西安交大2007研究生数理统计试题

2007年考研数学一真题一、选择题（110小题，每小题4分，共40分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(1)当时，与等价的无穷小量是(A)(B)(C)(D)【答案】B。

【解析】时几个不同阶的无穷小量的代数和，其阶数由其中阶数最低的项来决定。

综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较(2)曲线渐近线的条数为(A)0(B)1(C)2(D)3【答案】D。

【解析】由于，则是曲线的垂直渐近线；又所以是曲线的水平渐近线；斜渐近线：由于一侧有水平渐近线，则斜渐近线只可能出现在一侧。

则曲线有斜渐近线，故该曲线有三条渐近线。

综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(3)如图，连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间上的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设,则下列结论正确的是(A)(B)(C)(D)【答案】C。

【解析】-3-2-10123【方法一】四个选项中出现的在四个点上的函数值可根据定积分的几何意义确定则【方法二】由定积分几何意义知,排除(B)又由的图形可知的奇函数，则为偶函数，从而显然排除(A)和(D),故选(C)。

综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质，定积分的应用(4)设函数在处连续，下列命题错误．．的是(A)若存在，则(B)若存在，则(C)若存在，则存在(D)若存在，则存在【答案】D。

【解析】(A)：若存在，因为,则,又已知函数在处连续，所以,故,(A)正确；(B)：若存在，则,则，故(B)正确。

(C)存在，知，则则存在，故(C)正确(D)存在，不能说明存在例如在处连续，存在，但是不存在，故命题(D)不正确。

综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念(5)设函数在内具有二阶导数，且,令,则下列结论正确的是 (A)若,则必收敛(B)若,则必发散 (C)若,则必收敛(D)若,则必发散【答案】D 。

西安交通大学《统计学》奥鹏期末考试题库合集本套合集为考前突击题集汇总，含答案单选题：1.A.组内平方和B.组间平方和C.总离差平方和D.因素B的离差平方和标准答案：A2.随机试验所有可能出现的结果，称为（）。

A.样本B.样本空间C.基本事件D.全部事件标准答案：B3.1999年全国从业人员比上年增加629万人，这一指标是（）。

A.增长速度B.增长量C.平均增长速度D.平均增长量标准答案：B（4）方差分析中，错误说法是（）A.如果方差分析只针对一个因素进行，称为单因素方差分析B.如果同时针对多个因素进行，称为多因素方差分C.方差分析就是通过不同方差的比较，作出接受原假设或拒绝原假设的判断D.方差分析不可以对若干平均值是否相等同时进行检验标准答案：D（5）某班共有25名学生，期末统计学课程的考试分数分别为：68，73，66，76，86，74，61，89，65，90，69，67，76，62，81，63，68，81，70，73，60，87，75，64，56，该班考试分数的下四分位数和上四分位数分别是（）A.64.5和78.5B.67.5和71.5C.64.5和71.5D.64.5和67.5标准答案：A（6）下列指标中不属于时期数的指标是（）。

A.出生人数B.货运量C.生猪存栏数D.国民生产总值标准答案：C（7）拉氏指数方法是指在编制价格综合指数时（）A.用基期的销售量加权B.用报告期的销售量加权C.用固定某一时期的销售量加权D.选择有代表性时期的销售量加权标准答案：A（8）某班有40名学生，其中男女学生各占一半，则该班学生的成数方差为（）A.50%B.25%C.20%D.10%标准答案：B（9）某厂家生产的灯泡寿命的均值为60小时，标准差为4小时。

如果从中随机抽取30只灯泡进行检测，则样本均值（）A.抽样分布的标准差为4小时B.抽样分布近似等同于总体分布C.抽样分布的中位数为60小时D.抽样分布近似等同于正态分布，均值为60小时标准答案：D（10）以下调查方法中属于概率抽样的是（）A.分层抽样B.重点调查C.典型调查D.方便抽样标准答案：A（11）1996——2000年我国房地产业经营情况：经营总收入增长了5.1倍，据此计算的年平均增长速度（增长率）为（）%A.38.2%B.50.28%C.57.16%D.43.57%标准答案：B（12）各组的组中值代表组变量值的（）A.―般水平B.最高水平C.最低水平D.随机水平标准答案：A（13）在计算加权综合指数时，指数中分子和分母的权数必须是（）。

西安交通大学2007年硕士研究生入学考试试题考试科目：经济学一、名词解释(每小题4分，共24分)1．范围经济2．生产者剩余3．古诺均衡4．公共产品5．资本的边际产量6．货币需求函数二、计算题(每小题9分，共36分)1．假定某消费者消费两种商品X和Y，Q X、P X、Q Y、P Y，分别表示商品X和Y的消费数量和价格，收入为M。

当该消费者处在均衡状态时，其无差异曲线的斜率为Q Y／Q X。

求该消费者对商品X的：(1)需求函数及其需求价格弹性：(2)收入弹性，并判断商品x是否属于正常品。

2．如果一个双寡头垄断市场面临的需求曲线为P=20-Q，其中，Q l和Q2是厂商1和厂商2的产量，即Q=Q1+Q2；两家厂商的成本函数分别为：C1(Q1)=4+Q12，C2(Q2)=3+2Q22。

求：(1)两家厂商勾结为卡特尔时各自的产量及市场价格；(2)证明在卡特尔组织中哪个厂商具有更大违约冲动。

3．一个经济可以用生产函数Y=F(K,L)=K0.5L0.5来表示。

试计算：(1)人均生产函数；(2)假设没有人口增长和技术进步的话，写出稳定状态的人均资本存量函数、人均产出函数，以及作为储蓄率和折旧率函数的人均消费。

4．在一个经济中，消费函数是C=300+0.75(Y-T)．投资函数是=250-25r，政府购买G为150，税收是100，货币需求函数是(M/P)=Y-100r，货币供给M是1000，物价水平P是2．试求：(1)均衡的利率和均衡收入水平。

(2)当物价水平从2上升到4时，新的均衡的利率和均衡收入水平三、简答题(每小题10分，共60分)1．生产过程中是否会同时存在单个生产要素的边际报酬递减和规模报酬不变的情况?为什么?2．为什么MR=MC是利润最大化的必要条件?当某厂商实现了利润最大化时．他一定是盈利的吗?3．简述消费者预算线的确定及其变化。

4．为什么劳动供给曲线可能向后弯曲?5．政府通过压缩政府支出规模来降低政府购买时对一国的消费、投资和利率水平有什么影响?6．一个国家本国的国内财政政策和外国财政政策如何影响该国的实际汇率?四、论述题(每小题15分，共30分)1．试比较完全竞争市场上行业供给曲线在长期和短期的差异。

《西安交通大学考研815信号与系统（含数字信号和处理）》辅导 1西安交通大学2007年攻读硕士学位研究生考试试题一、（10分）判断题。

（1）、对连续时间周期信号x(t)进行等间隔采样得到离散时间序列x[n]，那么x[n]是一个周期序列。

（2）、若x[n]是一个有限长的因果序列，且x[0]为非零值，则其Z 变换X(Z)在z=∞处不存在任何零点或极点。

（3）一个非最小相位系统可以等效为一个全通系统和一个最小相位系统的级联。

（4）对一个因果的连续时间LTI 系统，其系统函数在有限的复平面上极点数多于零点数，则系统的单位阶跃响应在t=0一定连续。

（5）、对连续时间带通信号进行时域采样，满足使其不失真恢复的最低采样频率2M ω，其中M ω为该带通信号的最高频率。

二、（15）计算下列各题。

1.求信号⎪⎩⎪⎨⎧>≤=0,00),4cos()31(][n n n n x n π的Z 变换X(Z)及其收敛域。

2.考虑一个连续时间LTI 系统，其频率响应是⎪⎩⎪⎨⎧>≤=290,0290,1)(w w jw H ,当输入到该系统的信号x(t)是一个基波周期7π=T ，傅里叶级数系数为K a 的信号时，发现输出y(t)=x(t),问对于什么样的K 值，必有K a =0？3.已知t t t ππsin )(=Φ，求积分⎰+∞∞--Φ-Φdt n t m t )()(，其中，m,n 均为整数。

三、（10分）已知x(t)的傅里叶变换为X （jw ），假设给出下列条件：1.x(t)为实信号；2.x(t)=0,t ≤0;《西安交通大学考研815信号与系统（含数字信号和处理）》辅导 23.{}t jwn e t d e jw X -+∞∞-=⎰ωπ)(Re 21；求x(t)的闭式表达式。

四、某连续时间LTI 系统如下图所示，已知该系统最初是松弛的。

（1）求整个系统的系统函数H(S)，并指出其收敛域。

（2）求该系统的单位冲激响应h(t)，（3）给出该系统的零极点图，并概略画出系统的幅频特性，（4）若系统的输出信号为y(t)=)(4t u et -,求系统的输入信号x(t)，要求x(t)是因果的。

统计西安交⼤期末考试试题（含答案）西安交⼤统计学考试试卷⼀、单项选择题（每⼩题2 分，共20 分）1.在企业统计中，下列统计标志中属于数量标志的是（C）A、⽂化程度B、职业C、⽉⼯资D、⾏业2.下列属于相对数的综合指标有（B ）A、国民收⼊B、⼈均国民收⼊C、国内⽣产净值D、设备台数3.有三个企业的年利润额分别是5000 万元、8000 万元和3900 万元，则这句话中有（B）个变量？A、0 个B、两个C、1 个D、3 个4.下列变量中属于连续型变量的是（A ）A、⾝⾼B、产品件数C、企业⼈数D、产品品种5.下列各项中，属于时点指标的有（A ）A、库存额B、总收⼊C、平均收⼊D、⼈均收⼊6.典型调查是（B ）确定调查单位的A、随机B、主观C、随意 D 盲⽬7.总体标准差未知时总体均值的假设检验要⽤到（A ）：A、Z 统计量B、t 统计量D、X 统计量8.把样本总体中全部单位数的集合称为（A ）A、样本B、⼩总体C、样本容量D、总体容量9.概率的取值范围是p（D ）A、⼤于1B、⼤于－1C、⼩于1D、在0 与1 之间10.算术平均数的离差之和等于（A ）A、零B、1C、－1D、2⼆、多项选择题（每⼩题2 分，共10 分。

