2020年山西省太原市高考数学二模试卷(理科)(含答案解析)

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6. 2020 年山西省太原市高考数学二模试卷（理科） 副标题

、选择题（本大题共 12小题，共 60.0 分） 已知集合 0， A.

C.

已知 a 是实数， 是纯虚数，则

A. 1 B. 1， ，则

B.

D.

a等于

C.

已知 ，则

A. B.

如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的

表示正整数 n除以正整数 m 的余数为 N，例如 执行该程序框图，则

输出的 n 等于

A.

11 C. D.

中国剩余定理

若 是两个非零向量，且 夹角的取值范围是

A. B. C. D.

17

D. 则向量 与

7. 圆周率 是数学中一个非常重要的数， 历史上许多中外数学家利用各种办法对 进 行了估算．现利用下列实验我们也可对圆周率进行估算．假设某校共有学生 N 人，

让每人随机写出一对小于 1 的正实数

a， 人数 M ，利用所学的有关知识，则可估计出

A. B. b，再统计出 a，b，1 能构造锐角三角形的 的值是

C.

对于函数 有下列说法：

的值城为 ；

当且仅当 时，函数 取得最大值； 函数 的最小正周期是 ；

当且仅当 时 ．

其中正确结论的个数是

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

三棱锥 中． ， 为等边三角形，二面角 的 余弦值为 ，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 则三棱锥体积 的最大值为

A. 1 B. 2 C. D. 填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）

已知 的展开式中， 的系数为 0，则实数 _______________________

已知双曲线 的左右顶点分别为 A，B，点 P 是双曲线上一

点，若 为等腰三角形， ，则双曲线的离心率为 _____________________ ．

已知数列 满足 ，且 ，则 的通项

公式为 ．

改革开放 40 年来，我国城市基础设施发生了巨大的变化，各种交通工具大大方便 了人们的出行需求． 某城市的 A 先生实行的是早九晚五的工作时间， 上班通常乘坐 公交或地铁加步行． 已知从家到最近的公交站或地铁站都需步行 5 分钟， 乘坐公交

到离单位最近的公交站所需时间 单位：分钟 服从正态分布 ，下车后 步行再到单位需要 12 分钟；乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间 单位：分

钟 服从正态分布 ，从地铁站步行到单位需要 5 分钟．现有下列说法： 8.

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11.

12.

二、

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16. 解集为

A.

C.

过抛物线 的焦点的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，设点 若

的面积为 ，则

A. 2 B. 4 B.

D.

D.

8 C.

已知数列 的前 n 项和为 ，且满足 数列 满足

，则数列 的前 100 项和 为

A. B. C. D. 设奇函数 在 上为增函数， D.

且 ，则不等式 的 若 8：00 出门，则乘坐公交一定不会迟到；

若 8：02 出门，则乘坐公交和地铁上班迟到的可能性相同；

若 8：06 出门，则乘坐公交比地铁上班迟到的可能性大；

若 8：12 出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大．

则以上说法中正确的序号是 ______ ．

参考数据：若 ，则 ，

，

三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）

17. 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 且 外接圆的半径为 1 ．

Ⅰ 求角 C ；

Ⅱ 求 面积的最大值．

18. 如图，四边形 ABCD 是边长为 4的菱形， ，对角线 AC与BD 相交于 点 O ，四边形

ACFE 为梯形， ，点 E 在平面 ABCD 上的射影为 OA 的中点，

AE 与平面 ABCD 所成角为 ．

Ⅰ 求证： 平面 ACF ；

Ⅱ 求平面 DEF 与平面 ABCD 所成角的正弦值．

19. 已知 ， 是椭圆 C ： 的左、右焦点，过椭圆的上顶点的

直线 被椭圆截得的弦的中点坐标为 ．

Ⅰ 求椭圆 C 的方程；

Ⅱ 过 的直线 l 交椭圆于 A ，B 两点，当 面积最大时， 求直线 l 的方程．

20. 为实现 2020 年全面建设小康社会，某地进行产业的升级改造．经市场调研和科学 研判，准备大规模生产某高科技产品的一个核心部件，目前只有甲、乙两种设备可 以独立生产该部件． 如图是从甲设备生产的部件中随机抽取 400 件，对其核心部件 的尺寸

