2019届高考数学一轮复习 第8单元 解析几何测评 理

单元质检八立体几何(A)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共5小题,每小题7分,共35分)1.若平面α⊥平面β,且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b,则()A.直线a必垂直于平面βB.直线b必垂直于平面αC.直线a不一定垂直于平面βD.过a的平面与过b的平面垂直2.(2017浙江,3)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.+1B.+3C.+1D.+33.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上.若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为()A. B.2C. D.34.下列四个命题中错误的是()A.若直线a,b互相平行,则直线a,b确定一个平面B.若四点不共面,则这四点中任意三点都不共线C.若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线D.两条异面直线不可能垂直于同一个平面5.在空间四面体ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,且DA⊥平面ABC,则△ABC的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定二、填空题(本大题共3小题,每小题7分,共21分)6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为.7.已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示,则此四棱锥外接球的半径为.8.已知P A垂直于平行四边形ABCD所在的平面,若PC⊥BD,则平行四边形ABCD的形状一定是.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)如下的三个图中,左面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视图和侧视图在右面画出(单位:cm).(1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图;(2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积;(3)在所给直观图中连接BC',证明BC'∥平面EFG.10.(15分)(2017宁夏银川一中二模)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=CA=AA1=2,侧棱AA1⊥平面ABC,且D,E分别是棱A1B1,AA1的中点,点F在棱AB上,且AF=AB.(1)求证:EF∥平面BDC1;(2)求三棱锥D-BEC1的体积.11.(15分)如图,在三棱锥V-ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC,且AC=BC=,O,M 分别为AB,VA的中点.(1)求证:VB∥平面MOC;(2)求证:平面MOC⊥平面VAB;(3)求三棱锥V-ABC的体积.答案：1.C解析:α⊥β,a⊂α,b⊂β,a⊥b,当α∩β=a时,b⊥α;当α∩β=b时,a⊥β,其他情形则未必有b⊥α或a⊥β,所以选项A,B,D都错误,故选C.2.A解析:V=×3×+1,故选A.3.C解析:由计算可得O为B1C与BC1的交点.设BC的中点为M,连接OM,AM,则可知OM⊥面ABC,连接AO,则AO的长为球半径,可知OM=6,AM=,在Rt△AOM中,由勾股定理得R=.4.C解析:过两条平行直线,有且只有一个平面,A正确;如果四点中存在三点共线,则四点共面,B正确;两条直线没有公共点,这两条直线可能平行,也可能异面,C错误;垂直于同一个平面的两条直线平行,这样的两条直线共面,D正确.5.B解析:作AE⊥BD,交BD于E,∵平面ABD⊥平面BCD,∴AE⊥平面BCD,BC⊂平面BCD,∴AE⊥BC.而DA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴DA⊥BC.又∵AE∩AD=A,∴BC⊥平面ABD.而AB⊂平面ABD,∴BC⊥AB,即△ABC为直角三角形.故选B.6.解析:根据几何体的三视图,得该几何体是四棱锥M-PSQN,把该四棱锥放入棱长为2的正方体中,如图所示.所以该四棱锥的体积为V=V三棱柱-V三棱锥=×22×2-×22×2=.7.解析:因为三视图对应的几何体是四棱锥,顶点在底面的射影是底面矩形的长边的中点,底面边长分别为4,2,满足侧面P AD⊥底面ABCD,△P AD为等腰直角三角形,且高为2,如图所示,可知外接球球心为底面对角线的交点,可求得球半径为.8.菱形解析:因为P A⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以P A⊥BD.又PC⊥BD,且PC⊂平面P AC,P A⊂平面P AC,PC∩P A=P,所以BD⊥平面P AC.又AC⊂平面P AC,所以BD⊥AC.又四边形ABCD是平行四边形,所以四边形ABCD是菱形.9.(1)解:如图:(2)解:所求多面体体积V=V长方体-V正三棱锥=4×4×6-×2=(cm3).(3)证明:在长方体ABCD-A'B'C'D'中,连接AD',则AD'∥BC'.因为E,G分别为AA',A'D'的中点,所以AD'∥EG.从而EG∥BC'.又BC'⊄平面EFG,所以BC'∥平面EFG.10.(1)证明:取AB的中点O,连接A1O,∵AF=AB,∴F为AO的中点,又E为AA1的中点,∴EF∥A1O,∵A1D=A1B1,BO=AB,AB A1B1,∴A1D BO,∴四边形A1DBO为平行四边形,∴A1O∥BD,∴EF∥BD,又EF⊄平面BDC1,BD⊂平面BDC1,∴EF∥平面BDC1.(2)解:∵AA1⊥平面A1B1C1,C1D⊂平面A1B1C1,∴AA1⊥C1D,∵A1C1=B1C1=A1B1=2,D为A1B1的中点,∴C1D⊥A1B1,C1D=,又AA1⊂平面AA1B1B,A1B1⊂平面AA1B1B,AA1∩A1B1=A1,∴C1D⊥平面AA1B1B, ∵AB=AA1=2,D,E分别为A1B1,AA1的中点,∴S△BDE=22-×1×2-×1×2-×1×1=.∴S△BDE·C1D=.11.(1)证明:因为O,M分别为AB,VA的中点,所以OM∥VB.又因为VB⊄平面MOC,所以VB∥平面MOC.(2)证明:因为AC=BC,O为AB的中点,所以OC⊥AB.又因为平面VAB⊥平面ABC,平面VAB∩平面ABC=AB,OC⊂平面ABC,所以OC⊥平面VAB,所以平面MOC⊥平面VAB.(3)解:在等腰直角三角形ACB中,AC=BC=,所以AB=2,OC=1.所以等边三角形VAB的面积S△VAB=.又因为OC⊥平面VAB,所以三棱锥C-VAB的体积等于OC·S△VAB=.又因为三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等,所以三棱锥V-ABC的体积为.。

第八章第节[基础对点练]．(导学号)已知抛物线＝，过点(－)作直线，使与抛物线有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线共有( )．条．条．条．条解析：[因为点(－)在抛物线＝的左侧，所以该抛物线一定有两条过点(－)的切线，过点(－)与轴平行的直线也与抛物线只有一个交点，所以过点(－)有条直线与抛物线有且只有一个交点，故选.]．(导学号)已知椭圆＋＝以及椭圆内一点()，则以为中点的弦所在直线的斜率为( )．－．．－解析：[设弦的端点(，)，(，)，则＋＝，＋＝，错误!两式相减，得错误!＋错误!＝，∴＝－，∴＝＝－.]．(导学号)过点()作直线与双曲线－＝交于，两点，使点为中点，则这样的直线( ) ．存在一条，且方程为－－＝．存在无数条．存在两条，方程为±(＋)＝．不存在解析：[设(，)，(，)，则＋＝，＋＝，则－＝，－＝，两式相减得(－)(＋)－(－)(＋)＝，所以－＝(－)，即＝，故所求直线方程为－＝(－)，即－－＝.联立(\\(＝－，－()＝))可得－＋＝，但此方程没有实数解，故这样的直线不存在．故选.]．(导学号)已知抛物线：＝与点(－)，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若·＝，则＝( )．解析：[如图所示，设为焦点，取的中点，过，分别作准线的垂线，垂足分别为，，连接，，＝－由·＝，知⊥，则＝＝(＋)，所以为直角梯形的中位线，所以∥∥，所以∠＝∠＝∠，又＝，为公共边，所以△≌△，所以∠＝∠＝°，则⊥，所以＝－＝.]．(导学号)过双曲线－＝(>，>)的左焦点作直线与双曲线交于，两点，使得＝，若这样的直线有且仅有两条，则离心率的取值范围是( )．(，＋∞)∪(，＋∞)解析：[由题意过双曲线－＝(>，>)的左焦点作直线与双曲线交于，两点，使得＝，若这样的直线有且仅有两条，可得＜＝，且＞，＞，可得＞或<<.综合可得，有条直线符合条件时，>或<<.故选.]．(导学号)已知椭圆：＋＝(＞＞)，(，)为其右焦点，过且垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为.则椭圆的方程为.解析：由题意得(\\(＝()，,()＝，＝＋，))解得(\\(＝，＝()，))∴椭圆的方程为＋＝.答案：＋＝．(导学号)过点(，－)作抛物线＝(＞)的两条切线，切点分别为，，若线段的中点的纵坐标为，则的值是.解析：设点(，)，(，)，依题意得，′＝，切线的方程是－＝(－)，即＝－.又点(，－)位于直线上，于是有－＝×－，即－－＝；同理有－－＝，因此，是方程－－＝的两根，则＋＝，＝－.由线段的中点的纵坐标是得，＋＝，即＝＝，＝，解得＝或＝.答案：或．(导学号)(理科)(·泉州市模拟)椭圆＋＝的左、右焦点分别为、，过椭圆的右焦点作一条直线交椭圆与、两点，则△内切圆面积的最大值是．解析：因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的倍，且△的周长是定值，所以只需求出△内切圆的半径的最大值即可．设直线方程为＝＋，与椭圆方程联立得(＋)＋－＝.。

第八章 平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．斜率公式(1)直线l 的倾斜角为α(α≠π2)，则斜率k ＝tan_α.(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 3．直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程适用范围 斜截式 纵截距、斜率 y ＝kx ＋b 与x 轴不垂直的直线点斜式 过一点、斜率 y －y 0＝k (x －x 0) 两点式过两点y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 纵、横截距x a ＋y b ＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)所有直线4．线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．[小题体验]1．若过点M (－1，m )，N (m ＋1,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )A ．1 B.12 C ．2D.13解析：选A 由4－mm ＋2＝1，得m ＝1.故选A.2．直线3x －3y ＋1＝0的倾斜角α为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．135°解析：选B 直线方程可变形为y ＝3x ＋33，tan α＝3， ∵0°≤α<180°，∴α＝60°.故选B.3．(2018·嘉兴检测)直线l 1：x ＋y ＋2＝0在x 轴上的截距为________；若将l 1绕它与y 轴的交点顺时针旋转90°，则所得到的直线l 2的方程为________________．解析：对于直线l 1：x ＋y ＋2＝0，令y ＝0，得x ＝－2，即直线l 1在x 轴上的截距为－2；令x ＝0，得y ＝－2，即l 1与y 轴的交点为(0，－2)，直线l 1的倾斜角为135°，∴直线l 2的倾斜角为135°－90°＝45°，∴l 2的斜率为1，故l 2的方程为y ＝x －2，即x －y －2＝0.答案：－2 x －y －2＝01．点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x 轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x ，y 轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．2．截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．3．求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．[小题纠偏]1．过点(5,2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距2倍的直线方程是( ) A ．2x ＋y －12＝0B ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0C ．x －2y －1＝0D ．x －2y －1＝0或2x －5y ＝0解析：选B 当直线过原点时所求方程为2x －5y ＝0；当直线不过原点时，可设其截距式为x a ＋y 2a ＝1，由该直线过点(5,2)，解得a ＝6，对应方程为x 6＋y12＝1，即2x ＋y －12＝0，故选B.2．过点(5,10)，且到原点的距离为5的直线方程是________． 解析：当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0满足题意； 当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋10－5k ＝0.由距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0. 答案：x －5＝0或3x －4y ＋25＝0考点一 直线的倾斜角与斜率基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a ，b 满足( ) A ．a ＋b ＝1 B ．a －b ＝1 C ．a ＋b ＝0D ．a －b ＝0解析：选D 由题意得sin α＝－cos α，显然cos α≠0，则tan α＝－1，∴－ab＝－1，a ＝b ，a －b ＝0.2．经过P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2,1)的线段总有公共点，则直线l 的斜率k 和倾斜角α的取值范围分别为________，________.解析：如图所示，结合图形，若l 与线段AB 总有公共点，则k PA ≤k ≤k PB ，而k PB >0，k PA <0，故k <0时，倾斜角α为钝角，k ＝0时，α＝0，k >0时，α为锐角．又k PA ＝－2－－11－0＝－1，k PB ＝1－－12－0＝1，∴－1≤k ≤1.又当0≤k ≤1时，0≤α≤π4；当－1≤k <0时，3π4≤α<π.故倾斜角α的取值范围为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.答案：[－1,1] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π3．若A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)三点共线，求1a ＋1b的值．解：∵k AB ＝0－2a －2＝－2a －2，k AC ＝b －20－2＝－b －22，且A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，即－2a －2＝－b －22，整理得ab ＝2(a ＋b )，将该等式两边同除以2ab 得1a ＋1b ＝12. [谨记通法]1．