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<一>圆的方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。
（1）圆的一般式方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0此方程可用于解决两圆的位置关系：配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4其圆心坐标：（-D/2,-E/2）半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2此方程满足为圆的方程的条件是:D^2+E^2-4F>0若不满足,则不可表示为圆的方程（2）点与圆的位置关系点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系：⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。
⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。
⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^2<r^2时，则点P在圆内。
圆与直线的位置关系判断平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。
利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。
2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x 轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。
令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时，直线与圆相离；当x1<x=-C/A<x2时，直线与圆相交；半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2;x^2+y^2+Dx+Ey+F=0=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)其实只要保证X方Y方前系数都是1就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)这可以作为一个结论运用的且r=根号（圆心坐标的平方和-F）<二>椭圆的标准方程椭圆的标准方程分两种情况：当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；其中a>0，b>0。
一．椭圆二．双曲线四．椭圆、双曲线及抛物线的性质对比(焦点在x轴上)名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|)||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2︱)|PF|= 点F不在直线l上，PM⊥l于M标准方程12222=+byax（a>b>0)12222=-byax(a>0,b>0)y2=2px(p>0)图象几何性质范围byax≤≤,ax≥0≥x顶点),0(),0,(ba±±)0,(a±(0,0)对称性关于x轴，y轴和原点对称关于x轴对称焦点（±c,0 ）)0,2(p轴长轴长2a,短轴长2b实轴长2a，虚轴长2b准线cax2±=2px-=通径abAB22=pAB2=渐近线xaby±=...——知识就是力量，学海无涯苦作舟!——不要担心知识没有用，知识多了，路也好选择，也多选择。
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高中数学学习中的抛物线与双曲线方程求解方法在高中数学学习中，抛物线与双曲线是重要的二次函数的图像形式。
学生们需要掌握求解抛物线和双曲线方程的方法，以便能够准确地描述并解决与这些图形相关的问题。
本文将介绍高中数学学习中抛物线与双曲线方程求解的方法。
首先，我们来讨论抛物线的方程求解。
一般来说，抛物线的方程通常是二次函数的形式：y = ax² + bx + c。
在求解抛物线方程时，我们通常要考虑以下几种情况：一种情况是已知抛物线上的三个点，我们需要确定抛物线的方程。
对于已知三个点（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₃，y₃），我们可以建立三个方程：(1) y₁ = ax₁² + bx₁ + c(2) y₂ = ax₂² + bx₂ + c(3) y₃ = ax₃² + bx₃ + c通过解这个方程组，我们可以找到抛物线的方程。
另一种常见情况是已知抛物线的顶点和一点，需要确定抛物线的方程。
对于已知顶点（h，k）和一点（x₁，y₁），我们可以通过将这两个点代入抛物线的一般方程，得到下面的方程：(1) y₁ = a(x₁ - h)² + k通过解这个方程，我们可以得到抛物线的方程。
在实际问题中，我们常常需要求解与抛物线相关的问题。
例如，给定一个抛物线，我们需要找到它的焦点和准线。
对于抛物线方程 y = ax² + bx + c，我们可以通过求解以下方程得到焦点（p，q）和准线的方程：(1) p = -b / (2a)(2) q = c - (b² - 1) / (4a)通过求解这两个方程，我们可以找到焦点和准线的方程。
接下来，我们转到双曲线的方程求解。
与抛物线类似，双曲线的方程也是二次函数的形式：y = a/x。
在求解双曲线方程时，我们同样需要考虑不同的情况。
一种情况是已知双曲线上的两个点，我们需要确定双曲线的方程。
对于已知两个点（x₁，y₁）和（x₂，y₂），我们可以建立以下方程：(1) y₁ = a/x₁(2) y₂ = a/x₂通过解这个方程组，我们可以找到双曲线的方程。
高中数学高考几何解析（椭圆双曲线抛物线）课本知识讲解及练习（含答案）第五节椭圆一、必记3个知识点1．椭圆的定义(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时，P在长轴端点处．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2.(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c.二、必明3个易误点1．椭圆的定义中易忽视2a>|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|其轨迹为线段F1F2，当2a<|F1F2|不存在轨迹．2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．3．注意椭圆的范围，在设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．三、技法1.求椭圆标准方程的2种常用方法(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．提醒：在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根.3.求解最值、取值范围问题的技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0<e<1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．(3)最值问题，将所求列出表达式，构造基本不等式或利用函数单调性求解.4.判断直线与椭圆位置关系的四个步骤第一步：确定直线与椭圆的方程．