高中数学 对数函数(一)教案 苏教版必修1

用心 爱心 专心 高中数学 对数函数（一）教案 苏教版必修1

教学目标：

使学生理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象和性质，培养学生数形结合的意识.学会用联系的观点分析问题，认识事物之间的相互转化，了解对数函数在生产实际中的简单应用.

教学重点：

对数函数的图象和性质.

教学难点：

对数函数与指数函数的关系.

教学过程：

Ⅰ.复习回顾

［师］我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题.某种细胞分裂时，得到的细胞的个数y是分裂次数x的函数，这个函数可以用指数函数y＝2x表示.

现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞，那么，分裂次数x就是要得到的细胞个数y的函数.根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是x＝log2y.

如果用x表示自变量，y表示函数，这个函数就是y＝log2x.

这一节，我们来研究对数函数.

Ⅱ.讲授新课

1.对数函数定义

一般地，当a＞0且a≠1时，函数y＝logax叫做对数函数.

［师］这里对数函数的解析式可以由指数函数求得，对数函数的定义域、值域也就是指数函数的值域、定义域.

即对数函数的定义域是（0，+∞)，值域是R.

［师］画出下列两组函数的图象，并观察各组函数的图象，寻找它们之间的关系：

（1）y＝2x，y＝log2x； （2）y＝（12 ）x，y＝log21x

它们的图象关于直线y＝x对称.

所以y＝logax的图象与y＝ax的图象关于直线y＝x对称.因此，我们只要画出和y＝ax的图象关于y＝x对称的曲线，就可以得到y＝logax的图象，然后根据图象特征得出对数函数的性质.

2.对数函数的图象和性质

a>1 0

象 32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-112345678011 32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-112345678011

性

质 定义域：（0，+∞）

值域：R

过点（1，0），即当x＝1时，y＝0

x∈（0，1）时y＜0

x∈（1，＋∞）时y＞0 x∈（0，1）时y＞0

x∈（1，＋∞）时y＜0

在（0，+∞）上是增函数 在（0，+∞）上是减函数

［师］接下来，我们通过例题来看一下对数函数性质的简单应用.

3.例题讲解

［例1］求下列函数的定义域

（1）y＝logax2 (2)y＝loga(4－x) (3)y＝loga(9－x2)

分析：此题主要利用对数y＝logax的定义域（0，+∞）求解

解：（1）由x2＞0，得x≠0 所以函数y＝logax2的定义域是{x|x≠0}

(2)由4－x＞0，得x＜4 所以函数y=loga(4－x)的定义域是{x|x＜4}

(3)由9－x2＞0得－3＜x＜3 所以函数y=loga(9－x2)的定义域是{x|－3＜x＜3}

评述：此题只是对数函数性质的简单应用，应强调学生注意书写格式.

［师］为使大家进一步熟悉对数函数的图象和性质，我们来做练习.

Ⅲ.课堂练习

课本P69练习

1.画出函数y＝log3x及y＝x31log的图象，并且说明这两个函数的相同性质和不同性质.

相同性质：两图象都位于y轴右方，都经过点（1，0），这说明两函数的定义域都是（0，+∞），且当x＝1，y＝0.

不同性质：y＝log3x的图象是上升的曲线，y＝x31log的图象是下降的曲线，这说明前者在（0，+∞）上是增函数，后者在（0，+∞）上是减函数.

2.求下列函数的定义域：

（1）y＝log5(1－x) （2）y＝1log2x

（3）y＝log711－3x （4）y＝log3x

解：（1）由1－x＞0得x＜1 ∴所求函数定义域为{x|x＜1}

(2）由log2x≠0，得x≠1，又x＞0 ∴所求函数定义域为{x|x＞0且x≠1}

(3)由11－3x ＞01－3x≠0 ，得x＜13 ∴所求函数定义域为{x|x＜13 } 用心 爱心 专心 (4)由x＞0log3x≥0 ，得x＞0x≥1 ∴x≥1

∴所求函数定义域为{x|x≥1}

要求：学生板演练习，老师讲评.

Ⅳ.课时小结

［师］通过本节学习，大家应逐步掌握对数函数的图象与性质，并能利用对数函数的性质解决一些简单问题，如求对数形式的复合函数的定义域问题.

Ⅴ.课后作业

（一）课本P70习题1，2

（二）1.预习内容：P67例2、例3

2.预习提纲：

（1）同底数的两对数如何比较大小？

（2）不同底数的两对数如何比较大小？

对数函数（二）

教学目标：

使学生掌握对数函数的单调性，掌握比较同底与不同底对数大小的方法，培养学生数学应用意识；用联系的观点分析、解决问题，认识事物之间的相互转化.

教学重点：

利用对数函数单调性比较同底对数大小.

教学难点：

不同底数的对数比较大小.

教学过程：

Ⅰ.复习回顾

［师］上一节，大家学习了对数函数的图象和性质，明确了对数函数的单调性，即：

当a＞1时，y＝logax在（0,+∞）上是增函数；

当0＜a＜1时，y＝logax在（0，+∞）上是减函数.