倾斜角与斜率的关系当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2且由0增大到π2⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2时，k 的值由0增大到＋∞.当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，k 也是关于α的单调函数，当α在此区间内由π2⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2增大到π(α≠π)时，k 的值由－∞趋近于0(k ≠0)．2．斜率的3种求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率．(2)公式法：若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率．(3)方程法：若已知直线的方程为Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)，则l 的斜率k ＝－A B. 考点二 直线的方程重点保分型考点——师生共研[典例引领]求适合下列条件的直线方程：(1)经过点(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点(－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍； (3)经过点(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 解：(1)设直线方程在x ，y 轴上的截距均为a ， 若a ＝0，即直线方程过点(0,0)和(4,1)， ∴直线方程为y ＝14x ，即x －4y ＝0；若a ≠0，则设直线方程为x a ＋y a＝1， ∵直线方程过点(4,1)，∴4a ＋1a＝1，解得a ＝5，∴直线方程为x ＋y －5＝0.综上可知，所求直线的方程为x －4y ＝0或x ＋y －5＝0.(2)由已知，设直线y ＝3x 的倾斜角为α ，则所求直线的倾斜角为2α. ∵tan α＝3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 又直线经过点(－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)． 即所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.[由题悟法]求直线方程的2个注意点(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．[即时应用]求倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14，且分别满足下列条件的直线方程：(1)经过点(3，－1)； (2)在y 轴上的截距是－5.解：∵直线y ＝－3x ＋1的倾斜角α＝120°. ∴所求直线的倾斜角为30°，即斜率k ＝33. (1)所求直线方程为y ＋1＝33(x －3)， 即3x －3y －6＝0. (2)所求直线方程为y ＝33x －5， 即3x －3y －15＝0.考点三 直线方程的综合应用题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]直线方程的综合应用是常考内容之一，它常与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题．常见的命题角度有：(1)与基本不等式相结合的最值问题；(2)与导数的几何意义相结合的问题； (3)由直线方程解决参数问题．[题点全练]角度一：与基本不等式相结合的最值问题1．过点P (2,1)作直线l ，与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，求： (1)△AOB 面积的最小值及此时直线l 的方程；(2)直线l 在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l 的方程； (3)|PA |·|PB |的最小值及此时直线l 的方程． 解：(1)设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)，则可得A ⎝⎛⎭⎪⎫2－1k，0，B (0,1－2k )．∵直线l 与x 轴，y 轴正半轴分别交于A ，B 两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2k －1k ＞0，1－2k ＞0，得k ＜0.∴S △AOB ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ·(1－2k )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4－1k －4k ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ·－4k ＝4，当且仅当－1k＝－4k ，即k ＝－12时，△AOB 的面积有最小值4，此时直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.(2)∵A ⎝⎛⎭⎪⎫2－1k，0，B (0,1－2k )(k ＜0)，∴截距之和为2－1k ＋1－2k ＝3－2k －1k≥3＋2－2k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ＝3＋22，当且仅当－2k ＝－1k ，即k ＝－22时等号成立．故截距之和的最小值为3＋22， 此时直线l 的方程为y －1＝－22(x －2)， 即x ＋2y －2－2＝0.(3)∵A ⎝⎛⎭⎪⎫2－1k，0，B (0,1－2k )(k ＜0)，∴|PA |·|PB |＝1k 2＋1·4＋4k 2＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－k ＋－k ≥4，当且仅当－k ＝－1k， 即k ＝－1时上式等号成立．故|PA |·|PB |的最小值为4，此时直线l 的方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y －3＝0.角度二：与导数的几何意义相结合的问题2．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12B.[]－1，0C ．[0,1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1解析：选A 由题意知y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)， 则k ＝2x 0＋2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，所以0≤k ≤1，即0≤2x 0＋2≤1，故－1≤x 0≤－12.角度三：由直线方程解决参数问题3．已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值．解：由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×(2－a )×2＋12×(a 2＋2)×2＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，当a ＝12时，四边形的面积最小，故a ＝12.[通法在握]处理直线方程综合应用的2大策略(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．[演练冲关]1．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．解析：易求定点A (0,0)，B (1,3)．当P 与A 和B 均不重合时，因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则PA ⊥PB ，所以|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B重合时，|PA |·|PB |＝0，故|PA |·|PB |的最大值是5.答案：52．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k ≥0，故k 的取值范围为[)0，＋∞.(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0,1＋2k )． 又－1＋2k k<0且1＋2k >0，∴k >0.故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k ×(1＋2k )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4，当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B. 3C ．－ 3D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.2．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋1＝0解析：选D 直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0.3．(2018·湖州质检)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13C ．－32D.23解析：选B 依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可得直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.4.如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( ) A ．k 1＜k 2＜k 3 B ．k 3＜k 1＜k 2 C ．k 3＜k 2＜k 1 D ．k 1＜k 3＜k 2解析：选D 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2＞α3，所以0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2，故选D.5．(2018·豫西五校联考)曲线y ＝x 3－x ＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为________．解析：设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈[0，π))， 因为y ′＝3x 2－1≥－1，所以tan θ≥－1， 结合正切函数的图象可知，θ的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π二保高考，全练题型做到高考达标1．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π解析：选B 由直线方程可得该直线的斜率为－1a 2＋1，又－1≤－1a 2＋1<0，所以倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.2．已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( )A ．y ＝3x ＋2B ．y ＝3x －2C ．y ＝3x ＋12D ．y ＝－3x ＋2解析：选A ∵直线x －2y －4＝0的斜率为12，∴直线l 在y 轴上的截距为2， ∴直线l 的方程为y ＝3x ＋2，故选A.3．(2018·温州五校联考)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0的图象可能是( )解析：选B 当a >0，b >0时，－a <0，－b <0，选项B 符合．4．若直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)解析：选C 令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，因为14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2,0)∪(0,2]． 5．函数y ＝a1－x(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在mx ＋ny －1＝0(mn >0)上，则1m＋1n的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．1解析：选B ∵函数y ＝a1－x(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A (1,1)．∴把A (1,1)代入直线方程得m ＋n ＝1(mn >0)． ∴1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n (m ＋n )＝2＋n m ＋mn≥2＋2n m ·m n ＝4(当且仅当m ＝n ＝12时取等号)， ∴1m ＋1n的最小值为4.6．(2018·温州调研)已知三角形的三个顶点为A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为________．解析：∵BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，∴BC 边上中线所在直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x＋13y ＋5＝0.答案：x ＋13y ＋5＝07．直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，则直线l 恒过定点________． 解析：直线l 的方程变形为a (x ＋y )－2x ＋y ＋6＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－2x ＋y ＋6＝0，解得x ＝2，y ＝－2，所以直线l 恒过定点(2，－2)． 答案：(2，－2)8．已知直线l 过坐标原点，若直线l 与线段2x ＋y ＝8(2≤x ≤3)有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________．解析：如图所示，设直线l 与线段2x ＋y ＝8(2≤x ≤3)的公共点为P (x ，y )． 则点P (x ，y )在线段AB 上移动，且A (2,4)，B (3,2)， 设直线l 的斜率为k . 又k OA ＝2，k OB ＝23.可知23≤k ≤2.故直线l 的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，29．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k－3,3k＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎪⎫4k＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.10.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)的直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)． 又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32， 所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．解析：y ′＝－exe x＋12＝－1e x＋1ex ＋2， 因为e x >0，所以e x＋1e x ≥2e x ·1e x ＝2(当且仅当e x ＝1ex ，即x ＝0时取等号)，所以ex＋1ex ＋2≥4， 故y ′＝－1e x＋1ex ＋2≥－14(当且仅当x ＝0时取等号)．