第二步：联立直线方程与椭圆方程．第三步：消元得出关于x(或y)的一元二次方程．第四步：当Δ>0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ<0时，直线与椭圆相离．5．直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2])＝(y1＋y2)2－4y1y2])(k为直线斜率).参考答案①F1，F2②|F1F2|③x轴，y轴④坐标原点⑤(－a,0)⑥(a,0)⑦(0，－b)⑧(0，b)⑨(0，－a)⑩(0，a)⑪(－b,0)⑫(b,0)⑬2a⑭2b⑮2c⑯(0,1)⑰c2＝a2－b2第六节双曲线一、必记3个知识点1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离①________________为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的②________，两焦点间的距离叫做③________.(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(ⅰ)当④________________时，M点的轨迹是双曲线；(ⅱ)当⑤________________时，M点的轨迹是两条射线；(ⅲ)当⑥________________时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质⑧________x ∈对称轴：⑪________对称中心：⑫________顶点坐标：A 1⑮______，A 2⑯________⑱____________c ＝⑳________|＝21________；线段________；a 叫做双曲线的虚半轴长＞b ＞0)(1)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直．(2)渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系：当焦点在x 轴上时，渐近线斜率为±ba，当焦点在y 轴上时，渐近线斜率为±ab.(3)渐近线与离心率．x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为ba＝e2－1.(4)若P 为双曲线上一点，F 为其对应焦点，则|PF |≥c －a .二、必明4个易误点1．双曲线的定义中易忽视2a <|F 1F 2|这一条件．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a >|F 1F 2|则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a >0，b >0，易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a >b >0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)；若a ＝b >0，则双曲线的离心率e ＝2；若0<a <b ，则双曲线的离心率e >2.3．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±ba，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±ab.三、技法1.双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．[注意]在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支.2.求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为：x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值.3.求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．4．求双曲线的渐近线方程的方法求双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令x2a2－y2b2＝0，即得两渐近线方程为：xa±yb＝0.参考答案①之差的绝对值②焦点③焦距④2a<|F1F2|⑤2a＝|F1F2|⑥2a>|F1F2|⑦x≥a或x≤－a⑧y≥a或y≤－a⑨x轴，y轴⑩坐标原点⑪x轴，y轴⑫坐标原点⑬(－a,0)⑭(a,0)⑮(0，－a)⑯(0，a)⑰y＝±ba x⑱y＝±ab x⑲ca⑳a2＋b2212a222b23a2＋b2第七节抛物线一、必记2个知识点1．抛物线定义、标准方程及几何性质x轴⑤________y轴⑥________O(0,0)O(0,0)O(0,0)O(0,0)F⑦________⑧________⑨________设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)．(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p.二、必明2个易误点1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p易忽视，只有p>0，才能证明其几何意义是焦点F到准线l 的距离，否则无几何意义．三、技法1.应用抛物线定义的2个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋p2或|PF|＝|y|＋p2.2.求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．3．确定及应用抛物线性质的技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.4.解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.参考答案①相等②y2＝－2px(p＞0)③x2＝－2py(p＞0)④x2＝2py(p＞0)⑤x轴⑥y轴⑦F(－p2，0)⑧F(0，－p2)⑨F(0，p2)⑩e＝1⑪x＝－p2⑫y＝－p2⑬－y0＋p2⑭y0＋p2⑮y≤0⑯y≥0。
高中椭圆双曲线抛物线知识点汇总一、椭圆的定义和基本特性1. 椭圆的定义：椭圆是平面上到两定点F1和F2的距离之和为常数2a （a>0）的点P的轨迹。
2. 椭圆的基本特性：椭圆有两条对称轴，长轴和短轴，焦点到中心的距离为c，满足c²=a²-b²，离心率e的定义为e=c/a。
3. 椭圆的标准方程：椭圆的标准方程为x²/a²+y²/b²=1（a>b>0），中心在原点，长轴与x轴平行。
二、双曲线的定义和基本特性1. 双曲线的定义：双曲线是平面上到两定点F1和F2的距离之差为常数2a的点P的轨迹。
2. 双曲线的基本特性：双曲线有两条对称轴，两个顶点，离心率e的定义为e=c/a。
3. 双曲线的标准方程：双曲线的标准方程为x²/a²-y²/b²=1（a>0,b>0），中心在原点，x²项系数为正。
三、抛物线的定义和基本特性1. 抛物线的定义：抛物线是平面上到定点F与直线l的距离相等的点P 的轨迹。
2. 抛物线的基本特性：抛物线有焦点F和直线l两个重要元素，焦点到顶点的距离为p，离心率e的定义为e=1。
3. 抛物线的标准方程：抛物线的标准方程为y²=2px（p>0），焦点在y轴上。
四、椭圆双曲线抛物线的性质比较1. 焦点、离心率和轴与方程的关系：椭圆的焦点在轴上，双曲线的焦点在中心轴的延长线上，抛物线的焦点在轴上。
2. 直线与曲线的关系：椭圆是对称轴与任意直线的交点个数有限，双曲线是对称轴与任意直线的交点有两个，抛物线是对称轴与任意直线的交点有且仅有一个。
