线性规划的实际应用题

线性规划的实际应用

摘 要：线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的

专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任

务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.

关键词：研究性学习；线性规划，教学改革

随着当前基础教育的改革的深入，研究性学习成为当前基础教育的一个热点，引起了教

育界和社会的广泛关注，也成为当前培养学生能力的一个崭新的课题。我们本着教学过程始

于课内，终于课外的原则对线性规划的实际应用进行研究。主要是把实际问题抽象为数学模

型，使其在约束条件下，找到最佳方案。也就是说求线性目标函数在线性约束条件下的最大

值和最小值问题。

一． 线性规划问题

在实际社会活动中遇到这样的问题：一类是当一项任务确定后，如何统筹

安排，尽量做到最少的资源消耗去完成；另一类是在已有的一定数量的资源条件下，如何安

排使用它们，才能使得完成的任务最多。

例如1-1：某工厂需要使用浓度为的硫酸10，而市场上只有浓度为，0080kg00600070

和的硫酸出售，每千克价格分别为8元，10元，16元，问应购买各种浓度的硫酸各多0090

少？才能满足生产需求，且所花费用最小？

设取浓度为，，的硫酸分别为千克，总费用为，则 006000700090

321,,xxxZ

s.t





89.07.06.010

321321

xxxxxx

)3,2,1,0(16108

321jxxxxZ

j

例如1-2：某工厂生产甲，乙两种产品，已知生产甲产品需要种原料不超过3千克，但A

每千克甲产品需要种原料为2千克；生产乙产品需要种原料不超过4.5千克，但每千克CB

乙产品需要种原料为3千克。每千克甲产品的利润为3元，每千克乙产品的利润为4元，C

工厂生产甲，乙两种产品的计划中要求所耗的种原料不超过15千克，甲，乙两种产品各应C

线性规划模型在生活中的实际应用

一、线性规划的基本概念

线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源.线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素.

二、线性规划模型在实际问题中的应用

（1）线性规划在企业管理中的应用范围

线性规划在企业管理中的应用广泛，主要有以下八种形式：

1.产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，是获利最大.

2.劳动力安排 ：用最少的劳动力来满足工作的需要.

3.运输问题 ：如何制定运输方案，使总运费最少.

4.合理利用线材问题 ：如何下料，使用料最少.

5.配料问题 ：在原料供应的限制下如何获得最大利润.

6.投资问题 ：从投资项目中选取方案，是投资回报最大.

7.库存问题 ：在市场需求和生产实际之间，如何控制库存量从而获得更高利益.

8.最有经济计划问题 ：在投资和生产计划中如何是风险最小

.

（2）如何实现线性规划在企业管理中的应用

在线性规划应用前要建立经济与金融体系的评价标准及企业的计量体系，摸清企业的资源.首先通过建网、建库、查询、数据采集、文件转换等，把整个系统的各有关部分的特征进行量化，建立数学模型，即把组成系统的有关因素与系统目标的关系，用数学关系和逻辑关系描述出来，然后白较好的数学模型编制成计算机语言，输入数据，进行计算，不同参数获取的不同结果与实际进行分析对比，进行定量，定性分析，最终作出决策.

线性规划的实际应用举例

为了便于同学们掌握线性规划的一般理论和方法，本文拟就简单的线性规划(即两个变量的线性规划)的实际应用举例加以说明。

1 物资调运中的线性规划问题

例1 A，B两仓库各有编织袋50万个和30万个，由于抗洪抢险的需要，现需调运40万个到甲地，20万个到乙地。已知从A仓库调运到甲、乙两地的运费分别为120元/万个、180元/万个；从B仓库调运到甲、乙两地的运费分别为100元/万个、150元／万个。问如何调运，能使总运费最小?总运费的最小值是多少?

解：设从A仓库调运x万个到甲地，y万个到乙地，总运费记为z元。那么需从B仓库调运40-x万个到甲地，调运

20-y万个到乙地。

从而有

z=120x+180y+100(40-x)+150·(20-y)=20x+30y+7000。

作出以上不等式组所表示的平面区域 (图1)，即可行域。

令z'=z-7000=20x+30y.

作直线l：20x+30y=0，

把直线l向右上方平移至ll的位置时，直线经过可行域上的点M(30，0)，且与原点距离最小，即x=30，y=0时，

z'=20x+30y取得最小值，从而z=z'+7000=20x+30y+7000亦取得最小值，zmin=20×30+30×0+7000=7600(元)。

答：从A仓库调运30万个到甲地，从B仓库调运10万个到甲地，20万个到乙地，可使总运费最小，且总运费的最小值为7600元。

2 产品安排中的线性规划问题

例2 某饲料厂生产甲、乙两种品牌的饲料，已知生产甲种饲料1吨需耗玉米0.4吨，麦麸0.2吨，其余添加剂O.4 精品文库

欢迎下载 2 吨；生产乙种饲料1吨需耗玉米0.5吨，麦麸0.3吨，其余添加剂0.2吨。每1吨甲种饲料的利润是400元，每1吨乙种饲料的利润是500元。可供饲料厂生产的玉米供应量不超过600吨，麦麸供应量不超过500吨，添加剂供应量不超过300吨。问甲、乙两种饲料应各生产多少吨(取整数)，能使利润总额达到最大?最大利润是多少?

密 封 线

第 1 页 共 10 页 线性规划的实际应用

摘要 线性规划模型是科学与工程领域广泛应用的数学模型。本文应用线性规划模型，以某水库输水管的选择为研究对象，以实现输水管的选择既能保证供水，又能使造价最低为目标，根据水库的特点和实际运行情况，分析了其输水管选择过程中线性规划模型的建立方法，并分别通过单纯形法和MATLAB软件进行求解。

关键词 线性规划 模型 单纯形法 MATLAB

一、专著背景简介

《最优化方法》介绍最优化模型的理论与计算方法，其中理论包括对偶理论、非线性规划的最优性理论、非线性半定规划的最优性理论、非线性二阶锥优化的最优性理论；计算方法包括无约束优化的线搜索方法、线性规划的单纯形方法和内点方法、非线性规划的序列二次规划方法、非线性规划的增广Lagrange方法、非线性半定规划的增广Lagrange方法、非线性二阶锥优化的增广Lagrange方法以及整数规划的Lagrange松弛方法。《最优化方法》注重知识的准确性、系统性和算法论述的完整性，是学习最优化方法的一本入门书。

最优化方法（也称做运筹学方法）是近几十年形成的，它主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。最优化方法的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及其生产经营活动。最优化方法的目的在于针对所研究的系统，求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的效能及效益，最终达到系统的最优目标。实践表明，随着科学技术的日益进步和生产经营的日益发展，最优化方法已成为现代管理科学的重要理论基础和不可缺少的方法，被人们广泛地应用到公共管理、经济管理、工程建设、国防等各个领域，发挥着越来越重要的作用。本章将介绍最优化方法的研究对象、特点，以及最优化方法模型的建立和模型的分析、求解、应用。主要是线性规划问题的模型、求解（线性规划问题的单纯形解法）及其应用-运输问题；以及动态规划的模型、求解、应用-资源分配问题。