所以当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.该切线在x 轴上的截距为2，在y 轴上的截距为12，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×2×12＝12.答案：122.已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，当△ABO 的面积取最小值时，求直线l 的方程．解：法一：设A (a,0)，B (0，b )(a >0，b >0)， 则直线l 的方程为x a ＋y b＝1. 因为l 过点P (3,2)，所以3a ＋2b＝1. 因为1＝3a ＋2b ≥26ab，整理得ab ≥24，所以S △ABO ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b，即a ＝6，b ＝4时取等号．此时直线l 的方程是x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.法二：依题意知，直线l 的斜率k 存在且k <0， 可设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)，则A ⎝⎛⎭⎪⎫3－2k，0，B (0,2－3k )，S △ABO ＝12(2－3k )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋－9k ＋4－k≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2 －9k ·4－k＝12×(12＋12)＝12， 当且仅当－9k ＝4－k ，即k ＝－23时，等号成立． 所以所求直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0.第二节两条直线的位置关系1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直：①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．3．三种距离公式P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点之间的距离|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B21．(2018·金华四校联考)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m ＝( )A ．2B ．－3C ．2或－3D ．－2或－3解析：选C ∵直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，∴2m ＝m ＋13≠4－2，解得m ＝2或－3.2．过两直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为( ) A ．19x －9y ＝0 B ．9x ＋19y ＝0 C ．19x －3y ＝0D ．3x ＋19y ＝0解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，2x ＋y ＋5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－197，y ＝37，则所求直线方程为y ＝37－197x ＝－319x ，即3x ＋19y ＝0.3．(2018·浙江五校联考)已知动点P 的坐标为(x,1－x )，x ∈R ，则动点P 的轨迹方程为________，它到原点距离的最小值为________．解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则y ＝1－x ，即动点P 的轨迹方程为x ＋y －1＝0.原点到直线x ＋y －1＝0的距离为d ＝|0＋0－1|1＋1＝22，即为所求原点到动点P 的轨迹的最小值．答案：x ＋y －1＝0221．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x ，y 的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．[小题纠偏]1．已知P ：直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行，Q ：a ＝－1，则P 是Q 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由于直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行的充要条件是1×a －(－1)×1＝0，即a ＝－1.所以P 是Q 的充要条件．2．(2018·安庆模拟)若直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，则m ＝( ) A ．7 B ．172C ．14D ．17解析：选B 直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)，即2x ＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，所以|2m ＋3|4＋36＝10，解得m ＝172.考点一 两条直线的位置关系(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2018·诸暨模拟)已知a ，b 为正数，且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0平行，则2a ＋3b 的最小值为________．解析：由两直线平行可得，a (b －3)＝2b ，即2b ＋3a ＝ab ，2a ＋3b＝1.又a ，b 为正数，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ＝13＋6a b ＋6b a≥13＋26a b ·6ba＝25，当且仅当a ＝b ＝5时取等号，故2a ＋3b 的最小值为25.答案：252．已知直线l 1：x ＋3y ＝7与直线l 2：kx －y ＝2，以及与x 轴，y 轴围成的凸四边形有外接圆，求实数k 的值．解：如图所示，由直线l 1，l 2及x 轴，y 轴所围成四边形为OABC ，其有外接圆的充要条件是对角互补．∵∠COA ＝90°，∴∠CBA ＝90°，即l 1⊥l 2.∴k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1，解得k ＝3. 3．已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m ，n 的值，使 (1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)； (2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8＋n ＝0，2m －m －1＝0，解得m ＝1，n ＝7.即m ＝1，n ＝7时，l 1与l 2相交于点P (m ，－1)．(2)∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－16＝0，－m －2n ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.即m ＝4，n ≠－2或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2. (3)当且仅当2m ＋8m ＝0， 即m ＝0时，l 1⊥l 2. 又－n8＝－1，∴n ＝8.即m ＝0，n ＝8时，l 1⊥l 2， 且l 1在y 轴上的截距为－1.[谨记通法]1．已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法 (1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等； (2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.[提醒] 当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况． 2．由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 21＋B 21≠0) l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 22＋B 22≠0)l 1与l 2垂直的充要条件A 1A 2＋B 1B 2＝0 l 1与l 2平行的充分条件A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0) l 1与l 2相交的充分条件A 1A 2≠B 1B 2(A 2B 2≠0) l 1与l 2重合的充分条件A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0) [提醒] 在判断两直线位置关系时，比例式A 1A 2与B 1B 2，C 1C 2的关系容易记住，在解答选择、填空题时，建议多用比例式来解答．考点二 距离问题重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．(2018·衢州模拟)若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( )A. 2B.823C. 3D.833解析：选B 因为l 1∥l 2，所以1a －2＝a 3≠62a，解得a ＝－1，所以l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，所以l 1与l 2之间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－232＝823.2．直线3x ＋4y －3＝0上一点P 与点Q (2，－2)的连线的最小值是________． 解析：∵点Q 到直线的距离即为P ，Q 两点连线的最小值， ∴|PQ |min ＝|3×2＋4×－2－3|32＋42＝1. 答案：13．若直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为________．解析：法一：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13.∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意． 故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1. 法二：当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13，∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1,4)． ∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1. 答案：x ＋3y －5＝0或x ＝－1[由题悟法]处理距离问题的2大策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．(2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而使计算简便．[即时应用]1．已知P 是直线2x －3y ＋6＝0上一点，O 为坐标原点，且点A 的坐标为(－1,1)，若|PO |＝|PA |，则P 点的坐标为________．解析：法一：设P (a ，b )，则⎩⎨⎧2a －3b ＋6＝0，a 2＋b 2＝a ＋12＋b －12，解得a ＝3，b ＝4.∴P 点的坐标为(3,4)． 法二：线段OA 的中垂线方程为x －y ＋1＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋6＝0，x －y ＋1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，则P 点的坐标为(3,4)．答案：(3,4)2．已知直线l ：ax ＋y －1＝0和点A (1,2)，B (3,6)．若点A ，B 到直线l 的距离相等，则实数a 的值为________．解析：法一：要使点A ，B 到直线l 的距离相等， 则AB ∥l ，或A ，B 的中点(2,4)在直线l 上． 所以－a ＝6－23－1＝2或2a ＋4－1＝0，解得a ＝－2或－32.法二：要使点A ，B 到直线l 的距离相等， 则|a ＋1|a 2＋1＝|3a ＋5|a 2＋1，解得a ＝－2或－32.答案：－2或－32考点三 对称问题题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型． 常见的命题角度有： (1)点关于点对称； (2)点关于线对称；(3)线关于线对称．[题点全练]角度一：点关于点对称1．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________．解析：设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，把B 点坐标代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上， 所以由两点式得直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 答案：x ＋4y －4＝02．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，则直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程为________．解析：法一：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如M (1,1)，N (4，3)， 则M ，N 关于点A 的对称点M ′，N ′均在直线l ′上．易知M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0. 法二：设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，∵P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0， 即2x －3y －9＝0. 答案：2x －3y －9＝0 角度二：点关于线对称3．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程．解：(1)设A ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.∴A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0.得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. 角度三：线关于线对称4．直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是( ) A ．x －2y ＋3＝0 B ．x －2y －3＝0 C ．x ＋2y ＋1＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选A 设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－y －y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0， 即x －2y ＋3＝0.[通法在握]1．中心对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于点对称：若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解．