离为d ==故选：B. 【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，解题的关键就是利用点到直线的距离公式进行计算，考查运算求解能力，属于基础题. 5．A 【分析】采用数形结合，根据边长，结合正四面体的概念，计算出正三角形的面积，可得结果. 【详解】 如图由正四面体的概念可知，其四个面均是全等的等边三角形，由其棱长为1， 所以13sin 6024ABCSABAC =⋅⋅=，所以可知：正四面体的表面积为4ABCS =故选：A 【点睛】本题考查正四面体的表面积，属于基础题. 6．D 【分析】由两直线平行，可求得m 的值，代入两平行线距离公式，即可求解. 【详解】因为两直线平行，所以361m ⨯=⨯，解得m =2， 将6x +2y +1=0化为3x +y +12=0， 由两条平行线间的距离公式得d===20， 故选：D . 【点睛】本题考查已知直线平行求参数、两平行线间距离，考查分析理解，计算求值的能力，属基础题. 7．C 【分析】联立两直线的方程，得出两直线的交点坐标，然后由102k <<得出交点横坐标和纵坐标的符号，即可判断出两直线交点所在的象限. 【详解】联立21x y k x y -=⎧⎨+=-⎩，解得212212k x k y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，当102k <<时，2102k -<，2102k +-<， 因此，两条直线2x y k -=、1x y +=-的交点在第三象限. 故选：C. 【点睛】本题考查两直线交点所在象限的判断，解题的关键就是联立两直线的方程，求出交点坐标，考查运算求解能力，属于中等题. 8．C【分析】计算出两圆圆心距，再将圆心距与两圆半径差的绝对值和两圆半径和进行大小比较，可得出两圆的位置关系. 【详解】圆228690x y x y +-++=的标准方程为()()224316x y -++=，圆心坐标为()4,3-，半径为4，两圆圆心距为5d ==，43543-<<+，因此，两圆229x y +=和228690x y x y +-++=相交. 故选C. 【点睛】本题考查两圆位置关系的判断，一般利用圆心距与两圆半径差与和的绝对值进行大小比较，利用几何法来进行判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 9．C 【详解】分别取AC.PC 中点O.E.连OE,DE;则OE//PA, 所以DOE ∠（或其补角）就是PA 与BD 所成的角； 因PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥DC,PD ⊥AD.设正方形ABCD 边长为2，则PA=PC=BD=所以DOE ∆是正三角形，060DOE ∠=，故选C 10．B 【分析】计算出长方体的体对角线长，作为长方体外接球的直径，然后利用球体的表面积公式可计算出长方体外接球的表面积. 【详解】设长方体外接球的半径为R ，则2R =2R ∴=.因此，长方体外接球的表面积为2244502R πππ⎛=⨯= ⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题考查长方体外接球表面积的计算，解题的关键就是要知道长方体体对角线长即为外接球的直径，考查计算能力，属于中等题. 11．B 【详解】解：因为如果一条直线平行于两条垂线中的一条，必定垂直于另一条．选项A ，可能相交．选项C 中，可能不共面，比如三棱柱的三条侧棱，选项D ，三线共点，可能是棱锥的三条棱，因此错误．选B. 12．ABC 【分析】对于A ，考虑空间两直线的位置关系和面面平行的性质定理；对于B ，考虑线面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理；对于C ，考虑空间两条直线的位置关系及平行公理；对于D ，考虑面面垂直的判定定理． 【详解】解：选项A 中，l 除平行n 外，还有异面的位置关系，则A 不正确． 选项B 中，l 与β的位置关系有相交､平行､在β内三种，则B 不正确． 选项C 中，l 与m 的位置关系还有相交和异面，故C 不正确．选项D 中，由l β//，设经过l 的平面与β相交，交线为c ，则//l c ，又l α⊥，故c α⊥，又c β⊂，所以αβ⊥，D 正确． 故选：ABC ． 【点睛】考查线线平行、垂直的判定与性质，线面、面面垂直的判定，是基础题. 13．370x y --= 【分析】利用点斜式可得出该直线的方程. 