每题全部答对才给分，否则不计分）1.数据的计量尺度包括（ABCD ）：A、定类尺度B、定序尺度C、定距尺度D、定⽐尺度E、测量尺度2.下列属于连续型变量的有（BE ）：A、⼯⼈⼈数B、商品销售额C、商品库存额D、商品库存量E、总产值3.测量变量离中趋势的指标有（ABE ）A、极差B、平均差C、⼏何平均数D、众数4.在⼯业企业的设备调查中（BDE ）A、⼯业企业是调查对象B、⼯业企业的所有设备是调查对象C、每台设备是填报单位D、每台设备是调查单位E、每个⼯业企业是填报单位5.下列平均数中，容易受数列中极端值影响的平均数有（ABC ）A、算术平均数B、调和平均数C、⼏何平均数D、中位数E、众数三、判断题（在正确答案后写“对”，在错误答案后写“错”。

2(0,)N σ15)X 是来自225122156)X X X ++++服从的分布是___ 机变量X 服从数为λ的]2)1=，则λ= 设两个随机变量X 与Y 的方差分别为共 4 页 第 1 页共4 页第2 页,)X为来自总体n求（1）θ的矩估计；(10分)设ˆθ是一定是θ的相合估计。

共4 页第3 页共4 页第4 页西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准课程名称：概率论与数理统计（A ） 课时：48 考试时间：2007 年7 月9 日(200,169)N 180200169P -⎧⎨⎩1.54)＝0.93941()x dx =⎰1X θ=+,得1()(nk f θ==∏,),n1,,),n 当0,)nln k x ∑，求导得似然方程0=其唯一解为2，故θ的极大似然估优于页1(1,F n -(24,19)=0.429,21.507≈∈2的条件下，进一步检验假设：2μ<。

选取检验统计量12(t n n +0.05(43)t =-2.647 1.681-<-)B=)1Y≥=个人在第一层进入十八层楼的电梯，假如每个人以相同的概率从任个人在不同楼层走出电梯的概2=-1Xe-5,,X 都服从参数为分布，若将它们串联成整机，求整机寿命的分布密度。

分）某汽车销售点每天出售的汽车数服从参数为且每天出售的汽车数是相互独立的，西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准课程名称：概率论与数理统计（A）课时：48 考试时间：2008 年7 月9 日三、1exp(),5 X2 (5,)B e-，∴四、设1iX⎧=⎨⎩第,n1n-第 1页1,2,,5min {k X 5,0,x e λ--0,x > exp(5)λ,365,(3652,365iN ⨯⨯3652)3652-⨯=⨯七、()E X dx θθ==+1X θθ=+2⎪⎫； 1)(ni θ==∏()ln nθθ= 第 2 页(0,1)N 的样本9,)X 是来自正态总体N 的置信区间为 分）某卡车为乡村小学运送书籍，共装有1,2,,n.设各部件的状态相互独立，以转中同时需要调整的部件数，求(E X,)X是来自总体的一组样本nˆμ,它是否是的极大似然估计量*μ，它是否是西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准(A)n，则X,nX相互独立，1,2,i n= ()E X=()D X: (1)0x y<<<⎰⎰10000,X独立同分布，1,2,n ，因此当,)n x 中最小值时，的极大似然估计量为 ,}n X 2,}n X X 分布函数是1(1(X F z --，分布密度是((Z x f z μμ>≤ ()n x nxe dx μ--=12min{,,}n X X X 不是统计量X T S -=代入数据()Pλ，且已知{(,)=G x y，X）为来自总体服从参数为…,n，λ>服从以λ(0)求该样本的联合密度函数共2 页第1 页5,,X 是独立同分布的随机变量，其共同密度函数为：，试求5,,)Y X =的数学期望和方差。

第一部分　初试历年真题
2015年西安交通大学经济与金融学院432统计学[专业硕士]考研真题（回忆版）2014年西安交通大学经济与金融学院432统计学[专业硕士]考研真题（回忆版）第二部分　复试历年真题
2016年西安交通大学经济与金融学院应用统计硕士复试真题（回忆版）
2015年西安交通大学经济与金融学院应用统计硕士复试真题（回忆版）
2013年西安交通大学经济与金融学院应用统计硕士复试真题（回忆版）
2012年西安交通大学经济与金融学院应用统计硕士复试真题（回忆版）
第一部分　初试历年真题
2015年西安交通大学经济与金融学院432统计学[专业硕士]考研真题（回忆版）
西交大的真题不太容易找
下午考完跟大家分享下西交15年432统计学题型
总分150分
题型分三种：
一、选择题（15×2=30分）
二、简答题（5×10=50分）
题目涉及要点如下：
1．以总体均值来举例说明双侧检验与单侧检验拒绝域的不同。

答：对总体均值进行单侧和双侧检验的拒绝域分别为：
（1）双侧检验
①在双侧检验中，原假设和备选假设一般是：，；
②拒绝域：双侧检验的拒绝域一般是均匀分布在左右两侧，即|z|>|zα/2|。

（2）单侧检验
①在左单侧检验中，原假设和备选假设一般是：，。

其拒绝域为：|z|＜|zα|，α为显著性水平。

②在右单侧检验中，原假设和备选假设一般是：，。

其拒绝域为：|z|＞|zα|，α为显著性水平。

2.CPI指数编制的相关问题。

说明：由于回忆版真题描述不够准确，这里针对不同侧重点给出两种答案。

答：答案一：。

2007硕士研究生《数理统计》考题题中可能涉及的值：645.105.0=z ，1824.3)3(025.0=t ,3534.2)3(05.0=t ,5706.2)5(025.0=t ， 7459.1)16(05.0=t ，44.3)8,8(05.0=F ，)2(205.0χ=5.991,)3(205.0χ=7.815一．填空题（每题3分，共36分）1.向某一目标发射炮弹，设炮弹的弹着点到目标的距离为R 单位 , R 服从瑞利分布，其概率 密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,252)(25/2r r e r r f r R ，若弹着点离目标不超过5个单位时，目标被摧毁。

则（1）发射一发炮弹能摧毁目标的概率为_______(2)为使至少有一枚炮弹能摧毁目标的概率不小于0.95， 则最少需要发射的炮弹数为________枚。

2.已知3,2,1,=i X i ，相互独立，且i X D i /1)(=，若∑==311i i a ， ∑==31i i i X a Y ，要使)(Y D 达到最大，则1a =_________;2a =__________.3．设总体)1,0(~N X ，161,,X X 是其一简单随机样本，2S 为样本方差))((22σ=S E ，则)(2S D =________; ~ (2162)1X X ++________;~/1516221∑=i i XX ___________.4．某批电子元件的寿命服从均值为θ的指数分布，现从中抽取n 个元件在0=t 时同时投入寿命实验，截止时刻为T ，且已知到T 为止共有r 个元件损坏。

(1)若此r 个元件具体损坏时刻未知，则θ的最大似然估计为__________;（2）若此r 个元件具体损坏时刻分别为r t t t ≤≤≤ 21，则θ的最大似然估计为__________.5．对于具有s 个水平的单因素A 实验方差分析（水平i A 对应的总体为),(2σμi N , （i=1,2,…,s ），现取样，设各水平下的样本容量之和为n,以T E A S S S ,,分别表示因素A 的效 应平方和、误差平方和、总偏差平方和，则（1）T E A S S S ,,之间的关系是___________；（2）在s μμ==...1成立的条下，~)/()1/(s n S s S E A --___________；（3）在显著性水平α下，假 设“s H μμ==...:10，s H μμ,...,:11不全相等”的拒绝域形式是_________二．（10分）已知甲乙两地新生婴儿身高都是服从正态分布的随机变量，分别以X ，Y 表示，假设),(~),,(~2221σμσμN Y N X （参数均未知），且相互独立，现从两总体中分别取样，容量均为9，样本值分别为46，47，…，54和51，52，…，59.（1）求21μμ-的置信水平为90%的双侧置信区间；（2）求2221/σσ的置信水平为90%的双侧置信区间。

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一、名词解释（每小题4分，共24分）1．范围经济答：范围经济指由厂商的范围而非规模带来的经济。

当单个企业的联合产出超过各生产一种产品的两个企业所能达到的总产量时（两个企业分配到相等的投入要素），存在范围经济。

规模经济与范围经济之间并无直接联系。

与规模经济不同，范围经济通常是企业或生产单位从生产或提供某种系列产品（与大量生产同一产品不同）的单位成本中获得节省，而这种节约来自分销、研究与开发和服务中心（像财会、公关）等部门。

测度范围经济的公式为：()()()()121212,,C q C q C q q SC C q q +-=其中，()1C q 表示生产1q 的产出所耗费的成本；()2C q 表示生产2q 的产出所耗费的成本；()12,C q q 是生产两种产出所耗费的联合生产成本。