3. 其他性质：椭圆和双曲线是封闭曲线，抛物线是开口向上或者向下的曲线。
五、高中数学中的应用1. 物理中的应用：椭圆、双曲线和抛物线在经典力学、电磁学等物理学科中有着重要的应用，比如行星轨道、抛物线运动等。
高中抛物线知识点：双曲线双曲线是高中数学中的一个重要知识点，它在几何图形和函数的研究中起着重要的作用。
在本文中，我们将逐步介绍双曲线的定义、性质和应用。
一、双曲线的定义双曲线是平面上一条特殊的曲线，它的定义是到两个固定点的距离差的绝对值等于一个常数的点的集合。
这两个固定点称为焦点，常数称为离心率。
双曲线的数学表示形式为：(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1 (焦点在 x 轴上时) (y-k)²/a² - (x-h)²/b² = 1 (焦点在 y 轴上时)其中，(h, k)是双曲线的中心点，a和b分别是 x 轴和 y 轴的半轴长度。
二、双曲线的性质 1. 双曲线的形状：双曲线在中心点附近呈现出两条分离的曲线，形状类似于两个对称的开口。
这两个开口的形状由离心率决定，离心率越大，开口越窄。
2.对称性：双曲线关于中心点对称。
3.渐近线：双曲线有两条渐近线，分别接近于曲线的两个分支。
渐近线的方程为 y = k ± (b/a)(x-h)。
4.焦点和直纹的关系：对于双曲线上的任意一点P，其到两个焦点的距离差的绝对值等于双曲线的离心率。
三、双曲线的应用双曲线不仅仅是一种数学图形，它在物理学、工程学和经济学等领域都有着广泛的应用。
1.物理学中的光学系统：双曲线可以用来描述光线在光学系统中的传播路径。
例如，抛物面镜和椭圆面镜都是双曲线的特殊情况。
2.工程学中的电子设备：双曲线可以用来描述天线的辐射模式和电磁波的传播。
在雷达和卫星通信等领域，双曲线经常被用来分析和设计天线系统。
3.经济学中的成本函数：在经济学中，双曲线可以用来描述成本函数和供应曲线。
这对于研究企业的生产和供应决策非常重要。
双曲线作为一种重要的几何图形和函数形式，在高中数学中占据着重要的地位。
通过了解双曲线的定义、性质和应用，我们可以更好地理解和应用这一知识点，进一步拓宽数学的视野。
高考双曲线抛物线知识点高考数学考试中，高中数学知识占据了很大的比重，其中双曲线和抛物线是高考必考的重要知识点。
本文将对双曲线和抛物线的相关概念、特点以及应用进行介绍，帮助考生全面理解和掌握这两个知识点。
1. 双曲线的概念和特点双曲线是由二次方程的图像所得，常见的双曲线方程有两种形式：$x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1$ 和 $y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1$，其中 a 和b 是正实数。
双曲线的形状特点是两支分离，且与坐标轴无交点。
双曲线的中心在坐标原点 O(0,0) 处。
在坐标平面上，双曲线的两个分支分别向 x 轴和 y 轴无限延伸。
2. 双曲线的应用双曲线在现实生活中有许多应用。
例如，光的折射是双曲线的一个重要应用。
当一束光从一个介质折射到另一个介质中时，光的传播路径将形成一个双曲线。
这个现象在眼镜、显微镜、望远镜等光学仪器中都有应用。
此外，双曲线还广泛应用于电磁场、无线通信和经济学等领域。
在电磁场中，电荷的分布和电场力线之间的关系可以由双曲线来描述。
在无线通信中，天线辐射和接收的信号模式也可以用双曲线表示。
在经济学中，供求关系也可以通过双曲线来进行分析和预测。
3. 抛物线的概念和特点抛物线是由二次方程的图像所得，常见的抛物线方程是 $y = ax^2 + bx + c$，其中 a、b 和 c 是实数且a ≠ 0。
抛物线的形状特点是开口方向，即上开或下开，取决于抛物线方程中 a 的正负。
抛物线的对称轴是与 y 轴平行的直线，其方程为 x = h，其中 h 是实数。
抛物线的顶点是位于对称轴上的点，其坐标为 (h, k)，其中 k 是实数。
4. 抛物线的应用抛物线在现实生活中也有许多实际应用。
例如，抛物线的形状是喷泉水柱的弹射轨迹，喷泉中的水从喷嘴射出后形成一个抛物线形状的水柱。
这种形状使得喷泉的水能够均匀地覆盖大面积区域，增加景观效果。
此外，抛物线还广泛应用于桥梁设计、体育运动和火箭发射等领域。
第2课时 双曲线、抛物线的参数方程[核心必知]1．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φ，y ＝b tan φ，规定参数φ的取值X 围为φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b tan φ，y ＝a sec φ．2．抛物线的参数方程 (1)抛物线y2＝2px 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt ，t ∈R ．(2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．[问题思考]1．在双曲线的参数方程中，φ的几何意义是什么？提示：参数φ是点M 所对应的圆的半径OA 的旋转角(称为点M 的离心角)，而不是OM 的旋转角．2．如何由双曲线的参数方程判断焦点的位置？提示：如果x 对应的参数形式是a sec φ，那么焦点在x 轴上； 如果y 对应的参数形式是a sec φ，那么焦点在y 轴上．3．假设抛物线的参数方程表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p tan 2α，y ＝2ptan α.那么参数α的几何意义是什么？提示：参数α表示抛物线上除顶点外的任意一点M ，以射线OM 为终边的角．在双曲线x 2－y 2＝1上求一点P ，使P 到直线y ＝x 的距离为 2.[精讲详析] 此题考查双曲线的参数方程的应用，解答此题需要先求出双曲线的参数方程，设出P 点的坐标，建立方程求解．设P 的坐标为(sec φ，tan φ)，由P 到直线x －y ＝0的距离为2得|sec φ－tan φ|2＝2得|1cos φ－sin φcos φ|＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ| 平方得1－2sin φ＋sin 2φ＝4(1－sin 2φ)， 即5sin 2φ－2sin φ－3＝0. 解得sin φ＝1或sin φ＝－35.sin φ＝1时，cos φ＝0(舍去)． sin φ＝－35时，cos φ＝±45.∴P 的坐标为(54，－34)或(－54，34)．——————————————————参数方程是用一个参数表示曲线上点的横纵坐标的，因而曲线的参数方程具有消元的作用，利用它可以简化某些问题的求解过程，特别是涉及到最值、定值等问题的计算时，用参数方程可将代数问题转化为三角问题，然后利用三角知识处理．1．求证：等轴双曲线平行于实轴的弦为直径的圆过双曲线的顶点． 证明：设双曲线为x 2－y 2＝a 2，取顶点A (a ，0)，弦B ′B ∥Ox ，B (a sec α，a tan α)，那么B ′(－a sec α，a tan α)．∵k B ′A ＝a tan α－a sec α－a ，k BA ＝a tan αa sec α－a，∴k B ′A ·k BA ＝－1.∴以BB ′为直径的圆过双曲线的顶点．连接原点O 和抛物线2y ＝x 2上的动点M ，延长OM 到P 点，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹方程，并说明它是何曲线．[精讲详析] 此题考查抛物线的参数方程的求法及其应用．解答此题需要先求出抛物线的参数方程并表示出M 、P 的坐标，然后借助中点坐标公式求解．