(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 2．轴对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称：若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)． (2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．[演练冲关]1．与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为________． 解析：设A (x ，y )为所求直线上的任意一点， 则A ′(x ，－y )在直线3x －4y ＋5＝0上，即3x －4(－y )＋5＝0，故所求直线方程为3x ＋4y ＋5＝0. 答案：3x ＋4y ＋5＝02已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．解析：设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －－3·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0. 答案：6x －y －6＝03．已知△ABC 中，顶点A (4,5)，点B 在直线l ：2x －y ＋2＝0上，点C 在x 轴上，求△ABC 周长的最小值．解：设点A 关于直线l ：2x －y ＋2＝0的对称点为A 1(x 1，y 1)，点A 关于x 轴的对称点为A 2(x 2，y 2)，连接A 1A 2交l 于点B ，交x 轴于点C ，则此时△ABC 的周长取最小值，且最小值为||A 1A 2.∵A 1与A 关于直线l ：2x －y ＋2＝0对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1－5x 1－4×2＝－1，2×x 1＋42－y 1＋52＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝7.∴A 1(0,7)．易求得A 2(4，－5)，∴△ABC 周长的最小值为||A 1A 2＝4－02＋－5－72＝410.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直D ．不能确定解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋m ＝0，x ＋2y ＋n ＝0，可得3x ＋2m －n ＝0，由于3x ＋2m －n ＝0有唯一解，故方程组有唯一解，故两直线相交，两直线的斜率分别为－2，－12，斜率之积不等于－1，故不垂直．2．(2018·浙江名校协作体联考)“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选 C 因为直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a a －2＝3×1，a ×1≠3×1，解得a ＝－1，故选C.3．(2018·丽水调研)已知直线l 1过点(－2,0)且倾斜角为30°，直线l 2过点(2,0)且与直线l 1垂直，则直线l 1与直线l 2的交点坐标为( )A ．(3，3)B ．(2，3)C ．(1，3)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 解析：选C 直线l 1的斜率为k 1＝tan 30°＝33，因为直线l 2与直线l 1垂直，所以k 2＝－1k 1＝－3，所以直线l 1的方程为y ＝33(x ＋2)，直线l 2的方程为y ＝－3(x －2)．两式联立，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，即直线l 1与直线l 2的交点坐标为(1，3)．4．(2018·诸暨期初)已知点A (7，－4)关于直线l 的对称点为B (－5,6)，则该对称直线l 的方程为( )A ．6x ＋5y －1＝0B ．5x ＋6y ＋1＝0C ．5x －6y －1＝0D ．6x －5y －1＝0解析：选D 由题可得，直线l 是线段AB 的垂直平分线．因为A (7，－4)，B (－5,6)，所以k AB ＝6＋4－5－7＝－56，所以k l ＝65.又因为A (7，－4)，B (－5,6)的中点坐标为(1,1)．所以直线l 的方程为y －1＝65(x －1)，即6x －5y －1＝0.5．若直线2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝－10，y ＝x ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9，y ＝－8.即直线2x －y ＝－10与y ＝x ＋1相交于点(－9，－8)． 又因为直线2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点， 所以－8＝－9a －2，解得a ＝23.答案：23二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·舟山调研)在直角坐标平面内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2的值为( )A.102B ．10C ．5D ．10解析：选D 由题意知P (0,1)，Q (－3,0)，∵过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直， ∴M 位于以PQ 为直径的圆上， ∵|PQ |＝9＋1＝10， ∴|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝10.2．(2018·慈溪模拟)曲线y ＝2x －x 3在x ＝－1处的切线为l ，则点P (3,2)到直线l 的距离为( )A.722 B.922C.1122D.91010解析：选A 由题可得，切点坐标为(－1，－1)．y ′＝2－3x 2，由导数的几何意义可知，该切线的斜率为k ＝2－3＝－1，所以切线的方程为x ＋y ＋2＝0.所以点P (3,2)到直线l 的距离为d ＝|3＋2＋2|12＋12＝722. 3．(2018·绵阳模拟)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( )A.95 B.185 C.2910D.295解析：选C 因为36＝48≠－125，所以两直线平行，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910， 所以|PQ |的最小值为2910.4．(2018·厦门模拟)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n 等于( )A.345B.365C.283D.323解析：选A 由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，则⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝315，故m ＋n ＝345.5．从点(2,3)射出的光线沿与向量a ＝(8,4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( )A ．x ＋2y －4＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋6y －16＝0D ．6x ＋y －8＝0解析：选A 由直线与向量a ＝(8,4)平行知，过点(2,3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式可得反射光线所在的直线方程为x ＋2y －4＝0.6．(2018·余姚检测)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________．解析：显然直线l 的斜率不存在时，不满足题意； 设所求直线方程为y －4＝k (x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2， ∴k ＝2或k ＝－23.∴所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0.答案：2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝07.如图所示，已知两点A (4,0)，B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程为________．解析：易得AB 所在的直线方程为x ＋y ＝4，由于点P 关于直线AB 对称的点为A 1(4,2)，点P 关于y 轴对称的点为A 2(－2,0)，则光线所经过的路程即A 1与A 2两点间的距离．于是|A 1A 2|＝4＋22＋2－02＝210.答案：2108．(2018·绍兴一中检测)两平行直线l 1，l 2分别过点P (－1,3)，Q (2，－1)，它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离的取值范围是________．解析：∵l 1∥l 2，且P ∈l 1，Q ∈l 2，∴l 1，l 2间的最大距离为|PQ |＝[2－－1]2＋－1－32＝5，又l 1与l 2不重合，∴l 1，l 2之间距离的取值范围是(0,5]．答案：(0,5]9．已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解：(1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)－b ＝0.①又∵直线l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.② 联立①②解得a ＝2，b ＝2. (2)∵直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2， ∴直线l 1的斜率存在． ∴k 1＝k 2，即ab＝1－a .又∵坐标原点到这两条直线的距离相等， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数， 即4b＝b .故a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.10．已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解：依题意知：k AC ＝－2，A (5,1)， ∴l AC 的方程为2x ＋y －11＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，得C (4,3)．设B (x 0，y 0)，则AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12，代入2x －y －5＝0， 得2x 0－y 0－1＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，得B (－1，－3)，∴k BC ＝65，∴直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知线段AB 的两个端点A (0，－3)，B (3,0)，且直线y ＝2λx ＋λ＋2与线段AB 总相交，则实数λ的取值范围为________．解析：如图所示，因为y ＝2λx ＋λ＋2恒过定点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2，连接AC ，CB ，所以直线AC 的斜率k AC ＝－10，直线BC 的斜率k BC ＝－47. 又直线y ＝2λx ＋λ＋2与线段AB 总相交，所以k AC ≤2λ≤k BC ，所以λ的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5，－27. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5，－27 2．已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4)． (1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标． (2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程． 解：(1)证明：直线l 的方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，所以直线l 恒过定点(－2,3)．。

第八单元解析几何课时作业(四十六)第46讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程基础热身1.已知直线l过点(0,0)和(3,1),则直线l的斜率为()A.3B.C.-D.-32.如果A·B<0,B·C>0,那么直线Ax-By-C=0不经过的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.[2017·绵阳二诊]直线x-y-3=0的倾斜角α是.4.[2017·郑州一中调研]点(,4)在直线l:ax-y+1=0上,则直线l的倾斜角为.5.已知等边三角形ABC的两个顶点为A(0,0),B(4,0),且第三个顶点在第四象限,则BC边所在的直线方程是.能力提升6.[2017·通化二模]已知角α是第二象限角,直线2x+y tan α+1=0的斜率为,则cos α等于()A.B.-C.D.-7.过点(-10,10)且在x轴上的截距是在y轴上的截距的4倍的直线的方程为()A.x-y=0B.x+4y-30=0C.x+y=0 或x+4y-30=0D.x+y=0或x-4y-30=08.若<α<2π,则直线+=1必不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9.直线l:mx-m2y-1=0经过点P(2,1),则倾斜角与直线l的倾斜角互为补角的一条直线的方程是()A.x-y-1=0B.2x-y-3=0C.x+y-3=0D.x+2y-4=010.已知点A(1,-2)和B,0在直线l:ax-y-1=0(a≠0)的两侧,则直线l的倾斜角的取值范围是()A.B.C.D.∪11.[2017·黄冈质检]已知在△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,P是线段AB上的点,则P到AC,BC的距离的乘积的最大值为()A.3B.2C.2D.912.不论k为何实数,直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0恒过一个定点,则这个定点的坐标是.13.一条直线经过点A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1,则此直线的方程为.14.[2017·绵阳南山中学一诊]在平面直角坐标系xOy中,点A(0,1),B(0,4),若直线2x-y+m=0上存在点P,使得|PA|=|PB|,则实数m的取值范围是.难点突破15.(5分)已知直线l:x-my+m=0上存在点M满足与A(-1,0),B(1,0)两点连线的斜率k MA 与k MB之积为3,则实数m的取值范围是()A.[-,]B.∪C.∪D.16.(5分)[2017·河南安阳调研]直线y=m(m>0)与y=|log a x|(a>0且a≠1)的图像交于A,B 两点,分别过点A,B作垂直于x轴的直线交y=(k>0)的图像于C,D两点,则直线CD的斜率()A.与m有关B.与a有关C.与k有关D.等于-1课时作业(四十七)第47讲两直线的位置关系、距离公式基础热身1.[2017·永州一模]已知直线l1:x+y+1=0,l2:x+y-1=0,则l1与l2之间的距离为()A.1B.C.D.22.[2017·南昌一模]两直线3x+2y-2a=0与2x-3y+3b=0的位置关系是()A.垂直B.平行C.重合D.以上都不对3.