在范围经济的情况下，联合生产成本低于各自单独生产的成本之和，因此，0SC >。

当范围不经济时，0SC <。

总之，SC 的值越大，范围经济的程度就越高。

2．生产者剩余答：生产者剩余指厂商在提供一定数量的某种产品时实际接受的总支付和愿意接受的最小总支付之间的差额。

它通常用市场价格线以下、SMC 曲线以上的面积来表示。

图1-1 生产者剩余图1-1中，厂商的生产者剩余由产量0到利润最大化产量q *之间位于市场价格以下和边际成本曲线以上的阴影部分来表示。

或者也可以说，生产者剩余等于矩形ABCD ，因为产量从0到q *的所有边际成本的总和等于产量q *的可变成本。

mnhjllyyyyyy 2007年全国硕士研究生入学统一考试数学试题数学四试题一、 选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内）（1） 当0x +→等价的无穷小量是（B ）A.1-.l n ()B +1C.1c D - （2） 设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是： (C)A .若0()limx f x x →存在，则(0)0f = .B 若0()()lim x f x f x x→+-存在，则(0)0f = .C .若0()lim x f x x →存在，则'(0)f 存在 .D 若0()()lim x f x f x x →+-存在，则'(0)f 存在（3） 如图。

连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()(),xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是：（C ） .A .(3)F 3(2)4F =-- .B (3)F 5(2)4F = .C (3)F - 3(2)4F =- .D (3)F -5(2)4F =-- （4） 设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2(,)x dx f x y dy ππ⎰⎰等于（B ） .A10arcsin (,)x dy f x y dx ππ+⎰⎰ .B 10a r c s i n (,)y d y f x y d y ππ-⎰⎰ .C 1a r c s i n 02(,)y d y f x y d x ππ+⎰⎰ .D 1arcsin 02(,)y dy f x y dx ππ-⎰⎰（5） 设某商品的需求函数为1602Q ρ=-，其中Q ，ρ分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（D ）.A 10 .B 20 .C 30 .D 40（6） 曲线1ln(1),x y e x=++渐近线的条数为（D ） .A 0 .B 1 .C 2 .D 3。