【详解】由题意可知，该直线的方程为()132y x +=-，即370x y --=. 故答案为：370x y --=. 【点睛】本题考查直线方程的求解，要结合直线已知元素的类型选择合适的方式写出直线的方程，考查计算能力，属于基础题. 14．()()223110x y -+-= 【分析】求出线段AB 的垂直平分线方程，将该直线方程与直线20x y --=的方程联立，得出圆心的坐标，然后利用两点间的距离公式可求出圆的半径长，由此可得出圆的标准方程. 【详解】 直线AB 的斜率为24102-=-，则线段AB 垂直平分线的斜率为1-， 线段AB 的中点坐标为()1,3，则线段AB 垂直平分线的方程为40x y +-=.联立2040x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩，则圆心坐标为()3,1.=因此，所求圆的标准方程为()()223110x y -+-=. 故答案为()()223110x y -+-=.本题考查圆的标准方程的求解，解题时要求出圆心坐标以及半径长，考查计算能力，属于中等题. 15．± 【分析】利用圆心到直线0x y a ++=的距离等于半径，可得出关于a 的方程，解出即可. 【详解】圆224x y +=的圆心为原点，半径为2，由于直线0x y a ++=与圆224x y +=相切，2=，即a =a =±.故答案为：±. 【点睛】本题考查利用直线与圆的位置关系求参数，一般转化为圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系，考查运算求解能力，属于基础题. 16．3【解析】试题分析：因为，圆锥的侧面积为，底面积为，所以，22{,rl r ππππ==解得，1,2,r l h ===高213r h π=． 考点：圆锥的几何特征点评：简单题，圆锥之中，要弄清r,h,l 之间的关系，熟练掌握面积、体积计算公式． 17．（1）x +2y -4=0 （2）2x -y +6=0 【分析】（1）直接根据两点式公式写出直线方程即可；（2）先根据直线的垂直关系求出高线的斜率，代入点斜式方程即可．（1）BC 边所在直线的方程为：131y --=222x ---， 即x +2y -4=0； （2）∵BC 的斜率K 1=-12， ∴BC 边上的高AD 的斜率K =2，∴BC 边上的高线AD 所在直线的方程为：y =2（x +3）， 即2x -y +6=0． 【点睛】此题考查了中点坐标公式以及利用两点式求直线方程的方法，属于基础题． 18．（1）2y =或43100x y +-=；（2）1x =或3450x y -+=. 【分析】（1）分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，在切线与x 轴垂直时，得出直线的方程，验证圆心到直线的距离是否等于半径，在切线斜率存在的情况下，设切线方程为()21y k x -=-，利用圆心到直线的距离等于半径，求出k 的值，从而可得出切线方程；（2）利用几何法计算出弦心距1d =，分直线AB 的斜率存在与不存在两种情况讨论，在直线AB 的斜率不存在时，得出直线AB 的方程为1x =，验证圆心到直线AB 是否等于弦心距，在直线AB 的斜率存在时，可设直线AB 的方程为()21y m x -=-，利用圆心到直线的距离等于弦心距求出m 的值，由此可得出直线AB 的方程. 【详解】（1）若切线与x 轴垂直时，则切线的方程为1x =，此时圆224x y +=的圆心到直线1x =的距离为1，不合乎题意；若切线的斜率存在时，设切线的方程为()21y k x -=-，即20kx y k -+-=.2=，整理得()()22412k k +=-，整理得2340k k +=，解得0k =或43k =-.因此，所求切线方程为2y =或()4213y x -=--，即2y =或43100x y +-=； （2）由题意可知，圆心到直线AB的距离为1d ==. 若直线AB 的斜率不存在，则直线AB 的方程为1x =，此时圆心到直线AB 的距离为1，合乎题意；若直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为()21y m x -=-，即20mx y m -+-=.由题意可得1d ==，整理得430m -=，解得34m =.因此，直线AB 的方程为1x =或()3214y x -=-，即1x =或3450x y -+=. 