[2017·河北武邑中学月考]过点P(1,2),且到原点的距离最大的直线的方程是()A.x+2y-5=0B.2x+y-4=0C.x+3y-7=0D.3x+y-5=04.[2017·大庆实验中学一模]与直线x+y+2=0垂直的直线的倾斜角为.5.[2017·重庆一中期中]点(-1,-2)关于直线x+y=1对称的点的坐标是.能力提升6.已知直线l1:(m-4)x-(2m+4)y+2m-4=0与l2:(m-1)x+(m+2)y+1=0,则“m=-2”是“l1∥l2”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件7.[2018·南昌二中月考]已知直线l1:mx-y+3=0与l2关于直线y=x对称, l2与l3:y=-x+垂直,则m=()A.-B.C.-2D.28.已知b>0,直线(b2+1)x+ay+2=0与直线x-b2y-1=0互相垂直,则ab的最小值为()A.1B.2C.2D.29.点P在直线3x+y-5=0上,且点P到直线x-y-1=0的距离为,则点P的坐标为()A.(1,2)B.C.或D.或10.[2017·台州中学月考]设△ABC的一个顶点是A(3,-1),∠B,∠C的平分线的方程分别是x=0,y=x,则直线BC的方程是()A.y=3x+5B.y=2x+3C.y=2x+5D.y=-+11.[2017·莱芜期末]已知直线l:Ax+By+C=0(A,B不全为0),两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),若(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)>0,且|Ax1+By1+C|>|Ax2+By2+C|,则()A.直线l与直线P1P2不相交B.直线l与线段P2P1的延长线相交C.直线l与线段P1P2的延长线相交D.直线l与线段P1P2相交12.已知直线3x+4y-3=0,6x+my+14=0平行,则它们之间的距离是.13.[2017·蚌埠质检]在平面直角坐标系中,已知点P(-2,2),对于任意不全为零的实数a,b,直线l:a(x-1)+b(y+2)=0,若点P到直线l的距离为d,则d的取值范围是.14.[2017·六安一中月考]已知曲线y=在点P(1,4)处的切线与直线l平行且两直线之间的距离为,则直线l的方程为.难点突破15.(5分)[2017·南昌一模]已知点P在直线x+3y-2=0上,点Q在直线x+3y+6=0上,线段PQ 的中点为M(x0,y0),且y0<x0+2,则的取值范围是()A.B.C.D.∪16.(5分)已知x,y为实数,则代数式++的最小值是.课时作业(四十八)第48讲圆的方程基础热身1.方程x2+y2-2x+m=0表示一个圆,则m的取值范围是()A.m<1B.m<2C.m≤D.m≤12.已知点P是圆(x-3)2+y2=1上的动点,则点P到直线y=x+1的距离的最小值是()A.3B.2C.2-1D.2+13.[2017·天津南开区模拟]圆心在y轴上,且过点(3,1)的圆与x轴相切,则该圆的方程是()A.x2+y2+10y=0B.x2+y2-10y=0C.x2+y2+10x=0D.x2+y2-10x=04.[2017·武汉三模]若直线2x+y+m=0过圆x2+y2-2x+4y=0的圆心,则m的值为.5.[2017·郑州、平顶山、濮阳二模]以点M(2,0),N(0,4)为直径的圆的标准方程为.能力提升6.[2017·湖南长郡中学、衡阳八中等十三校联考]圆(x-2)2+y2=4关于直线y=x对称的圆的方程是()A.+=4B.+=4C.x2+=4D.+=47.已知两点A(a,0), B(-a,0)(a>0),若曲线x2+y2-2x-2y+3=0上存在点P,使得∠APB=90°,则正实数a的取值范围为()A.(0,3]B.[1,3]C.[2,3]D.[1,2]8.[2017·九江三模]已知直线l经过圆C:x2+y2-2x-4y=0的圆心,且坐标原点O到直线l的距离为,则直线l的方程为()A.x+2y+5=0B.2x+y-5=0C.x+2y-5=0D.x-2y+3=09.[2017·海南中学、文昌中学联考]抛物线y=x2-2x-3与坐标轴的交点在同一个圆上,则该圆的方程为()A.x2+=4B.+=4C.+y2=4D.+=510.[2017·广州一模]已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0的圆心在直线ax-by+1=0上,则ab的取值范围是()A.B.C.D.11.已知直线l1:x+2y-5=0与直线l2:mx-ny+5=0(n∈Z)相互垂直,点(2,5)到圆C:(x-m)2+(y-n)2=1的最短距离为3,则mn= .12.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=25,圆C上的点到直线l:3x+4y+m=0(m<0)的最短距离为1,若点N(a,b)在直线l位于第一象限的部分,则+的最小值为.13.(15分)已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆.(1)求实数m的取值范围;(2)求该圆半径r的取值范围;(3)求该圆圆心的纵坐标的最小值.14.(15分)已知曲线C1:x2+y2=1,点N是曲线C1上的动点,O为坐标原点.(1)已知定点M(-3,4),动点P满足=+,求动点P的轨迹方程;(2)设点A为曲线C1与x轴正半轴的交点,将A沿逆时针旋转得到点B,若=m+n,求m+n的最大值.难点突破15.(5分)[2018·赣州红色七校联考]已知圆C:x2+y2-2ax-2by+a2+b2-1=0(a<0)的圆心在直线x-y+=0上,且圆C上的点到直线x+y=0的距离的最大值为1+,则a2+b2的值为()A.1B.2C.3D.416.(5分)[2017·北京朝阳区二模]已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y=相交于A,B 两点,O为坐标原点,当△AOB的面积最大时,直线l的倾斜角为()A.150°B.135°C.120°D.30°课时作业(四十九)第49讲直线与圆、圆与圆的位置关系基础热身1.直线y=2x+1与圆x2+y2-2x+4y=0的位置关系为()A.相交且经过圆心B.相交但不经过圆心C.相切D.相离2.[2017·惠州调研]圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为()A.内切B.相交C.外切D.相离3.[2017·大连一模]直线4x-3y=0与圆(x-1)2+(y-3)2=10相交所得弦的长为()A.6B.3C.6D.34.圆心为(4,0)且与直线x-y=0相切的圆的方程为.5.[2017·昆明一中模拟]若点A,B在圆O:x2+y2=4上,弦AB的中点为D(1,1),则直线AB的方程是.能力提升6.[2017·洛阳二模]已知圆C的方程为x2+y2=1,直线l的方程为x+y=2,过圆C上任意一点P作与l的夹角为45°的直线交l于A,则的最小值为()A.B.1C.-1D.2-7.[2017·天津红桥区八校联考]若直线2ax-by+2=0 (a>0,b>0)经过圆x2+y2+2x-4y+1=0的圆心,则+的最小值是()A.B.4C.D.28.[2017·湖北六校联考]过点P(1,2)的直线与圆x2+y2=1相切,且与直线l:ax+y-1=0垂直,则实数a的值为()A.0B.-C.0或D.9.[2017·广州模拟]已知k∈R,点P(a,b)是直线x+y=2k与圆x2+y2=k2-2k+3的公共点,则ab 的最大值为()A.15B.9C.1D.-10.[2017·安阳二模]已知圆C 1:x2+y2+4x-4y-3=0,动点P在圆C2:x2+y2-4x-12=0上,则△PC1C2面积的最大值为()A.2B.4C.8D.2011.[2017·宜春二模]已知圆x2+y2=1和圆外一点P(1,2),过点P作圆的切线,则切线方程为.12.[2017·长沙雅礼中学模拟]在平面直角坐标系xOy中,以点(0,1)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m>0)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为.13.(15分)[2017·汕头三模]已知圆C经过点(2,4),(1,3),圆心C在直线x-y+1=0上,过点A(0,1),且斜率为k的直线l与圆相交于M,N两点.(1)求圆C的方程.(2)①请问·是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.②若O为坐标原点,且·=12,求直线l的方程.14.(15分)已知圆O:x2+y2=9及点C(2,1).(1)若线段OC的垂直平分线交圆O于A,B两点,试判断四边形OACB的形状,并给出证明;(2)过点C的直线l与圆O交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求直线l的方程.难点突破15.(5分)[2017·汉中质检]已知P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的切线,A,B是切点,C是圆心,那么四边形PACB面积的最小值是 ()A.2B.2C.3D.316.(5分)[2017·重庆巴蜀中学三模]已知P为函数y=的图像上任一点,过点P作直线PA,PB 分别与圆x2+y2=1相切于A,B两点,直线AB交x轴于M点,交y轴于N点,则△OMN的面积为.课时作业(五十)第50讲椭圆基础热身1.[2017·陕西黄陵中学二模]已知椭圆的标准方程为x2+=1,则椭圆的焦点坐标为()A.(,0),(-,0)B.(0,),(0,-)C.(0,3),(0,-3)D.(3,0),(-3,0)2.[2017·河南息县一中模拟]已知圆O:x2+y2=4经过椭圆C:+=1(a>b>0)的短轴端点和两个焦点,则椭圆C的标准方程为 ()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=13.[2017·淮北模拟]椭圆+=1的右焦点到直线y=x的距离是()A.B.C.1D.4.[2017·河南师范大学附属中学模拟]椭圆C: +=1(a>b>0)的左焦点为F,若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点,则椭圆C的离心率为.5.[2017·南宁期末]定义:椭圆上一点与两焦点构成的三角形为椭圆的焦点三角形.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为4,焦点三角形的周长为4+12,则椭圆C的方程是.能力提升6.[2017·株洲一模]已知椭圆+=1(a>b>0),F1为左焦点,A为右顶点, B1,B2分别为上、下顶点,若F1,A,B1,B2四点在同一个圆上,则此椭圆的离心率为()A.B.C.D.7.[2017·韶关二模]在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为,点P为椭圆上一点,且△PF1F2的周长为12,那么C的方程为()A.+y2=1B.+=1C.+=1D.+=18.[2017·郑州三模]椭圆+=1的左焦点为F,直线x=a与椭圆相交于点M,N,当△FMN的周长最大时,△FMN的面积是()A.B.C.D.9.[2017·泉州模拟]已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,若点F关于直线y=-x的对称点P在椭圆C上,则椭圆C的离心率为 ()A.B.C.D.10.[2017·沈阳东北育才学校九模]椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,弦AB过F1,若△ABF2的内切圆的周长为π,A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则|y1-y2|的值为 () A.B.C.D.11.[2017·泉州质检]已知椭圆C:+=1的左顶点、上顶点、右焦点分别为A,B,F,则·= .12.[2017·运城二模]已知F是椭圆+=1(a>b>0)的左焦点,A为右顶点,P是椭圆上的一点,PF⊥x轴,若|PF|=|AF|,则该椭圆的离心率是.13.(15分)[2018·海南八校联考]如图K50-1,点M(,)在椭圆+=1(a>b>0)上,且点M到两焦点的距离之和为6.(1)求椭圆的方程;(2)设与MO (O为坐标原点)垂直的直线交椭圆于A,B (A,B不重合),求·的取值范围.图K50-114.(15分)[2017·南宁质检]已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若圆O:x2+y2=1的切线l与椭圆C相交于A,B两点,线段AB的中点为M,求的最大值.难点突破15.(5分)[2017·长沙模拟]已知F是椭圆+=1的左焦点,设动点P在椭圆上,若直线FP 的斜率大于,则直线OP(O为坐标原点)的斜率的取值范围是()A.B.∪C.∪D.16.(5分)[2017·郑州模拟]某同学的作业不小心被墨水玷污,经仔细辨认,整理出以下两条有效信息:①题目:“在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆x2+2y2=1的左顶点为A,过点A作两条斜率之积为2的射线与椭圆交于B,C……”②解:“设直线AB的斜率为k……点B,,D-,0……”据此,请你写出直线CD 的斜率为.(用k表示)课时作业(五十一)第51讲双曲线基础热身1.[2017·浙江名校联考]双曲线-=1的渐近线方程是()A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x2.若双曲线C:x2-=1(b>0)的离心率为2,则b=()A.1B.C.D.23.[2017·泉州一模]在平面直角坐标系xOy中,双曲线C的一个焦点为F(2,0),一条渐近线的倾斜角为60°,则C的标准方程为()A.-y2=1B.-x2=1C.x2-=1D.y2-=14.已知双曲线经过点(2,1),其一条渐近线方程为y=x,则该双曲线的标准方程为.5.[2017·柳州模拟]设双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交双曲线左支于A,B两点,则|AF2|+|BF2|的最小值为.能力提升6.[2017·洛阳模拟]已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,则C的两条渐近线的方程为()A.y=±xB.y=±xC.y=±2xD.y=±x7.[2017·汉中二模]如图K51-1,F1,F2分别是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线l与C的左、右两个分支分别交于点B,A.若△ABF2为等边三角形,则双曲线的离心率为()图K51-1A.4B.C.D.8.[2017·泸州三诊]已知在Rt△ABC中,|AB|=3,|AC|=1,A=,以B,C为焦点的双曲线-=1(a>0,b>0)经过点A,且与AB边交于点D,则的值为 ()A.B.3C.D.49.已知O为坐标原点,F是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点,P为C上一点,且PF⊥x轴,过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E,直线BM与y 轴交于点N,若=2,则C的离心率为()A.3B.2C.D.10.[2017·重庆一中期中]已知A(-2,0),B(2,0),若在斜率为k的直线l上存在不同的两点M,N,满足|MA|-|MB|=2,|NA|-|NB|=2,且线段MN的中点为(6,1),则k的值为 ()A.-2B.-C.D.211.[2017·衡阳联考]双曲线的两条渐近线的方程为x±2y=0,则它的离心率为.12.[2017·石家庄二模]双曲线-=1(a>0,b>0)上一点M(-3,4)关于一条渐近线的对称点恰为右焦点F2,则该双曲线的标准方程为.13.(15分)[2017·海南一模]双曲线C的一条渐近线方程是x-2y=0,且双曲线C过点(2,1).(1)求双曲线C的方程;(2)设双曲线C的左、右顶点分别是A1,A2,P为C上任意一点,直线PA1,PA2分别与直线l:x=1交于M,N,求|MN|的最小值.14.(15分)[2017·菏泽模拟]双曲线C的中心在原点,右焦点为F,0,渐近线方程为y=±x.