计算方法课件10月17日(OK

4 11
6 28
8 40
∑x
y = a + bx ,
i
2
= 20
∑x ∑y
2 i i
= 4 + 16 + 36 + 64 = 120 = 81
i
(8, 40) ×
( 6, 28) ×
∑x y
i
= 4 + 44 + 168 + 320 = 536
4a + 20b = 81 正规方程组为 20a + 120b = 536
km
0 1 2 3 4
57.60’
1st
2nd
3rd
1st
57.40’
2nd 3rd
57.20’
57.00’
48N 56.80’
56.60’
56.40’
56.20’
56.00’ 17.50’
17.00’
16.50’
123W 16.00’
15.50’
15.00’
14.50’
14.00’
•Use rotation, tilt, dip angles, lat, long, alt, of camera, to match coastline and hovercraft position. •Wave position, propagation direction, speed, wave-wave spacing etc.
0 02/06/26 13:4213:45
13:48
13:51
13:54
13:57
14:00
14:03
14:06
14:09
i= 0 N i
,
∑ y ,∑ x
i= 0 i i= 0
N
N
2 i
和
∑ x y
i= 0 i
N
i
(3)写出正则方程组，求出 a，b; 写出正则方程组， 写出正则方程组
aN + b ∑ x i = ∑ y i a ∑ x i + b ∑ x i2 = ∑ x i y i
(4) 写出拟合直线方程 y*=ax+b.
数据拟合计算波的传播速度
1800
1600
1400
Distance along the phase speed direction (m)
1200
距 离
1000
800
600 position of 1st wave least square fit phase apeed 0.9m/s 400 maximum phase speed 1m/s minimum phase speed 0.81m/s 200
海洋科学中的应用实例（ 科研经历） 例 3.3 海洋科学中的应用实例（wanf科研经历） 科研经历 结合航拍与水下观测来研究内孤立波。 结合航拍与水下观测来研究内孤立波。
Internal waves can be seen by naked eyes.
SOG 2002
Airplane trac线拟合
假设所给数据点( 的分布大致成一直线， 假设所给数据点 xi ,yi )(i=1,2,…,N)的分布大致成一直线， 的分布大致成一直线 求作拟合直线 求作拟合直线
y = a + bx
从所给数据点( xi ,yi )通过，就是说，成立 通过， 从所给数据点 通过 就是说，
Lagrange 插值函数
The ninth degree interpolating polynomial is clearly a poor predictor of information between a number of the data points.
A better approach would be to find the “best” (in some sense) approximating line, even if it does not agree precisely with the data at any point.
今日新内容
第三章： 第三章： 数据拟合法 （data simulation/fitting） ）
3.1 问题的提出 及 最小二乘(least squares)原理 最小二乘 原理
问题的提出：数据拟合 问题的提出：数据拟合why & what？ ？
Consider the problem of estimating the values of a function at non-tabulated points, given the experimental data in the following table. xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
yi 1.3 3.5 4.2 5.0 7.0 8.8 10.1 12.5 13.0 15.6
数据散点图
It appears that the actual relationship between x and y is linear. The likely reason that no line precisely fits the data is because of errors in the data.
max e i = min
i
(2)使误差的绝对值之和为最小 使误差的绝对值之和为最小: 使误差的绝对值之和为最小
∑e
i
i
= min
(3)使误差的平方和为最小 使误差的平方和为最小: 使误差的平方和为最小
∑e
i
2 i
= min
分析以上三种准则, 和 两种由于 分析以上三种准则 (1)和(2)两种由于 含有绝对值运算, 不便于实际应用, 含有绝对值运算 不便于实际应用 最常用的是准则(3)称作曲线拟合的最小二乘法. 称作曲线拟合的最小二乘法 最常用的是准则 称作曲线拟合的最小二乘法
最小二乘法（ 最小二乘法（least squares method） ）
(3)使误差的平方和为最小 使误差的平方和为最小: 使误差的平方和为最小
∑e
i
2 i
= min,
e = y −(a + bx ) i i i
按最小二乘法, 作直线拟合应使 按最小二乘法
Q ( a , b ) = ∑ [ yi − (a + b x i )]2
Airplane Track on June 26, 2002 Airplane Track June26,2002
12’
6’
49N
P. Roberts
54’
Active P.
48’
42’ 40’ 30’ 20’ 10’ 123W 50’
Raw and processed image hovercraft
数据拟合的问题： 数据拟合的问题：
设函数y=f(x)在n个互异点的观测数据为 在 个互异点的观测数据为 设函数
xi yi x1 y1 x2 ….. xn y2 ….. yn
求一个简单的近似函数φ(x)，使之 “最好”地逼近 ， 最好”地逼近f(x)， 求一个简单的近似函数 ， 而不必满足插值原则。称函数y=φ(x)为拟合函数。 而不必满足插值原则。称函数 为拟合函数。 通常选择函数类型的做法：描出散点图， 通常选择函数类型的做法：描出散点图， 再根据专业知识和经验来选择φ(x)的类型。 的类型。 再根据专业知识和经验来选择 的类型
求导数并写出关于a，b的方程组。
正规(正则 方程组 正规 正则)方程组 正则 方程组normal equations:
aN + b∑ xi = ∑ yi a ∑ xi + b∑ xi2 = ∑ xi yi
正规方程组
aN + b ∑ xi = ∑ yi 2 a ∑ x i + b ∑ xi = ∑ x i y i
解得
a = −12.5, b = 6.55
得拟合公式为
y= -12.5+6.55x
例 3.2
24 个 纤 维 样 品 的 数 据
从散点图（教材P48，图3-1）看出大致呈直线关系 用y*=ax+b拟合。 解正则方程组 求a，b, 进而求y*=ax+b。
aN + b∑ xi = ∑ yi a ∑ xi + b∑ xi2 = ∑ xi yi
知实验数据表，试用最小二乘法求经验公式拟合这组数据。 例 3.1 已知实验数据表，试用最小二乘法求经验公式拟合这组数据。 作散点图， 解 作散点图，容易看出数据点接近一条 直线， 直线，因此设经验公式为 N=4,
x 2 y
y 40 30 20 10 (2, 2) × 0 2 4 6 8 x
× ( 4 , 11)
N i =1
为最小，极小值点一阶导数为 为最小，极小值点一阶导数为0 得方程组
∂Q ∂Q = 0, =0 ∂a ∂b
误差平方和： 误差平方和
Q ( a , b ) = ∑ [ yi − (a + b x i )]2
N i =1
极小值点一阶导数为0
∂Q ∂a = 0 ∂Q = 0 ∂b
yi = a + bxi , i = 1, 2, ..., N
但是，数据点的数目 但是，数据点的数目N>2， 是个解超定（矛盾）方程组的代数问题， 是个解超定（矛盾）方程组的代数问题， 因此，这条直线不可能穿过所有的点。 因此，这条直线不可能穿过所有的点。
拟合直线 y = a + bx 只能尽可能地从所给数据点( 附近通过 只能尽可能地从所给数据点 xi ,yi )附近通过， 尽可能地从所给数据点 附近通过， 就是说，近似地成立 就是说，近似地成立