线性规划的实际应用
摘 要：线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的
专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任
务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.
关键词：研究性学习；线性规划，教学改革
随着当前基础教育的改革的深入，研究性学习成为当前基础教育的一个热点，引起了教
育界和社会的广泛关注，也成为当前培养学生能力的一个崭新的课题。我们本着教学过程始
于课内，终于课外的原则对线性规划的实际应用进行研究。主要是把实际问题抽象为数学模
型，使其在约束条件下，找到最佳方案。也就是说求线性目标函数在线性约束条件下的最大
值和最小值问题。
一． 线性规划问题
在实际社会活动中遇到这样的问题：一类是当一项任务确定后，如何统筹
安排，尽量做到最少的资源消耗去完成；另一类是在已有的一定数量的资源条件下，如何安
排使用它们，才能使得完成的任务最多。
例如1-1：某工厂需要使用浓度为的硫酸10，而市场上只有浓度为，0080kg00600070
和的硫酸出售，每千克价格分别为8元，10元，16元，问应购买各种浓度的硫酸各多0090
少？才能满足生产需求，且所花费用最小？
设取浓度为，，的硫酸分别为千克，总费用为，则 006000700090
321,,xxxZ
s.t
89.07.06.010
321321
xxxxxx
)3,2,1,0(16108
321jxxxxZ
j
例如1-2：某工厂生产甲，乙两种产品，已知生产甲产品需要种原料不超过3千克，但A
每千克甲产品需要种原料为2千克；生产乙产品需要种原料不超过4.5千克，但每千克CB
乙产品需要种原料为3千克。每千克甲产品的利润为3元，每千克乙产品的利润为4元，C
工厂生产甲，乙两种产品的计划中要求所耗的种原料不超过15千克，甲，乙两种产品各应C
密 封 线
第 1 页 共 10 页 线性规划的实际应用
摘要 线性规划模型是科学与工程领域广泛应用的数学模型。本文应用线性规划模型，以某水库输水管的选择为研究对象，以实现输水管的选择既能保证供水，又能使造价最低为目标，根据水库的特点和实际运行情况，分析了其输水管选择过程中线性规划模型的建立方法，并分别通过单纯形法和MATLAB软件进行求解。
关键词 线性规划 模型 单纯形法 MATLAB
一、专著背景简介
《最优化方法》介绍最优化模型的理论与计算方法，其中理论包括对偶理论、非线性规划的最优性理论、非线性半定规划的最优性理论、非线性二阶锥优化的最优性理论；计算方法包括无约束优化的线搜索方法、线性规划的单纯形方法和内点方法、非线性规划的序列二次规划方法、非线性规划的增广Lagrange方法、非线性半定规划的增广Lagrange方法、非线性二阶锥优化的增广Lagrange方法以及整数规划的Lagrange松弛方法。《最优化方法》注重知识的准确性、系统性和算法论述的完整性，是学习最优化方法的一本入门书。
最优化方法（也称做运筹学方法）是近几十年形成的，它主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。最优化方法的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及其生产经营活动。最优化方法的目的在于针对所研究的系统，求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的效能及效益，最终达到系统的最优目标。实践表明，随着科学技术的日益进步和生产经营的日益发展，最优化方法已成为现代管理科学的重要理论基础和不可缺少的方法，被人们广泛地应用到公共管理、经济管理、工程建设、国防等各个领域，发挥着越来越重要的作用。本章将介绍最优化方法的研究对象、特点，以及最优化方法模型的建立和模型的分析、求解、应用。主要是线性规划问题的模型、求解（线性规划问题的单纯形解法）及其应用-运输问题；以及动态规划的模型、求解、应用-资源分配问题。
线性规划练习题
