平面图形及其位置关系

深师教育 83482818 83483108 益田路 3002 号东方雅苑写字楼 1C1 平面图形及其位置关系———三角形和四边形的认识与证明Ⅰ.考点透视一、平面图形及其位置关系1.直线、射线与线段的区别与联系2.角(角的两种定义、角的分类、角的度量以及余角、补角的概念和性质)3.相交线与平行线(1)相交线(对顶角的概念及其性质、垂线的概念及其性质)(2)平行线(平行线的性质与判定) 例1.如图，在正方形网格中，∠α、∠β、∠γ的大小关系是（ ）A.α>β>γB.α=β>γC.α<β=γD.α=β=γ二、三角形的认识与证明1.三角形(三角形的有关概念、三角形的分类、三角形中的重要线段以及三角形的有关性质)2.全等三角形(全等三角形的性质与判定)3.角平分线与线段的垂直平分线(定义、性质与判定)例2.下列说法：①等边三角形有三条对称轴；②在△ABC 中，若a 2+b 2≠c 2，则△ABC 不是直角三角形；③等腰三角形的一边长为4，另一边长9，则它的周长为17或22；④一个三角形中至少有两个锐角。

其中正确的个数有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个三、四边形的认识与证明1.平行四边形(平行四边形的定义、性质与判定)2.特殊的平行四边形(1)矩形(定义、性质与判定)(2)菱形(定义、性质与判定)(3)正方形(定义、性质与判定)3.梯形(等腰梯形的定义、性质与判定)4.多边形(多边形的性质及其正多边形的特征)例3.(1)正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）A.四边都相等B.对角线互相垂直且平分C.对角线相等D.对角线平分一组对角(2)下列命题中假命题的是（ ）A.对角线互相平分的四边形是平行四边形.B.两条对角线相等的四边形是矩形.C.两条对角线互相垂直的矩形是正方形D.两条对角线相等的菱形是正方形(3)检查一个门框是矩形的方法是（ ）A.测量两条对角线是否相等B.测量有三个角是直角C.测量两条对角线是否互相平分D.测量两条对角线是否互相垂直(4)顺次连接矩形各边中点所得的四边形是（ ）A.矩形B.菱形C.梯形D.正方形(5)菱形的周长等于高的8倍，则其最大内角等于（ ）A.60°B.90°C.120°D.150°(6)矩形ABCD 中，AB=8，BC=6，E 、F 是AC 的三等分点，则△BEF 的面积是（ ）A.8B.12C.16D.24。

（小升初）备课教员：×××第十五讲平面图形及其位置关系一、教学目标： 1. 理解线段、直线、射线等简单的平面图形，了解两点确定一条直线的事实。

2. 了解“两点之间的所有连线中，线段最短”的性质，能借助直尺，圆规等工具比较两条线段的长短。

3. 理解角的有关概念，认识角的表示及度、分、秒，能进行简单的换算。

4. 能掌握锐角、钝角、直角、平角、周角的概念，会比较角的大小。

5. 了解两条直线的平行关系，掌握两条直线平行的符号表示。

6. 了解两条直线的垂直关系，掌握两条直线垂直的符号表示。

7. 能用直尺、三角板、量角器等工具熟练地画垂线、平行线，培养识图与绘图能力。

二、教学重点：综合性几何问题中培养学生养成多角度思考和数形结合的良好习惯。

三、教学难点：提高观察、分析、概括、抽象的能力。

四、教学准备：PPT五、教学过程：第一课时（50分钟）一、导入（5分种)师：在我们小学，我们已经学习过一些平面图形，同学们还记得我们学过哪些吗？生：师：是的，这节课我们主要来研究这方面的知识点。

