2020届山西省太原市高考数学二模试卷(含解析)

2020届山西省太原市高考数学二模试卷

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 如果复数𝑚2+𝑖1+𝑚𝑖是纯虚数，那么实数m等于( )

A. 1 B. 0 C. 0 或 1 D. 0 或−1

2. 如果集合，，，那么()等于( )

A. B. C. D.

3. 对于程序：试问，若输入𝑚=−4，则输出的数为( )

𝐼𝑁𝑃𝑈𝑇 𝑚

𝐼𝐹 𝑚>−4 𝑇𝐻𝐸𝑁

𝑚=2∗𝑚+1

ELSE 𝑚=1−𝑚

END IF

PRINT m

END

A. 9 B. −7 C. 5或−7 D. 5

4. 已知向量𝑎⃗ ，𝑏⃗ 的夹角为120°，且|𝑎⃗ |=1，|𝑏⃗ |=2，则向量𝑎⃗ −𝑏⃗ 在向量𝑎⃗ +𝑏⃗ 上的投影是( )

A. −√3 B. √3 C. √33 D. −3

5. 若实数满足，则曲线与曲线的

A. 离心率相等 B. 虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D. 焦距相等

6. 将正方体截去一个三棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的俯视图是( )

A.

B. C.

D.

7. 下面是2015年至2018年我国人口出生率、人口死亡率和人口自然增长率的柱状图：

注：人口出生率=年出生人口年平均人口×100%人口死亡率=年死亡人口年平均人口×100%

人口自然增长率=人口出生率−人口死亡率

下面说法正确的是( )

A. 2016年我国二孩政策的全面实施后，人口出生率不断提升

B. 2015年以来，随着医疗水平不断提升，我国人口死亡率显著下降

C. 2016年以来，我国人口增速逐渐放缓

D. 2018年人口较2017年减少

8. 𝑐𝑜𝑠39°cos(−9°)−𝑠𝑖𝑛39°sin(−9°)等于( )

A. 12 B. √32 C. −12 D. −√32

9. 若棱长为√2的正四面体的4个顶点都在一个球面上，则该球的体积为( )

A. √3𝜋 B. √32𝜋 C. √34𝜋 D. √36𝜋

10. 直线𝑦=2𝑥与直线𝑦=2𝑥+5间的距离为( )

A. 52 B. √5 C. 5 D. √52

11. 直线与双曲线有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是( ) A. B.

C. D.

12. 实数x，y满足{𝑦≥0𝑥−𝑦≥02𝑥−𝑦−2≥0，则𝑡=𝑦−1𝑥+1的取值范围是(

)

A. [−12,1) B. [−12,+∞) C. [−1,13] D. [−12,13]

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 4、将3封信投入到两个信箱，则每个信箱都有信的概率为 ．

14. 由三条直线𝑥=0，𝑥=2，𝑦=0和曲线𝑦=𝑥3所围成的图形的面积为______ ．

15. 𝑠𝑖𝑛347°𝑐𝑜𝑠148°+𝑠𝑖𝑛32°𝑐𝑜𝑠13°= ______ ．

16. 已知奇函数𝑓(𝑥)的图象关于直线𝑥=−2对称，当𝑥∈[0,2]时，𝑓(𝑥)=2𝑥−1，则𝑓(−6)= ______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17. 已知{𝑎𝑛}是首项为19，公差为−4的等差数列，𝑆𝑛为{𝑎𝑛}的前n项和．

(Ⅰ)求通项𝑎𝑛及𝑆𝑛；

(Ⅱ)设{𝑏𝑛−𝑎𝑛}是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{𝑏𝑛}的通项公式及其前n项和𝑇𝑛．

18. 如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝑃𝐶⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，𝐴𝐵⊥𝐴𝐷，𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐵=2𝐴𝐷=2𝐶𝐷=2，E是PB的中点．

(1)求证：平面𝐸𝐴𝐶⊥平面PBC；

(2)若二面角𝑃−𝐴𝐶−𝐸的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．

19. 2019年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了大年初三上午9：20∼10：40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9：20∼9：40记作区间[20,40)，9：40∼10：00记作[40,60)，10：00∼10：20记作[60,80)，10：20∼10：40记作[80,100].例如：10点04分，记作时刻64．

(1)估计这600辆车在9：20∼10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；

(2)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9：20∼10：00之间通过的车辆数为X，求X的分布列与数学期望；

(3)由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻T服从正态分布𝑁(𝜇,𝜎2)，其中𝜇可用这600辆车在9：20∼10：40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，𝜎2可用样本的方差近似代替(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)，已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9：46～10：22之间通过的车辆数(结果保留到整数)．

参考数据：若𝑇∼𝑁(𝜇,𝜎2)，则①𝑃(𝜇−𝜎<𝑇≤𝜇≤𝜎)=0.6827；②𝑃(𝜇−2𝜎<𝑇≤𝜇+2𝜎)=0.9545；③𝑃(𝜇−3𝜎<𝑇≤𝜇+3𝜎)=0.9973．