(1)求双曲线C的方程.(2)设直线l:y=kx+1与双曲线C交于A,B两点,当k为何值时,以线段AB为直径的圆过原点?难点突破15.(5分)[2017·重庆一中月考]已知F2是双曲线E:x2-=1的右焦点,过点F2的直线交E的右支于不同的两点A,B,过点F2且垂直于直线AB的直线交y轴于点P,则的取值范围是()A. B.C. D.16.(5分)[2017·日照三模]在等腰梯形ABCD中,AB∥CD且|AB|=2,|AD|=1,|CD|=2x,其中x ∈(0,1),以A,B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1,以C,D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2,若对任意x∈(0,1),不等式m<e1+e2恒成立,则m的最大值为()A.B.C.2D.课时作业(五十二)第52讲抛物线基础热身1.[2017·渭南质检]抛物线y=x2的焦点到准线的距离为()A.2B.C.D.42.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点在圆C:(x+2)2+y2=16上,则p的值为()A.1B.2C.4D.83.[2017·合肥六校联考]抛物线y=x2的焦点到双曲线y2-=1的渐近线的距离为 ()A.B.C.1D.4.焦点坐标为(-2,0)的抛物线的标准方程为.5.已知抛物线y2=6x上的一点到焦点的距离是到y轴距离的2倍,则该点的横坐标为.能力提升6.已知点A的坐标为(5,2),F为抛物线y2=x的焦点,若点P在抛物线上移动,当|PA|+|PF|取得最小值时,点P的坐标是 ()A.(1,)B.(,2)C.(,-2)D.(4,2)7.若抛物线y2=2px的焦点到双曲线-=1的渐近线的距离为p,则抛物线的标准方程为()A.y2=16xB.y2=8xC.y2=16x或y2=-16xD.y2=8x或y2=-8x8.[2017·豫南九校联考]设抛物线x2=4y的焦点为F,过点F作斜率为k(k>0)的直线l与抛物线相交于A,B两点,点P恰为AB的中点,过点P作x轴的垂线与抛物线交于点M,若=4,则直线l的方程为()A.y=2x+1B.y=x+1C.y=x+1D.y=2x+29.[2017·蚌埠三模]设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.若直线AF的斜率为-,则|PF|=()A.4B.6C.8D.1610.[2018·长沙模拟]已知F为抛物线C: y2=4x的焦点,过F的直线l与C相交于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点M,垂足为E,若=6,则= ()A.2B.C.2D.11.[2017·漳州八校联考]已知M是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,F是抛物线C的焦点,若|MF|=p,K是抛物线C的准线与x轴的交点,则∠MKF= .12.[2017·天津河西区二模]已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,+=3,则线段AB的中点到y轴的距离为.13.(15分)[2017·孝感模拟]已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率e=,过F2作垂直于x轴的直线交椭圆C于A,B两点,△F1AB的面积为3,抛物线E:y2=2px(p>0)以椭圆C的右焦点F2为焦点.(1)求抛物线E的方程;(2)若点P-,t(t≠0)为抛物线E的准线上一点,过点P作y轴的垂线交抛物线于点M,连接PO并延长交抛物线于点N,求证: 直线MN过定点.14.(15分)[2017·广东海珠区调研]已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且到原点的距离为2.(1)求抛物线E的方程;(2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.难点突破15.(5分)[2017·长沙三模]已知抛物线y2=4x,焦点为F,过点F作直线l交抛物线于A,B 两点,则|AF|-的最小值为()A.2-2B.C.3-D.2-216.(5分)[2017·抚州二模]已知直线y=2x-2与抛物线y2=8x交于A,B两点,抛物线的焦点为F,则·的值为.课时作业(五十三)第53讲曲线与方程基础热身1.在平面直角坐标系中,已知定点A(0,-),B(0,),直线PA与直线PB的斜率之积为-2,则动点P的轨迹方程为()A.+x2=1B.+x2=1(x≠0)C.-x2=1D.+y2=1(x≠0)2.过点F(0,3)且和直线y+3=0相切的动圆圆心的轨迹方程为()A.x2=12yB.y2=-12xC.y2=12xD.x2=-12y3.设P为双曲线-y2=1上一动点,O为坐标原点,M为线段OP的中点,则点M的轨迹方程是()A.x2-4y2=1B.4y2-x2=1C.x2-=1D.-y2=14.[2017·沈阳模拟]平面直角坐标系中,已知O为坐标原点,点A,B的坐标分别为(1,1),(-3,3).若动点P满足=λ+μ,其中λ,μ∈R,且λ+μ=1,则点P的轨迹方程为()A.x-y=0B.x+y=0C.x+2y-3=0D.+=55.[2017·北京海淀区期中]已知F1(-2,0),F2(2,0),满足||PF1|-|PF2||=2的动点P的轨迹方程为.能力提升6.[2017·上海普陀区二模]动点P在抛物线y=2x2+1上移动,若P与点Q(0,-1)连线的中点为M,则动点M的轨迹方程为()A.y=2x2B.y=4x2C.y=6x2D.y=8x27.到直线3x-4y-1=0的距离为2的点的轨迹方程是()A.3x-4y-11=0B.3x-4y+9=0C.3x-4y+11=0或3x-4y-9=0D.3x-4y-11=0或3x-4y+9=08.[2017·马鞍山质检]已知A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C为一个焦点作过A,B的椭圆,则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是()A.y2-=1B.x2-=1C.y2-=1D.x2-=19.[2017·襄阳五中月考]已知||=3,A,B分别在x轴和y轴上运动,O为坐标原点,=+,则动点P的轨迹方程是()A.x2+=1B.+y2=1C.x2+=1D.+y2=110.[2017·黄山二模]在△ABC中,B(-2,0),C(2,0),A(x,y),给出△ABC满足的条件,就能得到动点A的轨迹方程.下表给出了一些条件及方程:条件方程①△ABC的周长为C1:y2=2510②△ABC的面积为C2:x2+y2=4(y≠0)10③△ABC中,∠C3:+=1(y≠0)A=90°则分别满足条件①②③的轨迹方程依次为()A.C3,C1,C2B.C1,C2,C3C.C3,C2,C1D.C1,C3,C211.[2017·浙江名校一联]已知两定点A(-2,0),B(2,0)及定直线l:x=,点P是l上一个动点,过B作BP的垂线与AP交于点Q,则点Q的轨迹方程为.12.[2017·哈尔滨三模]已知圆C:x2+y2=25,过点M(-2,3)作直线l交圆C于A,B两点,分别过A,B两点作圆的切线,当两条切线相交于点Q时,点Q的轨迹方程为.13.(15分)[2017·石家庄模拟]已知P,Q为圆x2+y2=4上的动点,A(2,0),B(1,1)为定点.(1)求线段AP的中点M的轨迹方程;(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ的中点N的轨迹方程.14.(15分)[2017·合肥二模]如图K53-1,抛物线E:y2=2px(p>0)与圆O:x2+y2=8相交于A,B 两点,且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0,y0)作圆O的切线交抛物线E于C,D两点,分别以C,D为切点作抛物线E的切线l1,l2,l1与l2相交于点M.(1)求p的值;(2)求动点M的轨迹方程.图K53-1难点突破15.(5分)[2017·湖南师大附中月考]已知圆O的方程为x2+y2=9,若抛物线C过点A(-1,0),B(1,0),且以圆O的切线为准线,则抛物线C的焦点F的轨迹方程为()A.-=1B.+=1C.-=1D.+=116.(5分)[2017·太原三模]已知过点A(-2,0)的直线与直线x=2相交于点C,过点B(2,0)的直线与x=-2相交于点D,若直线CD与圆x2+y2=4相切,则直线AC与BD的交点M的轨迹方程为.课时作业(五十四)第54讲第1课时直线与圆锥曲线的位置关系基础热身1.[2017·大庆一模]斜率为的直线与双曲线-=1恒有两个公共点,则双曲线离心率的取值范围是()A.B.C.D.2.若直线l:mx+ny=4和圆O:x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆+=1的交点有()A.0个B.至多1个C.1个D.2个3.已知过抛物线y2=4x焦点F的直线l交抛物线于A,B两点(点A在第一象限),若=3,则直线l的斜率为()A.2B.C.D.4.[2017·锦州质检]设抛物线x2=2y的焦点为F,经过点P(1,3)的直线l与抛物线相交于A,B 两点,且点P恰为AB的中点,则||+||= .5.已知抛物线C:y2=4x,直线l与抛物线C交于A,B两点,若线段AB的中点坐标为(2,2),则直线l的方程为.能力提升6.若直线y=2x+与抛物线x2=2py(p>0)相交于A,B两点,则等于()A.5pB.10pC.11pD.12p7.[2017·太原二模]已知双曲线Γ:-=1(a>0,b>0)的焦距为2c,直线l: y=kx-kc.若k=,则l与Γ的左、右两支各有一个交点;若k=,则l与Γ的右支有两个不同的交点.Γ的离心率的取值范围为()A.B.C.D.8.已知椭圆E:+=1的一个顶点为C(0,-2),直线l与椭圆E交于A,B两点,若E的左焦点为△ABC的重心,则直线l的方程为()A.6x-5y-14=0B.6x-5y+14=0C.6x+5y+14=0D.6x+5y-14=09.[2017·石家庄模拟]已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),过点P(3,6)的直线l与C相交于A,B两点,且AB的中点为N(12,15),则双曲线C的离心率为 ()A.2B.C.D.10.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作一条斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,过A,B分别向y轴引垂线交y轴于D,C,若梯形ABCD的面积为3,则p= ()A.1B.2C.3D.411.[2017·洛阳一模]已知椭圆C:+=1的左、右顶点分别为A,B,F为椭圆C的右焦点.圆x2+y2=4上有一动点P,P不同A,B两点,直线PA与椭圆C交于点Q(异于点A),若直线QF 的斜率存在,则的取值范围是.12.[2017·三湘名校联考]已知双曲线-=1(a>0,b>0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差的绝对值为4,若抛物线y=ax2上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,且x1x2=-,则m的值为.13.(15分)[2017·东北三省二联]已知在平面直角坐标系中,O是坐标原点,动圆P经过点F(0,1),且与直线l:y=-1相切.(1)求动圆圆心P的轨迹C的方程;(2)过F(0,1)的直线m交曲线C于A,B两点,过A,B分别作曲线C的切线l1,l2,直线l1,l2交于点M,求△MAB面积的最小值.14.(15分)已知直线l:y=kx+m与椭圆C:+=1(a>b>0)相交于A,P两点,与x轴、y轴分别相交于点N和点M,且|PM|=|MN|,点Q是点P关于x轴的对称点,QM的延长线交椭圆于点B,过点A,B分别作x轴的垂线,垂足分别为A1,B1.(1) 若椭圆C的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点,点D1,在椭圆C 上,求椭圆C的方程;(2)当k=时,若点N平分线段A1B1,求椭圆C的离心率.难点突破15.(5分)[2017·武汉三模]已知椭圆E:+=1(a>b>0)内有一点M(2,1),过M的两条直线l1,l2分别与椭圆E交于A,C和B,D两点,且满足=λ,=λ(其中λ>0且λ≠1),若λ变化时直线AB的斜率总为-,则椭圆E的离心率为()A.B.C.D.16.(5分)已知抛物线C1:y2=8x的焦点为F,椭圆C2:+=1(m>n>0)的一个焦点与抛物线C1的焦点重合,若椭圆C2上存在关于直线l:y=x+对称的两个不同的点,则椭圆C2的离心率e的取值范围为.课时作业(五十四)第54讲第2课时最值﹑范围﹑证明问题基础热身1.(12分)[2017·重庆调研]如图K54-1,已知椭圆E:+=1(a>b>0)的左顶点为A,右焦点为F(1,0),过点A且斜率为1的直线交椭圆E于另一点B,交y轴于点C,=6.(1)求椭圆E的方程;(2)过点F作直线l与椭圆E交于M,N两点,连接MO(O为坐标原点)并延长交椭圆E于点Q,求△MNQ面积的最大值及取最大值时直线l的方程.图K54-12.(12分)[2017·临汾模拟]已知动圆C与圆C1:(x-2)2+y2=1相外切,又与直线l:x=-1相切.(1)求动圆圆心轨迹E的方程;(2)若动点M为直线l上任一点,过点P(1,0)的直线与曲线E相交于A,B两点,求证:k MA+k MB=2k MP.能力提升3.(12分)[2017·广州模拟]已知定点F(0,1),定直线l:y=-1,动圆M过点F,且与直线l相切.(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程;(2)过点F的直线与曲线C相交于A,B两点,分别过点A,B作曲线C的切线l1,l2,两条切线相交于点P,求△PAB外接圆面积的最小值.4.(12分)[2017·永州一模]已知曲线C上的任一点到点F(0,1)的距离减去它到x轴的距离的差都是1.(1)求曲线C的方程;(2)设直线y=kx+m(m>0)与曲线C交于A,B两点,若对任意k∈R,都有·<0,求m的取值范围.5.(12分)[2017·蚌埠二模]已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A(- ,0),B(,0),离心率为.设点P(a,t)(t≠0),连接PA交椭圆于点C,坐标原点是O.(1)证明:OP⊥BC;(2)若三角形ABC的面积不大于四边形OBPC的面积,求|t|的最小值.难点突破6.(12分)[2017·石嘴山三模]经过原点的直线与椭圆C:+=1(a>b>0)交于A,B两点,点P 为椭圆上不同于A,B的一点,直线PA,PB的斜率均存在,且直线PA,PB的斜率之积为-.(1)求椭圆C的离心率;(2)设F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,斜率为k的直线l经过椭圆的右焦点,且与椭圆交于M,N两点,若点F1在以线段MN为直径的圆内部,求k的取值范围.课时作业(五十四)第54讲第3课时定点﹑定值﹑探索性问题基础热身1.(12分)[2017·岳阳一中月考]过抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A,B两点,当点A的纵坐标为1时,=2.(1)求抛物线C的方程.(2)若直线l的斜率为2,则抛物线C上是否存在一点M,使得MA⊥MB?并说明理由.2.(12分)[2017·重庆二诊]如图K54-2,已知A,B分别为椭圆C:+=1的左、右顶点,P为椭圆C上异于A,B的任意一点,直线PA,PB的斜率分别记为k1,k2.(1)求k1·k2.(2)过坐标原点O作与直线PA,PB分别平行的两条射线,分别交椭圆C于点M,N,△MON的面积是否为定值?请说明理由.图K54-2能力提升3.(12分)[2017·遂宁三诊]已知点F是拋物线C:y2=2px(p>0)的焦点,若点M(x0,1)在C上,且=.(1)求p的值;(2)若直线l经过点Q(3,-1)且与C交于A,B(异于M)两点, 证明: 直线AM与直线BM的斜率之积为常数.4.