研究生教材《应用数理统计》——课后习题答案详解学号：3113312042姓名：齐以年班级：硕3079班目录第一章数理统计的基本概念 (1)第二章参数估计 (18)第三章假设检验 (36)第四章方差分析与正交试验设计 (46)第五章回归分析 (51)第六章统计决策与贝叶斯推断 (56)对应书目：《应用数理统计》施雨编著西安交通大学出版第一章 数理统计的基本概念1.1 解：∵ 2~(,)X N μσ∴ 2~(,)n X N σμ∴~(0,1)N 分布∴(1)0.95P X P μ-<=<=又∵ 查表可得0.025 1.96u = ∴ 221.96n σ=1.2 解：(1) ∵ ~(0.0015)X Exp∴ 每个元件至800个小时没有失效的概率为：8000.001501.2(800)1(800)10.0015x P X P X e dxe -->==-<=-=⎰∴ 6个元件都没失效的概率为： 1.267.2()P e e --==(2) ∵ ~(0.0015)X Exp∴ 每个元件至3000个小时失效的概率为：30000.001504.5(3000)0.00151x P X e dxe--<===-⎰∴ 6个元件没失效的概率为： 4.56(1)P e -=-1.3解：(1) X ={(x 1,x 2,x 3)|x k =0,1,2,…,k =1,2,3},p (x 1,x 2,x 3)=λx 1+x 2+x 3x 1!x 2!x 3!e −3λ,x k =0,1,2,…;k =1,2,3(2) X ={(x 1,x 2,x 3)|x k ≥0;k =1,2,3},f (x 1,x 2,x 3)=λ3e −λ(x 1+x 2+x 3), x k ≥0;k =1,2,3(3) X ={(x 1,x 2,x 3)|a ≤x k ≤b;k =1,2,3},f (x 1,x 2,x 3)=1(b−a)3, a ≤x k ≤b;k =1,2,3(4) X ={(x 1,x 2,x 3)|−∞<x k <+∞;k =1,2,3}=R 3,f (x 1,x 2,x 3)=1(2π)3/2e −12∑(x k −μ)23k=1,−∞<x k <+∞;k =1,2,31.4 解：ini n x n x ex x x P ni i 122)(ln 2121)2(),.....,(122=--∏∑==πσμσ1.5证：21122)(na a x n x a x n i ni i i +-=-∑∑==∑∑∑===-+-=+-+-=ni i ni i n i i a x n x x na a x n x x x x 1222211)()(2221.6证明 (1) ∵22112211221()()()2()()()()()nnii i i nni i i i ni i XX X X X X X X X n X X X n X μμμμμ=====-=-+-=-+--+-=-+-∑∑∑∑∑(2) ∵2221112221221()22ii i nn ni i i i i ni ni XX X X X nX X nX nX X nX =====-=-+=-+=-∑∑∑∑∑1.7证明：a) 证：)(11111+=+++=∑n n i i n x x n x)(11)(1111n n n n n x x n x x x n n -++=++=++b ）证：221111()1nn n i i S x x n ++==-+∑ 221112211121111[()]11121[()()()()]11(1)n n n i n i nn n n n n i i n n i i x x x x n n n x x x x x x x x n n n +=++++===---+++=----+-+++∑∑∑221112112[()()((1))111() ]1n n n n n n n n n nS x x x x nx x n x n n x x n ++++=+---+-+++-+22n122n 11[nS ()] 111[S ()]11n n n n n x x n n n x x n n ++=+-++=+-++ 1.8证明：显然： Zm+n ̅̅̅̅̅̅̅=nX ̅+mY ̅m+nS Z2=1m +n[∑(X i −Z m+n ̅̅̅̅̅̅̅)2n i=1+∑(Y i −Z m+n ̅̅̅̅̅̅̅)2mi=1] =1m +n[∑X i 2ni=1−2Zm+n ̅̅̅̅̅̅̅∗nX ̅+∑Y i 2−2Z m+n ̅̅̅̅̅̅̅∗mY ̅+(m +n)mi=1Zm+n ̅̅̅̅̅̅̅2] 因为: nS X 2=∑X i 2n i=1−nX ̅2 nS Y 2=∑Y i 2n i=1−nY ̅2所以:S Z2=nS X2+nS Y2m+n+1m+n[nX̅2+nY̅2−(nX̅+mY̅)2m+n] =nS X2+nS Y2m+n+m∗n(n+m)2(X̅−Y̅)21.10解:(1).∑∑====niiniixEnxnEXE11)(1)1()(=1n∙n∙mp=mpnpmpxDnxnDXDniinii)1()(1)1()(121-===∑∑==))(1()(122∑=-=niixxnESE)1(1)])1(1())1(([1)])()(())()(([1])()([1])([12222212212212p mp nn p m p mp n n p m p mp n n x E x D n x E x D n x nE x E n x x E n n i i i n i i n i i --=+--+-=+-+=-=-=∑∑∑=== 同理，（2）.λ===∑∑==ni i n i i x E n x n E X E 11)(1)1()(λnx D n x n D X D ni ini i 1)(1)1()(121===∑∑==λnn x E x D n x E x D n x nE x E n S E n i i i n i i 1)])()(())()(([1])()([1)(2122122-=+-+=-=∑∑==(3).2)(1)1()(11ba x E n x n E X E n i i n i i +===∑∑==na b x D nx n D X D ni in i i 12)()(1)1()(2121-===∑∑==12)(1)])()(())()(([1])()([1)(22122122a b n n x E x D n x E x D n x nE x E n S E ni i i n i i -⋅-=+-+=-=∑∑==(4).λ===∑∑==ni i n i i x E n x n E X E 11)(1)1()(nx D nx n D X D ni in i i 2121)(1)1()(λ===∑∑==221221221)])()(())()(([1])()([1)(λnn x E x D n x E x D n x nE x E n S E n i i i n i i -=+-+=-=∑∑==(5).μ===∑∑==ni i n i i x E n x n E X E 11)(1)1()(nx D nx n D X D ni in i i 2121)(1)1()(σ===∑∑==221221221)])()(())()(([1])()([1)(σ⋅-=+-+=-=∑∑==nn x E x D n x E x D n x nE x E n S E n i i i n i i1.11 解：由统计量的定义知，1，3，4，5，6，7为统计量，5为顺序统计量 1.12 解：顺序统计量：-4，-2.1，-2.1，-0.1，-0.1，0，0，1.2，1.2，2.01，2.22，3.2，3.21中位数Me=0 极差R=（3.21+4）=7.21 再抽一个样本2.7，则顺序统计量变为：-4，-2.1，-2.1，-0.1，-0.1，0，0，1.2，1.2，2.01，2.22，2.7，3.2，3.21 此时，样本中位数Me=(0+1.2)/2=0.61.13解： F 20x={ 0 , x <0620, 0≪x <11320, 1≪x <21620, 2≪x <31820, 3≪x <41 , x ≫41.14解:利用伽马分布的可加性 X~Γ(α,λ) 则Y =∑X i ~Γ(nα,λ)n i=1X ̅=Y nf Y (y )=λnαy nα−1Γ(nα)e −λy,y >0根据随机变量函数的概率密度公式得：f X ̅(x )=λnα(nx)nα−1Γ(nα)e −λnx∗n =λnαn nαx nα−1Γ(nα)e −λnx ,x >01.15解：运用顺序统计量的概率密度公式 (1) f (m)(x )=n!(m−1)!(n−m )![F (x )]m−1[1−F (x )]n−m f(x) 1≪m ≪n (2) f (k)(j)(x )=n!(k−1)!(j−k−1)!(n−j )![F (x )]k−1[F (y )−F (x )]j−k−1[1−F (y )]n−j f(x)f(y) 1≪k<j ≪n (3) 样本极差R =X (n)−X (1), 其中X (n)和X (1)的概率密度可由（1）得到，再根据函数关系可推出R 的概率密度函数 1.16解:X i −μσ~N(0,1)(X i −μσ)2~χ2(1)故：∑(X i −μσ)2~ni=1χ2(n )1.17 证：),(~ λαΓXx ex x f λαααλ--Γ=∴1)()( 令kXY =ke ky kke ky yf ky ky⋅Γ=⋅Γ=∴----λαααλαααλαλ11)()( )()()(即 ),(~ky Y αΓ1.18 证：),(~ b a X β),()1()( 11b a B x xx f b a ---=∴),(),( ),()1()( 11b a B b k a B b a B x x x X E b a k k +=-=∴⎰∞+∞---),(),1()( b a B b a B X E +=∴ba a ab a b a b a a a a b a b a a a b b a b a b a +=Γ+Γ++ΓΓ=Γ++Γ+Γ+Γ=ΓΓ+Γ⋅++ΓΓ+Γ=)()()()()()()1()()1()()()()1()()1(),(),2()(2b a B b a B X E +=))(1()1()()()()2()()2(b a b a a a a b b a b a b a ++++=ΓΓ+Γ⋅++ΓΓ+Γ= 22)]([)()( X E X E X D -=∴2))(1())(1()1(b a b a ab ba ab a b a a a +++=+-++++=1.19 解：∵ ~(,)X F n m 分布2212(1)022()((1))()(1)()()()(1)()()n n m n mn m yn m y n mn nP Y y P X X y m myP X y n n n x x dx m m m++--+≤=+≤=<-Γ=+ΓΓ⎰2222122221122()()()1()(1)()()11(1)(1)(,)n n m n m n mn m n mf y P Y y y y y y y yy B ++----'=≤Γ=+ΓΓ----=∴ 22(1)(,)n mn n Y X X m mβ=+分布1.20 解：∵ ~()X t n 分布122212()()(()2)n n P Y y P X y P X xdxn ++-≤=≤=≤≤Γ=+112211221212122()()()(1)()1()(1)()()()n n n n n f y P Y y y y n y y n n n+++--+--'=≤Γ=+Γ=+ΓΓ∴ 2~(1,)2nY X F =分布1.21 解: (1) ∵ ~(8,4)X N 分布∴ 4~(8,)25X N 分布，即5(8)~(0,1)2X N - ∴ 样本均值落在7.8~8.2分钟之间的概率为：5(7.88)5(8)5(8.28)(7.88.2)()2220.383X P X P ---≤≤=≤≤=(2) 样本均值落在7.5~8分钟之间的概率为：5(7.58)5(8)5(88)(7.58)()2225(8)(0 1.25)20.3944X P X P X P ---≤≤=≤≤-=≤≤=若取100个样品，样本均值落在7.5~8分钟之间的概率为：10(7.88)10(8)10(8.28)(7.88.2)()2222*(0.84130.5)0.6826X P X P ---≤≤=≤≤=-= 单个样品大于11分钟的概率为：P 1=1−0.9333=0.0667 25个样品的均值大于9分钟的概率为: P 2=1−0.9938=0.0062 100个样品的均值大于8.6分钟的概率为P 3=1−0.9987=0.0013 所以第一种情况更有可能发生1.22 解：μ=2.5 2σ=36 n=5 (1)44302<<s ⇔)955,625(22∈σns 而)1(~222-n ns χσ即 )4(36522χ∈s通过查表可得 P ＝0.1929(2)样本方差落在30~40的概率为0.1929 样品均值-x 落在1.3~3.5的概率即：P{1.3<-x <3.5} ⇔P{-0.4472<σμ)(--x n <0.3727}又σμ)(--x n ~N(0,1)查标准正态分布表可得：P{1.3<-x <3.5}＝0.3179 由于样本均值与样本方差相互独立，故：这样两者同时成立的概率为P ＝0.1929⨯0.3179=0.06131.23 解：(1) ∵2~(0,)X N σ分布 ∴ 2~(0,)X N nσ分布∴ 22()~(1)nXχσ∵ 22221()()ni i a X an X an σσ===∑∴ 21a n σ=同理 21b m σ= (2) ∵ 2~(0,)X N σ分布 ∴222~(1)X χσ分布由2χ分布是可加性得：2221~()ni i X n χσ=∑()nic X t m ==∑ ∴c =(3) 由(2)可知2221~()ni i X n χσ=∑ 2221122211~(,)nni ii i n mn mi ii n i n X d Xnn dF n m XmXmσσ==++=+=+=∑∑∑∑∴ m d n =1.24证明：X n+1~N(μ,σ2) X̅~N(μ,σ2/n) X n+1−X ̅~N(0,n +1n σ2)X n+1−X̅√n +1nσ2~N(0,1)(n −1)S n∗2σ2~χ2(n −1) 所以：Y =X n+1−X ̅S n ∗√n n +1~t(n −1) 1.25 证明：∵ 211~(,)X N μσ分布∴2211()~(1)i X μχσ-∴ 1221111()~()n i i X n μχσ=-∑同理 2222212()~()n i i Y n μχσ=-∑ 1122222112211111222221122112()()~(,)()()n n i i i i n n i i i i X n n X F n n Y n Y n μσμσμσμσ====--=--∑∑∑∑第二章 参数估计2.1 (1) ∵ ~()X Exp λ分布∴ ()1E X λ=令 ˆ1X λ= 解得λ的矩估计为:ˆ1X λ= (2) ∵ (,)X U a b 分布∴ ()2a bE X +=2()()12b a D X -=令 1ˆˆ2ab A X +==22221ˆˆˆˆ()()1124n i i b a a b A X n =-++==∑ （22211n i i X X S n =-=∑）解得a 和b 的矩估计为:ˆˆaX bX =-=(3) 110()1E X x x dx θθθθ-=*=+⎰令 1ˆˆ1A X θθ==+ ∴ˆ1XXθ=- (4) 110()(1)!kk x kE X x x e dx k βββ--=*=-⎰令 ˆkX β=∴ ˆkXβ=(5) 根据密度函数有2221()22()E X a aE X a λλλ=+=++根据矩估计有1222221ˆˆˆ22ˆˆˆa A X aa A S X λλλ+==++==+解得λ和a 的矩估计为:ˆˆaX λ==(6) ∵ (,)X B m p∴ ()E X mp =令 1ˆmpA X == 解得p 的矩估计为:ˆX pm= 2.2解：（1）X 服从指数分布，λ的似然函数为：L (λ)=λn e −λ∑x i n i=1, x i>0,i =1,2,⋯,nlnL (λ)=nlnλ−λ∑x i ni=1∂lnL (λ)∂λ=nλ−∑x i ni=1解得：λ̂=1x̅（2）f (x )=1b−a,a <x <b似然函数为：L (a,b )=1(b −a)n,a <x i <b显然：a ̂=X (1) b ̂=X (n) （3）f (x )={θ x θ−1 ,0<x <10, 其他似然函数为：L (θ)=θn ∗∏x i θ−1ni=1,0<x i <1lnL (θ)=nlnθ+(θ−1)∑lnx i ni=1∂lnL (θ)∂θ=nθ+∑lnx i ni=1=0 解得：θ̂=−n ∑lnx in i=1（4） f (x )={βk(k−1)!x k−1e −βx ,x >00, x ≤0似然函数为：L (β)=(βk(k −1)!)n ∗∏x i k−1ni=1∗e −β∑x i n i=1 ,x i >0 i =1,2,⋯,n lnL (β)=nk ∗lnβ−n ∗ln (k −1)!+(k −1)∑lnx i ni=1−β∑x i ni=1∂lnL (β)∂β=nkβ−∑x i ni=1=0解得：θ̂=−kx̅（5） f (x )={λ x −λ(x−a),x >a 0, x ≤a似然函数为：L (a,λ)=λn x −λ∑(x i ni=1−a) ,x i >a,i =1,2,⋯,nlnL (a,λ)=n ∗lnλ−λ∑x i ni=1+nλa ∂lnL (a,λ)∂λ=nλ−∑(x i ni=1−a)=0 解得：a ̂=X (1) , λ̂=−1X ̅−X (1)（6） X~B(m , P)P {X =k }=(m k)P k(1−P)m−k ,k =0,1,⋯,m似然函数为：L (p )=(m k)n P ∑xi n i=1(1−P)∑(m−x i )n i=1,x i =0,1,2,⋯,nlnL (p )=n ∗ln (mk)+∑x i n i=1∗lnp +∑(m −x i )ni=1∗ln (1−p)∂lnL (p )∂p=∑x in i=1p−∑(m −x i )n i=11−p=0解得：p ̂=−X̅m2.3解：∵ X 服从几何分布，其概率分布为：1()(1)k P X k p p -==-故p 的似然函数为： 1()(1)ni i x nnL p p p =-∑=-对数似然函数为：1ln ()ln ()ln(1)ni i L p n p x n p ==+--∑令 1ln ()1()01nii L p n x n p p p=∂=--=∂-∑ ∴ 1ˆpX= 2.4 解：由题知X 应服从离散均匀分布，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==其它01 1)(Nk N k x pE (X )=N+12矩估计： 令N ̂+12=710 ∴N̂=1419 极大似然估计：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它07101 1)(NN N L要使)(N L 最大，则710=N710=∴∧N2.5 解：由题中等式知：2196.196.196.1)025.01(025.0)(1S X +=+=∴+=+-Φ=∴=-Φ-∧∧∧-σμθσμμσθσμθ2.6 解：（1） 05.009.214.2=-=R0215.005.04299.05=⨯==∴∧d Rσ（2）将所有数据分为三组如下所示：0197.005.03946.005.0)05.005.005.0(316=⨯==∴=++=∴∧d R R σ 2.7 解：（1）⎩⎨⎧+<<=其它 01x 1)(θθx f θθθθθθ≠+==+=++=∴∧21)()(2121)(X E E X E ∴ X =∧θ不是θ的无偏估计，偏差为21=-∧θθ（2） θ=-)21(X E 21-=∴∧X θ是θ的无偏估计（3） 22))(()())(()(θθθθ-+=-+=∧∧X E X D E D M S E41121+=n 2.8 证：由例2.24，令2211x a x a +=∧μ，则∧μ 为μ无偏估计应 满足121=+a a因此1μ，2μ，3μ都是μ的无偏估计)()()()(21)()(2513)()(95)9491)(()())(()()(1233212221212∧∧∧∧∧∧=∧<<===+=∴+==∑μμμμμμμD D D X D D X D D X D X D D a a X D X D a D i i i2132121X X +=∴∧μ最有效2.9 证： )(~λp X λλ==∴)( )(X D X EX 是λ=)(X E 的无偏估计，2*S 是λ=)( X D 的无偏估计 )()1()())1((2*2*S E X E S X E αααα-+=-+∴λλααλ=-+=)1(∴ 2*)1(SX αα-+是λ的无偏估计2.10 解：因为2222((1))()(1)()(1)()1(1)()11(1)1E X S E X E S na E S n n a E S n n n a n nααααλαλαλαλλ**+-=+-=+--=+---=+-=- 所以 2(1)X S αα*+-是λ的无偏估计量2.11证明：X~P (λ)假设T(X 1)为θ=e −2λ的无偏估计，即： E[T(X 1)]= θ, E [T (X1)]=∑T (X )∞x=0∗λx x!e−λ=e −2λ=∑T (X )∞x=0∗λx x!=e−λ=∑(−λ)xx!∞x=0=∑(−1)x λx x!∞x=0（泰勒展开）所以T (X 1)=(−1)X 1是θ=e −2λ的唯一无偏估计。