设M (x 、y )为抛物线上的动点，P (x 0，y 0)在抛物线的延长线上，且M 为线段OP 的中点，抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2t 2，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4t ，y 0＝4t 2， 变形为y 0＝14x 20，即x 2＝4y .表示的为抛物线．——————————————————在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需要引入一个中间变量即参数(将x ，y 表示成关于参数的函数)，然后消去参数得普通方程．这种方法是参数法，而涉及曲线上的点的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标2．抛物线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝2t (t 为参数)，设O 为坐标原点，点M 在抛物线C 上，且点M 的纵坐标为2，求点M 到抛物线焦点的距离．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝2t得y 2＝2x ，即抛物线的标准方程为y 2＝2x . 又∵M 点的纵坐标为2， ∴M 点的横坐标也为2. 即M (2，2)．又∵抛物线的准线方程为x ＝－12.∴由抛物线的定义知|MF |＝2－(－12)＝2＋12＝52.即点M 到抛物线焦点的距离为52.如果椭圆右焦点和右顶点分别是双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sec θ，y ＝3tan θ(θ为参数)的右顶点和右焦点，求该椭圆上的点到双曲线渐近线的最大距离．[精讲详析] 此题考查椭圆及双曲线的参数方程，解答此题需要先将双曲线化为普通方程并求得渐近线方程，然后根据条件求出椭圆的参数方程求解即可．∵x 216－y 29＝1，∴右焦点(5，0)，右顶点(4，0)．设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1，∴a ＝5，c ＝4，b ＝3.∴方程为x 225＋y 29＝1.设椭圆上一点P (5cos θ，3sin θ)， 双曲线一渐近线为3x －4y ＝0，∴点P 到直线的距离d ＝|3×5cos θ－12sin θ|5＝3|41sin 〔θ－φ〕|5(tan φ＝54)．∴d max ＝3415.——————————————————对于同一个方程，确定的参数不同， 所表示的曲线就不同，当题目条件中出现多个字母时，一定要注明什么是参数，什么是常量，这一点尤其重要．3．(某某高考)两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ≤π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t (t ∈R )，它们的交点坐标为______________．解析：由⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ≤π)得x 25＋y 2＝1(y ≥0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )得x ＝54y 2.联立方程可得⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 2＝1，x ＝54y2那么5y 4＋16y 2－16＝0，解得y 2＝45或y 2＝－4(舍去)，那么x ＝54y 2＝1.又y ≥0，所以其交点坐标为(1，255)．答案：(1，255)本课时的考点是双曲线或抛物线的参数方程与普通方程的互化．某某高考以抛物线的参数方程为载体考查抛物线定义的应用，属低档题．[考题印证](某某高考)抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt ，(t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E .假设|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，那么p ＝________．[命题立意] 此题考查抛物线的参数方程与普通方程的互化及抛物线定义的应用． [解析] 由题意知，抛物线的普通方程为y 2＝2px (p >0)，焦点F (p 2，0)，准线x ＝－p2，设准线与x 轴的交点为A .由抛物线定义可得|EM |＝|MF |，所以△MEF 是正三角形，在Rt △EFA 中，|EF |＝2|FA |，即3＋p2＝2p ，得p ＝2.答案：2一、选择题1．以下参数方程(t 为参数)与普通方程x 2－y ＝0表示同一曲线的方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|t |，y ＝tB.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝cos2tC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝1＋cos 2t 1－cos 2tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝1－cos 2t 1＋cos 2t解析：选D 注意参数X 围，可利用排除法．普通方程x 2－y ＝0中的x ∈R ，y ≥0.A 中x ＝|t |≥0，B 中x ＝cos t ∈[－1，1]，故排除A 和B.而C 中y ＝2cos 2t 2sin 2t ＝cot 2t ＝1tan 2t ＝1x 2，即x 2y ＝1，故排除C.2．以下双曲线中，与双曲线⎩⎨⎧x ＝3sec θ，y ＝tan θ(θ为参数)的离心率和渐近线都相同的是( )A.y 23－x 29＝1B.y 23－x 29＝－1C.y 23－x 2＝1 D.y 23－x 2＝－1 解析：选B 由x ＝3sec θ得，x 2＝3cos 2θ＝3〔sin 2θ＋cos 2θ〕cos 2θ＝3tan 2θ＋3， 又∵y ＝tan θ，∴x 2＝3y 2＋3，即x 23－y 2＝1.经验证可知，选项B 合适．3．过点M (2，4)且与抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝4t 只有一个公共点的直线有( )条( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2y ＝4t 得y 2＝8x .∴点M (2，4)在抛物线上．∴过点M (2，4)与抛物线只有一个公共点的直线有2条．4．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t－2－t，y ＝2t ＋2－t(t 为参数)表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的上支 C ．双曲线下支 D ．圆解析：选B 将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，得：x 2－y 2＝(2t －2－t )2－(2t ＋2－t )2＝－4，即y 2－x 2＝4.又注意到2t>0，2t＋2－t≥22t ·2－t＝2，即y ≥2. 可见与以上参数方程等价的普通方程为：y 2－x 2＝4(y ≥2)．显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支．二、填空题5．(某某高考)圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．