【点睛】本题考查利用直线与圆的位置关系求直线方程，解题关键就是利用题中条件求出圆心到直线的距离，并结合点到直线的距离公式求出直线方程中的参数，在解题时还应对直线的斜率是否存在进行分类讨论，考查化归与转化思想的应用，属于中等题. 19．（1）40x -=；（2）()2219x y -+=. 【分析】（1）计算出直线AB 的斜率，利用BC AB ⊥可得出直线BC 的斜率，然后利用点斜式可得出BC 边所在直线的方程；（2）求出点C 的坐标，计算出线段AB 的中点坐标作为圆M 的圆心坐标，计算出MA 作为圆M 的半径，由此可得出圆M 的标准方程. 【详解】（1）直线AB的斜率为020AB k +==--由题意可知AB BC ⊥，则直线BC的斜率为1BC AB k k =-=因此，BC边所在直线的方程为y x +=，即40x -=； （2）直线BC的方程为40x --=，由于点C 在x 轴上，则点()4,0C .由于ABC ∆是以ABC ∠为直角的直角三角形，则该三角形的外接圆圆心为线段AB 的中点，则()1,0M ，所以，圆M 的半径为3MA =.因此，圆M 的标准方程为()2219x y -+=. 【点睛】本题考查直线方程的求解，同时也考查了三角形外接圆的方程，一般利用圆的一般方程求解，也可以确定圆心坐标，利用标准方程求解，考查计算能力，属于中等题. 20．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）连接1A B 交1AB 于点O ，则点O 为1A B 的中点，由中位线的性质得出1//A C OD ，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出1//A C 平面1AB D ；（2）由直棱柱的性质得出1BB ⊥平面ABC ，可得出1AD BB ⊥，再由AD BC ⊥，利用直线与平面垂直的判定定理可证明出AD ⊥平面11BCC B ，然后利用平面与平面垂直的判定定理可得出平面1AB D ⊥平面11BCC B . 【详解】（1）如下图所示：连接1A B 交1AB 于点O ，则点O 为1A B 的中点，D 为BC 的中点，1//AC OD ∴，1A C ⊄平面1AB D ，OD ⊂平面1AB D ，1//AC ∴平面1AB D ；（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，1AD BB ∴⊥. 又AD BC ⊥，1BB BC B =，AD ∴⊥平面11BCC B ，AD ⊂平面1AB D ，∴平面1AB D ⊥平面11BCC B .【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，以及平面与平面垂直的判定，在证明平面与平面垂直时，其主要问题还是要证明直线与平面垂直，找出线面垂直是证明的关键，考查推理能力，属于中等题.21．（1）详见解析 （2）详见解析 【解析】试题分析：（1）证明线面垂直条件，一般利用线面垂直判断定理给予证明，即从线线垂直证明，而条件面面垂直，可利用其性质定理 ，转化为线面垂直，即由平面PAC ⊥平面ABC 得 BO ⊥面PAC ．进而得到线线垂直;（2）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理给予证明，即从线线平行出发，本题中可利用三角形重心性质或三角形中位线性质，因为E 、F 、O 分别为边PA 、PB 、PC 的中点，因此AF 与 BE 交点Q 是△PAB 的重心，得到对应线段成比例，2AO AQOG QF==，从而得到线线平行． 试题解析：证明：由题意可知，△PAC 为等腰直角三角形， △ABC 为等边三角形．（1）因为O 为边AC 的中点，所以BO ⊥AC ．因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC∩平面ABC ＝AC ， BO ⊂平面ABC ，所以BO ⊥面PAC ． 因为PA ⊂平面PAC ，所以BO ⊥PA ．在等腰三角形PAC 内，O 、E 为所在边的中点，所以OE ⊥PA ． 又BO∩OE ＝O ，所以PA ⊥平面EBO ． （2）连AF 交BE 于Q ，连QO ．因为E 、F 、O 分别为边PA 、PB 、PC 的中点， 所以2AOOG=，且Q 是△PAB 的重心， 于是2AO AQOG QF==，所以FG ∥QO ． 因为FG ⊄平面EBO ，QO ⊂平面EBO ，所以FG ∥平面EBO ．【注】第（2）小题亦可通过取PE 中点H ，利用平面FGH ∥平面EBO 证得． 考点：线面垂直判断定理, 线面平行判定定理 22．