(12分)[2017·长沙质检]已知P是抛物线E:y2=2px(p>0)上一点,P到直线x-y+4=0的距离为d1,P到E的准线的距离为d2,且d1+d2的最小值为3.(1)求抛物线E的方程;(2)直线l1:y=k1(x-1)交E于A,B两点,直线l2:y=k2(x-1)交E于C,D两点,线段AB,CD的中点分别为M,N,若k1k2=-2,直线MN的斜率为k,求证:直线l:kx-y-kk1-kk2=0恒过定点.5.(12分)[2017·哈尔滨二模]椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且离心率为,点M为椭圆上一动点,△F1MF2内切圆面积的最大值为.(1)求椭圆的方程.(2)设椭圆的左顶点为A1,过右焦点F2的直线l与椭圆交于A,B两点,连接A1A,A1B并延长分别交直线x=4于P,Q两点,以线段PQ为直径的圆是否恒过定点?若是,请求出定点坐标;若不是,请说明理由.难点突破6.(12分)[2017·孝义模拟]设椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点为(-2,0),且椭圆C与直线y=x+3相切,(1)求椭圆C的标准方程.(2)过点P(0,1)的动直线与椭圆C交于A,B两点,O为坐标原点,是否存在常数λ,使得·+λ·=-7?请说明理由.课时作业(四十六)1.B[解析] 由斜率公式可得,直线l的斜率k==,故选B.2.A[解析] ∵直线在x轴、y轴上的截距分别为<0,-<0,∴直线Ax-By-C=0不经过的象限是第一象限,故选A.3.60°[解析] 由题意得,直线的斜率k=,即tan α=,所以α=60°.4.60°[解析] ∵点(,4)在直线l:ax-y+1=0上,∴a-4+1=0,∴a=,即直线l的斜率为,∴直线l的倾斜角为60°.5.y=(x-4)[解析] 易知直线BC的倾斜角为,故斜率为,由点斜式得直线方程为y=(x-4).6.D[解析] 由题意,得k=-=,故tan α=-,故cos α=-,故选D.7.C[解析] 由题意,当直线经过原点时,直线的方程为x+y=0;当直线不经过原点时,设直线的方程为+=1,则+=1,解得a=,此时直线的方程为+=1,即x+4y-30=0.故选C. 8.B[解析] 令x=0,得y=sin α<0,令y=0,得x=cos α>0,所以直线过点(0,sin α),(cos α,0)两点,因而直线不过第二象限,故选B.9.C[解析] 将(2,1)代入得2m-m2-1=0,所以m=1,所以直线l的方程为x-y-1=0,所以直线l 的斜率为1,倾斜角为,则所求直线的斜率为-1,故选C.10.D[解析] 设直线l的倾斜角为θ,则θ∈[0,π).易知直线l:ax-y-1=0(a≠0)经过定点P(0,-1),则k PA==-1,k PB==.∵点A(1,-2),B,0在直线l:ax-y-1=0(a≠0)的两侧,∴k PA<a<k PB,∴-1<tan θ<,tan θ≠0,得0<θ<或<θ<π,故选D.11.A[解析] 以C为坐标原点,CB所在直线为x轴建立直角坐标系(如图所示),则A(0,4),B(3,0),直线AB的方程为+=1.设P(x,y)(0≤x≤3),所以P到AC,BC的距离的乘积为xy,因为+≥2,当且仅当==时取等号,所以xy≤3,所以xy的最大值为3.故选A.12.(2,3)[解析] 直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0,即k(2x-y-1)+(-x-3y+11)=0,根据k的任意性可得解得∴不论k取什么实数,直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0都经过定点(2,3).13.x+2y-2=0或2x+y+2=0[解析] 设直线方程为+=1,得+=1.由题意知|ab|=1,即|ab|=2,所以或所以直线方程为x+2y-2=0或2x+y+2=0.14.[-2,2][解析] 设P,y,∵|PA|=|PB|,∴4|PA|2=|PB|2,又∵|PA|2=+(y-1)2,|PB|2=+(y-4)2,∴(y-m)2=16-4y2,其中4-y2≥0,故m=y±2,y∈[-2,2].令y=2sin θ,θ∈-,,则m=2sin θ±4cosθ=2sin(θ±φ),其中tan φ=2,故实数m的取值范围是[-2,2].15.C[解析] 设M(x,y),由k MA·k MB=3,得·=3,即y2=3x2-3.联立得-3x2+x+6=0(m≠0),则Δ=-24-3≥0,即m2≥,解得m≤-或m≥.∴实数m的取值范围是-∞,-∪,+∞.16.C[解析] 由|log a x|=m,得x A=a m,x B=a-m,所以y C=ka-m,y D=ka m,则直线CD的斜率为==-k,所以直线CD的斜率与m无关,与k有关,故选C.课时作业(四十七)1.B[解析] 由平行线间的距离公式可知,l1与l2之间的距离d==.2.A[解析] 直线3x+2y-2a=0的斜率为-,直线2x-3y+3b=0的斜率为,∵两直线斜率的乘积为-1,∴两直线垂直,故选A.。

[ 基础送分加速狂刷练]一、选择题1．(2017 ·上海模拟 )图中曲线的方程能够是()A ．(x＋y－1) ·(x2＋y2－1)＝0B.x＋y－1·(x2＋y2－1)＝0C．(x＋y－1) ·x2＋y2－1＝0D.x＋y－1· x2＋y2－1＝0答案C分析由图象可知曲线的方程能够是x2＋y2＝1 或 x＋y－1＝0(x2＋y2≥1)，应选 C.．·保定二模若点，坐标知足ln 1＝|x－1|，则点 P2 (2017)P(x y)y 的轨迹图象大概是 ()答案 B分析由题意， x ＝1 时， y ＝1，故清除 C ，D ；令 x ＝2，则 y ＝1±，清除 A.应选 B.e2＋y23 ．(2018 ·安徽模拟 点集，－1) ＝4} 表示的图形是一) {( x y)|(|x|条关闭的曲线，这条关闭曲线所围成的地区面积是()16π 16πA. 3 ＋ 2 3B. 3 ＋4 324π 24π C. 3 ＋2 3 D.3 ＋43答案 A分析 点集 {( x ，y)|(|x|－1)2＋ y 2＝4} 表示的图形是一条关闭的曲线，对于 x ，y 轴对称，如下图．4 1 4 16π由图可得面积 S ＝S 菱形 ＋3S 圆 ＝2×2 3×2＋3×π×4＝3＋23.应选 A.4．(2018 ·沈阳月考 )在△ ABC 中， B(－ 5，0)，C( 5，0)， AB ，AC 边上的中线长之和为 9.则△ ABC 重心 G 的轨迹方程是 ()x 2 y 2 x 2 y 2 A. 4 ＋9 ＝1(y ≠0) B.9＋ 4 ＝1(y ≠0)x 2 y 2C. 4－y 2＝1(y ≠0) D ．x 2－ 4 ＝1(y ≠0) 答案 B分析设 AB ，AC 边上的中线分别为 CD ，BE ，∵ BG ＝2 ，＝2，3BECG3CD2∴ BG ＋CG ＝3(BE ＋CD)＝6(定值 )．所以， G 的轨迹为以 B ，C 为焦点的椭圆， 2a ＝6，c ＝5，x 2 y 2∴ a ＝3， b ＝2，可得椭圆的方程为 9 ＋ 4 ＝ 1.∵当 G 点在 x 轴上时， A ，B ，C 三点共线，不可以组成△ ABC.x2∴ G 的纵坐标不可以是0，可得△ ABC 的重心 G 的轨迹方程为 9 ＋y24 ＝1(y ≠0)．应选 B.5．(2018 ·大武口期末 )已知抛物线 y 2＝4x ，焦点为 F ，极点为 O ，点 P 在抛物线上挪动， Q 是 OP 的中点， M 是 FQ 的中点，则点 M 的轨迹方程是 ( )A ． 2＝x －1B ．y 2＝2 －1yx2C ．y 2＝2(x －1)D ．y 2＝ x －12答案D2＝4x 的焦点 F 分析设 M(x ，y)，P(x 1，y 1) ，2，y 2 ，易求Q(x) y的坐标为 (1,0)．∵M 是 FQ 的中点，1＋x 2∴x ＝ 2 ，x 2＝2x －1，y 2?y 2＝2y ，y ＝ 2又 Q 是 OP 的中点，x2＝x1，x1＝2x2＝4x－2，∴2y1?＝4y.y2＝y1＝2y2 2∵P 在抛物线 y2＝4x 上，∴ (4y)2＝4(4x－2)，所以 M 点的轨迹方程为 y2＝x－12.应选 D.6．(2017 ·河北衡水中学期中 )已知 A(－1,0)，B 是圆 F：x2－2x＋y2－11＝0(F 为圆心 )上一动点，线段 AB 的垂直均分线交BF 于 P，则动点 P 的轨迹方程为 ()x2y2x2y2A. 12＋11＝1B.36－35＝1x2y2x2y2C.3－2＝1D.3＋2＝1答案D分析将圆 F 改写成标准方程 (x－1)2＋y2＝12，则圆心 F 的坐标为(1,0)，半径 r＝2 3，由题意可知 |PA|＝|PB|.又点 P 在圆 F 的半径BF 上，故 |PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝|BF|＝2 3>2＝|AF|，所以动点 P 的轨迹是以 A，F 为焦点， 2 3为长轴长的椭圆，则 2a＝2 3，2c＝2，x2y2所以 b＝ 2.故动点 P 的轨迹方程为3＋2＝1.应选 D.7 ． (2018 宜·城期末 已知过定点 C(2 ， 的直线 l 与抛物线 2＝2x ) 0) y订交于 A ，B 两点，作 OE ⊥AB 于 E.则点 E 的轨迹方程是 ( )A ．x 2＋y 2－2x ＝0(x ≠0)B ．x 2＋y 2－2x ＝0(y ≠0)C ．x 2＋y 2－4x ＝0D ．x 2＋y 2－4x ＝0(y ≠0)答案A分析直线 l 过定点 C(2,0)，∵ O(0,0)，C(2,0)，OE ⊥CE ， ∴△ OEC 为直角三角形，∴点 E 的轨迹是以线段 OC 为直径的圆除掉点 O ，故点 E 的轨迹方程为 (x － 1)2＋y 2＝ 1(x ≠0) ，即 x 2＋ y 2－ 2x ＝0(x ≠0)．应选 A.8． (2017 ·南模拟津 )平面直角坐标系中，已知两点 A(3,1)， B(－→→→R ，且1,3)，若点 C 知足 OC ＝λ1OA ＋λ2OB(O 为原点 )，此中 λ1，λ∈2λ＋λ＝1，则点 C 的轨迹是 ()1 2A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线 答案A→ → →分析设 C(x ，y)，因为 OC ＝λ ＋λ ，所以 (x ，y)＝λ1OA 2OB 1(3,1)＝y ＋3x ，－λ，λ110＋λx ＝ 3λ12解得2(－ 1，3)，即 ＝ λ＋3λ，－ xy12＝ 3y，λ210又 λ＋λ＝ 1，所以y ＋3x ＋3y －x＝1，即 x ＋2y ＝5，所以点 C 的121010轨迹为直线，应选 A.9 ．(2017 湖·北期中 已知方程 x 2＋ y 2 ＝1 表示的曲线为 C ，给 ) 4－t t －1出以下四个判断：①当 1<t<4 时，曲线 C 表示椭圆；②当 t>4 或 t<1 时曲线 C 表示双曲线；5③若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则1<t<2；④若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的双曲线，则t>4.此中判断正确的个数是 ()A ．1B ．2C ．3D ．4答案B5x2y2分析 由 4－t ＝t －1，可得 t ＝2，方程 4－t ＋t －1＝1 表示圆，故①不正确；由双曲线的定义可知：当 (4－ t)(t －1)<0 时，即 t<1 或 t>4 时，方x 2 y 2程4－t ＋t － 1＝1 表示双曲线，故②正确；5由椭圆定义可知：当椭圆在 x 轴上时，知足 4－t>t － 1>0，即 1<t<2x2y2时，方程4－t＋t－1＝1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，故③正确；4－t>0，若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的双曲线，则t－ 1<0，∴ t<1，故④不正确，应选 B.10．(2018 ·北京模拟 )如下图，在正方形 ABCD－A1B1C1D1的侧面 AB1内有一动点 P 到直线 A1B1与直线 BC 的距离相等，则动点 P所在曲线的形状为 ()答案C分析依题意可知 P 到点 B 的距离等于到直线A1B1的距离，根据抛物线的定义可知，动点P 的轨迹是以 B 为焦点，以 A1B1为准线的过 A 的抛物线的一部分．A 的图象为直线的图象，清除 A.B 项中 B 不是抛物线的焦点，清除 B.D 项可是 A 点， D 清除．应选 C.二、填空题11．若过抛物线y2＝4x 的焦点作直线与其交于M，N 两点，作平行四边形 MONP ，则点 P 的轨迹方程为 ________．答案 y 2＝4(x －2)分析当直线斜率存在时，设直线方程为y ＝k(x －1)，点 M(x 1，→ →y 1)，N(x 2，y 2)，P(x ，y)，由OM ＝NP ，得(x 1，y 1)＝ (x －x 2，y －y 2)．得x 1＋x 2＝x ，y 1＋y 2＝y.y ＝k x －1 ，2＋4 由联立得 x ＝x 1＋x 2＝2k2 . y 2＝4x ，ky ＝y 1＋y 2＝4，消去参数 k ，得 y 2＝4(x －2)．k当直线斜率不存在时， MN 的方程为 x ＝1，P(2,0)在曲线 y 2＝4(x－2)上．12．设 x ，y ∈R ，i ，j 为直角坐标平面内 x ，y 轴正方向上的单位向量，向量 a ＝x i ＋(y ＋ 2)j ，b ＝x i ＋(y －2)j ，且|a |＋|b |＝8，则点 M(x ，y)的轨迹方程为 ________．x 2y 2答案12＋16＝1分析 由已知得 a ＝(x ，y ＋2)，b ＝(x ，y －2)，而 |a |＋|b |＝8，故有 x 2＋ y ＋2 2＋ x 2＋ y －2 2＝8①，由①式知动点 M(x ，y)到两定点F 1(0，－2)，F 2(0,2)的距离之和为一常数，知足椭圆的定义，故 M 点轨迹为以 F 1，F 2 为焦点的椭圆，椭圆的长半轴长 a ＝4，所以短半轴x 2y 2长 b ＝2 3，故其轨迹方程为 12＋16＝1.213．(2018 ·中原名校联考 )已知双曲线x2－y 2＝1 的左、右极点分别为 A 1， A 2，点 P(x 1，y 1)，Q(x 1，－ y 1)是双曲线上不一样于 A 1，A 2 的两个不一样的动点，则直线 A 1 P 与 2 交点的轨迹方程为 ．A Q________ x 2答案 2＋ y 2＝1(x ≠0 且 x ≠± 2) 分析由题设知 |x 1|> 2，A 1(－ 2，0)， A 2( 2，0)，则有y 1 2(x ＋直线A1P 的方程为 y ＝x 1＋ 2)，①－y直线A2Q 的方程为 y ＝x 1－12(x －2)，②x ＝ 2 ，x 1＝2，联立①②，解得x 1∴x③2y 12yy ＝x 1 ，y 1＝ x ，2∴ x ≠0，且|x|< 2，因为点 P(x 1，y 1)在双曲线x2 －y2＝1 上，所以2x21－y 21＝1.2将③代入上式，整理得所求轨迹的方程为x＋ y 2＝ 1(x ≠0 且2x ≠± 2)．2214．(2018 ·西太原模拟山 )已知圆 O 1：(x －2) ＋y ＝16 和圆 O 2：迹为两个椭圆，设这两个椭圆的离心率分别为 e 1 和 e 2(e 1>e 2)，则 e 1＋ 2e 2 的最小值为 ________．3＋2 2答案4分析 设动圆 M 的半径为 R.动圆 M 与圆 O 1 和圆 O 2 都相切有两种状况，一是与圆 O 1 内切、与圆 O 2 外切，二是与圆 O 1 和圆 O 2 都内切．相切都能够转变为圆心距问题．第一种状况， d MO1＝4－R ，d MO2＝r ＋R ，d MO 1＋d MO 2＝4＋r ，为定值，且 O 1O 2＝2.故由椭圆的定义可4＋r知， M 的轨迹为一个椭圆， a ＝2 ， c ＝1.同理，第二种状况， M 的轨迹为一个椭圆， a ＝ 4－r，c ＝1. 2 ∵两个椭圆的离心率分别为 e 1 和 e 2(e 1>e 2)，∴ e 1＝ 2，e 2＝2 . 4－r4＋r24 2 4＋r ＋4 4－r 24－2r∴ e1＋2e2＝4－r ＋4＋r＝4－r 4＋r＝16－r2212－r＝－ 12－ r 2＋24 12－r －128＝2128－ 12－ r －12－r＋24≥212－r ·128－2＋2412－r＝－162 2 2＋3 2＋24＝4，当且仅当 12－r＝12128－r，即 r ＝12－8 2时，取“＝”．所以 e1＋2e2的最小值为3＋224.三、解答题15．