解析：代入法消参，得到圆锥曲线的方程为y 2＝4x ，那么焦点坐标为(1，0)． 答案：(1，0)6．抛物线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝2t(t 为参数)设O 为坐标原点，点M 在C 上运动(点M 与O 不重合)，P (x ，y )是线段OM 的中点，那么点P 的轨迹普通方程为________．解析：抛物线的普通方程为y 2＝2x ，设点P (x ，y )，点M 为(x 1，y 1)(x 1≠0)，那么x 1＝2x ，y 1＝2y .∵点M 在抛物线上，且点M 与O 不重合， ∴4y 2＝4x ⇒y 2＝x .(x ≠0) 答案：y 2＝x (x ≠0)7．双曲线⎩⎨⎧x ＝23tan α，y ＝6sec α(α为参数)的两焦点坐标是________．解析：双曲线⎩⎨⎧x ＝23tan α，y ＝6sec α(α为参数)的标准方程为y 236－x 212＝1，焦点在y 轴上，c 2＝a 2＋b 2＝48. ∴焦点坐标为(0，±43)． 答案：(0，±43)8．(某某高考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t(t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，那么曲线C 1与C 2的交点坐标为________．解析：由⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝ t ，得y ＝x ，又由⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，得x 2＋y 2＝2. 由⎩⎨⎧y ＝x ，x 2＋y 2＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1， 即曲线C 1与C 2的交点坐标为(1，1)． 答案：(1，1) 三、解答题9．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，A 、B 是双曲线同支上相异两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点P (x 0，0)，求证：|x 0|>a 2＋b 2a.证明：设A 、B 坐标分别为(a sec α，b tan α)，(a sec β，b tan β)，那么中点为M (a2(sec α＋sec β)，b2(tan α＋tan β))，于是线段AB 中垂线方程为y －b2(tan α＋tan β)＝－a 〔sec α－sec β〕b 〔tan α－tan β〕[x －a2(sec α＋sec β)]．将P (x 0，0)代入上式，∴x 0＝a 2＋b 22a(sec α＋sec β)．∵A 、B 是双曲线同支上的不同两点， ∴|sec α＋sec β|>2.∴|x 0|>a 2＋b 2a.10．过点A (1，0)的直线l 与抛物线y 2＝8x 交于M 、N 两点，求线段MN 的中点的轨迹方程．解：设抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t (t 为参数)，可设M (8t 21，8t 1)，N (8t 22，8t 2)， 那么k MN ＝8t 2－8t 18t 22－8t 21＝1t 1＋t 2. 又设MN 的中点为P (x ，y )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 21＋8t 222，y ＝8t 1＋8t 22.∴kAP＝4〔t 1＋t 2〕4〔t 21＋t 22〕－1. 由k MN ＝k AP 知t 1·t 2＝－18，又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4〔t 21＋t 22〕，y ＝4〔t 1＋t 2〕， 那么y 2＝16(t 21＋t 22＋2t 1t 2)＝16(x 4－14)＝4(x －1)．∴所求轨迹方程为y 2＝4(x －1)．11．圆O 1：x 2＋(y －2)2＝1上一点P 与双曲线x 2－y 2＝1上一点Q ，求P 、Q 两点距离的最小值．解：设Q (sec θ，tan θ)，|O 1P |＝1， 又|O 1Q |2＝sec 2θ＋(tan θ－2)2＝(tan 2θ＋1)＋(tan 2θ－4tan θ＋4) ＝2tan 2θ－4tan θ＋5 ＝2(tan θ－1)2＋3.当tan θ＝1，即θ＝π4时，|O 1Q |2取最小值3，此时有|O 1Q |min ＝ 3. 又|PQ |≥|O 1Q |－|O 1P | ∴|PQ |min ＝3－1.。
双曲线平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2a(2a<)的点的轨迹。
方程 22221(0,0)x y a b a b-=>> 22221(0,0)y x a b a b-=>> 简图范围 ,x a x a y R ≥≤-∈或 ,y a y a x R ≥≤-∈或顶点 (,0)a ± (0,)a ± 焦点 (,0)c ±(0,)c ±渐近线 b y x a=±a y x b=±离心率 (1)ce e a => (1)ce e a=> 对称轴 关于x 轴、y 轴及原点对称 关于x 轴、y 轴及原点对称准线方程 2a x c =±2a y c=±a 、b 、c 的关系 222c a b =+考点题型一 求双曲线的标准方程1、给出渐近线方程ny x m =±的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠，与双曲线22221x y a b -=共渐近线的方程可设为2222(0)x y a bλλ-=≠。
2、注意：定义法、待定系数法、方程与数形结合。
【例1】求适合以下条件的双曲线标准方程。
（1） 虚轴长为12，离心率为54； （2） 焦距为26，且经过点M 〔0，12〕；（3） 与双曲线221916x y -=有公共渐进线，且经过点(3,23A -。
_x_ O_y_x_ O_y解：〔1〕设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22221y x a b-=(0,0)a b >>。
由题意知，2b=12，c e a ==54。
∴b=6，c=10，a=8。
∴标准方程为236164x -=或2216436y x -=。
〔2〕∵双曲线经过点M 〔0，12〕，∴M 〔0，12〕为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a=12。
又2c=26，∴c=13。