（板书课题：平面图形及其位置关系）师：在小学我们已经学习过线段、射线、直线，现在我们一起来回顾一下这方面的知识点。

也是我们这节课所要学习的东西。

二、星海遨游（43分钟）例题一：（9分钟）如果线段AB=5cm，BC=3cm，那么A、C两点间的距离是（）。

A、8cmB、2㎝C、4cmD、不能确定师：题目中告诉我们AB、BC的两条线段长度，我们先画图表示出线段AB。

生：师：同学们再画出线段BC。

生：师：同学们好像遇到一点麻烦了，我们不知道C点到底画在哪里对吗？生：是的。

师：同学们思考的比较认真，题目中没有告诉我们A、B、C三点是否在同一条直线上，所以C点的位置是没有固定的，所以A、C两点间的距离是不能确定的。

板书：解：D例题二：已知线段AB=20㎝，C为AB中点，D为CB上一点，E为DB的中点，且EB=3㎝，则CD=________cm。

一、平面与平面的位置关系有且只有两种1、两个平面平行——没有公共点；2、两个平面相交——有一条公共直线。

二、面面垂直性质定理1.如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

2.如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。

3.如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。

4.如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。

（判定定理推论1的逆定理）三、平面与平面垂直的性质如果两个平面的二面角为直二面角（平面角是直角的二面角），则这两个平面互相垂直。

平面与平面垂直有如下性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内与交线垂直的直线垂直于另一个平面；如果两个平面垂直，那么与一个平面垂直的直线平行于另一个平面或在另一个平面内。

四、面面垂直定义若两个平面的二面角为直二面角（平面角是直角的二面角），则这两个平面互相垂直。

五、线面垂直定义如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，就说这条直线与此平面互相垂直。

是将“三维”问题转化为“二维”解决是一种重要的立体几何数学思想方法。

在处理实际问题过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的重要垂直关系，从而架起已知与未知的“桥梁”。

六、线面垂直判定定理直线与平面垂直的判定定理（线面垂直定理）：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