西安交通大学2007年硕士研究生入学考试试题考试科目：经济学一、名词解释(每小题4分，共24分)1．范围经济2．生产者剩余3．古诺均衡4．公共产品5．资本的边际产量6．货币需求函数二、计算题(每小题9分，共36分)1．假定某消费者消费两种商品X和Y，Q X、P X、Q Y、P Y，分别表示商品X和Y的消费数量和价格，收入为M。

当该消费者处在均衡状态时，其无差异曲线的斜率为Q Y／Q X。

求该消费者对商品X的：(1)需求函数及其需求价格弹性：(2)收入弹性，并判断商品x是否属于正常品。

2．如果一个双寡头垄断市场面临的需求曲线为P=20-Q，其中，Q l和Q2是厂商1和厂商2的产量，即Q=Q1+Q2；两家厂商的成本函数分别为：C1(Q1)=4+Q12，C2(Q2)=3+2Q22。

求：(1)两家厂商勾结为卡特尔时各自的产量及市场价格；(2)证明在卡特尔组织中哪个厂商具有更大违约冲动。

3．一个经济可以用生产函数Y=F(K,L)=K0.5L0.5来表示。

试计算：(1)人均生产函数；(2)假设没有人口增长和技术进步的话，写出稳定状态的人均资本存量函数、人均产出函数，以及作为储蓄率和折旧率函数的人均消费。

4．在一个经济中，消费函数是C=300+0.75(Y-T)．投资函数是=250-25r，政府购买G为150，税收是100，货币需求函数是(M/P)=Y-100r，货币供给M是1000，物价水平P是2．试求：(1)均衡的利率和均衡收入水平。

(2)当物价水平从2上升到4时，新的均衡的利率和均衡收入水平三、简答题(每小题10分，共60分)1．生产过程中是否会同时存在单个生产要素的边际报酬递减和规模报酬不变的情况?为什么?2．为什么MR=MC是利润最大化的必要条件?当某厂商实现了利润最大化时．他一定是盈利的吗?3．简述消费者预算线的确定及其变化。

4．为什么劳动供给曲线可能向后弯曲?5．政府通过压缩政府支出规模来降低政府购买时对一国的消费、投资和利率水平有什么影响?6．一个国家本国的国内财政政策和外国财政政策如何影响该国的实际汇率?四、论述题(每小题15分，共30分)1．试比较完全竞争市场上行业供给曲线在长期和短期的差异。