当前形势双曲线与抛物线在近五年北京卷（理）考查5～14分高考 要求内容要求层次 具体要求AB C 双曲线的定义及标准方程 √ 由定义和性质求双曲线的方程；由双曲线的标准方程探求几何性质双曲线的简单几何性质 √ 由双曲线的几何性质解决问题抛物线的定义及标准方程 √ 由定义和性质求抛物线的方程；由抛物线的标准方程探求几何性质抛物线的简单几何性质√由抛物线的几何性质解决问题抛北京 高考 解读 2008年 2009年2010年（新课标） 2012年（新课标） 第4题5分第19题14分第13题5分 第12题5分考点1：双曲线的定义双曲线的定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数（小于12||F F 且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．两焦点的距离叫做双曲线的焦距，焦距为2c ．双曲线上的点与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数2a ．<教师备案>由上一讲椭圆的定义，自然类比到双曲线的定义．双曲线的定义需要强调的地方：①差的绝对值小于12F F ，否则轨迹为两条射线或不存在．②绝对值．若去掉绝对值，则轨迹只有双曲线的一支．4.1双曲线及其标准方程知识点睛新课标剖析双曲线与抛物线初步【例1】 ⑴到两定点1(30)F -，，2(30)F ，的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线⑵动点P 到定点1(10)F ，的距离比它到定点2(30)F ，的距离少1，则点P 的轨迹是（ ）A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．一条射线D ．两条射线⑶已知点()()120202F F -，，，，在满足下列条件的平面内，动点P 的轨迹为双曲线的是（ ）A ．123PF PF -=B ．124PF PF -=C ．125PF PF -=D ．123PF PF -= ⑷已知点A 、B 在一条双曲线的右支上，线段AB 经过该双曲线的右焦点2F ，已知 AB m =，且1F 为左焦点，则1ABF △的周长为（ ）A ．22a m +B ．42a m +C ．a m +D ．24a m +【解析】 ⑴ D⑵ B ⑶ D ⑷ B【点评】 涉及双曲线上一点与两焦点构成的三角形问题往往考虑用双曲线的定义求解．【备选】 平面内有两个定点A 、B 及动点P ，设命题甲：||||PA PB -是定值；命题乙：点P 的轨迹是以定点A 、B 为焦点的双曲线，那么（ ）．A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件【解析】 B（选讲）已知两圆221:(4)2C x y ++=，222:(4)2C x y -+=，动圆M 与两圆1C ，2C 都相切，则动圆 圆心M 的轨迹是（ ）A ．一条直线B ．双曲线的一支C ．双曲线D ．双曲线或一条直线【解析】 D如右图，动圆M 与两圆1C ，2C 都相切，有四种情况：①动圆M 与两圆都相外切，②动圆与M与两圆都相内切；③动圆M 与圆1C 外切、与圆2C 内切．④动圆M 与圆1C 内切、与圆2C 外切．在①②情况下，显然，动圆圆心M 的轨迹方程为0x =，是一条直线；在③的情况下，设动圆M 的半径为r ，则1||2MC r =+，2||2MC r =-，故得12||||22MC MC -=；在④的情况下，同理得21||||22MC MC -=． 由③④得12||||22MC MC -=±根据双曲线定义，可知此时点M 的轨迹是双曲线．经典精讲C 2Qxy M OC 1P由①②③④可知，选择D ．考点2：双曲线的标准方程双曲线的标准方程：①22221(00)x y a b a b -=>>，，焦点坐标为1(0)F c -，，2(0)F c ，，222c a b =+； ②22221(00)y x a b a b-=>>，，焦点坐标为1(0)F c -，，2(0)F c ，，222c a b =+； <教师备案>以过焦点1F ，2F 的直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图．设()M x y ，是双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是2(0)c c >，那么1F ，2F 的坐标分别是(0)c -，，(0)c ，，又设点M 与1F 和2F 的距离的差的绝对值等于常数2(0)a a c <<，则点M 在双曲线上的充分必要条件是12||||2MF MF a -=，即12||||2MF MF a -=±．因为221||()MF x c y =++，222||()MF x c y =-+，所以上述条件转化为坐标表示，就是2222()()2x c y x c y a ++--+=±， ① 即：22222()()cxa x c y x c y=±+++-+，得：22222()()cx c y x c y x a+++-+=±． ② 上面①，②两式中的右边同取“＋”号或同取“－”号．由①＋②，得：22()c x c y x a a ⎛⎫++=±+ ⎪⎝⎭． ③将③式两边平方，再整理得：2222222c a x y c a a--=-． 因为0c a >>，所以220c a ->．设222c a b -=，0b >，则上式化为22221(00)x y a b a b-=>>，． ④因此，方程④是双曲线的方程，通常把这个方程叫做双曲线的标准方程．它所表示的双曲线，两焦点在x 轴上，焦点坐标分别为(0)c -，，(0)c ，，这里222c a b =+． <教师备案>当标准方程中2x 项的系数为正时，双曲线的焦点在x 轴上；当2y 项的系数为正时，双曲线的焦点在y 轴上．【例2】 ⑴已知点()()125050F F -，，，，动点P 到1F 与2F 的距离之差的绝对值为8，则动点P 的轨迹方程为 ．⑵已知双曲线22221x y a b-=的一个焦点为()50-，，2a b =，则双曲线的方程为 ．⑶6c =，经过点(52)-，，焦点在x 轴上的双曲线标准方程为 ．经典精讲知识点睛OMF 2F 1xy⑷与双曲线221164x y -=有相同焦点，且经过点()322，的双曲线标准方程为 ． 【解析】 ⑴ 221169x y -=；⑵ 2214x y -=⑶ 2215x y -=．⑷ 221128x y -=．【点评】 与双曲线221164x y -=有公共焦点的双曲线系方程为221164x y λλ-=-+(416)λ-<<，由此可以比较方便地解决同焦点的双曲线的问题．提高班学案1【拓1】双曲线2255x ky +=的一个焦点是()20，，那么k = ．【解析】 53k =-．尖子班学案1【拓2】 双曲线222x y k -=的焦距是6，则k 的值是（ ）A ．24B ．6±C ．65±D ．3 【解析】 B目标班学案1【拓3】 若双曲线2288kx ky -=的一个焦点是()03，，则k =＿＿＿＿＿． 【解析】 1k =-若方程22193x y k k-=--表示双曲线，则k 的取值范围为_________．【解析】 3k <或9k >【思路】9030k k ->⎧⎨->⎩，或9030k k -<⎧⎨-<⎩，，3k ⇒<或9k >．【错因分析】本题易忽视焦点在y 轴的情况而只由90330k k k ->⎧⇒<⎨->⎩，导致漏解．【点评】 方程221Ax By +=表示双曲线时，A 、B 异号；当A 、B 异号时，方程221Ax By +=表示双曲线，即方程221Ax By +=表示双曲线的充要条件是0AB <．双曲线的几何性质（用标准方程22221(00)x y a b a b -=>>，来研究）： ⑴范围：x a ≥或x a -≤；如图．⑵对称性：以x 轴、y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，这个对称中心又叫做双曲线的中心．⑶顶点：双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的顶点．⑷实轴与虚轴：两个顶点间的线段叫做双曲线的 实轴．如图中，1A 212A A 为双 曲线的实轴．在y 轴上作点1(0)B b -，，2(0B b ，12叫做双曲线的虚轴．⑸渐近线：直线by x a =±；⑹离心率：ce a=叫做双曲线的离心率，．双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．<教师备案>1．双曲线与椭圆的区别：①双曲线是无限伸展的，椭圆是封闭曲线；②双曲线有两个顶点，椭圆有4个顶点；③双曲线的虚轴与椭圆的短轴；④双曲线离心率1e >，椭圆离心率01e <<． 2．