推论1：如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。

推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。

两个平面的位置关系的符号语言及其图形如下表：。

第四章《平⾯图形及其位置关系》复习总结第四章《平⾯图形及其位置关系》复习⼀、线段、射线、直线意义：性质：两点之间，线段最短表⽰：线段AB （或BA ），线段b线段⽐较⼤⼩：度量法，叠合法两点间的距离重要概念线段的中点意义：射线表⽰：射线OA意义：直线表⽰：直线AB （或BA ），直线m性质：两点确定⼀条直线注意：1.表⽰线段，射线，直线时，在字母前要注明“线段”“射线”或“直线”；2.线段，射线都可看作直线的⼀部分；3.射线，直线没有长度，线段有长度；4.⽤两个⼤写字母表⽰线段或直线时，两个字母没有顺序性，但表⽰射线的两个⼤写字母必须把端点字母放在前⾯；5.线段可向两⽅延长：延长线段AB （反向延长线段BA ），延长线段BA （反向延长线段AB ）；6.射线只能反向延长；7.端点相同，延伸⽅向相同的射线是同⼀条射线；8.AM=MB 并不能说明点M 是线段AB 的中点，需添上条件“M 在线段AB 上”；9.“距离”与“线段”、“路程”不同.结论：平⾯内n 条直线，最多．．可有()21-n n 个交点；过平⾯上n 个点中的两个点，最多．．可画()21-n n 条直线；n 个班进⾏单循环⽐赛，共⽐赛()21-n n 场； n 个⼈相互握⼿的总次数为()21-n n 次；D CB A O B A 直线上有n 个点，则⼀共有()21-n n 条线段；有公共端点的n 条射线共可组成()21-n n 个⾓；平⾯内n 条直线最多．．可将平⾯分成222++n n 个部分. 练习：1.分别画出下列图形：⑴直线l 经过点C ，D ；⑵点P 在直线m 上，但在直线n 外；⑶取不在同⼀直线上的三点A ，B ，C ，画直线AB ，线段BC ，射线CA ；⑷取不在同⼀直线上的三点P ，Q ，R ，①连接PQ ，并延长⾄E ，②连接RQ 并反向延长⾄F ，③过点R 画射线PR.2.判断题⑴直线l 上有两个端点；⑵经过A ，B 两点的线段只有⼀条；⑶延长线段AB 到C ，使AC=BC ；⑷反向延长线段BC ⾄A ，使AB=BC ；⑸过两点有且只有⼀条直线；⑹直线上的任意两点都可以表⽰这条直线；⑺两条直线相交，只有⼀个交点；⑻三条直线两两相交，共有三个交点；⑼射线AC 在直线AB 上；⑽直线AB 与直线BA 是指同⼀条直线.3.根据下图，下列说法正确的有⑴点B 在线段AC 上；⑵直线AB 经过点C ；⑶点D 不在直线AC 上；⑷点A 在线段BC 的延长线上.4.观察下图，并判断对错⑴线段OA 与线段AO 是同⼀条线段；⑵线段OA 与线段OB 是同⼀条线段；⑶直线OA 与线段BO 是同⼀条直线；⑷射线OA 与射线AO 是同⼀条射线；DC B A m C B A ⑸射线OA 与射线OB 是同⼀条射线；⑹射线OB 与射线AB 是同⼀条射线.5.点与直线的位置关系有种，分别是和 .6.如图，直线上有四点，则图中有条直线，条射线，条线段.7.如果线段AB=5cm ，BC=3cm ，那么A ，C 两点的距离是（）A.8cmB.2cmC.4cmD.⽆法确定8.两根⽊条，⼀根长60cm ，⼀根长100cm ，将它们的⼀端重合，顺次放在同⼀条直线上，此时两根⽊条的中点间的距离是cm.9.已知线段m ，⽤圆规和直尺作⼀条线段 AB ，使AB=2m.思考题如图所⽰，某单位有三个住宅区A ，B ，C （在⼀条直线上）分别住有职⼯30⼈，25⼈，10⼈，已知AB=100m，BC=200m. 该单位为⽅便职⼯上下班，单位的接送车打算在AC 之间只设⼀个停靠点P ，为使所有的⼈步⾏到停靠点的路程之和最短，那么停靠点P 的位置应设在（） A. A 点 B. B 点C. AB 之间D. BC 之间⼆、⾓静态定义动态相关概念：直⾓，平⾓，周⾓，锐⾓，钝⾓⾓⾓的平分线表⽰法：∠A ，∠AOB ，∠1，∠α度量与计算：1°=60′=3600″，1′=60″⼤⼩⽐较：度量法，叠合法注意：1.构成⾓的两个要素是顶点、两边，两边都是射线，⾓的⼤⼩与两边的长短⽆关，只与两边张开的程度有关；2.在初中阶段，如⽆特别说明，所涉及的⾓均指⼩于平⾓的⾓.C D B AE DC B AO 3.不管⽤哪种⽅法表⽰⾓，⾸先要写上符号“∠”，注意区分“∠”与“＜”；4.⽤⼀个⼤写字母表⽰⾓，只适⽤于顶点处只有⼀个⾓的情形5.⾓的平分线是射线，不是直线、线段6.⽤⼀付三⾓板可以画出15°的整数倍的⾓7.如果⼀个⾓的两边分别平⾏于另⼀个⾓的两边，那么这两个⾓相等或互补.