华东师大版九年级数学上册第21章《二次根》教案设计
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华东师大版九年级数学上册第21章
《二次根》教案设计
21.1 二次根式
教学目标
1．能用二次根式表示实际问题中的数量及数量关系，体会研究二次根式的必要性；
2．能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念及性质，会求二次根式中被开方数中字母
的取值范围．
教学重难点
【教学重点】
了解二次根式的概念及性质，会求二次根式中被开方数中字母的取值范围.
【教学难点】
用二次根式表示实际问题中的数量及数量关系.
课前准备
无
教学过程
一、情境导入
问题1：你能用带有根号的式子填空吗？
(1)面积为3的正方形的边长为________，面积为S
的正方形的边长为________．
(2)一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m2
，则它的宽为________m.
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t
(单位：s)与落下的高度h
(单位：m)满
足关系h
＝5t2
，如果用含有h
的式子表示t
，则t
＝______．
问题2
：上面得到的式子3
，S
，65
，h
5分别表示什么意义？它们有什么共同特征？
二、合作探究
探究点一：二次根式的定义
例1：下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？
(1)11
；(2)－5
；(3)（－7）2
；
(4)3
13；
(5)1
5
－1
6；(6)3－x
(x
≤3)；
(7)－x
(x
≥0)；(8)（a
－1）2
；(9)－x2－5；
(10)（a
－b
）2
(ab
≥0)．
解析：要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2，二是看被开方数是不是非
负数．
解：因为11，（－7
）2
，1
5－1
6＝1
30，3－x
(x
≤3)，（a
－1）2
，（a
－b
）2
(ab
≥0)中的根指数都是2，且被开方数为非负数，所以都是二次根式
.3
13的根指数不是2，
－5
，－x
(x
≥0)
，－x2
－5的被开方数小于0，所以不是二次根式．
方法总结：判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次
根号“ ”；(2)被开方数是非负数．
探究点二：二次根式有意义的条件
【类型一】 根据二次根式有意义求字母的取值范围
例2：求使下列式子有意义的x
的取值范围． (1)1
4－3x；
(2)3－x
x
－2
；(3)x
＋5
x.
解析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0且分母不等于0，列不等
式(组)求解．
解：(1)由题意得4－3x
＞0，解得x
＜4
3.当x
＜4
3时，1
4－3x有意义；
(2)由题意得
3－x
≥0，
x
－2≠0，解得x
≤3且x
≠2.当x
≤3且x
≠2
时，3－x
x
－2有意义；
(3)由题意得
x
＋5≥0，
x
≠0，解得x
≥－5且x
≠0.当x
≥－5且x
≠
0时，x
＋5
x有意义．
方法总结：含二次根式的式子有意义的条件：
(1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方
数都必须是非负数；(2)如果所给式子中含有分母，则除了保证二次根式中的被开方数为非
负数外，还必须保证分母不为零．
【类型二】 利用二次根式的非负性求解
例3：(1)已知a
、b
满足2a
＋8＋|b
－3|＝0，解关于x
的方程(a
＋2)x
＋b2
＝a
－1；
(2)已知x
、y
都是实数，且y
＝x－3＋3－x
＋4，求yx
的平方根．
解析：(1)根据二次根式的非负性和绝对值的非负性求解即可；(2)根据二次根式的非负性即
可求得x
的值，进而求得y
的值，进而可求出yx
的平方根．
解：(1)根据题意得
2a
＋8＝0，
b
－3＝0，解得
a
＝－4，
b
＝3.则(a
＋2)x
＋b2
＝a
－1，即－2x
＋3＝－5，解
得x
＝4；
(2)根据题意得
x
－3≥0，
3－x
≥0，解得x＝3.则y
＝4，故yx
＝43
＝64，±64＝±8，∴yx
的平方根
为±8.
方法总结：二次根式和绝对值都具有非负性，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0.
探究点三：和二次根式有关的规律探究性问题
例4：先观察下列等式，再回答下列问题．
①1＋1
12＋1
22＝1＋1
1－1
1＋1＝11
2；
②1＋1
2
2＋1
32＝1＋1
2－1
2＋1＝11
6；
③1＋1
3
2＋1
42＝1＋1
3－1
3＋1＝11
12.
(1)
请你根据上面三个等式提供的信息，写出1＋1
42＋1
52的结果；
(2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出用
含n
的式子表示的等式(n
为正整数)．
解析：(1)从三个等式中可以发现，等号右边第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分
母为n
，第三个分数的分母就是n
＋1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子
也是1，分母是前项分数的分母的积；(2)根据(1)找的规律写出表示这个规律的式子．
解：
(1)1＋1
4
2＋1
52＝1＋1
4－1
4＋1＝11
20；
(2)1＋1
n
2＋1
（n
＋
1）2＝1＋1
n－1
n
＋1＝11
n
（n
＋1）(n
为正整数)．
方法总结：解答规律探究性问题，都要通过仔细观察找出字母和数之间的关系，通过阅读找
出题目隐含条件并用关系式表示出来．
三、板书设计
1．二次根式的定义
一般地，我们把形如a(a
≥0)的式子叫做二次根式．
2．二次根式有意义的条件
被开方数(式)为非负数；a
有意义⇔a
≥0.
四、教学反思
通过将新知识与旧知识进行联系与对比，随后由学生熟悉的实际问题出发，用已有的知识进
行探究，由此引入二次根式．在教学过程中让学生感受到研究二次根式是实际的需要，体会
到数学与实际生活间的紧密联系，以此充分激发学生学习的兴趣．
21.2 二次根式的乘除
第1课时
教学目标
1．掌握二次根式乘法法则；(重点)
2．会进行二次根式的乘法运算．(重点、难点)
教学重难点
【教学重点】
二次根式乘法法则.
【教学难点】
进行二次根式的乘法运算.
课前准备
无
教学过程
一、情境导入
小颖家有一块长方形菜地，长6m，宽3m，那么这个长方形菜地的面积是多少？
二、合作探究
探究点：二次根式的乘法 【类型一】 二次根式的乘法法则成立的条件
例1：式子x
＋1·2－x
＝（x
＋1）（2－x
）成立的条件是( )
A．x
≤2 B．x
≥－1
C．－1≤x
≤2 D．－1＜x
＜2
解析：根据题意得
x
＋1≥0，2－x
≥0，解得
－1≤x
≤2.故选C.
方法总结：运用二次根式的乘法法则：a·b
＝ab
(a
≥0，b
≥0)，必须注意被开方数均
是非负数这一条件．
【类型二】 二次根式的乘法运算
例2：计算： (1)3×5；
(2)1
4×64；
(3)627×(－33)；
(4)3
418ab
·
－2
a6b2a.
解析：有理式的乘法运算律及乘法公式对二次根式同样适用，计算时注意最后结果要化为最
简形式．
解：(1)3×5＝3×5＝15；
(2)14×64＝1
4×64＝16＝4；
(3)627×(－33)＝－1827×3＝
－1881＝－18×9＝－162；
(4) 3
418ab
·
－2
a6b2
a＝
－3
4·2
a·18ab
·6b2
a＝－3
2a·36×3b3
＝
－3
2a·6b
3b
＝－9b
a3b
.
方法总结：在运算过程中要注意根号前的因数是带分数时，必须化成假分数，如果被开方数
有能开得尽方的因数或因式，可先将二次根式化简后再相乘．
三、板书设计