20. 抛物线C：𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝>0)的焦点为F，抛物线C与直线l：𝑥+𝑦=0的一个交点的横坐标为4．

(Ⅰ)求抛物线C的方程；

(Ⅱ)过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，若|𝐴𝐹|=3，求线段AB的长．

21. 已知函数𝑓(𝑥)=1+𝑎𝑥1−𝑥𝑒−2𝑥

(1)若函数𝑦=𝑓(𝑥)在𝑥=2时有极值，求a的值；

(2)若对任意𝑥∈(0,1)时，𝑓(𝑥)>1恒成立，求a的取值范围．

22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{𝑥=−2+𝑡𝑐𝑜𝑠𝛼𝑦=𝑡𝑠𝑖𝑛𝛼(𝑡为参数).以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为𝜌2(4+5𝑠𝑖𝑛2𝜃)=36．

(1)求l和C的直角坐标方程；

(2)设𝑃(−2,0)，l和C相交于A，B两点，若|𝑃𝐴|⋅|𝑃𝐵|=4，求𝑠𝑖𝑛𝛼的值．

23. 直线交圆于两点，是直径，平分，交圆于点，过作于。

(Ⅰ)求证：是圆的切线；

(Ⅱ)若，求的面积．

23在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，点.以极点O为原点，以极轴为轴正半轴建立直角坐标系．斜率为的直线过点，且与曲线交于两点． (Ⅰ)求出曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；

(Ⅱ)求点到两点的距离之积．

24设函数，

(Ⅰ)证明；

(Ⅱ)若不等式的解集非空，求的取值范围．

【答案与解析】

1.答案：D

解析：

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的概念，是基础题．

利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得m值．

解：∵𝑚2+𝑖1+𝑚𝑖=(𝑚2+𝑖)(1−𝑚𝑖)(1+𝑚𝑖)(1−𝑚𝑖)=𝑚2+𝑚1+𝑚2+1−𝑚31+𝑚2𝑖是纯虚数，

∴{𝑚2+𝑚=01−𝑚3≠0，解得𝑚=0或𝑚=−1．

故选：D．

2.答案：D

解析：试题分析：，()。故选Ｄ。

考点：集合的运算

点评：集合有三种运算：交集、并集和补集。在运算前，本题先求补集，再求出交集。

3.答案：D

解析：

本题主要考查条件结构与分段函数，基础题型．

分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数𝑦={2𝑚+1,𝑚>−41−𝑚,𝑚≤−4的函数值．

解：由图可知：

该程序的作用是计算分段函数𝑦={2𝑚+1,𝑚>−41−𝑚,𝑚≤−4的函数值．

当输入𝑚=−4时，输出的是：1−(−4)=5．

故选：D．

4.答案：A

解析： 解：由已知，向量|𝑎⃗ −𝑏⃗ |2=|𝑎⃗ |2+|𝑏⃗ |2−2𝑎⃗ ⋅𝑏⃗ =1+4+2=7，|𝑎⃗ +𝑏⃗ |2=|𝑎⃗ |2+|𝑏⃗ |2+2𝑎⃗ ⋅𝑏⃗ =1+4−2=3，

则cos<𝑎⃗ −𝑏⃗ ，𝑎⃗ +𝑏⃗ >=(𝑎⃗ −𝑏⃗

)·(𝑎⃗ +𝑏⃗ )√7·√3=−3√7·√3=−√217，

向量𝑎⃗ −𝑏⃗ 在向量𝑎⃗ +𝑏⃗ 上的投影是|𝑎⃗ −𝑏⃗ |cos<𝑎⃗ −𝑏⃗ ，𝑎⃗ +𝑏⃗ >=√7(−√217)=−√3；

故选A．

利用求模运算得到向量|𝑎⃗ −𝑏⃗ |，|𝑎⃗ +𝑏⃗ |，进而得到向量𝑎⃗ −𝑏⃗ 与𝑎⃗ +𝑏⃗ 的数量积，得到向量夹角余弦，根据投影定义可得答案．

本题考查平面向量数量积的含义及其物理意义，考查向量模的求解投影等概念，属基础题．

5.答案：D

解析：解：，则，，

双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，焦距为，离心率为，双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，焦距为，离心率为，因此，两双曲线的焦距相等，故选D．

6.答案：D

解析：解：俯视图是从上向下看得到的视图，结合选可知D符合．

故选：D．

俯视图是从上向下看得到的视图，结合选项即可作出判断．

本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，关键掌握俯视图是从上向下看得到的视图．

7.答案：C

解析：

根据题意结合图形，分析题目中的选项是否正确即可．

本题考查了利用柱状图分析数据特征的应用问题，是基础题．

解：对于A，2016年以来，人口出生率并不是不断提升的，A错误；