练习；1.判断⑴平⾓是⼀条直线；⑵⼀条射线是⼀个周⾓；⑶两条射线组成的图形叫做⾓；⑷两边成⼀直线的⾓是平⾓；⑸有公共端点的两条线段组成的图形叫做⾓；⑹⼀条射线旋转得到⾓；⑺⼀个钝⾓与⼀个锐⾓的差⼀定是锐⾓；⑻两个锐⾓的和⼀定⼤于90°；⑼若∠AOC=∠BOC ，则OC 是∠AOB 的平分线；⑽若∠AOC=21∠AOB ，则OC 是∠AOB 的平分线. 2.如图所⽰，图中⼩于平⾓的⾓有个.3.灯塔A 在灯塔B 的南偏东70°，A 、B 相距4海⾥，轮船C 在灯塔B 的正东，在灯塔A 的北偏东40°，试画图确定轮船C 的位置.4.如图，OE 平分∠BOC ，OD 平分∠AOC ，∠BOE=20°，∠AOD=40°，求∠DOE 的度数.5.48.26°= ° ′″ 56°25′12″= °6.⼀条船沿北偏东60°的⽅向航⾏⾄某地，然后依原航线返回，船返回时正确的⽅向是 .7.已知∠1，∠2都是钝⾓，甲，⼄，丙，丁四⼈计算()2161∠+∠的结果依次是28°，48°，88°，60°，其中只有⼀个结果正确，那么正确的结果是（）A.甲B.⼄C.丙D.丁三、位置定义：同⼀平⾯内，不相交的两条直线叫做平⾏线表⽰：AB∥CD，m∥n平⾏画法：三⾓板，量⾓器，直尺圆规，⽅格纸等经过直线外⼀点，有且只有⼀条直线平⾏于已知直线性质：位置平⾏与同⼀直线的两直线互相平⾏定义：相关概念：点到直线的距离垂直表⽰：AB⊥CD，m⊥n画法：三⾓板，量⾓器，直尺圆规，⽅格纸等性质：同⼀平⾯内，过⼀点有且只有⼀条直线垂直于已知直线注意：1.平⾏线是相互的，AB∥CD，也可记作CD∥AB;2.⼀条直线有⽆数条直线与其平⾏，但过直线外⼀点却只有⼀条;3.点到直线的距离是⼀个数量，不是指图形（垂线段），⽽是指垂线段的长度练习：1．判断对错⑴不相交的两条直线是平⾏线；⑵同⼀平⾯内，不相交的两条射线叫做平⾏线；⑶同⼀平⾯内，两条直线不相交就重合；⑷同⼀平⾯内，没有公共点的两条直线是平⾏线；⑸过平⾯内⼀点有且只有⼀条直线与已知直线平⾏；⑹两条线段AB，CD没有交点，那么直线AB与直线CD平⾏；⑺平⾏于同⼀直线的两条直线互相平⾏；⑻同⼀平⾯内，不相交的两条射线互相平⾏；⑼同⼀平⾯内，不重合的两条直线的位置关系只有相交、平⾏两种；⑽同⼀平⾯内，经过⼀个已知点能画⼀条直线和已知直线垂直；⑾⼀条直线的垂线可以有⽆数条；⑿过射线的端点与射线垂直的直线只有⼀条；⒀过直线外⼀点和直线上⼀点这两个已知点，可以画已知直线的垂线.2．对直线a，b，c ，若a∥b，a与c相交，那么b与c是什么位置关系？说明理由. 3．在同⼀平⾯内有三条直线，如果要使其中有且只有两条直线平⾏，那么它们（）A.没有交点 B.只有⼀个交点 C.有两个交点 D.有三个交点D C B A D C B A OP N M B A N M O C B A 4．同⼀平⾯内的四条直线⽆论其位置关系如何，它们的交点个数不可能有（）A.2个B.3个C.4个D.5个5．⼀个三棱柱中有多少对平⾏线？6．在平⾯上有三条直线a ，b ，c ，它们之间有哪⼏种可能的位置关系？请画图说明.7．已知平⾏四边形ABCD 如图，过A 点分别作出BC ，DC 边上的⾼AE ，AF.8．如图所⽰，下⾯结论中正确的有个⑴线段AC 与线段BC 互相垂直；⑵线段CD 与线段BC 互相垂直；⑶点C 到AB 的距离是线段CD ；⑷线段AC 是A 到BC 的距离；⑸线段AC 的长度是点A 到BC 的距离.9．点P 为直线l 外⼀点，点A 、B 、C 为直线l 上三点：PA=4，PB=5，PC=2，则点P 到直线l 的距离为（）A ．4B ．2C ．⼩于2D ．不⼤于210．如图，已知点O 在直线AB 上，OP ⊥MN 于点P ，那么（）A ．线段OP 的长度叫做点O 到直线MN 的距离；B ．线段OP 的长度叫做点P 到直线AB 的距离；C ．线段OP 叫做直线AB 到直线MN 的距离；D ．直线OP 的长度叫做点O 与P 两点间的距离. 11．画⼀条线段的垂线，垂⾜在（）A ．线段上B ．线段的端点C ．线段的延长线上D ．以上都可能12．七巧板通常是由个直⾓三⾓形，个正⽅形和个平⾏四边形组成.13．⽤⼀副七巧板分别拼出⑴⼀个等腰梯形；⑵长⽅形；⑶平⾏四边形，并在图中找出⼀个锐⾓、⼀个直⾓、⼀个钝⾓、⼀对平⾏线段、⼀对互相垂直的线段.14.点M 为线段AB 的三等分点，且AM=6，求AB 的长.15．如图，点O 是直线AB 上⼀点，过O 画射线OC ，OM ，ON ，且OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ，那么射线OM ，ON 之间有什么位置关系？说明你的理由.。

