数学高一-对数函数3--必修1学案

2

3习题课　基本初等函数(Ⅰ)

学习目标　1.能够熟练进行指数、对数的运算(重点).2.进一步理解和掌握指数函数、对数

函数、幂函数的图象和性质，并能应用它们的图象和性质解决相关问题(重、难点)．

1．三个数60.7,0.76

，log

0.76的大小顺序是( )

A．0.76<60.7

0.76 B．0.76

0.76<60.7

C．log

0.76<60.7<0.76

D．log

0.76<0.76<60.7

解析　由指数函数和对数函数的图象可知：

60.7>1,0<0.76<1，log

0.76<0，∴log

0.76<0.76<60.7

，故选D．

答案　D

2．已知0

＋b的图象必定不经过( )

A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限

解析　因为0

以函数y＝a

x＋b的图象可认为是由y＝a

x的图象向下平移|b|个单位得到的，所以函数

y＝ax＋b的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．

答案　C

3．lg 32－

lg ＋

lg ＝________.1

24

385

解析　原式＝lg 25

－lg 2＋lg 5＝lg 2－2lg 2＋lg 5＝

lg 2＋

lg 5＝

(lg 2＋

lg 5)1

24

33

21

25

21

212121

2

＝lg 10＝.1

21

2

答案　1

2

4．函数f(x)＝log

2(－x2

＋2x＋7)的值域是________．

解析　∵－x2

＋2x＋7＝－(x－1)2

＋8≤8，

∴log

2(－x2

＋2x＋7)≤log

28＝3，故f(x)的值域是(－∞，3]．

答案　(－∞，3]

类型一　指数与对数的运算

【例1】　计算：2

3(1)2log

32－log

3＋log

38－5log

53；32

9

(2)0.064－－0

＋[(－2)3]

－＋16－0.75＋0.01.1

3

(

－7

8)4

3

1

2

解　(1)原式＝log

3－3＝2－3＝－1.22×8

32

9

(2)原式＝

0.43×－1＋2

－4＋

24×＋0.1＝－1＋＋＋＝.5

21

161

81

10143

80

规律方法　指数、对数的运算应遵循的原则

指数函数和对数函数专题

指数函数及其性质：

要点一、指数函数的概念：

函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R.

要点二、指数函数的图象及性质：

y=ax

01时图象

图象

性质 ①定义域R，值域 （0，+∞）

②a0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点

③ax=a，即x=1时，y等于底数a

④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数

⑤x<0时，ax>1

x>0时，0

x>0时，ax>1

⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数

要点诠释：

指数函数xya与1xya的图象关于y轴对称。

要点三、指数函数底数变化与图像分布规律

（1）

① xya ②xyb ③xyc ④xyd

则：0＜b＜a＜1＜d＜c

又即：x∈(0,+∞)时，xxxxbadc （底大幂大）

x∈(－∞,0)时，xxxxbadc

（2）特殊函数

112,3,(),()23xxxxyyyy的图像：

要点四、指数式大小比较方法

化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较.

比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为： ①若0ABAB；0ABAB；0ABAB；

②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断1AB，或1AB即可．

【典型例题】

类型一、函数的定义域、值域

例1．求下列函数的定义域、值域.

(1)313xxy；(2)y=4x-2x+1；(3)21139x；(4)211xxya(a为大于1的常数)

举一反三：

【变式1】求下列函数的定义域：

(1)2-12xy (2)3-3xy

(3)2-1xy (4)1-(0,1)xyaaa

例2．讨论函数221()3xxfx的单调性，并求其值域．

例3．讨论函数111242xxy的单调性．

指数函数、对数函数、幂函数

1指数函数与对数函数之间是反函数之间的关系

★指数及指数幂的运算

1.根式的概念

a

的n

次方根的定义：一般地，如果xn=a

，那么x

叫做a

的n

次方根，其中n>1,n∈N+

当n

为奇数时，正数的n

次方根为正数，负数的n

次方根是负数，表示为；当n

为偶数时，

正数的n

次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为.

负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.

式子叫做根式，n

叫做根指数，a

叫做被开方数.

2.n

次方根的性质：

(1)当n

为奇数时，；当n

为偶数时，

(2)

3.分数指数幂的意义：

注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义.

4.有理数指数幂的运算性质：

★指数函数及其性质

1.指数函数概念

一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.n√an=a

n√an=|a|=a,a≥0

-a,a<0n√a+n√a

n√a

(n√a)n=a

an=n√amm

(a>0,m,n∈N,n>1);(a>0,m,n∈N,n>1);

an1

man=m

(a>0,b>0,r,s∈Q)

(1)aras=ar+s(2)(ar)s=ars(3)(ab)r=ar·br

y=ax(a>0,且a≠1)指数函数、对数函数、幂函数

2

y=ax2.指数函数函数性质：

函数

名称指数函数

定义函数且叫做指数函数

图象a>10

定义域R

值域

过定点图象过定点(0,1)，即当x=0

时，y=1

.

奇偶性非奇非偶

单调性在R

上是增函数在R

上是减函数

函数值的

变化情况

a变化对图象

的影响在第一象限内，从逆时针方向看图象，a逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向

看图象，a逐渐减小.

★对数与对数运算

1.对数的定义(1)若=N（a>0,a≠0，N>0）

，则x

叫做以a

为底N的对数，记作x=log

aN

，

其中a

叫做底数，N叫做真数.

(2)负数和零没有对数.

(3)对数式与指数式的互化：x=log

aN

等价于ax=N

（a>0,a≠0，N>0）

2.几个重要的对数恒等式axax

ax

ax

axax

§3.4 函数的应用(Ⅱ)

【入门向导】想一想？

杰米是一个百万富翁，一天，他碰到了一件奇怪的事．一个叫韦伯的人对他说，我想和你订个合同，在整整的一个月(30天)内，我每天给你10万元，而你第一天只需给我1元钱，

第二天给我2元钱，每天给我的钱是前一天的两倍．杰米非常高兴，他同意订这样的合同．

同学们，按此合同，谁最终会获利？(提示公式：20＋21＋22＋,＋2n－1＝1－2n

1－2)

幂函数、指数函数、对数函数三种函数模型的增长情况有什么区别？

一般地，对于指数函数y＝ax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快

于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有ax>xn. 同样地，对于对数函数y＝logax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)，在区间(0，＋∞)上，随着x的增长，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但是由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有logax1)、y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“级别”上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就会有logax

常见的数学模型有哪些？

利用具体函数解决综合问题是我们需要关注的，具体函数的运用在生活中有很多体现，

在学习完函数这部分内容以后，重点运用一次函数、二次函数、分段函数、指数函数、对数函数和幂函数来解决问题．下面是几种常见的数学模型：

1．一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)；

2．反比例函数模型：f(x)＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)；