这一节，我们主要学习对数函数单调性的应用.

Ⅱ.讲授新课

［例1］比较下列各组数中两个值的大小：

（1）log23.4，log28.5 (3)log0.31.8，log0.32.7 (3)loga5.1，loga5.9(a＞0，a≠1)

分析：此题主要利用对数函数的单调性比较两个同底数的对数值大小.

解：（1）考查对数函数y＝log2x，因为它的底数2＞1，所以它在（0，+∞）上是增函数，于是log23.4＜log28.5

(2)考查对数函数y＝log0.3x，因为它的底数0＜0.3＜1，所以它在（0，+∞）上是减函数，于是log0.31.8＞log0.32.7

［师］通过（1）、（2）的解答，大家可以试着总结两个同底数的对数比较大小的一般步骤：

（1）确定所要考查的对数函数；（2）根据对数底数判断对数函数增减性；（3）比较真数大小，然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小.

解：（3）当a＞1时，y＝logax在（0，+∞）上是增函数，于是loga5.1＜loga5.9 用心 爱心 专心 当0＜a＜1时，y＝logax在（0，+∞）上是减函数，于是loga5.1＞loga5.9

评述：对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件并未指明，因此需要对底数a进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握.

［例2］比较下列各组中两个值的大小：

（1）log67，log76 (2)log3π，log20.8

分析：由于两个对数值不同底，故不能直接比较大小，可在两对数值中间插入一个已知数，间接比较两对数值的大小.

解：（1）∵log67＞log66＝1，log76＜log77＝1，∴log67＞log76

（2）∵log3π＞log31＝0，log20.8＜log21＝0，∴log3π＞log20.8

评述：例2仍是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小，当不能直接比较时，经常在两个对数中间插入1或0等，间接比较两个对数的大小，例2（2）题也可与1比较.

［例3］求下列函数的定义域、值域：

⑴ y＝212x－14 ⑵ y＝log2（x2＋2x＋5）

⑶ y＝log31（－x2＋4x＋5） ⑷ y＝loga（－x2－x） （0＜a＜1）

解：⑴要使函数有意义，则须：

212x－14 ≥0 即：－x2－1≥－2 得－1≤x≤1

∵－1≤x≤1 ∴－1≤－x2≤0 从而 －2≤－x2－1≤－1

∴14 ≤212x≤12 ∴0≤212x－14 ≤14 ∴0≤y≤12

∴定义域为[－1，1]，值域为[0，12 ]

⑵∵x2＋2x＋5＝（x＋1）2＋4≥4对一切实数都恒成立

∴函数定义域为R

从而log2（x2＋2x＋5）≥log24＝2 即函数值域为[2，＋∞）

⑶要使函数有意义，则须：

－x2＋4x＋5＞0得x2－4x－5＜0解得－1＜x＜5

由－1＜x＜5 ∴在此区间内 （－x2＋4x＋5）max＝9

∴ 0≤－x2＋4x＋5≤9

从而 log31（－x2＋4x＋5）≥log319＝－2 即：值域为 y≥－2

∴定义域为[－1，5]，值域为[－2，＋∞）

⑷要使函数有意义，则须：)2(0)(log)1(022xxxxa

由①：－1＜x＜0

由②：∵0＜a＜1时 则须 －x2－x≤1，x∈R

综合①②得 －1＜x＜0

当－1＜x＜0时 （－x2－x）max＝14 ∴0＜－x2－x≤14

∴loga（－x2－x）≥loga14 ∴ y≥loga14 用心 爱心 专心 ∴定义域为(－1，0)，值域为[loga14 ，＋∞）

Ⅲ.课堂练习

课本P69练习3

补充：比较下列各题中的两个值的大小

（1）log20.7，log310.8 （2）log0.30.7， log0.40.3

（3）log3.40.7，log0.60.8，（13 ）21 （4）log0.30.1， log0.20.1

解：（1）考查函数y＝log2x

∵2＞1， ∴函数y＝log2x在（0，+∞）上是增函数

又0.7＜1， ∴log20.7＜log21＝0

再考查函数y＝log31x

∵0＜13 ＜1 ∴函数y＝log31x在（0，+∞）上是减函数

又1＞0.8， ∴log310.8＞log311＝0

∴log20.7＜0＜log310.8 ∴log20.7＜log310.8

（2）log0.30.7＜log0.40.3

（3）log3.40.7＜log0.60.8＜（13 ）21

（4）log0.30.1＞log0.20.1

要求：学生板演，老师讲评

Ⅳ.课时小结

［师］通过本节学习，大家要掌握利用对数函数的增减性比较两对数大小的方法，并要能够逐步掌握分类讨论的思想方法.

Ⅴ.课后作业

课本P70习题 3

对数函数（三）

教学目标：

使学生掌握对数形式复合函数的单调性的判断及证明方法，掌握对数形式复合函数的奇偶性的判断及证明方法，培养学生的数学应用意识；认识事物之间的内在联系及相互转化，用联系的观点分析问题、解决问题.

教学重点：