x，进行统计整理的频率分布直方图． 根据行业质量标准规定，该核心部件尺寸 x 满足： 为一级品， 为二级品， 为三级品．

Ⅰ 现根据频率分布直方图中的分组，用分层抽样的方法先从这 400 件样本中抽 取

40件产品，再从所抽取的 40 件产品中，抽取 2件尺寸 的产品，记 为这 2 件产品中尺寸 的产品个数，求 的分布列和数学期望；

Ⅱ 将甲设备生产的产品成箱包装出售时，需要进行检验．已知每箱有 100 件产 品，每件产品的检验费用为 50 元．检验规定：若检验出三级品需更换为一级或二 级品；若不检验，让三级品进入买家，厂家需向买家每件支付 200 元补偿．现从一

箱产品中随机抽检了 10 件，结果发现有 1件三级品．若将甲设备的样本频率作为 总体的慨率， 以厂家支付费用作为决策依据， 问是否对该箱中剩余产品进行一一检 验？请说明理由；

Ⅲ 为加大升级力度，厂家需增购设备．已知这种产品的利润如下：一级品的利 润为

500 元 件；二级品的利润为 400 元 件；三级品的利润为 200元 件．乙种

设备产品中一、二、三级品的概率分别是 ， ， 若将甲设备的样本频率作为

总体的概率，以厂家的利润作为决策依据．应选购哪种设备？请说明理由．

21. 已知函数 ．

Ⅰ 若函数 有两个零点，求 a 的取值范围；

Ⅱ 恒成立，求 a 的取值范围．

22. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 的参数方程为 为参数 ，曲线 的参数方程为 为参数 ，以坐标原点为极点． x 轴正半轴为极 轴建立极坐标系．

Ⅰ 求曲线 的普通方程和曲线 的极坐标方程；

Ⅱ 射线 与曲线 交于 O ，P 两点，射线 与曲线

交于点 Q，若 的面积为 1，求 的值． 23. 已知 a，b，c 为正实数．

Ⅰ 若 ，证明： ；

Ⅱ 证明： ．答案和解析

1. 【答案】 A

{ 解析 } 解： 或 ．

故选： A．

先求出集合 A，再求两集合的交，并，补，可判断正误． 本题考查集合的基本运算，属于基础题．

2. 【答案】 A

{ 解析 } 解： 是纯虚数，

， ，解得 ，

故选： A．

利用复数的运算法则即可得出． 本题考查了复数的运算法则，属于基础题．

3. 【答案】 B

{ 解析 } 解： ， ，

，，

，，

，

故选： B．

利用对数函数和指数函数的性质求解． 本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函 数的性质的合理运用．

4. 【答案】 D

{ 解析 } 解：由已知中的程序框图可知： 该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满

足以下条件的最小两位数：

被 3 除余 2，

被 4 除余 1，

故输出的 n 为 17 ，

故选： D ．

由已知中的程序框图可知： 该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 n的值， 模拟

程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方 法解答，属于基础题．

5. 【答案】 C

{ 解析 } 解：根据题意，设 ，则 ，再设向量 与 夹

角为 ，

则有 ，变形可得： ， 则有 形可得 ，

又由 ，则 ，则有 ，

故选： C．

根据题意，设 ，向量 与 夹角为 ，又由 ，由向

量模的计算公式变形可得： ，进而可得 的值，由数量积公式

可得 ，结合 m 的范围，分析可得 的范围， 结合余弦函数的性质分析可得答案． 本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．

6. 【答案】 A { 解析 } 【分析】 本题主要考查函数图象的识别和判断，利用排除法是解决本题的关键． 根据 的符号及函数的定义，利用排除法进行判断即可．

【解答】

解：设 ，

，排除 C， D，

选项 B 中一个 x值对应两个 y值，不是函数，排除 B， 故选： A．

7. 【答案】 B {解析}解：学校共有学生 N 人，每人随机写出一对小于 1的正实数 a，b，得到 N 个实 数对 ，

因为 ， ，所以 N个实数对 都在边长为 1的正方形 AOBC 内， 如图所示： ，变

又由 ，则有 ，即 的取值范围为 ；