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《数值分析》试题

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第页《数值分析》试卷

第一至八题每题10分，第九题20分；解答按卷中题号写在答题纸上。试卷交回。

一。1）并列为当今科学发展的三大研究方法是指什么方法？

2）计算8121543

2345

xxxxxP

时，为了减少乘除法运算，

应把它改写成什么形式？

3）递推公式







,2,1,1102

10

nyyy

nn

如果取*

0041.12yy

作近似计算，问计算到

10y

时误差有多少？

这个计算过程数值稳定不稳定？

二．1）Gauss消去过程中引入选主元技巧的目的是下列中的哪一项或哪几项？

A。提高计算速度；B．提高计算精度；

C．简化计算公式；D。提高计算公式的数值稳定性；

E．为了节省存储空间。F。避免方程组病态。

2）用列主元Gauss消去法的计算机算法解方程组（用增广矩阵表示过程）：

























201

11.031045321

321

xxx

第页三．1）写出解线性代数方程组bAx

（其中nnRA

非奇异，0b

）的基

本迭代公式，并指出其迭代矩阵；如果迭代公式为

,1,0,)()()()1(kbAxxxkkk

则其迭代矩阵是哪一个？

第页2）给定线性方程组















48

5.1112

21

xx

试分别构造解此方程组的Jacobi迭代公式和Guass-Seidel迭代公式；并分

别求出它们的迭代矩阵。

第页四．1）对迭代函数)5(2xx

，试求使迭代

,1,0),(

1

kxx

kk

，

局部收敛于5x

的

的取值范围。

2）写出求方程01)(3xxxf

在[1，2]中的近似根的一个收敛的

不动点迭代公式，并证明其收敛性。

五．1）设函数)(xf

在五个互异节点

54321,,,,xxxxx

上对应的函数值为

54321,,,,fffff

，根据定理，必存在唯一的次数（A）的插值多项式

)(xP

，满足插值条件

iifxP)()5,,2,1(i

。对此，为了构造

Lagrange插值多项式,由（B）可作（C）个插值基函数，每个基函数均

第页为（D）次多项式，其一般式)(xl

i为（E），从而得Lagrange插值多

项式)(xL为（F）而插值余项)()()(xLxfxR为（G）。

2）利用插值方法（Lagrange插值或Newton

插值）求117

的近似值。

（提示：当144,121,100x

时，12,11,10)(xxf

）

六．1）对同一个量的多个近似值取算术平均作该量之近似值。这种做法的意义是

什么？

2）记录某试验过程，函数y

依赖于x

的试验数据如下：

x

：123

4

y

：0.81.51.82.0

试求其形如2bxaxy

的拟合曲线。

第页七．1）确定下列求积公式的求积系数

101,,AAA

：

)1()0()1()(

1011

1fAfAfAdxxf



使公式具有尽可能高的代数精度；并问所得公式是不是Gauss型公式？

第页2）选用精度比较高、但仅使用9个等分点函数值的数值积分公式求

8.0

011

dx

xI

的近似值。（解答应包括：1）你选了什么公式？2）用所选

公式求解的过程与结果。）

第页八．1）常微分方程初值问题是指由（A）和（B）两部分联立起来构成的问题。研究

常微分方程初值问题时，针对的基本形式通常记为（C）。设函数)(xy

是某

初值问题的解析解，则该初值问题在

nx

处的数值解记为（D）；记)(

1nxy

是初值问题在处

1nx

的解，

1ny

是由某数值方法得出的

1nx

处的数值解，则

111)(



nnnyxye

称为该数值方法在

1nx

处的局部截断误差，对不对？（E）

2）设初值问题





1)0(10,2

yxyxyy

拟同时用两种方法：Euler方法和改进的Euler方法，并取1.0h

，求上

述初值问题的数值解。试设计一个求解方案（或称计算机算法描述），包括计

算公式、计算步骤、数值解输出、两种方法的数值解之差。

第页九、下列八小题任选五题：

1）设Tx)8,5,1,3(

,

求

x

，

1x

，

2x

；

设







03.020

A

，求

1A

，

A

，)(A

。

第页2）用追赶法解下列三对角方程组：

























971

5214213

321

xxx

3）

0)(

kkxq

是区间

1,0

上带权x

而最高次项系数为1的

正交多项式族，其中1)(

0xq

，求1

0)(dxxxq

k？，)(

1xq

？

第页4）





1332a

A

，当a

满足什么条件时，A

可作LU

分解；当a

满

足什么条件时，必有分解式TLLA

，其中L

为对角线元素为正的下三角阵。

第页5）由迭代公式,1,0,

21

1

kx

xxk

kk，产生的序列

kx

对任何

1

0x

均二阶收敛于什么？

第页6）

7）用三种方法求满足插值条件1)0(p

，0)1()1(pp

，2)2(p

的

插值多项式)(xp

。

第页8）

7）要计算函数dtexyx

t

02)(

在x=0.5,0.75,1三处的近似值，

试设计两种计算方案（只写出计算公式）：

方案一．用数值积分法,

第页方案二．用解初值问题的数值方法。

8）利用xxfsin)(

的数值表：

x

：4.05.06.07.0

xsin

：38942.047943.056464.064422.0

用Newton插值公式求57891.0sin

的近似值，并估计误差。

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数值分析试题2014B

数值分析试题2014B

核工业研究生部期末考试试题

（二○一四~ 二○一五 学年度 第一学期）

姓名： 学号： 科目： 数值分析B

教师： 成绩：

1． 设(1,2,3)ixi分别为三角形的三边长，123,,Afxxx222123122xxxxx，*ix为ix的近似值，****123,,Afxxx是A的近似值，****,(),iiiexxAAA求证：*3**3**112()iixAexx (8’)