2009<上>《数理统计》考试题<A 卷>与参考解答一、填空题〔每小题3分,共15分〕1,设总体X 和Y 相互独立,且都服从正态分布2(0,3)N ,而129(,,)X X X 和129(,,)Y Y Y 是分别来自X 和Y 的样本,则929X U Y++=++服从的分布是_______.解：(9)t ．2,设1ˆθ与2ˆθ都是总体未知参数θ的估计,且1ˆθ比2ˆθ有效,则1ˆθ与2ˆθ的期望与方差满足_______.解：1212ˆˆˆˆ()(), ()()E E D D θθθθ=<． 3,"两个总体相等性检验〞的方法有_______与_______.解：秩和检验、游程总数检验．4,单因素试验方差分析的数学模型含有的三个基本假定是_______. 解：正态性、方差齐性、独立性．5,多元线性回归模型=+Y βX ε中,β的最小二乘估计是ˆβ=_______. 解：1ˆ-''X Y β=()X X ． 二、单项选择题〔每小题3分,共15分〕1,设12(,,,)(2)n X X X n ≥为来自总体(0,1)N 的一个样本,X 为样本均值,2S 为样本方差,则____D___.〔A 〕(0,1)nXN ； 〔B 〕22()nS n χ；〔C 〕(1)()n Xt n S-； 〔D 〕2122(1)(1,1)nii n X F n X=--∑.2,若总体2(,)XN μσ,其中2σ已知,当置信度1α-保持不变时,如果样本容量n增大,则μ的置信区间____B___.〔A 〕长度变大； 〔B 〕长度变小； 〔C 〕长度不变； 〔D 〕前述都有可能.3,在假设检验中,分别用α,β表示犯第一类错误和第二类错误的概率,则当样本容量n 一定时,下列说法中正确的是____C___.〔A 〕α减小时β也减小； 〔B 〕α增大时β也增大；〔C 〕,αβ其中一个减小,另一个会增大； 〔D 〕〔A 〕和〔B 〕同时成立. 4,对于单因素试验方差分析的数学模型,设T S 为总离差平方和,e S 为误差平方和,AS 为效应平方和,则总有___A___.〔A 〕T e A S S S =+； 〔B 〕22(1)AS r χσ-；〔C 〕/(1)(1,)/()A e S r F r n r S n r ----； 〔D 〕A S 与e S 相互独立.5,在一元回归分析中,判定系数定义为2TS R S =回,则___B____. 〔A 〕2R 接近0时回归效果显著； 〔B 〕2R 接近1时回归效果显著； 〔C 〕2R 接近∞时回归效果显著； 〔D 〕前述都不对. 三、〔本题10分〕设总体21(,)XN μσ、22(,)Y N μσ,112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本,且两个样本相互独立,X Y 、和22X Y S S 、分别是它们的样本均值和样本方差,证明12(2)X Y t n n +-,其中2221212(1)(1)2X Yn S n S S n n ω-+-=+-.证明：易知221212(,)X YN n n σσμμ--+, (0,1)X Y U N =．由定理可知22112(1)(1)Xn S n χσ--,22222(1)(1)Yn S n χσ--．由独立性和2χ分布的可加性可得222121222(1)(1)(2)XYn S n S V n n χσσ--=++-．由U 与V 得独立性和t 分布的定义可得12(2)X Y t n n =+-．四、〔本题10分〕已知总体X 的概率密度函数为1, 0(),0, xe xf x θθ-⎧>⎪=⎨⎪⎩其它其中未知参数0θ>, 12(,,,)n X X X 为取自总体的一个样本,求θ的矩估计量,并证明该估计量是无偏估计量．解：〔1〕()101()xv E X xf x dx xe dx θθθ-∞∞-∞====⎰⎰,用111ni i v X X n ===∑代替,所以∑===ni iX Xn11ˆθ．〔2〕11ˆ()()()()ni i E E X E X E X n θθ=====∑,所以该估计量是无偏估计． 五、〔本题10分〕设总体X 的概率密度函数为(;)(1),01f x x x θθθ=+<<,其中未知参数1θ>-,12(,,)n X X X 是来自总体X 的一个样本,试求参数θ的极大似然估计．解：当01i x <<时,1ln ()ln(1)ln ni i L n x θθθ==++∑,令1ln ()ln 01ni i d L nx d θθθ==+=+∑,得1ˆ1ln nii nxθ==--∑．六、〔本题10分〕设总体X 的密度函数为e ,>0;(;)0,0,x x f x x λλλ-⎧=⎨≤⎩未知参数0λ>,12(,,)n X X X 为总体的一个样本,证明X 是1λ的一个UMVUE ． 证明：由指数分布的总体满足正则条件可得222211()ln (;)I E f x E λλλλλ⎡⎤∂-⎛⎫=-=-= ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦,1λ的的无偏估计方差的C-R 下界为2221221[()]11()nI n n λλλλλ-⎡⎤⎢⎥'⎣⎦==．另一方面()1E X λ=, 21Var()X n λ=, 即X 得方差达到C-R 下界,故X 是1λ的UMVUE ． 七、〔本题10分〕合格苹果的重量标准差应小于0.005公斤．在一批苹果中随机取9个苹果称重,得其样本标准差为007.0=S 公斤, 试问：〔1〕在显著性水平05.0=α下, 可否认为该批苹果重量标准差达到要求? 〔2〕如果调整显著性水平0.025α=,结果会怎样？参考数据:023.19)9(2025.0=χ,919.16)9(205.0=χ, 535.17)8(2025.0=χ,507.15)8(205.0=χ．解：〔1〕()()2222021:0.005,~8n S H σχχσ-≤=,则应有： ()()2220.050.0580.005,(8)15.507P χχχ>=⇒=, 具体计算得：22280.00715.6815.507,0.005χ⨯==>所以拒绝假设0H ,即认为苹果重量标准差指标未达到要求．〔2〕新设 20:0.005,H σ≤ 由2220.025280.00717.535,15.6817.535,0.005χχ⨯=⇒==< 则接受假设,即可以认为苹果重量标准差指标达到要求．八、〔本题10分〕已知两个总体X与Y独立,211~(,)X μσ,222~(,)Y μσ,221212, , , μμσσ未知,112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本,求2122σσ的置信度为1α-的置信区间.解：设22, X Y S S 分别表示总体X Y ，的样本方差,由抽样分布定理可知221121(1)(1)Xn S n χσ--,222222(1)(1)Yn S n χσ--,由F 分布的定义可得211222121222221222(1)(1)(1,1)(1)(1)XX YY n S n S F F n n n SS n σσσσ--==----．对于置信度1α-,查F 分布表找/212(1,1)F n n α--和1/212(1,1)F n n α---使得[]/2121/212(1,1)(1,1)1P F n n F F n n ααα---<<--=-,即22222121/2122/212//1(1,1)(1,1)X Y X Y S S S S P F n n F n n αασασ-⎛⎫<<=- ⎪----⎝⎭,所求2221σσ的置信度为α-1的置信区间为22221/212/212//, (1,1)(1,1)X Y X Y S S S S F n n F n n αα-⎛⎫ ⎪----⎝⎭． 九、<本题10分>试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤．解：建立模型、参数估计、回归方程检验、回归系数检验、变量剔除、预测．2009<上>《数理统计》考试题<B 卷>与参考解答一、填空题〔每小题3分,共15分〕1,设总体X 服从正态分布(0,4)N ,而1215(,,)X X X 是来自X 的样本,则221102211152()X X U X X ++=++服从的分布是_______. 解：(10,5)F ．2,ˆnθ是总体未知参数θ的相合估计量的一个充分条件是_______. 解：ˆˆlim (), lim Var()0n nn n E θθθ→∞→∞==． 3,分布拟合检验方法有_______与_______. 解：2χ检验、柯尔莫哥洛夫检验． 4,方差分析的目的是_______.解：推断各因素对试验结果影响是否显著．5,多元线性回归模型=+Y βX ε中,β的最小二乘估计ˆβ的协方差矩阵ˆβCov()=_______. 解：1ˆσ-'2Cov(β)=()X X ．二、单项选择题〔每小题3分,共15分〕1,设总体~(1,9)X N ,129(,,,)X X X 是X 的样本,则___B___.〔A 〕1~(0,1)3X N -； 〔B 〕1~(0,1)1X N -； 〔C 〕1~(0,1)9X N -； 〔D~(0,1)X N ． 2,若总体2(,)XN μσ,其中2σ已知,当样本容量n 保持不变时,如果置信度1α-减小,则μ的置信区间____B___.〔A 〕长度变大； 〔B 〕长度变小； 〔C 〕长度不变； 〔D 〕前述都有可能.3,在假设检验中,就检验结果而言,以下说法正确的是____B___. 〔A 〕拒绝和接受原假设的理由都是充分的；〔B 〕拒绝原假设的理由是充分的,接受原假设的理由是不充分的； 〔C 〕拒绝原假设的理由是不充分的,接受原假设的理由是充分的； 〔D 〕拒绝和接受原假设的理由都是不充分的.4,对于单因素试验方差分析的数学模型,设T S 为总离差平方和,e S 为误差平方和,AS 为效应平方和,则总有___A___.〔A 〕T e A S S S =+； 〔B 〕22(1)AS r χσ-；〔C 〕/(1)(1,)/()A e S r F r n r S n r ----； 〔D 〕A S 与e S 相互独立.5,在多元线性回归分析中,设ˆβ是β的最小二乘估计,ˆˆ=-εY βX 是残差向量,则___B____.〔A 〕ˆn E ()=0ε； 〔B 〕1ˆ]σ-''-εX X 2n Cov()=[()I X X ； 〔C 〕ˆˆ1n p '--εε是2σ的无偏估计； 〔D 〕〔A 〕、〔B 〕、〔C 〕都对.三、〔本题10分〕设总体21(,)XN μσ、22(,)Y N μσ,112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本,且两个样本相互独立,X Y 、和22X Y S S 、分别是它们的样本均值和样本方差,证明12(2)X Y t n n +-,其中2221212(1)(1)2X Yn S n S S n n ω-+-=+-.证明：易知221212(,)X YN n n σσμμ--+, (0,1)X Y U N =．由定理可知22112(1)(1)Xn S n χσ--,22222(1)(1)Yn S n χσ--．由独立性和2χ分布的可加性可得222121222(1)(1)(2)XYn S n S V n n χσσ--=++-．由U 与V 得独立性和t 分布的定义可得12(2)X Y t n n =+-．四、〔本题10分〕设总体X 的概率密度为1, 0,21(;), 1,2(1)0, x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他，其中参数01)θθ<<（ 未知,12()n X X X ，，，是来自总体的一个样本,X 是样本均值,〔1〕求参数；的矩估计量θθˆ〔2〕证明24X 不是2θ的无偏估计量．解：〔1〕101()(,)22(1)42x x E X xf x dx dx dx θθθθθθ+∞-∞==+=+-⎰⎰⎰,令()X E X =,代入上式得到θ的矩估计量为1ˆ22X θ=-． 〔2〕222211141 (4)44[()]4()424E X EX DX EX DX DX n nθθθ⎡⎤==+=++=+++⎢⎥⎣⎦,因为()00D X θ≥>，,所以22(4)E X θ>．故24X 不是2θ的无偏估计量．五、〔本题10分〕设总体X 服从[0,](0)θθ>上的均匀分布,12(,,)n X X X 是来自总体X 的一个样本,试求参数θ的极大似然估计． 解：X 的密度函数为 似然函数为显然0θ>时,()L θ是单调减函数,而{}12max ,,,n x x x θ≥,所以{}12ˆmax ,,,nX X X θ=是θ的极大似然估计． 六、〔本题10分〕设总体X 服从(1,)B p 分布,12(,,)n X X X 为总体的样本,证明X 是参数p 的一个UMVUE ．证明：X 的分布律为1(;)(1),0,1x x f x p p p x -=-=．容易验证(;)f x p 满足正则条件,于是21()ln (;)(1)I p E f x p p p p ⎡⎤∂==⎢⎥∂-⎣⎦． 另一方面1(1)1Var()Var()()p p X X n n nI p -===, 即X 得方差达到C-R 下界的无偏估计量,故X 是p 的一个UMVUE ．七、〔本题10分〕某异常区的磁场强度服从正态分布20(,)N μσ,由以前的观测可知056μ=．现有一台新仪器, 用它对该区进行磁测, 抽测了16个点, 得261, 400x s ==,问此仪器测出的结果与以往相比是否有明显的差异<α=0.05>．附表如下：t 分布表 χ2分布表解：设0H ：0=μμ．构造检验统计量)15(~0t ns X t μ-=,确定拒绝域的形式2t t α⎧⎫>⎨⎬⎩⎭．由05.0=α,定出临界值1315.2025.02/==t t α,从而求出拒绝域{}1315.2>t ．而60,16==x n ,从而||0.8 2.1315t ===<,接受假设0H ,即认为此仪器测出的结果与以往相比无明显的差异．八、〔本题10分〕已知两个总体X与Y独立,211~(,)X μσ,222~(,)Y μσ,221212, , , μμσσ未知,112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本,求2122σσ的置信度为1α-的置信区间.解：设布定理知的样本方差，由抽样分，分别表示总体Y X S S 2221 , []/2121/212(1,1)(1,1)1P F n n F F n n ααα---<<--=-,则222221211221/2122/212//1(1,1)(1,1)S S S S P F n n F n n αασασ-⎛⎫<<=- ⎪----⎝⎭, 所求2221σσ的置信度为α-1的置信区间为222212121/212/212//, (1,1)(1,1)S S S S F n n F n n αα-⎛⎫ ⎪----⎝⎭．九、<本题10分>试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤．2011-2012〔下〕研究生应用数理统计试题〔A 〕1 设,,,12X X X n 为正态总体()2~X N μσ，的样本,令11nd X i ni μ=-∑=,试证()E d ,()221D d n σπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.<10分> 2设总体X 服从正态()2N μσ，,,,,12X X X n 为其样本,X 与2S 分别为样本均值与方差.又设1X n +与,,,12X X X n 独立同分布,试求统计量Y .〔其中122()11n S X X i n i =-∑-=〕<10分> 3其中(01)θθ<<为未知参数,已知取得了样本值1231,2,1x x x ===,求θ的矩估计和最大似然估计. <10分>4证明样本k 阶原点矩=k A ∑=n i k i X n 11是总体X 的k 阶原点矩=k μ)(kX E 的无偏估计量.<10分>5假定某商场某种商品的月销售量服从正态分布),(2σμN ,σμ,未知.为了决定商店对该商品的进货量,需对μ作估计,为此,随机抽取若干月,其销售量分别为：64,57,49,81,76,70,59,求μ的置信度为0.95的置信区间.<10分>6 一种元件,要求其使用寿命不得低于1000〔小时〕.现在从一批这种元件中随机抽取25件,测得其寿命平均值为950〔小时〕.已知该种元件寿命服从标准差100σ=〔小时〕的正态分布,试在显著水平0.05下确定这批元件是否合格.