（1）证明见解析；（2）45；（3）16. 【分析】（1）证明1A D ⊥平面11ABC D ，即可得出11D E A D ⊥；（2）由1AA ⊥平面ABCD ，可知直线1A D 与平面ABCD 所成的角为1ADA ∠，分析1ADA ∆的形状，即可得出1ADA ∠的大小；（3）由1DD ⊥平面ABCD 可知三棱锥1D AEC -的高为1DD ，并计算出ACE ∆的面积，然后利用锥体的体积公式可计算出三棱锥1D ACE -的体积. 【详解】（1）在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，则四边形11AA D D 是正方形，11A D AD ∴⊥.AB ⊥平面11AA D D ，1A D ⊂平面11AA D D ，1A D AB ∴⊥.1AD AB A =，1A D ∴⊥平面11ABC D .1D E ⊂平面11ABC D ，11D E A D ∴⊥；（2）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，∴直线1A D 与平面ABCD 所成的角为1ADA ∠.1AA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，1AA AD ∴⊥，又11AD AA ==，1ADA ∴∆是等腰直角三角形，且190AA D ∠=，145ADA ∴∠=， 因此，直线1A D 与平面ABCD 所成的角为45； （3）在长方体1111ABCD A B C D -中，90ABC ∠=，E 为AB 的中点，且2AB =，1AE ∴=，ACE ∴∆的面积为1122ACE S AE BC ∆=⋅=. 1DD ⊥平面ABCD ，1DD ∴为三棱锥1D ACE -的高，因此，111111113326E ACD D ACE ACE V V S DD --∆==⋅=⨯⨯=. 因此，三棱锥1E ACD -的体积为16.【点睛】本题考查异面直线垂直、直线与平面所成角的计算以及三棱锥体积的计算，在计算三棱锥的体积时，通常利用选择合适的顶点与底面，利用等体积法进行计算，考查推理论证能力与计算能力，属于中等题.。

江苏省邗江中学2018-2019学年上学期期中考试高一数学试题（创新班）一、 填空题：1．用列举法表示集合10{|}1M m N Z m =∈∈=+ _____ . 2．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r ＝20 cm ，则扇形的弧长为________ cm.3．已知角α终边经过点(2,3),P -则α的正弦值为 ▲ ．4.函数()213log 3y x x =-的单调递减区间是 ．5.函数()f x 2cos ,,63x x ππ⎡⎫=∈-⎪⎢⎣⎭的值域是 ▲ . 6．函数y ＝错误！未找到引用源。

，值域为_____________.7、若()f x 是幂函数，且满足(4)13,()(2)2f f f =则= ______ 8、若函数6,2()(0,1)3log ,2a x x f x a a x x -+≤⎧=>≠⎨+>⎩的值域是[4,)+∞，则实数a 的取值范围是 ．9、在x y )21(=，3222,,log x y x y x y ===四个函数中，当1021<<<x x 时，使2)()()2(2121x f x f x x f +>+恒成立的函数个数是 个。

10.对于任意实数x ，符号[x ]表示x 的整数部分，即[x ]是不超过x 的最大整数”。

在实数轴R （箭头向右）上[x ]是在点x 左侧的第一个整数点，当x 是整数时[x ]就是x 。

这个函数[x ]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。

那么]243[log ]4[log ]3[log ]2[log ]1[log 33333+++++ = ．11．已知函数1()log (01)ax f x a b x-=<<+为奇函数，当(]1,x a ∈-时，函数()f x 的值域是(],1-∞，则a b +的值为 .12、已知函数m x m x x f -+-+-=2)2()(2,且|)(|x f y =在[]0,1-上为单调减函数，则实数m 的取值范围为13、设()1232,2()log 1,2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，若()1212()()f x f x a x x ==≠错误！未找到引用源。