图形的位置关系与判定图形的位置关系与判定是数学领域中一个重要的概念。

在几何学中，图形的位置关系指的是不同图形之间的相对位置，而图形的判定指的是判断一个图形是否满足某种特定的位置关系。

本文将介绍一些常见的图形位置关系及其判定方法。

一、图形的位置关系1. 平行关系平行关系是最基本的图形位置关系之一。

当两条直线或两个平面上的点、线或面互不相交，并且距离始终相等时，我们称它们为平行关系。

判定方法：对于平面上两条直线的判定，可以使用斜率来判断。

如果两条直线的斜率相等且不相交，则它们是平行的。

对于三维空间中的平行关系，可以利用向量的方法进行判断。

2. 垂直关系垂直关系是指两条直线、线段或两个平面互相垂直的位置关系。

在二维平面中，如果两条直线的斜率相乘等于-1，则可以判定它们垂直。

判定方法：在二维平面上，两条直线垂直的条件是斜率的乘积为-1。

在三维空间中，可以利用向量的方法计算两个平面的法向量，如果两个法向量垂直，则可以判定它们互相垂直。

3. 相交关系相交关系是指两个图形有公共点或线的位置关系。

在二维空间中，两条直线相交于一点，两条线段相交于一个点或线段，两个平面相交于一条直线。

判定方法：判断两条直线是否相交可以比较它们的斜率和截距。

如果斜率相等且截距不相等，则可以判定两条直线相交。

对于线段和平面的相交判定，常用的方法有直接比较坐标和向量运算。

二、图形的判定1. 同位角判定同位角是指两条平行直线被一条截线所切割，形成的对应角。

如果一条截线与两条平行直线的同位角相等，则可以判定这条直线与另一条直线平行。

判定方法：使用同位角定义，通过测量两个角是否相等来判断平行关系。

2. 内角和判定内角和是指一个图形内部的各个角度之和。

例如，正三角形的内角和是180度。

通过计算图形的内角和，可以判断该图形是否是某个特定图形的角。

判定方法：根据各种图形的内角和公式，计算图形的内角和与特定图形的内角和进行比较，如果相等，则可以判定该图形是特定图形的角。

第四章：平面图形及其位置关系一、线段、射线、直线1、线段：线段可以近似地看成是一条有两个端点的崩直了的线。

线段可以量出长度。

绷紧的琴弦、人行道横线都可以近似地看做线段．线段的特征：一、线段是直的，二、线段有两个端点，是有界的，有长短，三、线段没有粗细之分。

表示方法：有两种，一是用两个端点来表示，二是用一个小写的英文字母来表示。

线段长度的比较：（1）叠合比较法；（2）度量比较法。

线段的中点：如果线段上有一点，把线段分成相等的两条线段，这个点叫这条线段的中点。

若C 是线段AB 的中点，则：AC=BC=21AB 或AB=2AC=2BC 。

类似地，如果点 C 和点D 把线段AB 分成相等的三条线段AC 、CD 和DB ，那么点C 和点D 叫做线段AB 的三等分点线段中点的确定方法：（1）尺规作图 ；（2）用尺子度量分半；（3）折绳找线段中点若AM=BM ，则M 为线段AB 的中点吗？ 线段中点的条件：12两点间的距离：两点间线段的长度，叫做这两点间的距离．距离是指线段的长度，是一个数值，而不是指线段本身，线段的长度可用刻度尺来度量例1：有A 、B 、C 三城市，已知A 、B 两市的距离为50千米，B 、C 两市的距离是30千米，那么A 、C 两市间的距离是（ ）（A ）80千米 （B ）20千米 （C ）40千米 （D ）处于20千米～80千米之间 例2：己知，如图，点C 是线段AB 上一点，点M 是线段AC 的中点，点N 是线段BC 的中点，如果AB=10cm ，AM=3cm ，求CN 的长。

例3：已知，如图，直线L 上顺次三个点A 、B 、C ，AB=10cm,BC=4cm 。

（1）若D 是AC 的中点，那么AD= cm.（2）若M 是AB 的中点，那么MD= cm.（3）AB=AC ―( ),AM+MB=AD+( )例4：已知，如图， AB=8.6cm,BC=2.6cm 点0是线段AC 的中点, 求线段OB 的长度线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短．用直尺、圆规画一条线段等于已知线段：已知线段a ，请用圆规、直尺作一条线段AB ，使AB=a 。