<10分>7 某小学一年级共有三个班级,在一次数学考试中从三个班随机抽取12,15,13个学生的成绩.设学生成绩服从正态分布且方差相等,样本的方差分析表如下表1所示,问在显著性水平为0.05时,三个班的平均成绩有无显著差异？<10分>8果见表2.〔15分〕（1） 各因素与交互作用的主次顺序〔指标y 越大越好〕. （2） 试找最优工艺条件.（3） 在显著水平α=0.05下,哪些因素的影响显著？表29营业税税收总额y 与社会商品零售总额x 有关.为了利用社会商品零售总额预测税收总额,现收集了以下数据,见表3.〔15分〕〔1〔2〕在显著水平α=0.05下检验回归方程的线性性.〔3〕预测当社会商品零售总额300=x 亿元时的营业税的平均税收总额. 附表：2011-2012〔下〕研究生应用数理统计试题〔A 〕1 设,,,12X X X n 为正态总体()2~X N μσ，的样本,令11ndX i ni μ=-∑=,试证()E d ,()221D d n σπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.<10分> 2设总体X 服从正态()2N μσ，,,,,12X X X n 为其样本,X 与2S分别为样本均值与方差.又设1X n +与,,,12X X X n 独立同分布,试求统计量Y .〔其中122()11n S X X i n i =-∑-=〕<10分> 3 其中(01)θθ<<为未知参数,已知取得了样本值1231,2,1x x x ===,求θ的矩估计和最大似然估计. <10分>4证明样本k 阶原点矩=k A ∑=n i k i X n 11是总体X 的k 阶原点矩=k μ)(kX E 的无偏估计量.<10分>5假定某商场某种商品的月销售量服从正态分布),(2σμN ,σμ,未知.为了决定商店对该商品的进货量,需对μ作估计,为此,随机抽取若干月,其销售量分别为：64,57,49,81,76,70,59,求μ的置信度为0.95的置信区间.<10分>6 一种元件,要求其使用寿命不得低于1000〔小时〕.现在从一批这种元件中随机抽取25件,测得其寿命平均值为950〔小时〕.已知该种元件寿命服从标准差100σ=〔小时〕的正态分布,试在显著水平0.05下确定这批元件是否合格.<10分>7 某小学一年级共有三个班级,在一次数学考试中从三个班随机抽取12,15,13个学生的成绩.设学生成绩服从正态分布且方差相等,样本的方差分析表如下表1所示,问在显著性水平为0.05时,三个班的平均成绩有无显著差异？<10分>8某问题是一个四因素二水平试验,选用L 8〔2〕正交表,要考虑A×B ,试验方案设计与试验结果见表2.〔15分〕（4） 各因素与交互作用的主次顺序〔指标y 越大越好〕. （5） 试找最优工艺条件.（6） 在显著水平α=0.05下,哪些因素的影响显著？9营业税税收总额y 与社会商品零售总额x 有关.为了利用社会商品零售总额预测税收总额,现收集了以下数据,见表3.〔15分〕表3 单位：亿元〔1〔2〕在显著水平α=0.05下检验回归方程的线性性.〔3〕预测当社会商品零售总额300=x 亿元时的营业税的平均税收总额. 附表：第 1 页 共 3 页##交通大学研究生试卷考试科目：数 理 统 计考试时间：2008 年 1 月 8 日 时—— 时 考试方式： 闭卷 学 号： __ 成 绩F 分布的上侧分位数：0.025(9 9) 4.03F =，,0.05(2 12) 3.89F =，.一．填空题〔本题分值为30〕 (1) 设1,,n X X 为i.i.d.,其含义是.(2)设~(0,1)U N ,若有{}P U c α<=(01)α<<,则c=〔用(0,1)N 分布的上侧分位数符号表示〕.(3)设11,,,,,n n n m X X X X ++为正态总体2(0,)N σ的样本,若要则a =,b =,c =.(4) 写出估计参数最常用的三种方法：,,. (5)若参数假设问题0011::H H θθΘΘ∈↔∈的拒绝域为W ,则该检验犯第I 类错误的概率1p =,犯第II 类错误的概率2p =. 二．〔本题分值为12〕已知总体X 的概率密度函数为11122211exp ,(;,) 0, x x f x x θθθθθθθ⎧⎧⎫-->⎨⎬⎪=⎨⎩⎭⎪<⎩,12(,0)θθ-∞<<+∞> 设1,,n X X 是总体X 的样本,求未知参数12,θθ的矩估计.五．〔本题分值为12〕〔1〕完成下列方差分析表中欠缺的项目：〔3〕由上述方差分析表,检验各组均值是否有显著差异(0.05)α=？〔4〕已知在因素的每一水平上进行等重复试验,且算得187.2x =,255.4x =,求12μμ-的95%置信区间六．〔本题分值为6〕假设(,)i i x y 满足线性回归关系：i i i y a bx ε=++, 〔1,,i n =〕其中1,,n εε为i.i.d.且21~(0,)N εσ,1,,n x x 不全相同,试用极大似然法估计参数,a b .七．〔本题分值为6〕设1,,n X X 是取自2(0,)N σ的样本,其中0σ>为未知参数.〔1〕问11ni i X n σ==∑是否为σ的无偏估计？〔若认为是σ的无偏估计,请给出证明；若认为不是,对它作适当的修正,给出σ的无偏估计.〕 〔2〕针对〔1〕的讨论结果,求σ的无偏估计的〔有〕效率.八．〔本题分值为5〕设~(,1)X N μ,其中μ为未知参数,()F x 为X 的分布函数.又设常数c 满足等式：()0.975F c =.先从总体X 抽取一个样本,算得 3.04x =,求c 的极大似然估计值. 九．〔本题分值为5〕设1,,n X X 为取自总体X 的样本,已知总体X 的分布函数()F x 为连续函数,证明(1)()~(1,)F X n β,其中(1)X 是第一顺序统计量〔已知(1,)n β分布的概率密度为1(1), 01(;1,) 0, n n x x f x n -⎧-<<=⎨⎩其他〕.试卷清晰度较差,部分数据可能有误,自己看着参考.若我看错了,忘见谅！这X 试卷效果实在太差,很多内容看不太清,部分数据可能有误,但类型应该差不多,若我看错了,忘见谅！##交通大学研究生课程考试题〔数理统计2002〕一．〔本题满分14分〕已知某零件的长度服从正态分布2(,)N u σ,其中225.5mm σ=,从一大堆这种零件中随机抽取n 个,测量其长度.现用子样均值X 来估计母体均值u ,此时： （1） 若要估计量的标准差在12mm 之下,n 应取多大？（2） 若要估计误差的绝对值超过1mm 的概率在1%以下,n 应取多大？ 二．〔本题满分20分〕判断下列命题的真伪并简述理由： 1."统计量〞与"估计量〞是同一概念.2."点估计〞与"区间估计〞的关系为：前者是后者的一种…………〔瞅不清〕3.设母体X 的均值和方差都存在,123,,X X X 为来自母体X 的一个简单随机子样,则11231()3X X X θ=++与2123111236X X X θ=++都是()E X 的无偏估计,且1ˆθ比2ˆθ有效.〔4〕在一个确定的假设检验问题中,其判断结果不但与其检验水平a 有关,而且与抽到的子样有关. 四．〔本题满分14分〕 已知某种设备的工作温度服从正态分布,现作十次测量,得数据〔C 〕1250 1275 1265 1245 1260 1255 1270 1265 1250 1240 （1） 求温度的母体均值u 的95%置信区间. （2） 求温度母体标准差σ的95%置信区间. 五．〔本题满分14分〕设有两个独立的来自不同的正态母体的子样：〔-4.4,4.0,2.0,-4.8〕〔6.0,1.0,3.2,-4.0〕问能否认为两个字样来自同一母体〔0.05α=〕？ 六．〔本题满分12分〕下面的数据给出了三个地区人的血液中的胆固醇的含量别？〔0.05α=〕 七．〔本题满分15分〕在某乡镇,随机地走访了十户居民加,得其家庭月收入〔x 〕与日常开支〔y 〕的子样数据如下〔单位：元〕收入x ：820 930 1050 1300 1440 1500 1600 1800 2000 2700 支出y ：750 850 920 1050 1200 1300 1300 1450 1560 2000 （1） 求日常开支y 与家庭月收入x 间的经验回归方程； （2） 检验回归效果是否显著？〔0.05α=〕（3） 对02200x =〔元〕,给出y 的置信概率为95%的预测区间. 八．〔本题满分6分〕已知母体X 为一个连续型随机变量,X 的分布函数是()F x ,设12,,n X X X 是来自母体X的简单随机子样,试证随机变量12ln[()]nii Y F X ==-∑〔瞅不清,似乎是〕服从2(2)n χ分布.一．〔本题满分20分〕 填空题：1. 设1210,,X X X 是来自正态母体2(,)N μσ的一个简单随机子样,其中μ,2σ已知.填充下列统计量的分布与其相应参数： A ．9222X X μμσσ-++~<>B.10212()ii Xμσ=-∑~<>C.62110272()3()i i i i X X μμ==--∑∑~<>2.设有一母体X ,其均值EX μ=,方差2DX σ=以与四阶矩4EX 都存在,12,,n X X X 是来自母体X 的简单随机子样.则μ的无偏估计量为,相合估计量为；2σ的无偏估计量为,相合估计量为.二．〔本题满分20分〕选择题〔从A~E 中选择一个完整的答案,填入指定处〕 1.设~(0,1)X N ,则P {X >}=1a -〔01a <<〕.A ．a u B.a u - C.1a u - D.B 或C E. A~D 的答案皆错2.设~(,)F F m n ,则P {F >}=1a -〔01a <<〕.A ．(,)a F m n - B.1(,)a F m n - C.(,)a F m n D. 1(,)a F n m - E. B 或D3.设检验假设0: =H θθ的一个检验法则犯第一类错误的概率为P<I>,检验的显著水平为α,则.A ．P<I>=1α- B. P<I>=/2α C. P<I>=α D. P<I>1α≥- E. C 或D 4,设12,,n X X X 是来自正态母体2(,)N μσ的子样,其中μ未知,2σ已知,则是统计量. A.22Sσ; B.1()X μ-; C.12X X +； D.A 和C ； E.A 和B5.设母体X 与Y 的分布式任意的,但分别是具有有限的非零方差,记1EX μ=,2EY μ=,现独立地从两母体中各取一个子样,子样容量分别是1n 和2n .在大子样下,我们可以推出12μμ-的置信概率近似为1α-的置信区间.这里所谓的大子样,一般是指.A ．150n ≥；B ．250n ≥； C.1250n n +≥； D.A 且B ； E.A~D 的答案皆错 三．〔本题满分20分〕设母体X 的概率密度为1. 求θ的矩估计量和最大似然估计量；2. 用以上方法求得的估计量是否为θ的无偏估计？是否为θ的相合估计？ 四．〔本题满分14分〕已知某种设备的工作温度服从正态分布,现对该温度作10次测量,得数据〔C 〕 1250 1275 1265 1245 1260 1255 1270 1265 1250 12401. 求温度的母体均值μ的95%置信区间；2. 求温度的母体标准差σ的95%置信区间. 五．〔本题满分14分〕设有两个独立的来自不同正态母体的子样(-4.4, 4.0, 2.0, -4.8),(6.0, 1.0, 3.2, -4.0)问能否认为两个子样来自同一母体〔0.05α=〕？〔提示：首先检验两母体的方差是否相同,其次检验两母体的均值是否相同〕 六．〔本题满分6分〕设母体~(,1)X N μ,希望检验假设01:6:7H H μμ=↔=.若从该母体中取出容量为4的简单随机子样,并采用如下检验法则：当7X ≥时,拒绝0H ,接受1H ；当7X <时,接受0H ,拒绝1H .求上述检验法则犯第一、二类错误的概率. 七．〔本题满分6分〕设(),(,)t n F m n αα分别表示(),(,)t n F m n 分布相应的上侧分位数, 求证：2()(1,)t n F n αα⎡⎤=⎣⎦〔限时间、心情、眼力和水平所限,可能有个别错误的地方,忘海涵,有错的地方可以指出来,大家共同讨论一下〕##交通大学考试题数理统计20##一． 填空1. 设1210,,X X X 是来自正态总体(0,4)N 的样本,则c =,m =2. 用()x Φ表示标准正态分布(0,1)N 的分布函数,则()x Φ-与()x Φ的关系为()x Φ-=3. 已知~()T t n ,则2~T .4. 设总体X 的概率密度为(;)f x θ,则参数θ估计的费歇〔Fisher 〕信息量()I θ= .二． 选择题〔填A,B,C,D,有几个正确填几个,若都不正确,则填E 〕1. 设1220(,,)X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的样本,统计量1022211(2)i i i S X X -==-∑,则A ．221~(9)5S χσ B.221~(9)3S χσC ．221~(10)5S χσ D.221~(10)3S χσ2. 独立地分别从两总体X 和Y 中抽得大小各为m 和n 的样本,其样本均值分别为X 和Y ,则()D X Y -=.A ．22()()D X D Y m n - B.22()()D X D Y m n +C.()()D X D Y m n - D. ()()D X D Y m n +3. 设12,,n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的样本,其中μ已知,而2σ未知,则下列是统计量的是.A ．6X X + B.2211nii Xσ=∑C ．21nii X μσ=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑ D.228()2X X μμ-++ 4. 设~(6,8)F F ,则.A ．1{(6,8)}P F F αα-<= B.1{}(8,6)P F F αα>=C.12{(6,8)}P F Fαα->= D.1{}(8,6)P F F αα<=三． 为比较A 、B 两型灯泡的寿命,随机抽取A 型灯泡5只,测得平均寿命x =1000〔小时〕,标准差A s =28〔小时〕；随机抽取B 型等泡7只,测得平均寿命y =980〔小时〕,标准差B s =32〔小时〕,设总体都是正态的,试在显著性水平之下(0.05)α=检验两总体寿命分布是否相同.四． 想要考察特定一群人的收入与其花在书籍报纸上的支出有无关系,把收入分成高、中、试在水平之下检验收入与书报上支出有无关联.五． 在硝酸钠〔3NaNO 〕的溶解度试验中,测得在不同温度x ()C 下,溶解于9份水中的硝酸钠份数y 的数据如下表：x0 4 10 15 21 29 36 51 68y 66.7 71.0 76.3 80.6 85.7 92.9 99.4 113.6 125.1假设y 与x 之间有线性关系,在正态假定下,求y 在x 的置信度为95%的预测区间,并求025x =的预测区间.六． 设自一大批产品中随机抽出200个产品,发现其中120个是一等品,求这大批产品的一等品率的95%置信区间. 七． 今有两台测量合金材料中某种金属含量的光谱仪,为鉴定他们的测量准确性有无显著差异,对9件含该金属分别为129,,,x x x 〔不等〕的合金材料进行测量,第一台测量结果服从正态分布211(,)t N x δσ+,1,2,,9t =；第二台测量结果服从222(,)t N x δσ+,1,2,,9t =.测得的9对观测值如下：第一台 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00第二台 0.10 0.21 0.52 0.32 0.78 0.59 0.68 0.77 0.89问能否认为第一台的测量值比第二台显著偏大〔0.05α=〕？〔注：此题甚不清晰,数据可能有一两个有误,211(,)t N x δσ+和222(,)t N x δσ+也不是很清晰,题意差不多,知道方法就行.〕 八． 设12,,n X X X 是来自总体X的样本〔2n >〕,总体的概率密度为(),(;,) 0 ,x a e x af x a x aλλλ--⎧≥=⎨<⎩当当〔参数0λ>〕1. 设λ=,试求参数a 的最大似然估计. 2. 设0a =,试求参数λ的矩估计.3. 设0a =,试推导2n X λ服从的分布,其中11ni i X X n ==∑.4. 设0a =,试计算ˆ()E λ,并求k ,使*ˆˆk λλ=为λ的无偏估计.〔2()x χ分布密度在写着.在附录中,但试卷上没有,看书上的〕〔限时间、眼力和水平所限,难免有些地方出错,忘海涵,谁发现有错的话可以指出来.〕21 / 21。

