线性代数第四章答案
第四章向量组的线性相关性
1 设 V 1 (1 1 0)T V
2 (0 1 1)T V
3 (3
4 0)T 求 V 1 V 2 及 3v i 2v 2 V 3
解 V 1 V 2
(1 1 0)T (0 1 1)T
(1 0 1 1 0 1)T (1 0 1)T
3V 1 2V 2 V 3 3(1 1 0)T 2(0 1 1)T (3 4 0)T
(3 1 2 0 3 3 1 2 1 4 3 0 2 1 0)T (0 1 2)T
2 设 3(a 1 a) 2(a 2 a) 5(a
3 a)求 a 其中 a 1 (2 5 1 3)T a 2 (10 1 5 10)T a 3 (
4 1
1 1)T
解由 3(a 1 a) 2(a 2 a) 5(a 3 a)整理得
a 1(3a
1
2a
2 5a 3)
6
g[3(2,5,1,3)T 2(10, 1,5,10)T 5(4,1, 1,1)T ] 6
(1 2 3 4)T 3已知向量组
A a 1 (0 1 2 3)T a 2 (3 0 1 2)T a 3 (2 3 0 1)T
B b 1 (2 1 1 2)T b 2 (0 2 1 1)T b 3 (4 4 1 3)T
证明由
1 0 3 1
2 4 1 0 3
1 2 4 r
0 1 6 1 5 7 r
0 1 6 1 5 7 0 0 20 5 15 25 0 0 4 1 3 5 0 0 4 1 3 5
0 0
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谢谢2
证明B 组能由A 组线性表示
但A 组不能由B 组线性表示
4 4 7 9
2 0 5 7
.12 11
3 2 6 8
0 312 1 o o O
r ~
4 4 13 0 2 11
2 112
2 3 0 1 3 0 12
B)
知R(A) R(A B) 3所以B组能由A组线性表示
由
4 10 2 10 2
4 ~ 0 2 2 ~ 0 1 1
1 0 1 1 0 0 0
3 0 1 1 0 0 0
知R(B) 2因为R(B) R(B A)所以A组不能由B组线性表示
4已知向量组
A a1 (0 1 1)T a2 (1 1 0)T
B b1 ( 1 0 1)T b2 (1 2 1)T b3 (3 2 1)T
证明A组与B组等价
证明由
1 1 3 0 1 r 1 3 0 1 r 1 3 1
(B,A) 0 2 2
1 1?0
2 1 1 0 2 1
1 1 1 1 0 0
2 1 1 0 0
知R(B) R(B A) 2 显然在A 中有二阶非零子式故R(A) 2 又R(A) R(B A )2 !所以
R(A) 2 从而R(A) R(B) R(A B) 因此A组与B 组等价
5 已知R(a1 a2 a3)2 R(a2 a3 a4)3 证明
(1) a1能由a2 a3线性表示
(2) a4不能由a1 a2 a3线性表示
证明(1)由R(a2 a3 a4) 3知a2 a3 a4线性无关故a2 a3也线性无关又由R(a1 a2 a3) 2 知a1 a2 a3线性相关故a1能由a2 a3线性表示
(2)假如a4能由a1 a2 a3线性表示贝V因为a1能由a2 a3线性表示故a4能由a2 a3线性表示从而a2 a3 a4线性相关矛盾因此a4不能由a1 a2 a3线性表示
6判定下列向量组是线性相关还是线性无关
(1) ( 1 3 1)T (2 1 0)T (1 4 1)T
⑵(2 3 0)T ( 1 4 0)T (0 0 2)T
解 ⑴以所给向量为列向量的矩阵记为
A 因为
1 2 1 r 1 2 1 r
A 314 ?077
?
1 0 1 0
2 2
B 因为
22 0
所以R(B) 3等于向量的个数 从而所给向量组线性相无关
7问a 取什么值时下列向量组线性相关? a i (a 1 1)T a 2 (1 a 1)T a 3 (1 1 a)T 解 以所给向量为列向量的矩阵记为
A 由
a 1 1 |A| 1
a 1 1
1
a
如能使行列式等于 o ,则此时向量组线性相关
(具体看书后相应答案)
8设a 1 a 2线性无关a 1 b a 2 b 线性相关 求向量b 用a 1 a 2线性表示的表示式 解 因为a 1 b a 2 b 线性相关 故存在不全为零的数
1
2使
1
(a 1 b) 2@ b) 0
由此得
b
1 2
—1— a 1 —2-
a 2
1 2 1 2
-^a1 (1 1 2
-^)a 2
1 2
设c
1 则
1
2
b ca 1 (1 c)a 2
c R
所以R(A) 2小于向量的个数
从而所给向量组线性相关
|B|
9设a i a2线性相关b i b2也线性相关问a i b i a2 b2是否一定线性相关?试举例说明之(也可看书后答案)
解不一定
例如当a i (1 2)T, a2 (2 4)T, b i ( 1 1)T, b2 (0 0)T时有
a i
b i (i 2)T b i (0 i)T, a2 b2 (2 4)T (0 0)T (2 4)T
而a i b i a2 b2的对应分量不成比例是线性无关的
iO举例说明下列各命题是错误的
(1) 若向量组a i a2 a m是线性相关的则a i可由a2 a m线性表示
解设a i e i (i 0 0 0) a2 a3 a m 0贝U a i a2 a m线性相关但a i不能由a2
a m线性表示
(2) 若有不全为0的数i 2 m使
i a i m a m i b i m b m 0
成立则a i a2 a m线性相关,b i b2 b m亦线性相关
解有不全为零的数i 2 m使
i a i m a m i b i m b m 0
原式可化为
i(a i b i) m(a m b m) 0
取a i e i b i a2 e2 b2 a m e m b m其中e i e2 e m为单位坐标向量则上式成立而a i a2 a m和b i b2 b m均线性无关
(3)若只有当i 2m全为0时等式
i a i m a m i b i m b m 0
才能成立则a i a2a m线性无关,b i b2 b m亦线性无关
解由于只有当i m全为0时等式
成立所以只有当i 由i a i m a m i b i m b m 0 m全为0时等式
i(a i b i) 2(a2 b2)m(a m b m) 0
成立因此a i b i a2 b2 a m b m线性无关
取a i a2 a m 0取b i b m为线性无关组则它们满足以上条件但a i a2 a m
线性相关
(4)若a i a2 a m线性相关,b i b2 b m亦线性相关则有不全为0的数i 2
>
使
i a i m a m 0 i b i m b m 0
同时成立
解a i (i 0)T a2 (2 0)T b i (0 3)T b2 (0 4)T
i a i 2a2 0 i 2 2
i b i 2b2 0 i (3/4) 2
i 2 0与题设矛盾
ii 设b i a i a2 b2 a2 a3 b3 a3 a4 b4 a4 a i 证明向量组b i b2 b3 b4线性相关
证明由已知条件得
a i
b i a2 a2 b2 a3 a3 b3 a4 a4 b4 a i
于是a i b i b2 a3
b i b2 b3 a4
b i b2 b3 b4 a i
从而b i b2 b3 b4 0
这说明向量组b i b2 b3 b4线性相关
i2 设b i a i b2 a i a2 b r a i a2 a r且向量组a i a2 a r线性无关证明向量组b i b2 b r线性无关
证明已知的r个等式可以写成
i i i
i i
(b!, b2, ,b r) (a i, a2, ,a r) 0
0 0 i