(2018 ·安徽合肥模拟)如图，抛物线E：y2＝2px(p>0)与圆O：x2＋y2＝8 订交于 A，B 两点，且点 A 的横坐标为 2.过劣弧 AB 上动点P(x0，y0)作圆 O 的切线交抛物线 E 于 C，D 两点，分别以 C，D 为切点作抛物线 E 的切线 l1，l 2，l 1与 l2订交于点 M.(1)求 p 的值；(2)求动点 M 的轨迹方程．解 (1)由点 A 的横坐标为 2，可得点 A 的坐标为 (2,2)，代入 y2＝ 2px ，解得 p ＝1.22(2)设 Cy 1，y 1， Dy 2，y 2 ，y 1≠ 0，y 2≠0.2 2y 21设切线 l 1： y －y 1＝k x － 2 ，代入 y 2＝2x 得 ky 2－2y ＋2y 1－ky 12＝0，由 ＝0，11 y 1解得 k ＝y 1，∴ l 1 的方程为 y ＝y 1x ＋ 2 ，1y 2同理， l 2 的方程为 y ＝y 2x ＋ 2 .1 y 1y 1·y 2y ＝y 1x ＋ 2 ，x ＝ 2 ，联立1y 2解得①y 1＋y 2y ＝ x ＋，＝.y 2 2y2∵直线 CD 的方程为 x 0x ＋y 0y ＝8，此中 x 0，y 0 知足 x 20＋y 20＝8，x 0∈[2,2 2 ]，y 2＝2x ，由 得 x 0y 2＋2y 0y －16＝0，x 0x ＋y 0y ＝8，1＋y 2＝－2y 0，yx 0则②16.y 1·y 2＝－x 0x ＝－ 8 ，x 0 ＝－ 8，由①②可得x 0 则xy 0， ＝8y，y ＝－ y 0x 0 x 2代入 x 02＋y 02＝8 得x －y 2 ＝1.8考虑到 x 0∈[2,2 2 ] ，则 x ∈[－4，－ 2 2 ] ，x 2 ∴动点 M 的轨迹方程为8 － y 2＝1，x ∈ [－4，－ 2 2 ] ．16 ．(2016 ·全国卷Ⅲ ) 已知抛物线 ：2＝2x 的焦点为 F ，平行于C yx 轴的两条直线 l 1，l 2 分别交 C 于 A ，B 两点，交 C 的准线于 P ，Q 两点．(1)若 F 在线段 AB 上， R 是 PQ 的中点，证明 AR ∥FQ ；(2)若△ PQF 的面积是△ ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程．1解由题知 F 2，0 .设 l 1：y ＝a ， l 2：y ＝b ，则 ab ≠0，22且 A a ，a ，B b，b ，P －1，a ，Q －1，b ，2 2 2 2R －1， a ＋b .记过 A ，B 两点的直线为 l ，则 l 的方程为 2x － 2 2(a ＋b)y ＋ab ＝0.(1)证明：因为 F 在线段 AB 上，故 1＋ab ＝0.记 AR 的斜率为 k 1，FQ 的斜率为 k 2，则a －ba －b1 －abk 1＝1＋a 2＝a 2－ab ＝a ＝a＝－ b ＝k 2.所以 AR ∥FQ.(2)设 l11|b － 与 x 轴的交点为 D(x 1,0)，则 S △ABF ＝ |b －a| ·|FD|＝22－ 1 △|a －b| 1－1＝ |a － b| a| x 1 2 ，S PQF ＝ 2 .由题设可得 2×2|b －a| ·x 1 2 2 ，所以 x 1＝0(舍去 )或 x 1＝1.设知足条件的 AB 的中点为 E(x ，y)．当 AB 与 x 轴不垂直时，由 k＝k ，可得2 ＝ y ≠ ．ABDEa ＋b x －1(x1)a ＋b而 2＝ y ，所以 y 2＝x －1(x ≠1)．当 AB 与 x 轴垂直时， E 与 D 重合，此时E(1,0)知足方程 y 2＝x－1.所以，所求轨迹方程为 y 2＝x －1.。

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8.6 双曲线[课时跟踪检测][基础达标］1．（2017届合肥质检）若双曲线C1：错误!－错误!＝1与C2：错误!－错误!＝1（a>0，b〉0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4错误!，则b＝（）A．2 B．4C．6 D．8解析:由题意得错误!＝2⇒b＝2a,C2的焦距2c＝4错误!⇒c＝错误!＝2错误!⇒b＝4，故选B。

答案：B2．若双曲线错误!－错误!＝1(a〉0,b>0)的离心率为错误!，则其渐近线方程为( )A．y＝±2x B．y＝±错误!xC．y＝±错误!x D．y＝±错误!x解析：由条件e＝错误!＝错误!，得错误!＝错误!＝1＋错误!＝3,所以错误!＝错误!，所以双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x.故选B。

答案：B3．已知双曲线C：错误!－错误!＝1（a>0，b〉0）的焦点为F1，F2，且C上点P满足错误!·错误!＝0，|错误!|＝3，｜错误!｜＝4，则双曲线C的离心率为( ）A。

错误!B．错误!C.错误!D．5解析:依题意得，2a＝|PF2｜－|PF1|＝1，|F1F2|＝错误!＝5，因此该双曲线的离心率e＝错误!＝5。

答案：D4．(2017届长春质检）过双曲线x2－错误!＝1的右支上一点P,分别向圆C：（x＋4)2＋y2＝4和圆C2：(x－4）2＋y2＝1作切线，切点分别为M,N，则|PM|2 1－｜PN｜2的最小值为（)A．10 B．13C．16 D．19解析：由题可知,｜PM|2－｜PN｜2＝(｜PC1|2－4)－(｜PC2|2－1）＝｜PC1|2－｜PC2|2－3＝（|PC1|－|PC2|）(｜PC1｜＋｜PC2|）－3＝2（|PC1|＋｜PC2｜)－3≥2｜C1C2｜－3＝13。

板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．[2018·四川模拟]设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 若两直线平行，则a (a ＋1)＝2，即a 2＋a －2＝0，∴a ＝1或－2，故a ＝1是两直线平行的充分不必要条件．2．若直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，垂足为(1，p )，则实数n 的值为( )A ．－12B ．－2C ．0D ．10 答案 A解析 由2m －20＝0得m ＝10.由垂足(1，p )在直线mx ＋4y －2＝0上，得10＋4p －2＝0，∴p ＝－2.又垂足(1，－2)在直线2x －5y ＋n ＝0上，则解得n ＝－12. 3．[2018·启东模拟]不论m 为何值时，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过定点( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，－12B ．(－2,0)C ．(2,3)D ．(9，－4)答案 D解析 由(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5，得(x ＋2y －1)m －(x ＋y －5)＝0，由⎩⎨⎧x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，得定点坐标为(9，－4)．故选D.4．P 点在直线3x ＋y －5＝0上，且点P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则P 点坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－1,2)答案 C解析 设P (x,5－3x )，则d ＝|x －5＋3x －1|12＋(－1)2＝2，化简得|4x －6|＝2，即4x －6＝±2，解得x ＝1或x ＝2，故点P 的坐标为(1,2)或(2，－1)．5．[2018·绵阳模拟]若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( )A.95B.185C.2910D.295 答案 C解析 因为36＝48≠－125，所以两直线平行，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ | 的最小值为2910.6．[2018·合肥模拟]已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是( )A ．x －2y ＋1＝0B ．x －2y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋2y －1＝0 答案 B解析 因为l 1与l 2关于l 对称，所以l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上一点，设它关于l的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－1，即(1,0)，(－1，－1)为l 2上两点，可得l 2的方程为x －2y－1＝0.7．若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A ．3 2B ．2 2C ．3 3D ．4 2 答案 A解析 ∵l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0是平行直线，∴可判断AB 所在直线过原点且与直线l 1，l 2垂直时，中点M 到原点的距离最小．∵直线l 1：x ＋y －7＝0，l 2：x ＋y －5＝0，∴两直线的距离为|7－5|12＋12＝2，又原点到直线l 2的距离为522，∴AB 的中点M 到原点的距离的最小值为522＋22＝3 2.故选A.8．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．答案 [－2,2]解析 b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b的取值范围是[－2,2]．9．已知直线l1：ax－y＋2a＝0，l2：(2a－1)x＋ay＋a＝0互相垂直，则实数a的值是________．答案0或1解析因为直线l1：ax－y＋2a＝0，l2：(2a－1)x＋ay＋a＝0互相垂直，故有a(2a－1)＋a(－1)＝0，可知a的值为0或1.10．[2018·银川模拟]点P(2,1)到直线l：mx－y－3＝0(m∈R)的最大距离是________．答案2 5解析直线l经过定点Q(0，－3)，如图所示．由图知，当PQ⊥l 时，点P(2,1)到直线l的距离取得最大值|PQ|＝(2－0)2＋(1＋3)2＝25，所以点P(2，1)到直线l的最大距离为2 5.[B级知能提升]1．[2018·东城期末]如果平面直角坐标系内的两点A(a－1，a＋1)，B(a，a)关于直线l对称，那么直线l的方程为()A ．x －y ＋1＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x －y －1＝0D ．x ＋y －1＝0答案 A解析 因为直线AB 的斜率为a ＋1－aa －1－a＝－1，所以直线l 的斜率为1，设直线l 的方程为y ＝x ＋b ，由题意知直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2a －12，2a ＋12，所以2a ＋12＝2a －12＋b ，解得b ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.故选A.2．[2018·宜春统考]已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2，2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为( )A ．2x ＋3y －18＝0B ．2x －y －2＝0C ．3x －2y ＋18＝0或x ＋2y ＋2＝0D ．2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0 答案 D解析 依题意，设直线l ：y －4＝k (x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0， 则有|－5k ＋2|k 2＋1＝|k ＋6|k 2＋1，因此－5k ＋2＝k ＋6，或－5k ＋2＝－(k ＋6)， 解得k ＝－23或k ＝2，故直线l 的方程为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0.3．[2018·淮安调研]已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________________．答案 6x －y －6＝0解析 设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －(－3)·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0.4．已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值：(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解 (1)由已知可得l 2的斜率存在，且k 2＝1－a . 若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1.∵l 1⊥l 2，∴直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0. 又∵l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋4＝0，即a ＝43(矛盾)， ∴此种情况不存在，∴k 2≠0，即k 1，k 2都存在．∵k 2＝1－a ，k 1＝ab ，l 1⊥l 2， ∴k 1k 2＝－1，即ab (1－a )＝－1.①又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②联立，解得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 2的斜率存在且l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在， k 1＝k 2，即ab ＝1－a .③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b ＝b ，④联立③④，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.5．[2018·合肥模拟]已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程． 解 (1)设A ′(x ，y )，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.∴A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.(2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎨⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. (3)解法一：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如M (1,1)，N (4,3)，则M ，N 关于点A (－1，－2)的对称点M ′，N ′均在直线l ′上，易得M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)， 再由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0. 解法二：∵l ∥l ′，∴设l ′的方程为2x －3y ＋C ＝0(C ≠1)． ∵点A (－1，－2)到两直线l ，l ′的距离相等， ∴由点到直线的距离公式，得|－2＋6＋C |22＋32＝|－2＋6＋1|22＋32，解得C ＝－9， ∴l ′的方程为2x －3y －9＝0.解法三：设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)．∵点P′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.。