计量经济学 (A)试题答案一、真空题（每空1分，共10分） 3．统计检验、计量经济学检验4．222-∑=∧n e iσ5．与随机干扰项不相关6．戈德菲尔德――匡特（Ｇ－Ｑ）、怀特检验7．最小二乘估计不再是有效估计，一般会低估ＯＬＳ估计的标准误差，t 检验的可靠性降低 8．∏Γ-=-1B二、单项选择题（每小题1分，共10分）1．D 2. A 3.B 4.A 5.C 6.D 7.B 8.C 9.B 10.D 三、简答题（每小题5分，共20分） 1．证明高斯---马尔可夫定理中的线性性2．在什么情况下用工具变量，工具变量必须满足的条件是什么。

若模型的被解释变量中包含随机变量，且与随机干扰项相关，这时必须引用工具变量（1分），引入的工具变量必须与随机变量高度相关（2分），与随机干扰项不相关。

（2分） 3．模型中遗漏了重要的解释变量有什么后果，模型中引入了无关的解释变量又有什么后果。

证：∑∑∑∑∑∑∑∑+=-==22221)(ˆiiiii iiiiii x x Y xY x x Y Y x x y x β令∑=2iii x x k ，因∑∑=-=0)(X Xx ii，故有∑∑∑==ii i iiY k Y x x 21ˆβ∑∑∑∑=-=-=-=i i i i i i i Y w Y k X n X Y k Y nX Y )1(1ˆˆ10ββ)1(33221i i i i u X X Y +++=βββ•将3i X 遗漏• 除非 即遗漏的解释变量X3与包含在模型中的解释变量X2不相关，的普通最小二乘估计将是有偏的。

• 除非遗漏了的解释变量X3与包含在模型中的解释变量X2不相关即 ，并且 ，模型截距项 的普通最小二乘估计量一般也是有偏的（3分）• 在模型中误引入了无关解释变量的情形之下模型回归系数估计量的方差将大于模型正确设定情形下模型回归系数估计量的方差，模型中包含有多余的无关解释变量并不好。

（2分）4．多重共线性的后果是什么？检验多重共线性的方法思路是什么？ 其后果一是在完全共线性下参数估计量不存在，理由是1)(-'X X I 不存在；二是近似共线性下OLS 参数估计量非有效，理由是参数估计量的方差将可能变得很大；三是参数估计量经济意义不合理；四是变量的显著性检验夫去意义；五是模型的预测功能失效。