渐近线的理解：过双曲线上的一点()M x y ，（考虑对称性，不妨设M 是第一象限内的点）作平行于y 轴的直线，设它与直线by x a =相交于点P ，则22||b b PM x x a a a =--()2222b x x a a x x a=--=+-， 当x a >时，22x x a +-随着x 的增大而增大，从而||PM 越来越接近于0．这说明，当点M 从双曲线C 的顶点2A 开始在第一象限沿此双曲线移动并越来越远离点2A 时，点M 和直线b y x a =就越来越接近，而且22b b x x a a a>-，故双曲线始终在直线的下方，且与直线越来越接近，不会相交． 其它象限内的情况与此类似．3．双曲线的开口大小：渐近线的斜率的绝对值2221b c a e a -==-，因此e 越大，ba也越大，双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔． 4．画双曲线的草图时，一般都是先画出以22a b ，为边长的矩形，它的对角线恰为双曲线的渐近线，且双曲线的顶点在此矩形上，故可由此作出双曲线的较好的草图．5．求双曲线的渐近线方程有一个比较容易的办法是直接令右边的常数为零，方程所表示知识点睛4.2双曲线的简单几何性质B 1x=-a x=a P MA 1A 2B 2F 2F 1O yx的两条直线就是所求的渐近线方程．对于双曲线22221y x a b-=，它的渐近线方程即为22220y x a b -=，即直线ay x b=±．考点3：双曲线的几何性质【铺垫】求出下列双曲线的渐近线方程和离心率： ①22154x y -=；②22154y x -=；③221x y -=；④224936x y -=；⑤22491x y -=． 【解析】 ①235555y x e =±=，；②53525y x e =±=，；③2y x e =±=，；④21333y x e =±=，； ⑤21333y x e =±=，． <教师备案>由④⑤可知，()22220x y a bλλ-=>有相同的渐近线和离心率．【例3】 ⑴虚轴长为12，离心率为54的双曲线的标准方程是________________．⑵设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线方程为12y x =±，则该双曲线的离心率为（ ）A ．5B ．52C ．5D ．54⑶若双曲线经过点()63，，且渐近线方程是13y x =±，则双曲线的方程是（ ）A ．221369x y -=B ．221819x y -=C ．2219x y -= D ．221183x y -=⑷若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点是()100，，则双曲线的方程是 ．⑸实轴长为6，渐近线方程为32y x =±的双曲线的方程是 ．【解析】 ⑴ 2216436x y -=或2216436y x-=；⑵ B ； ⑶ C⑷ 2219y x -=⑸ 2218194x y -=或22194y x -=； 【点评】 已知双曲线的渐近线方程求双曲线方程时，可利用共渐近线的双曲线方程2222(0)x y a bλλ-=≠再由其他条件求λ．经典精讲尖子班学案2【拓2】 已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60︒，则双曲线的离心率为 ． 【解析】 6；目标班学案2【拓3】 设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=︒，则以A 、B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为 ． 【解析】 31+．<教师备案>抛物线相对来讲，学生应该比较熟悉了，生活中也有很多例子，比如，手电筒、太阳灶和射电望远镜就是利用抛物线的性质做的，但是学生对抛物线的认识仅是二次函数的图象而已，更进一步的了解将在本板块进行学习．举例，243y x x =-+，让学生计算此二次函数上的点（随机取几个点）到点324⎛⎫- ⎪⎝⎭，与直线54x =-的距离之比，由此引入抛物线的定义．1．平面内与一个定点F 和一条定直线l （F 不在l 上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线． 定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．<教师备案>抛物线的画法：如图，将一根直尺固定在平板上，把直尺的一边当作定直线l ，拿一块三角板，以它的较 短的直角边紧靠直线l ，在另一条直角边的锐角顶点处A 上结一条细绳．取这条绳长与这条直角边等长，绳的另一端扎一个小钉，并把它钉牢在平板上的F 处作为定点，然后把铅笔尖紧靠三角板把绳拉紧，并将三角板紧靠l 移动，笔尖画出的图形就是抛物线．从以上画图的过程可以看出，不论笔尖P 移到什么位置，它到定点F 的距离||PF 总是等于它到定直线l 距离||PQ ．这是因为||||||PF PA PQ PA +=+，即||||PF PQ =．根据抛物线的这个几何特征，得出抛物线的定义．2．抛物线的标准方程：22(0)y px p =>，焦点在x 轴正半轴上，坐标是02p ⎛⎫⎪⎝⎭，，准线方程是2p x =-，其中p 是焦点到准线的距离．<教室备案>抛物线的标准方程的推导：知识点睛4.3抛物线的定义及其标准方程B 2B 1F 2F 1O y xl QFPA建立平面直角坐标系：取过焦点F 垂直于准线l 的直线为x 轴，x 轴与l 相交于点K ，以线段KF 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系（如图所示），设||KF p =，则焦点F 的坐标为 02p ⎛⎫⎪⎝⎭，，准线l 方程为2p x =-．设抛物线上的点()M x y ，到l 的距离为d ， 抛物线也就是集合{}|S M MF d ==．∵||MF ，2p d x =+，2p x =+．将上式两边平方并化简，得22(0)y px p =>．3．抛物线的几何性质（根据抛物线的标准方程22(0)y px p =>研究性质）： ⑴范围：抛物线在y 轴的右侧，开口向右，向右上方和右下方无限延伸． ⑵对称性：以x 轴为对称轴的轴对称图形，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． ⑶顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．此处为原点．⑷离心率：抛物线上的点到焦点与到准线的距离的比叫做抛物线的离心率，用e 表示，1e =．<教师备案>学习过椭圆和双曲线的几何性质后，来看抛物线的性质和它们的区别：抛物线只有1个顶点、1个焦点、1条对称轴和1条准线，离心率为1，且没有中心．4．设抛物线的焦点到准线的距离为，抛物线方程的四种形式如下：考点4：抛物线的定义 【例4】 ⑴动圆M 过点(02)F ，，且与直线:2l y =-相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是（ ） A ．28x y = B ．28y x = C ．2y = D ．2x =⑵点P 到点(40)F ，的距离比它到直线:6l x =-的距离小2，则点P 的轨迹方程为（ ） A ．216y x =B ．23xy = C ．216y x = D ．24y x = 【解析】 ⑴ A⑵ C【备选】 ⑴ 动圆与定圆22:(2)1A x y ++=外切，且与直线:1l x =相切，则动圆圆心P 的轨迹是（ ） A ．直线 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线⑵ 动点P 到直线40x +=的距离减去它到点(20)M ，的距离等于2，则点P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【解析】 ⑴ D⑵ D目标班学案3【拓3】 点P 到点(30)F ，的距离比它到直线:1l x =的距离大4，则点P 的轨迹是（ ）A ．