高中数学必修1对数函数 学案

成都龙泉 刘杰名师工作室

1 2.2.4 对数函数及其性质（1）

【学习目标】

1.能举例说明对数函数的意义，能准确画出对数函数的图象；

2.能根据图像的得出函数性质，能体会数形结合思想在函数中的运用．

【学习重点】 对数函数的概念、图像与性质.

【难点提示】归纳一般对数函数的性质，底数a对对数函数性质的影响.

【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材7076P结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；

2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.

【学习过程】 一、学习准备

1.什么叫函数？请准确叙述出函数的概念 ；

函数的性质包括的内容有 ；

2.什么叫指数函数、有哪些性质（完成下表）？指数运算与对数运算有何关系？

xya a>1 0

图

象

定义域

值 域

性

质

3.(教材P67例6)生物机体内碳14的“半衰期”为5730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时，碳14的残余量约占原始含量的76．7%，试推算马王堆古墓的年代．

上节课我们已得到碳的含量P与生物死亡年数t的关系：573012logtP，请同学们用函数的概念考察一下上面关系式中t是P的函数吗？

二、探究新知 1.对数函数的概念

●情景问题 用清水漂洗衣服，若每次能去污垢的34，写出存留污垢x表示的漂洗次数y的关系式，请根据关系式计算若要使存留的污垢不超过原有的164，则至少要漂洗几次？

2.2 对数函数

解读对数概念及运算

对数是中学数学中重要的内容之一，理解对数的定义，掌握对数的运算性质是学习对数的重点内容．现梳理这部分知识，供同学们参考．

一、对数的概念

对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N⇔logaN＝b(a>0，且a≠1)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2)alogaN＝N.

例1 计算：log22＋log51＋log3127＋9log32.

分析 根据定义，再结合对数两个恒等式即可求值．

解 原式＝1＋0＋log33－3＋(3log32)2＝1－3＋4＝2.

点评 解决此类问题关键在于根据幂的运算法则将指数式和对数式化为同底数．

二、对数的运算法则

常用的对数运算法则有：对于M>0，N>0.

(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；

(2)logaMN＝logaM－logaN；

(3)logaMn＝nlogaM.

例2 计算：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18.

分析 运用对数的运算法则求解．

解 由已知，得

原式＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)

＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.

点评 对数运算法则是进行对数运算的根本保证，同学们必须能从正反两方面熟练应用．

三、对数换底公式

根据对数的定义和运算法则 可以得到对数换底公式：

logab＝logcblogca(a>0且a≠1，c>0且c≠1，b>0)．

由对数换底公式又可得到两个重要结论：

(1)logab·logba＝1；(2)loganbm＝mnlogab.

例3 计算：(log25＋log4125)×log32log35.

分析 在利用换底公式进行化简求值时，一般是根据题中对数式的特点选择适当的底数进行换底，也可选择以10为底进行换底．

解 原式＝(log25＋32log25)×log322log35

高中数学人教A版（新教材）必修第一册

1 4．4.2 对数函数的图象和性质

第1课时 对数函数的图象和性质(一)

学习目标 1.初步掌握对数函数的图象和性质.2.会类比指数函数研究对数函数的性质.3.掌握对数函数的图象和性质的简单应用.4.了解反函数的概念及它们的图象特点．

知识点一 对数函数的图象和性质

对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表

y＝logax (a>0，且a≠1)

底数 a>1 0

图象

定义域 (0，＋∞)

值域 R

单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数

共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0

函数值特点 x∈(0,1)时，

y∈(－∞，0)；

x∈『1，＋∞)时，

y∈『0，＋∞) x∈(0,1)时，

y∈(0，＋∞)；

x∈『1，＋∞)时，

y∈(－∞，0』

对称性 函数y＝logax与y＝1logax的图象关于x轴对称

思考 对数函数图象的“上升”或“下降”与谁有关？

『答 案』 底数a与1的关系决定了对数函数图象的升降．

当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0

知识点二 反函数

指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数．它们的定义域与值域正好互换． 高中数学人教A版（新教材）必修第一册

2

1．若函数y＝f(x)是函数y＝3x的反函数，则f

12的值为________．

『答 案』 －log32

『解 析』 y＝f(x)＝log3x，∴f 12＝log312＝－log32.

2．函数y＝lg(x＋1)的图象大致是________．(填序号)

『答 案』 ③

『解 析』 由底数大于1可排除①，②，y＝lg(x＋1)可看作是y＝lgx的图象向左平移1个单位长度(或令x＝0得y＝0，而且函数为增函数)．

3．已知函数y＝ax(a>0，且a≠1)在R上是增函数，则函数y＝logax在(0，＋∞)上是________函数．(填“增”或“减”)

高一数学导学案

指数函数和对数函数

4、 对数

4.1对数及其运算性质

4.2 换底公式

5、 对数函数

5.1 对数函数的概念

5.2 y=㏒2x 的图象和性质

5.3对数函数的图像和性质

6、指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 §4对数

4.1对数及其运算(共2课时)

第（一）课时 对数

一、导学目标

1．知识技能：

（1）理解对数的概念，了解对数与指数的关系；

（2）理解和掌握对数的性质；

（3）掌握对数式与指数式的关系 .

2. 过程与方法：通过与指数式的比较，引出对数定义与性质 .

3．情感、态度、价值观

（1）学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力.

（2）通过对数的运算法则的学习，培养学生的严谨的思维品质 .

（3）在学习过程中培养学生探究的意识.

（4）让学生理解平均之间的内在联系，培养分析、解决问题的能力.

二、导学学重点： 对数的概念，对数式与指数式的相互转化，并求一些特殊的对数式的值；

三、导学难点：对数概念的理解．

四、导学方法：探究式教学。

五、学习指导:

（1）理解对数概念，通过对数概念的引入培养学生运用数学的意识；

（2）熟练掌握指数式与对数式的关系，能够进行指数式与对数式的互化，学会利用转化思想处理问题；

（3）能处理数据、理解算理及根据问题的情景，寻求合理、简洁的运算途径，提高运算能力.

六、预习自测

1、 对数定义：一般地，如果 （10aa且），那么就称b 是以a为底N的对数，记作 ，其中， 叫做对数的底数， 叫做真数。

2、两种特殊的对数：

（1）以10为底的对数叫做 ；记作 。