2． 设()[,]fxCaa为偶函数，(),''()fafa，''()fx为恒凸(凹)的，利用插值余项定理证明：2222(),22aaMfxM其中2Mmax{''(0),}.f (6’)

3． 试建立()cosfxx关于节点0,0.25,0.5,0.75,1x的三次样条插值函数，附加边界条件为2'(0)0,''(1)ff， (10’)

(1) 列出三次样条插值的0123,,,MMMM所满足的方程组Mxb.(须有过程)

(2) 判断矩阵00000.500000000000M在[1,2]中特征值的个数(须有过程).

4． (1)导出区间[0,1]上以21x为权函数的首一正交多项式多项式系

的前三项xxx012{(),(),()}； (4’)

数值分析试题及答案

数值分析试题及答案

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字.

A．4和3 B．3和2

C．3和4 D．4和4

2. 已知求积公式211211()(2)636fxdxfAff，则A＝（ ）

A． 16 B．13 C．12 D．23

3. 通过点0011,,,xyxy的拉格朗日插值基函数01,lxlx满足（ ）

A．00lx＝0，110lx B． 00lx＝0，111lx

C．00lx＝1，111lx D． 00lx＝1，111lx

4. 设求方程0fx的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。

A．超线性 B．平方 C．线性 D．三次

5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332xxxxxxxx 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）.

A．232xx B．2321.53.5xx

C．2323xx D．230.51.5xx

单项选择题答案

1.A 2.D 3.D 4.C 5.B

得

分 评卷人

二、填空题（每小题3分，共15分）

1. 设TX)4,3,2(, 则1||||X

，2||||X .

2. 一阶均差01,fxx

3. 已知3n时，科茨系数33301213,88CCC，那么33C

数值分析试题及答案 2

数值分析试题及答案 2

数值分析试题及答案

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字.

A．4和3 B．3和2

C．3和4 D．4和4

2. 已知求积公式，则＝（ ）

A． B． C． D．

3. 通过点的拉格朗日插值基函数满足（ ）

A．＝0， B．＝0，

C．＝1， D．＝1，

4. 设求方程的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。

A．超线性 B．平方 C．线性 D．三次

5. 用列主元消元法解线性方程组 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）.

A． B．

C． D．

单项选择题答案

1.A 2.D 3.D 4.C 5.B

得

分 评卷人

二、填空题（每小题3分，共15分）

1. 设, 则 ， .

2. 一阶均差

3. 已知时，科茨系数，那么

4. 因为方程在区间上满足 ，所以在区间内有根。

5. 取步长，用欧拉法解初值问题的计算公式 .

填空题答案 1. 9和 2.

3. 4.

5.

得

分 评卷人

三、计算题（每题15分，共60分）

1. 已知函数的一组数据： 求分段线性插值函数，并计算的近似值.

计算题1.答案

1. 解，

，

所以分段线性插值函数为

2. 已知线性方程组

数值分析模拟试题

数值分析模拟试题

1、方程组中，，则求解方程组的Jacobi迭代与Gauss-Seidel迭代均收敛的a的范围是___________。

2、，则A的LDLT分解中，。

3、，则__________，_______________.

4、已知，则用复合梯形公式计算求得，用三点式求得____________.

5、，则_________，三点高斯求积公式______________.

6设*2.40315x是真值2.40194x的近似值，则*x有________位有效数字。

7 3()1,[0,1,2,3]fxxxf设 则差商(均差)_____________，[0,1,2,3,4]f________________。

8 求方程()xfx根的牛顿迭代格式是__________________。

9.梯形求积公式和复化梯形公式都是插值型求积公式_____（对或错）。

10.牛顿—柯特斯求积公式的系数和()0nnkkC__________________。

11.用二次拉格朗日插值多项式2()sin0.34Lx计算的值。插值节点和相应的函数值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，0.3894）。

12.用二分法求方程3()10[1.0,1.5]fxxx在 区间内的一个根，误差限210。

13.用列主元消去法解线性方程组

1231231232346,3525,433032.xxxxxxxxx

14. 确定求积公式 012()()(0)()hhfxdxAfhAfAfh。

中待定参数iA的值(0,1,2)i，使求积公式的代数精度尽量高；并指出此时求积公式的代数精度。

15、 试求使求积公式的代数精度尽量高，并求其代数精度。

16.证明区间[a,b]上带权()x的正交多项式(),1,2,nPxn的n个根都是单根，且位于区间(a,b)内。