一条抛物线B ．一条双曲线C ．一个椭圆D ．以上都不对【解析】 D ；考点5：抛物线的方程与性质 提高班学案2【铺1】 ⑴ 抛物线240x y +=的焦点坐标为 ，准线方程为 ；⑵ 抛物线240x y +=的焦点坐标为 ，准线方程为 ；⑶ 抛物线2(0)x ay a =≠的焦点坐标为 ，准线方程为 ．【解析】 ⑴ 焦点坐标为(01)-，，准线方程为1y =；⑵ 焦点坐标为1016⎛⎫- ⎪⎝⎭，，准线方程为116y =； ⑶ 焦点坐标为104a ⎛⎫⎪⎝⎭，，准线方程是：14x a =-．经典精讲【例5】 根据下列条件，求抛物线的标准方程．⑴焦点为(20)-，； ⑵准线为1y =-；⑶焦点与双曲线221169x y -=的左焦点相同；⑷焦点到准线的距离是4； ⑸过点(12)，．【解析】 ⑴ 28y x =-．⑵ 24x y =． ⑶ 220y x =-．⑷ 28y x =，28y x =-，28x y =，28x y =-．⑸ 24y x =或212x y =．【点评】 ⑴ 抛物线标准方程中的系数p 叫做焦参数，它的几何意义是焦点到准线的距离，且焦点到顶点及顶点到准线的距离都为2p．⑵ 抛物线的标准方程有四种类型，所以判断类型是解题的关键，在方程的类型已确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，所以只需一个条件就可以确定抛物线的方程．⑶ 焦点在x 轴上的抛物线标准方程可统一写成2(0)y ax a =≠；焦点在y 轴上的抛物线标准方程可统一写成2(0)x ay a =≠．尖子班学案3【拓2】 试分别求满足下列条件抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：⑴ 过点(32)-，；⑵ 焦点在直线240x y --=上．【分析】 从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p ；而从实际分析，一般需确定p和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论．【解析】 ⑴ 所求的抛物线方程为243y x =-或292x y =，前者的准线方程是13x =，后者的准线方程是98y =-；⑵ 所求的抛物线方程为216y x =或28x y =-，对应的准线方程分别是4x =-，2y =．考点5：抛物线定义的应用 提高班学案3【铺1】 ⑴ 设抛物线28(0)x ay a =->，F 是焦点，则a 表示（ ）A ．F 到准线的距离B ．F 到准线距离的14 C ．F 到x 轴的距离 D ．F 到准线距离的18⑵ 抛物线22y px =过点(22)M ，，则点M 到抛物线准线的距离为__________．【解析】 ⑴ B⑵ 52 【例6】 ⑴已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点(3)M m -，到焦点的距离为5， 求m 的值、抛物线方程和准线方程．⑵抛物线的焦点F 在x 轴上，直线3y =-与抛物线相交于点A ，5AF =，求抛物线的标准方程．【解析】 ⑴ 抛物线方程为28x y =-，26m =±，准线方程为2y =．【点评】 已知抛物线的某些几何元素的特征，求抛物线的标准方程的方法如下：一是由抛物线的标准方程中只有一个参数p ，用待定系数法求解，但在设置方程形式时，要注意0p >；二是找到焦点坐标、准线方程等条件，直接利用定义求解．⑵ 22y x =±或218y x =±．目标班学案4 【拓3】 抛物线上的点()525-，到焦点(0)F x ，的距离为6，则抛物线的标准方程是（ ）A ．22y x =-，218y x =-B ．24y x =-，236y x =-C ．24y x =-D ．218y x =-，236y x =-【解析】 C【例7】 ⑴已知抛物线28y x =，定点()42A ，，F 为焦点，P 为抛物线上的动点，则PF PA +的最小值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8⑵已知点(32)M ，，F 为抛物线22y x =的焦点，点P 在该抛物线上移动，当PM PF +取最小值时，点P 的坐标为 ．【解析】 ⑴ B⑵ P 点坐标为(22)，．【点评】 本题充分应用抛物线的定义及几何特征解决问题，曲线的几何特征是曲线本身具有的性质，与曲线在坐标系中的位置无关．【备选】 若点A 的坐标为552⎛⎫ ⎪⎝⎭，，F 为抛物线22y x =的焦点，点P 在抛物线上移动，则||||PA PF +的最小值为（ ）A 26B ．1C 29D ．2【解析】 C ；【演练1】已知两定点1(40)F -，，2(40)F ，，动点P 满足12||||2PF PF a -=，则当2a =和4时，P点的轨迹是（ ）A ．双曲线和一条直线B ．双曲线和一条射线C ．双曲线的一支和一条射线D ．双曲线的一支和一条直线【解析】 C【演练2】⑴ 抛物线2y x =-的焦点坐标为________，准线方程为________；⑵ 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，抛物线上一点(3)P a -，到焦点的距离为5，求抛物线的标准方程．【解析】 ⑴ 焦点坐标为104⎛⎫- ⎪⎝⎭，，准线方程为14y =； ⑵ 28y x =-．【演练3】已知点()23-，与抛物线()220y px p =>的焦点的距离是5，则p = ．【解析】 4p =．【演练4】已知点()34A ，，F 是抛物线28y x =的焦点，M 是抛物线上的动点，当MA MF +最小时，M 点坐标是（ ）A ．()00，B ．()326，C ．()24，D ．()326-，【解析】 C【演练5】已知双曲线过(11)M ，，(25)N -，两点，求双曲线的标准方程．【解析】 双曲线的标准方程为221778x y -=．【演练6】讨论221259x y k k+=--表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 【解析】 由于9k ≠，25k ≠，则k 的取值范围为9k <，925k <<，25k >，分别进行讨论．①当9k <时，250k ->，90k ->，所给方程表示椭圆，此时225a k =-，29b k =-，22216c a b =-=，这些椭圆有共同的焦点(40)-，，(40)，；②当925k <<时，250k ->，90k -<，所给方程表示双曲线，此时，225a k =-，29b k =-，22216c a b =+=，这些双曲线也有共同的焦点(40)-，，(40)，． ③25k >时，220259x y k k+--≤，所给方程没有对应的曲线． 【点评】 将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系．实战演练1．有限条抛物线及其内部能否覆盖整个坐标平面？证明你的结论．【解析】 取一条与所有抛物线对称轴均不平行的直线，则每条抛物线均只能覆盖此直线的有限段，而直线是无限的，故不能覆盖．2．已知抛物线21y x =-上一点()10B -，，若抛物线上存在两点P Q ，，且使得PQ PB ⊥，则Q 点横坐标的取值范围为 ．【解析】 (][)31-∞-+∞，，设点()()P P Q Q P x y Q x y ，，，，由1PB PQ k k ⋅=-，得11Q P P P Q P y y y x x x -⋅=-+-， 即()()22211111Q P P P Q Px x x x x x ----⋅=-+-，化简得211P P Q P x x x x -+=-，其中1P x ≠-． 以下略．大千世界。