一、选择题：
1.已知x,y满足不等式.0,0,62,5yxyxyx在这些点中，使目标函数z=6x+8y取得最大值的点的坐标是（ ）
A.（1，4） B.（0，5） C.（5，0） D.（3，0）
2.已知x、y满足,1||,1||yx则z=x+y+1的最大值为（ ）
A.（1，1） B.（1，-1） C.2 D.3
3.已知x、y满足00,13,22yxyxyx则z=2x+y（ ）
A.有最大值1 B.有最小值1 C.有最大值4 D.有最小值4
4.不等式组1||1||yxyx，表示的平面区域内整点的个数是（ ）
A.0 B.2 C.4 D.5
5.设R为平面上以A（4，1），B（-1，-6），C（-3，2）三点为顶点的三角形区域（包括三角形的内部及周界，如图），则当（x，y）在R上变动时，4x-3y的最大值和最小值分别为（ ）
A.3.25，-4.5 B.14，-18 C.14，3.5 D.3.5，-18
6.已知x、y满足032,0,1,052yxyxyx 则xy的最值是（ ）
A.最大值是2，最小值是1 B.最大值是1，最小值是0
C.最大值是2，最小值是0 D.有最大值无最大值
7.设R为平面上不等式组,02,02,0434,0634yxyxyxyx表示的平面区域，则点（x，y）在R上变动时，y-2x的最大值和最小值分别是（ ）
A.2，-716 B.724，-726 C. 724，-716 D.2，-726
二、解答题：
8.某工厂生产A和B两种产品，按计划每天生产A、B各不得少于10吨，已知生产A产品一吨需用煤9吨、电4度、劳动力3个（按工作日计算）；生产B产品一吨需用煤4吨、电5度、劳动力10个.如果A产品每吨价值7万元，B产品每吨价值12万元，而且每天用煤不超过300吨，用电不超过200度，劳动力最多只有300个.每天应安排生产A、B两种产品各多少，才能既保证完成生产计划，又能为国家创造最多的产值？
问题描述：
某电视机工厂生产四种型号的特用电视机：Ⅰ型——轻便黑白，Ⅱ型——正规黑白，Ⅲ型——轻便彩色，Ⅳ型——正规彩色。各型号每台所需组装时间、调试时间、销售收入以及该厂组装调试能力如表2.47所示。
表2.47
但现在显像管紧缺，每月最多只能进货180只，其中彩色显像管不超过100只。令1x、2x、3x、4x一次表示各型号每月计划产量。现工厂需拟定使目标总销售收入z为最大的生产计划。
（1）写出该问题的数字模型，对于约束条件依下列次序：组装时间、调试时间、显像管数、彩色显像管数，并引入松弛变量，使之为等式。
（2）用单纯形法求解得终表如图2.48所示。
表2.48
BC BX bB1 4 6 8 10 0 0 0 0
1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x
0 8x 50 -0.2 0 0.2 0 0.1 -0.5 0 1
6 2x 125 0.5 1 0 0 0.25 -0.75 0 0
0 7x 5 0.3 0 0.2 0 -0.15 0.25 1 0
10 4x 50 0.2 0 0.8 1 -0.1 0.5 0 0
j -1 0 0 0 -0.5 -0.5 0 0
试分别回答：
（1）最优生产是什么？是否还有其他最优生产计划？为什么？
（2）组装时间的影子价格是多少？
（3）若外厂可调剂增加80小时的调试时间，但每小时需付0.4（百元），这样 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 工厂能力（h）
组装时间
调试时间 8
2 10
2 12
4 15
5 2000
500
售 价（百元） 4 6 8 10 的调剂值得吗？能增加多少收入？
（4）若Ⅰ型机售价由4（百元）增加到4.5（百元），最优计划会改变吗？如果增加到5.5（百元）呢？说明理由。
（5）写出本问题的对偶模型，并指出其最优解。
解：建立模型：
由该问题，可建立如下模型：
设Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型、Ⅳ型分别生产1x台、2x台、3x台、4x台，则可列出目标函数及线性约束条件：
